Según cuál sea la que no se cumpla de las tres condiciones para que una función sea continua en un punto, nos encontramos con distintos tipos de discontinuidad. Vamos a distinguir:

1. Discontinuidad evitable: Existe $\lim\limits_{x \to {a}}{f(x)}$ pero no coincide con $f(a)$ o bien $f(a)$ no existe.

La discontinuidad se podría "evitar" redefiniendo la función y dando a $f(a)$ el valor del límite, de ahí el nombre.

2. Discontinuidad de primera especie. A su vez puede ser:

a) De salto finito si existen los límites laterales y son finitos pero no coinciden

b) De salto infinito si uno o los dos límites laterales son $\infty$.

3. Discontinuidad de segunda especie: Si la función no existe a la izquierda o a la derecha del punto $a$, o no existen alguno, o ambos, de los límites laterales de la función en ese punto.