# Solución

Apartado a

La variable $\theta$ representa la medida del mismo ángulo en los sistemas de coordenadas cilíndricos y esféricos. Los puntos con coordenadas $(\rho, \frac{\pi}{3}, \phi)$ se encuentran en el plano que forma el ángulo $\theta=\frac{\pi}{3}$ con el eje $x$ positivo. Como $\rho\gt0$, la superficie descrita por la ecuación $\theta=\frac{\pi}{3}$ es el semiplano que se muestra en la figura 2.101.

Figura 2.101. La superficie descrita por la ecuación $\theta=\frac{\pi}{3}$ es un semiplano.

Apartado b

La ecuación $\phi = \frac{5\pi}{6}$ describe todos los puntos en el sistema de coordenadas esféricas que se encuentran en una línea desde el origen formando un ángulo que mide $\frac{5\pi}{6}$ rad con el eje $z$ positivo. Estos puntos forman un medio cono (Figura 2.102). Debido a que solo hay un valor para $\phi$ que se mide desde el eje $z$ positivo, no obtenemos el cono completo (con dos piezas)

Figura 2.102. La ecuación $\phi = \frac{5\pi}{6}$ describe un cono.

Para encontrar la ecuación en coordenadas rectangulares, use la ecuación $\phi = arccos (\frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}})$

$$\begin{aligned} \frac{5\pi}{6} &= arccos (\frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}})\\ cos \frac{5\pi}{6} &= \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} &= \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}\\ \frac{3}{4} &= \frac{z^2}{x^2 + y^2 + z^2}\\ \frac{3x^2}{4} + \frac{3y^2}{4} + \frac{3z^2}{4} &= z^2\\ \frac{3x^2}{4} + \frac{3y^2}{4} - \frac{z^2}{4} &= 0 \end{aligned}$$

Esta es la ecuación de un cono centrado en el eje $z$.

Apartado c

La ecuación $\rho = 6$ describe el conjunto de todos los puntos a $6$ unidades del origen: una esfera con radio $6$ (Figura 2.103).

Figura 2.103. La ecuación $\rho = 6$ describe una esfera con radio $6$.

Apartado d

Para identificar esta superficie, convierta la ecuación de coordenadas esféricas a rectangulares, utilizando las ecuaciones $y = \rho sen \phi sen\theta$ y $\rho ^2 = x^2 + y^2 + z^2$:

$$\begin{aligned} \rho &= sen \theta sen\phi\\ \rho^2 &= \rho sen \theta sen\phi\\ x^2+y^2+z^2 &= y\\ x^2+y^2−y+\frac{1}{4}+z^2 &= \frac{1}{4}\\ x^2 + (y-\frac{1}{2})^2+z^2 &= \frac{1}{4} \end{aligned}$$ | Multiplica ambos lados de la ecuación por $\rho$. Sustituye las variables rectangulares usando las ecuaciones anteriores. Sustracción de $y$ en ambos lados de la ecuación. Completa el cuadrado. Escribe los términos medios como un cuadrado perfecto.

La ecuación describe una esfera centrada en el punto $(0,\frac{1}{2},0)$ con radio $\frac{1}{2}$.