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	<meta http-equiv="content-type" content="text/html; charset=UTF-8">
	<meta http-equiv="X-UA-Compatible" content="IE=edge,chrome=1">
	<meta name="viewport" content="width=device-width,initial-scale=1,maximum-scale=1,minimum-scale=1,user-scalable=yes,minimal-ui">
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	<meta name="apple-mobile-web-app-capable" content="yes">
	<meta name="apple-mobile-web-app-status-bar-style" content="black">

	<title>Álgebra Lineal Interactiva</title>

	<!-- se precarga la imagen utilizada para el cargador del libro, en caso de que se utilice -->
	<link rel="preload" as="image" href="images/general/icartesilibri_logo.svg">

	<!-- configuración del libro -->
	<script>
	window.book_config = {
		// parámetro que indica si los capítulos, secciones y figura se auto numeran
		// para que los capítulos se auto numeren deben utilizar la etiqueta <h1>
		// para que las secciones se auto numeren deben utilizar la etiqueta <h2>
		auto_numerate_sections_and_figures: true,
		// parámetro para que los interactivos se muestren a pantalla completa al presionar el botón de la esquina superior derecha
		open_interactives_fullscreen: true,
		// parámetro para usar el id de las referencias bibliográficas en lugar de la autonumeración
		bibitem_ref_id: false,
	}
	</script>

	<!-- núcleo del libro interactivo -->
	<link rel="stylesheet" href="book/css/style.css" type="text/css">
	<script type="text/javascript" src="book/js/book.js" charset="utf-8"></script>
  
	<!-- personalización del usuario -->
	<link rel="stylesheet" href="extra/fonts.css" type="text/css">
	<link rel="stylesheet" href="extra/style.css" type="text/css">
    <link rel="stylesheet" href="extra/mis_estilos.css" type="text/css">
	
	<!-- inclusión de la biblioteca KaTex -->
	<link rel="stylesheet" type="text/css" href="extra/katex/katex.min.css"/>
	<script src="extra/katex/katex.min.js"></script>
	<link rel="stylesheet" type="text/css" href="extra/katex/copy-tex.min.css"/>
	<script src="extra/katex/copy-tex.min.js"></script>
	<script src="extra/katex/auto-render.min.js" ></script>

    <!-- Opcional en caso de requerir formulas químicas -->
	<script src="extra/katex/mhchem.min.js"></script>
  
	<script>
	document.addEventListener("DOMContentLoaded", function() {
    renderMathInElement(document.body, {
      delimiters: [ {left: "$$", right: "$$", display: true}, {left: "$", right: "$", display: false}, {left: "\\[", right: "\\]", display: true}, {left: "\\(", right: "\\)", display: false} ]
		});
	});
	</script>
	</head>

	<body>
	<div id="book_loader_container">
		<!-- se utiliza un elemento para que funcione como cargador del libro -->
		<div style="margin-left:auto; margin-right: auto;" id="book_loader"></div>
		<!-- y se indica la imagen a utilizar para personalizar el libro -->
		<img loading="lazy" src="images/general/icartesilibri_logo.svg" width="20%" style="padding-left:1em;">
	</div>

	<div id="book_container">
    <div id="btn_back_page"></div>
    <div id="btn_next_page"></div>
    <button id="go_to_table_of_content"></button>
    
    <button id="btn_config"></button>
    <div id="config_options">
      <div id="dark_light_mode"></div>
    </div>

    <!-- si este elemento no esta presente, el botón de la tabla de contenido lleva a la primera página con un elemento class="toc_link" -->
    <div id="table_of_content"></div>

    <div id="pages_container">
	
    <!-- Sin página al lado izquierdo de la portada -->
    <div class="page" style="background-color:transparent;"></div>

    <!-- Portada -->
    <div class="page invertcolor" style="margin:0; padding:0; background-size:contain; background-image:url(images/general/portada.png);">
        
		<!-- Imagen de portada, toda la página con margen-->
		<div class="interactive sin_boton3" poster="posters/atractor.png" width="640" height="700" src="interactivos/atractor.html" scale="120%"></div>
		
		<!-- Título del libro -->
		<div class="cover_title" style="font-size: 60px; text-shadow:
    1px 1px 0 black,  /* Sombra más cercana */
    2px 2px 0 black,  /* Sombra siguiente */
    3px 3px 0 blue,  /* Sombra siguiente */
    4px 4px 0 black;  /* Sombra más lejana para el efecto de borde */
	color: rgba(0,160,255,50); margin-top:-500px; margin-right: 80px">   <b> Álgebra Lineal <br> Interactiva <span style="font-size: 40px;">(Vol. 1)</span></b> <br>
        <p style="font-size: 44px; margin-top:10px;"> <b> Ejercicios y problemas </b> </p>
				</div>
		
		<!-- Nombre del autor del libro -->
		<div style="position: absolute; bottom: 80px; left:0px; width:640px; font-size:30px; text-shadow:
    1px 1px 0 black,  /* Sombra más cercana */
    2px 2px 0 black,  /* Sombra siguiente */
    3px 3px 0 blue,  /* Sombra siguiente */
    3.5px 3.5px 0 black;  /* Sombra más lejana para el efecto de borde */
	color: rgba(0,160,255,50); text-align:center"; > <b> Augusto Spela </b></div>
		
		<!-- Logo de la editorial o institución -->
		<p style="position: relative; bottom:-44px; width:360px; text-align:center"> <a  target="_blank" href="https://proyectodescartes.org"> <img src="images/general/gifanimadoRedProyecto.gif" width="120px"/></a> </p>
    <p style="position: absolute; bottom: 10px; left:140px; width:640px; color: rgba(0,160,255,50); font-size:24px; text-shadow:
    1px 1px 0 black,  /* Sombra más cercana */
    2px 2px 0 black,  /* Sombra siguiente */
    3px 3px 0 blue,  /* Sombra siguiente */
    3.5px 3.5px 0 black; text-align:center"> 2da. Edición</p>           
    </div>

    <!--  -->
	
    <div class="page" style="display:flex; align-items:center; justify-content:center;">
        <a style="width:50%" target="_blank" href="https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/index.htm"><img src="images/general/icartesilibri_logo.svg" width="100%"></a>
    </div>

    <!-- init-page-num="true" es un parámetro que indica que a partir de esta página comienza la numeración -->
    <!-- inicialmente los números de las páginas se numeran con numerales romanos -->
    <!-- num="" es un parámetro que indica que esta página no lleva numeración visible -->
    <!-- La editorial es opcional -->
    <div class="page" style="text-align:center; font-size:120%;" init-page-num="true" num="">
		<h1> Álgebra Lineal Interactiva (Vol. 1)</h1>
		<p style="font-size: 30px; color: var(--h1-color); position: relative; top: -20px "> Ejercicios y problemas </p> 
		
		<div style="margin-top: 100px;"><b>       </b><br>
        <br>Universidad Tecnológica Nacional - FRBA<br>
		<br>
		<a target="_blank" href="https://www.frba.utn.edu.ar/"><img src="images/general/logo_utn.webp" width="50px"/></a>
		</div>
		<div align="center" style="position: absolute; bottom: 105px; left:0; right:0;"> Fondo Editorial RED Descartes<br><br>
        <a  target="_blank" href="https://proyectodescartes.org"> <img src="images/general/logo_descartes3.png" width="300px"/></a></div>
		
		<div align="center" style="position: absolute; bottom: 40px; left:0; right:0;">Córdoba (España)<br/>
        2026</div>
    </div>

    <!--  -->
    <div class="page" num="">
		<p>Título de la obra:<br>
        Álgebra Lineal Interactiva (Vol. 1). Ejercicios y problemas.</p>
		<br>
		<p>Autor: <br>
        Augusto Spela<br>
        <a target="_blank" href="https://www.frba.utn.edu.ar/">Universidad Tecnológica Nacional - FRBA</a> <br>
		Buenos Aires (Argentina)
		</p><br>
      	  
		<p>
        Código JavaScript para el libro: <a href="https://github.com/jlongi/libro_interactivo" target="_blank">Joel Espinosa Longi</a>, <a href="https://www.matem.unam.mx/" target="_blank">IMATE</a>, UNAM. <br>
		
        Recursos interactivos: <a href="http://descartes.matem.unam.mx/" target="_blank">DescartesJS</a>, Geogebra <br>
		
		Script de la portada: Creado por Dan Margalit y Joseph Rabinoff, adaptado por <a href="https://chatgpt.com" target="_blank">Chatgpt</a> <br>
		
        Fuentes: <a href="https://fonts.google.com/specimen/Lato" target="_blank">Lato</a> y <a href="https://fonts.google.com/specimen/Ubuntu+Mono" target="_blank">UbuntuMono</a></p><br><br>
		<p>Red Educativa Digital Descartes<br>
        Córdoba (España)<br>
        <a href="mailto:descartes@proyectodescartes.org?Subject=Fondo editorial"> descartes@proyectodescartes.org</a><br>
        <a href="https://proyectodescartes.org/descartescms/" target="_blank">https://proyectodescartes.org</a><br>
        <br>
        Proyecto iCartesiLibri<br>
        <a href="https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/index.htm" target="_blank">https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/index.htm</a> <br>
        <br>
        ISBN: 978-84-10368-46-0<br>
		</p>
		<p style="font-size:10px; position: absolute; bottom: 30px; left: 50px; right:0;"><a href="http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0" target="_blank"><img src="images/general/88x31.png" style="height:36px; width:99px" /></a><br>
        Esta obra está bajo una licencia Creative Commons 4.0 internacional: Reconocimiento-No Comercial-Compartir Igual.</p>
    
	</div>

            <!--  -->
      <div class="page">
        <h2>Tabla de contenido</h2>

       <!-- con esto se agrega una entrada en la tabla de contenido,
        href="#prefacio" indica una referencia a una elemento html con 
        el parámetro id="prefacio", automáticamente se busca está referencia
        y se agrega el título correspondiente y la página donde se encuentra -->
          
        <div class="toc_link" href="#prefacio"></div>
        <div class="toc_link" href="#objetos"></div>
        <div class="toc_link" href="#capitulo_1"></div>
        <div class="toc_link" href="#c11"></div>
		<div class="toc_link" href="#c12"></div>
		<div class="toc_link" href="#c13"></div>
		<div class="toc_link" href="#c14"></div>
		<div class="toc_link" href="#c15"></div>
		<div class="toc_link" href="#c16"></div>
		<div class="toc_link" href="#c17"></div>
		<div class="toc_link" href="#c18"></div>
		<div class="toc_link" href="#c19"></div>
		<div class="toc_link" href="#c110"></div>
		<div class="toc_link" href="#c1111"></div>
        <div class="toc_link" href="#capitulo_2"></div>
		<div class="toc_link" href="#c21"></div>
		<div class="toc_link" href="#c22"></div>
		<div class="toc_link" href="#c23"></div>
		<div class="toc_link" href="#c24"></div>
		<div class="toc_link" href="#c25"></div>
		<div class="toc_link" href="#capitulo_3"></div>
		<div class="toc_link" href="#c31"></div>
		
		
	</div>
		 <!--  -->
      <div class="page">
	  
	    <div class="toc_link" href="#c32"></div>
		<div class="toc_link" href="#c33"></div>
		<div class="toc_link" href="#c34"></div>
		<div class="toc_link" href="#capitulo_4"></div>
		<div class="toc_link" href="#c41"></div>
		<div class="toc_link" href="#c42"></div>
		<div class="toc_link" href="#c43"></div>
		<div class="toc_link" href="#capitulo_5"></div>
        <div class="toc_link" href="#c51"></div>
		<div class="toc_link" href="#c52"></div>
		<div class="toc_link" href="#c53"></div>
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		<div class="toc_link" href="#c55"></div>
		<div class="toc_link" href="#capitulo_6"></div>
        <div class="toc_link" href="#c61"></div>
		<div class="toc_link" href="#c62"></div>
		<div class="toc_link" href="#c63"></div>
		<div class="toc_link" href="#c64"></div>
		<div class="toc_link" href="#c65"></div>
		<div class="toc_link" href="#Bibliografía"></div>		
	      </div>

      <!--  -->
      
			<!-- num-type-arabic="true" es un parámetro que indica que a partir de esta página la numeración utilizara numerales arábigos -->
	<!-- pag 5 -->
			
		<div class="page" num-type-arabic="true">
				<h1 id="prefacio">Prefacio</h1>
				
<p>Parece increíble que hayan pasado más de dos años desde la publicación de la primera edición de este libro, de haber comenzado con todas las ilusiones este proyecto de creación de libros interactivos que considero es una de las formas más completas de producir Recursos Educativos Abiertos, por su carácter abierto, su posibilidad de ser modificados y/o adaptados y su orientación explícita hacia un uso no comercial.</p>

<p>Como decíamos en la edición anterior, este material no busca ser un libro de cabecera, apenas pretende ser un complemento, enfocado en el hacer y en el comprender, de los buenos textos que existen en la actualidad sobre Álgebra Lineal. Una lista sugerida de los mismos se ofrece en la <pageref ref_id="Bibliografía">bibliografía recomendada</pageref>
				</p>

<p>No sería posible esta realización sin la fantástica tarea de los miembros de la red Descartes. Con lo que mi mayor agradecimiento es para los académicos Juan Guillermo Rivera Berrío, Ramiro Antonio Lopera Sánchez, José Antonio Salgueiro, Joel Espinosa Longi y demás desarrolladores del Proyecto iCartesiLibri<span class="footnote"><a href="https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/" target="_blank">https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/</a></span>, por su invaluable ayuda y aporte de conocimientos, brindados siempre de manera generosa y altruista.</p>	

			<p>También debo agradecer especialmente a la UDB Matemática de la Universidad Tecnológica Nacional FRBA, que me permitió utilizar parte del excelente material disponible en su sitio web de Álgebra y Geometría Analítica <span class="footnote"><a href="https://aga.frba.utn.edu.ar/" target="_blank">https://aga.frba.utn.edu.ar</a></span> 
								</p>
		</div>
	
<!-- pag 6 -->	
			<div class="page">
			
<p>Entre las novedades de esta versión, las más significativas responden a la implementación de autoevaluaciones al final de cada capítulo y la inclusión de uno nuevo especialmente dedicado a mis alumnos de la cátedra de Álgebra y Geometría Analítica de la UTN, que siempre están ávidos de encontrar “modelos de parcial”. En esta oportunidad aportamos cinco distintos que podrán realizarse con cronometrización incluida.</p>
 <p>Hemos adicionado un sexto capítulo a manera de auto-homenaje a mis tiempos de estudiante, donde también me permití incursionar en el desarrollo de dos pequeños juegos. El resto de las modificaciones responden a ajustes estéticos y a la corrección de pequeños errores detectados en la edición anterior. </p>
<p>Este libro puede leerse descargándolo en un dispositivo digital, particularmente por una cuestión de edad y falta de buena visión, en mi caso recomiendo una pc de escritorio o una notebook, pero también es posible visualizarlo conectado a Internet. 
</p>
 <p>Confío en que esta nueva edición siga contribuyendo a la construcción colectiva del conocimiento, ofreciendo un recurso accesible y riguroso que acompañe tanto a estudiantes como a docentes en sus procesos de enseñanza y aprendizaje dentro del vasto campo del Álgebra Lineal.</p>
</div>

<!-- pag 7 -->
			
<div class="page">

<h3 id="objetos">&ensp; Acerca de los objetos interactivos de esta obra</h3>

<p>Todos los recursos y applets interactivos del libro hechos en <a href="https://www.geogebra.org/?lang=es" target="_blank">Geogebra</a> han sido diseñados por el autor.</p>
<p> Los objetos interactivos hechos en DescartesJS utilizados en el capítulo 1 han sido diseñados y creados originalmente por las profesoras María José García Cebrian y Elena Esperanza Álvarez Sáiz<bibref ref_id="R1"></bibref> y adaptados a este libro por el autor. </p>
<p>Los objetos interactivos hechos en DescartesJS utilizados en el capítulo 2 han sido diseñados y creados originalmente por la profesora María José García Cebrian <bibref ref_id="R2"></bibref> y adaptados a este libro por el autor; con la excepción del interactivo de la página 160, cuya autora es la profesora Melissa Méndez Servin <bibref ref_id="R3"></bibref> y el objeto interactivo de la página 150 cuyos autores originales son John Jairo García Mora, Sonia Jaquelliny Moreno Jiménez y Margarita Patiño Jaramillo.<bibref ref_id="R4"></bibref> Este último objeto fue modificado por quien esto escribe para adaptarlo a esta publicación. </p> 
<p> Las autoevaluaciones de cierre de los capítulos están basadas en un diseño original de Jose M. Fernández (Zhema) <bibref ref_id="R5"></bibref> y he modificado el estilo gracias a chatgpt para adaptarlo a la estética del libro</p>
<p>He utlizado DescartesJS para "empaquetar" las primeras tres evaluaciones del capítulo 5, siendo creadas originalmente con el programa <a href="https://www.ispring.es/ispring-suite" target="_blank">iSpring Suite</a>.</p>
	<p>El script de la portada es obra de Dan Margalit y Joseph Rabinoff, quienes junto a Larry Rolen han escrito el maravilloso libro</p>
</div>

<!-- pag 8 -->

<div class="page">
<p>interactivo <a href="https://textbooks.math.gatech.edu/ila/index.html" target="_blank">Interactive Linear Algebra</a> que ha sido fuente de inspiración conjuntamente con los libros de la colección iCartesiLibri para quien esto escribe. Gracias a ChatGPT he podido diseñar una página para que pueda correr dicho script, adaptada a nuestro libro y con todas las funcionalidades disponibles.</p>
<p>Finalmente las carátulas correspondientes a los capítulos 1 y 2 fueron realizadas utilizando el sitio de internet <a href="https://proyectodescartes.org/IATools/RuangRiung/" target="_blank"> https://proyectodescartes.org/IATools/RuangRiung/</a> , mientras que las correspondientes a los capítulos 3 y 4 son de creación propia. La carátula del capítulo 5 es un gif animado obtenido en  <a href="https:gifer.com" target="_blank">gifer</a>.
<p>La portada a doble página del capitulo 6 fue obtenida de la IA <a href="https://lexica.art" target="_blank">Lexica</a> y modificada con un software de edición de imágenes. Los cuestionarios de ese capítulo final fueron creados en powerpoint y la conversión a html5 se realizó con el plugin de <a href="https://www.ispring.es/ispring-suite" target="_blank">iSpring Suite</a> para dicho programa. Los dos juegos finales fueron creados por mi con ayuda de <a href="https://chatgpt.com/" target="_blank">ChatGPT</a>.   
</div>
                                                   <!--  -->
 <div class="page" num=""></div> 
                                                    <!--  -->
 <div class="page" num=""></div>
 
	<!-- Un nuevo capitulo -->
			<!--  -->
			<div class="page invertcolor" num="" style=" background-size:auto; background-image:url(images/general/ia_planos.jpg);">
			
	<div class="chap_text" > Capítulo I</div>
	<h1 class="chap_name" id="capitulo_1" style="top:250px; left:0px"> Vectores, rectas y planos</h1>	
</div>	 	
										
<div class="page" num="">
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</div>
			
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<div class="toc_link" add_toc="no" href="#c110"></div>
<div class="toc_link" add_toc="no" href="#c1111"></div>
</div>

<!-- pag 15 -->
			<div class="page">
				<h2 id="c11">Introducción a vectores en ${\mathbb{R}^3}$</h2>
						
                     <h4>Puntos en \({\mathbb{R}^3}\)</h4>
<p>Para ubicar un punto en \({\mathbb{R}^3}\) usaremos como sistema de referencia una terna de ejes perpendiculares entre sí:</p>
<ul>
<li>eje \(\color{red}{x}\) (eje de abscisas, en rojo)</li>
<li>eje \(\color{green}{y}\) (eje de ordenadas, en verde)</li>
<li>eje \(\color{blue}{z}\) (eje de cotas, en azul)</li>
</ul>
<p>los cuales se cortan en el punto O (origen de coordenadas).</p>
 <img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openImage(this)" src="images/capitulo_01/PruebaMathT1.png" width="100%">
	 </div>
						
	                    <!-- pag 16 -->		
	   <div class="page">
<div class="flota_d">
<img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openImage(this)" src="images/capitulo_01/PruebaMathT2.png" width="100%">
</div>
<p>En el siguiente esquema se ven los tres planos que quedan determinados:</p>
<ul>
<li>el plano \(\color{blue}{xy}\) (en azul)</li>
<li>el plano \(\color{green}{xz}\) ( en verde)</li>
<li>el plano \(\color{red}{yz}\) (en rojo)</li>
</ul>
<p><br>Estos planos se conocen como planos coordenados. El nombre del plano \(xy\) viene de que este plano contiene al eje \(x\) y al eje \(y\). En forma análoga se derivan los nombres de los otros dos planos.</p>
<p>Se puede demostrar que hay dos formas diferentes de armar un sistema de referencia con tres ejes perpendiculares. Una de esas formas se conoce con el nombre de terna derecha (que es la que usaremos en esta materia y la que hemos presentado recién) y la otra como terna izquierda:</p>
<img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openImage(this)" src="images/capitulo_01/PruebaMathT3.png" width="100%">
	 </div>	

	                    <!-- pag 17 -->		
	  
<div class="page">
	  <h3 id="c111">&ensp; Vectores en \({\mathbb{R}^3}\)</h3>
<p>Queda establecido un sistema de coordenadas donde todo punto de \({\mathbb{R}^3}\) se define mediante una terna ordenada de números reales: \(P\left( {x,y,z} \right)\), y tiene asociado un vector posición: \[\vec p\; = \;\overrightarrow {OP} \; = \left( {x,\;y,\;z} \right)\]</p>
<div class="interactive sin_boton" poster="posters/p13.png" width="760" height="300" 
src="interactivos/rectasyplanos/coordenadas.html" scale="100%">	</div>	
<figcaption prefix="" style="margin-top: -12px">Objeto interactivo diseñado por Esperanza Álvarez Sáiz y Mª José García Cebrian</figcaption> <br>
<h3 id="c112"> &ensp; Operaciones y nociones básicas de vectores en \({\mathbb{R}^3}\)</h3>
<p>Sean \(\vec v = \left( {{v_x},{v_y},{v_z}} \right)\) y \(\vec w = \left( {{w_x},{w_y},{w_z}} \right)\) vectores de \({\mathbb{R}^3}\).</p>
<p>A continuación definimos algunas operaciones y nociones básicas:</p>
<ul>
<li>Igualdad: \(\vec v\; = \;\vec w\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;{v_x} = {w_x}\;,\;\;\;{v_y} = {w_y}\;,\;\;\;{v_z} = \;{w_z}\)</li>
<li>Suma: \(\vec v + \vec w = \left( {{v_x} + {w_x},\;\;{v_y} + {w_y},\;\;{v_z} + {w_z}} \right)\)</li>

	 </div>	

<!-- pag 18 -->		
	  
<div class="page">
	  
<li>Vector nulo: \(\; \vec 0\; = \;\left( {0,0,0} \right)\)</li>
<li>Opuesto de \(\vec v\): \( - \vec v = \left( { - {v_x}, - {v_y}, - {v_z}} \right)\)</li>
<li>Resta: \(\vec v - \vec w = \vec v + \left( { - \vec w} \right) = \left( {{v_x} - {w_x},{v_y} - {w_y},{v_z} - {w_z}} \right)\)</li>
</ul>
<p>El producto de un escalar por un vector se define:</p>
<p>\[\vec v = \left( {{v_x},{v_y},{v_z}} \right)\;\;,\;\;k \in \mathbb{R}\;\;\;,k.\vec v = \left( {k.{v_x},k.{v_y},k.{v_z}} \right)\;\]</p>
<p>\(k.\vec v\) es un vector tal que:</p>
<ul>
<li>Tiene igual dirección que el vector \(\vec v\)</li>
<li>Sentido: Si \(k > 0\) entonces \(\vec v\) y \(k.\vec v\) tienen el mismo sentido, si \(k < 0\;\)entonces \(\vec v\) y \(k.\vec v\) tienen sentido opuesto. Si \(\;k = 0\), entonces \(\;0.\vec v = \vec 0\).</li>
<li>\(k.\vec v = \left| k \right|\vec v\) . El módulo del vector \(k.\vec v\) es \(\left| k \right|\) veces el módulo del vector \(\vec v\).</li>
</ul>
<p>¿Cómo es la longitud del vector \(k.\vec v\) respecto de la de \(\vec v\;\)?</p>
<p>Si \(\left| k \right| > 1\) entonces \(\lVert k.\vec v\rVert > \lVert \vec v\rVert\)<br>
Si \(\left| k \right| \lt 1\) entonces \(\lVert k.\vec v\rVert \lt \lVert \vec v\rVert\)<br>
Si \(\left| k \right| = 1\) entonces \(\lVert k.\vec v\rVert = \lVert \vec v\rVert\)</p>
<p><strong>Notación</strong></p>
\(\lVert \vec v\rVert:\;\) módulo o norma de un vector <br>
\(\left| k \right|:\;\)módulo o valor absoluto de un número real
	 </div>	

<!-- pag 19 -->		
	  
<div class="page">
<p>La definición de producto de un escalar por un vector permite enunciar una condición para que dos vectores (no nulos) sean paralelos:</p>
<p>\[\vec v\parallel \vec w\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\vec v\; = \;k.\vec w\;\;\;con\;k \in \mathbb{R}\]</p>
<div class="caja1" align="center">  Ejemplos resueltos
<img class="image_link sin_boton2" onclick="openInteractive('interactivos/ejerciciosvectores.html', '100%')" src="images/p378a.gif" width="84px">
      </div> <br>
<h3 id="c113">&ensp; Propiedades de la suma de vectores y del producto por un escalar</h3>
<p>Sean \(\vec u,\vec v,\vec w \in {\mathbb{R}^3}\;\;y\;\;\alpha ,\;\beta \in \mathbb{R}\).</p>
<p>Vimos que: \(\vec u + \vec v \in {\mathbb{R}^3}\) y \(\alpha\, \vec u \in {\mathbb{R}^3}\). Estas operaciones verifican las siguientes propiedades:</p>
<ol>
<li>\(\vec u + \vec v = \vec v + \vec u\;\;\;\;\)</li>
<li>\(\left( {\vec u + \vec v} \right) + \vec w = \vec u + \left( {\vec v + \vec w} \right)\;\;\;\;\)</li>
<li>\(\vec u + \vec 0 = \vec 0 + \vec u = \vec u\;\;\;\;\;\)</li>
<li>\(\vec u + \left( { - \vec u} \right) = \left( { - \vec u} \right) + \vec u = \vec 0\)</li>
<li>\(\alpha \left( {\vec u + \vec v} \right) = \alpha \vec u + \alpha \vec v\)</li>
<li>\(\left( {\alpha + \beta } \right)\vec u = \alpha \vec u + \beta \vec u\)</li>
<li>\(\alpha \left( {\beta \vec u} \right) = \left( {\alpha \beta } \right)\vec u\)</li>
<li>\(1\vec u = \vec u\)</li>
</ol>
 </div>

<!-- pag 20 -->		
	  
<div class="page">
<h3 id="c114">&ensp; Módulo o norma de un vector en \({\mathbb{R}^3}\)</h3>
<p>Nos interesa hallar una fórmula para calcular el módulo o norma de un vector. En \({\mathbb{R}^3}\) el módulo es la longitud del vector. Para deducirla usaremos los triángulos rectángulos que quedan determinados tal como se muestra en el siguiente interactivo:</p>
<div class="interactive sin_boton" poster="posters/p16.png" width="760" height="420" 
src="interactivos/rectasyplanos/modulo.html" scale="100%">	</div>	
<figcaption prefix="" style="margin-top: -12px">Objeto interactivo diseñado por Esperanza Álvarez Sáiz y Mª José García Cebrian</figcaption> 
<br>
<p>En general escribiremos: \({\lVert \vec v\rVert^2} = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2\)</p>
<p>Aplicando raíz cuadrada a ambos miembros:</p>
\[\lVert \vec v\rVert = \sqrt {v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} \]
</div>

<!-- pag 21 -->							 
			<div class="page">
	<h3 id="c115"> Propiedades del módulo o norma de un vector</h3>
<ol>
<li>\(\ \lVert \vec v\rVert \ge 0\;\;\; \wedge \;\;\;\lVert \vec v\rVert = 0 \; \Leftrightarrow \;\vec v = \vec 0\)</li>
<li>\(\;\lVert k.\vec v \rVert = \left| k \right|\;\lVert \vec v\rVert,\;\;k \in \mathbb{R}\;\)</li>
<li>Desigualdad triangular: \(\lVert \vec v + \vec w\rVert \le \lVert \vec v \rVert + \lVert \vec w \rVert\)</li>
</ol>		
<p>¿Qué condiciones tienen que cumplir los vectores \(\vec v\) y \(\vec w\) para que se verifique la igualdad: \(\lVert \vec v + \vec w  \rVert = \lVert \vec v \rVert + \lVert \vec w\rVert \;\)?</p>

<div class="caja4"> 
<p style="font-size:110%; text-align:center";>  &ensp; Ejemplo</p> 	
<p>Sean \(\vec v = \left( { - 1,1,2} \right)\) y \(\vec w = \left( {3,0, - 4} \right)\;\) calcular:</p>
<p>a) \(\lVert \vec v\rVert\)</p>
<p>b) \(\lVert - 2\vec v\rVert\)</p>
<p>c) \(\lVert \vec w\rVert\)</p>
<p>d) \(\lVert \vec v + \vec w\rVert\)</p>
<h6>Resolución</h6>
<p>\[\lVert \vec v\rVert = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {2^2}} = \sqrt 6 \]</p>
<p>\[ \lVert - 2\vec v\rVert\ = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2} + {4^2}} = \sqrt {24} = 2\sqrt 6 \]</p>
<p>\[\lVert \vec w\rVert\ = \sqrt {{3^2} + {0^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = 5\]</p>
</div>			
						</div>
       <!-- pag 22 -->							 
			<div class="page">
   <div class="caja4"> 
<p>\[\lVert \vec v + \vec w\rVert = \lVert \left( {2,1, - 2} \right)\rVert = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = 3\]</p>
<p>Observemos que \( \lVert \vec v + \vec w\rVert \ne \lVert \vec v\rVert + \lVert \vec w\rVert\)</p>
   </div>	<br>
<h3 id="c116">&ensp; Vector determinado por dos puntos</h3>
<p>Dados los puntos \(A\left( {{X_A},{Y_A},{Z_A}} \right)\) y \(B\left( {{X_B},{Y_B},{Z_B}} \right)\), el vector \(\overrightarrow {AB} \), con origen en \(A\) y extremo en \(B\), puede obtenerse cómo sigue:</p>
<p><img loading="lazy"  class="image_expand" onclick="openInteractive('images/capitulo_01/PruebaMathT9.png','397','214')" src="images/capitulo_01/PruebaMathT9.png" width="60%"></p>
<p>\[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB} \]</p>
<p>\[ \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} = \left( {{X_B},{Y_B},{Z_{,B}}} \right) -; \left( {{X_A},{Y_A},{Z_A}} \right)\]</p>
<p>\[ \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {{X_B} - {X_A},{Y_B} - {Y_A},{Z_B} - {Z_A}} \right)\]</p>
<p>En este punto, te proponemos que nuevamente trabajes con el interactivo de la página 16.</p>
				</div>
<!-- pag 23 -->							 
			<div class="page">
<h3 id="c117">&ensp; Distancia entre dos puntos</h3>
<div class="titulo4"> Problema</div>
<p>¿Cómo podríamos calcular la distancia entre \(R\left( {1,1,4} \right)\) y \(S\left( {3,0,2} \right)\)?</p>
<p>Para hallar esta distancia armamos el vector $\overrightarrow {RS}$ (o el $\overrightarrow {SR})$ y calculamos su módulo:</p>
<p>\[\overrightarrow {RS} = \left( {2, - 1, - 2} \right)\]</p>
<p>\[\lVert \overrightarrow {RS}\rVert = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = \sqrt {4 + 1 + 4} = \sqrt 9 = 3\]</p>
<p>\[ \Rightarrow d\left( {R,S} \right) = 3\]</p>
<div class="titulo4"> En general</div>
<p>Dados dos puntos \(A\left( {{x_A},{y_A},{z_A}} \right)\) y \(B\left( {{x_B},{y_B},{z_B}} \right)\) la distancia entre los mismos se calcula:</p>
\[d\left( {A,B} \right) = \lVert \overrightarrow {AB}\rVert = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} \]
<div class="titulo4"> Problema</div>
<p>Encontrar, si es posible, todos los puntos del eje \(z\) cuya distancia al punto \(A\left( {3,2,1} \right)\) es \(5\).</p>
	</div>
	
<!-- pag 24 -->							 
			<div class="page">
<p>Es recomendable hacer una figura de análisis del problema:</p>	
<div class="flota_i">
<img loading="lazy" onclick="openInteractive('images/capitulo_01/PruebaMathT11.png', '375', '369')" src="images/capitulo_01/PruebaMathT11.png" width="100%"></div>
<p>Un punto del eje \(z\) tiene la forma $P (0,0,z)$. &emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;  Construyamos el vector desde un punto genérico cualquiera del eje \(z\) hasta \(A\).</p>
<p>\[\overrightarrow {PA} = \left( {3,\;2,\;1 - z} \right)\]</p>
<p>Se pide que el módulo (o norma) de \(\overrightarrow {PA} \) sea 5, entonces:</p>
$$ \overrightarrow {PA} = \sqrt {{3^2} + {2^2} + {{\left( {1 - z} \right)}^2}} = \sqrt {13 + 1 - 2z + {z^2}} =$$
$$ = \sqrt {14 - 2z + {z^2}} = 5 $$
<p>\[25 = 14 - 2z + {z^2}\;\; \Rightarrow {z^2} - 2z - 11 = 0\;\]</p>
<p>\[z = \frac{{2 + \sqrt {4 - 4.1.\left( { - 11} \right)} }}{2}\;\;\;\; \vee \;\;\;\;z = \frac{{2 - \sqrt {4 - 4.1.\left( { - 11} \right)} }}{2}\;\;\;\]</p>
<p>\[z = \frac{{2 + \sqrt {48} }}{2}\;\;\;\; \vee \;\;\;\;z = \frac{{2 - \sqrt {48} }}{2}\;\;\;\]</p>
<p>\[z = 1 + \sqrt {12} \cong 4,46\;\;\;\; \vee \;\;\;\;z = 1 - \sqrt {12} \cong - 2,46\;\;\]</p>
			</div>
						
						<!-- pag 25 -->							 
			<div class="page">
<p>Hemos llegado a que \(z\) puede tomar dos valores distintos. Entonces existen dos puntos del eje \(z\) cuya distancia al punto \(A\left( {3,2,1} \right)\) es 5. Son:</p>
<p>\[{P_1}\left( {0,\;0,\;1 + \sqrt {12} } \right)\;\;\; \wedge \;\;\;{P_2}\left( {0,\;0,\;1 - \sqrt {12} } \right)\]</p>	
<h3 id="c118">&ensp; Expresión canónica de un vector</h3>
<div class="flota_i">
<img loading="lazy" onclick="openInteractive('images/capitulo_01/PruebaMathT12.png', '444', '312')" src="images/capitulo_01/PruebaMathT12.png" width="100%"></div>
<p>Recordemos que todo vector de \({\mathbb{R}^2}\) puede expresarse como combinación lineal de los versores canónicos \( \check i = \left( {1,0} \right)\) y \( \check j = \left( {0,1} \right)\).</p>
$$ \vec v = \left( {x,y} \right) $$
$$ \vec v = x\left( {1,0} \right) + y\left( {0,1} \right)$$
$$ \vec v = x.\check i + y.\check j $$
<div class="flota_d">
<img loading="lazy" onclick="openInteractive('images/capitulo_01/PruebaMathT13.png', '494', '382')" src="images/capitulo_01/PruebaMathT13.png" width="100%"></div>
<p>En forma análoga, todo vector de \({\mathbb{R}^3}\) puede expresarse como combinación lineal de los versores canónicos:</p>
<p>\[\check i = \left( {1,0,0} \right)\]</p>
<p>\[\check j = \left( {0,1,0} \right)\]</p>
<p>\[\check k = \left( {0,0,1} \right)\]</p>
						</div>
						
						<!-- pag 26 -->							 
			<div class="page">

<p>    \[\vec v = \left( {x,y,z} \right) = x\left( {1,0,0} \right) + y\left( {0,1,0} \right) + z\left( {0,0,1} \right)\]</p>
<div class="caja2">
$ \large \vec v = x.\check {i} + y.\check {j} + z.\check {k}\: $   (expresión canónica de $\vec v \,$)					
</div>
<h3 id="c119">&ensp; Ángulos directores y cosenos directores de un vector</h3>
<p>Se denominan ángulos directores de un vector a los ángulos determinados por el vector y cada uno de los semiejes positivos, como se muestra en la siguiente figura:</p>
<p><img loading="lazy"  class="image_expand" onclick="openInteractive('images/capitulo_01/angulos-directores-de-un-vector-en-r3.gif', '765', '497')" src="images/capitulo_01/angulos-directores-de-un-vector-en-r3.gif" width="80%"></p>
<p>Los cosenos de dichos ángulos se llaman cosenos directores del vector. Aplicando relaciones trigonométricas, podemos obtener los cosenos directores:</p>
<p>\[\cos \left( \alpha \right) = \frac{{{v_x}}}{{\lVert \vec v\rVert}}\;\;,\;\;\;cos\left( \beta \right) = \frac{{{v_y}}}{{\lVert \vec v\rVert}}\;\;,\;\;\cos \left( \gamma \right) = \frac{{{v_z}}}{{\lVert \vec v\rVert}}\]</p>     
 </div>
						
						<!-- pag 27 -->							 
			<div class="page">
<p>Por lo tanto, los ángulos directores son:</p>
<p>\[\alpha = arcos\left( {\frac{{{v_x}}}{{\lVert \vec v\rVert}}} \right),\;\;\beta = arcos\left( {\frac{{{v_y}}}{{\lVert \vec v\rVert}}} \right),\;\;\gamma = arcos\left( {\frac{{{v_z}}}{{\lVert \vec v\rVert}}} \right)\]</p>
<p>Donde \(\alpha ,\beta ,\gamma \) están comprendidos entre \(0\) y \(\pi \).</p>
<div class="titulo4"> Propiedad </div>
<p>\[{\cos ^2}\left( \alpha \right) + {\cos ^2}\left( \beta \right) + {\cos ^2}\left( \gamma \right) = 1\]</p>

<div class="caja4"> 
<p style="font-size:110%; text-align:center";>  &ensp; Ejemplo</p> 	
<p>Hallar los ángulos directores de \( \vec v = \left( {2,0, -2} \right)\)</p>
<p>Resolución</p>
<p>Hallemos el módulo del vector:</p>
<p>\[\lVert \vec v\rVert = \sqrt {{2^2} + {0^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = \sqrt 8 = 2\sqrt 2 \]</p>
<p>Ahora calculamos los ángulos con el arco coseno de los cocientes:</p>
<p>\[\alpha = \arccos \left( {\frac{2}{{2\sqrt 2 }}} \right) = 45^\circ \]</p>
<p>\[\beta = \arccos \left( {\frac{0}{{2\sqrt 2 }}} \right) = 90^\circ \]</p>
</div>
						</div>
						<!-- pag 28 -->							 
			<div class="page">
	<div class="caja4">	
<p>\[\gamma = \arccos \left( {\frac{{ - 2}}{{2\sqrt 2 }}} \right) = 135^\circ \]</p>	
<p>Veamos una gráfica del vector y sus ángulos directores:</p>
<p><img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openInteractive('images/capitulo_01/angulos-directores-caso-particular.gif', '507', '531')" src="images/capitulo_01/angulos-directores-caso-particular.gif" width="70%"></p>
	</div>	
	
				</div>
		<!-- pag 29 -->							 
			<div class="page">
<h3 id="c1110">&ensp; Versor asociado a un vector</h3>
<p>Dado un vector no nulo \(\vec v\), se denomina <i>versor asociado</i> al vector unitario (de módulo 1) que tiene igual dirección y sentido que \(\vec v\).</p>
<p>Dado \(\vec v\) distinto de \(\vec 0\), su versor asociado se obtiene dividiendo a este por su norma:</p>
$$ \breve {v} = \frac {\vec v} {\lVert  \vec v \rVert} $$
<p>Tomando en cuenta los cosenos directores,</p>
<p>\[\vec v = \left( {\lVert \vec v\rVert\cos \alpha,\;\;\lVert \vec v\rVert\cos \beta,\;\;\lVert \vec v\rVert\cos \gamma} \right)\]</p>
<p>Entonces</p>
$$  \frac {\vec v} {\lVert  \vec v \rVert} = \breve {v} = (\cos \alpha,\;\; \cos \beta,\;\; \cos \gamma) $$
<p>Es decir, las componentes del versor $\breve v$ son los cosenos directores de $ \vec v $.</p>		
					</div>

		<!-- pag 30 -->							 
			<div class="page">
				<h2 id="c12">&ensp; Producto escalar en ${\mathbb{R}^3}$</h2>

<p>Sean \(\vec u\;,\;\vec v \in {\mathbb{R}^3}\), y \(\theta \) el ángulo entre \(\vec u\) y \(\vec v\), entonces el producto escalar entre \(\vec u\) y \(\vec v\) se define como sigue:</p>
<div class="caja2">
$$\large \vec u.\vec v = \begin{cases} {\lVert \vec u\rVert\;\lVert \vec v\rVert\cos \left( \theta \right)\;\;si\;\;\vec u \ne \vec 0 \wedge \;\vec v \ne \vec 0}\\ {0\;\;\;\;si\;\;\vec u = \vec 0\;\; \vee \;\vec v = \vec 0}  \end{cases}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left[ 2 \right]$$ </div>
<p><img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openInteractive('images/capitulo_01/Productoesc1.png', '292', '227')" src="images/capitulo_01/Productoesc1.png" width="60%"></p>
<h3 id="c121">&ensp; Propiedades del producto escalar</h3>
<p>1)&ensp; \(\vec u.\vec v\; = \;\vec v.\vec u\)</p>
<p>2)&ensp; \(\vec u.\left( {\vec v\; + \;\vec w} \right)\; = \;\vec u.\vec v\; + \;\vec u.\vec w\)</p>
<p>3)&ensp; \(k\left( {\vec u.\vec v} \right) = \;\left( {k\vec u.\vec v} \right) = \;\vec u.\left( {k\vec v} \right),\;k \in \mathbb{R}\)</p>
		</div>
		
