# Solución

Usa el teorema dado anteriormente y la integral triple para encontrar el numerador y el denominador. Luego haz la división. Observa que el plano $x + y + z = 1$ tiene intersecciones $(1, 0, 0), (0, 1, 0)$ y $(0, 0, 1)$. La región $E$ se parece a

$$E = \lbrace (x, y, z)|0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1 − x, 0 \le z \le 1 − x − y\rbrace$$

Entonces la integral triple de la temperatura es

$$\iiint_E f(x,y,z)dV = \int_{x=0}^{x=1} \int_{y=0}^{y=1-x}\int_{z=0}^{z=1-x-y} (xy+8z+20)dzdydx = \frac{147}{40}$$

La evaluación del volumen es

$$V(E) = \iiint_E 1dV = \int_{x=0}^{x=1} \int_{y=0}^{y=1-x}\int_{z=0}^{z=1-x-y} 1dzdydx = \frac16$$

Entonces, el valor promedio es

$$T_{prom} = \frac{147/40}{1/6} = \frac{6(147)}{40} = \frac{441}{2}\;\;\;\text{grados celsius}$$