En este apartado aplicaremos las propiedades de las funciones vistas anteriormente para estudiar y representar gráficamente las funciones elementales. Aunque en ocasiones no tiene que ser exhaustivo, el esquema que seguiremos en este estudio es el siguiente:

1. Dominio y continuidad

Determinamos el conjunto de números reales para los que existe $f(x)$ y aquellos en los que es continua.

2. Periodicidad

Una función $f$ se dice que es periódica de periodo T, si $f(x)=f(x+T)$ $\forall x \in Dom(f)$.

3. Simetrías

Interesa estudiar si la función presenta simetrías de cara a simplificar el proceso de representación gráfica. Estudiaremos dos tipos de simetrías:

- Símetría respecto al eje OY: Una función es simétrica respecto al eje de ordenadas cuando $f(x)=f(-x)$ $\forall x \in Dom(f)$. En este caso se dice que $f$ es una función par.
- Símetría respecto al origen: Una función es simétrica respecto al origen de coordenadas cuando $f(x)=-f(-x)$ $\forall x \in Dom(f)$. En este caso se dice que $f$ es impar.

4. Cortes con los ejes

- Cortes con el eje OX: Son las soluciones de la ecuación $f(x)=0$.
- Cortes con el eje OY: Se calcula $f(0)$. A lo sumo hay un corte con el eje de ordenadas.

Puede interesar también estudiar el signo de $f$, lo que se hace a partir de los cortes con el eje OX y los puntos de discontinuidad.

5. Asíntotas

- Asíntotas verticales: Son las rectas $x=a$ tales que $\lim\limits_{x \to a^{+}}{f(x)} = \pm \infty$ o $\lim\limits_{x \to a^{-}}{f(x)} = \pm \infty$.

Se miran en los puntos de discontinuidad.

- Asíntotas horizontales: Son las rectas $y=b$ tales que $\lim\limits_{x \to \pm \infty}{f(x)} = b$.

A lo sumo hay una asíntota horizontal cuando $x \to {+\infty}$ y otra cuando $x \to {-\infty}$.