# Solución

Supongamos que el punto $(r, θ)$ está en la gráfica de $r = 3sen(2θ)$.

Apartado i

Para probar la simetría sobre el eje polar, primero intenta reemplazar $θ$ con $−θ$. Esto da $r = 3sen(2(−θ)) = - 3sen(2θ)$. Como esto cambia la ecuación original, esta prueba no se cumple. Sin embargo, volviendo a la ecuación original y reemplazando $r$ con $−r$ y $theta;$ con $π − θ$ produce

$$\begin{aligned} -r &= 3sen(2(π−θ))\\ -r &= 3sen(2π−2θ)\\ -r &= 3sen(-2θ)\\ -r &= -3sen(2θ) \end{aligned}$$

Multiplicar ambos lados de esta ecuación por $−1$ da $r = 3sen2θ$, que es la ecuación original. Esto demuestra que el gráfico es simétrico con respecto al eje polar.

Apartado ii

Para probar la simetría con respecto al polo, primero reemplaza $r$ con $−r$, que produce $−r = 3sen(2θ)$. Multiplicar ambos lados por $−1$ da $r = −3sen(2θ)$, que no concuerda con la ecuación original. Por lo tanto, la ecuación no pasa la prueba de esta simetría. Sin embargo, regresar a la ecuación original y reemplazar $θ$ con $θ + π$ da

$$\begin{aligned} r &= 3sen(2(θ+π))\\ &= 3sen(2θ+2π)\\ &= 3(sen2θcos2π+cos2θsen2π)\\ &= 3sen(2θ) \end{aligned}$$

Como esto concuerda con la ecuación original, el gráfico es simétrico respecto al polo.

Apartado iii

Para probar la simetría con respecto a la línea vertical $θ = \frac{π}{2}$, primero reemplaza ambos $r$ con $−r$ y $θ$ con $−θ$.

$$\begin{aligned} -r &= 3sen(2(-θ))\\ -r &= 3sen(-2θ)\\ -r &= -3sen2θ \end{aligned}$$

Multiplicar ambos lados de esta ecuación por $−1$ da $r = 3sen2θ$, que es la ecuación original. Por lo tanto, el gráfico es simétrico respecto a la línea vertical $θ = \frac{π}{2}$.

Este gráfico tiene simetría con respecto al eje polar, el origen y la línea vertical que atraviesa el polo. Para representar gráficamente la función, tabula los valores de $θ$ entre $0$ y $\frac{π}{2}$ y luego refleja el gráfico resultante.

$θ$ | $r$
$0$ | $0$
$\frac{π}{6}$ | $\frac{3\sqrt{3}}{2}\approx2.6$
$\frac{π}{4}$ | $3$
$\frac{π}{3}$ | $\frac{3\sqrt{3}}{2}\approx2.6$
$\frac{π}{2}$ | $0$

Esto da un pétalo de la rosa, como se muestra en el siguiente gráfico.

Figura 1.27 La gráfica de la ecuación entre $θ = 0$ y $θ = \frac{π}{2}$.

Al reflejar esta imagen en los otros tres cuadrantes se obtiene el gráfico completo como se muestra.

Figura 1.28 La gráfica completa de la ecuación se llama una rosa de cuatro pétalos.