Consideremos la matriz:
\[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&0&1\\0&0&1&{ - 1}\\1&1&{ - 1}&2\end{array}} \right)\]| Cada fila de $A$ es un vector de \({\mathbb{R}^4}\): | Y cada columna es un vector de \({\mathbb{R}^3}\;\) (\({\mathbb{R}^{3×1}}\)): |
| \begin{matrix}{F_1} = ({1,\;1,\;0,\;1}) \\ {F_2} = ({0,\;0,\;1,\; - 1}) \\ {F_3} = ({1,\;1,\; - 1,\;2})\end{matrix} | \[{A_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array}}\\1\end{array}} \right),\;\;{A_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array}}\\1\end{array}} \right),\;\;{A_3} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}0\\1\end{array}}\\{ - 1}\end{array}} \right),\;\;{A_4} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}1\\{ - 1}\end{array}}\\2\end{array}} \right)\] |
Se denomina espacio fila al subespacio generado por las filas:
\[Fil\left( A \right) = gen\left\{ {{F_1},{F_2},{F_3}} \right\} \subseteq {\mathbb{R}^4}\]
Se denomina espacio columna al subespacio generado por las columnas:
\[Col\left( A \right) = gen\left\{ {{A_1},{A_2},{A_3},{A_4}} \right\} \subseteq {\mathbb{R}^3}\]
En general, dada una matriz \(A \in {\mathbb{R}^{m \times n}}\) de \(m\) filas con \(n\) columnas, los espacios fila y columna son:\[Fil\left( A \right) = gen\left\{ {{F_1},{F_2}, \ldots ,{F_m}} \right\}\;\; \subseteq {\mathbb{R}^n}\]
\[Col\left( A \right) = gen\left\{ {{A_1},{A_2}, \ldots ,{A_n}} \right\}\; \subseteq {\mathbb{R}^m}\]
\(Fil\left( A \right)\) y \(Col\left( A \right)\) son en general subespacios de diferentes espacios vectoriales. Pero se puede demostrar que en cualquier matriz la dimensión del espacio fila coincide con la dimensión del espacio columna, y a ese número se lo llama rango de la matriz \(A\).
\[\dim \left( {Fil\left( A \right)} \right) = \dim \left( {Col\left( A \right)} \right) = rg\left( A \right)\]
El rango es el número de filas (o columnas) LI que tiene la matriz \(A\).
Propiedad
Como consecuencia de esta definición puede afirmarse que:
\[rg\left( A \right) = rg\left( {{A^T}} \right)\]