El orden no está especificado, pero podemos usar la integral iterada en cualquier orden sin cambiar el nivel de dificultad. Digamos, integrar $y$ primero, luego $x$ y luego $z$.
$$\begin{aligned} \iiint_Bx^2yz dV &= \int_1^5\int_{-2}^1\int_0^3[x^2yz]dydxdz = \int_1^5\int_{-2}^1\bigg[x^2\frac{y^2}{2}z\bigg|_0^3\bigg]dxdz\\ &= \int_1^5\int_{-2}^1\frac92x^2zdxdz = \int_1^5\bigg[\frac92\frac{x^3}{3}z\bigg|_{-2}^1\bigg]dz = \int_1^5\frac{27}{2}zdz = \frac{27}{2}\frac{z^2}{2}\bigg|_1^5 = 162 \end{aligned}$$
Ahora intenta integrar en un orden diferente solo para ver que obtenemos la misma respuesta. Elige integrar con respecto a $x$ primero, luego $z$, y luego $y$
$$\begin{aligned} \iiint_Bx^2yz dV &= \int_0^3\int_1^5\int_{-2}^1[x^2yz]dxdzdy = \int_0^3\int_1^5\bigg[\frac{x^3}{3}yz\bigg|_{-2}^1\bigg]dzdy\\ &= \int_0^3\int_1^5 3yzdzdy = \int_0^3\bigg[3y\frac{z^2}{2}\bigg|_1^5\bigg]dy\\ &= \int_0^336ydy = 36\frac{y^2}{2}\bigg|_0^3 = 18(9-0) = 162 \end{aligned}$$