# Solución

Usando el primer cuadrante del plano de coordenadas rectangular como el espacio muestral, tenemos integrales impropias para $E (X)$ y $E (Y)$. El tiempo esperado para una mesa es

$$\begin{aligned} E(X) &= \iint_S x\frac{1}{600}e^{-x/15}e^{-y/40}dA = \frac{1}{600}\int_{x=0}^{x=\infin}\int_{y=0}^{y=\infin}xe^{-x/15}e^{-y/40}dA\\ &= \frac{1}{600}\lim\limits_{(a, b) \to (\infin, \infin)}\int_{x=0}^{x=a}\int_{y=0}^{y=b}xe^{-x/15}e^{-y/40}dxdy\\ &= \frac{1}{600}\bigg(\lim\limits_{a \to \infin}\int_{x=0}^{x=a}xe^{-x/15}dx\bigg)\bigg(\lim\limits_{b \to \infin}\int_{y=0}^{y=b}e^{-y/40}dy\bigg)\\ &= \frac{1}{600}\big((\lim\limits_{a \to \infin}(-15e^{-x/15} (x+15))\big)\bigg|_{x=0}^{x=a}\big) \bigg(\big(\lim\limits_{b \to \infin}\big(-40e^{-y/40}\big)\big)\bigg|_{y=0}^{y=b}\bigg)\\ &=\frac{1}{600}\big(\lim\limits_{a \to \infin}\big(-15e^{-a/15}(x+15)+225)\big)\bigg(\lim\limits_{b \to \infin}\big(-40e^{-b/40}+40\big)\bigg)\\ &= \frac{1}{600}(225)(40)\\ &= 15 \end{aligned}$$

Un cálculo similar muestra que $E (Y) = 40$. Esto significa que los valores esperados de los dos eventos aleatorios son el tiempo de espera promedio y el tiempo de cena promedio, respectivamente.