### Ejemplo 1

Existen diferentes bases para un mismo espacio vectorial. Consideremos en \({\mathbb{R}^2}\) el conjunto:
\[B = \left\{ {\left( {1,0} \right),\left( {1,1} \right)} \right\}\]

Es fácil ver que \(B\) es linealmente independiente (sólo la combinación lineal trivial produce el vector nulo). Nos falta probar que genera \({\mathbb{R}^2}\).

\[\left( {x,y} \right) = \alpha \left( {1,0} \right) + \beta \left( {1,1} \right)\]

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha + \beta = x}\\{\beta = y}\end{array}} \right. \Rightarrow \alpha = x – y\;\; \wedge \;\;\beta = y\]

Para cualquier \(\left( {x,y} \right)\) en \({\mathbb{R}^2}\) es posible encontrar los escalares \(\alpha \) y \(\beta \). Probamos que \(B\) genera \({\mathbb{R}^2}\).

Entonces \(B = \left\{ {\left( {1,0} \right),\left( {1,1} \right)} \right\}\) es una base de \({\mathbb{R}^2}\).

### Ejemplo 2

Hemos visto en ejemplos anteriores que el conjunto \(\left\{ {\left( {1,0,0} \right),\left( {0,1,0} \right),\left( {1,1,1} \right)} \right\}\) genera \({\mathbb{R}^3}\), y que son vectores LI. Por lo tanto es una base de \({\mathbb{R}^3}\).

### Ejemplo 3

Veamos que el conjunto \(B = \left\{ {1,1 + x,1 + {x^2}} \right\}\) es una base de \({P_2}\).

Para esto debemos probar las dos condiciones.

Probemos que \(B\) es LI:

\[0 + 0x + 0{x^2} = \alpha \;1 + \beta \left( {1 + x} \right) + \gamma \left( {1 + {x^2}} \right) \Rightarrow \;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha + \beta + \gamma = 0}\\{\beta = 0}\\{\gamma = 0}\end{array}} \right.\;\; \Rightarrow \;\;\alpha = \beta = \gamma = 0\]

Cómo la única solución es la trivial, entonces el conjunto es LI.

Probemos que genera \({P_2}\):

\[a + bx + c{x^2} = \alpha \;1 + \beta \left( {1 + x} \right) + \gamma \left( {1 + {x^2}} \right) \Rightarrow \;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha + \beta + \gamma = a}\\{\beta = b}\\{\gamma = c}\end{array}} \right.\;\; \Rightarrow \;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha = a – b – c}\\{\beta = b}\\{\gamma = c}\end{array}} \right.\;\;\;\;\]

El sistema es compatible. Entonces para cualquier polinomio en \({P_2}\) es posible hallar los escalares \(\alpha ,\beta ,\gamma \). Luego \(B\) genera \({P_2}\).