El orden de integración se especifica en el problema, entonces integra con respecto a $x$ primero, luego $y$, y luego $z$
$\displaystyle\int_{z=0}^{z=1}\int_{y=2}^{y=4}\int_{x=-1}^{x=5}(x + yz^2)dx dy dz$
$$\begin{aligned} &= \int_{z=0}^{z=1}\int_{y=2}^{y=4}\bigg[\frac{x^2}{2} + xyz^2\bigg|_{x=-1}^{x=5}\bigg]dydz\;\;\;\text{Integramos con respecto a }x\\ &= \int_{z=0}^{z=1}\int_{y=2}^{y=4} [12 + 6yz^2]dydz\;\;\;\text{Evaluamos}\\ &= \int_{z=0}^{z=1}\bigg[12y + y\frac{y^2}{2}z^2\bigg|_{y=2}^{y=4}\bigg]dz\;\;\;\text{Integramos con respecto a }y\\ &= \int_{z=0}^{z=1}[24+36z^2]dx\;\;\;\;\text{Evaluamos}\\ &= \bigg[24z + 36\frac{z^3}{3}\bigg]_{z=0}^{z=1} = 36\;\;\;\;\text{Integramos con respecto a }z \end{aligned}$$