# Solución

Apartado a

Utilizamos las ecuaciones 3.20, 3.21 y 3.22:

$$\begin{aligned} \bold{v}(t) &= \bold{r^{\prime}}(t) = 2t\bold{i}-\frac{t}{\sqrt{5-t^2}}\bold{j}\\ \bold{a}(t) &= \bold{v^{\prime}}(t) = 2\bold{i}-5(5-t^2)^{3/2}\bold{j}\\ v(t) &= \|\bold{r^{\prime}}(t)\|\\ &= \sqrt{(2t)^2+\bigg(-\frac{t}{\sqrt{5-t^2}}\bigg)^2} \\ &= \sqrt{4t^2+\frac{t^2}{5-t^2}}\\ &= \sqrt{\frac{21t^2-4t^4}{5-t^2}} \end{aligned}$$

Apartado b

La gráfica de $\bold{r}(t) = t^2\bold{i} + \sqrt{5 − t^2}\bold{j}$ es una porción de una parábola (Figura 3.11). El vector de velocidad en $t = 1 es$

$$\bold{v}(1)=\bold{r^{\prime}}(1)= 2(1)\bold{i}−\frac{1}{\sqrt{5-1^2}}\bold{j} = 2\bold{i}-\frac{1}{2}\bold{j}$$

y el vector de aceleración en $t = 1$ es $$\bold{a}(1) = \bold{v^{\prime}}(1) = 2\bold{i}−5(5-1^2)^{3/2}\bold{j} = 2\bold{i}-\frac{5}{8}\bold{j}$$

Observa que el vector de velocidad es tangente a la ruta, como siempre es el caso.

Figura 3.11. Este gráfico representa el vector de velocidad en el tiempo $t = 1$ para una partícula que se mueve en una trayectoria parabólica.