Ejemplo 1

Dada la siguiente transformación lineal \[T:{\mathbb{R}^3} \to {\mathbb{R}^3},\;\;T\left( {\left( {x,y,z} \right)} \right) = \left( {x - 2y{\rm{\;}},{\rm{\;}}0{\rm{\;}},{\rm{\;}}2x - 4y} \right)\] Buscar el núcleo, la imagen, y determinar sus dimensiones.

Resolución

Para determinar el núcleo planteamos:

\(\left( {x,y,z} \right)\) está en el núcleo \( \Leftrightarrow \) \(T\left( {\left( {x,y,z} \right)} \right){\rm{\;}} = {\rm{\;}}\left( {0,0,0} \right)\)

\[\left( {x - 2y{\rm{\;}},{\rm{\;}}0{\rm{\;}},{\rm{\;}}2x -4y} \right) = \left( {0,0,0} \right) \Rightarrow {\rm{\;}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 2y = 0}\\{2x - 4y = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow x = 2y\] Esto implica que la primera componente debe ser el doble de la segunda y que la tercera componente no tiene restricciones. Es un error común, en este punto, suponer que como "no aparece \(z\)", entonces \(z = 0\). Pero es importante notar que si "no aparece \(z\)" esto significa que no existen restricciones sobre esa componente. La forma de un vector del núcleo sería: \[\left( {2y,y,z} \right)\] Aplicando propiedades lo podemos escribir: \[y.\left( {2,1,0} \right) + z.\left( {0,0,1} \right)\] Luego el núcleo es: \[Nu\left( T \right) = \left\{ {\left( {x,y,z} \right) \in {\mathbb{R}^3}{\rm{\;}}|{\rm{\;}}x = 2y{\rm{\;}}} \right\} = gen\left\{ {\left( {2,1,0} \right),\left( {0,0,1} \right)} \right\}\] Y una base del núcleo es: \[{B_{Nu}} = \left\{ {\left( {2,1,0} \right),\left( {0,0,1} \right)} \right\}\] La imagen la podemos obtener aplicando propiedades sobre la expresión que define la transformación lineal: \[\left( {x - 2y{\rm{\;}},{\rm{\;}}0{\rm{\;}},{\rm{\;}}2x - 4y} \right) = x.\left( {1,0,2} \right) + y.\left( { - 2,0, - 4} \right)\] Los vectores \(\left( {1,0,2} \right)\) y \(\left( { - 2,0, - 4} \right)\) son linealmente dependientes. Entonces tomamos uno de ellos para la base de la imagen: \[{B_{Im}} = \left\{ {\left( {1,0,2} \right)} \right\}\] Finalmente podemos responder sobre las dimensiones de núcleo e imagen, porque hemos obtenido bases de estos subespacios: \[{\rm{\;}}dim\left( {Nu} \right) = 2\] \[dim\left( {Im} \right) = 1\]

Ejemplo 2

Dada la siguiente transformación lineal \[F:{\mathbb{R}^3} \to {\mathbb{R}^{2 \times 2}}{\rm{\;\;\;\;}}F\left( {\left( {x,y,z} \right)} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y}&{x -z}\\0&{y + z}\end{array}} \right)\] Buscar el núcleo, la imagen, y determinar sus dimensiones.

Resolución

Para determinar el núcleo planteamos: \(\left( {x,y,z} \right)\) está en el núcleo \( \Leftrightarrow \) \(F\left( {x,y,z} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&0\\0&0\end{array}} \right)\) \[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y}&{x - z}\\0&{y + z}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&0\\0&0\end{array}} \right) \Rightarrow {\rm{\;}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 0}\\{x - z = 0}\\{y + z = 0}\end{array}} \right.{\rm{\;}} \Rightarrow x = z = - y\] Se trata de un sistema compatible indeterminado. El núcleo queda definido entonces por vectores con la forma: \[\left( { - y,y, - y} \right) = y.\left( { - 1,1, - 1} \right)\] Entonces: \[Nu\left( F \right) = \left\{ {\left( {x,y,z} \right) \in {\mathbb{R}^3}{\rm{\;}}|{\rm{\;}}x = z = - y} \right\} = gen\left\{ {\left( { - 1,1, - 1} \right)} \right\}\] \[{B_{Nu}} = \left\{ {\left( {1, - 1,1} \right)} \right\}\] La imagen la podemos obtener aplicando propiedades sobre la expresión que define la transformación lineal: \[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y}&{x - z}\\0&{y + z}\end{array}} \right) = x.\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\0&0\end{array}} \right) + y.\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right) + z.\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 1}\\0&1\end{array}} \right)\] Luego, estas tres matrices generan la imagen, porque cualquier vector de la imagen es combinación lineal de ellas. \[Im\left( T \right) = gen\left\{ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\0&0\end{array}} \right),\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right),\left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 1}\\0&1\end{array}} \right)} \right\}\] La generan, pero ¿son una base de la imagen? Observamos que las dos primeras son linealmente independientes. Pero la tercera es combinación lineal de las anteriores: \[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\0&0\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 1}\\0&1\end{array}} \right)\] Entonces una base de la imagen es: \[{B_{Im}} = \left\{ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\0&0\end{array}} \right),\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right)} \right\}\] Ahora podemos responder sobre las dimensiones: \[\dim \left( {Nu} \right) = 1\] \[\dim \left( {Im} \right) = 2\] Notemos que la suma de las dimensiones de núcleo e imagen es igual a la dimensión del dominio de la transformación lineal: \[\dim \left( {{\mathbb{R}^3}} \right) = 3\] Esto no es casual, sino que se trata de un teorema que consideraremos a continuación.