# Solución

Para escribir la ecuación de un plano, debemos encontrar un vector normal al plano. Empezamos identificando dos vectores del plano

$$\overrightarrow {PQ} = \left\langle {0 - 1,2 - 1,1 - \left( { - 2} \right)} \right\rangle = \left\langle { - 1,1,3} \right\rangle $$ $$\overrightarrow {QR} = \left\langle { - 1 - 0, - 1 - 2,0 - 1} \right\rangle = \left\langle { - 1, - 3, - 1} \right\rangle $$

El producto cruz $\overrightarrow {PQ} \,{\text{x}}\,\overrightarrow {QR} $ es ortogonal a ambos vectores $\overrightarrow {PQ} $ y $\overrightarrow {QR} $, por eso es normal al plano que contiene a estos dos dos vectores

$${\bold{n}} = \overrightarrow {PQ} {\text{x}} \overrightarrow {QR} = {\begin{vmatrix} {\bold{i}} & {\bold{j}} & {\bold{k}} \\ { - 1} & 1 & 3 \\ { - 1} & { - 3} & { - 1} \\ \end{vmatrix} } $$ $$ = \left( { - 1 + 9} \right){\bf{i}} - \left( {1 + 3} \right){\bf{j}} + \left( {3 + 1} \right){\bf{k}}$$ $$ = {\mkern 1mu} 8{\bf{i}} - 4{\bf{j}} + 4{\bf{k}}$$

Así, $\bold{n} = \left\langle {8, - 4,4} \right\rangle $, y podemos elegir cualquiera de los tres puntos dados para escribir la ecuación del plano $$ 8\left( {x - 1} \right) - 4\left( {y - 1} \right) + 4\left( {z + 2} \right) = 0 $$ $$8x - 4y + 4z = 4 $$