		<!-- pag 31 -->							 
			<div class="page">
			
<p>4) $\:\: \vec v.\vec v = \left( {{v_x},{v_y},{v_z}} \right).\;\left( {{v_x},{v_y},{v_z}} \right) = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 = {\lVert \vec v\rVert^2}$ </p>
<p> $$ {\lVert \vec v\rVert^2} > 0\;\forall \vec v \ne \vec 0 $$</p>
<p style="text-indent: 30px;"> De (4) se deduce que: \(\lVert \vec v\rVert = \sqrt {\vec v.\vec v} \)</p>				
<div class="caja4">
<p style="font-size:110%; text-align:center";>  &ensp; Ejemplo</p> 
<p>Hallar \(\vec u.\vec v\) para \(\vec u = \left( {0,0,1} \right),\;\vec v = \left( {0,3, - 3} \right)\)<br />
<span id="more-475"></span></p>
<h6><strong>Resolución<br />
</strong></h6>
<p>Hagamos una gráfica para visualizar el ángulo entre los dos vectores:</p>
<img loading="lazy"  class="image_expand" onclick="openImage(this)" src="images/capitulo_01/Productoesc2.png" width="100%">
</div>
			</div>			

	<!-- pag 32 -->							 
			<div class="page">
<div class="caja4">
<p>Calculemos los módulos de \(\vec u\). y \(\vec v\):</p>
<p>\[\lVert \vec u\rVert = 1\]</p>
<p>\[\lVert \vec v\rVert = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {18} = 3\sqrt 2 \;\;\]</p>
<p>A partir del gráfico podemos determinar que el ángulo entre los vectores es \(\;\theta = 135^\circ \), o en radianes: \(\;\theta = \frac{3}{4}\pi \).</p>	<p>Calculemos el producto escalar:</p>
<p>\[\vec u.\vec v = 1.\sqrt {18} .\cos \left( {135^\circ } \right) = 3\sqrt 2 .\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = - 3\]</p>
</div>	
<br>
<p>Pero no siempre es tan sencillo. Consideremos los vectores:</p>
<p>\[\vec u = \left( { - 3,5,8} \right)\;,\;\;\;\;\;\;\vec v\; = \left( {1,1,1} \right)\]</p>
<p>Si quisiéramos calcular el producto escalar entre \(\vec u\) y \(\vec v\), deberíamos conocer el ángulo comprendido entre dichos vectores.</p>
<p>Usando el teorema del coseno se puede deducir otra fórmula para calcular el producto escalar en función de las componentes de los vectores.</p>
<p>Sean \(\vec u = \left( {{u_x},{u_y},{u_z}} \right),\;\;\vec v = \left( {{v_x},{v_y},{v_z}} \right) \in {\mathbb{R}^3},\;\) entonces:</p>
$$ \boxed{\vec u.\vec v = {u_x}{v_x} + {u_y}{v_y} + {u_z}{v_z}\;}\;\;\;\;\;\;\;\left[ 3 \right]$$
		</div>	
  
<!-- pag 33 -->							 
			<div class="page">
<p>Para los vectores dados, resulta:</p>
<p>\[\vec u\;.\vec v\; = \;\left( { -3} \right).1\; + \;5\;.1\; + \;8.1\; = \;10\]</p>				
<h3 id="c122">&ensp; Ángulo entre vectores</h3>
<p>Dados \(\vec u,\vec v \) vectores no nulos de \({\mathbb{R}^3}\), queremos hallar el ángulo entre ellos.</p>
<p>Si \(\theta \) es el ángulo entre \(\vec u\;\;y\;\;\vec v\), de las definiciones [2] y [3] de producto escalar resulta:</p>
<p>\[\cos \left( \theta \right) = \left( {\frac{{\vec u.\vec v}}{{\lVert \vec u\rVert \lVert \vec v\rVert}}} \right)\]</p>
\[{\rm{\theta }} = {\rm{\;arccos}}\left( {\frac{{{u_x}{v_x} + {u_y}{v_y} + {u_z}{v_z}}}{{\lVert \vec u\rVert \lVert \vec v\rVert}}} \right),\;\;\;0 \le \theta \le \pi \]
<p>Por ejemplo, si \[\vec u = \left( {1,1,3} \right)\]</p>
<p>\[\vec v = \left( { - 1,0,4} \right)\;\]</p>
<p>\[\theta = \arccos \left( {\frac{{1.\left( { - 1} \right) + 1.0 + 3.4}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {3^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2} + {4^2}} \;\;}}} \right)\]</p>
<p>\[\theta = \arccos \left( {\frac{{11}}{{\sqrt {11} .\sqrt {17} \;\;}}} \right) \cong 36,44^\circ \]</p>
			</div>
			
<!-- pag 34 -->							 
			<div class="page">
	<div class="interactive sin_boton" poster="posters/p30.png" width="760" height="302" 
src="interactivos/rectasyplanos/anguloentrevectores.html" scale="100%">	</div>
<figcaption prefix="" style="margin-top: -12px">Objeto interactivo diseñado por Esperanza Álvarez Sáiz y Mª José García Cebrian</figcaption> 
<br>	
<h3 id="c123">&ensp; Condición de perpendicularidad</h3>
<p>Sean \(\vec u,\;\vec v\) no nulos,</p>
<p>\[\vec u.\vec v = 0 \Leftrightarrow \;\cos \left( \theta \right) = 0 \Leftrightarrow \theta = \frac{\pi }{2}\;\]</p>
<p>Esto permite enunciar una condición de perpendicularidad:</p>
\[\large \boxed{\vec u \; \bot \; \vec v \: \Leftrightarrow \: \vec u.\vec v = 0}\]
<p class="titulo4">Ejercicio para el lector</p>
<p>Dados \(\vec u = \left( {1,2,3} \right)\;\;\;\)y \(\;\;\vec v = \left( {0,2,5} \right)\;\;\)encontrar todos los vectores perpendiculares a \(\vec u\) y a \(\vec v\) de módulo 3.</p>
	</div>	
			
<!-- pag 35 -->							 
			<div class="page">
<h3 id="c124">Proyección de un vector en la dirección de otro</h3>
<p>El producto escalar es útil en problemas en los que se tiene interés en descomponer un vector como suma de vectores perpendiculares.</p>			<p>Dados dos vectores no nulos \(\vec u\) y \(\vec v\) , nos proponemos descomponer \(\vec u\) como suma de un vector paralelo a \(\vec v\;\;\)y otro perpendicular a \(\vec v.\;\) O sea:</p>
<p> $\vec u = \vec u_1 + \vec u_2,\: \vec u_1 \parallel \vec v\;$ y $\;\vec u_2 \; \bot \; \vec v $ </p>
<p><img loading="lazy"  class="image_expand" onclick="openInteractive('images/capitulo_01/Productoesc3.png','575','192')" src="images/capitulo_01/Productoesc3.png" width="100%"></p>
 <br> \[\vec u_1 \parallel \vec v\; \Leftrightarrow \;\;\vec u_1 = k\vec v,\;k \in \mathbb{R}\;\;\; \Rightarrow \;\;\vec u = k\vec v + \vec u_2 \]
<p>Podemos aplicar a ambos miembros producto escalar por \(\vec v\). Teniendo en cuenta que \(\vec u_2\; .\; \vec v = 0\) por ser perpendiculares, resulta:</p>			
			</div>	

<!-- pag 36 -->							 
			<div class="page">
$$\vec u \cdotp \vec v =(k\, \vec v + \vec u_2)\, \cdotp \vec v \; \Rightarrow \;\vec u \,\cdotp \vec v = k \, \underbrace {\vec v \,\cdotp \vec v}_{{\lVert \vec v \rVert}^2} + \underbrace {\vec u_2 \,\cdotp \vec v}_{0} \; \Rightarrow $$
$$ \Rightarrow \;\vec u \,\cdotp \vec v = k \, \underbrace {{\lVert \vec v \rVert}^2}_{\neq \; 0} \; \Rightarrow k =\frac {\vec u \cdotp \vec v} {{\lVert \vec v \rVert}^2}  $$
<p>Entonces:</p>
<p>\[\vec u_1 = \left( {\frac{{\vec u \, \cdotp \vec v}}{{{\lVert \vec v\rVert^2}}}} \right)\vec v\]</p>
<p>Este vector es la proyección de\(\;\vec u\;\) en la dirección de \(\;\vec v\) :</p>
\[\;{\overrightarrow {proy} _{\vec v}}\left( {\vec u} \right) = \left( {\frac{{\vec u \, \cdotp \vec v}}{{{\lVert \vec v\rVert^2}}}} \right)\vec v \]
<p>El vector \({\vec u_2}\;\) puede obtenerse por diferencia:</p>
<p>\[\vec u = \vec u_1 + \vec u_2 \;\; \Rightarrow \;\vec u_2 = \vec u - \vec u_1 \]</p>
<p>Recordemos que \(\vec u_2\) debe ser perpendicular a \(\;\vec v\).</p>
<p>Para resolver algunos problemas geométricos, es útil calcular el módulo del vector de proyección:</p>
<p>\[\lVert {\overrightarrow {proy} _{\vec v}}\left( {\vec u} \right)\rVert = \left| {\frac{{\vec u \, \cdotp \vec v}}{{{\lVert \vec v \rVert^2}}}} \right|\ \lVert \vec v \rVert = \frac{{\left| {\vec u \, \cdotp \vec v} \right|}}{{{\lVert \vec v \rVert^2}}}\;\lVert \vec v \rVert\; = \;\frac{{\left| {\vec u \, \cdotp \vec v} \right|}}{{\lVert \vec v \rVert}}\]</p>				


			</div>	

<!-- pag 37 -->							 
			<div class="page">
<div class="caja4">		
<p style="font-size:110%; text-align:center";> Ejemplo</p> 	
<p>Descomponer \(\vec u = \left( {1,2,1} \right)\) como suma de un vector paralelo a \(\,\vec v = \left( {0,1, - 1} \right)\) más otro perpendicular a \(\vec v\).</p>		
<p><img loading="lazy"  class="image_expand" onclick="openInteractive('images/capitulo_01/Productoesc4.png','370','232')" src="images/capitulo_01/Productoesc4.png" width="70%"></p>
<p>Primero buscamos \(\vec u_1 \) :</p>
$$ \vec u_1 = \overrightarrow {proy} _{\vec v} ( \vec u ) = \Bigg( \frac{\vec u.\vec v}{{\lVert \vec v \rVert^2}} \Bigg) \vec v = $$
$$ \vec u_1 = \Bigg( \frac{(1,2,1).(0,1,-1)}{0^2+1^2+(-1)^2} \Bigg) (0,1,-1)$$
<p>\[ = \frac{{0 + 2 - 1}}{2}\;\left( {0,1, - 1} \right) = \left( {0,\;\frac{1}{{\;2}}, - \frac{1}{2}} \right)\]</p>
<p>\[\vec u_2 = \vec u - \vec u_1 = \left( {1,2,1} \right) - \left( {0,\;\frac{1}{{\;2}}, - \frac{1}{2}} \right) = \left( {1,\;\frac{3}{2},\; \frac{3}{2}} \right)\]</p>
</div>		
	  </div>


<!-- pag 38 -->							 
			<div class="page">
<div class="caja4">			
	<p>Comprobación: \(\;\;\vec u_2 \, \, \bot \, \vec v\)</p>
<p> \[\left( {1,\;\frac{3}{2},\;\frac{3}{2}} \right).\left( {0,1, -1} \right) = 0\]</p>			
</div><br>
<p> La siguiente escena de Geogebra nos permite visualizar la proyección de un vector sobre otro en $\mathbb{R}^3$:	
<div class="interactive sin_boton1" poster="posters/p34b.png" width="800" height="600" 
src="interactivos/proyeccionvectorenvector.html" scale="100%">	</div>	
<figcaption prefix="" style="margin-top: -12px">Objeto interactivo de construcción propia</figcaption> 
			</div>	
			
<!-- pag 39 -->							 
			<div class="page">
	<p>A continuación dejamos un ejercicio para que pongas a prueba tus conocimientos sobre producto escalar</p>
	<div class="interactive sin_boton" poster="posters/p35.png" width="740" height="660" src="interactivos/rectasyplanos/ejercicioprodescalar.html" scale="100%">	</div>		
	<figcaption prefix="" style="margin-top: -12px">Objeto interactivo diseñado por Esperanza Álvarez Sáiz y Mª José García Cebrian</figcaption> 
			</div>			
			
		<!-- pag 40 -->	          
					 
			<div class="page">
				<h2 id="c13">&ensp; Producto vectorial y mixto</h2>
	<h3 id="c131"> &ensp; Producto vectorial</h3>
<div class="titulo4"> Definición</div>
<p>Para resolver numerosos problemas de Geometría, Física e Ingeniería, interesa construir un vector en \({\mathbb{R}^3}\) que sea perpendicular a dos vectores dados.</p>
<p>O sea: dados \(\vec u,\vec v \in {\mathbb{R}^3}\), nos proponemos hallar un vector \(\vec w\) tal que \(\vec w \bot \vec u\;\) y \(\;\overrightarrow {\;w} \bot \vec v\).</p>
<p>El producto vectorial es una operación entre vectores que facilita la obtención de \(\vec w\).</p>
<p><span id="more-508"></span></p>
<p><strong>Definición</strong>: El producto vectorial de \(\vec u\;y\;\vec v\), que indicaremos \(\vec u \times \vec v\) es un vector</p>
\[\vec u \times \vec v = \vec w\]
<p>Que tiene:</p>
<ul>
<li>Dirección perpendicular a \(\vec u\) y a \(\vec v\): \(\;\;\vec w \bot \vec u\;\; \wedge \;\;\vec w \bot \vec v\)</li>
<li><div class="flota_d">
<img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openImage(this)" src="images/capitulo_01/Productovec1.png" width="110%">
</div> Sentido: regla de la mano derecha: si con la mano derecha se recorre el menor ángulo posible entre \(\vec u\) y \(\vec v\), el pulgar indica el sentido de \(\vec w\).</li>
</ul>
                                 </div>
 <!-- pag 41 -->	          
					 
			<div class="page">

<li>Módulo:</li>
</ul>
<p>\[\lVert \vec w\rVert = \lVert \vec u\rVert\;\lVert \vec v\rVert\;sen\left( \theta \right)\]</p>
<p style="margin-left: 36pt;">siendo \(\theta \;\)el ángulo comprendido entre \(\vec u\;\;y\;\;\vec v\)</p>
<p>Se puede ver que <span style="text-decoration: underline;">no</span> es una operación conmutativa porque si cambiamos el orden de los vectores, se conservan la dirección y el módulo del producto vectorial pero se invierte su sentido:</p>
\[\vec u \times \vec v = - \left( {\vec v \times \vec u} \right)\]
Ejemplo
<p>\[\vec a = \left( {0,1, - 1} \right)\]</p>
<p>\[\vec b = \left( {0,0,3} \right)\]</p>
<p>Hallar el vector \(\vec a \times \vec b\).</p>
<p class="flota_d">
<img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openImage(this)" src="images/capitulo_01/Productovec2.png" width="100%"></p>
<p> Dirección: eje \(x\)</p>
<p>Sentido: semieje positivo de \(x\)</p>
<p>Módulo: \(\sqrt 2 .3.sen\left( {135^\circ } \right) = \sqrt 2 .3.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = 3\;\;\)</p>
<p>Entonces:</p>
<p>\[\vec a \times \vec b = \left( {3,0,0} \right)\]</p>
</div>

 <!-- pag 42 -->	          
					 
			<div class="page">
<h3 id="c132"> &ensp; Propiedades del producto vectorial</h3>
<ol>
<li>\(\vec u \times \vec v = - \left( {\vec v \times \vec u} \right)\)</li>
<li>\(\left( {u + v} \right) \times w = \vec u \times \vec w + \vec v \times \vec w\)</li>
<li>\(\left( {k\vec u} \right) \times \vec v = k\left( {\vec u \times \vec v} \right) = \vec u\; \times \;\left( {k\vec v} \right)\)</li>
<li>\(\vec v \times \vec v = \vec 0\;,\;\;pues\;\;\;\lVert \vec v \times \vec v\rVert = \lVert \vec v\rVert\;\lVert \vec v\rVert\;sen\left( 0 \right) = 0\)</li>
<li>\(\vec u\parallel \vec v\; \Rightarrow \;\vec u \times \vec v = \vec 0\;,\;\;\;pues\;\;\;sen\left( {0^\circ } \right) = sen\left( {180^\circ } \right) = 0\)</li>
<li>\(\vec 0 \times \vec v\; = \;\vec v \times \vec 0\; = \;\vec 0\)</li>
</ol>
<p>Si \(\vec u\) y \(\overrightarrow {\;v} \) son vectores no nulos, podemos enunciar una <em>condición necesaria y suficiente de paralelismo</em>:</p>
<p>\[\vec u\parallel \vec v\;\; \Leftrightarrow \;\vec u \times \vec v = \vec 0\;\; \Leftrightarrow \;\vec u = k\vec v\;\;\;con\;\;k\; \in {\mathbb{R}}\]</p>

<h3 id="c133"> &ensp; Fórmula para calcular el producto vectorial</h3>
<p>Dados \(\vec u = \left( {{u_x},{u_y},{u_z}} \right)\) y \(\vec v = \left( {{v_x},{v_y},{v_z}} \right)\) podemos hallar una fórmula para el producto vectorial expresando los vectores en forma canónica.</p>
<p id="producto">Aplicando propiedades del producto vectorial y considerando los productos entre los versores canónicos, se obtiene la siguiente fórmula:</p>
$ \vec u \times \vec v = ( {{u_{y\;}}{v_z} - {u_{z\;}}{v_y},\; - ( {{u_{x\;}}{v_z} - {u_{z\;}}{v_x}}),\;\;{u_{x\;}}{v_y} - {u_{y\;}}{v_x}})\;$ <pageref ref_id="producto1">[1]</pageref>
</div>

 <!-- pag 43 -->	          
					 
			<div class="page">
<p>Esta fórmula puede expresarse en forma más sencilla utilizando determinantes, tema que presentaremos brevemente y luego desarrollaremos en la próxima unidad.</p>
<p>Una matriz es un ordenamiento rectangular de números, como caso particular nos interesan las matrices cuadradas (igual número de filas y de columnas).</p>
$$ A =\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \textsf {matriz de 2x2 (2 filas y 2 columnas)} $$
$$ A =\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \textsf {matriz de 3x3 (3 filas y 3 columnas)}$$

<p> A cada matriz cuadrada puede asignársele un número real que llamaremos su determinante y designaremos como \(det\left( A \right)\) o \(\left| A \right|\) . Para matrices de \(2 \times 2\) y de \(3 \times 3\) el determinante se calcula como sigue:</p>
       
	   <!-- En código MathML: -->

<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mi>A</mi>
  <mo>=</mo>
  <mrow>
    <mo>(</mo>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em">
        <mtr>
          <mtd>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mstyle mathcolor="red">
                  <msub>
                    <mi>a</mi>
                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <mn>11</mn>
                    </mrow>
                  </msub>
                </mstyle>
              </mrow>
            </mrow>
          </mtd>
          <mtd>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mstyle mathcolor="fuchsia">
                  <msub>
                    <mi>a</mi>
                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <mn>12</mn>
                    </mrow>
                  </msub>
                </mstyle>
              </mrow>
            </mrow>
          </mtd>
        </mtr>
        <mtr>
          <mtd>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mstyle mathcolor="fuchsia">
                  <msub>
                    <mi>a</mi>
                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <mn>21</mn>
                    </mrow>
                  </msub>
                </mstyle>
              </mrow>
            </mrow>
          </mtd>
          <mtd>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mstyle mathcolor="red">
                  <msub>
                    <mi>a</mi>
                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <mn>22</mn>
                    </mrow>
                  </msub>
                </mstyle>
              </mrow>
            </mrow>
          </mtd>
        </mtr>
      </mtable>
    </mrow>
    <mo>)</mo>
  </mrow>
  <mspace width="thickmathspace" />
  <mo stretchy="false">&#x21D2;<!-- ⇒ --></mo>
  <mspace width="thickmathspace" />
  <mrow>
    <mo>|</mo>
    <mi>A</mi>
    <mo>|</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
    <mstyle mathcolor="red">
      <msub>
        <mi>a</mi>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mn>11</mn>
        </mrow>
      </msub>
    </mstyle>
  </mrow>
  <mo>.</mo>
  <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
    <mstyle mathcolor="red">
      <msub>
        <mi>a</mi>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mn>22</mn>
        </mrow>
      </msub>
    </mstyle>
  </mrow>
  <mo>&#x2013;</mo>
  <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
    <mstyle mathcolor="fuchsia">
      <msub>
        <mi>a</mi>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mn>12</mn>
        </mrow>
      </msub>
    </mstyle>
  </mrow>
  <mo>.</mo>
  <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
    <mstyle mathcolor="fuchsia">
      <msub>
        <mi>a</mi>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mn>21</mn>
        </mrow>
      </msub>
    </mstyle>
  </mrow>
</math></p>		

$$ A =\begin{pmatrix} \color{blue} {a_{11}} & \color{fuchsia} {a_{12}} & \color{red} {a_{13}} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \: \Longrightarrow $$
$$ \Longrightarrow \: \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = \color{blue} {a_{11}} \color{black} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} - \color{fuchsia} {a_{12}} \color{black} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + \color{red} {a_{13}} \color{black} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} $$

</div>

 <!-- pag 44 -->	          
					 
			<div class="page">
<p id="producto1"> Podemos expresar la fórmula <pageref ref_id="producto">$[1]$</pageref> utilizando determinantes como sigue:</p>
$$ \vec u \times \vec v = \begin{vmatrix} \breve{i} & \breve{j} & \breve{k} \\ u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z \end{vmatrix} =  $$
$$ \vec u \times \vec v = \begin{vmatrix} u_y & u_z \\ v_y & v_z \end{vmatrix}\breve{i} - \begin{vmatrix} u_x & u_z \\ v_x & v_z \end{vmatrix}\breve{j} + \begin{vmatrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \end{vmatrix}\breve{k} $$
<p>Con la notación habitual de ternas, resulta:</p>
$$ \vec u \times \vec v = \Bigg( \begin{vmatrix} u_y & u_z \\ v_y & v_z \end{vmatrix},\;\; - \begin{vmatrix} u_x & u_z \\ v_x & v_z \end{vmatrix},\;\;  \begin{vmatrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \end{vmatrix} \Bigg)  $$
<p>Veamos cómo utilizar esta regla práctica para calcular un producto vectorial:</p>
<p>\[\vec u = \left( {1,2,3} \right)\]</p>
<p>\[\vec v = \left( {0,2,5} \right)\]</p>
$$ \vec u \times \vec v = \begin{vmatrix} \breve{i} & \breve{j} & \breve{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 5 \end{vmatrix} = \Bigg( \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 5 \end{vmatrix}, - \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 5 \end{vmatrix},\; \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} \Bigg)=(4,-5,2)  $$
Comprobemos que el vector obtenido es ortogonal a \(\vec u\) y a \(\vec v\):
<p>\[\left( {4, - 5,2} \right).\left( {1,2,3} \right) = 0\]</p>
<p>\[\left( {4, - 5,2} \right).\left( {0,2,5} \right) = 0\]</p>
</div>

 <!-- pag 45 -->	          
					 
			<div class="page">
<p> Te invitamos a que escribas los vectores del ejercicio anterior en el siguiente applet:</p>
<div class="interactive sin_boton" poster="posters/p41.png" width="760" height="260" 
src="interactivos/rectasyplanos/productovectorial.html" scale="100%">	</div>	
<figcaption prefix="" style="margin-top: -12px">Objeto interactivo diseñado por Esperanza Álvarez Sáiz y Mª José García Cebrian</figcaption>
<br>
<h3 id="c134"> Interpretación geométrica del módulo del producto vectorial</h3>
<p>Consideremos los siguientes vectores y calculemos el módulo del producto vectorial.</p>
<p>\[\vec u = \left( {1,2,3} \right),\;\;\;\vec v = \left( {0,2,5} \right)\]</p>
<p>\[\vec u \times \vec v = \left( {4, - 5,2} \right)\]</p>
<p>\[\lVert \vec u \times \vec v \rVert = \sqrt {45} = 3.\sqrt 5 \]</p>
<p>¿Qué representa este número \(3\sqrt 5 \)?</p>
</div>

 <!-- pag 46 -->	          
					 
			<div class="page">
<p>Dibujemos cualquier par de vectores \(\vec u\) y \(\vec v\) y hagamos el paralelogramo determinado entre ellos:</p>
<img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openInteractive('images/capitulo_01/Productovec3.png', '630', '395')" src="images/capitulo_01/Productovec3.png" width="100%">
<p>\[Área\;del\;paralelogramo = \lVert \vec u \rVert.h\]</p>
<p>\[sen\left( \theta \right) = \frac{h}{{\lVert \vec v \rVert}}\; \Rightarrow h = \lVert \vec v \rVert sen\left( \theta \right)\]</p>
\[Área\;del\;paralelogramo = \lVert \vec u \rVert\;\lVert \vec v \rVert\;sen\left( \theta \right) = \lVert \vec u \times \vec v\ \rVert\]
<p>Conclusión: Dados dos vectores no paralelos, el módulo de su producto vectorial representa el área del paralelogramo determinado por dichos vectores.
</p>
                      </div>
 <!-- pag 47 -->	          
					 
			<div class="page">
<div class="titulo4">Ejemplo</div>
<p>Dados \(A\left( {1,3,1} \right)\), \(B\left( {2, - 3,5} \right)\) y \(C\left( {0,2,1} \right)\) calcular el área del \({\rm{\Delta }}ABC\).</p>
<img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openInteractive('images/capitulo_01/Productovec4.png', '409', '284')" src="images/capitulo_01/Productovec4.png" width="80%">
<p>Podemos pensar al área del triángulo como la mitad del área del paralelogramo:</p>
<p>\[Área\;del\;triá ngulo = \frac{1}{2}. \lVert \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AC} \rVert \]</p>
<p>\[\overrightarrow {AB} = \left( {1, - 6,4} \right)\]</p>
<p>\[\overrightarrow {AC} = \left( { - 1, - 1,0} \right)\]</p>
<p>\[\overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AC} = \left( {4, - 4, - 7} \right)\]</p>
</div>

 <!-- pag 48 -->	          
					 
			<div class="page">
<p>\[\lVert \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AC} \rVert = \sqrt {16 + 16 + 49} = \sqrt {81} = 9\]</p>
<p>\[Área\;del\;triá ngulo = \frac{1}{2}.9 = 4,5\]</p>
<div class="interactive sin_boton" poster="posters/p44.png" width="760" height="400" 
src="interactivos/rectasyplanos/areaparalelogramo.html" scale="100%">	</div>	
<figcaption prefix="" style="margin-top: -12px">Objeto interactivo diseñado por Esperanza Álvarez Sáiz y Mª José García Cebrian</figcaption>
</div>

 <!-- pag 49 -->	          
					 
			<div class="page">
<p> Proponemos la siguiente ejercitación a manera de repaso del tema visto.</p>
<div class="interactive sin_boton" poster="posters/p45.png" width="760" height="580" 
src="interactivos/rectasyplanos/ejerciciosprovect.html" scale="100%">	</div>	
<figcaption prefix="" style="margin-top: -12px">Objeto interactivo diseñado por Esperanza Álvarez Sáiz y Mª José García Cebrian</figcaption>
</div>	

 <!-- pag 50 -->	          
				 
			<div class="page">
<h3 id="c135"> &ensp; Producto mixto</h3>
<div class="titulo4">Definición</div>
<p>Dados tres vectores \(\vec u,\vec v,\vec w \in {\mathbb{R}^3}\), se denomina <em>producto mixto</em> al número real que se obtiene multiplicando \(\vec u.\left( {\vec v \times \vec w} \right)\).</p>
<p>Para obtener el producto mixto, se calcula primero el producto vectorial y luego el escalar.</p>
<p>Dejamos como ejercicio para el lector, demostrar que:</p>
<p>\[\vec u.\left( {\vec v \times \vec w} \right) = \left( {\vec u \times \vec v} \right).\vec w\]</p>
<p>Veamos un ejemplo:</p>
<p>\[\vec u = \left( {1,2,3} \right)\]</p>
<p>\[\vec v = \left( {0,2,5} \right)\]</p>
<p>\[\vec w = \left( {0,0,2} \right)\;\]</p>
$$ \vec v \times \vec w = \begin{vmatrix} \breve{i} & \breve{j} & \breve{k} \\ 0 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix} = (4,\,0,\,0)  $$
<p>\[\vec u.\left( {\vec v \times \vec w} \right) = (1,\,2\,,3)\, \cdotp (4,\,0,\,0)= 4\]</p>
<p>Ahora hagamos al revés:</p>
<p>\[\left( {\vec u \times \vec v} \right).\vec w\]</p>
</div>

 <!-- pag 51 -->	          
					 
			<div class="page">
$$ \vec u \times \vec v = \begin{vmatrix} \breve{i} & \breve{j} & \breve{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 5 \end{vmatrix} = (4,\,-5,\,2) $$
<p>\[\left( {\vec u \times \vec v} \right).\vec w = \left( {4, - 5,2} \right).\left( {0,0,2} \right) = 4\]</p>
<p>Existe otro procedimiento para calcular el producto mixto a través de un determinante de 3&#215;3.</p>
<p>Dados $\vec u = (u_1,\;u_2,\;u_3),\;\vec v = (v_1,\;v_2,v_3),\;\vec w = (w_1,\;w_2,\;w_3),$ el producto mixto es:</p>
$$ \vec u \, \cdotp (\vec v \times \vec w) = (\vec u \times \vec v) \, \cdotp \vec w = \begin{vmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix} =  $$
$$ \vec u \, \cdotp (\vec v \times \vec w) = u_1 \begin{vmatrix} v_2 & v_3 \\ w_2 & w_3 \end{vmatrix} - u_2 \begin{vmatrix} v_1 & v_3 \\ w_1 & w_3 \end{vmatrix} + u_3 \begin{vmatrix} v_1 & v_2 \\ w_1 & w_2 \end{vmatrix} $$
<p>Calculemos con este método el producto mixto entre:</p>
<p> $\vec u = (1,2,3), \; \vec v = (0,2,5), \; \vec w = (0,0,2)$</p>
$$ \vec u \, \cdotp (\vec v \times \vec w) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix} = 4 $$
<p>¿Qué significado tiene para la Geometría este número que hemos obtenido con el producto mixto?</p>
</div>

 <!-- pag 52 -->	          
					 
			<div class="page">
<h3 id="c136"> &ensp; Interpretación geométrica del producto mixto</h3>
<p>Consideremos 3 vectores de \({\mathbb{R}^3}\) y construyamos un paralelepípedo (cuerpo cuyas seis caras son paralelogramos):</p>
<img  loading="lazy" class="image_expand" onclick="openImage(this)"  src="images/capitulo_01/producto-mixto.png" style="width:100%">
<p>\[Volumen\;del\;paralelepípedo = área\;de\;la\;base\;.\;Altura\]</p>
<p>\[A = \lVert \vec u \times \vec v \rVert \]</p>
<p>\[h = \left| {\cos \left( \theta \right)} \right|\;\lVert \vec w\rVert \]</p>
<p>siendo \(\theta \) el ángulo entre \((\vec u \times \vec v) \;\;y\;\;\vec w\).</p>
<p>Observación: \(\cos \left( \theta \right)\) podría ser negativo, por eso tomamos su valor absoluto para el cálculo de la altura.</p>
<p>Entonces:</p>
<p>\[V = \lVert \vec u \times \vec v\ \rVert \; \lVert \vec w \rVert \;\left| {\cos \left( \theta \right)} \right|\;\;\;\;\;\;\left[ 1 \right]\]</p>
</div>

 <!-- pag 53 -->	          
					 
			<div class="page"
<p>Por otra parte:</p>
<p>\[\left( {\vec u \times \vec v} \right).\vec w = \lVert \vec u \times \vec v \rVert \; \lVert \vec w \rVert \;\cos \left( {á ng\left( {\vec u \times \vec v\;,\;\vec w} \right)} \right) = \]
\[ = \lVert \vec u \times \vec v \rVert\;\lVert \vec w \rVert \;\cos \left( \theta \right)\;\;\;\;\left[ 2 \right]\]</p>
<p>De [1] y [2] resulta:</p>
$$ \boxed { \text {Volumen\;del\;paralelepipedo} = \left| {\;( {\vec u \times \vec v}).\vec w\;} \right|}$$
<p>Retomando el ejemplo con los vectores \(\vec u = \left( {1,2,3} \right),\)<br>
 \(\vec v = \left( {0,2,5} \right),\) \(\vec w = \left( {0,0,2} \right)\); de acuerdo al valor del producto mixto obtenido, el volumen del paralelepípedo determinado por los tres vectores es igual a 4.</p>
<div class="interactive sin_boton" poster="posters/p49.png" width="760" height="505" 
src="interactivos/rectasyplanos/productomixto.html" scale="100%">	</div>
<figcaption prefix="" style="margin-top: -12px">Objeto interactivo diseñado por Esperanza Álvarez Sáiz y Mª José García Cebrian</figcaption> 	 
 </div>

 <!-- pag 54 -->	          
					 
			<div class="page">
<h3 id="c137"> &ensp; Coplanaridad</h3>
<p>Consideremos los vectores $\vec u = (1,0,3), \vec v = (0,0,2),$ <br> $ \vec w = (3,0,4)$. Te proponemos que verifiques que el producto mixto da cero.</p>
<p>Si el producto mixto es cero, el volumen es 0, o sea que no se forma el paralelepípedo.</p>
<p>Veamos una gráfica de estos tres vectores:</p>
<img  loading="lazy" class="image_expand" onclick="openImage(this)"  src="images/capitulo_01/Productovec6.png" style="width:100%">
<p>Observamos que los tres vectores están en el plano \(y = 0\), es decir que son <em>coplanares</em>.</p>
</div>

 <!-- pag 55 -->	          
					 
			<div class="page">

<p>Tres vectores \(\vec u\), \(\vec v\), \(\vec w\) de \({\mathbb{R}^3}\) se denominan coplanares si considerados con un origen común, sus direcciones quedan incluidas en un mismo plano.</p>
<p>El producto mixto nos permite enunciar una condición de coplanaridad:</p>
<p style="text-align: center;">\(\vec u,\vec v,\vec w\;\;\)son coplanares \(\; \Leftrightarrow \;\) \(\left( {\vec u \times \vec v} \right).\vec w = 0\)</p>
<img  loading="lazy" class="image_expand" onclick="openImage(this)"  src="images/capitulo_01/Productovec7.png" style="width:100%">
<p>Lo que hemos desarrollado hasta aquí sobre vectores resulta una herramienta potente para el estudio de la geometría de rectas y planos en \({\mathbb{R}^3}\), como veremos a continuación.</p>
</div>
						
 <!-- pag 56 -->				 
			<div class="page">
				<h2 id="c14">&ensp; Ecuaciones del plano</h2>
<h3 id="c141"> &ensp; Deducción de la ecuación general del plano</h3>
<div class="flota_d">
<img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openInteractive('images/capitulo_01/Ecuacionesd1.png', '608', '187')" src="images/capitulo_01/Ecuacionesd1.png" width="100%" height="130px"></div>
<p>Dada una dirección en \({\mathbb{R}^3}\), existen infinitos planos perpendiculares a la misma. Si conocemos además un punto del plano, éste queda determinado de forma única.</p>
<p>Nos proponemos hallar la ecuación del plano \(\pi \) que pasa por \({P_0}\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\) y es perpendicular al vector \(\vec n = \left( {a,b,c} \right).\) El vector \(\vec n\) se denomina vector normal del plano.</p>
<p>¿Qué condición debe cumplir un punto \(P\left( {x,y,z} \right)\) para estar en el plano \(\pi \)? Si armamos el vector \(\overrightarrow {\;{P_0}P} \;\), éste debe ser paralelo al plano, o sea perpendicular al vector normal del plano:</p>
<p>\[P\left( {x,y,z} \right) \in \pi \; \Leftrightarrow \overrightarrow {\;{P_0}P} \; \bot \; \vec n\;\; \Leftrightarrow \;\;\overrightarrow {{P_0}P} .\, \vec n = 0\]</p>
<p id="page51">\[\left( {x - {x_{0\;}},\;y - {y_0},\;z - {z_0}} \right).\left( {a,b,c} \right) = 0\]</p>
<p>\[a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0\]</p>
$$ ax + by + cz + \underbrace {(-ax_0-by_0-cz_0)}_{d} = 0 $$
		</div>

<!-- pag 57 -->				 
			<div class="page">
<p style="text-align:center"> Ecuación general o implícita del plano </p>
$$ \boxed {ax + by + cz + d = 0} $$				
<img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openInteractive('interactivos/rectasyplanos/ejemplosplano1.html','900px', '700')" src="images/capitulo_02/ejemplos resueltos.gif" width="80%" height="260px">
<br>
<h3 id="c142">&ensp; Ecuación segmentaria del plano</h3>
<p>Dada la ecuación general de un plano:</p>
<p>\[\pi :\;\;ax + by + cz + d = 0\]</p>
<p> Si \(a,b,c,d\;\) son distintos de cero, es posible obtener otra ecuación del plano como sigue:</p>
<p>\[ax + by + cz = - d\]</p>
<p>\[\frac{a}{{ - d}}\,x + \frac{b}{{ - d}}\,y + \frac{c}{{ - d}}\,z = 1\]</p>
						</div>
						
						<!-- pag 58 -->				 
			<div class="page">
<p>$$ \frac{x}{\bigg(- \dfrac{d}{a}\bigg)} + \frac{y}{\bigg(- \dfrac{d}{b}\bigg)} + \frac{z}{\bigg(-\dfrac{d}{c}\bigg)} = 1 $$</p>
<p>Si llamamos $ p = - \dfrac{d}{a},\; q = - \dfrac{d}{b},\; r = - \dfrac{d}{c}$</p>
<p>Resulta:</p>
<p style="text-align:center"> Ecuación segmentaria del plano </p>
$$ \boxed {\frac{x}{p} + \frac{y}{q} + \frac{z}{r} = 1} $$		
<p>Veamos qué indican \(\,p,\;\) \(q,\;\)y \(\,r\,\):</p>	
<p>¿Cuál es la intersección del plano con el eje x?</p>
<p>$ y=0,\;z=0 \; \rArr x = p \; \rArr \;$ El plano corta al eje $x$ en $(p,0,0).$</p>
<p>¿Cuál es la intersección con el eje y?</p>
<p>\[\left( {0,q,0} \right)\]</p>
<p>¿Y con el eje z?</p>
<p>\[\left( {0,0,r} \right)\]</p>
<p>Podemos observar que p, q y r indican las intersecciones con los ejes.</p>		
						</div>
						
						<!-- pag 59 -->				 
			<div class="page">
<p class="titulo4"> Ejemplo</p>
<p>\[2x - 3y + z - 6 = 0\]</p>
<p>\[2x - 3y + z = 6\]</p>
<p>\[\frac{{2x}}{6} - \frac{{3y}}{6} + \frac{z}{6} = 1\]</p>
<p>\[\frac{x}{3} - \frac{y}{2} + \frac{z}{6} = 1\]</p>
<p>Esta ecuación parece segmentaria pero no lo es por el signo negativo.&nbsp; La reescribimos así:</p>
<p>\[\frac{x}{3} + \frac{y}{{ - 2}} + \frac{z}{6} = 1\;\;\;\;\;\;\;Ecuación\;segmentaria\]</p>
<p>La ecuación segmentaria es práctica para graficar un plano porque muestra los tres puntos de corte con los ejes:</p>		
<img  loading="lazy" class="image_expand" onclick="openInteractive('images/capitulo_01/segmentaria.gif','100%')"  src="images/capitulo_01/segmentaria.png" style="width:360px; height:260px" >		
						</div>
						
						<!-- pag 60 -->				 
			<div class="page">
<h3 id="c143">&ensp; Ecuación vectorial paramétrica del plano</h3>
<p>Dados dos vectores \(\vec u = \left( {{u_1},{u_2},{u_3}} \right)\) y \(\vec {v\;} = \left( {{v_1},\;{v_2},\;{v_3}} \right)\) <span style="text-decoration: underline;">no paralelos</span> y un punto \({P_0}\;\left( {{x_0},\;{y_0},\;{z_0}} \right)\), nos proponemos hallar la ecuación del plano \(\pi \) que pasa por \({P_0}\) y es paralelo a \(\vec u \) y \(\vec v \).</p>
<img  loading="lazy" class="image_expand" onclick="openInteractive('images/capitulo_01/Ecuacionesd10.png', '588', '201')"  src="images/capitulo_01/Ecuacionesd10.png" style="width:100%">
<p>¿Cómo podemos obtener un vector perpendicular al plano conociendo dos vectores paralelos a dicho plano?</p>
<p>\[\vec n = \vec u \times \vec v\]</p>
<p>Teniendo \(\vec n\;\) y el punto \({P_0}\), podemos hallar la ecuación implícita o general del plano \(\pi \) como habíamos visto previamente.</p>
<p>Obtendremos a continuación otro tipo de ecuación del plano, cuya deducción se basa en el concepto de <b>combinación lineal </b> de vectores.</p>
<p>Si \(P\left( {x,y,z} \right)\) es un punto cualquiera del plano \(\pi \), los vectores \(\overrightarrow {{P_0}P} \;,\;\vec u\;\;y\;\;\;\vec v\;\) son coplanares</p>				
						</div>
						
