# Solución

La superficie de la figura 6.64(a) se puede parametrizar mediante

$$\bold{r}(u, v) = \lang (2 + cos\; v)cos \;u, (2 + cos\; v)sen\; u, sen \;v \rang , 0 \le u \lt 2\pi, 0 \le v \lt 2\pi$$

(podemos usar tecnología para verificar). Observa que los vectores

$$\bold{r}_u = \lang −(2 + cos\; v)sen\; u, (2 + cos \;v)cos \;u, 0 \rang\;\;\text{ y }\;\; \bold{r}_v = \lang −sen\; v cos\; u, −sen\; v sen \;u, cos \;v \rang$$

existen para cualquier elección de $u$ y $v$ en el dominio de parámetros, y

$$\begin{aligned} \bold{r}_u \times \bold{r}_v &= \begin{vmatrix} \bold{i} & \bold{j} & \bold{k}\\ -(2+cos\;v)sen\;u & (2+cos\;v)cos\;u & 0\\ -sen\;vcos\;u & - sen\;vsen\;u & cos\;v \end{vmatrix}\\ &= [(2 + cos\: v)cos \;u cos \;v]\bold{i} + [(2 + cos\;v)sen\; u cos\; v]\bold{j}\\ & \;\;\;+[(2 + cos\; v)sen \;v sen^2u + (2 + cos\; v)sen\; v cos^2u]\bold{k}\\ &= [(2 + cos \;v)cos \;u cos \;v]\bold{i} + [(2 + cos \;v)sen \;u cos\; v]\bold{j} + [(2 + cos \;v)sen \;v]\bold{k} \end{aligned}$$

El componente $\bold{k}$ de este vector es cero solo si $v = 0$ o $v = \pi$. Si $v = 0$ o $v = \pi$, entonces las únicas opciones para $u$ que hacen que el componente $\bold{j}$ sea cero son $u = 0$ o $u = \pi$. Pero estas elecciones de $u$ no hacen que el componente $\bold{i}$ sea cero.

Por lo tanto, $\bold{r}_u \times \bold{r}_v$ no es cero para cualquier elección de $u$ y $v$ en el dominio del parámetro, y la parametrización es suave. Observa que la superficie correspondiente no tiene esquinas afiladas.

En la pirámide de la figura figura 6.64(b), la nitidez de las esquinas asegura que no existan derivadas direccionales en esos lugares. Por tanto, la pirámide no tiene una parametrización uniforme. Sin embargo, la pirámide consta de cuatro caras lisas y, por lo tanto, esta superficie es lisa a trozos.