Sea \( A \) una matriz simétrica de \( 2 \times 2 \) con autovalor 2 y determinante \( -2 \). Recordemos que una matriz simétrica tiene la forma: \[A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & d \end{pmatrix}\] Paso 1: Relación entre el determinante y los elementos de la matriz

El determinante de \( A \) se calcula como: \[\det(A) = ad - b^2\] Queremos que: \[\det(A) = -2 \implies ad - b^2 = -2\] Paso 2: Condición de autovalores

Sabemos que \( A \) tiene un autovalor \( \lambda_1 = 2 \).
Si \( A \) es simétrica, sus autovalores (\( \lambda_1 \) y \( \lambda_2 \)) satisfacen: \[\lambda_1 \cdot \lambda_2 = \det(A)\] Entonces: \[ 2 \cdot \lambda_2 = -2 \implies \lambda_2 = -1 \] Paso 3: Relación con la traza de la matriz

La traza de \( A \), (\( \text{tr}(A) \)) es la suma de sus autovalores: \[\text{tr}(A) = a + d = \lambda_1 + \lambda_2 = 2 + (-1) = 1\] Esto nos da: \[a + d = 1\] Paso 4: Sistema de ecuaciones

Tenemos ahora las dos ecuaciones principales:

  1. \( a + d = 1 \)
  2. \( ad - b^2 = -2 \)
  3. Resolvemos el sistema: De \( \text{tr}(A) \), podemos expresar \( d \) en términos de \( a \): \[d = 1 - a\] Sustituyendo en la ecuación del determinante: \[a(1 - a) - b^2 = -2\] \[a - a^2 - b^2 = -2\] \[-a^2 + a + 2 = b^2\] El valor de \( b^2 \) debe ser no negativo, lo que restringe los valores de \( a \). Resolviendo para \( b \), elegimos \( a \) de forma que la ecuación sea consistente.
    Ejemplo de solución: Tomemos \( a = 2 \), entonces \( d = 1 - a = -1 \), y la matriz queda: \[A = \begin{pmatrix} 2 & b \\ b & -1 \end{pmatrix}\] El determinante es: \[\det(A) = 2(-1) - b^2 = -2 \implies b^2 = 0\] Por lo tanto, \( b = 0 \), y la matriz es: \[A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\] Para \( b^2 > 0 \), debemos resolver: \[b^2 = -a^2 + a + 2 > 0\] El discriminante de \( -a^2 + a + 2 = 0 \) nos da los valores extremos de \( a \): \[-a^2 + a + 2 = 0 \implies a^2 - a - 2 = 0\] Resolviendo: \[a = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)}\] \[a = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}\] \[a = 2 \quad \text{o} \quad a = -1\] El rango válido de \( a\,\) para \( b^2 > 0 \, \) es \( -1 < a < 2 \).

    Elijamos \( a = 1 \) (dentro del rango). Entonces: \[d = 1 - a = 1 - 1 = 0\] \[b^2 = -(1)^2 + (1) + 2 = 2\] \[b = \pm \sqrt{2}\] Por lo tanto, la matriz es: \[A = \begin{pmatrix} 1 & \sqrt{2} \\ \sqrt{2} & 0 \end{pmatrix}\] o \[A = \begin{pmatrix} 1 & -\sqrt{2} \\ -\sqrt{2} & 0 \end{pmatrix}.\] Verificación
    1. Simetría: Ambas matrices son simétricas.
    2. Determinante \[ \det(A) = (1)(0) - (\sqrt{2})^2 = -2\]
    3. Autovalores: Calculamos los autovalores resolviendo: \[ \det\left(\begin{pmatrix} 1 & \sqrt{2} \\ \sqrt{2} & 0 \end{pmatrix} - \lambda I\right) = 0\] \[ \det\begin{pmatrix} 1 - \lambda & \sqrt{2} \\ \sqrt{2} & -\lambda \end{pmatrix} = 0\] \[(1 - \lambda)(-\lambda) - (\sqrt{2})^2 = 0\] \[-\lambda + \lambda^2 - 2 = 0 \implies \lambda^2 - \lambda - 2 = 0\] \[ \lambda = 2 \quad \text{y} \quad \lambda = -1\]
    4. Ambas matrices cumplen las condiciones con \( b \neq 0 \).