						<!-- pag 61 -->				 
			<div class="page">
	<p>Entonces<br>\[\exists \alpha ,\beta \in \mathbb{R}\;|\;\;\overrightarrow {{P_0}P} = \alpha \;\vec u + \beta \;\vec v\]</p>
<p>Esto significa que el vector \(\overrightarrow {{P_0}P} \) puede expresarse como combinación lineal de \(\vec u\) y \(\vec v\), como se muestra en la figura:</p>	
<img  loading="lazy" class="image_expand" onclick="openInteractive('images/capitulo_01/Ecuacionesd11.png', '576', '248')"  src="images/capitulo_01/Ecuacionesd11.png" style="width:97%">
<br>
<p>\[\left( {x - {x_0}\;,\;y - {y_0},z - {z_0}} \right) = \alpha .\left( {{u_1},{u_2},{u_3}} \right)\; + \beta \;\left( {{v_1},{v_2},{v_3}} \right)\]</p>
<p>Por lo tanto:</p>
<p>\(\left( {x,y,z} \right) = \left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right) + \alpha \;\left( {{u_1},{u_2},{u_3}} \right) + \beta \;\left( {{v_1},{v_2},{v_3}} \right)\),\(\;\;con\;\alpha ,\beta \in \mathbb{R}\)<br>
O en notación vectorial:</p>
<p style="text-align:center"> Ecuación vectorial paramétrica del plano </p>
$$ \boxed { \left( {x,y,z} \right) = \overrightarrow {O{P_0}} + \alpha .\vec u + \beta .\vec v\; } $$
	</div>
						
						<!-- pag 62 -->				 
			<div class="page">
<div class="caja4">
<p style="font-size:110%; text-align:center";> Ejemplo</p> 
<p>Armar la ecuación vectorial paramétrica del plano paralelo a \(\vec u = \left( {3, - 1,5} \right)\) y \(\vec v = \left( {7,3,2} \right)\) que pasa por el punto \({P_0}\left( {0, - 1,8} \right).\)</p>
<p>De acuerdo con lo que hemos visto, tenemos toda la información para escribir la ecuación vectorial paramétrica:</p>
<p>\[\left( {x,y,z} \right) = \left( {0, - 1,8} \right) + \alpha \left( {3, - 1,5} \right) + \beta \left( {7,3,2} \right);\;\alpha ,\beta \in \mathbb{R}\]</p>
<p>Nota: Para cada \(\alpha \;y\;\beta \in \mathbb{R}\) se obtiene un punto del plano. Por ejemplo si \(\;\alpha = 1\;\;y\;\;\;\beta = - 1\) se obtiene el punto \(\left( {x,y,z} \right) = \left( { - 4,\; - 5,\;11} \right)\).</p>
<p>Busquemos ahora la ecuación general de este plano.</p>
<p>\[\vec n = \vec u \times \vec v = \left( {3, - 1,5} \right) \times \left( {7,3,2} \right) = \left( { - 17,\;29,16} \right)\]</p>	
<p>Luego: &emsp; &emsp; &emsp; &ensp; \( - 17x + 29y + 16z + d = 0\)</p>
<p>Reemplazamos \({P_0}\) para obtener \(d\):</p>
<p>\[ - 17.0 + 29.\left( { - 1} \right) + 16.8 + d = 0 \Rightarrow \;d = - 99\]</p>
<p>Luego:&emsp; &emsp; &emsp; &ensp; \( - 17x + 29y + 16z - 99 = 0\)</p>
<p>que es la ecuación general o implícita del plano.</p>			
  </div>
	</div>
						
						<!-- pag 63 -->				 
			<div class="page">
<h3 id="c144">&ensp; De la ecuación general a la ecuación vectorial paramétrica</h3>
<p>Dada la ecuación general de un plano, ¿cómo puede obtenerse una ecuación vectorial paramétrica de dicho plano?</p>
<p>Consideremos el siguiente ejemplo:</p>
<p>\[\omega :\;\;\;2x - y + 3z + 9 = 0\]</p>
<p>Podemos despejar cualquiera de las variables, por ejemplo $y$:</p>
<p>\[y = 2x + 3z + 9\]</p>
<p>Entonces:
\[\omega :\;\;\;\left( {x,y,z} \right) = \left( {x,\;2x + 3z + 9,\;z} \right)\]</p>
<p>Reescribimos como suma de tres vectores, de forma tal que uno de ellos tenga los términos con \(x\), otro los términos con \(z\) y otro los términos independientes:</p>		
<p>\[\left( {x,y,z} \right) = \left( {x,2x,0} \right) + \left( {0,3z,z} \right) + \left( {0,9,0} \right)\;\]</p>
<p>\[\left( {x,y,z} \right) = x\left( {1,2,0} \right) + z\left( {0,3,1} \right) + \left( {0,9,0} \right)\;,\;con\;\;x,z \in \mathbb{R}\;\]</p>
<p>Si llamamos \(x = \alpha \) , \(z = \beta,\;\) resulta:</p>
<p>\[\omega:\;\left( {x,y,z} \right) = \left( {0,9,0} \right) + \alpha \left( {1,2,0} \right) + \beta \left( {0,3,1} \right),\;con\;\alpha ,\beta \in \mathbb{R}\]</p>
	</div>
						
						<!-- pag 64 -->				 
			<div class="page">
<p>Obtuvimos así una ecuación vectorial paramétrica del plano \(\omega.\)</p>
<p>El lector puede comprobar que:</p>
<p>i) &nbsp; los vectores $\vec u = (1,2,0)\,$ y $\,\vec v = (0,3,1)\;$ son perpendiculares a $\,\vec n = (2,-1,3),\;$ o sea que son paralelos al plano; </p>
<p> ii)&nbsp; $P_0 \: (0,9,0) \in \omega.$</p>		
<div class="interactive sin_boton1" poster="posters/p60.png" width="900" height="628" src="interactivos/rectasyplanos/formaparametricaplano.html" scale="100%"></div>
<figcaption prefix="" style="font-size:19px">Ecuación vectorial del plano. (Applet de Geogebra de elaboración propia.)</figcaption>		
		</div>
							<!-- pag 65 -->				 
			<div class="page">
			<p> Interactivo que permite visualizar la deducción de la <pageref ref_id="page51">página 52</pageref>:</p>
<div class="interactive sin_boton" poster="posters/p61.png" width="760" height="380" src="interactivos/rectasyplanos/generalplano.html" scale="100%"></div>
<figcaption prefix="" style="margin-top: -10px">Objeto interactivo diseñado por Esperanza Álvarez Sáiz y Mª José García Cebrian</figcaption> <br>
<p> Para practicar:</p>
<div class="interactive sin_boton" poster="posters/p61b.png" width="740" height="215" src="interactivos/rectasyplanos/ej_planovect_a_gral.html" scale="100%"></div>
<figcaption prefix="" style="margin-top: -10px">Objeto interactivo diseñado por Esperanza Álvarez Sáiz y Mª José García Cebrian</figcaption> 
	
						</div>
						
							<!-- pag 66 -->				 
			<div class="page">
	<p> Ahora que ya hemos visto distintas ecuaciones de planos, podemos detenernos en el caso particular de los que contienen a los ejes coordenados, estudiemos estos casos:</p>
<div class="interactive sin_boton" poster="posters/p62.png" width="740" height="455" src="interactivos/rectasyplanos/planoscoordenados.html" scale="100%"></div>	
<figcaption prefix="" style="margin-top: -12px">Objeto interactivo diseñado por Esperanza Álvarez Sáiz y Mª José García Cebrian</figcaption>
<br>
<p> Para practicar:</p>
<div class="interactive sin_boton" poster="posters/p62b.png" width="740" height="205" src="interactivos/rectasyplanos/ejercicio223.html" scale="100%">
</div>
<figcaption prefix="" style="margin-top: -12px">Objeto interactivo diseñado por Esperanza Álvarez Sáiz y Mª José García Cebrian</figcaption>
  	</div>
	
        <!-- pag 67 -->	           
			<div class="page">
				<h2 id="c15">&ensp; Ángulos y distancias</h2>
	<h3 id="c151">&ensp; Ángulo entre dos planos</h3>
<p>Sean los planos $\; \pi_1:\;{a_1}x + {b_1}y + {c_1}z + {d_1} = 0\: $ y <br>
$\pi_2:\;{a_2}x + {b_2}y + {c_2}z + {d_2} = 0.$</p>
<p>Dichos planos forman dos ángulos suplementarios, como muestra la figura:</p>
<img  loading="lazy" class="image_expand" onclick="openInteractive('images/capitulo_01/angulos_diedros.gif','579','532')"  src="images/capitulo_01/angulos_diedros.png" style="width:420px; height:300px" >
<br>
<p>El ángulo entre dos planos es el ángulo entre sus respectivos vectores normales:</p>
</div>

        <!-- pag 68 -->	           
			<div class="page">				
<div class="flota_d">
<img  loading="lazy" class="image_expand" onclick="openImage(this)" src="images/capitulo_01/angulosydist.png" style="width:100%;"></div>
<p>\[á ng\left( {{\pi _1},{\pi _2}} \right) = á ng\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)\]</p>
<p>Si llamamos \(\theta \;\) a dicho ángulo, resulta:</p>
<p>\[\cos \left( \theta \right) = \frac{{\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} }}{{\lVert\overrightarrow {{n_1}}\rVert \lVert\overrightarrow {{n_2}}\lVert }}\]</p>		
<p>Según el sentido de \(\overrightarrow {{n_1}} \;\;y\;\;\overrightarrow {{n_2}} \) , se obtendrá alguno de los dos ángulos suplementarios. Convenimos en tomar el menor de estos ángulos, por lo cual agregamos módulo en la fórmula anterior:</p>
<p>\[\cos \left( \theta \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\lVert\overrightarrow {{n_1}}\rVert \lVert\overrightarrow {{n_2}}\rVert }}\]</p>
<p> Ángulo entre dos planos </p>
$$\boxed {\:\: \theta = \arccos \Bigg( {\frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\lVert\overrightarrow {{n_1}} \rVert \lVert\overrightarrow {{n_2}}\rVert }}} \Bigg),\;\;\;0 \le \theta \le \frac{\pi }{2}\:\:}$$
<div class="titulo4"> Ejemplo</div>
<p>Dados los planos:
\[{\pi _1}:\;\;\;x - y + 2 = 0\]
\[{\pi _2}:\left( {x,y,z} \right) = \alpha \left( {1,2,3} \right) + \beta \left( {0,1,1} \right)\;\]
Calcular \(ang\left( {{\pi _1},{\pi _2}} \right)\).</p>
</div>

        <!-- pag 69 -->	           
			<div class="page">
<p>El plano \({\pi _2}\) está dado en forma vectorial paramétrica, para hallar el ángulo pedido necesitamos \(\overrightarrow {{n_2}} \;\):</p>
<p>\[\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1,2,3} \right) \times \left( {0,1,1} \right) = \left( { - 1, - 1,1} \right)\]</p>
<p>\[\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1, - 1,0} \right)\;\]</p>
<p>\[\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0\]</p>
<p>Esto quiere decir que \(\overrightarrow {{n_1}} \; \bot \; \overrightarrow {{n_2}} \), entonces el ángulo es \(\theta = 90^\circ \).</p>
<p>La definición de ángulo entre planos nos permite enunciar condiciones de perpendicularidad y de paralelismo entre planos.</p>
<h3 id="c152">&ensp; Planos perpendiculares y planos paralelos</h3>
<p>Sean \(\;{\pi _1}\;\) y \(\;{\pi _2}\;\) planos de vectores normales \(\;\overrightarrow {{n_1}}\;\) y \(\;\overrightarrow {{n_2}}\) <br>respectivamente:</p>
<p>Planos perpendiculares: $\;\;{\pi _1} \; \bot \; {\pi _2}\;\; \Leftrightarrow \;\;\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0$</p>
<p>Planos paralelos:<br>
 $${\pi _1} \parallel {\pi _2}\;\; \Leftrightarrow \;\;\overrightarrow {{n_1}} \parallel \overrightarrow {{n_2}} \;\; \Leftrightarrow \;\;\overrightarrow {{n_1}} = k\overrightarrow {{n_2}},\;\;k \in \mathbb{R} $$</p>
<p>Consideremos por ejemplo:</p>
\[{\pi _1}:\;\;2x - 3y + z + 1 = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\overrightarrow {\;{n_1}} = \left( {2, - 3,1} \right)\]
\[{\pi _2}:\;\;4x - 6y + 2z + 5 = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\overrightarrow {{n_2}} = \left( {4, - 6,2} \right)\]
\[{\pi _3}:\;\;4x - 6y + 2z + 2 = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\overrightarrow {{n_3}} = \left( {4, - 6,2} \right)\]
</div>
    
    <!-- pag 70 -->	           
			<div class="page">
<p>Como \(\overrightarrow {n_2} = 2\;\overrightarrow {n_1},\;\) podemos afirmar que \({\pi _1}\) y \({\pi _2}\) son paralelos.</p>
<p>Análogamente, como \(\overrightarrow {n_3}\; = \;2\;\overrightarrow {n_1},\;\) los planos \({\pi _1}\) y \({\pi _3}\) también son paralelos. Pero además se verifica que \({d_3} = 2\;{d_1}\), por lo cual \({\pi _1}\) y \({\pi _3}\) son coincidentes, o sea \({\pi _1} = {\pi _3}\).</p>
<div class="interactive sin_boton" poster="posters/p66.png" width="760" height="431" src="interactivos/rectasyplanos/anguloentreplanos.html" scale="100%"></div>
<figcaption prefix="" style="margin-top: -12px">Objeto interactivo diseñado por Esperanza Álvarez Sáiz y Mª José García Cebrian</figcaption>
</div>

        <!-- pag 71 -->	           
			<div class="page">	
<h3 id="c153">&ensp; Distancia de un punto a un plano</h3>
<p>Dados un plano \(\pi :\;\;ax + by + cz + d = 0\) y un punto \(A\left( {{x_A},{y_A},{z_A}} \right)\) , nos proponemos calcular la distancia de \(A\) a \(\pi \).</p>
<img  loading="lazy" class="image_expand" onclick="openInteractive('images/capitulo_01/angulosydist3.png', '605', '353')"  src="images/capitulo_01/angulosydist3.png" style="width:100%">
<p>La distancia de \(A\) a \(\pi \) es la longitud del segmento, siendo la proyección ortogonal (perpendicular) de \(A\) sobre \(\pi \).<br>
Consideremos un punto cualquiera \(P\left( {x,y,z} \right)\) perteneciente a \({\rm{\pi }}\).</p>
\[\overrightarrow {A'A} = {\overrightarrow {proy} _{\vec n}}\left( {\overrightarrow {PA} } \right)\]
<p>Entonces \(dist\left( {A,\pi } \right) = \lVert{\overrightarrow {proy} _{\vec n}}\left( {\overrightarrow {PA} } \right)\rVert \) siendo \(P\) un punto cualquiera del plano.</p>
			</div>
		
    <!-- pag 72 -->	           
			<div class="page">							
<p>Veamos un ejemplo, dados:</p>
<p>\[\pi :\;\;x + 2y + 3z + 1 = 0\]</p>
<p>\[A\left( {0,2,1} \right)\]</p>
<p>Calcular \(dist\left( {A,\pi } \right)\)</p>	
<p>Recordemos que la norma de la proyección de un vector en la dirección de otro se calcula así:</p>
<p>\[\lVert{\overrightarrow {proy} _{\vec n}}\left( {\overrightarrow {PA} } \right) \rVert = \frac{{\left| {\overrightarrow {PA} .\vec n} \right|}}{{\lVert\vec n\rVert}}\]</p>
<p>Tomemos un punto cualquiera del plano, por ejemplo \(P\left( { - 1,0,0} \right).\;\)Entonces</p>
<p>\[\overrightarrow {PA} = \left( {1,2,1} \right)\]</p>
<p>\[dist\left( {A,\pi } \right) = \lVert {\overrightarrow {proy} _{\vec n}}\left( {\overrightarrow {PA} } \right)\rVert = \frac{{\left| {\overrightarrow {PA} .\vec n} \right|}}{{\lVert\vec n\rVert}} = \]
\[ \frac{{\left| {\overrightarrow {PA} .\vec n} \right|}}{{\lVert\vec n\rVert}} = \frac{{\left| {\left( {1,2,1} \right).\left( {1,2,3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \frac{8}{{\sqrt {14} }}\]</p>						
<p>A continuación deduciremos una fórmula que permite calcular en forma muy sencilla la distancia de un punto a un plano.</p>						
	</div>					

		 <!-- pag 73 -->	           
			<div class="page">							
<p>Sean:</br>
\[\pi :\;\;ax + by + cz + d = 0\]</p>
<p>\[A\left( {{x_A},{y_A},{z_A}} \right)\]</p>
<p>Habíamos visto que:</p>
<p>\[d\left( {A,\pi } \right) = \lVert{\overrightarrow {proy} _{\vec n}}\left( {\overrightarrow {PA} } \right)\rVert\;\;\;\;\;\;siendo\;P\left( {x,y,z} \right) \in \pi \]</p>
<p>\[\overrightarrow {PA} = \left( {{x_A} - x,{y_A} - y,{z_A} - z} \right)\]</p>
<p>\[\vec n = \left( {a,b,c} \right)\]</p>
<p>Entonces:</p>
$$\lVert{\overrightarrow {proy} _{\vec n}} ( {\overrightarrow {PA} } )\rVert = \frac{{| {\overrightarrow {PA} .\vec n} |}}{{\lVert\vec n\rVert}} = \frac{{| {a( {{x_A} - x} ) + b( {{y_A} - y}) + c( {{z_A} - z})} |}}{{\lVert\vec n\rVert}}$$
<p>\[\lVert{\overrightarrow {proy} _{\vec n}}\left( {\overrightarrow {PA} } \right) \lVert= \frac{{\left| {a{x_A} + b{y_A} + c{z_A} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\]</p>					
<p>Concluimos que:</p>
<p style="text-align: center">Distancia de punto a plano</p>
$$ \boxed {\;dist\left( {A,\pi } \right) = \frac{{\left| {a\;{x_A} + b\;{y_A} + c\;{z_A} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\;\;}$$
	</div>	

 <!-- pag 74 -->	           
			<div class="page">							
<p>Retomemos el ejemplo que habíamos desarrollado:</p>
<p>\[\pi :\;\;x + 2y + 3z + 1 = 0\]</p>
<p>\[A\left( {0,2,1} \right)\]</p>
<p>De acuerdo con la fórmula demostrada, la distancia es:</p>
<p>\[dist\left( {A,\pi } \right) = \frac{{\left| {\;0 + 4 + 3 + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \;\frac{8}{{\sqrt {14} }}\]</p>
<p>Tal como habíamos calculado antes pero… ¡más fácil!</p>
<div class="interactive sin_boton" poster="posters/p70.png" width="760" height="425" src="interactivos/rectasyplanos/distanciaplanopunto.html" scale="100%"></div>			
<figcaption prefix="" style="margin-top: -12px">Objeto interactivo diseñado por Esperanza Álvarez Sáiz y Mª José García Cebrian</figcaption>		
	</div>	

 <!-- pag 75 -->	           
			<div class="page">							
<h3 id="c154">&ensp; Distancia entre planos paralelos</h3>
<p>Dados dos planos \({\pi _1}\) y \({\pi _2}\;\;\;\)paralelos, ¿cómo podemos hallar la distancia entre ambos?</p>
<p>Consideremos los siguientes planos paralelos:</p>
\[{\pi _1}:\;2x -3y + z + 1 = 0,\;\;\;\; {\pi _2}:\;4x - 6y + 2z + 5 = 0\]
<p>Todos los puntos de \({\pi _1}\) están a la misma distancia de \({\pi _2},\;\) por lo tanto podemos elegir un punto cualquiera de \({\pi _1}\) y calcular su distancia a \({\pi _2}.\,\) Por ejemplo: \(\;{P_1}\left( {0,0, - 1} \right)\)</p>
<p>Aplicamos la fórmula de distancia de un punto a un plano:</p>
<p>\[d\left( {{\pi _1},{\pi _2}} \right) = d\left( {{P_1},{\pi _2}} \right) = \frac{{\left| {4.0 - 6.0 + 2.\left( { - 1} \right) + 5} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {56} }}\]</p>
<p>Observación: Si los planos no son paralelos, la distancia entre ambos es 0.</p>	
<div class="interactive sin_boton" poster="posters/p71.png" width="760" height="320" src="interactivos/rectasyplanos/distanciaentreplanos.html" scale="90%"></div>			
<figcaption prefix="" style="margin-top: -12px">Objeto interactivo diseñado por Esperanza Álvarez Sáiz y Mª José García Cebrian</figcaption>
	</div>	

 <!-- pag 76 -->	           
   		<div class="page">
				<h2 id="c16">&ensp; Haz de planos</h2>
<p>Sean \({\pi _1}\) y \({\pi _2}\) dos planos no paralelos:</p>
<p>\[{\pi _1}:\;\;{a_1}\;x + {b_1}\;y + {c_1}\;z + {d_1} = 0\]</p>
<p>\[{\pi _2}:\;\;{a_2}\;x + {b_{2\;}}y + {c_2}\;z + {d_2} = 0\]</p>
<p>La intersección de dos planos no paralelos es una recta. Se denomina <strong>haz de planos</strong> al conjunto de planos que pasan por dicha recta. Uno podría imaginarse al haz de planos como si fueran las hojas de un libro abierto:</p>
<img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openImage(this)" src="images/capitulo_01/haz_de_planos.gif" width="70%"></p>
	</div>
						
        <!-- pag 77 -->	            
			<div class="page">
<p>Haz de planos que pasan por la recta \(\;\;r = {\pi _1} \cap {\pi _2}\)</p>
<p>Puede demostrarse que la ecuación del haz de planos que pasan por la recta de intersección entre \(\;{\pi _1}\;y\;\;{\pi _2}\;\) es la siguiente:</p>
<p>\[{k_1}\left( {{a_1}x + {b_1}y + {c_1}z + {d_1}} \right) + {k_2}\left( {{a_2}x + {b_2}y + {c_2}z + {d_2}} \right) = 0\] con \(\;{k_1},{k_2} \in \mathbb{R}\)</p>
<p>Para cada par de valores de \({k_1}\) y \({k_2}\) se obtiene un plano que pasa por la recta \(r\).</p>
<p>Si \(\;{k_1} = 0\;\) y \(\;{k_2} \ne 0,\;\) se obtiene la ecuación del plano \(\;{\pi _2}.\)</p>
<p>Si \(\;{k_2} = 0\;\) y \(\;{k_1} \ne 0,\;\) se obtiene la ecuación del plano \(\:{\pi _1}.\)</p>
<p>Si suponemos que alguna de las constantes es diferente de cero, por ejemplo \({k_1} \ne 0,\;\) podemos dividir la ecuación del haz por \({k_1}\):</p>
<p>\[\frac{{{k_1}}}{{{k_1}}}\left( {{a_1}x + {b_1}y + {c_1}z + {d_1}} \right) + \frac{{{k_2}}}{{{k_1}}}\left( {{a_2}x + {b_2}y + {c_2}z + {d_2}} \right) = 0\]</p>
<p>Y renombrando \({\Large \frac{{{k_2}}}{{{k_1}}}} = k\) queda:</p>
<p>\[\left( {{a_1}x + {b_1}y + {c_1}z + {d_1}} \right) + k\left( {{a_2}x + {b_2}y + {c_2}z + {d_2}} \right) = 0\]</p>
<p>Esta expresión se llama "ecuación del haz reducido". ¿De dónde proviene el nombre de «reducido»?</p>			
				</div>			
				
	<!-- pag 78 -->				 
			<div class="page">		
<p>Falta \({\pi _2}\;\) porque \({\pi _2}\;\) se corresponde con \({k_1} = 0\). Por lo tanto, en el haz reducido están todos los planos que pasan por \(r = {\pi _1} \cap {\pi _2}\) excepto \({\pi _2}.\)</p>	
	
	<div class="caja4"> 
<p style="font-size:110%; text-align:center";>  &ensp; Ejemplo</p> 	
<p>Dados los planos:</p>
<p>\[{\pi _1}:\;x + 2y + 3z + 1 = 0\]</p>
<p>\[{\pi _2}:\;\;3x - 5y + z + 10 = 0\]</p>
<p>Encontrar la ecuación de un plano que pase por la recta de intersección entre \({\pi _1}\;\) y \({\pi _2}\;\) y que:</p>
<p>a) Sea paralelo al eje \(x\)</p>
<p>b) Sea perpendicular al plano \(x + y + z = 0\)</p>
<p>Se pide encontrar un plano que pase por la recta de intersección entre \({\pi _1}\) y \({\pi _2},\;\) entonces podemos armar el haz de planos que pasa por dicha recta:</p>
<p>\[\alpha \left( {x + 2y + 3z + 1} \right) + \beta \left( {3x - 5y + z + 10} \right) = 0\]</p>
<p>a) Para que el plano sea paralelo al eje \(x\) su vector normal debe ser \(\vec n = \left( {0,\;b,\;c} \right)\). O sea, el plano debe ser de la forma:  \(by + cz + d = 0\).</p>
	</div>			
						</div>

<!-- pag 79 -->				 
			<div class="page">		
	<div class="caja4"> 
<p>Reescribimos el haz como sigue:</p>
$$ \underbrace{(\alpha + 3\beta)}_{\text{a}}x + \underbrace{(2\alpha - 5\beta)}_{\text{b}}y + \underbrace{(3\alpha + \beta)}_{\text{c}}z +  \underbrace{(\alpha + 10\beta)}_{\text{d}} = 0 $$

<p>Para que sea paralelo al eje \(x\),\(\;\;\alpha + 3\beta = 0\; \Rightarrow \; \alpha = - 3\beta \)</p>
<p>Reemplazando:</p>
<p>\[ -11\beta y - 8\beta z + 7\beta = 0\]</p>
<p>\[\beta \left( { - 11y - 8z + 7} \right) = 0\]</p>
<p>\[{\pi _3}:\; - 11y - 8z + 7 = 0\]</p>
<p>b) Ahora queremos un plano del haz que sea perpendicular al plano \(x + y + z = 0\). Dos planos son perpendiculares si sus vectores normales son perpendiculares.</p>
<p>Luego:</p>
<p>\[\left( {1,1,1} \right)\left( {\alpha + 3\beta, \; 2\alpha - 5\beta, \; 3\alpha + \beta } \right) = 0\;\]</p>
<p>\[6\alpha - \beta = 0\]</p>
<p>\[\beta = 6\alpha \]</p>
</div>					
	</div>

<!-- pag 80 -->				 
			<div class="page">		
<div class="caja4"> 
<p>Reemplazando:</p>
<p>\[19\alpha x - 28\alpha y + 9\alpha z + 61\alpha = 0\]</p>
<p>\[\alpha \left( {19x - 28y + 9z + 61} \right) = 0\]</p>
<p>\[19x - 28y + 9z + 61 = 0\]</p>
</div>				<br>	
<p> Para practicar: </p>	
<div class="interactive sin_boton" poster="posters/hazdeplanos.png" width="760" height="420" 
src="interactivos/rectasyplanos/escenahazdeplanos.html" scale="100%">	</div>	
<figcaption prefix="" style="margin-top: -12px">Objeto interactivo diseñado por Esperanza Álvarez Sáiz y Mª José García Cebrian</figcaption>
</div>		
		
		<!-- pag 81 -->				 
<div class="page">		
	<h2 id="c17">&ensp; Recta en ${\mathbb{R}^3}$</h2>
<h3 id="c171">&ensp; Ecuaciones de la recta en ${\mathbb{R}^3}$</h3>
<p>Sabemos que una recta en \({\mathbb{R}^2}\) puede expresarse por la ecuación:</p>
<p>\[y = ax + b\]</p>
<p>Pero ¿qué representa esta ecuación en \({\mathbb{R}^3}\)? En \({\mathbb{R}^3}\) es un plano paralelo al eje \(z\), y en \({\mathbb{R}^2}\) es una recta:</p>		
<img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openImage(this)" src="images/capitulo_01/Rectaenma1.png" width="100%"></p>		
<p>Para definir un plano es suficiente conocer un vector perpendicular al plano y un punto del mismo. ¿Qué datos permiten definir una recta en \({\mathbb{R}^3}\)?</p>
		</div>

			<!-- pag 82 -->				 
<div class="page">		

<p>Para definir en forma vectorial una recta en \({\mathbb{R}^3}\), es suficiente conocer un punto de la recta y un vector director que indique la dirección de la misma, o sea un vector paralelo a la recta.</p>
<h3 id="c172">&ensp; Ecuación vectorial de la recta</h3>
<p>Dados un vector \(\vec v = \left( {{v_1},{v_2},{v_3}} \right)\) y un punto \({P_0}\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\), nos proponemos hallar la ecuación de la recta \(r\) que pasa por el punto \({P_0}\) y es paralela al vector \(\vec v\).</p>	
<p>Consideremos un punto \(P\left( {x,y,z} \right)\) perteneciente a la recta $r$. El vector \(\overrightarrow {{P_0}P} \;\) resultará paralelo al vector director \(\vec v\):</p>
<img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openImage(this)" src="images/capitulo_01/RectaenR3directorpaso.gif" width="70%"></p>
<p>\[\overrightarrow {{P_0}P} = \alpha \vec v\]</p>
<p>\[\left( {x - {x_0},y - {y_0},z - {z_0}} \right) = \alpha \left( {{v_1},{v_2},{v_3}} \right)\]</p>
</div>
			<!-- pag 83 -->				 
<div class="page">	
<p style="text-align: center"> Ecuación vectorial de la recta</p>
$$ \boxed {\;( {x,y,z} ) = ( {{x_0},{y_0},{z_0}} ) + \alpha ( {{v_1},{v_2},{v_3}}),\;\;\;\alpha \in \mathbb{R}\;\;}$$	
<div class="caja4">
 <div class="titulo4"> Ejemplo</div>  
<p>Hallar la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos \(M\left( {3,2,1} \right)\) y \(S\left( { - 1,1,0} \right)\).</p>
<p>Tenemos como datos dos puntos de la recta, entonces los vectores \(\overrightarrow {MS} \) y \(\overrightarrow {SM} \) son paralelos a dicha recta. Elegimos uno de ellos como vector director:</p>
<p>\[\vec v = \overrightarrow {MS} = \left( { - 4, - 1, - 1} \right)\]</p>
<p>Podemos tomar cualquiera de los dos puntos dados cómo punto de paso, por ejemplo \(M.\;\) Entonces la ecuación es:</p>
\[\left( {x,y,z} \right) = \left( {3,2,1} \right) + \alpha \left( { -4, - 1, - 1} \right),\;\;\;\alpha \in \mathbb{R}\]
<p>(ecuación vectorial de la recta MS)</p>
<p>Para cada valor de \(\alpha \in \mathbb{R},\;\)se obtiene un punto de la recta. Por ejemplo, si \(\alpha = - 1\) se obtiene el punto \({P_1}\left( {7,3,2} \right) \in r.\)</p>
<p>¿\(\left( {5, - 3,1} \right) \in r\;\)?</p>
 </div>
	</div>
	
			<!-- pag 84 -->				 
<div class="page">	
<div class="caja4">	
<p>Veamos si existe algún valor de \(\alpha \) que verifique esta ecuación vectorial:</p>
<p>\[\left( {5, - 3,1} \right) = \left( {3,2,1} \right) + \alpha \left( { - 4, - 1, - 1} \right)\]</p>
$$ \begin{cases} \begin{align*} 3 - 4 \alpha =& \; 5 \\ 2 - \alpha =& -3 \\ 1- \alpha =& \; 1 \end{align*} \end{cases} $$
<p>Este sistema es incompatible, así que el punto no pertenece a la recta.</p>
<p>¿Para qué valor de \(\alpha \) se obtiene el punto \(S\)?</p>
</div>
<br>
<h3 id="c173">&ensp; Ecuaciones paramétricas de la recta</h3>
<p>Hemos visto que la ecuación vectorial de una recta es:</p>
<p>\[\left( {x,y,z} \right) = \left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right) + \alpha \left( {{v_1},{v_2},{v_3}} \right)\]</p>
<p>Por igualdad de vectores:</p>
$$ \begin{cases} \begin{align*} x = x_0 + \alpha \;v_1 \\ y = y_0 + \alpha \;v_2 \\ z = z_0 + \alpha \;v_3 \end{align*} , \:\:\: \alpha \in \mathbb{R} \end{cases} $$
<p>Éstas son las <strong>ecuaciones cartesianas paramétricas de la recta</strong>.</p>
</div>
		
		<!-- pag 85 -->				 

<div class="page">	
<h3 id="c174">&ensp; Ecuaciones simétricas de la recta</h3>
<p>Si \(\;{v_1},{v_2},{v_3}\;\) son distintos de cero, entonces:</p>
<p>\[\alpha = \frac{{x - {x_o}}}{{{v_1}}},\;\;\;\;\alpha = \frac{{y - {y_o}}}{{{v_2}}},\;\;\;\;\alpha = \frac{{z - {z_o}}}{{{v_3}}}\]</p>
<p>Igualando, resulta:</p>
<p style="text-align: center"> Ecuaciones simétricas de la recta </p>
$$ \boxed{ \:\frac{{x - x_o}}{{v_1}} = \frac{{y - y_o}}{{v_2}} = \frac{{z - z_o}}{{v_3}}\;\;} $$
 <div class="titulo4"> Ejemplo</div> 
<p>Consideremos la ecuación vectorial de la recta \(MS\):</p>
<p>\[\left( {x,y,z} \right) = \left( {3,2,1} \right) + \alpha \left( { - 4, - 1, - 1} \right),\;\;\;\alpha \in \mathbb{R}\;\]</p>
<p>¿Cómo podemos obtener las ecuaciones paramétricas de la recta? Simplemente por igualdad de vectores escribimos:</p>
$$ \begin{cases} \begin{align*} x &= 3 - 4\alpha \\ y &= 2 - \alpha \\ z &= 1 - \alpha  \end{align*}, \:\:\: \alpha \in \mathbb{R} \end{cases} $$
<p style="text-align: center"> Ecuaciones paramétricas de la recta MS </p>
	</div>
		
		<!-- pag 86 -->				 
<div class="page">	
<p>Para obtener las ecuaciones simétricas, despejamos el parámetro e igualamos:</p>
<p>\[\alpha = \frac{{x - 3}}{{ - 4}},\;\;\;\alpha = \frac{{y - 2}}{{ - 1}},\;\;\alpha = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\]</p>
<p>\(\dfrac{{x - 3}}{4} = y - 2 = z - 1,\;\) ecuaciones simétricas de la recta MS.</p>
<p> Revisión: </p>
<div class="interactive sin_boton" poster="posters/p82.png" width="760" height="645" 
src="interactivos/rectasyplanos/rectas0.html" scale="100%">	</div>	
<figcaption prefix="" style="margin-top: -12px">Objeto interactivo diseñado por Esperanza Álvarez Sáiz y Mª José García Cebrian</figcaption>
		</div>
		
  <!-- pag 87 -->				 
	<div class="page">	
<div class="interactive sin_boton" poster="posters/p83.png" width="760" height="375" 
src="interactivos/rectasyplanos/rectas1.html" scale="100%">	</div>	
<figcaption prefix="" style="margin-top: -12px">Objeto interactivo diseñado por Esperanza Álvarez Sáiz y Mª José García Cebrian</figcaption>
<br>
<h3 id="c175">&ensp; Recta definida como intersección de dos planos</h3>
<p class="flota_d" style="margin-left: 10px">
<img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openImage(this)" src="images/capitulo_01/Rectaenma3.png" width="100%"></p>
<p>Dos planos no paralelos <br> ${\pi _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1}z + {d_1} = 0$ ${\pi _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2}z + {d_2} = 0$ determinan al cortarse una recta en $\mathbb{R^3}$ que queda expresada por el sistema de ecuaciones lineales:</p>
$$ \begin{cases} \begin{align*} {a_1}x + {b_1}y + {c_1}z + {d_1} = 0 \\ {a_2}x + {b_2}y + {c_2}z + {d_2} = 0 \end{align*} \end{cases} $$
	</div>	
	
  <!-- pag 88 -->				 
	<div class="page">	
<img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openInteractive('interactivos/rectainterseccionplanos.html','800px', '600')" src="images/capitulo_02/ejemplos resueltos.gif" width="80%" height="260px">
<div class="interactive sin_boton" poster="posters/p84.png" width="740" height="225" 
src="interactivos/rectasyplanos/ejerciciop84.html" scale="100%">	</div>	
<figcaption prefix="" style="margin-top: -12px">Objeto interactivo diseñado por Esperanza Álvarez Sáiz y Mª José García Cebrian</figcaption>
	</div>	  
          
		<!-- pag 89 -->				 
			<div class="page">
				<h2 id="c18">&ensp; Recta y plano: intersecciones y ángulos</h2>
<h3 id="c181">&ensp; Intersección entre recta y plano</h3>
<p>¿Qué casos pueden presentarse en la intersección entre una recta y un plano?</p>
<div class="flota_d">
<img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openInteractive('images/capitulo_01/Rectayplano1.png','515','300')" src="images/capitulo_01/Rectayplano1.png" width="100%"></div>
<div class="titulo4"> Caso 1</div>
<p>Una recta puede ser concurrente con un plano:</p>
<p>\[r \cap \pi = \left\{ P \right\}\]</p>
<br></br>
<div class="flota_d1">
<img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openInteractive('images/capitulo_01/Rectaparalelaplano.gif','429','221')" src="images/capitulo_01/Rectaparalelaplano.png" width="100%"></div>
<div class="titulo4"> Caso 2</div>
<p>Una recta puede ser paralela a un plano:<br>
\[r\parallel \pi \]
\[r \cap \pi = \emptyset \]</p>
<div class="flota_d1">
<img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openInteractive('images/capitulo_01/Rectaincluidaplano.gif','429','221')" src="images/capitulo_01/Rectaincluidaplano.png" width="100%"></div>
<div class="titulo4"> Caso 3</div>
<p>Una recta puede estar incluida en un plano:</br>
\[r \subset \pi \]
\[r \cap \pi = r\]</p>
</div>  			

<!-- pag 90 -->				 
	<div class="page">	
<p>Dados:</p>
<p>\[\pi :\;\;2x - 3y + z + 1 = 0\]</p>
<p>\[{r_1}:\left( {x,y,z} \right) = \left( {0,1,3} \right) + \alpha \left( {1,0,1} \right)\]</p>
<p>¿Cómo se busca la intersección entre la recta y el plano?</p>
<p>Escribimos las ecuaciones paramétricas de la recta y las reemplazamos en la ecuación del plano:</p>
$$ \begin{cases} \begin{align*} x &= \alpha \\ y &= 1 \\ z &= 3 + \alpha \end{align*} \end{cases}$$
<p>\[2\alpha - 3.1 + \left( {3 + \alpha } \right) + 1 = 0\;\; \Rightarrow \;\alpha = - \frac{1}{3}\]</p>
<p>Reemplazando el valor del parámetro \(\alpha \) en las ecuaciones de la recta, obtenemos el punto de intersección:</p>
<p>\[{r_1} \cap \pi = \left\{ {\;\left( { - \frac{1}{3},1,\frac{8}{3}} \right)\;} \right\}\;\;\]</p>
<img loading="lazy"  class="image_expand" onclick="openImage(this)" src="images/capitulo_01/Recta-intersecta-plano-ejemplo.gif" width="430px" height="141px">
	</div>		
			
<!-- pag 91 -->				 

	<div class="page">	
<p>Busquemos ahora la intersección del mismo plano \(\pi \) con la recta</p>
<p>\[{r_2}:\;\left( {x,y,z} \right) = \left( {0,0, - 1} \right) + \lambda \left( {3,2,0} \right)\]</p>
<p>Escribimos las ecuaciones paramétricas:</p>
$$ \begin{cases} \begin{align*} x &= 3\lambda \\ y &= 2\lambda \\ z &= -1 \end{align*} \end{cases}$$
<p>Reemplazamos en la ecuación del plano</p>
<p>\[2\left( {3\lambda } \right) - 3\left( {2\lambda } \right) - 1 + 1 = 0\; \Rightarrow \;\;0 = 0\;\;\forall \lambda \]</p>
<p>Queda una expresión que es verdadera para todo \(\lambda \). Esto significa que todo punto de la recta verifica la ecuación del plano. En este caso podemos afirmar que la recta está incluida en el plano, por lo tanto: \({r_2} \cap \pi = {r_2}\;.\)</p>
<img loading="lazy"  class="image_expand" onclick="openImage(this)" src="images/capitulo_01/Recta-incluida-en-plano-ejemplo.gif" width="429px" height="241px">	</div>		

			<!-- pag 92 -->				 

	<div class="page">	
<p>Considerando el mismo plano \(\pi \), hallemos la intersección con la recta</p>
<p>\[{r_3}:\left( {x,y,z} \right) = \left( {5,0,0} \right) + t\left( {0,1,3} \right)\]</p>
<p>Reiterando el procedimiento, resulta:</p>
$$ \begin{cases} \begin{align*} x &= 5 \\ y &= t \\ z &= 3t \end{align*} \end{cases}$$
<p>\(10 - 3t + 3t + 1 = 0\; \Rightarrow \;11 = 0\;\;\;\;\)absurdo</p>
<p>Este absurdo nos indica que la recta y el plano no tienen ningún punto en común, o sea que la recta es paralela al plano y por lo tanto: \(r \cap \pi = \emptyset \)</p>
<img loading="lazy"  class="image_expand" onclick="openImage(this)" src="images/capitulo_01/Rectanocortaplano.gif" width="429px" height="241px">
	</div>		

			<!-- pag 93 -->				 
	<div class="page">	
<p>En resumen:</p>
<p>Para hallar la intersección entre un plano y una recta, se reemplazan las ecuaciones paramétricas de la recta en la ecuación del plano.</p>
<p>Pueden presentarse tres casos:</p>
<p>i) Es posible despejar el valor del parámetro, entonces reemplazando este valor en las ecuaciones de la recta se obtiene el punto de intersección. En este caso:</p>
<p>\[r \cap \pi = \left\{ P \right\}\]</p>
<p>ii) \(0 = 0 \Rightarrow r \subset \pi  \Rightarrow r \cap \pi  = r\)</p>
<p>iii) \(0 = k\left( {con\;k \ne 0} \right) \Rightarrow Absurdo\) \( \Rightarrow r\parallel \pi  \Rightarrow r \cap \pi  = \emptyset \)</p>
<h3 id="c182">&ensp; Paralelismo entre recta y plano</h3>
<p>¿Existe una manera de anticipar si una recta es paralela a un plano sin buscar la intersección?</p>
<p>Una vez más, los vectores resultarán una herramienta potente para la geometría de rectas y planos.</p>
	</div>		
	
