# Solución

Sigamos la estrategia de resolución de problemas:

1. La función de optimización es $f( x , y, z) = x^2 + y^2 + z^2$. Para determinar las funciones de restricción, primero restamos $z^2$ de ambos lados de la primera restricción, que da $x^2 + y^2 - z^2= 0$, entonces $g( x , y, z) = x^2 + y^2 - z^2$. La segunda función de restricción es $h ( x , y, z) = x + y - z+ 1$.
2. Luego calculamos los gradientes de $f, g$ y $h$: $$\begin{aligned} \nabla f(x, y, z) &= 2x\bold{i}+ 2y\bold{j} + 2z\bold{k}\\ \nabla g(x, y, z) &= 2x\bold{i}+ 2y\bold{j} - 2z\bold{k}\\ \nabla h(x, y, z) &= \bold{i}+ \bold{j} - \bold{k}\\ \end{aligned}$$ La ecuacion $\nabla f(x_0, y_0, z_0) = \lambda_1\nabla g(x_0, y_0, z_0) + \lambda_2\nabla h(x_0, y_0, z_0)$ se convierte en: $$2x_0\bold{i} + 2y_0\bold{j} + 2z_0\bold{k} = \lambda_1(2x_0\bold{i} + 2y_0\bold{j} − 2z_0\bold{k}) + \lambda_2(\bold{i} + \bold{j} − \bold{k})$$ que puede reescribirse como $$2x_0\bold{i} + 2y_0\bold{j} + 2z_0\bold{k} = (2\lambda_1 x_0 + \lambda_2)\bold{i} + (2\lambda_1 y_0 + \lambda_2)\bold{k} + (2\lambda_1 z_0 + \lambda_2)\bold{k}$$ A continuación, establecemos los coeficientes de $\bold{i}, \bold{j}$ y $\bold{k}$ iguales entre sí: $$\begin{aligned} 2x_0 &= 2\lambda_1x_0 + \lambda_2\\ 2y_0 &= 2\lambda_1y_0 + \lambda_2\\ 2z_0 &= -2\lambda_1z_0 - \lambda_2 \end{aligned}$$ Las dos ecuaciones que surgen de las restricciones son $z_0^ 2 = x_0^2 + y_0^2$ y $x_0 + y_0 - z_0 + 1 = 0$. La combinación de estas ecuaciones con las tres ecuaciones anteriores da $$\begin{aligned} 2x_0 &= 2\lambda_1x_0 + \lambda_2\\ 2y_0 &= 2\lambda_1y_0 + \lambda_2\\ 2z_0 &= -2\lambda_1z_0 - \lambda_2\\ z_0^ 2 &= x_0^2 + y_0^2\\ x_0 + y_0 - z_0 + 1 &= 0 \end{aligned}$$
3. Las primeras tres ecuaciones contienen la variable $\lambda_2$. Resolviendo la tercera ecuación para $\lambda_2$ y al reemplazar en la primera y segunda ecuación reduce el número de ecuaciones a cuatro: $$\begin{aligned} 2x_0 &= 2\lambda_1x_0 - 2\lambda_1z_0 - 2z_0\\ 2y_0 &= 2\lambda_1y_0 - 2\lambda_1z_0 - 2z_0\\ z_0^ 2 &= x_0^2 + y_0^2\\ x_0 + y_0 - z_0 + 1 &= 0 \end{aligned}$$ A continuación, resolvemos la primera y segunda ecuación para $\lambda_1$. La primera ecuación da $\lambda_1 = \frac{x_0 + z_0}{x_0 − z_0}$, la segunda ecuación da $\lambda_1 = \frac{y_0 + z_0}{y_0 − z_0}. Ponemos el lado derecho de cada ecuación igual entre sí y multiplicamos en cruz: $$\begin{aligned} \frac{x_0 + z_0}{x_0 − z_0} &= \frac{y_0 + z_0}{y_0 − z_0}\\ (x_0 + z_0)(y_0 − z_0) &= (x_0 − z_0)(y_0 + z_0)\\ x_0y_0 − x_0z_0 + y_0z_0 − z_0^2 &= x_0y_0 + x_0z_0 − y_0z_0 − z_0^2\\ 2y_0z_0 − 2x_0z_0 &= 0\\ 2z_0(y_0 − x_0) = 0 \end{aligned}$$ Por lo tanto, $z_0 = 0$ o $y_0 = x0$. Si $z_0 = 0$, entonces la primera restricción se convierte en $0 = x_0^2 + y_0^2$. La única