# Solución

Hay tres condiciones que deben cumplirse, según la definición de continuidad. En este ejemplo, $a = 5$ y $b = −3$.

1. $f (a, b)$ existe.

Esto es cierto porque el dominio de la función $f$ consiste en aquellos pares ordenados para los cuales el denominador es distinto de cero (es decir, $x + y + 1 \cancle{=} 0$). El punto $(5, −3)$ satisface esta condición. Además,

$$f(a,b)=f(5,−3)=\frac{3(5)+2(−3)}{5+(−3)+1}=\frac{15−6}{2+1}=3$$

2. $\lim\limits_{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)$ existe.

Esto también es cierto:

$$\begin{aligned} \lim\limits_{(x,y)\to (a,b)}f(x,y) &= \lim\limits_{(x,y)\to (5,-3)}\frac{3x + 2y}{x + y + 1}\\ &= \frac{\lim\limits_{(x,y)\to (5,-3)}(3x + 2y)}{\lim\limits_{(x,y)\to (5,-3)}(x + y + 1)}\\ &= \frac{15-6}{5-3+1}\\ &= 3 \end{aligned}$$

3. $\lim\limits_{(x,y)\to (a,b)}f(x,y) = f(a,b)$.

Esto es cierto porque acabamos de demostrar que ambos lados de esta ecuación son iguales a tres.