# Solución

Podemos indicar que $\bold{F}$ no es conservativo mostrando que $\bold{F}$ no es independiente de la trayectoria. Lo hacemos dando dos caminos diferentes, $C_1$ y $C_2$, que comienzan en $(0, 0)$ y terminan en $(1, 1)$, y sin embargo $\int_{C_1}\bold{F}\cdot d\bold{r} \cancel{=} \int_{C_2}\bold{F}\cdot d\bold{r}$. Sea $C_1$ la curva con parametrización $\bold{r}_1 (t) = \lang t, t\rang, 0 \le t \le 1$ y sea $C_2$ la curva con parametrización $\bold{r}_2 (t) = \lang t, t^2\rang , 0 \le t \le 1$ (Figura 6.31). Luego

$$\begin{aligned} \int_{C_1}\bold{F}\cdot d\bold{r} &= \int_0^1 \bold{F}(\bold{r}_1(t))\cdot \bold{r}_1^{\prime}(t)dt\\ &= \int_0^1 \lang t^3, t+5\rang\cdot \lang 1,1\rang dt = \int_0^1\big( t^3+t+5\big)dt\\ &= \bigg[\frac{t^4}{4} + \frac{t^2}{2} + 5t\bigg]_0^1 = \frac{23}{4} \end{aligned}$$

y

$$\begin{aligned} \int_{C_2}\bold{F}\cdot d\bold{r} &= \int_0^1 \bold{F}(\bold{r}_2(t))\cdot \bold{r}_2^{\prime}(t)dt\\ &= \int_0^1 \lang t^4, t^2+5\rang\cdot \lang 1,2t\rang dt = \int_0^1\big( t^4+2t^3+10t\big)dt\\ &= \bigg[\frac{t^5}{5} + \frac{t^4}{2} + 5t^2\bigg]_0^1 = \frac{57}{10} \end{aligned}$$

Dado que $\int_{C_1}\bold{F}\cdot d\bold{r} \cancel{=} \int_{C_2}\bold{F}\cdot d\bold{r}$, el valor de una integral de línea de $\bold{F}$ depende de la trayectoria entre dos puntos dados. Por tanto, $\bold{F}$ no es independiente del camino y $\bold{F}$ no es conservativo.

Figura 6.31. Las curvas $C_1$ y $C_2$ están orientadas de izquierda a derecha.