Vamos a resolver cada parte del problema paso a paso.
La composición de funciones está dada por: \[(F \circ G)(a, b) = F(G(a, b)).\] Dado que \( G(a, b) = (a + b,\; 0,\; 2a + kb) \), aplicamos \( F \) sobre este resultado: \[F(a+b,\; 0,\; 2a+kb) = \left( (a+b) - 0, \; 0 + (2a+kb) \right).\] Simplificando: \[F(G(a, b)) = \left( a+b,\; 2a + kb \right).\] La matriz asociada a \( F \circ G \) en las bases canónicas es: \[M(F \circ G) =\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & k \end{pmatrix}.\] Para que \( F \circ G \) sea un isomorfismo (biyectiva), su matriz debe ser **invertible**, lo que ocurre si y solo si su determinante es distinto de cero: \[\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & k \end{vmatrix} = 1 \cdot k - 1 \cdot 2 = k - 2.\] Para que sea invertible: \[k - 2 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad k \neq 2.\]
Para \( k = 1 \), la matriz de \( F \circ G \) se convierte en: \[M(F \circ G) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}.\] Calculamos su inversa. Primero, el determinante: \[\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - 1 \cdot 2 = 1 - 2 = -1.\] La inversa de una matriz \( 2 \times 2 \) de la forma \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) es: \[A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}.\] Aplicamos esto a nuestra matriz: \[M(F \circ G)^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}.\] Ahora calculamos: \[(F \circ G)^{-1} (1,0) = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}.\] Multiplicamos: \[\begin{pmatrix} (-1)(1) + (1)(0) \\ (2)(1) + (-1)(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}.\]