# Solución

La siguiente figura muestra el tetraedro sólido $E$ y su proyección $D$ en el plano $xy$.

Figura 5.45. El sólido $E$ tiene una proyección $D$ en el plano $xy$ del tipo I.

Podemos describir el tetraedro de región sólida como

$$E = \lbrace (x, y, z)|0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1 − x, 0 \le z \le 1 − x − y\rbrace$$

Entonces, la integral triples es

$$\iiint_E f(x,y,z)dV = \int_{x=0}^{x=1}\int_{y=0}^{y=1-x}\int_{z=0}^{z=1-x-y}(5x − 3y)dz dy dx$$

Para simplificar el cálculo, primero evalemos la integral $\displaystyle\int_{z=0}^{z=1-x-y}(5x − 3y)dz$, obteniendo

$$\int_{z=0}^{z=1-x-y}(5x − 3y)dz =(5x-3y)(1-x-y)$$

Ahora evaluamos la integral $\displaystyle\int_{y=0}^{y=1-x}(5x-3y)(1-x-y)dy$, resultando

$$\int_{y=0}^{y=1-x}(5x-3y)(1-x-y)dy = \frac12(x-1)^2(6x-1)$$

Finalmente, evaluamos

$$\int_{x=0}^{x=1}\frac12(x-1)^2(6x-1)dx = \frac{1}{12}$$