<!-- pag 94 -->				 
	<div class="page">	
Observemos la siguiente figura:</p>
<img loading="lazy"  class="image_expand" onclick="openImage(this)" src="images/capitulo_01/Rectayplano6.png" width="100%">
<p>¿Cómo deben ser el vector normal del plano y el vector director de la recta para que \(r\parallel \pi\)?</p>
\[r\parallel \pi \; \Leftrightarrow \; \vec v \: \bot \; \vec n\; \Leftrightarrow \;\vec v\;.\vec n = 0\]
<p>¿Qué ocurre si la recta está incluida en el plano?</p>
<img loading="lazy"  class="image_expand" onclick="openImage(this)" src="images/capitulo_01/Rectayplano7.png" width="100%">
<p>En este caso también se verifica que el vector director de la recta es perpendicular al normal del plano. Pero a diferencia del caso anterior, todos los puntos de la recta están en el plano. Esto nos permite afirmar que:</p>
</div>	
	
<!-- pag 95 -->				 
	<div class="page">	
	$$ r \subset \pi \; \Leftrightarrow \;\begin{cases} \vec v \; \bot \; \vec n \\  P_r \in \pi \end{cases}$$
<div class="caja4">
<p style="font-size:110%; text-align:center";> Ejemplo</p>
<p>Dados el plano \(\pi:\;x + y - z - 3 = 0\) y la recta <br>\(r:\left( {x,y,z} \right) = \left( {1,0,0} \right) + t\left( {0,2,2} \right)\), comprobar que la recta es paralela al plano. ¿Está incluida en el plano?</p>
<p>Si la recta es paralela al plano entonces su vector director \(\vec v\) debe ser perpendicular al vector normal del plano \(\vec n\). Luego \(\vec n.\vec v\) debe ser cero:</p>
<p>\[\left( {1,1, - 1} \right)\left( {0,2,2} \right) = 2 - 2 = 0\]</p>
<p>Para saber si la recta está incluida en el plano veamos si el punto \(\left( {1,0,0} \right)\) satisface la ecuación del plano \(\pi \):</p>
<p>\[1\; + 0 - 0 - 3 = 0 \Rightarrow \; - 2 = 0\;\;Absurdo\]</p>
<p>Como el punto no satisface la ecuación podemos concluir que \(r\) no está incluida en \(\pi \).</p>
<p style="font-size:110%; text-align:center";> Ejercicio para el lector</p>
<p>Sea \(\;\pi \) el plano paralelo al eje \(y\) que pasa por \(\left( {1,1,1} \right)\) y \(\left( {1,2,3} \right)\),</p>
	</div>	
</div>		

<!-- pag 96 -->				 
	<div class="page">	
<div class="caja4">
<p> y sea la recta</p>
$$ \begin{cases} \begin{align*} x - y &= 0 \\ x + kz &= 2 \end{align*} \end{cases}$$
<p>Hallar, si es posible, el valor de \(k\) para que la recta \(r\) sea paralela a \(\pi \).</br>
Si existe \(k\), analizar si \(r \subset \pi \).</p>
<p>Respuesta: $\;k=0\;$ y la recta no pertenece al plano.</p>
</div> <br>
<h3 id="c183">&ensp; Perpendicularidad entre recta y plano</h3>
<p>Así como encontramos una condición vectorial para el paralelismo entre una recta y un plano, nos preguntamos si existirá una condición para la perpendicularidad. Observemos la siguiente figura:</p>
<img loading="lazy"  class="image_expand" onclick="openImage(this)" src="images/capitulo_01/Rectayplano8.png" width="100%">
	</div>	
	   	
<!-- pag 97 -->				 
	<div class="page">	
<p>¿Cómo deben ser el vector normal del plano y el vector director de la recta para que \(r \; \bot \; \pi\)?</p>
\[r \; \bot \; \pi \;\; \Leftrightarrow \;\;\vec v\parallel \;\vec n\; \Leftrightarrow \;\;\vec v = k\vec n\;\;\;\]
<div class="caja4">
<p style="font-size:110%; text-align:center";> Ejemplo</p>
<p>Dado el plano \(\pi:\;x-3y + z + 1 = 0\) , hallar la ecuación de la recta perpendicular a \(\pi \) que pasa por \(A\left( {1,0,3} \right)\).</p>
<p>Como la recta es perpendicular al plano \(\pi \) entonces su vector director es paralelo al vector normal del plano. Podemos tomar:</p>
<p>\[\vec v = \left( {1, - 3,1} \right)\]</p>
<p>Ya tenemos el vector director y un punto de paso, luego la ecuación vectorial es:</p>
<p>\[r:\left( {x,y,z} \right) = \left( {1,0,3} \right) + \lambda \left( {1, - 3,1} \right),\;\;\;\lambda \in \mathbb{R}\]</p>
<p style="font-size:110%; text-align:center";> Ejercicio para el lector</p>
<p>Dado el haz de planos \(x + y -z + 2 + k\left( {x - y + z} \right) = 0,\) analizar si existe algún plano del haz que sea perpendicular a la recta
$$ r: \begin{cases} \begin{align*} x - 1 &= 0 \\ y - z &= 0 \end{align*} \end{cases}$$</p>
</div>	
	</div>	
	
<!-- pag 98 -->				 
	<div class="page">	
<p> Para reforzar y practicar: </p>
<div class="interactive sin_boton" poster="posters/p94.png" width="760" height="621" 
src="interactivos/rectasyplanos/posicionesrectaplano.html" scale="85%">	</div>	
<div class="interactive sin_boton" poster="posters/p94b.png" width="760" height="430" 
src="interactivos/rectasyplanos/posicionesrectaplano2.html" scale="85%">	</div>	
<figcaption prefix="" style="margin-top: -12px">Objetos interactivos diseñados por Esperanza Álvarez Sáiz y M. J. García Cebrian</figcaption>
	</div>	
	
<!-- pag 99 -->				 
	<div class="page">	
<h3 id="c184">&ensp; Ángulo entre recta y plano</h3>
<p>Consideremos el siguiente esquema:</p>
<img loading="lazy"  class="image_expand" onclick="openImage(this)" src="images/capitulo_01/Rectayplano9.png" width="85%">
<p>Sea \(r\) una recta no paralela ni perpendicular a un plano \(\pi \). Sea la proyección ortogonal de \(r\) sobre \(\;\pi \). Se define como ángulo entre \(r\) y \(\;\pi \) al ángulo agudo que forman \(r\) y \(r'\).<br>
¿Cómo podemos hallar dicho ángulo? Veamos la siguiente figura:</p>
<img loading="lazy"  class="image_expand" onclick="openImage(this)" src="images/capitulo_01/Rectayplano10.png" width="85%">
	</div>	

<!-- pag 100 -->				 
	<div class="page">	
<p>Podemos calcular el ángulo \(\beta \) entre \(\vec v\;\) y \(\;\vec n\) :</p>
<p>\[\cos \left( \beta \right) = \frac{{\vec v.\vec n}}{{\lVert\vec v\rVert\;\lVert\vec n\rVert}}\]</p>
<p>Como habíamos visto previamente, de acuerdo con las direcciones de \(\vec v\;\) y \(\vec n\) el ángulo \(\beta \) podría ser mayor de 90º. Agregamos módulo para obtener un ángulo agudo:</p>
<p>\[\cos \left( \beta \right) = \frac{{\left| {\vec v .\vec n} \right|}}{{\lVert\vec v\rVert\;\lVert\vec n\rVert}}\;\]</p>
<p>Como $\alpha$ y $\beta$ son complementarios se cumple la igualdad $sen( \alpha ) = \cos ( \beta),$ entonces:</p>
\[sen\left( \alpha \right) = \frac{{\left| {\;\vec v.\vec n\;} \right|}}{{\lVert\vec v\rVert\;\lVert\vec n\rVert}}\;\;\;\]
<p>Por lo tanto:</p>
<p style="text-align:center"> Ángulo entre recta y plano</p>
$$\boxed {\;\; \alpha = arcsen \left( \frac{\left| {\vec v .\vec n}  \right|}{\lVert\vec v\rVert\;\lVert\vec n\rVert} \right),\;\;0 \le \alpha \le \frac{\pi }{2}\;\;}$$
	</div>	

<!-- pag 101 -->				 
	<div class="page">	
<p>Casos particulares:</p>
<ul>
<li>Si \({\rm{\;}}\alpha = 0,\;\) entonces la recta es paralela al plano (\(\vec v.\vec n = 0\)).</li>
<li>Si $\alpha = \dfrac{\pi}{2},$ entonces la recta es perpendicular al plano ($\vec v = k\vec n$)</li>
</ul>
<p class="titulo4">Ejemplo</p>
<p>Hallar el ángulo entre el plano \(\pi:\;x + z - 8 = 0\) y el eje \(x\).</p>
<p>Conocemos el vector normal de \(\pi \) y el vector director de la recta. Luego aplicamos directamente la fórmula:</p>
\[\alpha = {\rm{arcsen}}\left( {\frac{{\left| {\overrightarrow {\;v} .\overrightarrow {n\;} } \right|}}{{\lVert\vec v\rVert\;\lVert\vec n\rVert}}} \right) = {\rm{arcsen}}\left( {\frac{{\left| {\left( {1,0,0} \right).\left( {1,0,1} \right)} \right|}}{{\sqrt 2 }}} \right) = \]
\[\alpha = {\rm{arcsen}}\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = \frac{\pi }{4}\]
<div class="interactive sin_boton" poster="posters/p97.png" width="760" height="431" 
src="interactivos/rectasyplanos/angulorectaplano.html" scale="80%">	</div>	
<figcaption prefix="" style="margin-top: -12px">Objeto interactivo diseñado por Esperanza Álvarez Sáiz y Mª José García Cebrian</figcaption>
	</div>	

<!-- pag 102 -->				 
	<div class="page">	
<h3 id="c185">&ensp; Intersección de rectas en \({\mathbb{R}^3}\)</h3>
<p>Sabemos que dos rectas en \({\mathbb{R}^2}\) o bien se cortan en un único punto o bien son paralelas.</p>
<p>Pero en \({\mathbb{R}^3}\), además de estos dos casos, existen rectas que ni se cortan ni son paralelas: son las <em>rectas alabeadas</em>.</p>
<p>Tenemos entonces tres casos en \({\mathbb{R}^3}\):</p>

<div class="flota_d">
<img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openInteractive('images/capitulo_01/Rectayplano11.png','625','267')" src="images/capitulo_01/Rectayplano11.png" width="100%"></div>
<div class="titulo4"> Caso 1: Rectas concurrentes o incidentes</div>
<p>\[{r_1} \cap {r_2} = \left\{ P \right\}\]</p>

<div> &emsp; <br>&ensp; </br> </div>
<div class="flota_d">
<img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openInteractive('images/capitulo_01/Rectayplano12.png','576','240')" src="images/capitulo_01/Rectayplano12.png" width="100%"></div>
<div class="titulo4"> Caso 2: Rectas paralelas</div>
\[{r_1}\parallel {r_2}\; \Leftrightarrow \;{\vec v_1} = k{\vec v_2}\]
<p>Las rectas paralelas podrían ser coincidentes. Para verificar si dos rectas paralelas son coincidentes basta con ver si un punto de una de ellas pertenece o no a la otra recta.</p>
	</div>	

	<!-- pag 103 -->				 
	<div class="page">	
<div class="flota_d" style="margin-top:35px">
<img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openInteractive('images/capitulo_01/rectasalabeadas.png','806','743')" src="images/capitulo_01/rectasalabeadas.png" width="100%"></div>
<div class="titulo4"> Caso 3: Rectas alabeadas</div>
<p>Existe otra posición posible para las rectas en \({\mathbb{R}^3}\). Consideremos el siguiente esquema en el que las rectas \({r_1}\), \({r_2}\) y \({r_3}\) contienen a las aristas de un cubo.</p>
<p>Las rectas \({r_1}\) y \({r_3}\) son paralelas. En cambio \({r_1}\) y \({r_2}\), que no son paralelas ni concurrentes, se denominan alabeadas.</p>
<p>$r_1$ y $r_2$ son alabeadas $\; \Leftrightarrow \; r_1 \nparallel r_2 \land r_1 \cap r_2 = \empty $</p>
<br>
<img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openInteractive('interactivos/ejemplosalabeadas.html','800px', '600')" src="images/capitulo_02/ejemplos resueltos.gif" width="80%" height="260px">
	</div>	

	<!-- pag 104 -->				 
	<div class="page">	
	
<h3 id="c186">&ensp; Plano que contiene a dos rectas</h3>
<p>Dos rectas en \({\mathbb{R}^3}\) se denominan <i>coplanares</i> si existe un plano que contiene a ambas rectas.</p>
<p>Habíamos visto que dos rectas en \({\mathbb{R}^3}\) pueden ser concurrentes, paralelas o alabeadas. Veamos en qué casos es posible encontrar un plano que las contenga:</p>
<div class="titulo4"> Caso 1: Rectas concurrentes </div>
<p>Veamos el siguiente gráfico que muestra dos rectas concurrentes:</p>
<img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openInteractive('images/capitulo_01/Rectayplano14.png','604','169')" src="images/capitulo_01/Rectayplano14.png" width="100%">
<p>Dadas dos rectas concurrentes \({r_1}\) y \({r_2}\), ¿cómo podemos encontrar el vector normal del plano?</p>
<p>\[{\vec v_1} \times {\vec v_2} = \vec n\]</p>
<p>Para completar la ecuación del plano, tomamos un punto P de cualquiera de las dos rectas.</p>
</div>	

	<!-- pag 105 -->				 
	<div class="page">	
	<p>Ejercicio de aplicación</p>
<div class="interactive sin_boton" poster="posters/p101.png" width="760" height="530" 
src="interactivos/rectasyplanos/planocontienedosrectas.html" scale="100%">	</div>	
<figcaption prefix="" style="margin-top: -12px">Objeto interactivo diseñado por Esperanza Álvarez Sáiz y Mª José García Cebrian</figcaption>
</div>	

	<!-- pag 106 -->				 
	<div class="page">	
<div class="titulo4"> Caso 2: Rectas paralelas </div>
<p>Veamos el siguiente gráfico que muestra dos rectas paralelas y el plano que las contiene:</p>
<img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openInteractive('images/capitulo_01/Rectayplano15.png','576','240')" src="images/capitulo_01/Rectayplano15.png" width="100%">
<p>Dadas dos rectas paralelas, existe un plano que las contiene pero no podemos hallar el vector normal como en el caso de las rectas concurrentes. ¿Por qué?</p>	
<div class="titulo4"> Caso 3: Rectas alabeadas</div>
<p>Dos rectas alabeadas no pueden estar contenidas en un mismo plano.</p>
<div class="caja1" align="center">  Ejemplos resueltos
<img class="image_link sin_boton2" onclick="openInteractive('interactivos/ultimop102.html', '100%')" src="images/p378a.gif" width="84px">
      </div>
</div>

	<!-- pag 107 -->				 
	<div class="page">	
<h3 id="c187">&ensp; Ángulo entre dos rectas</h3>
<p>Definición: El ángulo entre dos rectas de \({\mathbb{R}^3}\) es el ángulo entre sus vectores directores.</p>
<p>Sean las rectas \({r_1}\) y \({r_2}\) con vectores directores $\vec v_1 $ y $\vec v_2.$ Entonces:</p>
<p>$$\cos \left( \alpha \right) = \frac{\vec v_1 .\vec v_2 }{\lVert\vec v_1 \rVert \;\lVert\vec v_2\rVert \ }$$</p>
<p>Usamos la misma convención que para ángulo entre planos y para ángulo entre recta y plano, y aplicamos módulo:</p>
<p>$$\cos \left( \alpha \right) = \frac{\left| \vec v_1 .\vec v_2 \right|}{\lVert\vec v_1\rVert  \;\lVert\vec v_2\rVert  }$$</p>	
<p>Por lo tanto:</p>
<p style="text-align:center">Ángulo entre dos rectas</p>
$$\boxed {\;\;\alpha  = arcos\left( {\frac{{\left| {\overrightarrow {{v_1}} .\overrightarrow {{v_2}} } \right|}}{{\lVert\overrightarrow {{v_1}}\rVert \ \;\lVert\overrightarrow {{v_2}}\rVert \ }}} \right),\;\;\;0 \le \alpha \le \frac{\pi }{2}\;\;\;}$$
<p><strong>Casos particulares:</strong></p>
<p>Si \(\,\alpha = 0,\;\) entonces las rectas son paralelas $(\vec v_1 = k\;\vec v_2) $.</p>
<p>Si \(\alpha = \dfrac{\pi}{2},\;\) entonces las rectas son perpendiculares $(\vec v_1 .\vec v_2 = 0)$.</p>
</div>

	<!-- pag 108 -->				 
	<div class="page">	
<p>Observación: La definición de ángulo que hemos adoptado no toma en cuenta si las rectas se cortan o no.</p>	
<div class="titulo4">Ejemplo</div>
<p>Sean,</p>
$$ \begin{matrix} \begin{align*} &{r_1}:\;\:\left( {x,y,z} \right) = \;\lambda\left( {1,0,0} \right),\;\;\;\lambda \in \mathbb{R} \\ &{r_2}:\;\;\left( {x,y,z} \right) = \left( {0,1,0} \right) + \; t\left( {0,0,1} \right),\;\;t \in \mathbb{R} \end{align*}  \end{matrix}$$
<p>Vimos en un ejemplo anterior que estas rectas son alabeadas. ¿Cuál es el ángulo entre ellas?</p>
<p>Como \(\;\;\vec {v_1} .\vec {v_2} = 0,\;\) las rectas son perpendiculares, o sea que </p>\[\alpha = \dfrac{\pi}{{2}}\]
<div class="interactive sin_boton" poster="posters/p104.png" width="760" height="431" 
src="interactivos/rectasyplanos/anguloentrerectas.html" scale="100%">	</div>	
<figcaption prefix="" style="margin-top: -12px">Objeto interactivo diseñado por Esperanza Álvarez Sáiz y Mª José García Cebrian</figcaption>
	</div>	
	
	<!-- pag 109-->				 
			<div class="page">
				<h2 id="c19">&ensp; Distancias y proyecciones</h2>
<h3 id="c191">&ensp; Proyecciones ortogonales</h3>
<p class="titulo4">Proyección de un punto sobre un plano</p>
<p>Dados un plano $\pi$ y un punto $A$ no perteneciente a dicho plano, la proyección ortogonal de $A$ sobre $\pi$ es el punto \(A' \in \pi \) tal que \(\overrightarrow {AA'} \) es un vector perpendicular a $\pi$.</p>
<img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openImage(this)" src="images/capitulo_01/Distanciasy1.png" width="80%"></p>	
<br>
<p style="text-align:center"> $A' = pro{y_\pi }\left( A \right)\;\;$si y sólo si $\;\; \begin{cases} A' \in \pi \\ \overrightarrow{AA'} \; \bot \; \pi \end{cases} $</p>
	<div class="caja4">
<p style="font-size:110%; text-align:center";> Ejemplo</p>
<p>Dados el plano $\pi: \; 2x - y + 3z + 1 = 0 $ y el punto $A \;(4,\;1,\;-3)$, obtener la proyección ortogonal del punto sobre el plano.</p>
</div>
						</div>
						
  <!-- pag 110 -->				 
	<div class="page">	
	<div class="caja4">
<p>Para obtener buscamos la recta perpendicular a \(\pi \) que pasa por \(A\). El vector normal del plano es paralelo a esta recta, por lo tanto podemos tomarlo como vector director:</p>
<p>\[r:\left( {x,y,z} \right) = \left( {4,1, - 3} \right) + \lambda \left( {2, - 1,3} \right)\]</p>
<p>Ahora buscamos la intersección de la recta con el plano, reemplazando las ecuaciones paramétricas de la recta en la ecuación del plano:</p>
$$ \begin{cases} \begin{align*} x &= 4 + 2\lambda \\ y &= 1 - \lambda \\ z &= -3 + \lambda \end{align*} \end{cases}$$
<p>\[2\left( {4 + 2\lambda } \right) - \left( {1 - \lambda } \right) + 3.\left( { - 3 + 3\lambda } \right) + 1 = 0\]</p>
<p>\[8 + 4\lambda - 1 + \lambda - 9 + 9\lambda + 1 = 0\]</p>
<p>\[14\lambda - 1 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{{14}}\]</p>
<p>Reemplazamos en la ecuación de la recta para obtener las coordenadas del punto \(A'\;\):</p>
<p>\[\left( {x,y,z} \right) = \left( {4,1, - 3} \right) + \frac{1}{{14}}\left( {2, - 1,3} \right) =\] \[ (x,y,z)= \left( {4,1, - 3} \right) + \left( {\frac{1}{7}, - \frac{1}{{14}},\frac{3}{{14}}} \right) = \left( {\frac{{29}}{7},\frac{{13}}{{14}}, - \frac{{39}}{{14}}} \right)\;\;\]</p>
</div>
	</div>		
		<!-- pag 111 -->				 
	<div class="page">	
<p>El lector puede verificar que $A'\;\bigg( {\dfrac{29}{7},\dfrac{13}{14}, - \dfrac{39}{14}}\bigg) \in \pi \;$ y además que$\;\overrightarrow {AA'} \; \bot \; \pi \;.$</p>
<p>Si \(A \in \pi \;,\) ¿cuál es la proyección de \(A\) sobre\(\;\pi \)?</p>
<p class="titulo4">Proyección de una recta sobre un plano</p>
<p>Dados una recta \(r\) y un plano \(\pi \), nos interesa obtener la proyección ortogonal de la recta sobre el plano.</p>
<p>En general, la proyección de una recta sobre un plano es otra recta \(r'\):</p>
<img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openImage(this)" src="images/capitulo_01/Distanciasy2.png" width="80%"></p>	
<p>\[pro{y_\pi }\left( r \right) = r'\]</p>
<p>Para hallar $r'\,$ podemos proyectar dos puntos de la recta sobre el plano. Si llamamos $A$ y $B$ a dichos puntos, resulta</p>
<p>\[pro{y_\pi }\left( A \right) = A',\;\;\;\;pro{y_\pi }\left( B \right) = B'\;\;\;\;\]</p>
	</div>		

		<!-- pag 112 -->				 

	<div class="page">	
<p>La recta \(r'\) que buscamos es la recta determinada por \(A'\) y \(B'\).</p>
<p>Pero teniendo en cuenta que el punto de intersección entre la recta y el plano pertenece a \(r'\), es suficiente proyectar un solo punto de \(r\;\) para que \(r'\) quede definida.</p>
<p>También existe un caso especial: si la recta es perpendicular al plano, su proyección es un punto.</p>
<img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openImage(this)" src="images/capitulo_01/Distanciasy3.png" width="80%"></p>
<p>\[r \bot \pi \Rightarrow pro{y_\pi }\left( r \right) = A = r \cap \pi \]</p>
<div class="caja4">
<p style="font-size:110%; text-align:center";> Ejemplo</p>
<p>Dado \(\pi : x + y + z - 3 = 0\)</br>
a) Hallar la proyección de la recta \(r:\left( {x,y,z} \right) = \lambda \left( {0,2,1} \right)\) sobre \(\pi \)</br>
b) Dada la recta\(\;s:\left( {x,y,z} \right) = \left( {1,0,0} \right) + t.\left( { - 2,b,c} \right)\), hallar los valores de \(b\) y \(c\) para que la proyección de \(s\) sobre \(\pi \) sea un punto. ¿Cuál es dicho punto?</p>
</div>
	</div>		

		<!-- pag 113 -->				 

<div class="page">	
<div class="caja4">
<p style="font-size:110%; text-align:center"> Resolución</p>
<p>a) Para hallar la recta \(r' = pro{y_\pi }\left( r \right)\) buscamos dos puntos que pertenezcan a \(r'\).</p>
<p>Uno de los puntos puede ser el de intersección:</p>
<p>\[2\lambda + \lambda - 3 = 0 \Rightarrow \;\lambda = 1 \Rightarrow \left( {x,y,z} \right) = \left( {0,2,1} \right)\]</p>
<p>Tomemos el punto \(\left( {0,0,0} \right) \in r\). Para proyectarlo sobre el plano buscamos la recta perpendicular al plano que pasa por \(\left( {0,0,0} \right)\):</p>
<p>\[\left( {x,y,z} \right) = \left( {0,0,0} \right) + \alpha \left( {1,1,1} \right)\]</p>
<p>\[\left( {x,y,z} \right) = \alpha \left( {1,1,1} \right)\]</p>
<p>Reemplazando en la ecuación del plano:</p>
<p>\[\alpha + \alpha + \alpha - 3 = 0 \Rightarrow \alpha = 1\]</p>
<p>Entonces la proyección del punto \(\left( {0,0,0} \right)\) sobre \(\pi \) da \(\left( {1,1,1} \right)\;\)</p>
<p>La recta \(r'\) queda definida por los puntos \(\left( {0,2,1} \right)\) y \(\left( {1,1,1} \right)\):</p>
<p>\[r':\left( {x,y,z} \right) = \left( {0,2,1} \right) + \gamma \left( {1, - 1,0} \right)\]</p>
</div>		
           </div>

		<!-- pag 114 -->				 
<div class="page">	
<div class="caja4">
<p>b) Para que la proyección de $s$ sobre \(\pi \) sea un punto, el vector director de \(s\) debe ser paralelo al vector normal del plano. Debe existir un \(k \in \mathbb{R}\) tal que:</p>
\[\left( {1,1,1} \right) = k\left( { - 2,b,c} \right)\]
<p>De aquí deducimos que deben ser \(b = c = - 2\). La ecuación de la recta queda:<br>
\[s:\;\left( {x,y,z} \right) = \left( {1,0,0} \right) + t\left( { - 2, - 2, - 2} \right)\]
Para hallar el punto reemplazamos las ecuaciones paramétricas de la recta en la ecuación del plano:</p>
$$ s:\; \begin{cases} \begin{align*} x &= 1 - 2t \\ y &= -2t \\ z &= -2t \end{align*} \:\:\: t \in \mathbb{R}, \;\;\; \pi:\, x+y+z-3=0 \end{cases}$$
<p>\[1 - 2t - 2t - 2t - 3 = 0 \Rightarrow - 2 - 6t = 0 \Rightarrow t = - \frac{1}{3}\]</p>
<p>El punto es:
\[P\left( {\frac{5}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}} \right)\]
Por lo tanto:
\[pro{y_\pi }\left( s \right) = \;s \cap \pi = \;P\left( {\frac{5}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}} \right)\]</p>
	</div>		
</div>

		<!-- pag 115 -->				 

	<div class="page">	
	<p>En el siguiente interactivo ejercitamos la proyección de una recta sobre un plano.</p>
<div class="interactive sin_boton" poster="posters/p111.png" width="760" height="580" src="interactivos/rectasyplanos/proyeccionrectasobreplano.html" scale="100%"></div>
<figcaption prefix="" style="margin-top: -12px">Objeto interactivo diseñado por Esperanza Álvarez Sáiz y Mª José García Cebrian</figcaption>
	</div>		

		<!-- pag 116 -->				 
	<div class="page">	
<h3 id="c192">&ensp; Planos proyectantes de una recta</h3>
<p>Los planos proyectantes de una recta son aquellos planos que incluyen a la recta y son perpendiculares a los planos coordenados.</p>
<img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openImage(this)" src="images/capitulo_01/Distanciasy4.png" width="80%"></p>
<div class="titulo4"> Ejemplo 1</div>
<p>Hallar los planos proyectantes de la siguiente recta:</p>
$$ r: \; \begin{cases} \begin{align*} x - 2y + z + 7 &= 0 \\ -x + y + z - 1 &= 0 \end{align*} \end{cases}$$
<p>Resolución<br>
Teniendo en cuenta que la recta está definida como intersección de dos planos, una forma práctica de hallar los planos proyectantes es construir el haz de planos que pasan por dicha recta:</p>
	</div>		

		<!-- pag 117 -->				 
	<div class="page">	

<p>Construyamos el haz de planos que pasa por \(r\):</p>
<p>\[\mathcal{H}:\alpha \left( {x - 2y + z + 7} \right) + \beta \left( { - x + y + z - 1} \right) = 0\]</p>
<p>Ahora distribuimos y reordenamos:</p>
$$ \underbrace{(\alpha - \beta)}_{a}x + \underbrace{(-2\alpha + \beta)}_{b}y + \underbrace{(\alpha + \beta)}_{c}z + \underbrace{(7\alpha - \beta)}_{d}$$
<p>El plano proyectante perpendicular al plano \(xy\) (o sea, paralelo al eje \(z\)) es un plano de la forma \(ax\; + \;by\; + \;d\; = \;0\). Por lo tanto:</p>
<p>\[\alpha + \beta = 0 \Rightarrow \alpha = - \;\beta \]</p>
<p>\[ \Rightarrow \;\;{\pi _1}:\;\; - 2x + 3y - 8 = 0\]</p>
<p>El plano proyectante perpendicular al plano \(xz\) (o sea, paralelo al eje y) es un plano de la forma \(ax\; + \;cz\; + \;d\; = \;0\). Por lo tanto:</p>
<p>\[ - 2\alpha + \beta = 0 \Rightarrow \beta = 2\alpha \]</p>
<p>\[ \Rightarrow \;{\pi _2}:\;\; - x + 3z + 5 = 0\]</p>
<p>¿Cuál es el plano proyectante perpendicular al plano \(yz\)?</p>
	</div>		

		<!-- pag 118 -->				 
	<div class="page">	
<div class="titulo4"> Ejemplo 2</div>
<p>Hallar los planos proyectantes de la recta que pasa por los puntos \(A\left( {1,2,3} \right)\) y \(B\left( {3,1, - 1} \right)\).</p>
<p>Resolución</p>
<p>La ecuación vectorial de la recta que contiene a los puntos $A$ y $B$ es $r: (x,y,z) = (1,2,3) +t(2, - 1, - 4)$</p>
<p>Supongamos que llamamos $\pi _1$ al plano proyectante que es perpendicular al plano $xy.\;$ ¿Qué condiciones debe cumplir \(\overrightarrow {{n_1}} \,\)?</p> 
<p>Entonces: \(\left( {a,b,0} \right).\left( {2, - 1, - 4} \right) = 0 \Rightarrow 2a - b = 0 \Rightarrow b = 2a\)</p>
<p>Con \(\,a = 1\;\;\;y\;\;b = 2\) , resulta:</p>
<p>Teniendo en cuenta que \(r \subset {\pi _1}\) , reemplazamos un punto de la recta (por ejemplo $A$) para obtener \(d\).</p>
<p>El plano buscado es: \[{\pi _1}:\;x + 2y - 5 = 0\]</p>
<p>Dejamos a cargo del lector comprobar que los otros planos proyectantes son:</p>
<p style="text-align: center;">\({\pi _2}:\;2x + z - 5 = 0\,\) y \(\;{\pi _3}: - 4y + z + 5 = 0\)</p>
	</div>		
	
<!-- pag 119 -->				 
	<div class="page">	
<div class="titulo4"> Ejemplo 3</div>
<p>Retomemos el ejemplo anterior, siendo<br> \(r:\;\left( {x,y,z} \right) = \left( {1,2,3} \right) + \;t\left( {2, - 1, - 4} \right)\)</p>
<p>Cuando las componentes del vector director de una recta son distintas de cero, podemos expresarla a través de sus ecuaciones simétricas. En este caso:</p>
<p>\[r:\;\;\;\;\;\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{{ - 4}}\]</p>
<p>A partir de las ecuaciones simétricas se deducen tres igualdades, cada una de las cuales se corresponde con la ecuación de un plano proyectante de la recta:</p>
$$ \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{-1}\; \Rightarrow\;-(x-1)=2(y-2)\;\Rightarrow$$ 
<p>$\quad\quad\quad\quad \Rightarrow x + 2y - 5 = 0\;\;\;\;\;\; $ Plano proyectante $\pi_1$</p>
$$ \dfrac{x-1}{2}= \dfrac{z-3}{-4}\; \Rightarrow\;-4(x-1)=2(z-3)\;\Rightarrow$$
<p> $\quad\quad\quad\quad \Rightarrow 2x + z - 5 = 0\;\;\;\;\;\; $ Plano proyectante $\pi_2$</p>
$$ \dfrac{y-2}{-1} = \dfrac{z-3}{-4}\; \Rightarrow\;-4(y-2)=-(z-3)\;\Rightarrow$$ <p>$\quad\quad\quad\quad \Rightarrow -4y +z + 5 = 0\;\;\;\;\;\; $ Plano proyectante $\pi_3$</p>
	</div>

<!-- pag 120 -->				 
	<div class="page">	
<p>El siguiente gráfico muestra la recta y su plano proyectante \({\pi _1}:\)</p>
<img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openImage(this)" src="images/capitulo_01/Distanciasy5.png" width="80%"></p>
<p style="text-align: center;"><strong> Recta y un plano proyectante</strong></p>
<p>En la figura puede observarse que el plano proyectante \({\pi _1}\) es el plano determinado por la recta\(\;r\) y su proyección \(r'\) sobre el plano coordenado \(xy\). Lo mismo puede afirmarse de los otros dos planos proyectantes.</p>
</div>

<!-- pag 121 -->				 
	<div class="page">	
<div class="titulo4"> Actividad (para reflexionar) </div>
<p>Hallar los planos proyectantes de cada una de las siguientes rectas:</p>
<p>\[r:\;\;\left( {x,y,z} \right)\; = \;\left( {1,2,3} \right)\; + \;t\left( {1, - 2,0} \right)\]</p>
<p>\[s:\;\;\;\left( {x,y,z} \right)\; = \;\left( {2,2,1} \right)\; + \;\lambda \left( {0,0,1} \right)\]</p>
<p>A partir de los resultados obtenidos, ¿podrías establecer qué condición debe cumplirse para que una recta tenga dos de sus planos proyectantes iguales?</p>
<p>¿Existe algún caso en que no esté definido alguno de los planos proyectantes de una recta?</p>
<h3 id="c193">&ensp; Distancias</h3>
<div class="titulo4"> a) Distancia punto-recta en \({\mathbb{R}^3}\) </div>
<p>Dados un punto \(A\) y una recta \(r\) de vector director \(\vec v\), queremos hallar la distancia entre \(A\) y \(r\) (con \(A \notin r\)). Sea \(A' \in r\) tal que \(\overrightarrow {AA'} \) es perpendicular a la recta.</p>
<p>\[d\left( {A,r} \right) = \lVert\overrightarrow {AA'} \rVert\]</p>
<p>Consideremos un punto \(P \in r\) y el vector \(\overrightarrow {PA} \), y construyamos el paralelogramo determinado por \(\vec v\) y \(\overrightarrow {PA} \), tal como lo muestra la figura:</p>
	</div>

<!-- pag 122 -->				 
	<div class="page">	
<img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openImage(this)" src="images/capitulo_01/Distanciasy6.png" width="80%" height="250px"></p>
<br>
<p>El segmento \(AA'\) es la altura del paralelogramo. Si llamamos <em>S</em> al área de dicho paralelogramo, resulta:</p>
<p>\[S = b.h = \lVert\vec v\rVert.d\;\;\;\;\;\;\;\;\left[ 1 \right]\]</p>
<p>Recordemos que el área del paralelogramo es igual al módulo del producto vectorial:</p>
<p>\[S = \lVert\overrightarrow {PA} \times \vec v \rVert\;\;\;\;\;\;\;\left[ 2 \right]\]</p>
<p>Igualando \(\left[ 1 \right]\) y \(\left[ 2 \right]\) podemos despejar \(d\):</p>
<p>\[\lVert \vec v\rVert.d = \lVert\overrightarrow {PA} \times \vec v\rVert\]</p>
\[\;\; \Rightarrow \;\;\;d\left( {A,r} \right) = \frac{{\lVert\overrightarrow {PA} \times \vec v\rVert}}{{\lVert\vec v\rVert}}\]
</div>

<!-- pag 123 -->				 
	<div class="page">	
<div class="titulo4"> Ejemplo</div>
<p>Calcular la distancia entre la recta </p>
<p>$r:(x,y,z) = (1,0,- 1) + \lambda (- 2,1,1)$ y el punto \(A\left( {3, - 1,1} \right)\).</p>
<p>Resolución</p>
<p>Aplicamos la fórmula:</p>
<p>\[\;d\left( {A,r} \right) = \frac{{\lVert\overrightarrow {PA} \times \vec v\rVert}}{{\lVert\vec v\rVert}}\]</p>
<p>Tomamos un punto cualquiera de la recta, por ejemplo \(P\left( {1,0, - 1} \right)\) y formamos:</p>
<p>\[\overrightarrow {PA} = \left( {2, - 1,2} \right)\]</p>
<p>\[d\left( {A,r} \right) = \frac{{\lVert\left( {2, - 1,2} \right) \times \left( { - 2,1,1} \right)\rVert}}{{\;\lVert\left( { - 2,1,1} \right)\rVert}} = \frac{{\lVert\left( { - 3, - 6,0} \right)\rVert}}{{\sqrt 6 \;}} = \frac{{\sqrt {45} }}{{\sqrt 6 }}\]</p>
$$ d(A,r) =  \cong 2,74 $$
<div class="interactive sin_boton" poster="posters/p119.png" width="760" height="425" src="interactivos/rectasyplanos/distanciarectapunto.html" scale="55%"></div>
<figcaption prefix="" style="margin-top: -12px">Objeto interactivo diseñado por Esperanza Álvarez Sáiz y Mª José García Cebrian</figcaption>	
</div>

<!-- pag 124 -->				 
	<div class="page">	
<div class="titulo4"> b) Distancia entre dos rectas paralelas </div>
<p>La fórmula que hemos visto permite calcular la distancia entre dos rectas paralelas. Veamos un ejemplo:</p>
<p>Dadas las rectas \({r_1}:\left( {x,y,z} \right) = \left( {1,0,0} \right) + t\left( {2, - 1,1} \right)\;\) y <br>
\( r_2: \: \begin{cases} y + z = 2 \\ x + ky = 0 \end{cases}\)</p>
<p>Hallar \(k\) tal que \({r_1}\parallel {r_2}\) y calcular \(d\left( {{r_1},{r_2}} \right).\)</p>
<p>Recordemos la condición para que dos rectas sean paralelas:</p>
<p>\[{r_1}\parallel {r_2}\; \Leftrightarrow \overrightarrow {{v_1}} = \alpha \;\overrightarrow {{v_2}} \;\;\;\;\;\left[ 1 \right]\]</p>
<p>La recta \({r_2}\) está definida como intersección de dos planos. Si hacemos el producto vectorial de los vectores normales tendremos un vector director de la recta:</p>
<p>\[\left( {0,1,1} \right) \times \left( {1,k,0} \right) = \left( { - k,1, - 1} \right)\]</p>
<p>Por [1]:</p>
$$(-k, \; 1,\; -1) = \alpha (2,\;-1;1)\; \Rightarrow \; \begin{cases} \begin{align*} -k &= 2\alpha \\ 1 &= - \alpha \\ -1 &= \alpha \end{align*} \end{cases}$$
<p>\[ \Rightarrow k = 2\]</p>
	</div>

<!-- pag 125 -->				 
	<div class="page">	
<p>Para calcular la distancia, tomemos dos puntos cualesquiera de las rectas y construyamos el vector \(\overrightarrow {{P_1}{P_2}} \):</p>
<img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openImage(this)" src="images/capitulo_01/Distanciasy7.png" width="80%" height="200px"></p>
<br>
<p>\[{P_1}\left( {1,0,0} \right) \in {r_1},\;\;\;{P_2}\left( {0,0,2} \right) \in {r_2},\;\;\;\overrightarrow {{P_1}{P_2}} = \left( { - 1,0,2} \right)\]</p>
<p>La distancia entre las rectas será la distancia entre \({P_2}\) y \({r_1}\):</p>
<p>\[d\left( {{r_1},{r_2}} \right) = d\left( {{P_2},{r_1}} \right) = \frac{{\overrightarrow {{P_1}{P_2}} \times \overrightarrow {{v_1}} }}{{\overrightarrow {{v_1}} }}\]</p>
<p>\[\overrightarrow {{P_1}{P_2}} \times {\vec v_1} = \left( { - 1,0,2} \right) \times \left( {2, - 1,1} \right) = \left( {2,5,1} \right)\]</p>
\[ \lVert \overrightarrow {{P_1}{P_2}} \times \vec v \rVert = \sqrt {30} \]
<p>\[d\left( {{r_1},{r_2}} \right) = \frac{{\sqrt {30} }}{{\sqrt 6 }} = \sqrt 5 \]</p>
<p>Como puede observarse, con las mismas herramientas resolvimos un problema diferente.</p>
	</div>

<!-- pag 126 -->				 
	<div class="page">	
<div class="titulo4"> c) Distancia entre rectas alabeadas </div>
<p>Dadas dos rectas \({r_1}\) y \({r_2}\) no paralelas, nos proponemos calcular la distancia entre ambas:</p>
<img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openImage(this)" src="images/capitulo_01/distancia-entre-rectas-alabeadas.png" width="75%"></p>
<p>La mínima distancia entre dos rectas alabeadas \({r_1}\) y \({r_2}\) se obtiene al proyectar el vector \(\overrightarrow {{P_1}{P_2}} \) sobre la dirección perpendicular a ambas rectas, dada por \(\overrightarrow {{v_1}} \times \overrightarrow {{v_2}} \) :</p>
<p>\[d\left( {{r_1},{r_2}} \right) = {\lVert\overrightarrow {proy} _{\overrightarrow {{v_1}} \times \overrightarrow {{v_2}} }}\left( {\overrightarrow {{P_1}{P_2}} } \right)\rVert\]</p>
<p>Recordemos que:</p>
<p>\[\lVert{\overrightarrow {proy} _{\vec v}}\left( {\vec u} \right)\rVert = \frac{{\left| {\vec u.\vec v} \right|}}{{\lVert\vec v\rVert}}\]</p>
</div>

