# Solución

Apartado a

Como con cualquier gráfico, comenzamos con una tabla de valores. Luego graficamos cada uno de los vectores en la segunda columna de la tabla en la posición estándar y conectamos los puntos terminales de cada vector para formar una curva (Figura 3.2). Esta curva resulta ser una elipse centrada en el origen.

$$t$$ | $$\bold{r}(t)$$ | $$t$$ | $$\bold{r}(t)$$
$0$ | $4\bold{i}$ | $\pi$ | $-4\bold{i}$
$\frac{\pi}{4}$ | $2\sqrt{2}\bold{i}+\frac{3\sqrt{2}}{2}\bold{j}$ | $\frac{5\pi}{4}$ | $-2\sqrt{2}\bold{i}-\frac{3\sqrt{2}}{2}\bold{j}$
$\frac{\pi}{2}$ | $3\bold{j}$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $-3\bold{j}$
$\frac{3\pi}{4}$ | $-2\sqrt{2}\bold{i}+\frac{3\sqrt{2}}{2}\bold{j}$ | $\frac{7\pi}{4}$ | $2\sqrt{2}\bold{i}-\frac{3\sqrt{2}}{2}\bold{j}$
$2\pi$ | $4\bold{i}$ |  |

Tabla 3.1 Tabla de valores para $\bold{r}(t) = 4cost\bold{i} + 3sent\bold{j}, 0\le t\le 2\pi$

Figura 3.2 El gráfico de la primera función de valores vectoriales es una elipse.

Apartado b

La tabla para esta función es la siguiente

$$t$$ | $$\bold{r}(t)$$ | $$t$$ | $$\bold{r}(t)$$
$0$ | $4\bold{i}$ | $\pi$ | $-4\bold{i}$
$\frac{\pi}{4}$ | $2\sqrt{2}\bold{i}+\frac{3\sqrt{2}}{2}\bold{j}$ | $\frac{5\pi}{4}$ | $-2\sqrt{2}\bold{i}-\frac{3\sqrt{2}}{2}\bold{j}$
$\frac{\pi}{2}$ | $3\bold{j}$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $-3\bold{j}$
$\frac{4\pi}{4}$ | $-2\sqrt{2}\bold{i}+\frac{3\sqrt{2}}{2}\bold{j}$ | $\frac{7\pi}{4}$ | $2\sqrt{2}\bold{i}-\frac{3\sqrt{2}}{2}\bold{j}$
$2\pi$ | $4\bold{i}$ |  |

Tabla 3.2 Tabla de valores para $\bold{r}(t) = 4cost^3\bold{i} + 3sent^3\bold{j}, 0\le t\le 2\pi$

El gráfico de esta curva también es una elipse centrada en el origen.

Figura 3.3 El gráfico de la primera función de valores vectoriales es una elipse.

c. Pasamos por el mismo procedimiento para una función vectorial tridimensional.

$$t$$ | $$\bold{r}(t)$$ | $$t$$ | $$\bold{r}(t)$$
$0$ | $4\bold{i}$ | $\pi$ | $-4\bold{j}+\pi\bold{k}$
$\frac{\pi}{4}$ | $2\sqrt{2}\bold{i}+2\sqrt{2}\bold{j}+\frac{\pi}{4}\bold{k}$ | $\frac{5\pi}{4}$ | $-2\sqrt{2}\bold{i}-2\sqrt{2}\bold{j}+\frac{5\pi}{4}\bold{k}$
$\frac{\pi}{2}$ | $4\bold{j}+\frac{\pi}{2}\bold{k}$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $-4\bold{j}+\frac{3\pi}{2}\bold{k}$
$\frac{3\pi}{4}$ | $-2\sqrt{2}\bold{i}+2\sqrt{2}\bold{j}+\frac{3\pi}{4}\bold{k}$ | $\frac{7\pi}{4}$ | $2\sqrt{2}\bold{i}-2\sqrt{2}\bold{j}+\frac{7\pi}{4}\bold{k}$
$2\pi$ | $4\bold{i}+2\pi\bold{k}$ |  |

Tabla 3.3 Tabla de valores para $\bold{r}(t) = cost\bold{i} + sent\bold{j} + t\bold{k}, 0\le t\le 4\pi$

Los valores luego se repiten, excepto por el hecho de que el coeficiente de $\bold{k}$ siempre aumenta (Figura 3.4). Esta curva se llama hélice. Observa que si se elimina el componente $\bold{k}$, la función se convierte en $\bold{r}(t) = cost\bold{i} + sent\bold{j}$, que es un círculo unitario centrado en el origen.

Figura 3.4 El gráfico de la tercera función de valor vectorial es una hélice.