# Solución

Dibujar la gráfica de la función $r = cos 4\theta$ revela que es una rosa polar con ocho pétalos (ver la siguiente figura).

Figura 5.38. Encontrar el área de una rosa polar con ocho pétalos.

Usando la simetría, podemos ver que necesitamos encontrar el área de un pétalo y luego multiplicarlo por $8$. Observa que los valores de $\theta$ por los cuales el gráfico pasa por el origen son los ceros de la función $cos 4\theta$, y estos son múltiplos impares de $\frac{\pi}{8}$. Por lo tanto, uno de los pétalos corresponde a los valores de $\theta$ en el intervalo $[−\pi / 8, \pi / 8]$. Por lo tanto, el área delimitada por la curva $r = cos 4\theta$ es

$$\begin{aligned} A &= 8\int_{\theta=-\pi /8}^{\theta=\pi /8}\int_{r=0}^{r=cos4\theta}1r dr d\theta\\ &= 8\int_{-\pi /8}^{\pi /8} \bigg[\frac12r^2\bigg|_0^{cos4\theta}\bigg]d\theta = 8\int_{-\pi /8}^{\pi /8}\frac12cos^24\theta d\theta \\ &= 8\bigg[\frac14\theta + \frac{1}{16}sen4\theta cos4\theta\bigg|_{-\pi /8}^{\pi /8}\bigg] = 8\bigg[\frac{\pi}{16}\bigg] = \frac{\pi}{2} \end{aligned}$$