# Solución

Mediante el método de doble integración, podemos ver que el volumen es la integral iterada de la forma $\displaystyle\iint_R(1 - x^2 - y^2) dA$ donde $R = \lbrace (r, \theta) | 0 \le r \le 1, 0 \le \theta \le 2\pi\rbrace$.

La solución ya la vimos en un ejercicio anterior; sin embargo, la repetimos:

La región $R$ es un círculo unitario, por lo que podemos describirla como $R = \lbrace (r, \theta) | 0 \le r \le 1, 0 \le \theta \le 2\pi\rbrace$. Usando la conversión $x = r cos \theta, y = r sen \theta$, y $dA = r dr d\theta$, tenemos

$$\begin{aligned} \iint_R(1 - x^2 - y^2)dA &= \int_0^{2\pi}\int_0^1\big(1 − r^2\big)r dr d\theta = \int_0^{2\pi}\int_0^1\big(r − r^3\big)dr d\theta\\ &= \int_0^{2\pi}\bigg[\frac{r^2}{2} - \frac{r^4}{4}\bigg]_0^1d\theta = \int_0^{2\pi}\frac14 d\theta = \frac{\pi}{2} \end{aligned}$$