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	<title>Libro digital interactivo</title>

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  <!-- Opcional en caso de requerir formulas químicas -->
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<h1>Encontrando la derivada de una curva paramétrica</h1>
<p class="apar">Apartado a</p>
<p>Para aplicar la ecuación, primero calcula $x'(t)$ e $y'(t)$:</p>
$$x'(t) = 2t, \;\;\;\;y'(t) = 2$$

$${{dy} \over {dx}} = {{dy/dt} \over {dx/dt}} = {{y'\left( t \right)} \over {x'\left( t \right)}}{\rm{ }} \Rightarrow {{dy} \over {dx}} = {2 \over {2t}} \Rightarrow {{dy} \over {dx}} = {1 \over t}$$
</p><p class="imagen"><img src="img/img8.png" />
<p align="center"><b>Figura. </b>Gráfico de la curva descrita por ecuaciones paramétricas en la parte a.</p>

<p class="apar">Apartado b</p>
<p>Para aplicar la ecuación, primero calcula $x'(t)$ e $y'(t)$:</p>
<p>
$$x'(t) = 2 \;\;\;\;y'\left( t \right) = 3{t^2} - 3$$</p>
<p>Luego sustituye en la ecuación:</p>
$$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy/dt}}{{dx/dt}} = \frac{{y'\left( t \right)}}{{x'\left( t \right)}}{\text{ }} \Rightarrow \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{3{t^2} - 3}}{2}$$</p>
<p>Esta derivada es cero cuando $t = ± 1$. </p>
<p>Cuando $t = −1$ tenemos
$$x(−1) = 2\cdot(−1) + 1 = −1 $$
$$y\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^3} - 3 \cdot \left( { - 1} \right) + 4 =  - 1 + 3 + 4 = 6$$,
</p><p>
que corresponde al punto $(−1, 6)$ en la gráfica. </p>
<p>Cuando $t = 1$ tenemos
</p>
$$x( 1) = 2 \cdot  1 + 1 =  3$$
$$y\left( 1 \right) = {1^3} - 3 \cdot 1 + 4 = 1 - 3 + 4 = 2$$
<p>que corresponde al punto $(3, 2)$ en la gráfica. El punto $(3, 2)$ es un mínimo relativo y el punto $(−1, 6)$ es un máximo relativo, como se ve en el siguiente gráfico.<br>
</p><p class="imagen">
<img src="img/img9.png" />
</p>
<p align="center"><b>Figura. </b>Gráfico de la curva descrita por ecuaciones paramétricas en la parte b.</p>

<p class="apar">Apartado c</p>
<p>Para aplicar la ecuación, primero calcula $x'(t)$ e $y'(t)$:</p>
</p><p>
$$x'(t) = - 5sent \;\;\;\;y'(t) = 5cost$$</p>
<p>Luego sustituye en la ecuación:</p>
$$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy/dt}}{{dx/dt}} = \frac{{y'\left( t \right)}}{{x'\left( t \right)}}{\text{ }} \Rightarrow \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{5\cos t}}{{ - 5sent}} =  - \cot \,t$$
<p>Esta derivada es cero cuando $cost = 0$ y no está definida cuando $sent = 0$. Esto da $t = 0$, $\pi/2$, $\pi$, $3\pi/2$ y $2\pi$ como puntos críticos para $t$. Sustituyendo cada uno de ellos en $x(t)$ e $y(t)$, obtenemos<br>
</p><p>
<p class="imagen"><img src="img/tabla4.png" width="500px"/></p>
</p><p>
Estos puntos corresponden a los lados, arriba y abajo del círculo que se representa mediante las ecuaciones paramétricas (ver la siguiente figura). En los bordes izquierdo y derecho del círculo, la derivada no está definida, y en la parte superior e inferior, la derivada es igual a cero.<br><br>
</p><p class="imagen"><img src="img/img10.png" /></p>
<p align="center"><b>Figura. </b>Gráfico de la curva descrita por ecuaciones paramétricas en la parte c.



</p>


</body>

</html>




