# Solución

Supón que $f (x, y)$ es una función potencial para $\bold{F}$. Entonces, $\nabla f = \bold{F}$, y por lo tanto

$$f_x = 2xy^3\;\;\text{ y }\;\;f_y = 3x^2y^2 + cos\;y$$

Al integrar la ecuación $f_x = 2xy^3$ con respecto a $x$ da como resultado la ecuación

$$f(x, y) = x^2y^3 + h(y)$$

Observa que, dado que estamos integrando una función de dos variables con respecto a $x$, debemos sumar una constante de integración que es una constante con respecto a $x$, pero que aún puede ser una función de $y$. La ecuación $f (x, y) = x^2y^3 + h (y)$ se puede confirmar tomando la derivada parcial con respecto a $x$:

$$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \big(x^2y^3\big) + \frac{\partial}{\partial x}(h(y)) = 2xy^3 + 0 = 2xy^3$$

Dado que $f$ es una función potencial para $\bold{F}$,

$$f_y = 3x^2y^2 + cos(y)$$

y por lo tanto

$$3x^2y^2 + g^{\prime}(y) = 3x^2y^2 + cos(y)$$

Esto implica que $h^{\prime}(y) = cos\; y$, entonces $h (y) = sen \;y + C$. Por lo tanto, cualquier función de la forma $f (x, y) = x^2y^3 + sen (y) + C$ es una función potencial. Tomando, en particular, $C = 0$ da la función potencial $f (x, y) = x^2y^3 + sen (y)$.

Para verificar que $f$ es una función potencial, nota que $\nabla f = \lang 2xy^3, 3x^2y^2 + cos\; y\rang = \bold{F}$.