# Solución

Sea $E$ el cono sólido encerrado por $S.$ Para verificar el teorema de este ejercicio, mostramos que $\iint_E div\;\bold{F}dV = \iint_S \bold{F}\cdot d\bold{S}$ calculando cada integral por separado.

Para calcular la integral triple, observa que $div\; \bold{F} = P_x + Q_y + R_z = 2$, y por lo tanto la integral triple es

$$\begin{aligned} \iint_E div\;\bold{F}dV &= 2\iiint_E dV\\ &= 2(\text{volumen de }E) \end{aligned}$$

El volumen de un cono circular recto está dado por $πr^2\frac{h}{3}$. En este caso, $h = r = 1$. Por lo tanto,

$$\iint_E div\;\bold{F}dV = 2(\text{volumen de }E) = \frac{2\pi}{3}$$

Para calcular la integral de flujo, primero observa que $S$ es uniforme por partes; $S$ se puede escribir como una unión de superficies lisas. Por lo tanto, dividimos la integral de flujo en dos partes: una integral de flujo a través de la parte superior circular del cono y una integral de flujo a través de la porción restante del cono. Llama a la parte superior circular $S_1$ y la parte debajo de la parte superior $S_2$. Comenzamos calculando el flujo a través de la parte superior circular del cono. Observa que $S_1$ tiene parametrización

$$\bold{r}(u, v) = \lang u cos\; v, u sen \;v, 1 \rang , 0 \le u \le 1, 0 \le v \le 2\pi$$

Entonces, los vectores tangentes son $\bold{t}_u = \lang cos\; v, sen\; v, 0\rang$ y $\bold{t}_v = \lang −u cos\; v, u sen\; v, 0\rang$. Por lo tanto, el flujo a través de $S_1$ es

$$\begin{aligned} \iint_{S_1} \bold{F}\cdot d\bold{S} &= \int_0^1\int_0^{2\pi} \bold{F}(\bold{r}(u,v)) \cdot (\bold{t}_u \times \bold{t}_v)dA\\ &= \int_0^1\int_0^{2\pi} \lang u cos\; v − u sen\; v, u cos\; v + 1, 1 − u sen\; v \rang\cdot\lang 0, 0, u \rang dvdu\\ &= \int_0^1\int_0^{2\pi} (u - u^2sen\;v)dvdu = \pi\end{aligned}$$

Ahora calculamos el flujo sobre $S_2$. Una parametrización de esta superficie es

$$\bold{r}(u, v) = \lang u cos\; v, u sen\; v, u \rang , 0 \le u \le 1, 0 \le v \le 2\pi$$

Los vectores tangentes son $\bold{t}_u = \lang cos \;v, sen\; v, 1\rang$ y $\bold{t}_v = \lang −u sen\; v, u cos\; v, 0\rang$, entonces el producto cruz es

$$\bold{t}_u \times \bold{t}_v = \lang −u cos\; v, −u sen \;v, u \rang$$

Observa que los signos negativos en los componentes $x$ e $y$ inducen la orientación negativa (o hacia adentro) del cono. Dado que la superficie está orientada positivamente, usamos el vector $\bold{t}_v \times \bold{t}_u = \lang u cos\; v, u sen \;v, -u \rang$ en la integral de flujo. El flujo a través de $S_2$ es entonces

$$\begin{aligned} \iint_{S_2} \bold{F}\cdot d\bold{S} &= \int_0^1\int_0^{2\pi} \bold{F}(\bold{r}(u,v)) \cdot (\bold{t}_v \times \bold{t}_u)dA\\ &= \int_0^1\int_0^{2\pi} \lang u cos\; v − u sen\; v, u cos\; v + u, u − sen\; v \rang\cdot\lang u cos\; v, u sen\; v, −u \rang\\ &= \int_0^1\int_0^{2\pi} (u^2cos^2v + 2u^2sen\; v − u^2)dvdu = − \frac{\pi}{3} \end{aligned}$$

El flujo total a través de $S$ es

$$\iint_S \bold{F}\cdot d\bold{S} = \int_{S_1} \bold{F}\cdot d\bold{S} + \int_{S_2} \bold{F}\cdot d\bold{S} = \frac{2\pi}{3} = \iiint_E div\;\bold{F}dV$$

y hemos verificado el teorema de la divergencia para este ejemplo.