# Solución

Esta función es una función polinómica en dos variables. El dominio de $f$ consiste en pares de coordenadas $(x, y)$ que producen un beneficio no negativo:

$$16− (x − 3)^2− (y − 2)^2 \ge 0\\ (x − 3)^2+ (y − 2)^2 \le 16$$

Este es un disco de radio $4$ centrado en $(3,2)$. Otra restricción es que ambos $x$ e $y$ no deben ser negativos. Cuando $x = 3$ e $y = 2, f (x, y) = 16$. Ten en cuenta que es posible que cualquiera de los valores sea no entero. Por ejemplo, es posible vender $2.5$ mil tuercas en un mes. El dominio, por lo tanto, contiene miles de puntos, por lo que podemos considerar todos los puntos dentro del disco. Para cualquier $z \lt 16$, podemos resolver la ecuación $f (x, y) = 16$:

$$\begin{aligned} 16− (x − 3)^2− (y − 2)^2 &= z\\ (x − 3)^2+ (y − 2)^2 &= 16-z \end{aligned}$$

Como $z \lt 16$, sabemos que $16 − z\gt 0$, por lo que la ecuación anterior describe un círculo con radio $\sqrt{16 − z}$ centrado en el punto $(3,2)$. Por lo tanto. el rango de $f (x, y)$ es $\{z\isin \Reals | z\le 16\}$. La gráfica de $f (x, y)$ también es un paraboloide, y este paraboloide apunta hacia abajo como se muestra a continuación.

Figura 4.6 El gráfico de la función dada de dos variables también es un paraboloide.