# Solución

Apartado a

Los términos $x, y$ y $z$ son todos al cuadrado, y todos son positivos, por lo que este es probablemente un elipsoide. Sin embargo, vamos a poner la ecuación en la forma estándar para un elipsoide solo para estar seguros. Tenemos

$$16x^2 + 9y^2 + 16z^2 = 144$$

Dividiendo por 144 da

$$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} + \frac{z^2}{9} = 1$$

Entonces, esto es, de hecho, un elipsoide, centrado en el origen.

Apartado b

Primero notamos que el término $z$ se eleva solo a la primera potencia, por lo que este es un paraboloide elíptico o un paraboloide hiperbólico. También notamos que los términos $x$ e $y$ no son cuadrados, por lo que esta superficie cuadrática no está centrada en el origen. Necesitamos completar el cuadrado para poner esta ecuación en una de las formas estándar. Tenemos

$$\begin{aligned} 9x^2−18x+4y^2+16y−36z+25 &= 0\\ 9x^2−18x+4y^2+16y+25 &= 36z\\ 9(x^2−2x)+4(y^2+4y)+25 &= 36z\\ 9(x^2-2x+1-1)+4(y^2+4y+4-4)+25 &= 36z\\ 9(x-1)^2-9+4(y+2)^2-16+25 &= 36z\\ 9(x-1)^2+4(y+2)^2 &= 36z\\ \frac{(x-1)^2}{4}+\frac{(y+2)^2}{9} &= z \end{aligned}$$

Este es un paraboloide elíptico centrado en $(1,2,0)$.