Solución

1. Primero, calculemos la integral sin el Teorema Fundamental para Integrales de Línea y en su lugar usemos la ecuación 6.9:
   $$\begin{aligned} \int_C \bold{F}\cdot d\bold{r} &= \int_1^e \bold{F}(\bold{r}(t))\cdot \bold{r}^{\prime} (t)dt\\ &= \int_1^e \bigg\lang 2t^2ln\;t, \frac{t^4}{t}+ t^2, 2t^2\bigg\rang\cdot \lang 2t, 1, 1 \rang dt\\ &= \int_1^e \big(4t^3ln\;t + t^3 + 3t^2\big)dt\\ &= \int_1^e 4t^3ln\;tdt + \int_1^e \big(t^3 + 3t^2\big) dt\\ &= \int_1^e 4t^3ln\;tdt + \bigg[\frac{t^4}{4} + t^3\bigg]_1^e\\ &= 4\int_1^e t^3ln\;tdt + \frac{e^4}{4} + e^3 - \frac54 \end{aligned}$$ La integral $\int_1^e t^3ln\;tdt$ requiere integración por partes. Sea $u = ln\;t$ y $dv = t^3$. Entonces $u = ln\;t, dv = t^3$ y
   $$du = \frac{1}{t}dt, v=\frac{t^4}{4}$$ Por lo tanto
   $$\begin{aligned} \int_1^e t^3ln\;tdt &= \bigg[\frac{t^4}{4}ln\;t\bigg]_1^e - \frac14\int_1^et^3dt\\ &= \frac{e^4}{4} - \frac14\bigg(\frac{e^4}{4} - \frac14\bigg) \end{aligned}$$ Así
   $$\begin{aligned} \int_C \bold{F}\cdot d\bold{r} &= 4\int_1^e t^3ln\;tdt + \frac{e^4}{4} + e^3 - \frac54\\ &= 4\bigg(\frac{e^4}{4} - \frac14\bigg(\frac{e^4}{4} - \frac14\bigg)\bigg) + \frac{e^4}{4} + e^3 - \frac54\\ &= e^4 - \frac{e^4}{4} + \frac14 + \frac{e^4}{4} + e^3 - \frac54\\ &= e^4 + e^3 - 1 \end{aligned}$$
2. Dado que $f (x, y, z) = x^2ln \; y + yz^2$ es una función potencial para $\bold{F}$, usemos el Teorema Fundamental para Integrales de Línea, para calcular la integral. Ten en cuenta que
   $$\begin{aligned} \int_C \bold{F}\cdot d\bold{r} &= \int_C \nabla f\cdot d\bold{r}\\ &= f(\bold{r}(e)) - f(\bold{r}(1))\\ &= f\big(e^2, e, e\big) - f(1,1,1)\\ &= e^4+e^3-1 \end{aligned}$$ Este cálculo es mucho más sencillo que el cálculo que hicimos en (a). Siempre que tengamos una función potencial, calcular una integral de línea usando el Teorema Fundamental para Integrales de Línea es mucho más fácil que calcular sin el teorema.