# Solución

Para encontrar la curva de nivel para $c = 0$, establecemos $f (x, y) = 0$ y resolvemos. Esto da

$$0 = \sqrt{8 + 8x − 4y − 4x^2 − y^2}$$

Elevando al cuadrado y multiplicando por $-1$

$$4x^2+y^2−8x+4y−8=0$$

Ahora, reorganizamos los términos, juntamos los términos $x$ e $y$, y sumamos $8$ a cada lado:

$$4x^2−8x+y^2+4y=8.$$

A continuación, agrupamos los pares de términos que contienen la misma variable entre paréntesis y factorizamos:

$$4\big(x^2−2x\big)+\big(y^2+4y\big) = 8$$

Luego completamos el cuadrado en cada par de paréntesis y agregamos el valor correcto al lado derecho:

$$4\big(x^2−2x+1\big)+\big(y^2+4y+4\big)=8+4(1)+4.$$

A continuación, factorizamos el lado izquierdo y simplificamos el lado derecho:

$$4(x−1)^2+(y+2)^2=16.$$

Dividimos ambos lados por $16$

$$\frac{(x-1)^2}{4}+ \frac{(y+2)^2}{16} = 1\tag{$4.1$}$$

Esta ecuación describe una elipse centrada en $(1, −2)$. El gráfico de esta elipse aparece a continuación

Figura 4.9 Curva de nivel de la función $f (x, y) = \sqrt{8 + 8x − 4y − 4x^2 − y^2}$ correspondiente a $c = 0$.

Podemos repetir la misma deducción para valores de $c$ menores que $4$. Entonces, la ecuación 4.1 se convierte en

$$\frac{4(x-1)^2}{16-c^2}+ \frac{(y+2)^2}{16-c^2} = 1$$

para un valor arbitrario de $c$. La figura 4.10 muestra un mapa de contorno para $f (x, y)$ utilizando los valores $c = 0,1,2$ y $3$. Cuando $c = 4$, la curva de nivel es el punto $(−1,2)$.

Figura 4.10 Mapa de contorno para la función $f (x, y) = \sqrt{8 + 8x − 4y − 4x^2 − y^2}$ utilizando los valores $c = 0,1,2 , 3$ y $4$.