Parte (a) - Obtener la ecuación canónica e identificar la cónica

Al resolver la ecuación obtenemos: \[\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 4,\] \[2x^2 + 4xy + 5y^2 = 4.\] Esta es una cónica en forma general. Para identificarla y llevarla a su forma canónica, debemos "diagonalizar" la matriz \( A \) (es decir, encontrar un sistema de coordenadas rotado en el que la ecuación no tenga términos cruzados \( xy \)).

Paso 1: Encontrar los autovalores y autovectores de \( A \)

Los autovalores (\( \lambda \)) de \( A \) satisfacen: \[\det(A - \lambda I) = 0,\] donde \( I \) es la matriz identidad. Entonces: \[\det\begin{pmatrix} 2 - \lambda & 2 \\ 2 & 5 - \lambda \end{pmatrix} = 0.\] Resolviendo: \[(2 - \lambda)(5 - \lambda) - 4 = 0,\] \[10 - 7\lambda + \lambda^2 - 4 = 0,\] \[\lambda^2 - 7\lambda + 6 = 0.\] Factorizamos: \[\lambda^2 - 7\lambda + 6 = (\lambda - 6)(\lambda - 1) = 0.\] Por lo tanto, los autovalores son: \[\lambda_1 = 6 \quad \text{y} \quad \lambda_2 = 1.\] Paso 2: Encontrar los autovectores

Para \( \lambda_1 = 6 \), resolvemos: \[\begin{pmatrix} 2 - 6 & 2 \\ 2 & 5 - 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0,\] \[\begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0.\] Resolviendo, obtenemos \( y = 2x \). El autovector asociado es: \[v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}.\] Para \( \lambda_2 = 1 \), resolvemos: \[\begin{pmatrix} 2 - 1 & 2 \\ 2 & 5 - 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0,\] \[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0.\] Resolviendo, obtenemos \( y = -\frac{1}{2}x \). El autovector asociado es: \[v_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}.\] Paso 3: Cambio de base y ecuación canónica

La matriz de cambio de base \( P \) tiene como columnas los autovectores: \[P = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}.\] La matriz \( A \) en la base nueva es diagonal: \[P^{-1} A P = \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.\] En la nueva base, la ecuación se convierte en: \[6x'~^2 + y'~^2 = 4.\] Dividiendo por 4: \[\frac{x'~^2}{\frac{2}{3}} + \frac{y'~^2}{4} = 1.\] Esta es la ecuación de una elipse, donde el eje mayor está en la dirección del autovector asociado a \( \lambda_1 = 6 \) (dirección \( (1, 2) \)).

Parte (b) - Análisis para diferentes valores de \( k \)

La ecuación general es: \[\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = k.\] Esto corresponde a: \[2x^2 + 4xy + 5y^2 = k.\] En la nueva base, la ecuación se convierte en: \[6x'~^2 + y'~^2 = k.\]

Caso 1: \( k > 0 \)

La ecuación representa una elipse, como en el caso de \( k = 4 \).

Caso 2: \( k = 0 \)

La ecuación se reduce a: \[6x'~^2 + y'~^2 = 0.\] El único punto que satisface la ecuación es el origen de coordenadas.

Caso 3: \( k<0\)

La expresión resultante es \[6x'~^2 + y'~^2 < 0.\] No existe lugar geométrico.