# Solución

Una parametrización de la superficie es

$$\bold{r}(\phi, \theta) = \lang 3 cos \theta sen\; \phi, 3 sen\; \theta sen\; \phi, 3 cos\; \phi \rang , 0 \le \theta \le 2\pi, 0 \le \phi \le \pi/2.$$

los vectores tangentes son

$$\bold{t}_{\theta}= \lang −3 sen\; \theta sen\; \phi, 3 cos\; \theta sen \;\phi, 0 \rang\;\;\text{y}\;\; \bold{t}_{\phi} = \lang 3 cos\; \theta cos\; \phi, 3 sen\; \theta cos\; \phi, −3 sen\; \phi \rang$$

y su prodcuto cruz es

$$\bold{t}_{\phi} \times \bold{t}_{\theta} = \lang 9 cos \theta sen^2\phi, 9 sen\; \theta sen^2\phi, 9 sen\; \phi cos\; \phi \rang$$

Observa que cada componente del producto cruz es positivo y, por lo tanto, este vector da la orientación hacia afuera. Por lo tanto, usamos la orientación $\bold{N} = \lang 9 cos\; \theta sen^2\phi, 9 sin\; \theta sen^2\phi, 9 sen\; \phi cos \phi\rang$ para la esfera.

Por la ecuación 6.20,

$$\begin{aligned} \iint_S \rho\bold{v}\cdot d\bold{S} &= 80\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2} \bold{v}(\bold{r}(\phi, \theta)) \cdot \big(\bold{t}_{\phi} \times \bold{t}_{\theta}\big)d\phi d\theta\\ &= 80\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2} \lang 6 cos\; \theta sen\; \phi, 6 sin \theta sin \phi, 3 cos \phi \rang\\ &\;\;\;\;\cdot \lang 9 cos\; \theta sen^2\phi, 9 sen\; \theta sen^2\phi, 9 sen\; \phi cos\; \phi \rang d\phi d\theta\\ &= 80\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2} 54 sen^3\phi + 27 cos^2\phi sen\; \phi d\phi d\theta\\ &= 80\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2} 54\big(1 − cos^2\phi\big)sen\;\phi + 27 cos^2\phi sen\; \phi d\phi d\theta\\ &= 80\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2} 54 sen\;\phi − 27 cos^2\phi sen\;\phi d\phi d\theta\\ &= 80\int_0^{2\pi}\bigg[−54 cos\;\phi + 9 cos^3\phi\bigg]_{\phi=0}^{\phi=2\pi} d\theta\\ &= 80\int_0^{2\pi} 45d\theta = 7200\pi \end{aligned}$$

Por lo tanto, el caudal másico es $7200\pi\; kg / seg / m^2$