# Solución

La región $D$ no es fácil de descomponer en ningún tipo; En realidad es una combinación de diferentes tipos. Entonces podemos escribirlo como una unión de tres regiones $D_1, D_2$ y $D_3$ donde, $D_1 = \lbrace (x, y) | - 2 \le x \le 0, 0 \le y \le (x + 2)^2\rbrace, D_2 = (x, y) | 0 \le y \le 4, 0 \le x \le \big(y − \frac{1}{16}y^3\big)\rbrace$. Estas regiones se ilustran más claramente en la figura 5.20.

Figura 5.20. La división de la región en tres subregiones facilita la configuración de la integración.

Aquí $D_1$ es Tipo I y $D_2$ y $D_3$ son de Tipo II. Por lo tanto,

$$\begin{aligned} \iint_D(2x+5y)dA &= \iint_{D_1}(2x+5y)dA + \iint_{D_2}(2x+5y)dA + \iint_{D_3}(2x+5y)dA\\ &= \int_{x=-2}^{x=0}\int_{y=0}^{y=(x+2)^2}(2x+5y)dydx + \int_{y=0}^{y=4}\int_{x=0}^{x=y-(1/16)y^3}(2x+5y)dxdy\\ &\;\;\;\;+ \int_{y=-4}^{y=0}\int_{x=-2}^{x=y-(1/16)y^3}(2x+5y)dxdy \\ &= \int_{x=-2}^{x=0}\bigg[\frac12(2+x)^2(20+24x+5x^2\bigg]dx + \int_{y=0}^{y=4}\bigg[\frac{1}{256}y^6 - \frac{7}{16}y^4 + 6y^2\bigg]dy\\ &\;\;\;\;+ \int_{y=-4}^{y=0}\bigg[\frac{1}{256}y^6 - \frac{7}{16}y^4 + 6y^2 + 10y - 4\bigg]dy\\ &= \frac{40}{3} + \frac{1664}{35} - \frac{1696}{35} = \frac{1304}{105} \end{aligned}$$