Este es un gran ejemplo para la propiedad $vi$ porque la función $f (x, y)$ es claramente el producto de dos funciones de variable única $e^y$ y $cos x$. Por lo tanto, podemos dividir la integral en dos partes y luego integrar cada una como un único problema de integración variable.
$$\begin{aligned} \iint_R e^ycosxdA &= \int_0^1\int_0^{\pi /2} e^ycosx dxdy\\ &= \bigg(\int_0^1e^ydy\bigg)\bigg(\int_0^{\pi /2}cosx dx\bigg)\\ &= \bigg(e^y\bigg|_0^1\bigg)(\bigg(sen x\bigg|_0^{\pi /2}\bigg)\\ &= e-1 \end{aligned}$$