# Solución

El siguiente gráfico representa un mapa de contorno para la función $g (x, y) = \sqrt{9 − x^2 − y^2 }$

Figura 4.22 Mapa de contorno para la función $g (x, y) = \sqrt{9 − x^2 − y^2 }$, usando $c = 0,1,2$ y $3$ ($c = 3$ corresponde al origen).

El círculo interno en el mapa de contorno corresponde a $c = 2$ y el siguiente círculo corresponde a $c = 1$.

El primer círculo viene dado por la ecuación $2 = \sqrt{9 − x^2 − y^2 }$; el segundo círculo viene dado por la ecuación $1 = \sqrt{9 − x^2 − y^2 }$. La primera ecuación se simplifica a $x^2 + y^2 = 5$ y la segunda ecuación se simplifica a $x^2 + y^2 = 8$.

La intersección $x$ del primer círculo es $(\sqrt{5}, 0)$ y la intersección $x$ del segundo círculo es $(2\sqrt{2}, 0)$. Podemos estimar el valor de $\partial g / \partial x$ evaluado en el punto $(\sqrt{5}, 0)$ usando la fórmula de la pendiente:

$$\partial g / \partial x \Bigg|_{(x,y)=(\sqrt{5},0)} \approx \frac{g(\sqrt{5},0)−g(2\sqrt{2},0)}{\sqrt{5}-2\sqrt{2}}= \frac{2-1}{\sqrt{5}-2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{5}-2\sqrt{2}} \approx -1.688$$

Para calcular el valor exacto de $\partial g /\partial x$ evaluado en el punto $(\sqrt{5}, 0)$, comenzamos por encontrar $\partial g /\partial x$ usando la regla de la cadena. Primero, reescribimos la función como $g (x, y) = \sqrt{9 − x^2 − y^2} = (9 − x^2 − y^2)^{1/2}$ y luego diferenciamos con respecto a $x$ haciendo $y$ constante:

$$\partial g /\partial x = \frac{1}{2}\bigg(9 − x^2 − y^2\bigg)^{-1/2}(-2x) = -\frac{x}{\sqrt{9 − x^2 − y^2 }}$$

A continuación, evaluamos esta expresión usando $x = \sqrt{5}$ e $y = 0$:

$$\partial g / \partial x \Bigg|_{(x,y)=(\sqrt{5},0)} =-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9-(\sqrt{5})^2-(0)^2}} = -\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4}} = -\frac{\sqrt{5}}{2} \approx -1.118$$

La estimación de la derivada parcial corresponde a la pendiente de la línea secante que pasa por los puntos $(\sqrt{5}, 0, g (\sqrt{5}, 0))$ y $(2\sqrt{2}, 0, g (2\sqrt{2}, 0) )$. Representa una aproximación a la pendiente de la línea tangente a la superficie a través del punto $(\sqrt{5}, 0, g (\sqrt{5}, 0))$, que es paralelo al eje $x$.