# Solución

Lo primero que queremos hacer es encontrar un vector en la misma dirección que el vector de velocidad de la pelota. Luego escalamos el vector apropiadamente para que tenga la magnitud correcta. Considera el vector w que se extiende desde el brazo del mariscal de campo hasta un punto directamente sobre la cabeza del receptor en un ángulo de 30° (observa la siguiente figura). Este vector tendría la misma dirección que v, pero puede no tener la magnitud correcta.

El receptor está 20 yardas abajo del campo y 15 yardas a la izquierda del mariscal de campo. Por lo tanto, la distancia en línea recta desde el mariscal de campo al receptor es

$$\text{Dist de QB al receptor} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25yd$$

Tenemos $\frac{25}{\|\bold{w}\|} = cos30^o$. Entonces la magnitud de $\bold{w}$ viene dada por

$$\|\bold{w}\| = \frac{25}{cos30^o} = \frac{25\cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{50}{\sqrt{3}}\;yd$$

y la distancia vertical desde el receptor hasta el punto terminal de w es

$$\text{Dist vert del receptor al punto terminal de } \bold{w} = \|\bold{w}\|sen30^o = \frac{50}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{2} = \frac{25}{\sqrt{3}}yd$$

Entonces $\bold{w} = \big\lang 20, 15, \frac{25}{\sqrt{3}}\big\rang$, y tiene la misma dirección que $\bold{v}$.

Sin embargo, recuerda que calculamos que la magnitud de $\bold{w}$ es $\|\bold{w}\| = \frac{50}{\sqrt{3}}$, y que $\bold{v}$ tiene una magnitud de 60 mph. Entonces, necesitamos multiplicar el vector $\bold{w}$ por una constante apropiada, k. Queremos encontrar un valor de k para que $\|k\bold{w}\| = 60\; mph$. Tenemos

$$\|k\bold{w}\| = k\|\bold{w}\| = k\frac{50}{\sqrt{3}}\;mph,$$

entonces necesitamos

$$\begin{aligned} k\frac{50}{\sqrt{3}} &= 60\\ k &= \frac{60\sqrt{3}}{50}\\ k &= \frac{6\sqrt{3}}{5} \end{aligned}$$

luego

$$\bold{v} = k\bold{w} = k\bigg\lang 20,15, \frac{25}{\sqrt{3}}\bigg\rang = \frac{6\sqrt{3}}{5}\bigg\lang 20, 15, \frac{25}{\sqrt{3}}\bigg\rang = \lang 24\sqrt{3}, 18\sqrt{3}, 30\rang.$$

Vuelve a verificar que $\|\bold{v}\|$ = 60. Tenemos

$$\|\bold{v}\| = \sqrt{(24\sqrt{3})^2 + (18\sqrt{3})^2 + 30^2} = \sqrt{1728 + 972 + 900} = \sqrt{3600} = 60\;mph$$

Entonces, hemos encontrado los componentes correctos para v.