<!-- pag 127 -->				 
	<div class="page">	
<p>Entonces podemos obtener una fórmula para la distancia entre \({r_1}\) y \({r_2}\):</p>
<p style="text-align: center"> Distancia entre rectas alabeadas  </p>
\[ \boxed {\;\;\;d\left( {{r_1},{r_2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{P_1}{P_2}} .\left( {\overrightarrow {{v_1}} \times \overrightarrow {{v_2}} } \right)} \right|}}{{\lVert\overrightarrow {{v_1}} \times \overrightarrow {{v_2}}\rVert }}\;\;\;}\]
<p>¿Qué significa que la distancia dé \(0\)?</p>
<h3 id="c194">&ensp; Condición de coplanaridad</h3>
<p>Habíamos visto que tanto las rectas concurrentes como las paralelas son coplanares (existe un plano que las contiene).</p>
<ul>
<li>
Si las rectas se cortan, la distancia entre ellas es cero y por lo tanto:
\[\left( {\overrightarrow {{v_1}} \times \overrightarrow {{v_2}} } \right)\overrightarrow { \cdot {P_1}{P_2}} = 0\]</li>
<li>Si las rectas son paralelas, \(\overrightarrow {{v_1}} \times \overrightarrow {{v_2}} = \vec 0\) y por lo tanto también se cumple que \(\left( {\overrightarrow {{v_1}} \times \overrightarrow {{v_2}} } \right)\overrightarrow { \cdot {P_1}{P_2}} = 0\).</li>
</ul>
<p>Entonces estamos en condiciones de enunciar una <strong>condición de coplanaridad</strong> entre dos rectas:</p>
<div style="text-align: center;">\({r_1}\) y \({r_2}\) son coplanares \( \; \Leftrightarrow \; \left( {\overrightarrow {{v_1}} \times \overrightarrow {{v_2}} } \right).\overrightarrow {{P_1}{P_2}} = 0\)</div>
</div>


<!-- pag 128 -->				 
	<div class="page">	
<div class="caja4"> 
<p style="font-size:110%; text-align:center";>  &ensp; Ejemplo</p> 
<p>Dadas las rectas:</p>
\[{r_1}:\left( {x,y,z} \right) = \left( {3,2,5} \right) + \lambda \left( {0, - 1,2} \right)\]
$${r_2}:\; \begin{cases} \begin{align*} 2x + y + 3z + 2 = 0 \\ - x + 2y - 4z + 3 = 0 \end{align*} \end{cases}$$
<p>Calcular \(d\left( {{r_1},{r_2}} \right)\)</p>
<p>Resolución</p>
<p>Debemos verificar que se trata de rectas alabeadas. Busquemos la dirección de la recta \({r_2}\;\):</p>
<p>\[\overrightarrow {{v_2}} = \left( {2,1,3} \right) \times \left( { - 1,2, - 4} \right) = \left( { - 10,5,5} \right)\]</p>
<p>Vemos que <strong>las rectas no son paralelas</strong> porque sus vectores directores no son paralelos. Luego podemos utilizar la fórmula para distancia entre rectas alabeadas:</p>
<p>\[d\left( {{r_1},{r_2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{P_1}{P_2}} .\left( {\overrightarrow {{v_1}} \times \overrightarrow {{v_2}} } \right)} \right|}}{{\lVert\overrightarrow {{v_1}} \times \overrightarrow {{v_2}} \rVert}}\]</p>
<p>Para hallar\(\;{P_2}\; \in {r_2}\;\)fijamos \(z = 0\), por ejemplo, y averiguamos los valores de \(x\) e \(y\) resolviendo el sistema de ecuaciones:</p>
</div>
        </div>
		
<!-- pag 129 -->				 
	<div class="page">	
<div class="caja4"> 
$$ \begin{cases} \begin{align*} 2x + y + 2 = 0 \\ - x + 2y + 3 = 0 \end{align*} \end{cases} \;\; \Rightarrow \;\;x = - \frac{1}{5},\;\;\;y = - \frac{8}{5}$$
<p>Obtenemos así \({P_2}\left( { - \dfrac{1}{5}, - \dfrac{8}{5},0} \right) \in {r_2}\)</p>
<p>Calculamos:</p>
\[\overrightarrow {{P_1}{P_2}} = \left( { - \frac{{16}}{5},\; - \frac{{18}}{5}, - 5} \right)\]
\[\overrightarrow {{v_1}} \times \overrightarrow {{v_2}} = \left( {0, - 1,2} \right) \times \left( { - 10,5,5} \right) = \left( { - 15,\; - 20, -10} \right)\]
\[ \lVert\overrightarrow {{v_1}} \times \overrightarrow {{v_2}}\rVert = \sqrt {{{\left( { - 15} \right)}^2} + {{\left( { - 20} \right)}^2} + {{\left( { - 10} \right)}^2}} = \sqrt {725} \]
\[\overrightarrow {{P_1}{P_2}} .\left( {\overrightarrow {{v_1}} \times \overrightarrow {{v_2}} } \right) = \left( { - \frac{{16}}{5},\; - \frac{{18}}{5}, - 5} \right).\left( { - 15, - 20, - 10} \right) \]
\[ \overrightarrow {{P_1}{P_2}} .\left( {\overrightarrow {{v_1}} \times \overrightarrow {{v_2}} } \right) = 48 + 72 + 50 = 170\]
\[d\left( {{r_1},{r_2}} \right) = \frac{{170}}{{\sqrt {725} }} \cong 6,31\]
</div>
     </div>

<!-- pag 130 -->				 
	<div class="page">	
<p>Applets para repasar y ejercitar distancia entre rectas: </p>
<div class="interactive sin_boton" poster="posters/p126.png" width="740" height="601" src="interactivos/rectasyplanos/distanciaentrerectas.html" scale="80%"></div>
<div class="interactive sin_boton" poster="posters/p126b.png" width="760" height="430" src="interactivos/rectasyplanos/distanciaentrerectas2.html" scale="90%"></div>
<figcaption prefix="" style="margin-top: -12px">Objetos interactivos diseñados por E. Álvarez Sáiz y Mª José García Cebrian</figcaption>
</div>
      
<!-- pag 131 -->				 
	<div class="page">	
<div class="titulo4"> Ejercicio para el lector 1</div>	
<p>Dadas las rectas:</p>
\[{r_1}:\left( {x,y,z} \right) = \left( {2, 0, -1} \right) + \lambda \left( {3, 1, 2} \right)\]
\[{r_2}:\; \begin{cases}  x + z - 2 = 0 \\ y = 2 \end{cases} \]
<p>Hallar la ecuación del plano \(\pi \) que contiene a \({r_1}\) y es paralelo a \(\;{r_2}\).</p>
<p>Respuesta: $\: x - 5y + z - 1 = 0 $</p>
<p> Nota: en el siguiente applet, uno de los ejemplos corresponde a este ejercicio, pero $r_1$ y $r_2$ están escritas en ecuaciones simétricas. No necesariamente es el primer ejemplo que aparece.</p>
<div class="interactive sin_boton" poster="posters/p127.png" width="760" height="530" src="interactivos/rectasyplanos/ejerciciop112.html" scale="80%"></div>
<figcaption prefix="" style="margin-top: -12px">Objeto interactivo diseñado por Esperanza Álvarez Sáiz y Mª José García Cebrian</figcaption>
</div>


<!-- pag 132 -->				 
	<div class="page">	
<div class="titulo4"> Ejercicio para el lector 2</div>	
<p>Dadas las rectas </p>
$$ \begin{matrix} \begin{align*} &{r_1}:\;\:\left( {x,y,z} \right) = \;t\left( {1,1,2} \right) \\ &{r_2}:\;\;\left( {x,y,z} \right) = \left( {1,k,0} \right) + \;\lambda \;\left( {2,1,0} \right) \end{align*}  \end{matrix}$$
<p>Hallar el valor de \(k\) para que las rectas sean coplanares y encontrar el plano que las contiene.</p>
<p>Respuesta: $\:\: k = \dfrac{1}{2}, \;\; \pi: 2x - 4y + z = 0 $</p>
</div>

<!-- pag 133 -->				 
	<div class="page">	
	
<h2 id="c110">&ensp; Ejercicios surtidos de fin de capítulo</h2>	
<span style="font-size:18px"> Nota: Todos los objetos interactivos utilizados en este apartado fueron diseñados por E. Álvarez Sáiz y Mª José García Cebrian</span>
<div class="interactive sin_boton" poster="posters/ejerciciohaz.png" width="740" height="315" 
src="interactivos/ejerciciohaz.html" scale="95%">	</div>	
<p> Punto simétrico respecto de un plano </p>
<div class="interactive sin_boton" poster="posters/p129.png" width="760" height="530" 
src="interactivos/rectasyplanos/puntosimetrico_respecto_de_un_plano.html" scale="85%">	</div>	
</div>

	<!-- pag 134 -->				 
	<div class="page">	
	<p> Distancia recta plano </p>
<div class="interactive sin_boton" poster="posters/p130.png" width="760" height="365" 
src="interactivos/rectasyplanos/distanciarectaplano.html" scale="95%">	</div>
<p>Plano por punto medio de un segmento</p>	
<div class="interactive sin_boton" poster="posters/p130b.png" width="760" height="510" 
src="interactivos/rectasyplanos/planomediador.html" scale="95%">	</div>	
</div>

	<!-- pag 135 -->				 
	<div class="page">	
	
<p>Ángulo entre rectas</p>
<div class="interactive sin_boton" poster="posters/p131.png" width="740" height="225" 
src="interactivos/rectasyplanos/ejercicioangulorectas.html" scale="100%">	</div>
<p>Ángulo entre recta y plano</p>
<div class="interactive sin_boton" poster="posters/p131b.png" width="740" height="225" 
src="interactivos/rectasyplanos/ejercicioangulorectaplano.html" scale="100%">	</div>	
<p>Distancia de un punto a un eje</p>
<div class="interactive sin_boton" poster="posters/p131c.png" width="740" height="225" 
src="interactivos/rectasyplanos/distanciapuntoaeje.html" scale="100%">	</div>	
</div>

	<!-- pag 136 -->				 
	<div class="page">	
<p>Aplicación de haz de planos</p>
	<p>Determine el plano que contiene a la intersección de los planos </p>
$ P_1: x + y - z = 1,\;\;  P_2:   ﻿2x - y + z = 2$  y  pasa por el punto $P (2,-1,1).$
<p>Planteamos una ecuación simplificada del haz de planos </p>
$$P_1 + k P_2 = 0 $$
$$ x + y - z - 1 + k(2x - y + z - 2) = 0 $$
<p>El punto $ P (2,-1,1)\;$ pertenece al haz de planos, por
lo que los valores del punto se reemplazan para encontrar el valor de $k$ :<br>
$ 2 - 1 - 1 - 1 + k (4 + 1 + 1 - 2) = 0 $<br>
$-1 + 4k = 0$<br>
$k =\dfrac {1}{4}$ </p>
<p> Sustituimos el valor de $k$ en la ecuación de la intersección de los planos:</p>
$$ x + y - z - 1 + \dfrac {1}{4} (2x - y + z - 2) = 0$$
<p>Simplificando la ecuación del plano obtenida: </p>
$$\boxed {P: 2x + y - z = 2} $$
</div>

	<!-- pag 137 -->				 
	<div class="page">	
<div class="interactive sin_boton1" poster="posters/p133.png" width="700" height="500" src= "interactivos/pagina133.html" scale="100%">	</div>
<figcaption prefix="" style="margin-top: -12px">Objeto interactivo de construcción propia</figcaption>
<br>	
<p> Pasaje de ecuación vectorial del plano a ecuación general</p>                
<div class="interactive sin_boton" poster="posters/p133b.png" width="740" height="215" src="interactivos/rectasyplanos/ej_planovect_a_gral.html" scale="100%"></div>
<figcaption prefix="" style="margin-top: -12px">Objeto interactivo diseñado por Esperanza Álvarez Sáiz y Mª José García Cebrian</figcaption>
</div>

<!-- pag 138 -->				 
	<div class="page">	
<h2 id="c1111">&ensp; Autoevaluaciones de cierre de capítulo</h2>	
  <div style=" margin-left: -28px;">
          
<div class="interactive sin_boton" poster="posters/136.png" width="740" height="835" src="interactivos/Prueba_vectores_multiplechoice.html" scale="110%"></div>
</div> 
</div>

<!-- pag 139 -->				 
	<div class="page">	
    <div style=" margin-left: -28px;">      
<div class="interactive sin_boton" style="padding:-40px" poster="posters/137.png" width="740" height="825" src="interactivos/pruebapag135.html" scale="110%"></div>
</div>
</div>
<!-- ----------------------------- -->
    <div class="page" num=""></div>
	
		<!-- Capítulo 2 -->
			<!--  -->
			<div class="page invertcolor" num="" style=" background-size:auto; background-image:url(images/general/matrix1.jpg);">
			
	<div class="chap_text" style="top:100px;" > Capítulo II</div>
	<h1 class="chap_name" id="capitulo_2" style="top:150px; left:0px"> Matrices, determinantes y SEL</h1>	
</div>	 	
			

				<!--  -->		
			
<div class="page" num="">
<div class="toc_link" add_toc="no" href="#c21"></div>
<div class="toc_link" add_toc="no" href="#c211"></div>
<div class="toc_link" add_toc="no" href="#c212"></div>
<div class="toc_link" add_toc="no" href="#c213"></div>
<div class="toc_link" add_toc="no" href="#c214"></div>
<div class="toc_link" add_toc="no" href="#c215"></div>
<div class="toc_link" add_toc="no" href="#c22"></div>
<div class="toc_link" add_toc="no" href="#c221"></div>
<div class="toc_link" add_toc="no" href="#c222"></div>
<div class="toc_link" add_toc="no" href="#c223"></div>
<div class="toc_link" add_toc="no" href="#c224"></div>
<div class="toc_link" add_toc="no" href="#c225"></div>
<div class="toc_link" add_toc="no" href="#c226"></div>
<div class="toc_link" add_toc="no" href="#c227"></div>
<div class="toc_link" add_toc="no" href="#c228"></div>
<div class="toc_link" add_toc="no" href="#c229"></div>
<div class="toc_link" add_toc="no" href="#c2210"></div>
<div class="toc_link" add_toc="no" href="#c23"></div>
<div class="toc_link" add_toc="no" href="#c231"></div>
<div class="toc_link" add_toc="no" href="#c232"></div>
<div class="toc_link" add_toc="no" href="#c233"></div>
<div class="toc_link" add_toc="no" href="#c234"></div>
</div>

<!--  -->
			<div class="page" num="">
<div class="toc_link" add_toc="no" href="#c24"></div>
<div class="toc_link" add_toc="no" href="#c241"></div>
<div class="toc_link" add_toc="no" href="#c242"></div>
<div class="toc_link" add_toc="no" href="#c25"></div>
</div>
			
	<!-- ----------------------------- -->

                      <div class="page" num=""></div>		
			<!--pag 145  -->
			
			<div class="page">
				<h2 id="c21">&ensp; Matrices</h2>
						<h3 id="c211">&ensp; Definición de Matriz</h3>
<p>Una matriz $A$ de \(m \times n\) es un ordenamiento o arreglo rectangular de escalares dispuestos en \(m\) filas y \(n\) columnas. Para designar a cada uno de los \(m.n\) elementos de la matriz se utiliza un doble subíndice que indica el número de fila y número de columna que le corresponde en el arreglo:</p>

<p>                 $$ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 
                                           a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ 
                                           \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
                                           a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} $$  

										Así, \(\;{a_{34}}\) es el elemento ubicado en la fila tres y la columna cuatro y en general \({a_{ij}}\) es el elemento de la matriz \(A\) que está en la fila \(i\) y en la columna \(j\).<br>
Las matrices suelen designarse con letras mayúsculas: se anota \(A \in {\mathbb{R}^{mxn}}\) para indicar que es una matriz con \(m\) filas y \(n\) columnas cuyos elementos son números reales. Se indican con paréntesis o con corchetes:<br>
<img loading="lazy" style="text-align:center"; width="350"; height="120"; src= "https://aga.frba.utn.edu.ar/wp-content/uploads/2016/09/matrices-con-parentesis-o-corchetes-300x99.png" /></p>
                                            </div>
			<!--pag 146  -->								
			<div class="page">
			  
<p>Por ejemplo una matriz de dos filas y tres columnas se puede escribir así:  $$ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 0 \\ -2 & 4 & 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{A} \in {\mathbb{R}^{2 \times 3}}$$</p>
<p>En este caso, diremos que el tamaño u orden de \(A\) es \(2 \times 3\).</p>
<h3 id="c212">&ensp; Matriz columna</h3>
<p>Podemos pensar los vectores como casos particulares de matrices: $$ \mathbf{C} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \ matriz\;o\;vector\;columna \quad \mathbf{C} \in {\mathbb{R}^{3 \times 1}}$$</p>
<h3 id="c213">&ensp; Matriz fila</h3>
<p>O también: \[F = \left( {2\;\;\;\;\;0\;\;\;\;\;1} \right)\;\;matriz\;o\;vector\;fila\;\;\;\;F \in {\mathbb{R}^{1 \times 3}}\]</p>
<h3 id="c214">&ensp;Matriz nula</h3>
<p>La matriz nula es aquélla cuyos elementos son todos ceros. La simbolizamos con \(O\) ó \(N\))</p>
<h3 id="c215">&ensp; Igualdad de matrices</h3>
<p>Dos matrices son iguales si son del mismo orden (tamaño) y sus elementos respectivos son iguales. \[A,B \in {\mathbb{R}^{mxn}}\;\;\;\;\;A = B\; \Leftrightarrow \;{a_{ij}} = {b_{ij}}\;\;\forall i,j\]</p>
                                                                  </div>
																  
			<!--pag 147  -->														  
<div class="page">

<h2 id="c22">&ensp; Operaciones con matrices</h2>
<h3 id="c221">&ensp; Suma de matrices</h3>
<p>Sean \(A,B \in {\mathbb{R}^{m \times n}}\) entonces: \[A + B = C \in {\mathbb{R}^{m \times n}}\;\;|\;\;\;{c_{ij}} = {a_{ij}} + {b_{ij}}\;\;\;\forall i,j\]</p>
    Ejemplo
<p><img class="image_expand" onclick="openInteractive('images/capitulo_02/sumamatrices.png','553','186')" src="images/capitulo_02/sumamatrices.png" width="90%"></p>

<h3 id="c222">&ensp; Producto de un escalar por una matriz</h3>
<p>Sean \(A \in {\mathbb{R}^{m \times n}},\;k \in \mathbb{R}\), entonces: \[kA = B\; \in {\mathbb{R}^{m \times n}}\;\;|\;\;\;{b_{ij}} = k{a_{ij}}\;\;\;\forall i,j\] Por ejemplo, <br> 
<br>
si $ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -2 & 3 & 2 \end{pmatrix} $,&nbsp; entonces &nbsp;  $\mathbf{3A} = \begin{pmatrix}0 & -3 & 3\\ -6 & 9 & 6\end{pmatrix} $<br> 
<br>
Cuando \(k = -1\), obtenemos la matriz opuesta de A:
$$ \mathbf{-A}= \ (-1) \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 2 & -3 & -2 \end{pmatrix}$$
                        </div>
						
			<!--pag 148  -->				
	<div class="page">  
	  
Podemos así definir la diferencia (resta) entre dos matrices del mismo tamaño: \[A-B = A + \left( {-B} \right)\] O sea: \[A-B = C \in {\mathbb{R}^{m \times n}}\;\;\;\;|\;\;\;{c_{ij}} = {a_{ij}}-{b_{ij}}\]</p>

<div class="caja1" align="center">  Ejercicio resuelto
<img class="image_link sin_boton2" onclick="openImage('images/capitulo_02/Restadematrices1.JPG', '800', '520')" src="images/p378a.gif" width="84px">
      </div>
<br>
<h3 id="c223">&ensp; Propiedades de la suma de matrices y del producto por un escalar</h3>
<p>Sean \(A,B,C \in {\mathbb{R}^{mxn}}\;\;y\;\;\alpha ,\;\beta \in \mathbb{R}\). Vimos que: \(A + B \in {\mathbb{R}^{mxn}}\) y \(\alpha A \in {\mathbb{R}^{mxn}}\). Estas operaciones verifican las siguientes propiedades:</p>
<ol>
<li>&ensp;\(A + B = B + A\;\;\;\;\)</li>
<li>&ensp;\(\left( {A + B} \right) + C = A + \left( {B + C} \right)\;\;\;\;\)</li>
<li>&ensp;\(A + O = O + A = A\;\;\;\;\;\)</li>
<li>&ensp;\(A + \left( { -A} \right) = \left( { -A} \right) + A = O\)</li>
<li>&ensp;\(\alpha \left( {A + B} \right) = \alpha A + \alpha B\)</li>
<li>&ensp;\(\left( {\alpha + \beta } \right)A = \alpha A + \beta A\)</li>
<li>&ensp;\(\alpha \left( {\beta A} \right) = \left( {\alpha \beta } \right)A\)</li>
<li>&ensp;\(1A = A\)</li>
</ol>
                         </div>
						 
			<!--pag 149  -->	
	<div class="page">  
	
	<p>Puede observarse la analogía entre estas propiedades y las que habíamos enunciado en el capítulo anterior para vectores de \({\mathbb{R}^3}\).</p>	
	<h3 id="c224">&ensp; Producto de matrices</h3>
	<p> Sean \(A \in {\mathbb{R}^{m \times n}}\) y \(B \in {\mathbb{R}^{n \times p}}\), o sea que se cumple que la cantidad de columnas de la primera matriz es igual a la cantidad de filas de la segunda:
	
<img loading="lazy" src="https://aga.frba.utn.edu.ar/wp-content/uploads/2016/09/condicion-para-poder-multiplicar-matrices.png" width="60%" >
Entonces el producto es:<img loading="lazy" src="https://aga.frba.utn.edu.ar/wp-content/uploads/2016/09/producto-de-matrices.png" width="90%"></p>

<p> Una forma alternativa de expresar el producto es: </p>

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <semantics>
    <mrow><mi>A</mi> <mi>B</mi> <mo>=</mo> <mi>C</mi><mo>&#x2208;<!-- ∈ --></mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup>    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi>m</mi>  <mo>&#x00D7;<!-- × --></mo><mi>p</mi> </mrow></msup></mrow>  <mspace width="thickmathspace" /> <mspace width="thickmathspace" /> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow><mspace width="thickmathspace" /> <mspace width="thickmathspace" /> <mspace width="thickmathspace" /> <mspace width="thickmathspace" /><mspace width="thickmathspace" /><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"><mo movablelimits="false">&#x2211;<!-- ∑ --></mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn></mrow> <mi>n</mi> </munderover> <mo>&#x2061;<!-- ⁡ --></mo>  <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>k</mi></mrow> </msub></mrow><mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub></mrow> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">AB = C \in {\mathbb{R}^{m \times p}}\;\;\;|\;\;\;\;\;{c_{ij}} = \mathop \sum \limits_{k = 1}^n {a_{ik}}\;{b_{kj}}</annotation> </semantics></math>
</p>
<p>Por ejemplo, al multiplicar una matriz $\mathbf{A}$ de $3\times2$ por una matriz $\mathbf{B}$ de $2\times3$, tendremos como resultado una matriz de dimensión $(3\times\cancel{2})(\cancel{2}\times3) = 3\times3$.
        </p>
              </div>
			
			<!--pag 150  -->				
                     <div class="page" >
		
<div class="interactive sin_boton" poster="posters/p26.png" width="740" height="220" 
src="interactivos/escena131.html" scale="90%">
</div>
<figcaption prefix="" style="margin-top: -12px">Objeto interactivo diseñado por Mª José García Cebrian</figcaption>		  
		<p> <h3 id="c225">&ensp; Propiedades del producto</h3> </p>
<p>1) El producto de matrices no es conmutativo. $AB\not=BA$ <br>
2) \(\left( {AB} \right)C = A\left( {BC} \right)\)  asociatividad
<br> 3) \(\left( {A + B} \right)\;C = AC + BC\) distributividad a derecha <br>
 $&ensp;&ensp; P\left( {Q + R} \right) = PQ + PR \;$ distributividad a izquierda
<br> 4) \(\left( {kA} \right)B = k\left( {AB} \right) = A\left( {kB} \right)\;\;,\;\;k \in \mathbb{R}\)
<br> 5) \(OA = O\;\;\;y\;\;\;AO = O,\;\) siendo \(O\) la matriz nula</p>			 
					      												 
					 <h3 id="c226">&ensp; Matriz traspuesta</h3>
<p>La traspuesta de una matriz \(A \in {\mathbb{R}^{m \times n}}\), que indicamos como \({A^t}\), es la matriz de \(n \times m\) que se obtiene a partir de \(A\) cambiando las filas por las columnas.</p>
<div class="interactive sin_boton" poster="posters/p26_1.png" width="740" height="160" 
src="interactivos/escena112.html" scale="92%">
</div>			
<figcaption prefix="" style="margin-top: -12px">Objeto interactivo diseñado por Mª José García Cebrian</figcaption>
		</div>
									 
			<!--pag 151  -->	
					 <div class="page" >
	<h3 id="c227">&ensp; Propiedades de la matriz traspuesta</h3>	
<p>1) \({\left( {A + B} \right)^t} = {A^t} + {B^t}\)<br>
2) \({\left( {kA} \right)^t} = k{A^t},\;\;k \in \mathbb{R}\)<br>
3) \({\left( {{A^t}} \right)^t} = A\)<br>
4) \({\left( {AB} \right)^t} = {B^t}{A^t}\)</p>	
	<h3 id="c228">&ensp; Matrices cuadradas: identidad e inversa</h3>
	<p>   Si $A$ es una matriz con $m = n$ se dice que es una matriz <i>cuadrada</i>.
          La matriz <i>identidad</i> $\mathbf{I}$ es una matriz cuadrada cuyos elementos de
          la <i>diagonal principal</i> son iguales a $1$ y todos los demás son $0$. 
          Por ejemplo la matriz identidad de $3 \times 3$ es</p>
         <p> $$ \mathbf{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\
                                          0 & 1 & 0 \\
                                          0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
         Una matriz cuadrada $A$ es inversible, o<b> regular </b>, si existe otra matriz cuadrada (su inversa), que escribiremos $A^{-1}$, que cumple:
        <span style="background-color:rgb(240, 248, 250);"> $ A^{-1}.A = A.A^{-1} = I.$ </span>
        Cuando $A$ no tiene inversa se dice que $A$ es <b> singular.</b></p>
<div class="interactive sin_boton" poster="posters/p27.png" width="740" height="160" 
src="interactivos/escena150.html" scale="100%">
	</div>
	<figcaption prefix="" style="margin-top: -12px">Objeto interactivo diseñado por Mª José García Cebrian</figcaption>
	      </div>
							  
					<!--pag 152  -->	 
					  <div class="page" >
	<h3 id="c229">&ensp; Propiedades de la matriz inversa</h3>
		<p>Sean $A,B \in {\mathbb{R}^{nxn}}$  inversibles.&ensp; Entonces:</p>
<p>1) \(AB\) es inversible y su inversa es: \( \left(AB\right)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)</p>

<p>Esto significa que la inversa de \(AB\) es \({B^{-1}}{A^{-1}}\), es decir que el producto de matrices inversibles es inversible.<br>
¿Ocurre lo mismo con la suma de matrices inversibles?</p>
<p>2) \({\left( {kA} \right)^{-1}} = \frac{1}{{k\;}}\;{A^{-1}}\;\;\;\left( {k \ne 0} \right)\)</p>
<p>3) \({\left( {{A^t}} \right)^{-1}} = {\left( {{A^{-1}}} \right)^t}\)</p>				 
		<h3 id="c2210">&ensp; Algunos tipos de matrices</h3>
	<img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openInteractive('interactivos/indexb.html','800','650')" src="interactivos/images/page_62.png" width="100%"; height="45%";></img>
	<figcaption prefix="" style="margin-top: -12px">Objeto interactivo diseñado por John Jairo García Mora et al.</figcaption>
					 </div>
					 
					 <!--pag 153  -->	  
					 
					 <div class="page" >
<div class="caja3"> <p style="font-size:110%; text-align:center";>  &ensp; Ejercicios y problemas</p> 
<div class="flota_d">
<img loading="lazy" onclick="openInteractive('images/capitulo_02/Ej1matrices.png', '369', '256')" src="images/capitulo_02/Ej1matrices.png" width="90%">
</div>
        <p>1) En una ciudad hay tres empresas de telefonía celular (A, B y C) que controlan el mercado.</p>
<p>Inicialmente cada empresa tiene una fracción de la clientela que denominaremos \({a_0}\), \({b_0}\) y \({c_0}\).</p>
<p>Entonces resulta: \({a_0}\; + \;{b_0}\; + \;{c_0} = 1\) (no hay otras empresas)
<br> La figura resume el porcentaje de clientes que cambian de empresa durante un período de seis meses.</p>
<p>Este modelo matemático se basa en los siguientes supuestos:<br>
<em>&#8211; El porcentaje de cambio entre las empresas se mantiene constante con el tiempo</em>.<br>
&#8211; <em>Los clientes seguirán siendo consumidores de una de estas tres empresas.</em><br>
<em>&#8211; No se incorporan nuevos clientes al sistema.</em></p>
<p>Llamemos $X_0=\begin{pmatrix} a_0 \\ b_0\\c_0\end{pmatrix}$ al vector de estado inicial, y $X_1=\begin{pmatrix} a_1\\ b_1\\c_1\end{pmatrix}$ al vector que indica la fracción de la clientela que corresponde a cada empresa al cabo de un semestre.</p>
<p>Veamos cómo puede obtenerse \({X_1}\) a partir de \({X_0}\) .</p>
    </div>					
					 </div>
					 
					 
					 <!--pag 154  -->	 
	<div class="page">
		<div class="caja3">		
				<p>De acuerdo con la figura, podemos deducir que al cabo de un período (semestre) la empresa A conservará 70% de su clientela propia.</p>
<p>¿Qué porcentaje de su clientela conservarán las empresas B y C al cabo de un semestre?</p>

<p> <img class="image_expand" onclick="openInteractive('interactivos/solucion1.html','800','800')" src="images/boton1.png" width="20%"></p>	
<p> 2) Analice si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifique la respuesta.</p>
    <p><img class="image_expand" onclick="openImage(this)" src="images/capitulo_02/Ejercicio2.jpg" width="100%"></p>
<p> <img class="image_expand" onclick="openImage('images/capitulo_02/respuesta2.png', '610', '2550',)" src="images/boton1.png" width="20%"></p>	
        </div>
						</div>
						
					<!--pag 155  -->	
	<div class="page" ><h2 id="c23">&ensp; Determinantes</h2>
<p>¿Cómo podemos saber si una matriz tiene inversa?
   El determinante de una matriz proporciona información para responder a esta pregunta.<br>
   Cuando vimos producto vectorial y mixto, habíamos definido determinantes de orden 2 y de orden 3. Recordamos aquí las fórmulas presentadas: <br>
   A cada matriz cuadrada puede asignársele un número real que llamaremos su <strong>determinante</strong> y designaremos como $det(A)\space o \begin{vmatrix} A\end{vmatrix}.$</p>
<p>Para matrices \(2&#215;2\) y \(3&#215;3\) el determinante se calcula como sigue:
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mrow><mo>(</mo><mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub><mi>a</mi><mn>11</mn> </msub> </mtd><mtd>  <msub>
  <mi>a</mi> <mn>12</mn></msub> </mtd> </mtr><mtr> <mtd><msub> <mi>a</mi><mn>21</mn></msub> </mtd> <mtd><msub><mi>a</mi><mn>22</mn> </msub>
  </mtd></mtr> </mtable><mo>)</mo>  </mrow><mspace width="thickmathspace" /><mspace width="thickmathspace" /><mspace width="thickmathspace" /> <mo stretchy="false">&#x21D2;<!-- ⇒ --></mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mspace width="thickmathspace" /> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow><mo>|</mo>  <mi>A</mi> <mo>|</mo> </mrow><mo>=</mo> <mrow><mo>|</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr><mtd><msub><mi>a</mi> <mn>11</mn>
  </msub> </mtd><mtd> <msub><mi>a</mi> <mn>12</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr><mtd> <msub><mi>a</mi> <mn>21</mn></msub> </mtd> <mtd> <msub><mi>a</mi> <mn>22</mn> </msub></mtd> </mtr> </mtable> <mo>|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi>  <mn>11</mn> </msub> <mspace width="thickmathspace" /> <msub> <mi>a</mi> <mn>22</mn> </msub> <mo>&#x2013;</mo><msub> <mi>a</mi> <mn>12</mn></msub> <mspace width="thickmathspace" /><msub> <mi>a</mi> <mn>21</mn> </msub></math></p>
  $$A =\begin{pmatrix}  a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix} \rArr$$ $$\begin{vmatrix} A\end{vmatrix} = a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} - a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}$$  
<p>Observación: El determinante no está definido para matrices rectangulares.<br>
La regla de Sarrus es una forma práctica de calcular determinantes, sólo aplicable para matrices de \(3 \times 3\).</p>	
          </div>
					 
			 <!--pag 156  -->
					 <div class="page" >
	<p>Consideremos el siguiente esquema en el cual agregamos al final de una matriz de \(3 \times 3\) las filas 1 y 2. El determinante se calcula sumando los productos indicados por las flechas que que van de izquierda a derecha y restando los productos indicados por las flechas que van de derecha a izquierda:
	<img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openImage(this)" src="images/capitulo_02/det3x3.png" width="100%" height="200%"></img>
</p>
<div class="interactive sin_boton" poster="posters/p32.png" width="540" height="160" 
src="interactivos/escena2.html" scale="100%">
	</div>
	<figcaption prefix="" style="margin-top: -12px">Objeto interactivo diseñado por Mª José García Cebrian</figcaption><br>
		<h3 id="c231"> Desarrollo de un determinante por cofactores</h3>
<p>Dada \(A \in {\mathbb{R}^{nxn}}\), se denomina <strong>menor \({M_{ij}}\)</strong> a la submatriz de \(\left( {n - 1} \right) \times \;\left( {n - 1} \right)\) que se obtiene a partir de \(A\) eliminando la fila \(i\) y la columna \(j\).</p>
<p>Se denomina <strong>cofactor \({C_{ij}}\)</strong> del elemento \({a_{ij}}\) al producto de \({\left( { - 1} \right)^{i + j}}\) por el determinante de la matriz menor \({M_{ij}}\;\):</br>
\[{C_{ij}} = {\left( { - 1} \right)^{i + j}}\det \left( {{M_{ij}}} \right)\]</p>
				 
			 </div>
				 <!--pag 157  -->
					 <div class="page" >
<p>Por ejemplo para la matriz
    $$A =\begin{pmatrix} 3 & 1 & 4 \\ -1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 1\end{pmatrix} $$
Las matrices menores y los cofactores de la primera fila son:
<img loading="lazy" src="images/capitulo_02/matrizmenor.png" width="100%" height="130%" ></p>
<p>Observación: $$ (-1)^{(i+j)} = \begin{cases} 1 &\text{si } i + j \; es \; par \\ -1 &\text{si } i + j \; es \; impar\end{cases}$$Con estas definiciones previas, estamos en condiciones de enunciar el desarrollo de un determinante de orden \(n\).<br>
El determinante de una matriz puede calcularse utilizando los cofactores de cualquier fila o cualquier columna.</p>
<p><strong>Desarrollo por fila </strong>\(i\)<strong>:</strong><br>
 $$ \text{det}(A) = a_{i1} C_{i1} + a_{i2} C_{i2} + \dots + a_{in} C_{in} = \sum_{j = 1}^{n} a_{ij} C_{ij} \ $$      
 Este cálculo se puede hacer tomando cualquiera de las filas de $ A $, o sea: $\;i = 1,\;2,\; \ldots ,\;n$</p>
 		 </div>
					 
					 <!--pag 158  -->
					 <div class="page" >
					 
<p><strong>Desarrollo por columna </strong>\(j\)<strong>:</strong><br>
$$ \text{det}(A) = a_{1j} C_{1j} + a_{2j} C_{2j} + \dots + a_{nj} C_{nj} = \sum_{i = 1}^{n} a_{ij} C_{ij} \ $$      
 Este cálculo se puede hacer tomando cualquier columna de $ A $, o sea: $\;j = 1,\;2,\; \ldots ,\;n$</p>
 <div class="interactive sin_boton2" poster="posters/p34.png" width="580" height="340" 
src="interactivos/escena4.html" scale="105%">
	</div>
	<figcaption prefix="" style="margin-top: -25px">Objeto interactivo diseñado por Mª José García Cebrian</figcaption>
	<br>
<h3 id="c232">&ensp; Determinante de una matriz triangular</h3>
Si \(A \in {\mathbb{R}^{3 \times 3}}\) es triangular: $$A =\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33}\end{pmatrix} $$
					 </div>
					 
					<!--pag 159  -->
					
  <div class="page" >   
  
  <p>Podemos calcular el determinante de \(A\) por la primera columna:</p>
<p>$$ \begin{vmatrix} A\end{vmatrix} = a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ 0 & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11} a_{22}  a_{33}$$</p>
<p>Hemos llegado a la siguiente conclusión: si $ A \in {\mathbb{R}^{3 \times 3}}$ es triangular, su determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal.<br>
Esto se puede generalizar para matrices de cualquier orden: si \(A \in {\mathbb{R}^{n \times n}}\) es triangular, su determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal.</p> 
<p>$$ A \in {\mathbb{R}^{n \times n}} \; triangular  \Rightarrow \det \left( A \right) = {a_{11}}.{a_{22}} \ldots {a_{nn}}$$
Teniendo en cuenta que la matriz identidad es triangular, se deduce que: \[det(I)=1\]</p> 
                        <h3 id="c233">&ensp;Propiedades de los determinantes</h3>
<p>En general (es decir, a menos que la matriz sea triangular o tenga alguna otra cualidad especial), el cálculo de determinantes por medio del desarrollo por cofactores no es eficiente por el número de operaciones que implica cuando se trabaja con matrices grandes.</p>
<p> Existen propiedades que facilitan dicho cálculo y que analizaremos aquí en particular para matrices de orden 3, pero se extienden a las columnas y a matrices de cualquier orden.
 </p>
   </div>
					<!--pag 160  --> 
			<div class="page">
			
	<img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openInteractive('interactivos/Reveal2020/index.html','1120','650')" src="images/capitulo_02/page70.jpg" width="540px" height="250px">	
	
	<p> Observación: Si \(A \in {\mathbb{R}^{n \times n}}\), en algunos casos utilizaremos notación:</p>
<p> \[A = \left( {{A_1}\;\;{A_2}\;\; \ldots \;\;\;{A_n}} \right)\]</p>
<p> donde \({A_j}\) representa la columna \(j\) de la matriz \(A\).</p>	

<div class="caja4"> <p style="font-size:110%; text-align:center";>  &ensp; Ejercicios y problemas</p> 
<p> 1) Demostrar que si \(k \in \mathbb{N}\), $\; \text{det}(A^k) = [\text{det}(A)]^k$ </p>
<p style= "text-align:left"> 2) Demostrar que si $A \in {\mathbb{R}^{n \times n}}\;$ y $\,k \in \mathbb{R}$ entonces $$\quad \text{det}(kA) = k^n\,\text{det}(A)$$</p>
<p> 3) Sea \(A \in {\mathbb{R}^{3 \times 3}}\,\) y $\; \text{det}(A) = 2\,$ calcular $\; \text{det}(\frac 32\,A^3)\,$ </p>	
<p> <img class="image_expand" onclick="openImage('images/capitulo_02/respuesta713.JPG','570','80')" src="images/boton1.png" width="20%"></p>
</div>
</div>
					
                <!--pag 161  -->    
					 <div class="page" >

<div class="caja4"> 					 

<br>
<p> 4) Sea $A = \begin{pmatrix} A_{1} & A_{2} & A_{3}\end{pmatrix} \in {\mathbb{R}^{3 \times 3}},\; \text{det}(A)=k\neq 0 \;$ y <br>
 $$ B = \big( \underbrace{A_{2}}_{B_{1}} \quad \underbrace{A_{1}+3A_{3}}_{B_{2}} \quad \underbrace{A_{1}-A_{2}}_{B_{3}}\, \big) $$
Mostrar que B es inversible y calcular $ \text{det}(-2A^tB^{-1}) $
<p> <img class="image_expand" onclick="openImage('images/capitulo_02/respuesta714.JPG','685','766')" src="images/boton1.png" width="20%"></p>
 </div>	<br>
      <br>
	  <h3 id="c234"> &ensp;Obtención de la inversa a través de la adjunta</h3> 
  <p>Para calcular la matriz inversa primero necesitamos definir a la matriz <b><i>adjunta</i></b> de una matriz cuadrada $A$.</p>
    <p> Llamaremos $Cof(A)$ a la matriz de cofactores de $A$, es decir, cada elemento $(i,j)$ de $Cof(A)$ es el cofactor <pageref ref_id="c231">(ver §2.3.1)</pageref> </p>
	$$C_{ij} = (-1)^{i+j}\; \text{det}({M}_{ij}).$$
 Entonces, podemos definir a la <i><b>matriz adjunta</b></i> de $A$ como a la traspuesta de $Cof(A)$.
 $$Adj(A) =(Cof(A))^{t}$$    
<p> Si $A \in {\mathbb{R}^{n \times n}} \;$ puede demostrarse que:</p>
$$ A.Adj(A)=\text{det}(A).I \quad \land  \quad Adj(A).A=\text{det}(A).I $$
                     </div>
					 
					 <!--pag 162  -->    
					 <div class="page">	
Por lo tanto podemos afirmar que si $ \text{det}(A)\neq 0,\;$ la inversa de $A$ es: $$ A^{-1}=\frac{1}{\text{det}(A)}\, Adj(A)$$ 	
 <p> En particular, calcular la matriz inversa de una matriz de $2\times2$ es muy sencillo.</p>
    <p>  Consideremos la matriz $A$ de $2\times2$ con $\text{det(A)} \not = 0$, se tiene </p>
    <p>      $$ A^{-1} = \frac{1}{a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}}
          \begin{bmatrix} 
            a_{22} & -a_{12} \\ 
            -a_{21} & a_{11} 
          \end{bmatrix}. $$   </p>				 
        <p>Ejemplo del cálculo de la inversa de una matriz.</p>

<div class="interactive sin_boton" poster="videos/poster/poster2.png" width="700" height="400" scale="82%"
        src="https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/GraficacionComputadora/interactive/capitulo_02/the_matrix/determinant/index.html"></div>
		<figcaption prefix="" style="margin-top: -12px">Objeto interactivo diseñado por Melissa Méndez Servin</figcaption>
        Se observa cada paso usando los botónes <i>Prev</i>, <i>Sig</i> y <i>Reset</i> (para regresar al primer paso). O bien, ver el desarrollo con otra matriz presionando sobre el botón <i>Otro</i>. Esperar a que automáticamente el applet haga los cálculos.
        	 </div>
					 
