Sabemos que la matriz \( A \) tiene la forma: \[A = \left( A_1 \quad A_2 \quad A_3 \right),\] donde se nos dan las primeras dos columnas: \[A_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \quad A_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\] Queremos encontrar \( A_3 \) de manera que el vector: \[v = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\] sea un autovector de \( A \) con autovalor \( \lambda = 2 \). Es decir, debe cumplirse: \[A v = 2 v.\]
Desarrollamos el producto matricial. La matriz \( A \) actúa sobre \( v \) de la siguiente manera: \[A v = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 2 & 1 & b \\ 3 & 0 & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\] Multiplicamos fila por columna: \[A v = \begin{pmatrix} (1 \cdot 0) + (1 \cdot 1) + (a \cdot (-1)) \\ (2 \cdot 0) + (1 \cdot 1) + (b \cdot (-1)) \\ (3 \cdot 0) + (0 \cdot 1) + (c \cdot (-1)) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - a \\ 1 - b \\ - c \end{pmatrix}\] Por la condición de autovalor: \[A v = 2 v \quad \Rightarrow \quad \begin{pmatrix} 1 - a \\ 1 - b \\ -c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\]
Resolviendo el sistema de ecuaciones:
Igualamos componente a componente:
\[1 - a = 0, \quad 1 - b = 2, \quad -c = -2\]
De donde obtenemos:
\[a = 1, \quad b = -1, \quad c = 2.\]
Por lo tanto, la tercera columna de \( A \) es:
\[\fcolorbox{red}{} {\(A_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\)}\]
La matriz queda: \[\fcolorbox{red}{} {\(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}\) }\]
Ahora que tenemos la matriz completa: \[A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix},\] buscamos sus autovalores resolviendo la ecuación característica: \[\det(A - \lambda I) = 0\] \[\begin{vmatrix} 1 - \lambda & 1 & 1 \\ 2 & 1 - \lambda & -1 \\ 3 & 0 & 2 - \lambda \end{vmatrix} = 0\] Expandiendo por la primera fila: \[\det(A - \lambda I) = (1 - \lambda) \begin{vmatrix} 1 - \lambda & -1 \\ 0 & 2 - \lambda \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 - \lambda \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 2 & 1 - \lambda \\ 3 & 0 \end{vmatrix}\] Calculamos los determinantes menores: \[\begin{vmatrix} 1 - \lambda & -1 \\ 0 & 2 - \lambda \end{vmatrix} = (1 - \lambda)(2 - \lambda) - (0) = (1 - \lambda)(2 - \lambda), \] \[ \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 - \lambda \end{vmatrix} = 2(2 - \lambda) + 3(1) = 4 - 2\lambda + 3 = 7 - 2\lambda, \] \[ \begin{vmatrix} 2 & 1 - \lambda \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = -3(1 - \lambda) = -3 + 3\lambda\] Sustituyendo: \begin{align*}(1 - \lambda)(2 - \lambda)(1 - \lambda) - (7 - 2\lambda) + (3\lambda - 3) &= 0 \end{align*} Resolviendo la ecuación cúbica, obtenemos los autovalores: \[\fcolorbox{red}{} { \(\lambda_1 = 2, \quad \lambda_2 = 1 + \sqrt{5}, \quad \lambda_3 = 1 - \sqrt{5}\)}\]
Hallamos los autoespacios de \( A \)
Ya encontramos que los autovalores son: \[\lambda_1 = 2, \quad \lambda_2 = 1 + \sqrt{5}, \quad \lambda_3 = 1 - \sqrt{5}.\] Ahora hallamos los autoespacios resolviendo \( (A - \lambda I)v = 0 \) para cada \( \lambda \).
Autoespacio para \( \lambda_1 = 2 \)
\[A - 2I = \begin{pmatrix} 1 - 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 - 2 & -1 \\ 3 & 0 & 2 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -1 \\ 3 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]
Resolvemos el sistema \( (A - 2I) v = 0 \):
\[\begin{cases} - x + y + z = 0 \\ 2x - y - z = 0 \\ 3x = 0 \end{cases}\]
De la última ecuación, \( x = 0 \). Sustituyendo en las otras:
\[\begin{cases} y + z = 0 \\ - y - z = 0 \end{cases} \; \Rightarrow z = -y\]
El autoespacio asociado a \( \lambda_1 = 2 \) es:
\[S_2 = \text{gen} \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \right\}\]
Autoespacio para \( \lambda_2 = 1 + \sqrt{5} \)
\[A - (1 + \sqrt{5}) I = \begin{pmatrix} 1 - (1+\sqrt{5}) & 1 & 1 \\ 2 & 1 - (1+\sqrt{5}) & -1 \\ 3 & 0 & 2 - (1+\sqrt{5}) \end{pmatrix}\]
\[= \begin{pmatrix} - \sqrt{5} & 1 & 1 \\ 2 & - \sqrt{5} & -1 \\ 3 & 0 & 1 - \sqrt{5} \end{pmatrix}\]
Resolviendo \( (A - (1+\sqrt{5})I) v = 0 \), obtenemos un sistema homogéneo (dejamos a manos del lector su resolución detallada). El autoespacio es:
\[S_{1+\sqrt{5}} = \text{gen} \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{\sqrt{5}-1}{2} \\ 1 \end{pmatrix} \right\}\]
Autoespacio para \( \lambda_3 = 1 - \sqrt{5} \)
De manera análoga,
\[S_{1-\sqrt{5}} = \text{gen} \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{-\sqrt{5}-1}{2} \\ 1 \end{pmatrix} \right\}\]