# Eliminando el parámetro

Apartado a.

Para eliminar el parámetro, podemos resolver cualquiera de las ecuaciones para $t$. Por ejemplo, resolviendo la primera ecuación para $t$, obtenemos

$$x = \sqrt {2t + 4} \Rightarrow {x^2} = 2t + 4 \Rightarrow {x^2} - 4 = 2t \Rightarrow $$ $$t = \frac{{{x^2} - 4}}{2}$$

Observa que cuando cuadramos ambos lados, es importante observar que x ≥ 0. Sustituyendo $t = \frac{{{x^2} - 4}}{2}$ en $y(t)$ se obtiene:

\[y\left( t \right) = 2t + 1 \Rightarrow y = 2\left( {\frac{{{x^2} - 4}}{2}} \right) + 1 \Rightarrow \] \[y = {x^2} - 4 + 1 \Rightarrow y = {x^2} - 2\]

Esta es la ecuación de una parábola que se abre hacia arriba. Sin embargo, existe una restricción de dominio debido a los límites en el parámetro $t$. Cuando t = −2, $x = \sqrt {2\left( { - 2} \right) + 4} = 0$, y cuando t = 6, $x = \sqrt {2\left( 6 \right) + 4} = 4$. La gráfica de esta curva plana es la siguiente.

Apartado b.

A veces es necesario ser un poco creativo para eliminar el parámetro. Las ecuaciones paramétricas para este ejemplo son $x(t) = 4 cost$ e $y(t) = 3sent$.

Resolver cualquiera de las ecuaciones para t directamente no es recomendable porque el seno y el coseno no son funciones uno a uno. Sin embargo, dividir la primera ecuación entre 4 y la segunda ecuación entre 3 (y suprimir la t) nos permite obtener:

\[\cos t = \frac{x}{4}\,\,\,\,,\,\,\,\,sent = \frac{y}{3}\]

Ahora usa la identidad de Pitágoras cos2t + sen2t = 1 y reemplaza las expresiones para sent y cost con las expresiones equivalentes en términos de $x$ e $y$. Esto da

\[{\left( {\frac{x}{4}} \right)^2} + {\left( {\frac{y}{3}} \right)^2} = 1\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\]

Esta es la ecuación de una elipse horizontal centrada en el origen, con el eje semimayor 4 y el eje semimenor 3 como se muestra en el siguiente gráfico.

A medida que $t$ avanza de 0 a $2\pi$, un punto en la curva atraviesa la elipse una vez, en sentido contrario a las agujas del reloj. Recordemos que la órbita de la Tierra alrededor del Sol también es elíptica. Este es un ejemplo perfecto del uso de curvas parametrizadas para modelar un fenómeno del mundo real.