# Solución

Sea $S$ la superficie que describe la hoja. Entonces, la masa de la hoja viene dada por $m = \iint_Sx^2yzdS$.

Para calcular esta integral de superficie, primero necesitamos una parametrización de $S$. Dado que $S $está dada por la función $f (x, y) = 1 + x + 2y$, una parametrización de $S$ es $\bold{r} (x, y) = \lang x, y , 1 + x + 2y\rang, 0 \le x \le 4, 0 \le y \le 2$.

Los vectores tangentes son $\bold{t}_x = \lang 1, 0, 1\rang$ y $\bold{t}_y = \lang 1, 0, 2\rang$. Por lo tanto, $\bold{t}_x \times \bold{t}_y = \lang −1, −2,1\rang$ y $||\bold{t}_x \times \bold{t}_y ||= \sqrt{6}$. Por la ecuación 6.5,

$$\begin{aligned} m &= \iint_S x^2yzdS\\ &= \sqrt{6}\int_0^4\int_0^2 x^2y(1 + x + 2y)dydx\\ &= \sqrt{6}\int_0^4 \frac{22x^2}{3}+2x^3dx\\ &= \frac{2560\sqrt{6}}{9}\\ &= 696.74 \end{aligned}$$