2.5.1. Resultados algebraicos

1. Una función racional real es un cociente de polinomios con coeficientes reales $$\frac{P(x)}{Q(x)}= \frac{p_m x^m+p_{m-1} x^{m-1}+ \cdots +p_1+p_0}{a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+ \cdots +a_1+a_0}$$ Diremos que es propia si el $grado \space P(x) \lt grado \space Q(x)$ y en caso contrario se dice impropia.
2. Toda función racional impropia puede escribirse como un polinomio más una función racional propia, pues basta abordar la división polinomial. $$\frac{P(x)}{Q(x)}=C(x)+\frac{R(x)}{Q(x)}, \qquad grado \space R(x) \lt grado \space Q(x)$$
3. Con base el Teorema Fundamental del Álgebra, demostrado por Gauss, todo polinomio de grado $n$ con coeficientes reales puede descomponerse en el producto de un polinomio cero, polinomios de grado uno de la forma $x-r$ y polinomios de grado dos $x^2+b x+c$ que son irreducibles en $ \mathbb{R} $ (se corresponde con una pareja de raíces complejas conjugadas): $$ Q(x)=a (x-r_1)^{\alpha_1} (x-r_2)^{\alpha_2} \cdots (x-r_k)^{\alpha_k} (x^2+b_1 x+c_1)^{\beta_1} \cdots (x^2+b_m x+c_m)^{\beta_m} $$ con $\alpha_1 +\alpha_2+ \cdots + \alpha_k + 2 \beta_1 + \cdots + 2 \beta_m = grado \space Q(x) $.
4. Toda función racional propia con coeficientes reales puede descomponerse en sumas de fracciones algebraicas de la forma $$\frac{A}{(x-r)^\alpha} \quad \textrm{y} \quad \frac{M x+N}{(x^2+b x+ c)^\beta} \quad \textrm{con} \quad A, M, N \in \mathbb{R} \quad \textrm{y} \quad \alpha, \beta \in \mathbb{N} $$ a las que se denominan fracciones simples. La descomposición se concreta en: