# Solución

Usamos la diferenciación de funciones con valores vectoriales y lo que sabemos sobre las derivadas de funciones de una variable.

Apartado a

El primer componente de $\bold{r}(t) = (6t + 8)\bold{i} + (4t^2 + 2t − 3)\bold{j}$ es $f(t) = 6t + 8$. El segundo componente es $g(t) = 4t^2 + 2t − 3$.

Tenemos $f'(t) = 6$ y $g'(t) = 8t + 2$, entonces el teorema da $$\bold{r'}(t) = 6\bold{i} + (8t + 2)\bold{j}$$

Apartado b

El primer componente es $f(t) = 3cost$ y el segundo componente es $g(t) = 4sent$.

Tenemos $f'(t) = - 3sent$ y $g'(t) = 4cost$, entonces obtenemos $$\bold{r'}(t) = - 3sent\bold{i} + 4cost\bold{j}$$

Apartado c

El primer componente de $\bold{r}(t) = e^tsent\bold{i} + e^tcost\bold{j} − e^{2t}\bold{k}$ es $f(t) = e^tsent$, el segundo componente es $g(t) = e^tcost$, y el tercer componente es $h(t) = - e^{2t}$.

Tenemos $f'(t) = e^t (sent + cost)$, $g'(t) = e^t (cost − sent)$ y $h'(t) = - 2e^{2t}$, por lo que el teorema da $$\bold{r'}(t) = e^t ( sent + cost)\bold{i} + e^t (cost − sent)\bold{j} − 2e^{2t}\bold{k}$$