# Solución

Apartado a)

Usa $x = 1$ e $y = 1$ en la ecuación 1.8

$$\begin{aligned} r^2 &= x^2+y^2\\ &=(1)^2+(1)^2\\ r &= \sqrt{2} \end{aligned}$$ | y | $$\begin{aligned} tanθ &= \frac{y}{x}\\ &= \frac11 = 1\\ θ &= \frac{π}{4} \end{aligned}$$

Por lo tanto, este punto se puede representar como $(\sqrt{2},\frac{π}{4})$ en coordenadas polares.

Apartado b)

Usa $x = −3$ e $y = 4$ en la ecuación 1.8:

$$\begin{aligned} r^2 &= x^2+y^2\\ &=(-3)^2+(4)^2\\ r &= 5 \end{aligned}$$ | y | $$\begin{aligned} tanθ &= \frac{y}{x}\\ &= -\frac43\\ θ &= -arctan\frac{4}{3}\\ &\approx 2.21 \end{aligned}$$

Por lo tanto, este punto se puede representar como $(5,2.21)$ en coordenadas polares.

Apartado c)

Usa $x = 0$ e $y = 3$ en la ecuación 1.8

$$\begin{aligned} r^2 &= x^2+y^2\\ &=(3)^2+(0)^2\\ &=9+0\\ r &= 3 \end{aligned}$$ | y | $$\begin{aligned} tanθ &= \frac{y}{x}\\ &= -\frac30 \end{aligned}$$

La aplicación directa de la segunda ecuación conduce a la división por cero. Graficar el punto $(0,3)$ en el sistema de coordenadas rectangular revela que el punto se encuentra en el eje y positivo. El ángulo entre el eje x positivo y el eje y positivo es $\fracπ2$. Por lo tanto, este punto puede representarse como $(3, \fracπ2)$ en coordenadas polares.

Apartado d)

Usa $x=5\sqrt{3}$ y $y=−5$ en la ecuación 1.8

$$\begin{aligned} r^2 &= x^2+y^2\\ &=(5\sqrt{3})^2+(-5)^2\\ &=75+25\\ r &= 10 \end{aligned}$$ | y | $$\begin{aligned} tanθ &= \frac{y}{x}\\ &= -\frac{-5}{5\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}\\ θ &= -\frac{π}{6} \end{aligned}$$

Por lo tanto, este punto se puede representar como $(10, -\frac{π}{6})$ en coordenadas polares.

Apartado e)

Usa $r=3$ y $θ=\fracπ3$ en la ecuación 1.7

$$\begin{aligned} x &= rcosθ\\ &=3cos(\fracπ3)\\ &=3(\frac12)=\frac32 \end{aligned}$$ | y | $$\begin{aligned} y &= rsenθ\\ &= 3sen(\fracπ3)\\ &= 3(\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{3\sqrt{3}}{2} \end{aligned}$$

Por lo tanto, este punto se puede representar como $(\frac32, \frac{3\sqrt{3}}{2})$ en coordenadas rectangulares.

Apartado f)

Usa $r=2$ y $θ=\frac{3π}{2}$ en la ecuación 1.7

$$\begin{aligned} x &= rcosθ\\ &=2cos(\frac{3π}{2})\\ &=2(0)=0 \end{aligned}$$ | y | $$\begin{aligned} y &= rsenθ\\ &= 2sen(\frac{3π}{2})\\ &= 2(-1)=-2 \end{aligned}$$

Por lo tanto, este punto se puede representar como $(0, -2)$ en coordenadas rectangulares.

Apartado g)

Usa $r=6$ y $θ=-\frac{5π}{6}$ en la ecuación 1.7

$$\begin{aligned} x &= rcosθ\\ &=6cos(-\frac{5π}{6})\\ &=6(-\frac{\sqrt{3}}{2})\\ &= -3(\sqrt{3}) \end{aligned}$$ | y | $$\begin{aligned} y &= rsenθ\\ &= 6sen(-\frac{5π}{6})\\ &= 6(-\frac12)\\ &= -3 \end{aligned}$$

Por lo tanto, este punto se puede representar como $(-3(\sqrt{3}), -3)$ en coordenadas rectangulares.