Al resolver la ecuación obtenemos: \[\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & {6\sqrt 5 } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}= 1\] \[2x^2 + 4xy + 5y^2 + {6\sqrt 5 }y = 1.\] Esta es una cónica en forma general. Para identificarla y llevarla a su forma canónica, debemos "diagonalizar" la matriz \( A \) (es decir, encontrar un sistema de coordenadas rotado en el que la ecuación no tenga términos cruzados \( xy \)).

Paso 1: Encontrar los autovalores y autovectores de \( A \)

Los autovalores de \( A \) fueron encontrados en el ejercicio para el lector anterior. Los mismos son: \[\lambda_1 = 6 \quad \text{y} \quad \lambda_2 = 1.\] Paso 2: Encontrar los autovectores

Para \( \lambda_1 = 6 \), resolvemos: \[\begin{pmatrix} 2 - 6 & 2 \\ 2 & 5 - 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0,\] \[\begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0.\] Resolviendo, obtenemos \( y = 2x.\, \) El autovector asociado es: \[v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}.\] Para \( \lambda_2 = 1 \), resolvemos: \[\begin{pmatrix} 2 - 1 & 2 \\ 2 & 5 - 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0,\] \[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0.\] Resolviendo, obtenemos \( x = {-2}y \). El autovector asociado es: \[v_2 = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}.\] Paso 3: Cambio de base y ecuación canónica

La matriz de cambio de base \( Q \) tiene como columnas los autovectores normalizados: \[Q = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{\sqrt 5 }}}&{\frac{{ - 2}}{{\sqrt 5 }}}\\{\frac{2}{{\sqrt 5 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 5 }}}\end{array}} \right)\] La matriz \( A \) en la base nueva es diagonal: \[Q^T A Q = \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.\] En la nueva base, la ecuación se convierte en: \[6x'~^2 + y'~^2 + \begin{pmatrix} 0 & {6\sqrt 5 } \end{pmatrix}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{\sqrt 5 }}}&{\frac{{ - 2}}{{\sqrt 5 }}}\\{\frac{2}{{\sqrt 5 }}}&{\frac{1}{{\sqrt 5 }}}\end{array}} \right)\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}= 1.\] \[6x'~^2 + y'~^2 + 12x' + 6y' = 1 \] Completando cuadrados: \[6(x' + 1)^2 - 6 + (y' + 3)^2 - 9 = 1.\] Simplificamos: \[6(x' + 1)^2 + (y' + 3)^2 - 15 = 1.\] \[6(x' + 1)^2 + (y' + 3)^2 = 16.\] Dividimos toda la ecuación por 16 para obtener: \[\frac{(x' + 1)^2}{\frac{8}{3}} + \frac{(y' + 3)^2}{16} = 1.\] Esta es la ecuación de una elipse cuyo semieje mayor es paralelo al eje \(y'\), y el semieje menor está a lo largo del eje \(x'\).
Para obtener la ecuación canónica, planteamos las ecuaciones de traslación: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x'' = x' + 1}\\{y''= y' + 3}\end{array}} \right.\] \[ \Rightarrow \;\;\; \frac{{x''}~^2}{\frac{8}{3}} + \frac{{y''}~^2}{16} = 1 \] Ahora realizamos un gráfico de la parábola indicando los tres sistemas de ejes: