# Solución

La mejor manera de hacer esto es dibujar la región $E$ y sus proyecciones en cada uno de los tres planos de coordenadas. Por lo tanto, dejemos

$$E = \lbrace (x, y, z)|0 \le x \le 1, 0 \le y \le x^2, 0 \le z \le y\rbrace$$.

y

$$\int_{x=0}^{x=1}\int_{y=0}^{y=x^2}\int_{z=0}^{z=y^2} f(x,y,z)dzdydx$$

Necesitamos expresar esta integral triple como

$$\int_{y=c}^{y=f}\int_{z=v_1(y)}^{z=v_2(y)}\int_{x=u_1(y,z)}^{x=u_2(y,z)} f(x,y,z)=dxdzdy$$

Conociendo la región $E$ podemos dibujar las siguientes proyecciones (ver figura abajo):

En el plano$xy$ es $D_1 =\lbrace (x, y)|0 \le x \le 1, 0 \le y \le x^2\rbrace = \lbrace (x, y)|0 \le y \le 1, y \le x \le 1\rbrace$, en el plano $yz$ es $D_2 = \lbrace (y, z)|0 \le y \le 1, 0 \le z \le y^2\rbrace$, y en el plano $xz$ es $D_3 = \lbrace (x, z)|0 \le x \le 1, 0 \le z \le x^2\rbrace$

Figura 5.47. Las tres secciones transversales de $E$ en los tres planos de coordenadas.

Ahora podemos describir la misma región $E$ como $\lbrace (x, y, z) | 0 \le y \le 1, 0 \le z \le y^2, y \le x \le 1\rbrace$, y en consecuencia, la integral triple se convierte en

$$\int_{y=c}^{y=f}\int_{z=v_1(y)}^{z=v_2(y)}\int_{x=u_1(y,z)}^{x=u_2(y,z)} f(x,y,z)=dxdzdy = \int_{y=0}^{y=1}\int_{z=0}^{z=x^2}\int_{x=\sqrt{y}}^{x=1} f(x,y,z)dxdzdy$$

Ahora supóm que $f (x, y, z) = xyz$ en cada una de las integrales. Entonces tenemos

$\displaystyle\int_{x=0}^{x=1}\int_{y=0}^{y=x^2}\int_{z=0}^{z=y^2} f(x,y,z)dzdydx$

$$\begin{aligned} &= \int_{x=0}^{x=1}\int_{y=0}^{y=x^2}\bigg[xy\frac{z^2}{2}\bigg|_{z=0}^{z=y^2}\bigg]dydx = \int_{x=0}^{x=1}\int_{y=0}^{y=x^2}\bigg(x\frac{y^5}{2}\bigg)dydx = \int_{x=0}^{x=1}\bigg[x\frac{y^6}{12}\bigg|_{y=0}^{y=x^2}\bigg]dx\\ &= \int_{x=0}^{x=1}\frac{x^{13}}{12}dx = \frac{1}{168} \end{aligned}$$

$\displaystyle\int_{y=0}^{y=1}\int_{z=0}^{z=y^2}\int_{x=\sqrt{y}}^{x=1} f(x,y,z)dxdzdy$

$$\begin{aligned} &= \int_{y=0}^{y=1}\int_{z=0}^{z=y^2}\bigg(\frac{yz}{2} - \frac{y^2z}{2}\bigg)dzdy = \int_{y=0}^{y=1}\bigg[\frac{yz^2}{4} - \frac{y^2z^2}{4}\bigg|_{z=0}^{z=y^2}\bigg]\\&= \int_{y=0}^{y=1}\bigg(\frac{y^5}{4} - \frac{y^6}{4}\bigg)dy = \frac{1}{168} \end{aligned}$$

¡Las respuestas coinciden!