Ejemplo 1

Una matriz escalonada por filas es:

\[M = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}\color{red}{1}&0&1&0\\0&0&0&\color{red}{3}\\0&0&0&0\end{array}} \right)\]

Para determinar el rango contamos el número de filas no nulas (número de pivotes):

\[rg\left( M \right) = 2\]

Ejemplo 2

Consideremos la matriz:

\[N = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}\color{red}{1}&2&3\\0&\color{red}{3}&1\\0&0&\color{red}{4}\end{array}} \right)\]

Como es escalonada por filas, contamos la cantidad de filas no nulas para hallar el rango:

\[rg\left( N \right) = 3\]

Se puede confundir una matriz escalonada con una matriz triangular, como veremos en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 3

Consideremos la matriz:

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&2&3\\0&0&1\\0&0&2\end{array}} \right)\]

Observamos que \(A\) es triangular (los elementos debajo de la diagonal principal son ceros) pero no está escalonada.

Mediante la operación elemental \({F_3} \to {F_3} - 2{F_2},\;\) obtenemos una matriz escalonada equivalente:

\[B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&2&3\\0&0&1\\0&0&0\end{array}} \right)\]

De donde se deduce que \(rg\left( A \right)\; = \;rg\left( B \right)\; = \;2\)

Ejemplo 4

Retomemos la matriz:

\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&0&1\\0&0&1&{ – 1}\\1&1&{ - 1}&2\end{array}} \right)\]

\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&0&1\\0&0&1&{ – 1}\\1&1&{ - 1}&2\end{array}} \right)\;\;\mathop \to \limits_{{F_3} \; \to \; {F_3} \; - \; {F_1}} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&0&1\\0&0&1&{ - 1}\\0&0&{ - 1}&1\end{array}} \right)\mathop \to \limits_{{F_3} \; \to \; {F_3} \; + \; {F_2}} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&0&1\\0&0&1&{ - 1}\\0&0&0&0\end{array}} \right)\]

\[rg\left( A \right) = 2\]

Entonces una base del espacio fila es:

\[{B_{Fil\left( A \right)}} = \left\{ {{F_1},{F_2}} \right\}\]

Como la dimensión del espacio columna es la misma que la dimensión del espacio fila, sabemos que \(A\) tiene dos columnas LI. Por lo tanto una base de \(Col\left( A \right)\) es:

\[{B_{Col\left( A \right)}} = \left\{ {{A_1},{A_3}} \right\}\]