# Solución

Supón que $f$ es una función potencial. Entonces, $\nabla f = \bold{F}$ y por lo tanto $f_x = 2xy$. La integración de esta ecuación con respecto a $x$ produce la ecuación $f (x, y, z) = x^2y + g (y, z)$ para alguna función $g$. Observa que, en este caso, la constante de integración con respecto a $x$ es una función de $y$ y $z$. Dado que $f$ es una función potencial,

$$x^2 + 2yz^3 = f_y = x^2 + g_y$$

Por lo tanto

$$g_y = 2yz^3$$

para alguna función $h (z)$ de solo $z$ (observa que, debido a que sabemos que $g$ es una función de solo $y$ y $z$, no necesitamos escribir $g (y, z) = y^2z^3 + h (x, z))$. Por lo tanto,

$$f(x,y,z) = x^2y + g(y,z) = x^2y + y^2z^3 + h(z)$$

Para encontrar $f$, ahora solo debemos encontrar $h$. Dado que $f$ es una función potencial,

$$3y^2z^2 + 2z = g_z = 3y^2z^2 + h^{\prime}(z)$$

Esto implica que $h^{\prime} (z) = 2z$, entonces $h (z) = z^2 + C$. Dejando $C = 0$ da la función potencial

$$f(x,y,z) = x^2y + y^2z^3 + z^2$$

Para verificar que $f$ es una función potencial, observa que $\nabla f = \lang 2xy, x^2 + 2yz^3, 3y^2z^2 + 2z\rang = \bold{F}$.