Sea \( A \) una matriz simétrica de \( 2 \times 2 \) con autovalor 2 y determinante \( -2 \). Recordemos que una matriz simétrica tiene la forma:
\[A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & d \end{pmatrix}\]
Paso 1: Relación entre el determinante y los elementos de la matriz
El determinante de \( A \) se calcula como:
\[\det(A) = ad - b^2\]
Queremos que:
\[\det(A) = -2 \implies ad - b^2 = -2\]
Paso 2: Condición de autovalores
Sabemos que \( A \) tiene un autovalor \( \lambda_1 = 2 \).
Si \( A \) es simétrica, sus autovalores (\( \lambda_1 \) y \( \lambda_2 \)) satisfacen:
\[\lambda_1 \cdot \lambda_2 = \det(A)\]
Entonces:
\[
2 \cdot \lambda_2 = -2 \implies \lambda_2 = -1
\]
Paso 3: Relación con la traza de la matriz
La traza de \( A \), (\( \text{tr}(A) \)) es la suma de sus autovalores:
\[\text{tr}(A) = a + d = \lambda_1 + \lambda_2 = 2 + (-1) = 1\]
Esto nos da:
\[a + d = 1\]
Paso 4: Sistema de ecuaciones
Tenemos ahora las dos ecuaciones principales:
- \( a + d = 1 \)
- \( ad - b^2 = -2 \)
Resolvemos el sistema:
De \( \text{tr}(A) \), podemos expresar \( d \) en términos de \( a \):
\[d = 1 - a\]
Sustituyendo en la ecuación del determinante:
\[a(1 - a) - b^2 = -2\]
\[a - a^2 - b^2 = -2\]
\[-a^2 + a + 2 = b^2\]
El valor de \( b^2 \) debe ser no negativo, lo que restringe los valores de \( a \). Resolviendo para \( b \), elegimos \( a \) de forma que la ecuación sea consistente.
Ejemplo de solución:
Tomemos \( a = 2 \), entonces \( d = 1 - a = -1 \), y la matriz queda:
\[A = \begin{pmatrix} 2 & b \\ b & -1 \end{pmatrix}\]
El determinante es:
\[\det(A) = 2(-1) - b^2 = -2 \implies b^2 = 0\]
Por lo tanto, \( b = 0 \), y la matriz es:
\[A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\]
Para \( b^2 > 0 \), debemos resolver:
\[b^2 = -a^2 + a + 2 > 0\]
El discriminante de \( -a^2 + a + 2 = 0 \) nos da los valores extremos de \( a \):
\[-a^2 + a + 2 = 0 \implies a^2 - a - 2 = 0\]
Resolviendo:
\[a = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)}\]
\[a = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}\]
\[a = 2 \quad \text{o} \quad a = -1\]
El rango válido de \( a\,\) para \( b^2 > 0 \, \) es \( -1 < a < 2 \).
Elijamos \( a = 1 \) (dentro del rango). Entonces:
\[d = 1 - a = 1 - 1 = 0\]
\[b^2 = -(1)^2 + (1) + 2 = 2\]
\[b = \pm \sqrt{2}\]
Por lo tanto, la matriz es:
\[A = \begin{pmatrix} 1 & \sqrt{2} \\ \sqrt{2} & 0 \end{pmatrix}\]
o
\[A = \begin{pmatrix} 1 & -\sqrt{2} \\ -\sqrt{2} & 0 \end{pmatrix}.\]
Verificación
- Simetría: Ambas matrices son simétricas.
- Determinante \[ \det(A) = (1)(0) - (\sqrt{2})^2 = -2\]
- Autovalores: Calculamos los autovalores resolviendo:
\[ \det\left(\begin{pmatrix} 1 & \sqrt{2} \\ \sqrt{2} & 0 \end{pmatrix} - \lambda I\right) = 0\]
\[ \det\begin{pmatrix} 1 - \lambda & \sqrt{2} \\ \sqrt{2} & -\lambda \end{pmatrix} = 0\]
\[(1 - \lambda)(-\lambda) - (\sqrt{2})^2 = 0\]
\[-\lambda + \lambda^2 - 2 = 0 \implies \lambda^2 - \lambda - 2 = 0\]
\[ \lambda = 2 \quad \text{y} \quad \lambda = -1\]
Ambas matrices cumplen las condiciones con \( b \neq 0 \).