# Solución

Apartado a

Esta función describe una hélice.

La curvatura de la hélice en $t = (4\pi)/3$ se puede encontrar usando la ecuación 3.15. Primero, calcula $\bold{T}(t)$:

$$\begin{aligned} \bold{T}(t) &= \frac{\bold{r'}(t)}{\|\bold{r'}(t)\|}\\ &= \frac{\lang −4sent,4cost,3\rang}{\sqrt{(−4sent)^2+(4cost)^2+3^2}}\\ &= \bigg \lang −\frac{4}{5}sent,\frac{4}{5}cost,\frac{3}{5}\bigg\rang \end{aligned}$$

A continuación, calcula $\bold{T'}(t)$:

$$\bold{T'}(t) = \bigg \lang −\frac{4}{5}cost,−\frac{4}{5}sent,0\bigg\rang$$

Por último, aplica la ecuación 3.15:

$$\begin{aligned} \kappa &= \frac{|\bold{T'}(t)\|}{|\bold{r'}(t)\|} = \frac{\big\|\big \lang −\frac{4}{5}cost, −\frac{4}{5}sent,0\big\rang \big\|}{\|\lang −4sent,4cost,3\rang \|}\\ &= \frac{\sqrt{\big(−\frac{4}{5}cost\big)^2 + \big(−\frac{4}{5}sent\big)^2+0^2}}{\sqrt{−4sent)^2+(4cost)^2+3^2}}\\ &= \frac{4/5}{5} = \frac{4}{25} \end{aligned}$$

La curvatura de esta hélice es constante en todos los puntos de la hélice.

Apartado b

Esta función describe un semicírculo.

Para encontrar la curvatura de este gráfico, debemos usar la ecuación 3.16. Primero, calculamos $y'$ e $y''$:

$$\begin{aligned} y &= \sqrt{4x-x^2}=(4x−x^2)^{1/2}\\ y' &= \frac{1}{2}(4x−x^2)^{−1/2}(4−2x)=(2−x)(4x−x^2)^{−1/2}\\ y'' &= −(4x−x^2)^{−1/2}+(2−x)\big(−\frac{1}{2}\big)(4x−x^2)^{−3/2}(4−2x)\\ &= -\frac{4x-x^2}{(4x-x^2)^{3/2}}-\frac{(2-x)^2}{(4x-x^2)^{3/2}}\\ &= \frac{x^2-4x-(4-4x+x^2)}{(4x-x^2)^{3/2}}\\ &= -\frac{4}{(4x-x^2)^{3/2}} \end{aligned}$$

Luego, aplicamos la Ecuación 3.17:

$$\begin{aligned} \kappa &= \frac{|y''|}{[1+(y')^2]^{3/2}}\\ &= \frac{\bigg| -\frac{4}{(4x-x^2)^{3/2}}\bigg|}{\big[1+\big((2-x)\big(4x-x^2\big)^{-1/2}\big)^2\big]^{3/2}} = \frac{\bigg|\frac{4}{(4x-x^2)^{3/2}}\bigg|}{\bigg[1+\frac{(2-x)^2}{4x-x^2} \bigg]^{3/2}}\\ &= \frac{\bigg| \frac{4}{(4x-x^2)^{3/2}}\bigg|}{{\bigg[\frac{4x-x^2+x^2-4x+4}{4x-x^2}\bigg]^{3/2}}} = \bigg|\frac{4}{(4x-x^2)^{3/2}}\bigg| \cdot \frac{(4x-x^2)^{3/2}}{8}\\ &= \frac{1}{2} \end{aligned}$$

La curvatura de este círculo es igual al recíproco de su radio. Hay un problema menor con el valor absoluto en la ecuación 3.16; sin embargo, una mirada más cercana al cálculo revela que el denominador es positivo para cualquier valor de $x$.