# Solución

Para calcular la integral de línea directamente, necesitamos parametrizar cada lado del paralelogramo por separado, calcular cuatro integrales de línea separadas y sumar el resultado. Esto no es demasiado complicado, pero lleva mucho tiempo.

Por el contrario, calculemos la integral de línea usando el teorema de Stokes. Sea $S$ la superficie del paralelogramo. Ten en cuenta que $S$ es la parte de la gráfica de $z = 1 - x - y$ para $(x, y)$ que varía sobre la región rectangular con vértices $(0, 0), (0, 1), (2, 0)$ y $( 2, 1)$ en el plano $xy$. Por lo tanto, una parametrización de $S$ es $\lang x, y, 1 - x - y\rang, 0 \le x \le 2, 0 \le y \le 1$. La curva de $\bold{F}$ es $- \lang z, 0, x\rang$, y por el teorema de Stokes y la ecuación 6.19 obtenemos

$$\begin{aligned} \int_C \bold{F}\cdot d\bold{r} &= \iint_S rot\;\bold{F}\cdot d\bold{S}\\ &= \int_0^2\int_0^1 rot\;\bold{F}(x,y)\cdot \big(\bold{t}_x\cdot \bold{t}_y\big)dydx\\ &= \int_0^2\int_0^1 \lang −(1 − x − y),0,x\rang\cdot (\lang 1, 0, −1 \rang\times\lang 0, 1, −1 \rang )dydx\\ &= \int_0^2\int_0^1 \lang x + y − 1, 0, x \rang\cdot\lang 1, 1, 1 \rang dydx\\ &= \int_0^2\int_0^1 (2x + y − 1)dydx\\ &= 3 \end{aligned}$$