Solución

Nuevamente, seguimos la estrategia de resolución de problemas:

1. La función de optimización es $f( x , y) = 48 x + 96 y - x^2 - 2 x y - 9y^2$. Para determinar la función de restricción, primero restamos $216$ de ambos lados de la restricción, luego dividimos ambos lados entre $4$, lo que da $5 x + y- 54 = 0$. La función de restricción es igual al lado izquierdo, entonces $g( x , y) = 5 x + y- 54$. El problema nos pide que resolvamos el valor máximo de $f$, sujeto a esta restricción.
2. Entonces, calculamos los gradientes de ambos $f$ y $g$:
   $$\begin{aligned} \nabla f(x, y) &= (48 - 2x - 2y)\bold{i} + (96 - 2x - 18y)\bold{j}\\ \nabla g(x, y) &= 5\bold{i} + \bold{j} \end{aligned}$$ La ecuación $\nabla f(x_0, y_0) = \lambda\nabla g(x_0, y_0) se convierte en
   $$(48 − 2x_0 − 2y_0)\bold{i} + (96 − 2x_0 − 18y_0)\bold{j} = \lambda (5\bold{i} + \bold{j})$$ que puede reescribirse como
   $$(48 − 2x_0 − 2y_0)\bold{i} + (96 − 2x_0 − 18y_0)\bold{j} = \lambda 5\bold{i} + \lambda \bold{j}$$ A continuación, establecemos los coeficientes de $\bold{i}$ y $\bold{j}$ iguales entre sí:
   $$\begin{aligned} 48 − 2x_0 − 2y_0 &= 5\lambda\\ 96 − 2x_0 − 18y_0 &= \lambda \end{aligned}$$ La ecuacion $g(x_0, y_0) = 0$ se convierte $5x_0 + y_0 - 54 = 0$. Por lo tanto, el sistema de ecuaciones que necesita ser resuelto es
   $$\begin{aligned} 48 − 2x_0 − 2y_0 &= 5\lambda\\ 96 − 2x_0 − 18y_0 &= \lambda\\ 5x_0 + y_0 - 54 &= 0 \end{aligned}$$
3. Usamos el lado izquierdo de la segunda ecuación para reemplazar $\lambda$ en la primera ecuación:
   $$\begin{aligned} 48 − 2x_0 − 2y_0 &= 5(96 − 2x_0 − 18y_0)\\ 48 − 2x_0 − 2y_0 &= 480 − 10x_0 − 90y_0\\ 8x_0 &= 432 − 88y_0\\ x_0 &= 54 − 11y:0 \end{aligned}$$ Luego sustituimos esto en la tercera ecuación:
   $$\begin{aligned} 5(54 − 11y_0) + y_0 − 54 &= 0\\ 270 − 55y_0 + y_0 &= 0\\ 216 − 54y_0 &= 0\\ y_0 &= 4. \end{aligned}$$ Ya que $x_0 = 54 - 11y_0$, entonces $x_0 = 10$
4. Luego sustituimos $( 10 , 4 )$ en $f( x , y) = 48 x + 96 y - x^2- 2 x y- 9y^2$, lo que da
   $$\begin{aligned} f(10, 4) &= 48(10) + 96(4) − (10)^2 − 2(10)(4) − 9(4)^2\\ &= 480 + 384 − 100 − 80 − 144 = 540. \end{aligned}$$ Por lo tanto, la ganancia máxima que se puede lograr, sujeta a restricciones presupuestarias, es de $\$ 540,000$ con un nivel de producción de $10,000$ pelotas de golf y $4$ horas de publicidad comprada por mes. Revisemos para asegurarnos de que esto sea realmente un máximo. Los puntos finales de la línea que define la restricción son $(10.8,0)$ y $(0,54)$. Vamos a evaluar $f$ en ambos puntos:
   $$\begin{aligned} f(10.8, 0) &= 48(10.8) + 96(0) − 10.82 − 2(10.8)(0) − 9(0^2) = 401.76\\ f(0, 54) &= 48(0) + 96(54) − 02 − 2(0)(54) − 9(54^2) = −21,060. \end{aligned}$$ El segundo valor representa una pérdida, ya que no se producen pelotas de golf. Ninguno de estos valores supera los $540$, entonces parece que nuestro extremo es un valor máximo de $f$.