Dada la matriz \[A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\] su polinomio característico es: \[p_A(\lambda) = \det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} a - \lambda & b \\ c & d - \lambda \end{vmatrix}\] Calculamos el determinante: \[\det(A - \lambda I) = (a - \lambda)(d - \lambda) - bc\] Desarrollamos: \[\lambda^2 - (a+d)\lambda + (ad - bc) = 0\] Este es un polinomio cuadrático cuyas raíces son los autovalores \( \lambda_1 \) y \( \lambda_2 \)
Usando la fórmula resolvente:
\[\lambda_{1;2} = \frac{-(- (a+d)) \pm \sqrt{(- (a+d))^2 - 4(ad - bc)}}{2}\] Simplificamos: \[\lambda_{1;2} = \frac{(a+d) \pm \sqrt{(a+d)^2 - 4(ad - bc)}}{2}\] Estas dos soluciones corresponden a los autovalores \( \lambda_1 \) y \( \lambda_2 \).Sabemos que la traza de \( A \) es:
\[\text{Traza}(A) = a + d\]
Observamos que en la fórmula de los autovalores, el término en el numerador que no está dentro de la raíz cuadrada es exactamente \( (a+d) \), lo que nos permite concluir que si sumamos ambas raíces obtenemos:
\[\lambda_1 + \lambda_2 = a + d = \text{Traza}(A)\]
Por otro lado, el producto de las raíces \(x_{1}, \; x_{2}\;\) de un polinomio cuadrático \( \textcolor{red}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}x + \textcolor{red}{c} = 0 \) siempre es el término independiente dividido por el coeficiente de \( x^2 \), es decir:
\[x_{1} \, x_{2}= \dfrac{\textcolor{red}{c}}{\textcolor{red}{a}}\]
Que en nuestro caso lleva a:
\[\lambda_1 \lambda_2 = \frac{ad - bc}{1} = ad - bc\]
Lo que es fácilmente comprobable haciendo el producto de las raíces obtenidas con la resolvente.
Pero esto es justamente el determinante de \( A \).
Conclusión:
\[ \det(A) = \lambda_1 \lambda_2 \]