Parte (a) – Demostración

Queremos probar que si \( \text{Nu}(T) \neq \{0_{\mathbb{R}^n}\} \), entonces \( \lambda = 0 \) es un autovalor de \( T \) y su autoespacio es \( \text{Nu}(T) \).

Paso 1: Definición del Núcleo

El núcleo de \( T \) está definido como: \[\text{Nu}(T) = \{ v \in \mathbb{R}^n \mid T(v) = 0_{\mathbb{R}^n}\, \}\] Dado que \( \text{Nu}(T) \neq \{0_{\mathbb{R}^n}\} \), existe al menos un \( v \neq 0 \) tal que \( T(v) = 0_{\mathbb{R}^n} \).

Paso 2: Interpretación como Autoespacio

Si \( T(v) = 0_{\mathbb{R}^n} \), podemos escribir: \[T(v) = 0 \cdot v\] Esto significa que \( v \) es un autovector asociado al autovalor \( \lambda = 0 \).

Paso 3: El autoespacio correspondiente

El conjunto de todos los vectores que cumplen \( T(v) = 0_{\mathbb{R}^n} \) es precisamente el núcleo de \( T \), es decir, el espacio asociado a \( \lambda = 0 \) es: \[S_0 = \text{Nu}(T)\] Por lo tanto, hemos probado que "si \( \text{Nu}(T) \neq \{0_{\mathbb{R}^n}\} \), entonces \( \lambda = 0 \) es un autovalor y su autoespacio es precisamente el núcleo de \( T \)".

Parte (b) – Diagonalización de \( T \)

Queremos analizar si \( T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \) es diagonalizable.

Paso 1: Encontrar los autovalores

Sabemos que: