# Solución

Apartado a

Primero encontramos la función de longitud de arco usando la Ecuación 3.14:

$$\begin{aligned} s(t) &= \int_a^t \|\bold{r'}(u)\|du\\ &= \int_0^t \|\lang −4sen u,4cos u\rang\|du\\ &= \int_0^t \sqrt{(−4senu)^2+(4cosu)^2}du\\ &= \int_0^t \sqrt{16sen^2u+16cos^2u}du\\ &= \int_0^t 4du = 4t \end{aligned}$$

que da la relación entre la longitud de arco $s$ y el parámetro $t$ como $s = 4t$; entonces, $t = s / 4$. A continuación, reemplazamos la variable $t$ en la función original $\bold{r}(t) = 4cost\bold{i} + 4sent\bold{j}$ con la expresión $s/4$ para obtener

$$\bold{r}(s) = 4cos\bigg(\frac{s}{4}\bigg)\bold{i} + 4sen\bigg(\frac{s}{4}\bigg)\bold{j}$$

Esta es la parametrización de longitud de arco de $\bold{r} (t)$. Como la restricción original en $t$ fue dada por $t\ge 0$, la restricción en $s$ se convierte en $s / 4\ge 0$, o $s\ge 0$.

Apartado b

La función de longitud de arco viene dada por la ecuación 3.14:

$$\begin{aligned} s(t) &= \int_a^t \|\bold{r'}(u)\|du\\ &= \int_3^t \|\lang 1,2,2\rang\|du\\ &= \int_3^t \sqrt{1^2+2^2+2^2}du\\ &= \int_3^t 3du\\ &= 3t-9 \end{aligned}$$

Por lo tanto, la relación entre la longitud de arco $s$ y el parámetro $t$ es $s = 3t − 9$, entonces $t = frac{s}{3}+3$. Sustituyendo esto en la función original $\bold{r}(t) = \lang t + 3,2t − 4,2t\rang$ se obtiene

$$\bold{r}(s)=\bigg\lang\bigg(\frac{s}{3}+3\bigg)+3, 2\bigg(\frac{s}{3}+3\bigg)−4, 2\bigg(\frac{s}{3}+3\bigg)\bigg\rang = \bigg\lang \frac{s}{3}+6,2\frac{s}{3}+2,2\frac{s}{3}+6\bigg\rang$$

Esta es una parametrización de longitud de arco de $\bold{r}(t)$. La restricción original en el parámetro $t$ era $t\ge 3$, por lo que la restricción en $s$ es $s/3 + 3\ge 3$, o $s\ge 0$.