# Solución

Calculamos el volumen de la bola en el primer octante, donde $x \ge 0, y \ge 0$ y $z \ge 0$, usando coordenadas esféricas, y luego multiplicamos el resultado por $8$ para la simetría. Dado que consideramos la región $D$ como el primer octante en la integral, los rangos de las variables son

$$0 \le \phi \le \frac{\pi}{2}, 0 \le \rho \le r, 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$$

Entonces,

$$\begin{aligned} V &= \iiint_D dxdydz = 8\int_{\theta=0}^{\theta=\pi/2}\int_{\rho=0}^{rho=\pi}\int_{\phi=0}^{\phi=\pi/2}\rho^2sen\theta d\phi d\rho d\theta\\ &= 8\int_{\phi=0}^{\phi=\pi/2}d\phi \int_{rho=0}^{rho=r}\int_{\theta=0}^{\theta=\pi/2} sen\theta d\theta\\&= 8\big(\frac{\pi}{2}\big)\bigg(\frac{r^3}{3}\bigg)(1)\\ &= \frac43\pi r^3 \end{aligned}$$

Esto coincide exactamente con lo que sabíamos. Entonces, para una esfera con un radio de aproximadamente $50$ pies, el volumen es $\frac43π (50)^3 \approx 523,600\;\; \text{pies}^3$.