# Solución

El caudal del fluido a través de $S$ es $\iint_S\bold{v}\cdot d\bold{S}$. Antes de calcular esta integral de flujo, analicemos cuál debería ser el valor de la integral. Con base en la (Figura 6.90), vemos que si colocamos este cubo en el fluido (siempre que el cubo no abarque el origen), entonces la tasa de fluido que ingresa al cubo es la misma que la tasa de fluido que sale del cubo. El campo es de naturaleza rotacional y, para un círculo dado paralelo al plano $xy$ que tiene un centro en el eje $z$, los vectores a lo largo de ese círculo son todos de la misma magnitud. Es así como podemos ver que el caudal es el mismo entrando y saliendo del cubo. El flujo hacia el cubo se cancela con el flujo que sale del cubo y, por lo tanto, el caudal del fluido a través del cubo debe ser cero.

Para verificar esta intuición, necesitamos calcular la integral de flujo. Calcular la integral de flujo directamente requiere dividir la integral de flujo en seis integrales de flujo separadas, una para cada cara del cubo. También necesitamos encontrar vectores tangentes, calcular su producto cruz y usar la ecuación 6.19. Sin embargo, usar el teorema de la divergencia hace que este cálculo sea mucho más rápido:

$$\begin{aligned} \iint_S\bold{v}\cdot d\bold{S} &= \iiint_C div\;\bold{v}dV\\ &= \iiint_C 0dV = 0 \end{aligned}$$

Por lo tanto el flujo es cero, tal como se esperaba.