Parte (a) - Obtener la ecuación canónica e identificar la cónica
Al resolver la ecuación obtenemos:
\[\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 4,\]
\[2x^2 + 4xy + 5y^2 = 4.\]
Esta es una cónica en forma general. Para identificarla y llevarla a su forma canónica, debemos "diagonalizar" la matriz \( A \) (es decir, encontrar un sistema de coordenadas rotado en el que la ecuación no tenga términos cruzados \( xy \)).
Paso 1: Encontrar los autovalores y autovectores de \( A \)
Los autovalores (\( \lambda \)) de \( A \) satisfacen:
\[\det(A - \lambda I) = 0,\]
donde \( I \) es la matriz identidad. Entonces:
\[\det\begin{pmatrix} 2 - \lambda & 2 \\ 2 & 5 - \lambda \end{pmatrix} = 0.\]
Resolviendo:
\[(2 - \lambda)(5 - \lambda) - 4 = 0,\]
\[10 - 7\lambda + \lambda^2 - 4 = 0,\]
\[\lambda^2 - 7\lambda + 6 = 0.\]
Factorizamos:
\[\lambda^2 - 7\lambda + 6 = (\lambda - 6)(\lambda - 1) = 0.\]
Por lo tanto, los autovalores son:
\[\lambda_1 = 6 \quad \text{y} \quad \lambda_2 = 1.\]
Paso 2: Encontrar los autovectores
Para \( \lambda_1 = 6 \), resolvemos:
\[\begin{pmatrix} 2 - 6 & 2 \\ 2 & 5 - 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0,\]
\[\begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0.\]
Resolviendo, obtenemos \( y = 2x \). El autovector asociado es:
\[v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}.\]
Para \( \lambda_2 = 1 \), resolvemos:
\[\begin{pmatrix} 2 - 1 & 2 \\ 2 & 5 - 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0,\]
\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0.\]
Resolviendo, obtenemos \( y = -\frac{1}{2}x \). El autovector asociado es:
\[v_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}.\]
Paso 3: Cambio de base y ecuación canónica
La matriz de cambio de base \( P \) tiene como columnas los autovectores:
\[P = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}.\]
La matriz \( A \) en la base nueva es diagonal:
\[P^{-1} A P = \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.\]
En la nueva base, la ecuación se convierte en:
\[6x'~^2 + y'~^2 = 4.\]
Dividiendo por 4:
\[\frac{x'~^2}{\frac{2}{3}} + \frac{y'~^2}{4} = 1.\]
Esta es la ecuación de una elipse, donde el eje mayor está en la dirección del autovector asociado a \( \lambda_1 = 6 \) (dirección \( (1, 2) \)).
Parte (b) - Análisis para diferentes valores de \( k \)
La ecuación general es:
\[\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = k.\]
Esto corresponde a:
\[2x^2 + 4xy + 5y^2 = k.\]
En la nueva base, la ecuación se convierte en:
\[6x'~^2 + y'~^2 = k.\]
Caso 1: \( k > 0 \)
La ecuación representa una elipse, como en el caso de \( k = 4 \).
Caso 2: \( k = 0 \)
La ecuación se reduce a:
\[6x'~^2 + y'~^2 = 0.\]
El único punto que satisface la ecuación es el origen de coordenadas.
Caso 3: \( k<0\)
La expresión resultante es \[6x'~^2 + y'~^2 < 0.\]
No existe lugar geométrico.