Buscar el núcleo y la imagen de la siguiente transformación lineal:
\[T{:}\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 /\;\; T\left(\underbrace{(x,y,z)}_{\in\;\mathbb{R}^3}\right)=\underbrace{(x+z,y-2z)}_{\in\;\mathbb{R}^2}\]Buscar el núcleo de la transformación lineal es buscar los vectores del dominio cuya imagen es el vector nulo del codominio: \[T\left( {\left( {x,y,z} \right)} \right) = \left( {0,0} \right) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + z = 0}\\{y - 2z = 0}\end{array} \Rightarrow x = - z \wedge y = 2z} \right.\] Luego los vectores del núcleo son de la forma: \[\left( { - z,{\rm{\;}}2z,z} \right) = z\left( { - 1,2,1} \right)\] Así podemos escribir: \[Nu = \left\{ {\left( {x,y,z} \right) \in {\mathbb{R}^3}/\;\, x = - z \wedge y = 2z} \right\} = gen\left\{ {\left( { - 1,2,1} \right)} \right\}\] \[{B_{Nu}} = \left\{ {\left( { - 1,2,1} \right)} \right\} \Rightarrow \dim \left( {Nu} \right) = 1\] El núcleo es una recta porque tiene dimensión 1.
¿Cuál es la dimensión de la imagen? Por el teorema de las dimensiones debe ser:
\[\dim \left( V \right) = \dim \left( {NuT} \right) + {\rm{dim}}\left( {ImT} \right)\]
\[ \Rightarrow\underbrace{\dim(\mathbb{R}^3)}_{3}-\underbrace{\dim\left(Nu(T)\right)}_{1}=\dim(ImT)=2\]La imagen es todo el espacio \({\mathbb{R}^2}\) porque el único subespacio de dimensión 2 que está en \({\mathbb{R}^2}\) es \({\mathbb{R}^2}\).
¿Cómo se llaman las funciones cuya imagen coincide con el codominio? Sobreyectivas.
Diremos entonces que \(T\) es una transformación lineal sobreyectiva.
Sea \(T:{\mathbb{R}^2} \to {\mathbb{R}^3}\;\) una transformación lineal,
\[T\left( {x,y} \right) = \left( {x - 2y,2x - 4y, - 2x + 4y} \right)\]
Buscar una base y la dimensión de \(Nu\left( T \right),\;Im\left( T \right)\)
Por el teorema de las dimensiones la suma de las dimensiones del núcleo y de la imagen debe ser 2. Es decir que puede ser alguno de los siguientes escenarios:
\[2 + 0\]
\[1 + 1\]
\[0 + 2\]
Busquemos \(Nu\left( T \right)\):
\[\left( {x - 2y,2x - 4y, - 2x + 4y} \right) = \left( {0,0,0} \right) \Rightarrow {\rm{\;}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 2y = 0}\\{2x - 4y = 0}\\{ - 2x + 4y = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow x = 2y\]
Luego podemos dar una base del núcleo y su dimensión:
\[{B_{Nu}} = \left\{ {\left( {2,1} \right)} \right\}{\rm{\;}} \Rightarrow \dim \left( {Nu} \right) = 1\]
Busquemos \(Im\left( T \right)\). Un vector está en la imagen si es el transformado de algún vector del dominio:
\[{\rm{T}}\left( {x,y} \right) = {\rm{\;}}\left( {x - 2y,2x - 4y, - 2x + 4y} \right)\]
Lo expresamos como suma de vectores separando las variables \(x\) e \(y\):
\[T\left( {x,y} \right) = \left( {x,2x, - 2x} \right) + \left( { - 2y, - 4y,4y} \right)\]
Y sacamos como escalares a las variables:
\[ = x\left( {1,2, - 2} \right) + y\left( { - 2, - 4,4} \right)\]
Este método permite obtener generadores de la imagen, que pueden ser LI o LD. Acá se ve muy claro que \(\left( { - 2, - 4,4} \right) = -2.\left( {1,2, - 2} \right)\). Es decir que generan la imagen pero son linealmente dependientes, no es una base. Cualquiera de los dos sirve como base:
\[{B_{Im\left( T \right)}} = \left\{ {\left( {1,2, - 2} \right)} \right\} \Rightarrow \dim \left( {Im\left( T \right)} \right) = 1\]
Más adelante veremos otro método para encontrar la imagen.
Hallar núcleo e imagen de la siguiente transformación lineal:
\[F:{P_2} \to \mathbb{R}\,/\;\;F\left( p \right) = p\left( 0 \right)\]
Notemos que los números reales pueden ser entendidos como un espacio vectorial de dimensión 1.
Si \(p\left( x \right) = a{x^2} + bx + c{\rm{\;}},{\rm{\;\;}}p\left( 0 \right) = c\)
El núcleo estará formado por todos los polinomios cuyo término independiente es 0.
¿Cuál es una base para ese espacio vectorial? Podríamos describir al núcleo así:
\[Nu\left( F \right) = \left\{ {a{x^2} + bx/\;a,b \in \mathbb{R}} \right\}\]
Una base natural es la constituida por los vectores: \({x^2}\) y \(x\).
Entonces: \({B_{Nu}} = \left\{ {{x^2},\;\;x} \right\} \Rightarrow \dim \left( {Nu} \right) = 2.\,\) Aplicando el teorema: \[\dim \left( {Im} \right) = 1\] Y ahora si consideramos que la imagen está incluida o es igual a \(\mathbb{R}\), entonces: \[Im\left( F \right) = \mathbb{R}\] ¿Y una base para el espacio vectorial \(\mathbb{R}\)? Puede servir cualquier número real, menos el cero. Tomamos por ejemplo: \[{B_{Im}} = \left\{ 1 \right\}\]