# Solución

Usamos la ecuación

$$\bold{s}(t) = \bold{v_0}tcos\theta\bold{i}+(\bold{v_0}tsen\theta−\frac{1}{2}gt^2)\bold{j}$$

con $\theta = 30^o, g = 32 pies/seg^2$, y $\bold{v_0} = 600 pies/seg$. Entonces la ecuación de posición se convierte en

$$\begin{aligned} \bold{s}(t) &= 600t(cos30)\bold{i}+(600tsen30−\frac{1}{2}(32)t^2)\bold{j}\\ &= 300t\sqrt{3}\bold{i}+(300t−16t^2)\bold{j} \end{aligned}$$

Apartado a

La bala de cañón alcanza su altura máxima cuando el componente vertical de su velocidad es cero, porque la bala de cañón no sube ni baja en ese punto. El vector de velocidad es

$$\begin{aligned} \bold{v}(t) &= \bold{s^{\prime}}(t)\\ &= 300\sqrt{3}\bold{i}+(300−32t)\bold{j} \end{aligned}$$

Por lo tanto, la componente vertical de la velocidad viene dada por la expresión $300−32t$. Establecer esta expresión igual a cero y resolver para $t$ da $t = 9.375$ segundos. La altura de la bala de cañón en este momento viene dada por el componente vertical del vector de posición, evaluado en $t = 9.375$.

$$\begin{aligned} \bold{s}(9.375) &= 300(9.375)\sqrt{3}\bold{i}+(300(9.375)−16(9.375)^2)\bold{j}\\ &= 4871.39\bold{i}+1406.25\bold{j} \end{aligned}$$

Por lo tanto, la altura máxima de la bala de cañón es $1406.39$ pies sobre el cañón, o $1506.39$ pies sobre el nivel del mar.

Apartado b

Cuando la bala de cañón cae en el agua, está a $100$ pies debajo del cañón. Por lo tanto, la componente vertical del vector de posición es igual a $−100$. Al establecer la componente vertical de $\bold{s}(t)$ igual a $−100$ y resolver, obtenemos

$$\begin{aligned} 300t-16t^2 &= -100\\ 16t^2-300t-100 &= 0\\ 4t^2-75t-25 &= 0\\ t &= \frac{75\pm \sqrt{(-75)^2-4(4)(-25)}}{2(4)}\\ &= \frac{75\pm 5\sqrt{241}}{8} \end{aligned}$$

El valor positivo de $t$ que resuelve esta ecuación es aproximadamente $19.08$. Por lo tanto, la bala de cañón golpea el agua después de aproximadamente $19.08$ segundos.

Apartado c

Para encontrar la distancia al mar, simplemente sustituimos la respuesta de la parte (b) en $\bold{s}(t)$:

$$\begin{aligned} \bold{s}(19.08) &= 300(19.08)\sqrt{3}\bold{i}+\big(300(19.08)−16(19.08)\big)^2\bold{j}\\ &= 9914.26\bold{i}-100.7424\bold{j} \end{aligned}$$

Por lo tanto, la pelota golpea el agua aproximadamente a $9914.26$ pies de la base del acantilado. Observa que la componente vertical del vector de posición está muy cerca de $−100$, lo que nos dice que la pelota acaba de golpear el agua. Ten en cuenta que $9914.26$ pies no es el alcance real del cañón ya que la bala de cañón aterriza en el océano en una ubicación debajo del cañón. El alcance del cañón se determinaría al encontrar qué tan lejos está la bala de cañón cuando su altura es de $100 pies$ sobre el agua (lo mismo que la altitud del cañón).