					 <!--pag 163  -->  
					 <div class="page"> <h2 id="c24"> Matrices y sistemas de ecuaciones lineales</h2>	
		<p> A continuación disponemos de una presentación donde se exponen los contenidos vinculados a sistemas de ecuaciones lineales, su forma matricial, el método de eliminación de Gauss y el teorema de Rouché-Frobenius. </p>
<p>El material original de la presentación es autoría de la profesora María José García Cebrian, (disponible en <a target="_blank" href="https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/AlgebraLinealBachillerato-JS/index.html" > https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/AlgebraLinealBachillerato-JS/index.html </a>) y de los profesores Isabel Pustilnik y Federico Gómez, contenido de su página web <a target="_blank" href="https://aga.frba.utn.edu.ar/matrices-y-sistemas-de-ecuaciones-lineales/#"> Matrices y sistemas de ecuaciones lineales</a> </p>		
<br>
	<p>	<img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openInteractive('interactivos/Reveal2020/index2.html','1120','650')" src="images/capitulo_02/page73.jpg" width="540px" height="300px">	</p>
		
					</div>
					 
					 <!--pag 164  -->  
					 <div class="page" >
<h3 id="c241"> &ensp;Sistemas homogéneos</h3>					 
		<p> Un sistema es homogéneo si todos los términos independientes son cero. <br>
Estos sistemas siempre son compatibles ya que r(A) = r(A'), todos tienen al menos la solución x<sub>1</sub> = x<sub>2</sub> = ... = x<sub>n</sub> = 0, llamada solución <b>trivial</b>, y lo que interesa es saber si hay más soluciones.
</p>
<p>
<img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openInteractive('images/capitulo_02/page74.jpg', '812', '152')" src="images/capitulo_02/page74.jpg" width="100%">
<br>
 <div class="interactive sin_boton" poster="posters/p40.png" width="740" height="390" 
src="interactivos/escena11.html" scale="100%">	</div>	
<figcaption prefix="" style="margin-top: -5px">Objeto interactivo diseñado por Mª José García Cebrian</figcaption>
</div>

<!--pag 165  -->  
					 <div class="page" >
<h3 id="c242"> &ensp;Sistemas con parámetros</h3>					 
		<p> Son sistemas en los que algunos coeficientes y/o términos independientes se desconocen. Se trata de familias de sistemas de ecuaciones y 
para cada valor del parámetro o los parámetros se tiene un sistema diferente.<br>
En estos sistemas se analizan los valores de el o los parámetros para distintos valores de los rangos de A y de A'. Se hallan dichos rangos para estos valores del parámetro y se aplica el Teorema de Rouché-Frobenius.
</p>
<div class="interactive sin_boton" poster="posters/p410.png" width="740" height="360" 
src="interactivos/escena12.html" scale="100%">	</div>	
<figcaption prefix="" style="margin-top: -5px">Objeto interactivo diseñado por Mª José García Cebrian</figcaption>
								 </div>
					 
					 <!--pag 166  -->  
					 <div class="page" >
	    <div class="caja3">
	<p style="font-size:110%; text-align:center";>  &ensp; Ejercicios y problemas</p>
	<img loading="lazy“ class="image_expand" onclick = "openImage(this)" src="images/capitulo_02/ejercicio15.jpg" width="100%">
       <p>  <img class="image_expand" onclick="openInteractive('interactivos/solucion2.html','800','500')" src="images/boton1.png" width="20%" loading="lazy"></p>
  <div class="interactive sin_boton"  poster="posters/p42.png" width="740" height="200" 
src="interactivos/ejercicio12.html" scale="100%"></div>						 	   
	   3) A continuación se presentan más ejercicios para practicar.
        Todos tienen sus respectivas soluciones.
	<p><img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openInteractive('interactivos/ejercicio13.html','100%')" src="images/p378a.gif" width="180px" height="110px">	</p>	
</div>
            </div>
		                   
				<!--  pag 167-->
			
			<div class="page">
			<div class="caja4">
4) <img loading="lazy“ class="image_expand" onclick = "openImage(this)" src="images/capitulo_02/pagina774.jpg" width="100%"><br>
    <p>  <img class="image_expand" onclick="openImage('images/capitulo_02/respuesta774.jpg','722','316')" src="images/boton1.png" width="20%" loading="lazy"></p>
	5) <p>Sean el plano $ \pi :\;x + y - 2 = 0 \,$ y la recta $$r: \begin{cases} 2y+3kz-2=0 \\ 3x+ky-3z-4=0\end{cases}$$</p>
<p>Obtener los valores de k para los cuales:</p>
<p>a) la recta corta al plano en un único punto;<br>
   b) la recta no interseca al plano;<br>
   c) la recta está incluida en el plano.</p>
<p>Sugerencia: Este ejercicio puede responderse sin hacer cálculos, teniendo en cuenta los resultados del ejemplo anterior.</p>
				</div>	
			</div>		
			
	<!-- pag 168 -->				 
	<div class="page">	
<h2 id="c25">&ensp; Autoevaluaciones de cierre de capítulo</h2>	
  <div style=" margin-left: -28px;">
          
<div class="interactive sin_boton" poster="posters/166.png" width="740" height="835" src="interactivos/Prueba_SEL_respuestas_abiertas.html" scale="110%"></div>
</div> 
</div>		

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    <div style=" margin-left: -28px;">      
<div class="interactive sin_boton" style="padding:-40px" poster="posters/167.png" width="740" height="825" src="interactivos/Prueba_SEL_determinantes_multiplechoice.html" scale="110%"></div>
</div>
</div>

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				<!-- Un nuevo capitulo -->
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	<div class="chap_text" style="top:100px;" > Capítulo III</div>
	<h1 class="chap_name" id="capitulo_3" style="top:150px; left:0px">Espacios vectoriales </h1>	
</div>	 	

	 				
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</div>

			<!-- pag 175 -->
	                     <div class="page" >
	<h2 id="c31">&ensp; Espacios y subespacios vectoriales</h2>
	
	<p>Los vectores geométricos y las matrices presentan similitudes. Las propiedades de la suma y del producto por un escalar son idénticas en ambos conjuntos. Podemos generalizar el concepto de <strong>vector</strong> a partir de estas propiedades en común.</p>
<h3 id="c311">&ensp; Definición de espacio vectorial</h3>
Un <strong>espacio vectorial</strong> es un conjunto no vacío \(V\) de objetos <strong>(vectores)</strong>, en el que se definen dos operaciones: la suma y el producto por un escalar; sujetas a diez axiomas que se dan a continuación. $\forall u, v, w \in V \;$ y $\,\forall {\alpha}, {\beta} \in \R \,,$ los axiomas deben ser válidos. Llamamos \(u\, + \,v\) a la suma de vectores en \(V\), y \(\alpha v\) al producto de un escalar \(\alpha \) por un vector \(v \in V\).
<ol> <li> \(u + v\;\; \in \;V\) </li>
<li>\(u + v = v + u\)</li>
<li>\(\left( {u + v} \right) + w = u + \left( {v + w} \right)\)</li>
<li>Existe un vector nulo \({0_V} \in V\) tal que \(v + {0_V} = v\)</li>
<li>  $\forall v \in V, \;$ existe un opuesto \(\left( { -v} \right) \in V\) tal que \(v + \left( {- v} \right) = {0_V}\)</li>
<li> \(\alpha v \in V\)</li>
<li>\(\alpha \left( {u + v} \right) = \alpha u + \alpha v\)</li>
<li>\(\left( {\alpha + \beta } \right)v = \alpha v + \beta v\)</li>
<li>\(\alpha \left( {\beta v} \right) = \left( {\alpha \beta } \right)v\)</li>
<li>\(1v = v\)</li>
 </ol>
                   </div>
			
			<!-- pag 176 -->
	                     <div class="page" >
<p>Observación: En la definición anterior, cuando decimos «escalares» nos estamos refiriendo a números reales. En este caso, se dice que \(V\) es un <strong>espacio vectorial real</strong>.<br>
Pero es posible que los escalares pertenezcan a otro conjunto numérico.</p>

<div class="caja4">
<p> Ejemplo 1 </p>
<p>De acuerdo con las propiedades que vimos en el primer capitulo, podemos afirmar que \({\mathbb{R}^3}\) es un espacio vectorial.<br>
  Los espacios \({\mathbb{R}^n}\) , con \(n \ge 1\) , son los ejemplos principales de espacios vectoriales. La intuición geométrica desarrollada para \({R^3}\) nos ayudará a entender y visualizar muchos conceptos de esta unidad.<br>
Los vectores de \({\mathbb{R}^{\;n}}\) son n-uplas de números reales, o sea:</p>
<p>\[{\mathbb{R}^n} = \left\{ {\left( {{x_1},\;{x_2},\; \ldots ,\;{x_n}} \right)\;,\;\;\;con\;\;{x_i} \in \mathbb{R}} \right\}\]</p>
<p>En \({\mathbb{R}^n}\) , la suma de vectores y el producto por un escalar se definen así:</p>
<p>Sean \(\;u = \left( {{u_1},{u_2}, \ldots ,{u_n}} \right)\;\;\;y\;\;\;v = \left( {{v_1},{v_2}, \ldots {v_n}} \right)\; \in {\mathbb{R}^n}\;\)</p>
<p>\[u + v = \left( {{u_1} + {v_1},\;{u_2} + {v_2},\; \ldots ,\;{u_n} + {v_n}} \right) \in {\mathbb{R}^n}\]</p>
<p>\[\alpha v = \left( {\alpha {v_1},\;\alpha {v_2},\; \ldots ,\;\alpha {v_n}} \right) \in {\mathbb{R}^n}\]</p>
<p>Puede comprobarse que las operaciones definidas verifican los axiomas de espacio vectorial.</p>

</div>
                             </div>
							 
                     <!-- pag 177 -->
	                     <div class="page" >
<div class="caja4">
<p>Ejemplo 2 </p>
<p>De acuerdo con las propiedades enunciadas en la segunda unidad, para cada \(m\) y \(n\), \({\mathbb{R}^{mxn}}\) es un espacio vectorial.<br>
Tenemos por ejemplo \({\mathbb{R}^{2&#215;3}}\), espacio vectorial cuyos vectores son las matrices de \(2 \times 3\).</p>
<p>  Ejemplo 3 </p>
<p>Llamemos \({P_2}\) al conjunto de polinomios de grado menor o igual que 2, incluyendo el polinomio nulo.<br>
   Recordemos la suma de polinomios y la multiplicación por un escalar:<br>
   Dados \(p\left( x \right) = \;{a_o} + {a_1}x + {a_2}{x^2} \in {P_2}\) <br>
   y \(q\left( x \right) = {b_o} + {b_1}x + {b_2}{x^2} \in {P_2}\)<br>
 Definimos las operaciones:<br>
$$({p + q}) (x) =p(x) + q(x) =$$
    $$= ({a_o} + {b_o}) + ({a_1} + {b_1})x + ({a_2} + {b_2}){x^2}\; \in {P_2}$$</p>
<p>\[\left( {\alpha p} \right)\left( x \right) = \alpha p\left( x \right) = \left( {\alpha {a_o}} \right) + \left( {\alpha {a_1}} \right)x + \left( {\alpha {a_2}} \right){x^2}\; \in {P_2}\]</p>
<p>Puede demostrarse que estas operaciones verifican todos los axiomas de espacio vectorial.</p>
<p>En particular, el vector nulo en este espacio es el <b>polinomio nulo</b>, es decir el polinomio cuyos coeficientes son todos iguales a cero.</p>
</div>
         </div>
                     <!-- pag 178 -->
	                     <div class="page" >
<div class="caja4">

<p>Generalizando, para cualquier \(n \ge 0\) , el conjunto \({P_n}\) de todos los polinomios de grado <span style="text-decoration: underline;">menor o igual</span> que \(n\) (incluyendo el polinomio nulo) es un espacio vectorial.</p>
<p>Observación:</p>
<p>¿Por qué no definimos \({P_n}\) como el conjunto de polinomios de grado exactamente igual a \(n\)? Si lo definiéramos así, no sería un espacio vectorial como se muestra en el siguiente ejemplo:</p>
<p>\(p\left( x \right) = {x^2}\;\) y \(q\left( x \right) = - {x^2} + 1\) son polinomios de grado 2, pero la suma es un polinomio de grado cero. Entonces no se verificaría el primer axioma de espacio vectorial (la suma de vectores de un espacio vectorial \(V\) debe estar en \(V\)).</p>
</div>
                             </div>
<!-- pag 179 -->

	                     <div class="page" >
<h3 id="c312">&ensp; Propiedades de los espacios vectoriales</h3>
<p>A partir de los axiomas de espacios vectoriales, pueden demostrarse estas propiedades que resultan «naturales»:</p>
<p>Propiedad 1
\[0\;u = {0_V}\]</p>
<p>Propiedad 2
\[\alpha \;{0_V} = {0_V}\]</p>
<p>Propiedad 3
\[\left( { - \alpha } \right)u = - \left( {\alpha u} \right)\]</p>
<p>En particular, para \(\; \alpha =-1\) :\(\;\;\; \left( { - 1} \right)u = - u\)</p>
<p>Propiedad 4
\[\alpha \;u = {0_V}\; \Rightarrow \;\;\alpha = 0\; \vee \;\;u = {0_V}\]
Veamos cómo puede demostrarse esta última propiedad:<br />
Si \(\alpha = 0\) , se cumple la proposición.<br />
Si \(\alpha \ne 0\) , podemos multiplicar por \(\frac{1}{\alpha }\) :<br>
<br>
\[\alpha \;u = {0_V}\; \Rightarrow \frac{1}{\alpha }\alpha \;u = \frac{1}{\alpha }\;{0_V} \Rightarrow u = {0_V}\;\]</p>
                         </div>

<!-- pag 180 -->
	                     <div class="page" >

<h3 id="c313">&ensp; Subespacios vectoriales</h3>
Definición
<p>Sea \(V\) un espacio vectorial y \(W\) un subconjunto no vacío de \(V\).</p>
<p>\(W\) es un <strong><em>subespacio</em></strong> de \(V\) si \(W\) es en sí mismo un espacio vectorial con las mismas operaciones (suma de vectores y producto por un escalar) definidas en \(V\).</p>
<h6>Ejemplo</h6>
<p>\(W = \left\{ {\left( {{x_1},{x_2}} \right)\; \in {R^2}:\;{x_2} = 3{x_1}} \right\}\) ¿es un subespacio de \({\mathbb{R}^2}\)?</p>
<p>Primero analicemos el conjunto \(W\). Son todos vectores de \({\mathbb{R}^2}\) tales que la segunda componente es el triple de la primera:</p>
<p>\[\left( {{x_1},3{x_1}} \right) = {x_1}\left( {1,3} \right)\]</p>
<p>\(W\) es la recta que pasa por el origen y tiene vector director (1,3), o sea la recta de ecuación y = 3x.</p>
<p>Para decidir si \(W\) es un subespacio de \({\mathbb{R}^2},\) habría que verificar que se cumplan los axiomas del 1 al 10. El lector puede comprobar que todos se cumplen en este caso.</p>
<p>Pero en general no es necesario verificar los axiomas porque existen condiciones para determinar si un subconjunto \(W\) de un espacio vectorial \(V\) es un subespacio, son las siguientes:</p>
 </div>

<!-- pag 181 -->
	                     <div class="page" >
<p><strong>Condiciones necesarias y suficientes para caracterizar subespacios<br>
</strong></p>
<div> Sea \(W\) un subconjunto de un espacio vectorial \(V\) \(\left( {W \subseteq V} \right)\).<br>
\(W\) es <strong><em>subespacio</em></strong> de \(V\) si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones:<br>
a.&ensp; \({0_V}\) está en \(W\).<br>
b.&ensp; Si \(u\) y \(v\) están en \(W\), entonces \(u + v\) está en \(W\).<br>
c.&ensp; Si \(u\) está en \(W\) y \(k\) es un escalar, \(ku\) está en \(W\).</div>

<p><strong>Observaciones</strong></p>
<p>1.&ensp; La condición (a) asegura que W <span style="text-decoration: underline;">no</span> es vacío. La mejor manera de comprobar si W es un subespacio es buscar primero si contiene al vector nulo. Si \({0_V}\) está en W, entonces deben verificarse las propiedades (b) y (c). Si \(\;{0_V}\) no está en W, W no puede ser un subespacio y no hace falta verificar las otras propiedades.<br>
2.&ensp; Las propiedades a, b y c corresponden a los axiomas 4, 1 y 6 de espacios vectoriales.<br>
3.&ensp; Los axiomas 2, 3, 7, 8, 9 y 10 de espacio vectorial se cumplen para \(W\) porque éste es un subconjunto de \(V\). Puede decirse que \(W\) «hereda» esas propiedades de \(V\).<br>
4.&ensp; Faltaría comprobar que cada vector de \(W\) tiene su opuesto en \(W\) (axioma 5 de espacios vectoriales):<br />
Teniendo en cuenta la condición (c) de subespacios,<br>
si tomamos \(k = -1,\;\) resulta:<br>
Para cada \(u \in W\;,\left( {-1} \right)u = -u\; \in W\).<br>
Y por lo tanto cada vector de \(W\) tiene su opuesto en \(W\). </p>
	</div>
	
             <!-- pag 182 -->
				<div class="page" >
<p> De las observaciones anteriores se deduce que las condiciones (a), (b) y (c) son suficientes para demostrar que \(W\) es un espacio vectorial, y por lo tanto subespacio de \(V\).</p>

<h3 id="c314">&ensp; Subespacios triviales</h3>
<p>Si \(V\) es un espacio vectorial, entonces \(V\) es un subespacio de sí mismo.<br>
Lo mismo sucede con \(\left\{ {{0_V}} \right\}\) ya que \(\;{0_V} + {0_V} = {0_V}\) <br>
y \(k{0_V} = {0_V}\;para\;cualquier\;k\;real\)</p>
<p>Se dice que \(\left\{ {{0_V}}\right\}\) y \(V\) son los <b>subespacios triviales</b> de \(V\).</p>
<div class="caja4">
<p style="font-size:110%; text-align:center";>  &ensp; Ejercitación sobre subespacios</p>
<p>Ejemplo 1</p>
<p>Consideremos el conjunto \(W = \left\{ {\left( {x,y} \right) \in {\mathbb{R}^2}\;/\;xy = 0} \right\}\), ¿Es un subespacio de \({\mathbb{R}^2}\)?</p>
<p>Se cumple (a) pues \(\left( {0,0} \right) \in W\)</p>
<p>No se cumple (b) porque la suma de dos vectores de \(W\) puede no estar en \(W\), por ejemplo:</p>
<p>\[\left( {1,0} \right) + \left( {0,1} \right) = \left( {1,1} \right) \notin W\]</p>
<p>Entonces \(W\) no es un subespacio de \({\mathbb{R}^2}\).</p>
</div>
           </div>
	
             <!-- pag 183 -->
				<div class="page" >
<div class="caja4">
<p>Ejemplo 2</p>
<p>Consideremos el conjunto \(W = \left\{ {\left( {x,y} \right) \in {\mathbb{R}^2}\;/\;x = 0} \right\}\). Es decir, la recta de ecuación \(x = 0.\;\)¿Es un subespacio de \({\mathbb{R}^2}\)?</p>
<p>Se cumple (a) pues \(\left( {0,0} \right) \in W\)</p>
<p>Se cumple (b) pues la suma de dos vectores de \(W,\;\) está en \(W\):</p>
<p>\[\left( {0,{y_1}} \right) + \left( {0,{y_2}} \right) = \left( {0,{y_1} + {y_2}} \right)\]</p>
<p>Se cumple (c) pues el producto de un vector de \(W\) por un número real está en \(W\):</p>
<p>\[k\left( {0,y} \right) = \left( {0,ky} \right)\]</p>
<p>Luego \(W\) es subespacio de \({\mathbb{R}^2}\).</p>
<p>Ejemplo 3</p>
<p>Consideremos el conjunto \(W = \left\{ {\left( {x,y} \right) \in {\mathbb{R}^2}/{x^2} -{y^2} = 0} \right\}\). ¿Es un subespacio de \({\mathbb{R}^2}\)?</p>
<p>\[{x^2} - {y^2} = 0 \Leftrightarrow y = x \vee x = -y\]</p>
<p>Se cumple (a) pues \(\left( {0,0} \right) \in W\)</p>

</div>
         </div>
			<!-- pag 184 -->

					 <div class="page" >
<div class="caja3">					 
	<p>No se cumple (b) porque la suma de dos vectores de \(W\) puede no estar en \(W\), por ejemplo:</p>
<p>\[\left( {1,1} \right) + \left( {1, -1} \right) = \left( {2,0} \right) \notin W\]</p>
<p>Entonces \(W\) no es un subespacio de \({\mathbb{R}^2}\).</p>
<p>Ejemplo 4</p>
<p>Consideremos el conjunto \(W = \left\{ {\left( {x,y,z} \right) \in {\mathbb{R}^3}/x + y + 2z = 0} \right\}\). Es decir un plano que pasa por el origen. ¿Es un subespacio de \({\mathbb{R}^3}\)?</p>
<p>De la ecuación del plano se deduce que: \(x = - y - 2z\)<br>
Por lo tanto los vectores que pertenecen a \(W\) responden a la forma \(\left( {-y -2z,y,z} \right)\) con \(y,z \in \mathbb{R}\).</p>
<p>Se cumple (a) pues \(\left( {0,0,0} \right) \in W\)</p>
<p>Se cumple (b) pues la suma de dos vectores del plano, sigue estando en ese plano:</p>
<p>\[\left( { -y -2z,\;y,z} \right) + \left( {-y&#8217; -2z&#8217;,y&#8217;,z&#8217;} \right)=\] 
   \[= \left( {\; -\left( {y + y&#8217;} \right) -2\left( {z + z&#8217;} \right)\;,\;y + y&#8217;,z + z&#8217;\;} \right)\]</p>
<p>Se cumple \(\left( c \right)\) pues \(k\left( { -y -2z,y,z} \right) = \left( { -ky -2kz,ky,kz} \right) \in W\)</p>
<p>Entonces \(W\) es subespacio de \({\mathbb{R}^3}\).</p>
	</div>		 
					 </div>
<!-- pag 185 -->
					 <div class="page" >
<div class="caja4">
<p>Ejemplo 5</p>
<p>Consideremos el conjunto \(W = \left\{ {p \in {P_2}\;/\;p\left( 0 \right) = 0} \right\}\).<br> Es decir, los polinomios de grado menor o igual que dos (incluyendo el polinomio nulo) tales que evaluados en \(0\) dan por resultado \(0\). ¿Es un subespacio de \({P_2}\)?</p>
<p>Se cumple (a) pues el polinomio nulo pertenece a \(W\).</p>
<p>Recordemos la definición de suma de funciones y de producto de un real por una función:</p>
<p>\(\left( {f\; + \;g} \right)\;\left( x \right)\; = \;f\left( x \right)\; + \;g\left( x \right)\), para todo \(x\) perteneciente al dominio de \(f\) y de \(g\)</p>
<p>\(\left( {kf} \right)\left( x \right) = kf\left(x \right)\) para todo \(x\) perteneciente al dominio de \(f\).<br></p>
<p>Los polinomios son funciones, por lo tanto si consideramos \(p\;,\;q \in W\), resulta:</p>
<p>\[\left( {p + q} \right)\left( 0 \right) = p\left( 0 \right) + q\left( 0 \right) = 0 + 0 = 0\; \Rightarrow \;\;p + q \in W\]<br />
\[\left( {kp} \right)\left( 0 \right) = k.p\left( 0 \right) = k\;0 = 0 \Rightarrow kp \in W\;\]</p>
<p>Demostramos que \(W\) es un subespacio de \({P_2}\).</p>
</div>		 
					 </div>
<!-- pag 186 -->
					 <div class="page" >
<div class="caja3">
	<p>Ejemplo 6</p>
<p>Consideremos el conjunto \(W = \left\{ {A \in {\mathbb{R}^{n \times n}}/\;A = {A^t}} \right\}\).<br> Es decir, el conjunto de matrices simétricas de \(n \times n\).</p>
<p>Se cumple (a) porque la matriz nula pertenece a \(W\).<br>
Se cumple (b) pues si $A,B \in W$ entonces  ${(A + B)^t} = {A^t} + {B^t} = $
$= A + B, $ luego ${(A + B)} \in W. $<br>
Se cumple (c) pues si \(A \in W\) entonces \({\left( {kA} \right)^t} = k{A^t} = kA\), luego \(\left( {kA} \right) \in W.\)<br>
Demostramos que el conjunto de matrices simétricas de \(n\times n\) es un subespacio de \(\mathbb{R}^{n \times n}\).</p>
<p>Ejemplo 7</p>
<p>Consideremos el conjunto \(W = \left\{ {A \in {\mathbb{R}^{2 \times 2}}/\det \left( A \right) = 0} \right\}\).<br> ¿Es un subespacio de \({\mathbb{R}^{2 \times 2}}\)?</p>
<p>Se cumple (a) porque la matriz nula pertenece a \(W\).<br>
En general \(\det \left( {A + B} \right) \ne \det \left( A \right) + \det \left( B \right)\), entonces podría ocurrir que \(A,B \in W\) pero que \(A + B\) no esté en \(W\). Por ejemplo </p> $$ A =\begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -1 & 3\end{pmatrix},\; B =\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -2 & 5\end{pmatrix},\; A + B =\begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -3 & 2\end{pmatrix} $$
$A + B \notin W$ entonces no se cumple (b).
<p>\(W\) no es un subespacio de \({\mathbb{R}^{2 \times 2}}\).</p>
</div>				 
					 </div>
	<!-- pag 187 -->
	
			<div class="page" >
<h3 id="c315">&ensp; Resumen de los subespacios de \({\mathbb{R}^2}\) y \({\mathbb{R}^3}\)</h3>
<p>Después de estos ejemplos podemos resumir cuales son los diferentes tipos de subespacios de \({\mathbb{R}^2\;}\) y \({\;\mathbb{R}^3}\):</p>
<table>
<tr><th><b>Subespacios de $\mathbf{R^2}$</b></th><th><b>Subespacios de $\mathbf{R^3}$</b></th></tr>
<tr><td>{(0; 0)}</td><td>{(0; 0; 0)}</td></tr>
<tr><td>Rectas que pasan por el origen.</td><td>Rectas que pasan por el origen.</td></tr>
<tr><td>                               </td><td>Planos que pasan por el origen.</td></tr>
<tr><td>\({\mathbb{R}^2}\) (como subespacio de sí mismo.)</td><td>\({\mathbb{R}^3}\) (como subespacio de sí mismo.)</td></tr>
</table>
<p>No hay ninguna otra clase de subespacios en \({\mathbb{R}^2\;}\) y \({\;\mathbb{R}^3}\).</p>					
		</div>			

	<!-- pag 188 -->		
			<div class="page">
				<h2 id="c32">&ensp; Conjunto generador. L.I. L.D. Bases</h2>
				<h3 id="c321"> &ensp; Combinación lineal</h3>
<p> Definición </p>
<p>Sean $\large{v_1},\;{v_2},\; \ldots ,\;{v_r},\;w$ vectores de un espacio vectorial \(V\). Se dice que el vector $\large w\;$ es una combinación lineal de los vectores $\large{v_1},\;{v_2},\; \ldots \;,\;{v_r}\;$ si se puede expresar como sigue:</p>
$$\large w = {k_1}{v_1} + {k_2}{v_2} + \; \ldots + {k_r}{v_r}\;$$
<p>donde $\large{k_1},\;{k_2},\; \ldots ,\;{k_r}$ son escalares.</p>
<p>Observación: Nosotros estamos trabajando con espacios vectoriales reales, o sea que los escalares son números reales.</p>
    <img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openInteractive('interactivos/combinaciones lineales.html','800','600')" src="images/capitulo_02/ejemplos resueltos.gif" width="80%" height="260px">	
						</div>
            <!-- pag 189 -->	         
					 <div class="page" >
	<h3 id="c322" > <span id="generador"> &ensp; Conjunto generador</span></h3>

<p>Sea \(\left\{ {\;{v_1}\;,\;{v_2},\; \ldots \;{v_r}} \right\}\) un conjunto de vectores de un espacio vectorial \(V\).</p>
<p>Si <span style="text-decoration: underline;">todo</span> vector de \(V\) puede expresarse como combinación lineal de \({v_1},\;{v_2},\; \ldots \;,\;{v_r}\), entonces se dice que \(\left\{ {\;{v_1},\;{v_2},\; \ldots \;,\;{v_r}\;} \right\}\) es un <strong>conjunto generador de </strong>\(V\) o también que \({v_1},\;{v_2},\; \ldots \;,\;{v_r}\) <i>generan </i>\(V\).</p>
	 <img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openInteractive('interactivos/generadores.html','800','600')" src="images/capitulo_02/ejemplos resueltos.gif" width="80%" height="260px">	
<h3 id="c323">&ensp; Subespacio generado</h3>
<p>Sean \({v_1},\;{v_2},\; \ldots ,\;{v_r}\) vectores de un espacio vectorial \(V\).<br>
	1. El vector nulo puede expresarse como combinación lineal de dichos vectores:</p>
<p>\[{0_V}\; = \;0\;{v_1}\;\; + \;0\;{v_2}\; + \; \ldots \; + \;0{v_r}\]</p>
					 </div>
					 
		 <!-- pag 190 -->				 
					 <div class="page" >
		
<p> 2. Si sumamos dos combinaciones lineales de los vectores dados, obtenemos otra combinación lineal:</p>
$$( {{a_1}{v_1}\; + \; \ldots \; + \;{a_r}{v_r}} ) + \;( {{b_1}{v_1}\;\; + \; \ldots \; + \;{b_r}{v_r}}) = $$
<p> $=( {{a_1} + \;{b_1}} ){v_1} + \ldots + ( {\;{a_r} + {b_r}} ){v_r}$ </p>
<p>3. Si multiplicamos un escalar k por una combinación lineal de los vectores dados, obtenemos una combinación lineal de dichos vectores:</p>
<p>\[k\left( {\;{a_1}\;{v_1}\; + \; \ldots \; + \;{a_r}\;{v_r}} \right)\; = \;\left( {k{a_1}} \right){v_1}\; + \; \ldots \; + \;\left( {k\;{a_r}} \right){v_r}\]</p>
<p>Estas tres condiciones permiten afirmar que el conjunto de todas las combinaciones lineales de \({v_1},\;{v_2},\; \ldots ,\;{v_r}\) es un subespacio de \(V\).<br>
Entonces:</p>
<p><span style="color: black;">Dados los vectores </span>\({v_1},\;{v_2},\; \ldots ,\;{v_r}\)<span style="color: black;"> en </span>\(V\)<span style="color: black;">, llamamos <strong><em>subespacio generado </em></strong>por </span>\({v_1},\;{v_2},\; \ldots ,\;{v_r}\)&nbsp;<span style="color: black;">al conjunto de todas las combinaciones lineales de estos vectores. Lo denotamos con la expresión </span>\(gen\left\{{{v_1},\;{v_2},\; \ldots ,\;{v_r}} \right\}\)<br>
$$ gen\{{v_1},{v_2}, \ldots ,\;{v_r} \} = \{ v \in V: v = \;{\alpha _1}{v_1} + {\alpha _2}{v_2} + \; \ldots + {\alpha _r}{v_r}, $$
 con $\; {\alpha _i} \in R\; \} $ subespacio de \(V\).</p>
  				 </div>
					 
			<!-- pag 191 -->		 
	 <div class="page" >
<img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openInteractive('interactivos/subespacios generados.html','800','600')" src="images/capitulo_02/ejemplos resueltos.gif" width="80%" height="260px">		
	<p>	<h3 id="c324"> &ensp; Independencia lineal y dependencia lineal</h3></p>
<p>En los ejemplos 1 y 2 de <pageref ref_id="generador"> Conjunto generador</pageref> vimos que los conjuntos $ \{(1,1),\;(1, - 1)\}\;$ y $\; \{(1,1),\;(1, - 1),\;(2,0)\}$ generan \({\mathbb{R}^2}\). Si tuviéramos que elegir uno de ellos como generador de \({\mathbb{R}^2}\), ¿por cuál nos inclinaríamos?<br>
El problema de encontrar los conjuntos generadores más «pequeños» para un e. v., depende de la noción de independencia lineal, que presentamos en esta sección. Si \(A = \left\{ {{v_1},{v_2}, \ldots ,{v_r}} \right\}\) es un conjunto de vectores de un espacio vectorial \(V\), entonces:
<p>\[{\alpha _1}{v_1} + {\alpha _2}\;{v_2} + \ldots + {\alpha _r}\;{v_r} = {0_V}\]</p> 
tiene al menos la solución trivial: \({\;\alpha _1} = {\alpha _2} = \ldots = {\alpha _r} = 0\)<br>
Si ésta es la <span style="text-decoration: underline;">única solución</span> , entonces se dice que \(A\) es un <strong>conjunto linealmente independiente</strong>.
<br>Si hay otras soluciones (además de la trivial) entonces A es un <strong>conjunto linealmente dependiente</strong>.</p>
 </div>
 
 <!-- pag 192 -->	
 <div class="page" >
	<p>Una forma alternativa de caracterizar la <em>dependencia lineal</em> es la siguiente:<br>
Un conjunto de vectores \(\left\{ {\;{v_1},{v_2},\; \ldots ,{v_r}\;} \right\}\) de un espacio vectorial \(V\) es <strong>linealmente dependiente</strong> si y sólo si al menos uno de los vectores puede expresarse como combinación lineal de los demás. <span style="color: #3FCC02">{*}</span>
<p>Demostración:</p>
<p>\(\Rightarrow\) Si el conjunto \(\left\{ {\;{v_1},{v_2},\; \ldots ,{v_r}\;} \right\}\) es <em>linealmente dependiente</em>, la ecuación</p>
<p>\[{\alpha _1}{v_1} + {\alpha _2}{v_2} + \; \ldots + \;{\alpha _r}{v_r} = {0_V}\]
admite otras soluciones además de la trivial. O sea, existe una combinación lineal donde al menos uno de los escalares es distinto de cero, que da el vector nulo.<br>
Supongamos que \({\alpha _1} \ne 0\). Entonces resulta:</p>
<p>\[{v_1} = \left( { - \frac{{{\alpha _2}}}{{{\alpha _1}}}} \right){v_2} + \ldots + \left( { - \frac{{{\alpha _r}}}{{{\alpha _1}}}} \right){v_r}\]</p>
<p>Por lo tanto, el vector \({v_1}\) es combinación lineal de los demás.</p>
<p>\(\Leftarrow\) Sabemos que uno de los vectores puede expresarse como combinación de los demás. Sin perder generalidad, supongamos que:</p>
<p>\[{\color{red}{v_1}} = {k_2}{v_2} + \ldots + {k_r}{v_r}\]</p>
	  
	</div>				 
					
		<!-- pag 193 -->
		<div class="page" >
<p>Entonces:</p>
<p>\[ - 1{\color{red}{v_1}} + {k_2}{v_2} + \ldots + {k_r}{v_r} = {0_V}\]</p>
<p>Existe una combinación lineal no trivial (al menos uno de los escalares es distinto de cero) que es igual al vector nulo. Por lo tanto, el conjunto \(\left\{ {\;{v_1},{v_2},\; \ldots ,{v_r}\;} \right\}\) es <b>linealmente dependiente</b>, como queríamos demostrar.</p>		
	<img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openInteractive('interactivos/l.i.l.d.html','800','600')" src="images/capitulo_02/ejemplos resueltos.gif" width="80%" height="260px">			
		
	<h3 id="c325">&ensp; Propiedades</h3>
<p>Propiedad 1</p>
<p>Un conjunto formado por un solo vector, ¿es linealmente independiente (LI) o dependiente (LD)?</p>
<p>Planteamos la combinación lineal:
\[\alpha \;v = {0_V}\]</p>
</div>

<!-- pag 194 -->
		<div class="page" >
		
<p>Si \(v = {0_V}\), \(\alpha \) puede tomar cualquier valor. Por lo tanto: \(\left\{ {{0_V}} \right\}\) es LD.</p>
<p>Si \(v \ne {0_V}\) , la única solución es \(\alpha = 0\). Por lo tanto: \(\left\{ v \right\}\) es LI.</p>
<p>Propiedad 2</p>
<p>Si un conjunto de vectores contiene al vector nulo, entonces es linealmente dependiente (LD).</p>
<p>Demostración:<br>
Sea \(A = \left\{ {{v_1},\;{v_2},\; \ldots ,\;{v_r},\;{0_V}} \right\} \subset V\)</p>
<p>Entonces se tiene que:</p>
<p>\[0{v_1} + 0{v_2} + \ldots + 0{v_r} + 1\;{0_V} = {0_V}\]</p>
<p>Probamos que existe una combinación lineal con escalares <span style="text-decoration: underline;">no todos nulos</span>, que da el vector nulo. Por lo tanto, \(A\) es linealmente dependiente.</p>	
<h3 id="c326">&ensp; Interpretación geométrica</h3>
<p>Observación previa: En lo que sigue consideramos los vectores colocados a partir del origen de coordenadas.</p>
<p>De <span style="color: #3FCC02">{*}</span> resulta que dos vectores \({v_1}\) y \({v_2}\) son linealmente dependientes (LD) si y sólo si uno de ellos es un múltiplo escalar del otro.</p>	
		</div>
				<!-- pag 195 -->
		<div class="page" >	
<p>Podemos afirmar entonces que dos vectores en \({\mathbb{R}^2}\) o \({\mathbb{R}^3}\) son LD si y sólo si están sobre la misma recta que pasa por el origen (vectores paralelos).</p>
<img class="image_expand" onclick="openImage(this)" src="images/capitulo_03/Conjuntogen4.png" width="100%">
<img class="image_expand" onclick="openImage(this)" src="images/capitulo_03/Conjuntogen5.png" width="100%">
</div>

<!-- pag 196 -->
		<div class="page" >	

<p>En \({\mathbb{R}^3}\), tres vectores \({v_1},\;{v_2},\;{v_3}\) son LD si y sólo si están situados en el mismo plano que pasa por el origen (vectores coplanares).</p>
<img class="image_expand" onclick="openImage(this)" src="images/capitulo_03/Conjuntogen6.png" width="100%">
<img class="image_expand" onclick="openImage(this)" src="images/capitulo_03/Conjuntogen7.png" width="100%">
<br>
<h3 id="c327">&ensp; Base y dimensión de un espacio vectorial</h3>

<p>Habíamos visto que los conjuntos \(B = \left\{ {\left( {1,\;1} \right),\;\left( {1,\; - 1} \right)} \right\}\) y \(C = \left\{ {\left( {1,\;1} \right),\;\left( {1,\; - 1} \right),\;\left( {2,\;0} \right)} \right\}\) generan \({\mathbb{R}^2}.\) ¿Cuál es la diferencia entre ellos?</p>
</div>

<!-- pag 197 -->
		<div class="page" >	

<p>\(B\) es un conjunto linealmente independiente, en cambio \(C\) es linealmente dependiente porque \(\left( {2,\;0} \right) = \left( {1,\;1} \right) + \left( {1,\; -1} \right)\).</p>

<p>Un conjunto de vectores \(B\; = \left\{ {{v_1}\;,\;{v_2}\;,\; \ldots ,\;{v_n}} \right\}\) de un espacio vectorial \(V\) se denomina <strong><em>base</em></strong> de \(V\;\)si y sólo si:</p>
<p>i. \(B\) es linealmente independiente;<br>
   ii. \(B\) genera a \(V\).</p>
   
   <p>Teniendo en cuenta esta definición, \(B = \left\{ {\left( {1,\;1} \right),\;\left( {1,\; - 1} \right)} \right\}\) es una base de \({\mathbb{R}^2}\). Otra base de \({\mathbb{R}^2}\) muy usual es la que contiene a los versores canónicos: \(E = \left\{ {\left( {1,\;0} \right)\;,\;\left( {0,\;1} \right)} \right\}\).</p>
<p>Puede demostrarse que:</p>
<p><em>Si </em>\(B\; = \;\left\{ {{v_1},\;{v_2},\; \ldots ,\;{v_n}} \right\}\)<em> es una base de </em>\(V\)<em>, entonces todo conjunto con <span style="text-decoration: underline;">más de n</span> vectores es linealmente dependiente.<br />
</em></p>
<p>De acuerdo con esta propiedad, podemos deducir una característica común a toda base de un espacio vectorial:</p>
<p>Sean \(B = \left\{ {{v_1},{v_2},\; \ldots ,\;{v_n}} \right\}\) y \(B' = \left\{ {{w_1},\;{w_2},\; \ldots ,\;{w_q}} \right\}\) dos bases del espacio vectorial \(V\).</p>
<p>Como \(B\) es una base, todo conjunto de más de \(n\) vectores es LD. Pero \(B'\) es LI, entonces:<br />
\[q \le n\;\;\;\;\;\left[ 1 \right]\]</p>
 </div>
 <!-- pag 198 -->
		<div class="page" >	
 
