Para que \(T\) sea inyectiva, su núcleo debe ser trivial, es decir, sólo debe contener al vector nulo. El núcleo de \( T \) está dado por: \[Nu(T) = \{ v \in \mathbb{R}^2 /\; T(v) = (0,\;0,\;0) \}.\] Dado que la matriz estándar de \( T \) es: \[M(T) = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & a \\ 0 & -1 \end{pmatrix},\] queremos encontrar los vectores \( (x, y) \) tales que: \[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & a \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.\] Desarrollando el producto matricial: \[\begin{cases} x + 2y = 0, \\ x + ay = 0, \\ - y = 0. \end{cases}\] De la tercera ecuación se obtiene \( y = 0 \), y reemplazando en las dos primeras: \[x + 2(0) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0.\] Por lo tanto, el único vector en el núcleo es \( (0,0) \), lo que implica que \( T \) es inyectiva para todo \( a \in \mathbb{R} \).
El vector \( (-1, -1, 4) \) pertenece a la imagen de \( T \) si existe un vector \( (x,y) \in \mathbb{R}^2 \) tal que: \[T(x,y) = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & a \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}.\] Desarrollamos el sistema: \[\begin{cases} x + 2y = -1, \\ x + ay = -1, \\ - y = 4. \end{cases}\] De la tercera ecuación: \[y = -4.\] Sustituyendo en las otras ecuaciones: \[x + 2(-4) = -1 \quad \Rightarrow \quad x - 8 = -1 \quad \Rightarrow \quad x = 7.\] \[x + a(-4) = -1 \quad \Rightarrow \quad 7 - 4a = -1.\] Resolviendo para \( a \): \[-4a = -1 - 7 = -8.\] \[a = \frac{-8}{-4} = 2.\]
\( T \) es inyectiva para todo \( a \in \mathbb{R} \).
El valor de \( a \) para que \( (-1, -1, 4) \) pertenezca a la imagen de \( T \) es \( a = 2 \).