# Solución

Primero construye la región $D$ como una región Tipo I (Figura 5.16). Aquí $D = \lbrace (x, y) | 0 \le x \le 2, \frac12x \le y \le 1$. Entonces tenemos

$$\iint_D x^2e^{xy}dA \int_{x=0}^{x=2}\int_{y=1/2x}^{y=1} x^2e^{xy}dydx$$

Figura 5.16. Podemos expresar la región $D$ como una región de Tipo I e integrar de $y = \frac12x$ a $y = 1$, entre las líneas $x = 0$ y $x = 2$.

Por lo tanto, tenemos

$$\begin{aligned} \int_{x=0}^{x=2}\int_{y=\frac12x}^{y=1} x^2e^{xy}dydx &= \int_{x=0}^{x=2}\bigg[\int_{y=\frac12x}^{y=1}x^2e^{xy}dy\bigg]dx \;\;\;\; \text{Integral iterada para una región de Tipo I.}\\ &= \int_{x=0}^{x=2}\bigg[x^2\frac{e^{xy}}{x}\bigg]\bigg|_{y=1/2x}^{y=1} dx \;\;\;\;\;\; \text{Integra con respecto a $y$ usando la sustitución de $u$}\\ &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{con $u = xy$ donde $x$ se mantiene constante}\\ &= \int_{x=0}^{x=2}\bigg[xe^x - xe^{x^2/2}\big]dx \;\;\;\;\;\;\;\text{Integra con respecto a $x$ usando la sustitución de $u$}\\ & \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \text{con $u = \frac12x^2$.}\\ &= \bigg[xe^x - e^x - e^{\frac12x^2}\bigg]\bigg|_{x=0}^{x=2} = 2 \end{aligned}$$