# Solución

Primero cambia el disco $(x - 1)^2 + y^2 = 1$ a coordenadas polares. Expandiendo el término cuadrado, tenemos $x^2 - 2x + 1 + y^2 = 1$. Luego simplifica para obtener $x^2 + y^2 = 2x$, que en coordenadas polares se convierte en $r^2 = 2r cos \theta$ y luego $r = 0$ o $r = 2 cos \theta$. Del mismo modo, la ecuación del paraboloide cambia a $z = 4 - r^2$. Por lo tanto, podemos describir el disco $(x - 1)^2 + y^2 = 1$ en el plano $xy$ como la región

$$D = \lbrace (r, \theta)|0 \le \theta \le π, 0 \le r \le 2 cos \theta\rbrace$$

Por lo tanto, el volumen del sólido limitado arriba por el paraboloide $z = 4− x^2 - y^2$ y abajo por $r = 2 cos \theta$ es

$$\begin{aligned} V &= \iint_D f(r, \theta)r dr d\theta = \int_{\theta =0}^{\theta = \pi}\int_{r=0}^{r=2cos\theta}\big(4 − r^2\big)r dr d\theta\\ &= \int_{\theta =0}^{\theta = \pi}\bigg[4\frac{r^2}{2} - \frac{r^4}{4}\bigg|_0^{2cos\theta}\bigg]d\theta\\ &= \int_0^{\pi}\big[8 cos^2\theta − 4 cos^2\theta\big]d\theta = \bigg[\frac52\theta + \frac52 sen \theta cos \theta − sen \theta cos^3\theta\bigg]_0^{\pi} = \frac52\pi \end{aligned}$$