a) Para que \( T \) sea biyectiva, debe ser inyectiva y sobreyectiva.

1. Inyectividad
Una transformación lineal \( T \) es inyectiva si su núcleo es trivial, es decir, si la única solución de \( T(x,y,z) = (0,0,0) \) es \( (x,y,z) = (0,0,0) \). La ecuación \( T(x,y,z) = (0,0,0) \) equivale al sistema: \[x + y + z = 0\] \[x + ky - z = 0\] \[3y - kz = 0\] Buscamos las soluciones de este sistema homogéneo.
1. De la tercera ecuación: \[3y - kz = 0 \quad \Rightarrow \quad z = \frac{3}{k} y \quad \text{(si \( k \neq 0 \))}\] 2. Sustituyendo en la primera ecuación: \[ x + y + \frac{3}{k} y = 0\] \[x + \left( 1 + \frac{3}{k} \right) y = 0\] \[ x = -\left( 1 + \frac{3}{k} \right) y\] 3. Sustituyendo en la segunda ecuación: \[-\left( 1 + \frac{3}{k} \right) y + ky - \frac{3}{k} y = 0\] Factorizamos \( y \): \[y \left[ -\left( 1 + \frac{3}{k} \right) + k - \frac{3}{k} \right] = 0\] Para que la única solución sea \( y = 0 \), la expresión entre corchetes debe ser distinta de cero: \[ -1 - \frac{3}{k} + k - \frac{3}{k} = -1 + k - \frac{6}{k} \neq 0\] Resolviendo \( -1 + k - \frac{6}{k} = 0 \): \[k - \frac{6}{k} = 1\] Multiplicamos por \( k \): \[ k^2 - 6 = k \] \[ k^2 - k - 6 = 0 \] Factorizamos: \[ (k - 3)(k + 2) = 0 \] Por lo tanto, los valores que anulan la expresión y hacen que \( T \) no sea inyectiva son \( k = 3 \) y \( k = -2 \).
Conclusión: \( T \) es inyectiva para \( k \neq 3 \) y \( k \neq -2 \).

2. Sobreyectividad
Como \( T \) es una transformación de \( \mathbb{R}^3 \) en \( \mathbb{R}^3 \), la sobreyectividad es equivalente a la inyectividad. Esto significa que si \( T \) es inyectiva, también es sobreyectiva. Por lo tanto, \( T \) es biyectiva para \( k \neq 3 \) y \( k \neq -2 \).

b) Condiciones para que \( T \) no sea biyectiva y \( (0,1,-1) \) pertenezca a la imagen
Si \( T \) no es biyectiva, entonces \( k = 3 \) o \( k = -2 \), es decir, el núcleo no es trivial y la imagen no es todo \( \mathbb{R}^3 \). Queremos encontrar para cuáles valores de \( k \), el sistema \[T(x,y,z) = (0,1,-1)\] tiene solución, es decir: \[x + y + z = 0\] \[x + ky - z = 1\] \[3y - kz = -1\]

Por lo tanto, \( (0,1,-1) \in \operatorname{Im}(T) \) cuando \( k = -2 \).

Conclusión

(a)\( \;\;T \) es biyectiva para \( k \neq 3 \) y \( k \neq -2 \).
(b) \(\;\; T \) no es biyectiva y \( (0,1,-1) \) pertenece a la imagen de \( T \) cuando \( k = -2 \).