Primero examina la región sobre la cual necesitamos establecer la integral doble y el paraboloide acompañante.
Figura 5.36. Encontrar el volumen de un sólido debajo de un paraboloide y encima de un triángulo dado
La región $D$ es $\lbrace (x, y) | 0 \le x \le 1, x \le y \le 2 - x\rbrace$. Convirtiendo las líneas $y = x, x = 0$ y $x + y = 2$ en el plano $xy$ a funciones de $r$ y $\theta$, tenemos $\theta = \pi / 4, \theta = \pi / 2$ y $r = 2 / (cos \theta + sen \theta)$, respectivamente.
Graficando la región en el plano $xy$, vemos que parece $D = \lbrace (r, \theta) | \pi / 4 \le \theta \le\pi / 2, 0 \le r \le 2 / (cos \theta + sen \theta)\rbrace$. Ahora convertir la ecuación de la superficie da $z = x^2 + y^2 = r^2$. Por lo tanto, el volumen del sólido está dado por la integral doble
$$\begin{aligned} V &= \iint_D f(r, \theta)r dr d\theta = \int_{\theta =\pi /4}^{\theta = \pi /2}\int_{r=0}^{r=2 / (cos \theta + sen \theta)}r^2rdrd\theta\\ &= \int_{\pi /4}^{ \pi /2}\bigg[\frac{r^4}{4}\bigg]_0^{2 / (cos \theta + sen \theta)} = \frac14\int_{\pi /4}^{ \pi /2}\bigg(\frac{2}{cos \theta + sen \theta}\bigg)d\theta\\ &= \frac{16}{4}\int_{\pi /4}^{ \pi /2}\bigg(\frac{1}{cos \theta + sen \theta}\bigg)d\theta = 4\int_{\pi /4}^{ \pi /2}\bigg(\frac{1}{cos \theta + sen \theta}\bigg)d\theta \end{aligned}$$Como puedes ver, esta integral es muy complicada. Entonces, podemos evaluar esta integral doble en coordenadas rectangulares como
$$V = \int_0^1\int_x^{2-x}(x^2+y^2)dydx$$Evaluando, obtenemos
$$\begin{aligned} \int_0^1\int_x^{2-x}(x^2+y^2)dydx &= \int_0^1\bigg[x^2y + \frac{y^3}{3}\bigg]\bigg|_x^{2-x}\\ &= \int_0^1 \frac83 -4x+4x^2 - \frac{8x^3}{3}dx\\ &= \bigg[\frac{8x}{3} - 2x^2 + \frac{4x^3}{3} - \frac{2x^4}{3}\bigg]\bigg|_0^1 = \frac43 \end{aligned}$$