# Solución

Conversión a esféricas

Comienza convirtiendo de coordenadas rectangulares a esféricas:

$$\begin{aligned} \rho ^2 &= x^2 + y^2 +z^2 = (-1)^2 + 1^2 + (\sqrt{6})^2 = 8\\ \rho &= 2\sqrt{2} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} tan\theta &= \frac{1}{-1}\\ \theta &= arctan(-1) = \frac{3\pi}{4} \end{aligned}$$

Como $(x, y) = (- 1,1)$, la elección correcta para $\theta$ es $\frac{3\pi}{4}$.

En realidad, hay dos formas de identificar $\phi$. Podemos usar la ecuación $\phi = arccos \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$. Sin embargo, un enfoque más simple es usar la ecuación $z = \rho cos\phi$. Sabemos que $z = \sqrt{6}$ y $\rho =2\sqrt{2}$, entonces

$$\sqrt{6} = 2\sqrt{2}cos\phi, \text{entonces }\;\;cos\phi =\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

y por lo tanto $\phi = \frac{\pi}{6}$.

Las coordenadas esféricas del punto son $(2\sqrt{2}, \frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{6})$.

Conversión a cilíndricas

Para encontrar las coordenadas cilíndricas para el punto, solo necesitamos encontrar $r$:

$$r=\rho sen\phi = 2\sqrt{2}sen(\frac{\pi}{6})=\sqrt{2}.$$

Las coordenadas cilíndricas para el punto son $(\sqrt{2}, \frac{3\pi}{4},\sqrt{6})$.