# Solución

Observa que este dominio de parámetros $D$ es un triángulo y, por lo tanto, el dominio de parámetros no es rectangular. Sin embargo, esto no es un problema, porque la Ecuación 6.19 no impone restricciones a la forma del dominio de parámetros.

Para usar la Ecuación 6.19 para calcular la integral de superficie, primero encontramos el vector $\bold{t}_u$ y $\bold{t}_v$. Ten en cuenta que $\bold{t}_u = \lang 1, 2u, 0\rang$ y $\bold{t}_v = \lang 0, 0, 1\rang$. Por lo tanto,

$$\bold{t}_u \times \bold{t}_v = \begin{vmatrix} \bold{i} & \bold{j} & \bold{k}\\ 1 & 2u & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{vmatrix} = \lang 2u, -1, 0 \rang$$

y

$$||\bold{t}_u \times \bold{t}_v|| = \sqrt{1+4u^2}$$

Por la ecuación 6.19,

$$\begin{aligned} \iint_S 5dS &= 5\iint_D u\sqrt{1+4u^2}dA\\ &= 5\int_0^2\int_0^u\sqrt{1+4u^2} dvdu = 5 \int_0^2 u\sqrt{1+4u^2}du\\ &= 5\bigg[\frac{\big(1+4u^2\big)^{3/2}}{3}\bigg]_0^2 = \frac{5\big(17^{3/2}-1\big)}{3} \approx 115.15 \end{aligned}$$