# Solución

Supongamos que $\bold{p}$ representa la proyección de $\bold{v}$ sobre $\bold{u}$:

$$\begin{aligned} \bold{p} &= proy_\bold{u}\bold{v}\\ &= \frac{\bold{u}\cdot\bold{v}}{\|\bold{u}\|^2}\bold{u}\\ &= \frac{\lang 2,3,2\rang\cdot\lang 8,−3,−3\rang}{\|\lang 2,3,2\rang\|^2}\lang 2,3,2\rang\\ &= \frac{16-9-6}{2^2+3^2+2^2}\lang 2,3,2\rang\\ &= \frac{1}{17}\lang 2,3,2\rang\\ &=\bigg\lang \frac{2}{17}, \frac{3}{17}, \frac{2}{17}\bigg\rang \end{aligned}$$

luego

$$\bold{q} = \bold{v} - \bold{p} = \lang 8,-3,-3\rang - \bigg\lang \frac{2}{17}, \frac{3}{17}, \frac{2}{17}\bigg\rang = \bigg\lang \frac{134}{17}, -\frac{54}{17}, -\frac{53}{17}\bigg\rang$$

Para verificar nuestro trabajo, podemos usar el producto punto para verificar que $\bold{p}$ y $\bold{q}$ son vectores ortogonales:

$$\bold{p}\cdot\bold{q} = \bigg\lang \frac{2}{17}, \frac{3}{17}, \frac{2}{17}\bigg\rang\cdot\bigg\lang \frac{134}{17}, -\frac{54}{17}, -\frac{53}{17}\bigg\rang = \frac{268}{17} - \frac{162}{17} - \frac{106}{17} = 0$$

entonces

$$\bold{v} = \bold{p} + \bold{q} = \bigg\lang \frac{2}{17}, \frac{3}{17}, \frac{2}{17}\bigg\rang + \bigg\lang \frac{134}{17}, -\frac{54}{17}, -\frac{53}{17}\bigg\rang$$