# Solución

La esfera tiene la siguiente parametrización

$$\lang r cos\; \theta sen\; \phi, r sen\; \theta sen\; \phi, r cos\; \phi \rang , 0 \le \theta \lt 2\pi, 0 \le \phi \le \pi$$

Los vectores tangente son:

$$\bold{t}_{\theta} = \lang −r sen\; \theta sen\; \phi, r cos \theta sen\; \phi, 0 \rang\;\;\text{y}\;\; \bold{t}_{\phi} = \lang r cos\; \theta cos\; \phi, r sen \;\theta cos\; \phi, −r sen\; \phi\rang$$

Por lo tanto

$$\begin{aligned} \bold{t}_{\theta} \times \bold{t}_{\phi} &= \lang r^2cos\; \theta sen^2\phi, r^2 sen\; \theta sen^2\phi, r^2 sen^2 \theta sen\; \phi cos\; \phi + r^2cos^2 \theta sen\; \phi cos\; \phi \rang\\ &= \lang r^2cos \theta sen^2\phi, r^2sen\; \theta sen^2\phi, r^2sen\; \phi cos\; \phi \rang \end{aligned}$$

Ahora,

$$\begin{aligned} ||\bold{t}_{\theta} \times \bold{t}_{\phi}|| &= \sqrt{r^4sen^4\phi cos^2\theta + r^4sen^4\phi sen^2\theta + r^4sen^2 \phi cos^2\phi }\\ &= \sqrt{r^4sen^4\phi + r^4sen^2\phi cos^2\phi}\\ &= r^2\sqrt{sen^2\phi }\\ &= rsen\phi \end{aligned}$$

Observa $sen\;\phi$ en el dominio del parámetro porque $0\le \phi \lt \pi$, que justifica la ecuación $\sqrt{sen^2\phi}$. El área de la superficie de la esfera es:

$$\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi} r^2sen\;\phi d\phi d\theta = r^2 \int_0^{2\pi} 2d\theta = 4\pi r^2$$

Hemos deducido la fórmula familiar para el área de superficie de una esfera, usando integrales de superfice.