Solución

Primero dibujamos una figura similar a la figura 5.30 pero con radio exterior $2.$ De la figura podemos ver que tenemos,

$$\begin{aligned} \iint_R 3x dA &= \int_{\theta = 0}^{\theta =\pi}\int_{r=1}^{r=2}3r cos \theta r dr d\theta\;\;\;\;\text{Usa una integral iterada con límites de integración}\\ &= \int_{\theta = 0}^{\theta =\pi}cos\theta\bigg[r^3\bigg|_{r=1}^{r=2}\bigg]d\theta\;\;\;\;\text{integramos primero }\theta \text{ con respecto a r}\\ &= \int_{\theta = 0}^{\theta =\pi}7 cos \theta d\theta = 7 sen \theta\bigg|_{\theta = 0}^{\theta =\pi} = 0 \end{aligned}$$