solución real para esta ecuación es $x_0 = 0$ e $y_0 = 0$, que da el triple ordenado $(0,0,0)$. Este punto no satisface la segunda restricción, por lo que no es una solución. A continuación, consideramos $y_0 = x_0$, que reduce el número de ecuaciones a tres: $$\begin{aligned} y_0 &= x_0\\ z_o^2 &= x_o^2 + y_0^2\\ x_0 + y_0 - z_0 + 1 &= 0 \end{aligned}$$ Luego, resolvemos la segunda ecuación para $z_0$, que da $z_0 = 2x_0 + 1$. Luego sustituimos esto en la primera ecuación, $$\begin{aligned} z_0^2 &= 2x_0^2\\ (2x_0 + 1)^2 = 2x_0^2\\ 4x_0^2 + 4x_0 + 1 &= 2x_0^2\\ 2x_0^2 + 4x_0 + 1 = 0 \end{aligned}$$ y usando la fórmula cuadrática para resolver $x_0$: $$x_0 = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(2)(1)}}{2(2)} = \frac{-\pm \sqrt{8}}{4} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{2]}}{4} = -1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$ Recuerda que $y_0 = x_0$, por lo que esto también resuelve para $y_0$. Luego, $z_0 = 2x_0 + 1$, entonces $$z_0 = 2x_0 + 1 = 2\bigg(-1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\bigg) + 1= -2 + 1 \pm \sqrt{2} = -1 \pm \sqrt{2}$$ Por lo tanto, hay dos soluciones de triples ordenadas: $$\bigg(-1 + \frac{\sqrt{2}}{2}, -1 + \frac{\sqrt{2}}{2}, -1 + \sqrt{2}\bigg) \text{ y } \bigg(-1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, -1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, -1 - \sqrt{2}\bigg)$$
4. Sustituimos $\bigg(-1 + \frac{\sqrt{2}}{2}, -1 + \frac{\sqrt{2}}{2}, -1 + \sqrt{2}\bigg)$ en $f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2$, obteniendo: $$\begin{aligned} f\bigg(-1 + \frac{\sqrt{2}}{2}, -1 + \frac{\sqrt{2}}{2}, -1 + \sqrt{2}\bigg) &= \bigg(-1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\bigg)^2 + \bigg(-1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\bigg)^2 + \big(-1 + \sqrt{2}\big)^2\\ &= \bigg(1- \sqrt{2} + \frac12\bigg) + \bigg(1- \sqrt{2} + \frac12\bigg) + (-1 -2\sqrt{2} + 2)\\ &= 6 - 4\sqrt{2} \end{aligned}$$ Luego, sustituimos $f\bigg(-1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, -1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, -1 - \sqrt{2}\bigg)$ en $f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2$, obteniendo: $$\begin{aligned} f\bigg(-1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, -1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, -1 - \sqrt{2}\bigg) &= \bigg(-1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\bigg)^2 + \bigg(-1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\bigg)^2 + \big(-1 - \sqrt{2}\big)^2\\ &= \bigg(1+ \sqrt{2} + \frac12\bigg) + \bigg(1+ \sqrt{2} + \frac12\bigg) + (1 +2\sqrt{2} + 2)\\ &= 6 + 4\sqrt{2} \end{aligned}$$ $6 + 4\sqrt{2}$ es le valor máximo y $6 - 4\sqrt{2}$ es el mínimo valor de $f(x, y, z$, sujetos a dos restricciones.