Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales no homogéneo:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y - z = 2}\\{ - y + z = 1}\\{2x + y - z = 5}\end{array}} \right.\;\]
Resolviendo resulta:
\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{z = 1 + y}\\{x = 3}\end{array}} \right.\;\]
El conjunto solución es:
\[\left( {x,y,z} \right) = \left( {\;3,\;y,\;\;\;1 + y\;} \right) = \left( {3,0,1} \right) + y\left( {0,1,1} \right)\]
\[S = \left\{ {\left( {x,y,z} \right) \in {\mathbb{R}^3}\;|\;\;\left( {x,y,z} \right) = \lambda \left( {0,1,1} \right) + \left( {3,0,1} \right)} \right\}\]
Según la propiedad vista anteriormente \({S_h} = \left\{ {\lambda \left( {0,1,1} \right)} \right\}\) es solución del sistema homogéneo asociado y \({X_p} = \left( {3,0,1} \right)\) es una solución particular del sistema no homogéneo.
Retomemos el sistema de ecuaciones que trabajamos en un ejemplo anterior:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} + {x_4} = 3}\\{{x_3} - {x_4} = 2}\\{{x_1} + {x_2} - {x_3} + 2{x_4} = 1}\end{array}} \right.\]
Habíamos llegado al siguiente conjunto solución:
\[S = \left\{ {\left( {{x_1},{x_2},{x_3},{x_4}} \right) = \left( {3 - {x_4} - {x_2},\; {x_2},\; 2 + {x_4},\;{x_4}} \right),\;{\rm{\;\;con\;\;}}\;{x_2},\;{x_4} \in \mathbb{R}} \right\}\]
Observemos que el conjunto solución puede expresarse de la siguiente forma:
\[\left( {{x_1},{x_2},{x_3},{x_4}} \right) = \color{#A0F}{{x_2}\left( { - 1,1,0,0} \right) + {x_4}\left( { - 1,0,1,1} \right)} + \color{red}{\left( {3,0,2,0} \right)}\]
Dejamos a cargo del lector comprobar que:
\[S = {\color{#A0F}{S_h}} + {\color{red}{X_p}}\]