# Solución

Antes de intentar calcular la integral, necesitamos determinar si $\bold{F}$ es conservativa y si el dominio de $\bold{F}$ está conectado simplemente. El dominio de simplemente es todo $\Reals^3$, que está conectado y no tiene agujeros. Por lo tanto, el dominio de simplemente está simplemente conectado. Deja

$$P(x,y,z) = 2xe^yz + e^xz, Q(x,y,z) = x^2e^yz,\;\;\text{ y }\;\; R(x,y,z) = x^2e^y + e^x$$

de modo que $\bold{F} = \lang P, Q, R\rang$. Dado que el dominio de $\bold{F}$ está simplemente conectado, podemos verificar las parciales cruzadas para determinar si $\bold{F}$ es conservativa. Ten en cuenta que

$$\begin{aligned} P_y &= 2xe^yz = Q_x\\ P_z &= 2xe^y + e^x = R_x\\ Q_z &= x^2e^y = R_y \end{aligned}$$

Por tanto, $\bold{F}$ es conservativa.

Para evaluar $\int_C\bold{F}\cdot d\bold{r}$ usando el Teorema Fundamental para Integrales de Línea, necesitamos encontrar una función potencial $f$ para $\bold{F}$. Sea $f$ una función potencial para $\bold{F}$. Entonces, $\nabla f = \bold{F}$, y por lo tanto $f_x = 2xe^yz + e^xz$. La integración de esta ecuación con respecto a $x$ da $f (x, y, z) = x^2e^yz + e^xz + h (y, z)$ para alguna función $h$. Diferenciar esta ecuación con respecto a $y$ da $x^2e^yz + h_y = Q = x^2e^yz$, lo que implica que $h_y = 0$. Por lo tanto, $h$ es una función de $z$ solamente, y $f (x, y, z) = x^2e^yz + e^xz + h (z )$. Para encontrar $h$, observa que $f_z = x^2e^y + e^x + h^{\prime} (z) = R = x^2e^y + e^x$. Por lo tanto, $h^{\prime} (z) = 0$ y podemos tomar $h (z) = 0$. Una función potencial para $\bold{F}$ es $f (x, y, z) = x^2e^yz + e^xz$.

Ahora que tenemos una función potencial, podemos usar el Teorema Fundamental para Integrales de Línea para evaluar la integral. Por el teorema,

$$\begin{aligned} \int_C\bold{F}\cdot d\bold{r} &= \int_C \nabla f\cdot d\bold{r}\\ &= f(1,1,1) - f(0,0,0)\\ &= 2e \end{aligned}$$

Análisis

Observa que si no hubiéramos reconocido que $\bold{F}$ es conservativa, habríamos tenido que parametrizar $C$ y usar la Ecuación 6.9. Dado que la curva $C$ es desconocida, usar el Teorema Fundamental para Integrales de Línea es mucho más simple.