# Solución

Esta función tiene dos piezas: una es $xy$ y la otra es $3xy^2$. Además, la segunda pieza tiene una constante $3$. Observa cómo usamos las propiedades $i$ y $ii$ para ayudar a evaluar la integral doble.

$\displaystyle\iint_R(xy-3xy^2)dA$ |
$=\displaystyle\iint_RxydA - \iint_R3xy^2dA$ | Propiedad $i$: La integral de una suma es la suma de las integrales.
$=\displaystyle\int_{y=1}^{y=2}\int_{x=0}^{x=2}xydxdy - \int_{y=1}^{y=2}\int_{x=0}^{x=2}3xy^2dxdy$ | Convierte integrales dobles en integrales iteradas.
$=\displaystyle\int_{y=1}^{y=2}\bigg(\frac{x^2}{2}y\bigg)\bigg|_{x=0}^{x=2}dy - 3\int_{y=1}^{y=2}\bigg(\frac{x^2}{2}y^2\bigg)\bigg|_{x=0}^{x=2}dy$ | Integre con respecto a $x$, manteniendo $y$ constante.
$=\displaystyle\int_{y=1}^{y=2}2ydy - \int_{y=1}^{y=2}6y^2dy$ | Propiedad $ii$: Colocando la constante antes de la integral.
$=\displaystyle 2\int_{y=1}^{y=2}ydy - 6\int_{y=1}^{y=2}y^2dy$ | Integrar con respecto a y.
$=2\frac{y^2}{2}\bigg|_1^2dy - 6\frac{y^3}{3}\bigg|_1^2dy$ |
$=y^2\bigg|_1^2dy - 2y^3\bigg|_1^2dy$ |
$= (4 − 1) − 2(8 − 1)$ |
$= 3 − 2(7) = 3 − 14 = −11.$ |