### Ejemplo 1

¿Es el conjunto \(\left\{ {\left( {1,1} \right),\left( {1, - 1} \right)} \right\}\) generador de \({\mathbb{R}^2}\)?

Siguiendo la definición, debemos ver si cualquier vector de \({\mathbb{R}^2}\) puede expresarse como combinación lineal de \(\left( {1,1} \right),\left( {1, - 1} \right)\):

\[\left( {x,y} \right) = \alpha \left( {1,1} \right) + \beta \left( {1, - 1} \right)\;\; \Rightarrow \;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \alpha + \beta }\\{y = \alpha - \beta }\end{array}} \right.\; \Rightarrow \alpha = \frac{{x + y}}{2}\;\;,\;\;\;\beta = \frac{{x - y}}{2}\]

Hemos llegado a un sistema compatible determinado. Para cada \(x\) e \(y\) se obtrendrá un valor para \(\alpha \) y para \(\beta \).

Entonces, como cualquier vector \(\left( {x,y} \right)\) de \({\mathbb{R}^2}\) puede expresarse como combinación lineal de \(\left( {1,1} \right),\left( {1, - 1} \right)\), decimos que \(\left\{ {\left( {1,1} \right),\left( {1, - 1} \right)} \right\}\) es un conjunto generador de \({\mathbb{R}^2}\).

### Ejemplo 2

¿Es el conjunto \(\left\{ {\left( {1,1} \right),\left( {1, - 1} \right),\left( {2,0} \right)} \right\}\) generador de \({\mathbb{R}^2}\)?

Otra vez planteamos un sistema de ecuaciones. Nos interesa saber si tiene solución o no:

\[\left( {x,y} \right) = \alpha \left( {1,1} \right) + \beta \left( {1, -1} \right) + \gamma \left( {2,0} \right)\;\; \Rightarrow \;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \alpha + \beta + 2\gamma }\\{y = \alpha - \beta }\end{array}} \right.\;\]

Veamos cómo es la resolución por el método de Gauss:

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&2&x\\1&{-1}&0&y\end{array}} \right)\mathop \to \limits_{{F_2}\; \to \;{F_2}\;-\;{F_1}} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&2&x\\0&{-2}&{-2}&{y-x}\end{array}} \right)\mathop \to \limits_{{F_2}\; \to \; -\;\frac{1}{2}.{F_2}} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&2&x\\0&1&1&{\frac{{x-y}}{2}}\end{array}} \right)\]

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha + \beta + 2\gamma = x}\\{\beta + \gamma = \frac{{x - y}}{2}}\end{array}} \right. \Rightarrow \;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha = - \gamma + \frac{{x + y}}{2}}\\{\beta = \frac{{x - y}}{2} - \gamma }\end{array}} \right.\]

Para cada \(\left( {x,y} \right)\) en \({\mathbb{R}^2}\) , el sistema es compatible (indeterminado). Entonces \(\left\{ {\left( {1,1} \right),\left( {1, -1} \right),\left( {2,0} \right)} \right\}\) también genera \({\mathbb{R}^2}\).

### Ejemplo 3

¿Es el conjunto \(\left( {1,0,0} \right),\left( {0,1,0} \right),\left( {1,1,1} \right)\) generador de \({\mathbb{R}^3}\)?

\[\left( {x,y,z} \right) = \alpha \left( {1,0,0} \right) + \beta \left( {0,1,0} \right) + \gamma \left( {1,1,1} \right)\; \Rightarrow \;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \alpha + \gamma }\\{y = \beta + \gamma }\\{z = \gamma }\end{array}} \right.\; \Rightarrow \;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha = x - z}\\{\beta = y - z}\\{\gamma = z}\end{array}} \right.\]

Como el sistema es compatible (determinado), podemos afirmar que el conjunto \(\left\{ {\left( {1,0,0} \right),\left( {0,1,0} \right),\left( {1,1,1} \right)} \right\}\) genera \({\mathbb{R}^3}\).

### Ejemplo 4

¿Qué vectores pueden expresarse como combinación lineal del \(\left( {1,0} \right)\)?

Los vectores de la forma \(\left( {x,0} \right)\). Entonces el vector \(\left( {1,0} \right)\) no genera todo \({\mathbb{R}^2}\), pero genera la recta \(y = 0\).

### Ejemplo 5

¿Qué vectores pueden expresarse como combinación lineal de \(\left( {1,0,0} \right)\) y \(\left( {0,1,0} \right)\)?

\[\left( {x,y,z} \right) = \alpha \left( {1,0,0} \right) + \beta \left( {0,1,0} \right) = \left( {\alpha ,\beta ,0} \right)\]

Es decir todos los vectores con componente \(z = 0\). Entonces \(\left( {1,0,0} \right)\) y \(\left( {0,1,0} \right)\) no generan \({\mathbb{R}^3}\) sino el plano \(z = 0\).