Solución

La figura 5.7 muestra cómo funciona el cálculo de dos maneras diferentes.

1. Primero integra con respecto a $y$, luego integra con respecto a $x$:
   $$\begin{aligned} \iint_Rf(x,y)dA &= \int_{x=0}^{x=2}\int_{y=0}^{y=3}(3x^2-y)dydx\\ &= \int_{x=0}^{x=2}\bigg(\int_{y=0}^{y=3}(3x^2-y)dy\bigg)dx = \int_{x=0}^{x=2}\bigg[3x^2y-\frac{y^2}{2}\bigg|_{y=0}^{y=3}\bigg]dx\\ &= \int_{x=0}^{x=2}\bigg(9x^2-\frac92\bigg)dx = 3x^3 - \frac92x\bigg|_{x=0}^{x=2} = 15 \end{aligned}$$
2. Primero integra con respecto a $x$, luego integra con respecto a $y$:
   $$\begin{aligned} \iint_Rf(x,y)dA &= \int_{y=0}^{y=3}\int_{x=0}^{x=2}(3x^2-y)dxdy\\ &= \int_{y=0}^{y=3}\bigg(\int_{x=0}^{x=2}(3x^2-y)dx\bigg)dy = \int_{y=0}^{y=3}\bigg[x^3-xy\bigg|_{x=0}^{x=2}\bigg]dy\\ &= \int_{y=0}^{y=3}(8-2y)dx = 8y - y^2\bigg|_{y=0}^{y=3} = 15 \end{aligned}$$

Análisis

Con cualquier orden de integración, la integral doble nos da una respuesta de 15. Podríamos interpretar esta respuesta como un volumen en unidades cúbicas del sólido $S$ debajo de la función $f (x, y) = 3x^2 - y$ sobre la región $R = [0, 2] \times [0, 3]$. Sin embargo, recuerda que la interpretación de una integral doble como un volumen (sin signo) funciona solo cuando el integrando $f$ es una función no negativa sobre la región base $R$.