# Solución

Primero, encontramos la magnitud de \bold{v}:

$$||\bold{v}|| = \sqrt{(−1)^2 + (2)^2 + (2)^2} = 3$$

Por lo tanto, $\frac{\bold{v}}{||\bold{v}||} = \frac{−\bold{i} + 2\bold{j} + 2\bold{k}}{3} = -\frac13\bold{i} + \frac23\bold{j} + \frac23\bold{k}$ es un vector unitario en la dirección de $\bold{v}$, entonces $cos \alpha = -\frac13, cos \beta = \frac23$ y $cos \gamma = \frac23$. A continuación, calculamos las derivadas parciales de $f$:

$$f_x(x, y, z) = 10x-2y+3z$$ $$f_y(x, y, z) = -2x+2y-4z$$ $$f_z(x, y, z) = 3x-4y+2z$$

Luego sustitúyalas en la ecuación 4.42:

$$\begin{aligned} D_{\bold{u}}f(x, y, z) &= f_x(x, y, z)cos\alpha + f_y(x, y, z)cos\beta + f_z(x, y, z)cos\gamma\\ &= (10x − 2y + 3z)\bigg(-\frac13\bigg) + (−2x + 2y − 4z)\bigg(\frac23\bigg) + (−4y + 2z + 3x)\bigg(\frac23\bigg)\\ &= -\frac{10x}{3} + \frac{2y}{3} - \frac{3z}{3} - \frac{4x}{3} + \frac{4y}{3} - \frac{8z}{3} - \frac{8y}{3} + \frac{4z}{3} + \frac{6x}{3}\\ &= - \frac{8x}{3} - \frac{2y}{3} - \frac{7z}{3} \end{aligned}$$

Por último, para encontrar $D_\bold{u} f (1, −2, 3)$, sustituimos $x = 1, y = −2$ y $z = 3$:

$$\begin{aligned} D_\bold{u} f (1, −2, 3) &= -\frac{8(1)}{3} - \frac{2(-2)}{3} - \frac{7(3)}{3}\\ &= -\frac{8}{3} + \frac{4}{3} - \frac{21}{3}\\ &= -\frac{25}{3} \end{aligned}$$