a) Para que \( T \) sea biyectiva, debe ser inyectiva y sobreyectiva.
1. Inyectividad
Una transformación lineal \( T \) es inyectiva si su núcleo es trivial, es decir, si la única solución de \( T(x,y,z) = (0,0,0) \) es \( (x,y,z) = (0,0,0) \).
La ecuación \( T(x,y,z) = (0,0,0) \) equivale al sistema:
\[x + y + z = 0\]
\[x + ky - z = 0\]
\[3y - kz = 0\]
Buscamos las soluciones de este sistema homogéneo.
1. De la tercera ecuación:
\[3y - kz = 0 \quad \Rightarrow \quad z = \frac{3}{k} y \quad \text{(si \( k \neq 0 \))}\]
2. Sustituyendo en la primera ecuación:
\[ x + y + \frac{3}{k} y = 0\]
\[x + \left( 1 + \frac{3}{k} \right) y = 0\]
\[ x = -\left( 1 + \frac{3}{k} \right) y\]
3. Sustituyendo en la segunda ecuación:
\[-\left( 1 + \frac{3}{k} \right) y + ky - \frac{3}{k} y = 0\]
Factorizamos \( y \):
\[y \left[ -\left( 1 + \frac{3}{k} \right) + k - \frac{3}{k} \right] = 0\]
Para que la única solución sea \( y = 0 \), la expresión entre corchetes debe ser distinta de cero:
\[ -1 - \frac{3}{k} + k - \frac{3}{k} = -1 + k - \frac{6}{k} \neq 0\]
Resolviendo \( -1 + k - \frac{6}{k} = 0 \):
\[k - \frac{6}{k} = 1\]
Multiplicamos por \( k \):
\[ k^2 - 6 = k \]
\[ k^2 - k - 6 = 0 \]
Factorizamos:
\[ (k - 3)(k + 2) = 0 \]
Por lo tanto, los valores que anulan la expresión y hacen que \( T \) no sea inyectiva son \( k = 3 \) y \( k = -2 \).
Conclusión: \( T \) es inyectiva para \( k \neq 3 \) y \( k \neq -2 \).
2. Sobreyectividad
Como \( T \) es una transformación de \( \mathbb{R}^3 \) en \( \mathbb{R}^3 \), la sobreyectividad es equivalente a la inyectividad. Esto significa que si \( T \) es inyectiva, también es sobreyectiva.
Por lo tanto, \( T \) es biyectiva para \( k \neq 3 \) y \( k \neq -2 \).
b) Condiciones para que \( T \) no sea biyectiva y \( (0,1,-1) \) pertenezca a la imagen
Si \( T \) no es biyectiva, entonces \( k = 3 \) o \( k = -2 \), es decir, el núcleo no es trivial y la imagen no es todo \( \mathbb{R}^3 \).
Queremos encontrar para cuáles valores de \( k \), el sistema
\[T(x,y,z) = (0,1,-1)\]
tiene solución, es decir:
\[x + y + z = 0\]
\[x + ky - z = 1\]
\[3y - kz = -1\]