# Solución

Apartado a

Cuando el ángulo $\theta$ se mantiene constante mientras $r$ y $z$ pueden variar, el resultado es un semiplano (ver la siguiente figura).

Figura 2.94. En coordenadas polares, la ecuación $\theta=\frac{\pi}{4}$ describe el rayo que se extiende diagonalmente a través del primer cuadrante. En tres dimensiones, esta misma ecuación describe un semiplano.

Apartado b

Sustituye $r^2 = x^2 + y^2$ en la ecuación $r^2 + z^2 = 9$ para expresar la forma rectangular de la ecuación: $x^2 + y^2 + z^2 = 9$. Esta ecuación describe una esfera centrada en el origen con radio $3$ (ver la siguiente figura).

Figura 2.95. La esfera centrada en el origen con radio $3$ puede describirse mediante la ecuación cilíndrica $r^2 + z^2 = 9$.

Apartado c

Para describir la superficie definida por la ecuación $z = r$, ¿es útil examinar trazas paralelas al plano $xy$? Por ejemplo, la traza en el plano $z = 1$ es el círculo $r = 1$, la traza en el plano $z = 3$ es el círculo $r = 3$, y así sucesivamente. Cada traza es un círculo. A medida que aumenta el valor de $z$, el radio del círculo también aumenta. La superficie resultante es un cono (ver la siguiente figura).

Figura 2.96. Las trazas en planos paralelos al plano $xy$ son círculos. El radio de los círculos aumenta a medida que aumenta $z$.