Retomemos el sistema de ecuaciones anterior para analizar su compatibilidad:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} + {x_4} = 3}\\{{x_3} - {x_4} = 2}\\{{x_1} + {x_2} - {x_3} + 2{x_4} = 0}\end{array}} \right.\]
\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&0&1&3\\0&0&1&{ - 1}&2\\1&1&{ - 1}&2&0\end{array}} \right)\mathop \to \limits_{{F_3} \; \to \; {F_3} \; - \; {F_1}} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&0&1&3\\0&0&1&{ - 1}&2\\0&0&{ - 1}&1&{ - 3}\end{array}} \right)\mathop \to \limits_{{F_3} \; \to \; {F_3} \; + \; {F_2}} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&0&1&3\\0&0&1&{ - 1}&2\\0&0&0&0&{ - 1}\end{array}} \right)\]
\[rg\left( A \right) = 2\;\;\;\;{\rm{y\;\;\;}}\;rg\left( {A'} \right) = 3 \Rightarrow {\rm{El\;sistema\;es\;incompatible}}\]
Si cambiamos el término independiente de la tercera ecuación como sigue:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} + {x_4} = 3}\\{{x_3} - {x_4} = 2}\\{{x_1} + {x_2} - {x_3} + 2{x_4} = \color{red}{1}}\end{array}} \right.\]
El sistema resulta compatible porque:
\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&0&1&3\\0&0&1&{ - 1}&2\\1&1&{ - 1}&2&1\end{array}} \right) \sim \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&0&1&3\\0&0&1&{ - 1}&2\\0&0&{ - 1}&1&{ -2}\end{array}} \right) \sim \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&0&1&3\\0&0&1&{ - 1}&2\\0&0&0&0&0\end{array}} \right)\]
\[rg\left( A \right) = rg\left( {A'} \right) = 2 \Rightarrow {\rm{El\;sistema\;es\;compatible}}\]
De acuerdo con la matriz escalonada el sistema se expresa cómo sigue:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} + {x_4} = 3}\\{{x_3} - {x_4} = 2}\end{array}} \right.\;\; \Rightarrow \;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_3} = 2 + {x_4}}\\{{x_1} = 3 - {x_4} - {x_2}}\end{array}\;\;\;\;\forall {x_2},{x_4}} \right. \in \mathbb{R}\]
\({x_2},{x_4}\) son las variables libres.
El conjunto solución es:
\[S = \left\{ {\left( {{x_1},{x_2},{x_3},{x_4}} \right) = \left( {3 - {x_4} - {x_2},{x_2},2 + {x_4},{x_4}} \right)\;\;\;,\;{\rm{\;\;con\;\;}}\;{x_2},{x_4} \in \mathbb{R}} \right\}\]
Observación sobre la notación: Si expresamos el sistema de ecuaciones como \(AX = B\) con \(A \in {\mathbb{R}^{m \times n}}\) , el conjunto solución está incluido en \({\mathbb{R}^{n \times 1}}\) y deberíamos escribirlo en forma de columna. En este caso deberíamos escribir:
\[S = \left\{ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{{x_2}}\\{{x_3}}\\{{x_4}}\end{array}}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{3 - {x_4} - {x_2}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{{x_2}}\\{2 + {x_4}}\\{{x_4}}\end{array}}\end{array}} \right){\rm{\;\;\;\;\;con\;\;}}{x_2},{x_4} \in \mathbb{R}} \right\}\]
Pero por motivos de simplicidad en la escritura muchas veces utilizaremos la notación de filas en lugar de la de columnas.