# Solución

El integrando es $f (x, y) = 2$. La siguiente figura muestra la gráfica de $f (x, y) = 2$, la curva $C$ y la hoja formada por ellos. Observa que esta hoja tiene la misma área que un rectángulo con ancho $\pi$ y largo $2$. Por lo tanto, $\displaystyle\int_C2ds = 2\pi$.

Figura 6.14. La hoja que está formada por la mitad superior del círculo unitario en un plano y la gráfica de $f (x, y) = 2$.

Para ver que $\displaystyle\int_C2ds = 2\pi$ usando la definición de integral de línea, dejamos que $\bold{r} (t)$ sea una parametrización de $C$. Entonces, $f(\bold{r} (t_i)) = 2$ para cualquier número $t_i$ en el dominio de $\bold{r}$. Por lo tanto,

$$\begin{aligned} \int_C fds &= \lim\limits_{n \to \infin}\sum_{i=1}^n f\big(\bold{r}(t_i^*)\big)\Delta s_i\\ &= \lim\limits_{n \to \infin}\sum_{i=1}^n 2\Delta s_i\\ &= 2\lim\limits_{n \to \infin}\sum_{i=1}^n \Delta s_i\\ &= 2(\text{longitud de }C)\\ &= 2\pi \end{aligned}$$