<p>Como \(B'\) es una base, todo conjunto de más de \(q\) vectores es LD. Pero \(B\) es LI, entonces:</p>
<p>\[n \le q\;\;\;\;\;\left[ 2 \right]\]</p>
<p>De [1] y [2] se deduce que \(q = n\).</p>
<p>En consecuencia:</p>
<p>Si \(B = \left\{ {{v_1},{v_2}, \ldots ,\;{v_n}} \right\}\) es una base de \(V\), cualquier otra base de \(V\) tiene \(n\) vectores. Esto permite definir el concepto de dimensión.</p>
<p>La <strong>dimensión</strong> de un espacio vectorial \(V\) es la cantidad de vectores que componen una base de \(V\).</p>
<p>Si \(B = \left\{ {{v_1},{v_2}, \ldots ,\;{v_n}} \right\}\) es una base de \(V\), la dimensión de \(V\) es \(n\) y lo indicamos como \(dim\left( V \right)\; = \;n\).</p>
<p>Si no existe una base de \(V\) formada por un conjunto finito de vectores, se dice que \(V\) es un espacio de dimensión infinita. Un ejemplo es el espacio de todos los polinomios (de cualquier grado).</p>
<p style="text-align: left;">Como el vector nulo es linealmente dependiente, el espacio \(\left\{ {{0_V}} \right\}\) no tiene base. A este espacio compuesto únicamente por el vector nulo, se le asigna dimensión cero:</p>
<p style="text-align: left;">\[\dim \left( {\;\left\{ {{0_V}} \right\}\;} \right) = 0\]</p>
   </div>
		 <!-- pag 199 -->
			<div class="page">
<p>Para determinar la dimensión de un espacio vectorial, es suficiente hallar una base de dicho espacio. Veamos qué dimensión tienen los espacios vectoriales con los cuales trabajaremos:</p>
<p>En \({\mathbb{R}^2}\) conocemos la base canónica:</p>
<p>\[{E_2} = \left\{ {\left( {1,0} \right),\left( {0,1} \right)} \right\}\; \Rightarrow \dim \left( {{\mathbb{R}^2}} \right) = 2\]</p>
<p>En \({\mathbb{R}^3}\) la base canónica es:</p>
<p>\[{E_3} = \left\{ {\left( {1,0,0} \right),\left( {0,1,0} \right),\left( {0,0,1} \right)} \right\} \Rightarrow \dim \left( {{\mathbb{R}^3}} \right) = 3\]</p>
<p>Análogamente en \({\mathbb{R}^4}\):</p>
<p>\[{E_4} = \left\{ {\left( {1,0,0,0} \right),\left( {0,1,0,0} \right),\left( {0,0,1,0} \right),\left( {0,0,0,1} \right)} \right\} \Rightarrow \] 
\[ \Rightarrow \dim \left( {{\mathbb{R}^4}} \right) = 4\]</p>
<p>De acuerdo con el número de vectores que componen cada una de estas bases, podemos afirmar que:</p>
<p>\[\dim \left( {{\mathbb{R}^n}} \right) = n\]</p>
<p>Para determinar la dimensión de los espacios de matrices, consideremos por ejemplo \(V = {\mathbb{R}^{3 \times 2}}\).<br>
 Cualquier matriz de \(3 \times 2\) puede expresarse como sigue:</p>
</div>

 <!-- pag 200 -->
			<div class="page">

$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ e & f\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}+ b\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix} + c\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix} + $$
$$ +\; d\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix} + e\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix} + f\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} $$
<p>Observemos la similitud con \({\mathbb{R}^6}\) , sólo cambia el formato.</p>				
<p>Encontramos seis matrices linealmente independientes que generan \(V = {\mathbb{R}^{3 \times 2}}\). Es decir, encontramos una base (llamada base canónica) de este espacio y por lo tanto:<br>
 \(\dim \left( {{\mathbb{R}^{3&#215;2}}} \right) = 3&#215;2 = 6\).</p>
<p>Generalizando, podemos afirmar que:</p>
<p>\[\dim \left( {{\mathbb{R}^{mxn}}} \right) = mxn\]</p>
<p>Busquemos la dimensión de los espacios de polinomios. Consideremos por ejemplo \(V = {P_{2\;}}\). Cualquier polinomio de \({P_2}\) puede expresarse cómo sigue:</p>
<p>\[\;p\left( x \right) = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} = {a_0}\color{red}{1} \color{black} + {a_1} \color{red}{x}\color{black} + {a_2}{\color{red}{x^2}}\]</p>
<p>El conjunto \(\left\{ {1,x,{x^2}} \right\}\) genera \({P_2}\) y además es linealmente independiente. Hemos obtenido una base (llamada canónica) de \({P_2}\), y por lo tanto \(\dim \left( {{P_2}} \right) = 3\).</p>
	</div>
                     
		<!-- pag 201 -->			 
					 <div class="page" >
<p>Análogamente:</p>
<p>\[\left\{ {1,x,{x^2},{x^3}} \right\}\;\;base\;canó nica\;de\;{P_3}\]</p>
<p>\[\left\{ {1,x,{x^2},{x^3}, \ldots ,\;{x^n}} \right\}\;base\;canó nica\;de\;{P_n}\]</p>
<p>Entonces:</p>
<p>\[\dim \left( {{P_n}} \right) = n + 1\]</p>				 
	<img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openInteractive('interactivos/bases.html','800','600')" src="images/capitulo_02/ejemplos resueltos.gif" width="80%" height="260px">	
<br>	
<h3 id="c328">&ensp; Propiedades relacionadas con la dimensión</h3>
<p>Si \(\dim \left( V \right) = n,\,\) puede afirmarse que:</p>
<p>1) Todo conjunto de \(n\) vectores linealmente independientes en \(V\) es una base.<br />
</p>
 </div>	
			<!-- pag 202 -->			 
					 <div class="page">
					 
<p>2) Todo conjunto de \(n\) vectores que genere \(V\) es una base.</p>					 
<p>3) Todo conjunto de más de \(n\) vectores en el espacio vectorial \(V\) es linealmente dependiente.</p>
<p>4) Todo conjunto linealmente independiente en \(V\) puede extenderse a una base.</p>	
<img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openInteractive('interactivos/propiedadesdimension.html','800','600')" src="images/capitulo_02/ejemplos resueltos.gif" width="80%" height="260px">	
<h3 id="c329"> &ensp; Coordenadas de un vector respecto de una base</h3>
<p>Propiedad: Si \(B = \left\{ {{v_1},{v_2}, \ldots ,{v_n}} \right\}\) es una base del espacio vectorial \(V\), todo vector de \(V\;\)puede expresarse <span style="text-decoration: underline;">de forma única</span> como combinación lineal de los vectores de \(B\).</p>

					 
</div>  
<!-- pag 203 -->	
					 <div class="page" >
	<p>Esta propiedad permite definir coordenadas de un vector respecto de una base.</p>
<p>Sea \(B = \left\{ {{v_1},{v_2}, \ldots ,{v_n}} \right\}\) base de \(V\).</p>
<p>Para cada \(u \in V\), existen <span style="text-decoration: underline;">únicos</span> escalares \({\alpha _1},{\alpha _2}, \ldots ,{\alpha _n} \in \mathbb{R}\) tales que: \[u = {\alpha _1}{v_1} + {\alpha _2}{v_2} + \ldots + {\alpha _n}{v_n}\]</p>				 
					
<p>Estos escalares se denominan <strong>coordenadas del vector </strong>\(u\)<strong> respecto de la base </strong>\(B\).</p>
<p>Indicaremos las coordenadas mediante la siguiente notación: </p>
<p> $$ [u]_{B}= \begin{pmatrix} \alpha_{1} \\ \alpha_{2} \\ \vdots \\ \alpha_{n} \end{pmatrix}$$</p>
<br>
<div class="caja1" align="center">  Ejercicios resueltos
<img class="image_link sin_boton2" onclick="openInteractive('interactivos/ejemploscoordenadas.html','800','600')" src="images/p378a.gif" width="84px">
</div>
		 </div>
		<!-- pag 204 -->		 
		<div class="page" >
		
	<h3 id="c3210"> &ensp; Base y dimensión de un subespacio vectorial</h3>
<p>Recordemos que un subespacio es un espacio vectorial en sí mismo, por lo tanto podemos hallar una base y su dimensión.</p>
<p>Si S es un subespacio de V, entonces: \({\rm{dim}}\left( S \right) \le {\rm{dim}}\left( V \right)\).</p>
<p>Veamos cuáles son las dimensiones de los distintos tipos de subespacios de \({\mathbb{R}^3}\):</p>
<ul>
<li><p>\(S = \left\{ {\left( {0,0,0} \right)} \right\}\) no tiene base y como habíamos dicho, se le asigna dimensión 0.</p>
<p>\[\dim \left( {\left\{ {{0_V}} \right\}} \right)\; = 0\]</p></li>
<li>Rectas que pasan por el origen,</li>
<li>Planos que pasan por el origen y</li>
<li>\({\mathbb{R}^3}\,\) (Sabemos que \({\mathbb{R}^3}\,\) tiene dimensión 3.)</li>
</ul>
<p>Consideremos un plano que pase por el origen, por ejemplo:</p>
<p>\[\pi :\;\;x + 3y - 2z = 0\]</p>
<p>\[x = - 3y + 2z\]</p>
<p>\[\left( {x,y,z} \right) \in \pi \Leftrightarrow \left( {x,y,z} \right) = \left( {-3y + 2z,y,z} \right) = \]
   \[ = \left( { - 3y,y,0} \right) + \left( {2z,0,z} \right) = y\left( { -3,1,0} \right) + z\left( {2,0,1} \right)\]</p>

		</div>
		
	<!-- pag 205 -->		
		<div class="page" >
	<p>Esto quiere decir que cualquier vector en ese plano se puede escribir como combinación lineal de \(\left( { - 3,1,0} \right)\) y \(\left( {2,0,1} \right)\). Cómo son LI:</p>	
		<p>\[\left\{ {\left( { - 3,1,0} \right),\left( {2,0,1} \right)} \right\}\;es\;una\;base\;de\;{S_1}\]</p>
<p>\[\dim \left( {{S_1}} \right) = 2\]</p>
<p>Planos que pasan por el origen son subespacios de dimensión 2.</p>
<p>Ahora consideremos el subespacio:</p>
<p>\[{S_2} = \left\{ {\left( {x,y,z} \right) \in {\mathbb{R}^3}|\;\;x + y = 0\;\;\;,\;\;\;\;x - y - z = 0} \right\}\]</p>
$$ r: \begin{cases}  \pi_{1}: x + y = 0 \\ \pi_{2}: x - y - z = 0 \end{cases}; \;\;  r = \pi_{1} \cap \pi_{2}$$
<p>La intersección de dos planos no paralelos es una recta. ¿Cómo podemos encontrar una base de una recta?</p>
<p>\[y = - x\;\]</p>
<p>\[\; \Rightarrow \;\;x -\left( { - x} \right) - z = 0\; \Rightarrow \;\;z = 2x\]</p>
<p>Si llamamos \(x = t\) , resulta:</p>
<p>\[\left( {x,y,z} \right) = \left( {t, - t,2t} \right) = t\left( {1, - 1,2} \right)\]</p>
        </div>
		
	<!-- pag 206 -->		
					 <div class="page" >
<p>Observamos que todos los vectores de la recta pueden expresarse como combinación lineal del vector director \(\left( {1, - 1,2} \right)\), que además es LI. Por lo tanto, \(\left\{ {\left( {1, - 1,2} \right)} \right\}\) es una base de este subespacio.</p>
<p>Rectas que pasan por el origen son subespacios de dimensión 1.</p>
<p>En los ejemplos anteriores observamos cómo disminuye la dimensión de un subespacio a medida que agregamos ecuaciones, tal como se muestra en el siguiente cuadro:</p>				 
		<table>
<tr><th><b>Número mínimo de ecuaciones que definen $S$</b></th><th><b>Dimensión del subespacio</b></th><th><b>Objeto geométrico</b></th><th><b>Ejemplo</b></th></tr>
<tr><td>0</td><td>3</td><td> $\mathbf{R^3}$ </td><td></td></tr>
<tr><td>1</td><td>2</td><td> Planos por el origen </td><td> $ \displaystyle z = 0 $ </td></tr>
<tr><td>2</td><td>1</td><td> Rectas por el origen </td><td> $$ \begin{cases} y = 0 \\ z = 0 \end{cases}$$ </td></tr>
<tr><td>3</td><td>0</td><td> $$ \Set{(0; 0; 0)}$$ </td><td> $$ \begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \\ z = 0 \end{cases}$$ </td></tr>
</table>			 					 
	</div> 
	
	<!-- pag 207 -->		
					 <div class="page" >
	<div class="caja4"> 
<p style="font-size:110%; text-align:center";>  &ensp; Ejercicios y problemas</p> 
<p> 1) Indicar si \(A = \left\{ {\left( {1,1,1} \right),\;\left( {1,3,2} \right)} \right\}\) es una base de <br> \(W = \left\{ {\left( {x,y,z} \right) \in {R^3}:\; x + y - 2z = 0} \right\}\), justificando la respuesta.<br>
Posible estrategia de resolución: hacer el producto vectorial de los generadores de $A$ y verificar que el resultado es proporcional al vector normal al plano $W$. </p>
<p style= "text-align:left"> 2) Considere el subespacio de $R^4$<p> \[{T_1} = \left\{ {\left( {{x_1},{x_2},{x_3},{x_4}} \right) \in {R^4}|\;{x_1} + {x_4} = 0\; \wedge \;{x_2} - {x_4} = 0} \right\}\]</p>
Halle base y dimensión.<br>
Teniendo en cuenta las ecuaciones que definen \({T_1}\), ¿podría anticipar su dimensión?</p>
<p> <img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openImage('images/capitulo_03/2_10_ej2.jpg', '784', '624')" src="images/boton1.png" width="20%"></p>
<p> 3) Hallar una base y la dimensión del subespacio de matrices simétricas de 2&#215;2:
<p>\[{T_2} = \left\{ {A \in {R^{2 \times 2}}\;|\;\;A = {A^t}} \right\}\]</p>
<p>¿Cómo es una matriz simétrica de 2&#215;2? </p>
<p> $$ A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & d \end{pmatrix}$$</p>
     </div>
</div>

			<!-- pag 208 -->		
					 <div class="page" >
	<div class="caja4"> 				 
<p>$$\begin{pmatrix} a & b \\ b & d \end{pmatrix} = a\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+ b\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + d\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$
</p>
<p>Las tres matrices halladas son L.I. y generan el subespacio de matrices simétricas, por lo tanto hemos encontrado una base de dicho subespacio.</p>

<p>4) Hallar base y dimensión de </p>
<p> \(S = \left\{ {p\left( x \right) \in {P_2}|\;{a_0} - 2{a_1} + 3{a_2} = 0} \right\}\)</p>
<p> <img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openImage('images/capitulo_03/2_10_ej4.jpg', '754', '705')" src="images/boton1.png" width="20%"></p>
<p> 5) Hallar una base y la dimensión del subespacio de matrices antisimétricas de 2&#215;2 y del de 3&#215;3.</p>		</div> 	 	
	</div> 
	<!-- pag 209 -->		
		<div class="page" >
	<h3 id="c3211"> &ensp; Bases de subespacios definidos por generadores</h3>
	<p>Hasta ahora hemos buscado bases de subespacios definidos por ecuaciones. ¿Qué ocurre cuando el subespacio está definido por sus generadores?</p>
<p>Veamos el siguiente ejemplo:</p>
<p>Hallar una base y la dimensión de<br> S = \( gen\left\{ {\left( {1,1,2} \right),\left( {1, -1,0} \right),\;\left( {0,1,1} \right)} \right\} \subset {R^3}\).</p>
<p>En este caso, por la definición de S sabemos que \(\left\{ {\left( {1,1,2} \right),\left( {1, -1,0} \right),\;\left( {0,1,1} \right)} \right\}\) es un conjunto generador de S. Para determinar si es una base, tendremos que analizar la independencia lineal:</p>
<p>- Si son vectores LI, entonces son base del subespacio.</p>
<p>- Si son LD, tendremos que extraer una base eliminando los vectores «que sobren».</p>
<p>En el caso específico de 3 vectores en R<sup>3</sup>, podemos utilizar el determinante (que es el producto mixto). Como en este caso el determinante da cero, los vectores son coplanares y por lo tanto L.D. Tenemos que extraer una base eliminando alguno de los vectores, por ejemplo:</p>
<ul>
<li>\(\left\{ {\left( {1,1,2} \right),\left( {1, - 1,0} \right)} \right\}\) es una base de S</li>
<li>\(\left\{ {\left( {1, - 1,0} \right),\;\left( {0,1,1} \right)} \right\}\) es otra base de S.</li>
</ul>
 </div>		

        <!-- pag 210 -->
	<div class="page" >
	<p>Podemos afirmar que la dimensión de S es 2.</p>
<p>Una forma práctica de extraer bases es armar una matriz con los vectores dados y llevarla a la <strong>forma escalonada</strong><em>:</em></p>
<p>Una matriz es <strong>escalonada (por filas)</strong> si satisface las siguientes propiedades:</p>
<p>1. Las filas nulas (todos sus elementos son ceros) se encuentran en la parte inferior.</p>
<p>2. En cada fila no nula, el primer elemento distinto de cero (pivote) está a la derecha del pivote de la fila superior.</p>
<p>Una matriz cualquiera puede llevarse a la forma escalonada aplicando operaciones elementales entre sus filas. Por ejemplo consideremos la matriz que armamos con los generadores de \(S\):</p>
<img loading="lazy" src="images/capitulo_03/pag82.png" width="100%">
<p>Se denomina <strong><em>rango</em></strong> de una matriz al <em>número de filas LI que tiene la matriz</em>. Veremos en el siguiente capítulo la importancia de este concepto en el estudio de sistemas de ecuaciones lineales.</p>
<p>Puede demostrarse que:</p>
<p>1. Si se realizan operaciones elementales entre las filas de una matriz, el rango se conserva.</p>
<p>2. Las filas no nulas de una matriz escalonada son LI.</p>
	</div>		

   <!-- pag 211 -->
	<div class="page" >
<p>Por lo tanto, para determinar el rango de una matriz se aplican operaciones elementales para obtener una matriz escalonada y se cuentan las filas no nulas.</p>
<p>En el ejemplo, la matriz escalonada tiene rango 2, por lo tanto la matriz que armamos con los generadores de S tiene rango 2. Esto significa que de los tres generadores de S hay dos linealmente independientes. ¿Cuál es entonces la dimensión de S?<br>
 \(\dim \left( S \right) = 2\;\)</p>
<p>Este método también permite obtener bases: las filas no nulas de la última matriz son otra base de S, ya que fueron obtenidas como combinaciones lineales de los vectores de S:</p>
<p>\[\left\{ {\left( {1,1,2} \right),\;\left( {0,2,2} \right)} \right\}\;otra\;base\;de\;S\]</p>
<div class="caja4"> 				 
<p style="font-size:110%; text-align:center";>  &ensp; Ejemplo</p> 
<p>Dado el conjunto:</p>
<p>\[A = \left\{ {1 + x;1 -{x^2};2 + 3x + k{x^2}} \right\} \subset {P_2}\]</p>
<p>Hallar todos los valores de \(k\) para que \(A\) genere un subespacio de dimensión 2</p>
<p>Para el \(k\) hallado encontrar las ecuaciones del subespacio generado por \(A\).</p>
</div>
	</div>		
	
	<!-- pag 212 -->
	<div class="page" >
<div class="caja4"> 				 
<strong>Resolución</strong>
<p>Sabemos que \(\dim \left( {{P_2}} \right) = 3\) , entonces todo conjunto de 3 vectores LI en \({P_2}\) es base de \({P_2}\). Como se pide que la dimensión del subespacio sea 2, debemos hallar \(k\) de modo que los vectores sean LD.</p>
<p>Los dos primeros vectores de \(A\) son LI, entonces se trata de analizar para qué valores de \(k\) el tercer vector es combinación lineal de los anteriores:</p>
<p>\[2 + 3x + k{x^2} = \alpha \left( {1 + x} \right) + \beta \left( {1 - {x^2}} \right)\]</p>
$$\begin{cases}  2 = \alpha + \beta \\ 3 = \alpha \\ k = -\beta \end{cases} \Rightarrow \alpha = 3,\: \beta = -1,\: k = 1 $$
<p>Para \(k = 1\), el polinomio \(2 + 3x + k{x^2}\) es combinación lineal de $1 + x \;$ y $ \;1 - {x^2}.\;$ Entonces:</p>
<p>\[gen\left\{ {1 + x;1 - {x^2};2 + 3x + {x^2}} \right\} = gen\left\{ {1 + x;1 - {x^2}} \right\}\]</p>
<p>\[\left\{ {1 + x;1 - {x^2}} \right\}\;es\;base\;de\;{P_2}\]</p>
<p>Ahora busquemos la <span style="text-decoration: underline;">ecuación del subespacio</span>. Tomamos un polinomio genérico, \(p\left( x \right) = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2}\) y lo escribimos como combinación lineal de los vectores de la base:</p>
<p>\[{a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} = \alpha \left( {1 + x} \right) + \beta \left( {1 - {x^2}} \right)\]</p>

	</div>
     	</div>		
	
	<!-- pag 213 -->
	 <div class="page" >
	 <div class="caja4"> 
<p>$$ \begin{cases}  \alpha + \beta = {a_0} \\ - \beta = {a_2} \\ \alpha = {a_1} \end{cases} \large \Rightarrow \alpha = {a_1},\: \beta = - {a_2},\: \Rightarrow \;{a_0} = {a_1} - {a_2} $$</p>
<p>Entonces esa es la ecuación que define al subespacio:</p>
<p><span style="font-size: 19px;"> \[S = gen\left( A \right) = \left\{ {p \in {P_2}\;\;|\;\;{a_0} - {a_1} + {a_2} = 0} \right\}\]</span></p>
<p>Como verificación, puede comprobarse que los dos vectores de la base verifican la ecuación obtenida.</p>	 
</div>
<br> 
<p> Video con ejercicio resuelto </p> 
<p><video preload="none"  style= "border-radius: 20px; border-style: solid; border-width: 5px; border-color: blue;" width="540" height="300" controls="" poster="posters/video1.png"> <source src="videos/video1.mp4" type="video/mp4"></video> 
<figcaption prefix="Video"> Ejercicio Álgebra CBC A-62 (video de unamunoenlinea en YouTube, Licencia Atribución de Creative Commons)</figcaption> </p>

 </div>


	<!-- pag 214 -->
					 <div class="page" >
		<h2 id="c33">&ensp; Operaciones con subespacios</h2>
		<h3 id="c331">&ensp; Intersección</h3>
<p>Sean \(S\) y \(T\) subespacios del mismo espacio vectorial \(V\). Definimos la intersección como sigue:</p>
<p style="text-align: center;">\(S \cap T = \left\{ {v \in V\;:\;v \in S\;\; \wedge \;\;v \in T} \right\}\;\) </p>
Propiedad
<p style="text-align: center;">\(S \cap T\) es subespacio de \(V\)</p>
        <div class="caja4"> 
 <p style="font-size:110%; text-align:center";>  &ensp; Ejemplo 1</p>
<p>Sean los subespacios de \({\mathbb{R}^3}\):</p>
<p style="text-align: center;">\[S = \left\{ {\left( {x,y,z} \right)|\;x - 3z = 0} \right\}\]</p>
<p style="text-align: center;">\[T = \left\{ {\left( {x,y,z} \right)|\;x + y - z = 0} \right\}\]</p>
<p>Hallar \(S \cap T\).</p>
<h6>Resolución</h6>
<p>Por definición \(S \cap T\) es un conjunto que estará formado por los vectores que pertenezcan a \(S\) y a \(T\). Es decir aquellos vectores que satisfagan las ecuaciones de \(S\) y las de \(T\):</p>
<p style="text-align: center;">\[S \cap T = \left\{ {\left( {x,y,z} \right)|\;x - 3z = 0\;\; \wedge \;\;\;x + y - z = 0} \right\}\]</p>
</div>				 
	 </div>
					
		<!-- pag 215 -->
					 <div class="page" >	
	<div class="caja4"> 
<p>Se trata de una recta definida como intersección de dos planos. Una base de la recta es un vector director.</p>
<p>Geométricamente podemos buscar el vector director como el producto vectorial de los vectores normales a los planos:</p>
<p>$$ v = n_1 \times n_2 = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 0 & -3 \\ 1 & 1& -1 \end{vmatrix} = \left( {3, - 2,1} \right)$$</p>
<p style="text-align: center;">\[S \cap T = \left\{ {\left( {x,y,z} \right) = \lambda \left( {3, - 2,1} \right),\;\lambda \in \mathbb{R}} \right\}\]</p>
<p>Entonces \(\left\{ {\left( {3, - 2,1} \right)} \right\}\) es una base de \(S \cap T\).</p>
<p>Otra forma de resolverlo es buscar la solución del sistema de ecuaciones:</p>
<p>$$ \begin{cases}  x - 3z = 0 \\ x + y - z = 0 \end{cases} \; \Rightarrow \begin{cases}  x = 3z \\ y = z -x = -2z \end{cases} \; \Rightarrow $$
 $$ \Rightarrow  {(3z, - 2z, z)}, \; \forall z \in \mathbb{R}. $$</p>
<p style="text-align: center;">\[\left( {x,y,z} \right) = z\left( {3, - 2,1} \right)\]</p>
<p>Y entonces otra vez llegamos a que \(\left\{ {\left( {3, - 2,1} \right)} \right\}\) es una base de \(S \cap T\).</p>	
</div>
          </div>
	
	<!-- pag 216 -->
					 <div class="page" >	
	<div class="caja4"> 
		 <p style="font-size:110%; text-align:center";>  &ensp; Ejemplo 2</p>
		<p>Sean los subespacios de \({\mathbb{R}^{2 \times 2}}\):</p>
<p style="text-align: center;">\[S = \left\{ {A \in {\mathbb{R}^{2 \times 2}}\;|\;\;A = {A^t}} \right\}\]</p>
$$T = gen\; \bigg \{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}, \;\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\bigg\}$$  
Hallar \(S \cap T\).
<p><img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openImage('images/capitulo_03/3_3_1.png', '813', '1320')" src="images/boton1.png" width="20%"></p>	
	</div>
<p> Video con ejercicio resuelto </p> 
<p><video preload="none"  style= "border-radius: 20px; border-style: solid; border-width: 5px; border-color: blue;" width="540" height="300" controls="" poster="posters/video2.png"> <source src="videos/video2.mp4" type="video/mp4"></video> 
<figcaption prefix="Video"> Ejercicio Álgebra CBC A-62 (video de unamunoenlinea en YouTube, Licencia Atribución de Creative Commons)</figcaption> </p>	
				</div>
	<!-- pag 217 -->
					 <div class="page" >				
	<h3 id="c332">&ensp; Suma de subespacios</h3>
<p>Dados \(S\;y\;T\;\) subespacios de \(V\), se define la suma como sigue:</p>
<p style="text-align: center;">\(S + T = \left\{ {v \in V\;|\;\;v = {v_1} + {v_2}\;,\;\;\;con\;\;{v_1} \in S,\;\;{v_2} \in T} \right\}\) suma de subespacios</p>
<p><span style="text-decoration: underline;">Propiedad</span>: \(S + T\) es un subespacio del espacio vectorial \(V\).</p>
<p>Si conocemos conjuntos generadores de $S$ y de $T$, podemos hallar generadores de la suma:</p>
<div class="content-box-red">
<p style="text-align: center;">\(S = gen\left\{ {{v_1},{v_2}, \ldots ,{v_q}} \right\}\) y \(T = gen\left\{ {{w_1},{w_2}, \ldots ,{w_r}} \right\}\)</p>
 $$ \Rightarrow S + T = gen\left\{ {{v_1},{v_2}, \ldots {v_q},{w_1},{w_2}, \ldots ,{w_r}} \right\}$$
</div>
<p>Para hallar la suma es usual buscar las bases de \(S\) y \(T\). Como las bases son conjuntos generadores LI, si conocemos una base de cada subespacio podremos obtener un conjunto generador de la suma:</p>
<p>Dadas las bases:</p>
<p style="text-align: center;">\({B_S} = \left\{ {{v_1},{v_2}, \ldots ,{v_q}} \right\}\) y \({B_T} = \left\{ {{w_1},{w_2}, \ldots ,{w_r}} \right\}\)</p>
<p>Resulta:</p>
<p style="text-align: center;">\(\left\{ {{v_1}, \ldots ,{v_q},{w_1}, \ldots ,{w_r}} \right\}\) conjunto generador de la suma.</p>
<p>Observación: Se obtiene así un conjunto generador de la suma pero <strong>no siempre es linealmente independiente.</strong></p>	
	</div>	
		<!-- pag 218 -->
					 <div class="page" >				
<ul>
<li>Si es LI, encontramos una base de la suma.</li>
<li>Si es LD, podemos extraer una base de la suma eliminando los vectores «que sobran».</li>
</ul>
<img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openInteractive('interactivos/sumaejemplos.html','800','600')" src="images/capitulo_02/estudiante.gif" width="360" height="160"><br>
<h3 id="c333">&ensp; Suma directa</h3>
<p>La suma de dos subespacios es directa si y sólo si la intersección de los subespacios es el vector nulo.</p>
<p style="text-align: center;">\[S + T\;es\;directa\; \Leftrightarrow \;S \cap T = \left\{ {{0_V}} \right\}\]</p>
<p>Cuando la suma es directa se escribe:</p>
<p style="text-align: center;">\[S \oplus T\]</p>
	<img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openInteractive('interactivos/sumadirectaejemplos.html','800','600')" src="images/capitulo_02/estudiante.gif" width="360" height="160"><br>	
		</div>	
			
		<!-- pag 219 -->
					 <div class="page" >				
<h3 id="c334">&ensp; Teorema de la dimensión de la suma</h3>
<p>Si \({S_1}\) y \({S_2}\) son subespacios de un espacio vectorial \(V\) (de dimensión finita), entonces:</p>
<p style="text-align: center;">\[\dim \left( {{S_1} + {S_2}} \right) = \dim \left( {{S_1}} \right) + \dim \left( {{S_2}} \right) - dim\left( {{S_1} \cap {S_2}} \right)\]</p>
<p>En el caso particular de que la suma sea directa, como <br> \({S_1} \cap {S_2} = \left\{ {{0_V}} \right\}\) , resulta:</p>
<p>\[\dim \left( {{S_1} \oplus {S_2}} \right) = \dim \left( {{S_1}} \right) + \dim \left( {{S_2}} \right)\]</p>

<div class="caja4"> 
		 <p style="font-size:110%; text-align:center";>  &ensp; Ejemplo</p>
		<p>Dados los subespacios de \({P_2}\):</p>
<p style="text-align: center;">\[{S_1} = \left\{ {p \in {P_2}\;|\;\;p\left( 0 \right) = 0} \right\}\]</p>
<p style="text-align: center;">\[{S_2} = \left\{ {p \in {P_2}\;|\;\;p\left( 1 \right) = 0} \right\}\]</p>
<p>Hallar bases de ambos subespacios y de la intersección.</p>
<p>Resolución</p>
<p>Hallemos una base de \({S_1}\):</p>
<p style="text-align: center;">\[p\left( 0 \right) = {a_0} + {a_1}0 + {a_2}{0^2} = 0 \Rightarrow {a_0} = 0\]</p>
	</div>

		</div>	

<!-- pag 220 -->
					 <div class="page" >				
<div class="caja4"> 
<p>Entonces son los polinomios de la forma:</p>
<p style="text-align: center;">\[{a_1}x + {a_2}{x^2}\]</p>
<p>Luego una base de \({S_1}\) es:</p>
<p style="text-align: center;">\[{B_{{S_1}}} = \left\{ {x,{x^2}} \right\} \Rightarrow \dim \left( {{S_1}} \right) = 2\]</p>
<p>Hallemos una base de \({S_2}\):</p>
<p style="text-align: center;">\[p\left( 1 \right) = {a_0} + {a_1}1 + {a_2}{1^2} = 0 \Rightarrow {a_0} + {a_1} + {a_2} = 0\]</p>
<p>Entonces son los polinomios de la forma:</p>
<p style="text-align: center;">\[\left( { -{a_1} - {a_2}} \right) + {a_1}x + {a_2}{x^2} = {a_1}\left( { - 1 + x} \right) + {a_2}\left( { - 1 + {x^2}} \right)\]</p>
<p style="text-align: center;">\[{B_{{S_2}}} = \left\{ { - 1 + x\;\;,\;\;\; - 1 + {x^2}} \right\}\; \Rightarrow \;\dim \left( {{S_2}} \right) = 2\]</p>
<p>Para buscar \({S_1} \cap {S_2}\) debemos plantear que se cumplan las ecuaciones de \({S_1}\) y también las de \({S_2}\):</p>
<p style="text-align: center;">\[{a_0} = 0\; \wedge \;\;{a_0} + {a_1} + {a_2} = 0 \Rightarrow \;\;{a_0} = 0\;\; \wedge \;\;{a_1} = - {a_2}\]</p>
<p>Los polinomios serán de la forma:</p>
<p style="text-align: center;">\[{a_1}x -{a_1}{x^2} = -{a_1}\left( {{x^2} - x} \right)\]</p>
<p>Luego:</p>
<p style="text-align: center;">\[{B_{{S_1} \cap {S_2}}} = \left\{ {{x^2} - x} \right\}\; \Rightarrow \;\dim \left( {{S_1} \cap {S_2}} \right) = 1\]</p>
		</div>			
	</div>			
					
		<!-- pag 221 -->
					 <div class="page" >				
<div class="caja4"> 
<p>Nótese que como conocemos las dimensiones de \({S_1}\), \({S_2}\) y \({S_1} \cap {S_2}\), podemos calcular la dimensión de \({S_1} + {S_2}\):</p>
<p style="text-align: center;">\[\dim \left( {{S_1} + {S_2}} \right) = 2 + 2 - 1 = 3\]</p>
<p>Pero el único subespacio de \({P_2}\) con dimensión 3 es \({P_2}\). Luego: \({S_1} + {S_2} = {P_2}\).</p>
<p style="font-size:110%; text-align:center";>  &ensp; Ejercicio para el lector</p>
<p>Dados los subespacios de \({\mathbb{R}^{2 \times 2}}\):</p>
<p style="text-align: center;">\[{W_1}:\left\{ {A \in {\mathbb{R}^{2 \times 2}}\;\;|\;\;A = {A^t}} \right\}\]</p>
<p style="text-align: center;">\[{W_2}:\left\{ {A \in {\mathbb{R}^{2 \times 2}}\;|\;\;A = - {A^t}} \right\}\]</p>
<p>a) Hallar bases de \({W_1}\) y \({W_2}\)</p>
<p>b) Obtener \({W_1} \cap {W_2}\).</p>
<p>c) Sin hallar \({W_1} + {W_2}\) analizar la validez de la siguiente afirmación:</p>
<p style="text-align: center;">\[{W_1} \oplus {W_2} = {\mathbb{R}^{2 \times 2}}\]</p>
<p style="text-align: left;">d) Proponer una base de \({\mathbb{R}^{2 \times 2}}\;\) formada por matrices simétricas y antisimétricas.</p>
</div>			
	</div>			
		
	<!-- pag 222 -->
					 <div class="page" >	

<h3 id="c335">&ensp; Producto interno</h3>
<p>En el primer capítulo vimos producto escalar entre vectores y sus aplicaciones a la Geometría. En esta sección nos proponemos generalizar esta operación a otros espacios vectoriales definiendo la noción general de producto interno a partir de las propiedades del producto escalar.</p>
<p>Definición: Un <strong>producto interno</strong> en un espacio vectorial real \(V\) es una operación que asigna a cada par de vectores \(u\) y \(v\) de \(V\) un número real \(u.v\) tal que se verifican las siguientes propiedades $ \forall {u,\;v,\;w} \in V $ y $ \;\forall \alpha \in \mathbb{R}\; $:</p>
<ol> 
<li>&ensp; \(u \cdot v = v \cdot u\) </li>
<li>&ensp; \(u \cdot \left( {v + w} \right) = \left( {u \cdot v} \right) + \left( {u \cdot w} \right)\)</li>
<li>&ensp; \(\alpha u \cdot v = \alpha \left( {u \cdot v} \right)\)</li>
<li>&ensp; \(u.u \ge 0\;\;\; \wedge \;\;\;u.u = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;u = {0_V}\)</li>
 </ol>
<p>Es posible definir así distintos productos internos en cualquier espacio vectorial (mientras se verifiquen estas propiedades). En este libro sólo trabajaremos con el producto interno canónico en \({\mathbb{R}^n},\;\) que es la extensión del producto escalar:</p>
<p style="text-align: center;">\(\left( {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right).\left( {{y_1},{y_2}, \ldots ,{y_n}} \right) = {x_1}{y_1} + {x_2}{y_2} + \ldots {x_n}{y_n}\) <br></br>
producto interno canónico en \(\mathbb{R}^n\)</p>
</div>

	<!-- pag 223 -->
					 <div class="page" >	
<p>Esta definición nos permite extender el concepto de ortogonalidad a \({\mathbb{R}^n}\):</p>
<p style="text-align: center;">\(u \bot v\;\;\; \Leftrightarrow \;\;u.v = 0\:\) condición de ortogonalidad</p>
<div class="caja4"> 
<p style="font-size:110%; text-align:center";>  &ensp; Ejemplo</p>
<p> Realicemos el producto interno de los vectores de \({\mathbb{R}^4}\):</p>
<p style="text-align: center;">\[u = \left( {1,2,3,4} \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;v = \left( {1,0,1, - 1} \right)\]</p>
<p style="text-align: center;">\[u.v = 1.1 + 2.0 + 3.1 + 4.\left( { - 1} \right) = 0\]</p>
<p>Como \(u.v = 0\) entonces \(u\) y \(v\) son ortogonales.\(\;\)</p>
</div>
<br><h3 id="c336">&ensp; Complemento ortogonal de un subespacio</h3>
<p>Sea \(S\) subespacio de un espacio vectorial \(V\) con producto interno.</p>
<p>El complemento ortogonal de \(S\), que denotamos como \({S^ \bot}\), es el conjunto de vectores de \(V\) que son ortogonales a cada uno de los vectores de \(S\):</p>
<p style="text-align: center;">\({S^ \bot } = \left\{ {\;v \in V|\;\;v \cdot w = 0\;\;\;\;\forall w \in S} \right\}\)<br>
 complemento ortogonal de \(S\)</p>
<p>Propiedad:&ensp; \({S^ \bot }\) es un subespacio de \(V\).</p>
</div>

<!-- pag 224 -->
					 <div class="page" >	
<img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openInteractive('interactivos/complemento_ortogonal.html','800','600')" src="images/capitulo_02/ejemplos resueltos.gif" width="80%" height="260px">
<br>
<h3 id="c337">&ensp; Propiedades del complemento ortogonal</h3>
<p>Sea \(V\) un espacio vectorial de dimensión finita, con producto interno, y sea \(S\) un subespacio de \(V\). Entonces se verifican las siguientes propiedades:</p>
<ol>
<li style="text-align: left;">&ensp; \({\left( {{S^ \bot }} \right)^ \bot } = S\)</li>
<li>&ensp; \({V^ \bot } = \left\{ {{0_V}} \right\}\;\) y \(\;\left\{ {{0_V}} \right\}^ \bot = V\)</li>
<li>&ensp; \(S \cap {S^ \bot } = \left\{ {{0_V}} \right\}\)</li>
<li>&ensp; \(S + {S^ \bot } = V\)</li>
</ol>
<p>Esta última propiedad significa que cualquier vector de \(V\) puede expresarse como suma de un vector de S más otro de \({S^ \bot }\).</p>
		</div>			 
	<!-- pag 225 -->
					 <div class="page" >	
<p>Ilustramos con un ejemplo geométrico de \({\mathbb{R}^3}\):</p>
<img loading="lazy" img class="image_expand" onclick="openImage(this)" src="images/capitulo_03/Operaciones1.png" width="100%">
<p>De las propiedades 3 y 4 se deduce:</p>
<p>\[S \oplus {S^ \bot } = V\]</p>
<p>Y por lo tanto:</p>
<p>\[\dim \left( S \right) + \dim \left( {{S^ \bot }} \right) = \dim \left( V \right)\]</p>
<p><strong>La unión de una base de \(S\) con una base de \({S^ \bot }\) es base de \(V.\)</strong> Esto se aplica para extender una base de \(S\;\)a una base de \(V\), como muestra el siguiente ejemplo.</p>
</div>

<!-- pag 226 -->
					 <div class="page" >	
    <div class="caja3"> 
<p style="font-size:110%; text-align:center";>Ejemplo</p>
<p>Sea \(S = \left\{ {\left( {{x_1},{x_2},{x_3},{x_4}} \right) \in {\mathbb{R}^4}|\;{x_1} + {x_4} = 0,\;{x_1} - {x_2} + 3{x_4} = 0} \right\}\)</p>
<p>Hallar una base de \(S\) y extenderla a una base de \({\mathbb{R}^4}\).</p>
<p style="font-size:110%; text-align:center";> Resolución</p>
<p>Buscamos una base de S, por ejemplo:</p>
<p style="text-align: center;">\[{B_S} = \left\{ {\;\left( {1, - 2,0, - 1} \right),\;\left( {0,0,1,0} \right)} \right\}\]</p>
<p>Como \(dim\left( S \right) = 2,\;\) podemos anticipar que: $\,dim({S^ \bot }) = 4 - 2 = 2 $</p>
<p>A partir de la base de $S,\;$ obtenemos las ecuaciones de \({S^ \bot }\):</p>
$$ S^ \bot: \begin{cases} {x_1} - 2{x_2} - {x_4} = 0 \\ {x_3} = 0 \end{cases}$$
<p>Y hallamos una base de \({S^ \bot }.\;\) por ejemplo:</p>
 \[{B_{{S^{ \bot \;}}}} = \{\left( {2,1,0,0} \right),\;(\left( {0,1,0, -2} \right)\} \]
<p>Entonces uniendo las bases de \(S\) y \({S^ \bot }\) resulta:</p>
<p>\(B = \left\{ {\left( {1, - 2,0, - 1} \right),\left( {0,0,1,0} \right),\left( {2,1,0,0} \right),\left( {0,1,0, - 2} \right)} \right\}\)<br>
que es base de \({\mathbb{R}^4}\)</p>
</div>
       </div>
<!-- pag 227 -->
					 <div class="page" >	
<p style= "text-align:center"> Videos con ejercicios resueltos </p> 
<p><video preload="none"  style= "border-radius: 20px; border-style: solid; border-width: 5px; border-color: blue;" width="70%" controls="" poster="posters/video3.png"> <source src="videos/video3.mp4" type="video/mp4"></video> 
<figcaption prefix="Video"> Ejercicio Álgebra y Geometría Analítica UTN FRBA (video de elaboración propia)</figcaption> </p>	
<p><video preload="none"  style= "border-radius: 20px; border-style: solid; border-width: 5px; border-color: blue;" width="70%" height="250px" controls="" poster="posters/video4.png"> <source src="videos/video4.mp4" type="video/mp4"></video> 
<figcaption prefix="Video"> Ejercicio Álgebra y Geometría Analítica UTN FRBA (video de elaboración propia)</figcaption> </p>
</div>

<!-- pag 228 -->				 
	<div class="page">	
<h2 id="c34">&ensp; Autoevaluaciones de cierre de capítulo</h2>	
  <div style=" margin-left: -28px;">
          
<div class="interactive sin_boton" poster="posters/226.png" width="740" height="835" src="interactivos/Prueba_EV_multiplechoice.html" scale="110%"></div>
</div> 
</div>		

