# Solución

Usa las ecuaciones del Teorema 2.16 para convertir entre coordenadas esféricas y cilíndricas (Figura 2.100):

$$\begin{aligned} x &= \rho sen\phi cos\theta =8sen(\frac{\pi}{6})cos(\frac{\pi}{3})=8(\frac{1}{2})\frac{1}{2}=2\\ y &= \rho sen\phi sen\theta = 8sen(\frac{\pi}{6})sen(\frac{\pi}{3})=8(\frac{1}{2})\frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\\ z &= \rho cos\phi = 8cos(\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \end{aligned}$$

Figura 2.100. La proyección del punto en el plano $xy$ es de $4$ unidades desde el origen. La línea desde el origen hasta la proyección del punto forma un ángulo de $\frac{\pi}{3}$ con el eje $x$ positivo. El punto se encuentra a $4\sqrt{3}$ unidades sobre el plano $xy$.

El punto con coordenadas esféricas $(8, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6})$ tiene coordenadas rectangulares $(2,2\sqrt{3}, 4\sqrt{3})$.

Encontrar los valores en coordenadas cilíndricas es igualmente sencillo:

$$\begin{aligned} r &= \rho sen\phi = 8sen\frac{\pi}{6} = 4\\ \theta &= \theta\\ z &= \rho cos\phi = 8cos\frac{\pi}{6} = 4\sqrt{3} \end{aligned}$$

Por lo tanto, las coordenadas cilíndricas para el punto son $(4, \frac{\pi}{3},4\sqrt{3})$.