Como antes, primero encuentra la región $R$ e imagina la transformación para que sea más fácil obtener los límites de integración después de que se hayan realizado las transformaciones (observa la figura).
Figura 5.76. Transformar la región $R$ en la región $S$ para simplificar el cálculo de una integral.
Dado $u = x - y$ y $v = x + y$, tenemos $x = \frac{u + v}{2}$ e $y = \frac{v - u}{2}$ y, por tanto, la transformación a utilizar es $T (u, v) = \bigg(\frac{u + v}{2}, \frac{v - u}{2}\bigg)$. Las líneas $x + y = 1$ y $x + y = 3$ se convierten en $v = 1$ y $v = 3$, respectivamente. Las curvas $x^2 - y^2 = 1$ y $x^2 - y^2 = −1$ se convierten en $uv = 1$ y $uv = −1$, respectivamente.
Por tanto, podemos describir la región $S$ (ver la segunda región en la figura anterior) como
$$S = \bigg\lbrace (u,v)|1 \le v \le 3, \frac{-1}{v} \le u \le \frac{1}{v}\bigg\rbrace$$El Jacobiano para esta transformación es
$$J(u,v) = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\ \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1/2 & -1/2\\ \\ 1/2 & 1/2 \end{vmatrix} = \frac12$$Por lo tanto, al usar la transformación $T$, la integral cambia a
$$\iint_R (x-y)e^{x^2-y^2} dA = \frac12\int_1^3\int_{-1/v}^{1/v} ue^{uv} dudv$$Evaluando, obtenemos
$$\frac12\int_1^3\int_{-1/v}^{1/v} ue^{uv} dudv = \frac{4}{3e} \approx 0.490$$