La región presentada es de Tipo I. Para revertir el orden de integración, primero debemos expresar la región como Tipo II. Consulta figura 5.21.
Figura 5.21. Convertir una región de Tipo I a Tipo II.
Podemos ver desde los límites de la integración que la región está limitada arriba por $y = 2 - x^2$ y abajo por $y = 0$, donde $x$ está en el intervalo $[0, \sqrt{2}]$. Al invertir el orden, tenemos la región limitada a la izquierda por $x = 0$ y a la derecha por $x = \sqrt{2 - y}$ donde $y$ está en el intervalo $[0, 2]$. Resolvemos $y = 2 - x^2$ en términos de $x$ para obtener $x = \sqrt{2 - y}$.
Entonces,
$$\begin{aligned} \int_0^{\sqrt{2}}\int_{0}^{2-x^2} xe^{x^2}dydx &= \int_0^{2}\int_{0}^{\sqrt{2-y}} xe^{x^2}dxdy\\ &= \int_0^{2}\bigg[\frac12ex^2\bigg|_0^{\sqrt2-y}\bigg]dy = \int_0^{2}\frac12\big(e^{2-y}-1\big)dy = -\frac12\big(e^{2-y}+y\big)\bigg|_0^2\\ &= \frac12\big(e^2-3\big) \end{aligned}$$