# Solución

Apartado a

La recta $L_1$ tiene el vector de dirección $\bold{v}_1 = \lang 2,1,1\rang$; la recta $L_2$ tiene el vector de dirección $\bold{v}_2 = \lang1,3, −2\rang$. Debido a que los vectores direccionales no son vectores paralelos, las rectas se intersecan o se sesgan (oblicuan).

Para determinar si las rectas se cortan, vemos si hay un punto, $(x, y, z)$, que se encuentra en ambas rectas. Para encontrar este punto, usamos las ecuaciones paramétricas para crear un sistema de igualdades:

$$2s−1=t−3;s−1=3t+8;s−4=5−2t$$

Por la primera ecuación, $t = 2s + 2.$ Sustituyendo en la segunda ecuación se obtiene

$$\begin{aligned} s-1 &= 3(2s+2)+8\\ s-1 &= 6s +14\\ 5s &= -15\\ s &= -3 \end{aligned}$$

La sustitución en la tercera ecuación, sin embargo, produce una contradicción:

$$\begin{aligned} s-4 &= 5−2(2s+2)\\ s-4 &= 5-4s-4\\ 5s &= 5\\ s &= 1 \end{aligned}$$

No existe un punto único que satisfaga las ecuaciones paramétricas para $L_1$ y $L_2$ simultáneamente. Estas rectas no se cortan, por lo que son asimétricas (consulte la siguiente figura).

Apartdo b

La recta $L_1$ tiene el vector de dirección $\bold{v}_1 = \lang 1, −1,1\rang$ y pasa a través del origen, $(0,0,0)$. La recta $L_2$ tiene un vector de dirección diferente, $\bold{v}_2 = \lang 2,1,1\rang$, por lo que estas rectas no son paralelas o iguales. Supongamos que $r$ representa el parámetro para la recta $L_1$ y que $s$ representa el parámetro para $L_2$:

$$\begin{aligned} x &= r\\y &= -r\\z &= r\end{aligned}$$ | $$\begin{aligned} x &= 2s+3\\y &= s\\z &= s+2\end{aligned}$$

Resuelve el sistema de ecuaciones para encontrar $r = 1$ y $s = −1$. Si necesitamos encontrar el punto de intersección, podemos sustituir estos parámetros en las ecuaciones originales para obtener $(1, −1,1)$ (ver la siguiente figura).

Apartado c

Las rectas $L_1$ y $L_2$ tienen vectores direccionales equivalentes: $\bold{v}_1 = \lang 6, −2,3\rang$. Estas dos rectas son paralelas (ver la siguiente figura).