El plano de reflexión está definido por la ecuación: \[\pi: x - z = 0 \quad \Rightarrow \quad x = z.\] El vector normal a este plano es: \[n = (1, 0, -1).\] Sabemos que este vector se transforma en su opuesto, cambia de signo bajo la reflexión: \[T(1,0,-1) = (-1,0,1).\] Ahora elegimos dos vectores que estén en el plano, es decir, vectores ortogonales a \( n \). Para encontrarlos, tomamos vectores que satisfagan la ecuación \( x - z = 0 \). Elegimos: \[v_1 = (1,0,1), \quad v_2 = (0,1,0).\] Como están en el plano, permanecen invariantes bajo la reflexión: \[T(1,0,1) = (1,0,1),\] \[T(0,1,0) = (0,1,0).\]
El TFTL nos dice que si conocemos la imagen de una base, podemos construir la matriz asociada. Usamos como base \( B = \{ v_1, v_2, n \} \), cuyos transformados son: \[\quad T(v_1) = v_1, \quad T(v_2) = v_2, \quad T(n) = -n.\] \[T(1,0,1) = (1,0,1), \quad T(0,1,0) = (0,1,0), \quad T(1,0,-1) = (-1,0,1)\] Queremos encontrar la expresión general de \( T(x,y,z) \). Para ello, expresamos un vector genérico \((x,y,z)\) como combinación lineal de la base \( B = \{(1,0,1), (0,1,0), (1,0,-1)\} \): \[(x,y,z) = \alpha_1 (1,0,1) + \alpha_2 (0,1,0) + \alpha_3 (1,0,-1).\] A partir de la combinación lineal, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones: \[\alpha_1 + \alpha_3 = x,\] \[\alpha_1 - \alpha_3 = z,\] \[\alpha_2 = y\] Resolviendo para \( \alpha_1 \) y \( \alpha_3\, \), sumamos y restamos las ecuaciones: \[\alpha_1 = \frac{x+z}{2}\] \[\alpha_3 = \frac{x-z}{2}\] Aplicamos la transformación: \[T(x,y,z) = \frac{x+z}{2} (1,0,1) + y\, (0,1,0) +\frac{x-z}{2} (-1,0,1).\] Distribuyendo los escalares: \[T(x,y,z) = \left( \frac{x+z}{2} - \frac{x-z}{2},\; y,\; \frac{x+z}{2} + \frac{x-z}{2} \right).\] Simplificando los términos: \[T(x,y,z) = (z, y, x)\]
Si tomamos la base \(B\) anterior y tomamos en cuenta como se construye la matriz \[M{\left( T \right)_{BB}} = \left( {\;{{\left[ {T\left( {{v_1}} \right)} \right]}_{B}}\;\;\;\;{{\left[ {T\left( {{v_2}} \right)} \right]}_{B}}\;\;\;\;{{\left[ {T\left( {{n}} \right)} \right]}_{B}}\;} \right)\;\] \[ T(1,0,1) = (1,0,1) = 1 (1,0,1) + 0 (0,1,0) + 0 (-1,0,1) \; \Rightarrow\; \left[ T(1,0,1) \right]_B \; = \; \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\] De igual manera: \[\left[ T(0,1,0) \right]_B \; = \; \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\] \[\left[ T(1,0, -1) \right]_B \; = \; \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\] Expresamos la matriz de \( T \) en la base \( B \): \[ M(T)_{BB} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}. \]
Queremos expresar \( T \) en la base canónica \( \{ e_1, e_2, e_3 \} \). Para ello, expresamos los vectores de \( B \) en términos de la base canónica: \[v_1 = (1,0,1), \quad v_2 = (0,1,0), \quad n = (1,0,-1).\] Formamos la matriz de cambio de base \( P_{BE} = P\,\), cuya columna \( i \)-ésima es la expresión de \( v_i\, \) en la base canónica: \[P_{BE} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}\] La matriz de \( T \) en la base canónica se obtiene como: \[M(T) = P_{BE} \; M(T)_{BB} \;P_{BE}^{-1}\] Calculamos \( P_{BE}^{-1} = P_{EB} = P^{-1} \). Dejamos al lector como tarea verificar que dicha matriz es: \[P^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{-2} \end{pmatrix}\] Finalmente, calculamos: \[M(T) = P \, M(T)_{BB} \, P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}\ \, \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{-2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]