La proyección de la región sólida $E$ sobre el plano $xy$ es la región acotada arriba por $y = 4$ y abajo por la parábola $y = x^2$ como se muestra.
Figura 5.49. Sección transversal en el plano $xy$ del paraboloide de la figura 5.48.
Por lo tanto, tenemos
$$E = \lbrace (x, y, z)| − 2 \le x \le 2, x^2 \le y \le 4, − \sqrt{y − x^2} ≤ z ≤ \sqrt{y − x^2}\rbrace$$La integral triple se convierte en
$$\iiint_E\sqrt{x^2+z^2}dV = \int_{x=-2}^{x=2}\int_{y=x^2}^{y=4}\int_{z=-\sqrt{y-x^2}}^{z=\sqrt{y-x^2}}\sqrt{x^2+z^2}dzdydz$$Aquí el orden de integración cambia de ser primero con respecto a $z$, luego $y$, y luego $x$ a ser primero con respecto a $y$, luego a $z$, y luego a $x$. Pronto quedará claro cómo este cambio puede ser beneficioso para la computación. Tenemos
$$\int_{x=-2}^{x=2}\int_{z=-\sqrt{y-x^2}}^{z=\sqrt{y-x^2}}\sqrt{x^2+z^2}\int_{y=x^2+z^2}^{y=4}\sqrt{x^2+z^2}dydzdx \\= \int_{x=-2}^{x=2}\int_{z=-\sqrt{y-x^2}}^{z=\sqrt{y-x^2}}\sqrt{x^2+z^2}(4-x^2-z^2)\sqrt{x^2+z^2}dzdx$$Ahora usa la sustitución polar $x = r cos \theta, z = rsen \theta$ y $dz dx = r dr d\theta$ en el plano $xz$. Esto es esencialmente lo mismo que cuando usamos coordenadas polares en el plano $xy$, excepto que reemplazamos $y$ por $z$. En consecuencia, los límites de integración cambian y tenemos, al usar $r^2 = x^2 + z^2$,
$$\begin{aligned} \int_{x=-2}^{x=2}\int_{z=-\sqrt{y-x^2}}^{z=\sqrt{y-x^2}}\sqrt{x^2+z^2}(4-x^2-z^2)\sqrt{x^2+z^2}dzdx &= \int_{\theta=0}^{\theta=2\pi}\int_{r=0}^{r=2}(4-r^2)rdrd\theta\\ &= \int_{0}^{2\pi}\bigg[\frac{4r^3}{3} - \frac{r^5}{5}\bigg|_0^2\bigg]d\theta\\ &= \int_{0}^{2\pi}\frac{64}{15}d\theta = \frac{128\pi}{15} \end{aligned}$$