<!-- pag 229 -->				 
	<div class="page">	
    <div style=" margin-left: -28px;">      
<div class="interactive sin_boton" style="padding:-40px" poster="posters/227.png" width="740" height="825" src="interactivos/Prueba_EV_respuestas_abiertas.html" scale="110%"></div>
</div>
</div>
<!--  -->
		<div class="page" num=""></div>

			<!-- Un nuevo capitulo -->
			<!--  -->
	<div class="page invertcolor" num="" style=" background-size:auto; background-image:url(images/general/cap4.png);">
			
	<div class="chap_text" style="top:100px;" > Capítulo IV</div>
	<h1 class="chap_name" id="capitulo_4" style="top:150px; left:0px">Tres espacios de una matriz</h1>	
</div>	
	
			
<div class="page" num="">
<div class="toc_link" add_toc="no" href="#c41"></div>
<div class="toc_link" add_toc="no" href="#c42"></div>
<div class="toc_link" add_toc="no" href="#c43"></div>
<div class="toc_link" add_toc="no" href="#c431"></div>
<div class="toc_link" add_toc="no" href="#c432"></div>
<div class="toc_link" add_toc="no" href="#c44"></div>
</div>
					
			<!--  pag 233-->
			<div class="page">
			<p>&ensp;&ensp;&ensp; &ensp; Muchos problemas de ingeniería, por complicados que sean, se pueden reducir a álgebra lineal:</p>
            $$ AX = B \;\; ó \;\; AX = \lambda X \;\; ó \;\; AX \approx B $$
<p>Si las matrices son cuadradas, el primer problema $AX = B$ tiene una única solución cuando las columnas de $A$ son independientes. El segundo problema $AX = \lambda X,$ cuando tiene solución para $\lambda$ y para $X$﻿ produce vectores independientes (llamados vectores propios). Para resolver el tercer problema, $AX \approx B,$ suele recurrirse a métodos numéricos. <br> 
			 Se puede observar que: $$A =\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 4\end{pmatrix} $$ no tiene columnas independientes.
Si sumamos las columnas 1 y 2 obtenemos la columna 3. Un resultado sorprendente e importante del álgebra lineal establece que las filas <b>tampoco son independientes.</b><br>
Este capitulo analiza La interacción de las columnas y las filas. A continuación se enumeran cuatro de los conceptos más importantes:
<ol>
<li>&ensp; El espacio columna (todas las combinaciones de las columnas).</li>
<li>&ensp; El espacio fila (todas las combinaciones de las filas).</li>
<li>&ensp; El rango (el número de columnas o filas independientes).</li>
<li>&ensp; Eliminación (la mejor manera de encontrar el rango de una matriz).</li>
</ol>  </p>
 			</div>
			
		<!-- pag 234-->	
			<div class="page">
				<h2 id="c41">&ensp; Espacios fila y columna de A. Rango</h2>
	<p> En esta presentación, resumimos la teoría necesaria para resolver la ejercitación:</p>
	<p>	<img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openInteractive('interactivos/Reveal2020/index3.html','1120','650')" src="images/capitulo_04/index3.png" width="540px" height="300px">	</p>		
	<h4>Método para hallar el rango de una matriz</h4>
<p>Recordemos que:</p>
<p>1.&ensp; Si se realizan operaciones elementales entre las filas de una matriz, el rango se conserva.</p>
<p>2.&ensp; Las filas no nulas de una matriz escalonada son LI.</p>
<p>Por lo tanto, para determinar el rango de una matriz se aplican operaciones elementales para obtener una matriz escalonada y se cuentan las filas no nulas.</p>			
	</div>			
						
        	<!-- pag 235 -->	
	<div class="page">
	<img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openInteractive('interactivos/ejemplosrango.html','800','600')" src="images/capitulo_02/estudiante.gif" width="80%" ><br>		
	<h4>Compatibilidad y rango</h4>
<p>Consideremos el siguiente sistema:</p>
$$\begin{cases} \begin{aligned}{x_1} + {x_2} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: + {x_4} = 3 \\ {x_3} - {x_4} = 2 \\ {x_1} + {x_2} - {x_3}+ 2{x_4} = 0 \end{aligned} \end{cases}$$ 
<p>Es un sistema de 3 ecuaciones con 4 incógnitas (3 x 4) cuya matriz de coeficientes es la \(A\) del ejemplo 4 de los ejemplos precedentes.</p>
<p>El sistema puede expresarse en forma matricial como: \(A\,X = B\)</p>
	</div>	          
			
	<!-- pag 236 -->	
			<div class="page">
	<p>con $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & 2\end{pmatrix}\:$ y $\:B = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 0\end{pmatrix}$</p>
<p>Este sistema, ¿tendrá solución? ¿Cuántas soluciones tendrá?</p>
<p>Veamos cómo escribir el sistema en función de las columnas de la matriz \(A\):</p>	
$$ {x_1} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} + {x_2}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} + {x_3}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix} + {x_4}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 0\end{pmatrix}$$
<p>Queda una combinación lineal de las columnas de \(A\) igualada al vector de los términos independientes:</p>
<p>\[{x_1}\;{A_1} + {x_2}\;{A_2} + {x_3}\;{A_3} + {x_4}\;{A_4} = B\]</p>
<p>¿Cuándo tiene solución el sistema? Cuando podemos encontrar valores para \({x_1},{x_2},{x_3},{x_4}\) que satisfagan la igualdad. Estos valores pueden ser únicos o no.</p>	
<p>En otras palabras:</p>
<p><strong>El sistema </strong>\(AX = B\)<strong> es compatible si y sólo si </strong>\(B\)<strong> es combinación lineal de las columnas de </strong>\(A.\)</p>
	</div>	          
			<!-- pag 237 -->	
			<div class="page">
	<p>Decir que \(B\) es combinación lineal de las columnas de \(A\) significa que \(B\) está en el subespacio generado por las columnas de \(A\).<br>
	O sea:</p>
<p>\[El\;sistema\;\;AX = B\;\;es\;compatible\;\;\; \Leftrightarrow \;\;B \in Col\left( A \right)\]</p>
<p>Consideremos la matriz ampliada del sistema, que se obtiene agregando la columna de los términos independientes:</p>
<p>\[A' = \left( {{A_1}\;\;\;{A_2}\;\;\;{A_3}\;\;\;{A_4}\;\;\;\;B} \right)\]</p>
<p>¿Qué valores puede tomar \(rg\left( {A'} \right)?\)</p>
<p>El rango de \(A'\) dependerá de si \(B\) es combinación lineal o no de las columnas de \(A\):</p>
<ul>
<li>\(rg\left( {A'} \right) = rg\left( A \right) = 2 \Leftrightarrow B \in Col\left( A \right)\)</li>
<li>\(rg\left( {A'} \right) = rg\left( A \right) + 1 = 3 \Leftrightarrow B \notin Col\left( A \right)\)</li>
</ul>
<p>Estamos en condiciones de enunciar un teorema central sobre la compatibilidad de sistemas de ecuaciones lineales.</p>
<p>Un sistema de ecuaciones lineales \(AX = B\) es compatible si y sólo si el rango de la matriz ampliada es igual al rango de \(A\).</p>
<div class="content-box-red">\[El\;sistema\;\;AX = B\;es\;compatible \Leftrightarrow rg\left( A \right) = rg\left( {A'} \right)\]</div>	
		</div>	          
			<!-- pag 238 -->	
			<div class="page">
	<img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openInteractive('interactivos/ejemplosrango2.html','900','620')" src="images/capitulo_02/estudiante.gif" width="80%" height="240px" >	
<p> Oprimí el botón en la parte inferior derecha del siguiente recurso y podrás trabajar con distintos espacios columna.</p>
	<div class="interactive sin_boton1" poster="posters/espaciocolumna.jpg" width="800" height="600" src="interactivos/espaciocolumna1.html" scale="95%">
</div>
<figcaption prefix="" style="margin-top: -14px">Objeto interactivo de construcción propia</figcaption>
    </div>	          
			<!-- pag 239 -->	
			<div class="page">
	
	<h2 id="c42">&ensp; Espacio nulo de A.</h2>
<p>	Dada una matriz $A$, las soluciones de $AX=0$ constituyen un espacio vectorial, que llamaremos <b>el espacio nulo </b>de $A$. <br>
Encontremos el Espacio Nulo de la matriz A: </p>
<p>$$ A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 4 & 2\end{pmatrix} $$
Debemos encontrar que matrices $X$ "anulan" a la matriz $A$. Es decir, el espacio solución del sistema $AX=0.$ 
 La matriz ampliada del sistema es: </p>
 <p> $$ A' = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & 0\\ 1 & 4 & 2 & 0 \end{pmatrix} $$</p>
 <p> Resolviendo el sistema, la solución es </p>
$$ S = \begin{Bmatrix} X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = z \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix} \;\; con \; z \in \mathbb{R} \end{Bmatrix} $$	
<p> (Espacio nulo de $A$)</p>
</div>	    

<!-- pag 240 -->	
		<div class="page">
		
<p> En el siguiente applet podemos observar la interpretación geométrica: todos estos vectores $X$ (en rojo) forman una recta, al ser multiplicados por $A$ se anulan. </p>			
	<div class="interactive sin_boton1" poster="posters/espnulo1.png" width="1000" height="628" src="interactivos/espnulo1.html" scale="100%">	</div>	
<figcaption prefix="" style="margin-top: -14px">Objeto interactivo de construcción propia</figcaption>
<br>
<h4>Más ejemplos</h4>
<p>Puedes oprimír el botón situado en la parte inferior derecha del recurso de la página siguiente. En la actividad, primero elige el rango de la matriz con la que quieras trabajar y podrás encontrar el espacio nulo asociado a la misma. En el applet, a dicho <b>espacio nulo</b> se lo indica como el <b> "núcleo"</b> de $A$ (Terminología que tendrá significado cuano estudiemos transformaciones lineales.)</p>
	</div>

    <!-- pag 241 -->	
<div class="page" >
	<div class="interactive sin_boton1" poster="posters/espacionulo.png" width="600" height="314" src="interactivos/espacionulo.html" scale="97%">	</div>	
	<figcaption prefix="" style="margin-top: -14px">Objeto interactivo de construcción propia</figcaption><br>
<p> Por último, en el siguiente ejemplo podemos cambiar la matriz con la que trabajamos y graficar los tres espacios asociados (columna, fila y nulo) juntos o por separado.</p>
<p>El applet muestra los espacios de una matriz M de 3x3. El espacio fila se muestra en azul, el espacio columna se muestra en naranja y el espacio nulo se muestra en verde. Puedes editar la matriz para ver cómo cambian estos espacios y puedes alternar la visibilidad de los tres espacios haciendo clic en las casillas de verificación de la derecha. Algunas observaciones notables:</p>
<ul>
<li> Los espacios fila y columna siempre tienen la misma dimensión, igual al rango de M. </li>
<li> La dimensión de los espacios fila/columna y la dimensión del espacio nulo siempre suman 3, de acuerdo con el Teorema de nulidad-rango.</li>
<li> El espacio de filas siempre es ortogonal al espacio nulo de M.</li>
</ul>
	</div>
	             
		 <!-- pag 242 -->				
<div class="page" >
<p> Aquí hay algunas matrices interesantes para probar: <p>
$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & -2 \\ 1& 2 & -1 \end{pmatrix} $$ Antes de escribirla en el applet, mirá las columnas de esta matriz: ¿qué observas? ¿Puedes adivinar cómo se verá el espacio columna? <br>
Otra: $$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & -4 \\ 2 & -1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} $$
<p>¿Cuál es el espacio nulo en este caso? (Pista: recuerda que uno de los subespacios 'triviales' consta solo del vector nulo).</p>	
 La última: $$ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ ¿Cuáles serán los espacio fila y columna en este caso?</p>	
<p> Recordá que podés introducir la matriz que desees.</p> 
						
										</div>    
		 <!-- pag 243 -->				
<div class="page" >
<div class="interactive sin_boton1" poster="posters/ejercicio3espacios.png" width="800" height="400" src= "interactivos/ejercicio3espacios.html" scale="100%">	</div>		
	<figcaption prefix="" style="margin-top: -14px">Objeto interactivo de construcción propia</figcaption>
</div>   
			
			 <!-- pag 244-->			 
	        <div class="page">
				<h2 id="c43"> Relación entre las soluciones de $AX = B$ <br>
                    y $AX = 0.\;$ Variables libres.</h2>
<h3 id="c431"> &ensp; Espacio solución de un sistema homogéneo</h3>
<p>Consideremos un <strong>sistema homogéneo</strong> \(AX = 0,\;\) con \(A \in {\mathbb{R}^{mxn}}\).</p>
<p>Sea \({S_h} = \left\{ {X \in {\mathbb{R}^{nx1}}| \; AX = \;0} \right\}\), el conjunto solución del sistema.</p>
<p>1) \(X = 0\;\) pertenece a \({S_h}\) (solución trivial del sistema).</p>
<p>2) Sean \({X_1}\) y \({X_2}\) soluciones del sistema.</p>
<p>\(A\left( {{X_1} + {X_2}} \right) = \;A{X_1} + A{X_2} = 0\; \Rightarrow \;{X_1} + {X_2}\) también es solución.</p>
<p>3) Sea \(X\) una solución, y \(k\) un número real:</p>
<p>\(A\left( {kX} \right)\; = k\left( {AX} \right) = k0 = 0\) \(kX\) también es solución.</p>
<p>Por lo tanto:</p>
El conjunto solución de un sistema homogéneo \(AX\; = \;0\) (con \(A \in {\mathbb{R}^{mxn}}\)) es un subespacio de \({\mathbb{R}^{nx1}}\).
<p>Si el sistema (homogéneo) es compatible determinado, la única solución es la trivial.&nbsp; En ese caso, \(\;dim\left( {{S_h}} \right)\; = \;0.\)</p>
<p>¿De qué dependerá la dimensión de \({S_h}\) para una matriz \(A\) dada?</p>
						</div>
						
	 <!-- pag 245-->						
	<div class="page" >
	<div class="titulo4"> Propiedad </div> 
<p>Sea \({S_h}\) el espacio solución del sistema homogéneo \(AX = 0\), con \(A \in {\mathbb{R}^{mxn}}.\:\) Puede demostrarse que:</p>
<p>\[dim\left( {{S_h}} \right)\; = \;n - rg\left( A \right)\]</p>
<p>Nota: Recordamos que el conjunto solución de un sistema homogéneo \(AX = 0\) se denomina <strong>espacio nulo</strong> de la matriz $A$.</p>
<div class="caja4"> 
		 <h6 style="font-size:110%; text-align:center">Ejercicio </h6>
<p>Dado el sistema homogéneo cuya matriz de coeficientes es</p>
$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & 6 & k \end{pmatrix} $$

<p>a) Determinar la dimensión del espacio solución y el rango de \(A\) de acuerdo con los valores de \(k\).</p>
<p>b) Para \(k = 0\;\) hallar una base del espacio solución.</p>
<p>Te pedimos que compruebes en este ejercicio la propiedad mencionada previamente.</p>	
</div>
	</div>

 <!-- pag 246 -->	
 
	<div class="page" >
<h3 id="c432">&ensp; Relación entre las soluciones de \(AX = B\) y \(AX = 0\)</h3>
<p> Consideremos los siguientes sistemas de ecuaciones:</p>					 
					 
	<div style="column-count: 2;  column-gap: 40px;"> <p>Sistema de ecuaciones:</p> $$ \begin{cases} \begin{aligned} 2x - y + z = 4 \\ -x +2y - z = 3 \\ \end{aligned} \end{cases} $$ <p>Sistema homogéneo asociado </p> $$ \begin{cases} \begin{aligned} 2x - y + z = 0 \\ -x +2y - z = 0 \\ \end{aligned} \end{cases} $$</div>			 
<p>Resolvemos primero el sistema de ecuaciones original:</p>
$$ \begin{cases} \begin{aligned} 2x - y + z = 4 \\ -x +2y - z = 3 \\ \end{aligned} \end{cases} \;\; \Rightarrow \;\; \begin{cases} \begin{aligned} -6 +4y -2z - y + z = 4 \\ x = 2y - z - 3 \\ \end{aligned} \end{cases} \;\; \Rightarrow \;\;$$ 
$$ \;\; \Rightarrow \;\; \begin{cases} \begin{aligned} z = -10 + 3y \\ x = -y + 7 \\ \end{aligned} \end{cases}$$					 
<p>Luego el conjunto solución es:</p>
<p>\[\left( {x,y,z} \right) = \left( { - y + 7,\;\;\;y,\; - 10 + 3y} \right) = y\left( { - 1,1,3} \right) + \left( {7,0, - 10} \right)\]</p>
<p>\[S = \left\{ {\left( {x,y,z} \right) \in {\mathbb{R}^3}|\;\;\left( {x,y,z} \right) = \lambda \left( { - 1,1,3} \right) + \left( {7,0, - 10} \right)} \right\}\]</p>
<p>Geométricamente, el conjunto solución es una recta que no pasa por el origen.</p>					 
</div>

 <!-- pag 247 -->

					 <div class="page">
	<p>Resolvamos ahora el sistema homogéneo asociado:</p>
$$ \begin{cases} \begin{aligned} 2x - y + z = 0 \\ -x +2y - z = 0 \\ \end{aligned} \end{cases} \;\; \Rightarrow \;\; \begin{cases} \begin{aligned} 4y -2z - y + z = 0 \\ x = 2y - z \\ \end{aligned} \end{cases} \;\; \Rightarrow \;\;$$ 
$$ \;\; \Rightarrow \;\; \begin{cases} \begin{aligned} z = 3y \\ x = - y \\ \end{aligned} \end{cases}$$		
<p>Luego el conjunto solución es:</p>
<p>\[\left( {x,y,z} \right) = \left( { - y,\;\;y,\; 3y} \right) = y\left( { - 1,1,3} \right)\]</p>
<p>\[{S_h} = \left\{ {\left( {x,y,z} \right)|\;\left( {x,y,z} \right) = \lambda \left( { - 1,1,3} \right)} \right\}\]</p>					 
<p>Se trata de una recta paralela a la anterior, que pasa por el origen.</p>
<p>Notemos que tal como establecimos previamente, el conjunto solución de un sistema homogéneo es un subespacio.</p>
<p>¿Qué relación existe entre los conjuntos solución del sistema original y de su homogéneo asociado?</p>
<p>En la gráfica de la siguiente página se muestran las soluciones de los sistemas. En naranja la recta solución del sistema no homogéneo, y en violeta la recta solución del sistema homogéneo:</p>					 
 </div>

 <!-- pag 248-->

 <div class="page">
 <p><img loading="lazy"  class="image_expand" onclick="openImage(this)" src="images/capitulo_04/relaciones.png" width="100%"></p>
<p>Son dos rectas paralelas: la recta que es solución del sistema homogéneo pasa por el origen y la recta que es solución del sistema no homogéneo no pasa por el origen.</p>
<p>Observamos que:</p>
$$ S = {(x,\;y,\;z) = \lambda \; \underbrace{(-1, \;1, \;3)}_{S_{h}} + \underbrace{(7,\; 0, \; -10)}_{X_{p}}} $$
<p>\[ \Rightarrow \;\;S = {S_h} + {X_p}\]</p>
<p>A continuación veremos un conjunto de propiedades que permiten generalizar este resultado para un sistema de ecuaciones lineales \(AX = B\) con \(A \in {\mathbb{R}^{m \times n}},\;\;B \in {\mathbb{R}^{m \times 1}}\):</p>
  </div>
					 
	 <!-- pag 249 -->	
	
<div class="page">
<div class="titulo4"> Propiedad 1</div> 
 <p><strong>La diferencia de dos soluciones particulares es solución del sistema homogéneo asociado.</strong></p>	
	<p>Si \({X_1}\) y \({X_2}\) son dos soluciones particulares del sistema \(AX = B\), entonces se cumple que:</p>
$$ A{X_1} = B \;\; \land \;\; A{X_2} = B $$
<p>Restando miembro a miembro:</p>
$$ A{X_1} - A{X_2} = 0 \; \Rightarrow \; A \;({{X_1} - {X_2}}) = 0$$</p>
<p>Por lo tanto \({X_1} - {X_2}\;\) es solución de \(AX = 0\)</p>
  <div class="titulo4"> Propiedad 2</div>
 <p><strong>La suma de una solución particular de </strong>\(AX = B\)<strong> y una solución del homogéneo asociado, es solución de </strong>\(AX = B.\)</p>
<p>Sean:</p>
<ul>
<li>\({X_p}\) una solución particular de \(AX = B\)</li>
<li>\({X_h}\) una solución del sistema homogéneo asociado.</li>
</ul>	
<p>Queremos probar que \(\left( {{X_p} + {X_h}} \right)\) es solución de \(AX = B\)</p>
<p>\[A\left( {{X_p} + {X_h}} \right) = A{X_p} + A{X_h} = B + 0 = B\]</p>
</div>

	<!-- pag 250-->
	<div class="page">
<div class="titulo4"> Propiedad 3</div>	
<p>En la propiedad anterior habíamos probado que \(\left( {{X_p} + {X_h}} \right)\) es solución de \(AX = B.\;\) Recíprocamente:</p>
<p><strong>Cualquier solución del sistema </strong>\(AX = B\)<strong> puede expresarse como </strong>\({X_p} + {X_h},\;\)<strong> siendo </strong>\({X_p}\;\)<strong> una solución particular del sistema y </strong>\({X_h}\;\)<strong> una solución del homogéneo asociado.</strong></p>
<p>Sea \(X\) una solución del sistema \(AX = B,\;\) entonces:</p>
<p>\[X = \left( {X - {X_p}} \right) + {X_p}\]</p>
<p>Por propiedad 1, \(\;\left( {X - {X_p}} \right)\) es solución del homogéneo asociado, por lo tanto:</p>
<p>\[X = {X_h} + {X_p}\]</p>
<p>A partir de las propiedades 2 y 3 se deduce que:</p>
<div class="caja4">  
<p><b> El conjunto solución de un sistema \(AX = B\) puede expresarse como suma de una solución particular y la solución del sistema homogéneo asociado.</b></p>
$$ S = {X_p} + {S_h} = \begin{Bmatrix} {{X_p} + {X_h}|\;{X_h} \in {S_h}} \end{Bmatrix} $$	
</div>	
    </div>
	
	<!-- pag 251-->
	<div class="page">
<img loading="lazy" class="image_expand" onclick="openInteractive('interactivos/relacionentresist.html','800','600')" src="images/capitulo_02/estudiante.gif" width="80%" ><br>		
<h2 id="c44">Número de variables libres de un sistema</h2>
<p>Recordemos que:</p>
<p style="text-align: center;">El sistema \(AX = B\) es compatible \( \Leftrightarrow \) \(B \in Col\left( A \right)\) \( \Leftrightarrow \)
 \[ \Leftrightarrow rg\left( A \right) = rg\left( {A'} \right)\]</p>
<p>Supongamos que \(B \in Col\left( A \right)\), es decir que el sistema es compatible. ¿Cuántas soluciones tiene?</p>
<p>Sea \(\;rg\left( A \right) = rg\left( {A'} \right) = r\)</p>	
	<p>Si \(n\) es el número de incógnitas, puede demostrarse que:</p>

	
	</div>
	<!-- pag 252-->
	<div class="page">
<ul>
<li>Si \(r = n\), el sistema tiene solución única (SCD)</li>
<li>Si \(r < n\), el sistema admite infinitas soluciones (SCI), con \(n - r\) variables libres</li>
</ul>	
<p>Observación: El número de variables libres es igual a la dimensión del espacio solución del sistema homogéneo asociado.</p>

<div class="caja4"> <p style="font-size:110%; text-align:center";>  &ensp; Ejemplo</p>
<p>Analizar cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones, e indicar el número de variables libres.</p>
a) $ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \begin{cases} \begin{aligned} x + y + z = 0 \\ x - y \quad \: \: \: = 1 \\ z = 3 \end{aligned} \end{cases}$</p> 

<p> b) $ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \begin{cases} \begin{aligned} x + y + z = 0 \\ x - y \quad \: \: \: = 1 \\ 2x \quad \: + z = 1 \end{aligned} \end{cases} $ </p>

<p> c) $ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \begin{cases} \begin{aligned} {x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} = 1 \\ \quad {x_2} \quad \quad\; - {x_4} = 0 \\ {x_1} \:\:\:\:\:\:\: + {x_3} + 2{x_4} = 1 \end{aligned} \end{cases} $ </p>
</div>	
   </div>	
<!-- pag 253-->

<div class="page">
<div class="caja4"> <p style="font-size:110%; text-align:center";>  &ensp; Resolución</p>
<p><strong>Ítem a</strong></p>
$$ \begin{cases} \begin{aligned} x + y + z = 0 \\ x - y \quad \: \: \: = 1 \\ z = 3 \end{aligned} \end{cases}$$
<p>Realicemos el análisis a partir del rango de \(A\) y de \(A'\):</p>
$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 \\ 0& 0 & 3 & 3\end{pmatrix} \: F_2 \to F_2 - F_1 \: \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & -1 & 1 \\ 0& 0 & 3 & 3\end{pmatrix}   $$
<p>Como \(rg\left( A \right) = rg\left( {A'} \right) = n = 3\) entonces el sistema es SCD. No hay variables libres.</p>
<p><strong>Ítem b</strong></p>
$$ \begin{cases} \begin{aligned} x + y + z = 0 \\ x - y \quad \: \: \: = 1 \\ 2x \quad \: + z = 1 \end{aligned} \end{cases} $$
<p>Escalonamos $A'$ para hallar $rg(A)$ y $rg(A')$:</p>
$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 1\end{pmatrix} \: \begin{matrix} F_2 \to F_2 - F_1 \\ F_3 \to F_3 - 2F_1\end{matrix} \: \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & -1 & 1 \\ 0 & -2 & -1 & 1 \end{pmatrix} $$
</div>	
     </div>

<!-- pag 254-->

<div class="page">
<div class="caja4"> 
$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & -1 & 1 \\ 0 & -2 & -1 & 1\end{pmatrix} F_3 \to F_3 - F_2 \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
<p>Al escalonar $A'$ se elimina una de las filas. Luego:</p>
<p>$ rg(A) = rg{A'} = 2 \;$ y $\; n = 3 \; \Rightarrow \;\;$ SCI con una variable libre.</p>
<p>Le proponemos al lector hallar el conjunto solución, comprobar que el sistema es un SCI con una variable libre, e indicar una base de \({S_h}\).</p>
<p><strong>Ítem c</strong></p>
$$ \begin{cases} \begin{aligned} {x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} = 1 \\ \quad {x_2} \quad \quad\; - {x_4} = 0 \\ {x_1} \:\:\:\:\:\:\: + {x_3} + 2{x_4} = 1 \end{aligned} \end{cases} $$
<p>Escalonamos $A'$ para hallar $rg(A)$ y $rg(A')$:</p>
$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} F_2 \to F_2 - F_1 \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$
$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} F_3 \to F_3 + F_2 \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
<p>Al escalonar \(A'\) se elimina una de las filas. Luego:</p>
</div>	
     </div>
<!-- pag 255-->

<div class="page">
<div class="caja4"> 
<p>$ rg(A) = rg{A'} = 2 \;$ y $\; n = 4 \; \Rightarrow $ SCI con dos variables libres.</p>
<p>Le proponemos al lector hallar el conjunto solución, comprobar que el sistema es un SCI con dos variables libres, e indicar una base de \({S_h}\).</p>
</div>	<br>
<div class="titulo4"> Resumen</div>	
<p>Sea el sistema de ecuaciones $AX = B,\;$ con $ A \in {\mathbb{R}^{m \times n}},$ <br> $ X \in {\mathbb{R}^{n \times 1}},\;B \in {\mathbb{R}^{m \times 1}},\;$ cuya matriz ampliada es:</p>
<p>\[A' = \left( {{A_1}\;\;\;\;{A_2}\;\;\;{A_3}\;\; \ldots \;\;\;{A_n}\;\;\;\;B} \right)\]</p>
<p>El siguiente esquema resume el análisis de compatibilidad que realizamos previamente:</p>
<img loading="lazy"  class="image_expand" onclick="openImage(this)" src="images/capitulo_04/analisis-de-compatibilidad.png" width="100%">
     </div>
	 
	<!-- pag 256-->
<div class="page">
<p>En el caso particular de un sistema homogéneo \(AX = 0:\)</p>
<img loading="lazy"  class="image_expand" onclick="openImage(this)" src="images/capitulo_04/analisis-de-homogeneo.png" width="100%">	
</div>
  <!-------      ------> 
		 
	   <!-- pag -->		<div class="page" num=""></div>	 
	     <!-------      ------> 
		 
	   <!-- pag -->		<div class="page" num=""></div>	 

<!-- Un nuevo capitulo -->
			<!--  -->
	<div class="page invertcolor" num="" style="background-size:auto; background-position: 120px 390px; background-repeat: no-repeat; background-image:url(images/general/5s.gif);">
			
	<div class="chap_text" style="top:100px;" > Capítulo V</div>
	<h1 class="chap_name" id="capitulo_5" style="top:150px; left:0px">Evaluaciones integradoras por tiempo</h1>	
</div>	
				
<div class="page" num="">
<div class="toc_link" add_toc="no" href="#c51"></div>
<div class="toc_link" add_toc="no" href="#c52"></div>
<div class="toc_link" add_toc="no" href="#c53"></div>
<div class="toc_link" add_toc="no" href="#c54"></div>
<div class="toc_link" add_toc="no" href="#c55"></div>
</div>

<!-- pag 261-->
<div class="page">
				<h2 id="c51">&ensp; Evaluación parcial 1</h2>
		<div style=" margin-left: -28px;">
<div class="interactive sin_boton" poster="posters/259.png" width="740" height="835" src="Primerparcial1/index.html" scale="107%"></div>
</div>
</div>

<!-- pag 262-->

<div class="page">
				<h2 id="c52">&ensp; Evaluación parcial 2</h2>
<div style=" margin-left: -28px;">
<div class="interactive sin_boton" poster="posters/260.png" width="740" height="835" src="Primerparcial2/index.html" scale="107%"></div>
</div>				
</div>

<!-- pag 263-->

<div class="page">
				<h2 id="c53">&ensp; Evaluación parcial 3</h2>
<div style=" margin-left: -28px;">
<div class="interactive sin_boton" poster="posters/260.png" width="740" height="835" src="Primerparcial3/index.html" scale="107%"></div>
</div>
</div>

<!-- pag 264-->

<div class="page">
				<h2 id="c54">&ensp; Evaluación parcial 4</h2>
  <div style=" margin-left: -28px;">
<div class="interactive sin_boton" poster="posters/262.png" width="740" height="835" src="Evaluacion_parcial_4.html" scale="107%"></div>
</div> 
       </div>

<!-- pag 265-->

<div class="page">
				<h2 id="c55">&ensp; Evaluación parcial 5</h2>
<div style=" margin-left: -28px;">
<div class="interactive sin_boton" poster="posters/263.png" width="740" height="835" src="Evaluacion_parcial_5.html" scale="107%"></div>
</div> 
</div>
         <!-------      ------> 
<div class="page" num="" style="background-image:url(images/general/cap6.png); background-size:1280px 825px; background-position:left; border-right:none;"></div>				 
	 	  
 
<!-- Un nuevo capitulo -->
			<!--  -->
	<div class="page" num="" style="background-image:url(images/general/cap6.png); background-size:1280px 825px; background-position:right; border-right:none;">		
	<div class="chap_text1" style="top:284px;"> Capítulo VI</div>
	<h1 class="chap_name" id="capitulo_6" style="top:343px; left:0px">Post scriptum vintage</h1>	
</div>	
				
<div class="page" num="">
<div class="toc_link" add_toc="no" href="#c61"></div>
<div class="toc_link" add_toc="no" href="#c62"></div>
<div class="toc_link" add_toc="no" href="#c63"></div>
<div class="toc_link" add_toc="no" href="#c64"></div>
<div class="toc_link" add_toc="no" href="#c65"></div>
</div>	
	 
	   <!-- pag 269-->

<div class="page">
<h2 id="c61">&ensp; Algo de tiempos pasados</h2>
<p>Hace un poco más de 25 años, siendo yo estudiante y no teniendo una computadora en mi hogar, era habitual que pasara horas en unos negocios que en Buenos Aires se llamaban locutorios. <br>Su nombre se debía a que había cabinas con teléfonos de línea (¿conocerán las nuevas generaciones de qué hablo?); y tenían ordenadores conectados a internet, con una velocidad promedio de 1M (si, leíste bien, un mega) donde por 2 ó 3 dólares se podía pasar toda la tarde navegando en lo que era todo un mundo nuevo y fascinante. </p>
<p>En mis búsquedas me topaba con libros que nunca hubiera podido comprar y que ahora podía descargarlos “gratis”, y con powerpoints de llamativos diseños de las más diversas ramas de las matemáticas.<br> Recuerdo haber bajado una serie de ellos de álgebra de la <a href="https://www.upm.es/" target="_blank"> Universidad Politecnica de Madrid </a> que tenían unas siglas misteriosas(E.T.S.I.T.G.C.)  (luego me enteré que se trataba de la <a href="https://www.topografia.upm.es/" target="_blank"> Escuela Técnica Superior de Ingenieros en Topografía, Geodesia y Cartografía</a> de dicha universidad); y que me venían como anillo al dedo para mi curso de álgebra lineal básico del profesorado. </p>
<p>Increíblemente los ppts pasaron de mails a disquetes, de estos a cds, luego a algún disco duro portátil y aún los conservo aunque ya no sea posible encontrar las páginas de donde los descargué. </p>
<p>Algunos consistían en autoevaluaciones kilométricas, con más de 60 preguntas de opción múltiple.
En homenaje a esos primeros tiempos, adapté dos de ellos.</p>  
</div>

<!-- pag 270-->

<div class="page">
<p>Cabe aclarar que en muchos casos se utiliza otra notación, distinta a la de este libro; y que algunos conceptos se nombran de manera alternativa a la vista en esta obra. Sin pretender ser exhaustivo, menciono algunos de ellos (en cuanto a la notación, el lector rápidamente se dará cuenta de las “equivalencias”) </p>
<ul>
<li>&ensp;Sistema ligado: refiere a un conjunto de vectores linealmente dependiente.</li>
<li>&ensp;Espacio suplementario: un espacio suplementario a un subespacio \(S\) de un espacio vectorial \(V\) es otro subespacio \(T\) tal que su suma es igual a \(V\) \((V = S+T)\), y su intersección es únicamente el vector nulo \((S \cap T = {{0_V}} )\). Esto significa que cualquier vector en \(V\) se puede escribir de forma única como la suma de un vector de \(S\) y uno de \(T\), lo que conocimos como suma directa \( (V = S \oplus T) \)</li>
<li>&ensp;\( \langle v; \; u; \; w;...\rangle = gen \{v; \; u; \; w;...\}\)</li>
<li>Varias de las preguntas del segundo cuestionario hacen alusión a la matriz de cambio de base, tema que desarrollamos en el <a href="https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Algebra_Lineal_Interactiva2/index.html" target="_blank"> segundo volumen de Álgebra Lineal Interactiva.</a></li>
</ul>
<p>En todo caso responder a estos cuestionarios es una buena oportunidad para reflexionar sobre lo aprendido en el libro y ampliar nuestra base de conocimientos.</p>
</div>

<!-- pag 271-->
 <div class="page">
 <h2 id="c62">&ensp; Evaluación sistemas de ecuaciones</h2>
<div class="interactive sin_boton" poster="posters/269.png" width="640" height="350" src="interactivos/cap6sistemas/index.html" scale="100%"></div>
<h2 id="c63">&ensp; Evaluación espacios vectoriales</h2>
<div class="interactive sin_boton" poster="posters/270.png" width="640" height="350" src="interactivos/cap6vectorial/index.html" scale="100%"></div>
 </div>
 
 <!-- pag 272-->
 <div class="page" style="background-image:url('images/general/pag270.png'); background-size:1280px 825px; background-position:0px 0px;">
<div class ="caja5" style="position:absolute; left:240px; top:74px; height:650px; width:800px;"> 
<div class="hspela"> 📘 Cerrar el círculo</div>
<p>Este libro comenzó con definiciones, demostraciones y estructuras formales; pero termina jugando. Y no es casual.
</p>
<p>Si aquellos PowerPoint de comienzos de siglo despertaban curiosidad a través de la interactividad, hoy tenemos la posibilidad de ir un paso más allá: no solo responder preguntas, sino habitar un entorno dinámico donde el error tiene consecuencias, donde la rapidez mental importa y donde el contenido matemático aparece integrado a una experiencia lúdica.</p>
<p>
Los dos juegos finales no son un adorno ni un simple entretenimiento. Representan una síntesis de todo el recorrido: comprensión conceptual, toma de decisiones, lectura simbólica y aplicación inmediata. Resolver un sistema o interpretar una afirmación sobre espacios vectoriales en medio de un laberinto o bajo la presión de una mecánica de arcade implica algo más profundo que elegir una opción correcta: implica apropiarse del conocimiento.</p>

<p>Terminar el libro jugando es, en realidad, una forma de cerrar el círculo. Aquellas autoevaluaciones descargadas en un locutorio fueron una puerta de entrada; estas experiencias interactivas buscan ser una invitación a seguir explorando.</p> <p>Porque la matemática, cuando se comprende, también puede ser juego.</p></div>
</div>

<!-- pag 273-->
 <div class="page" style="background-image:url('images/general/pag270.png'); background-size:1280px 825px; background-position:-640px 0px;">
 <div class ="caja5" style="position:relative; margin-left:-450px; top:24px; height:650px; width:800px; ">
<div class="hspela"> 📘 Cerrar el círculo</div>
<p>Este libro comenzó con definiciones, demostraciones y estructuras formales; pero termina jugando. Y no es casual.
</p>
<p>Si aquellos PowerPoint de comienzos de siglo despertaban curiosidad a través de la interactividad, hoy tenemos la posibilidad de ir un paso más allá: no solo responder preguntas, sino habitar un entorno dinámico donde el error tiene consecuencias, donde la rapidez mental importa y donde el contenido matemático aparece integrado a una experiencia lúdica.</p>
<p>
Los dos juegos finales no son un adorno ni un simple entretenimiento. Representan una síntesis de todo el recorrido: comprensión conceptual, toma de decisiones, lectura simbólica y aplicación inmediata. Resolver un sistema o interpretar una afirmación sobre espacios vectoriales en medio de un laberinto o bajo la presión de una mecánica de arcade implica algo más profundo que elegir una opción correcta: implica apropiarse del conocimiento.</p>

<p>Terminar el libro jugando es, en realidad, una forma de cerrar el círculo. Aquellas autoevaluaciones descargadas en un locutorio fueron una puerta de entrada; estas experiencias interactivas buscan ser una invitación a seguir explorando.</p> <p> Porque la matemática, cuando se comprende, también puede ser juego.</p>
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  <!-- pag 274-->
  <div class="page" style="background-image:url('images/general/pag270.png'); background-size:1280px 825px; background-position:0px 0px;">
 <h2 id="c64">&ensp; Breakout</h2>
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<div class="interactive sin_boton" poster="posters/272.png" width="740" height="835" src="interactivos/breakFINAL.html" scale="107%"></div>
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<!-- pag 275--> 
 <div class="page" style="background-image:url('images/general/pag270.png'); background-size:1280px 825px; background-position:-640px 0px;">
<h2 id="c65">&ensp; Pacman</h2>
<div class="interactive sin_boton" poster="posters/273.png" width="600" height="640" src="interactivos/pacman.html" scale="100%"></div>
				
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  <!-- Bibliografía -->
      <div class="page">
        	<h1 id="Bibliografía"> Bibliografía recomendada </h1>
			
		<p hidden> <bibitem id="R1">
          García Cebrian M. J. y Álvarez Sáiz E. E. (2020) <i> Geometría Analítica del Espacio </I> Fondo editorial Pascual Bravo.
        </bibitem></p>	
		
		<p hidden> <bibitem id="R2">
          García Cebrian M. J. (2020) <i> Matrices, Determinantes y Sistemas de ecuaciones </I> Fondo editorial RED Descartes.
        </bibitem></p>	
				
		<p hidden> <bibitem id="R3">
          Méndez Servín M. (2022) <i> Introducción a la graficación por computadora </I> Fondo Editorial Pascual Bravo.
        </bibitem></p>
		
		<p hidden> <bibitem id="R4">
          García Mora J. J., Moreno Jiménez S. J. y Patiño Jaramillo M. E. (2022) <i> Principios de Álgebra Lineal </I> Fondo Editorial Pascual Bravo.
        </bibitem></p>
		
		<p hidden> <bibitem id="R5">
           Fernández José M. (2025) <i> Gráficas: lo que debes saber. </I> Fondo Editorial RED Descartes
        </bibitem></p>
		
		<ul style= "margin-left:-40px; font-size: 21px">
		
        <li> Lay, D. (2012). <i>Algebra Lineal y sus Aplicaciones.</i> <br>Ed. Pearson.</li> 
        
     
        <li> Kozak, A., Pastorelli, S. y Vardanega, P. (2007).<i> Nociones de Geometría  Analítica y Álgebra Lineal.</i>  McGraw-Hill, Buenos Aires.</li> 
        
			 
        <li> Merino González, L. y Santos Aláez E. (2010). <i> Álgebra lineal con metodos elementales.</i> Ediciones PARANINFO.</li>
        
				
        <li> Lipschutz S. (1992). <i> Álgebra lineal.</i> Mc Graw – Hill, Madrid.</li> 
        
				
        <li> Noble B. y Daniel J. W. (1989). <i> Álgebra lineal aplicada. </i> <br>Ed. Prentice Hall.</li>
           
				 
        <li> Nakos G., Joyner D. (1999). <i> Algebra Lineal con Aplicaciones. </i> Thomson Ed.</li>     
    
		
        <li> Poole D. (2011) <i> Álgebra lineal, Una introducción moderna. </I> Cengage Learning Editores.</li>
        </ul>
			</div>
   <div class="page" num=""></div>
      <!--  -->
      <div class="page invertcolor" num="" style="background-image: radial-gradient(#FAAA00, #DE2CFA, #000000); display:flex; align-items:center; justify-content:center;">
          <a style="width:50%" target="_blank" href="https://descartes.matem.unam.mx/"><img src="images/general/logo_descartes.svg" width="100%"></a>
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