Primero tenemos que encontrar la región de integración. Esta región está delimitada por debajo de $y = 0$ y por encima por de $y = \sqrt{2x - x^2}$ (ver la siguiente figura).
Figura 5.76. Cambiar una región de coordenadas rectangulares a polares.
Al cuadrar y recolectar términos, encontramos que la región es la mitad superior del círculo $x^2 + y^2 − 2x = 0$, es decir, $y^2 + (x - 1)^2 = 1$. En coordenadas polares, el círculo es $r = 2 cos \theta$ entonces la región de integración en coordenadas polares está limitada por $0 \le r \le cos \theta$ y $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$.
El jacobiano es $J (r, \theta) = r$, como lo calculamos en un ejercicio anterior. Como $r \ge 0$, tenemos $| J (r, \theta) | = r$. El integrando $\sqrt{x^2 + y^2}$ cambia a $r$ en coordenadas polares, por lo que la integral iterada doble es
$$\int_0^2\int_0^{\sqrt{2x-x^2}} dydx = \int_0^{\pi/2}\sum_0^{2cos\theta} r|J(r,\theta)|drd\theta = \int_0^{\pi/2}\int_0^{2cos\theta} r^2drd\theta$$