### Ejemplo 1

\[{r_1}:\;\left( {x,y,z} \right) = \left( {1,1,1} \right) + t\left( {0,1,2} \right)\]

\({r_2}:\;\;\)Recta que pasa por\(\;\;A\left( {0,1, - 1} \right)\;\;y\;\;\;B\left( {1,2,{z_0}} \right)\)

Hallar \({z_0}\) para que las rectas sean concurrentes y encontrar el plano que las contiene.

### Resolución

Construyamos una ecuación vectorial de la recta \({r_2}\):

\[ {r_2}: \; ({x,\; y,\; z}) =({0, \;1\; -1}) + \lambda \underbrace{({1,\;1,\;{z_0}+1})}_{\overrightarrow{AB}} \]

Escribimos las ecuaciones paramétricas de cada recta:

\[{r_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y = 1 + t}\\{z = 1 + 2t}\end{array}} \right.\;\;\;\;,\;\;\;\;{r_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \lambda }\\{y = 1 + \lambda }\\{z = - 1 + \left( {1 + {z_0}} \right)\lambda }\end{array}} \right.\]

Igualamos:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 = \lambda }\\{1 + t = 1 + \lambda }\\{1 + 2t = - 1 + \lambda \left( {{z_0} + 1} \right)}\end{array}} \right.\]

De las dos primeras ecuaciones, se obtiene \(t = \lambda = 1\)

Reemplazamos en la tercera ecuación y despejamos \({z_0}\):

\[3 = - 1 + {z_0} + 1\; \Rightarrow {z_0} = 3\]

Para \({z_0} = 3\) las rectas se cortan.

¿Cuál es el punto de intersección? Reemplazamos por \(t = 1\) en la ecuación de la primera recta:

\[{r_1} \cap {r_2} = \left\{ {\left( {1,2,3} \right)} \right\}\]

Para obtener la ecuación del plano que contiene a las rectas, buscamos el vector normal:

\[\vec n = \overrightarrow {{v_1}} \times \overrightarrow {{v_2}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}i&j&k\\0&1&2\\1&1&4\end{array}} \right| = \left( {2,2, - 1} \right)\]

\[\pi :\;\;2x + 2y - z + d = 0\]

Para averiguar \(d\) reemplazamos un punto que pertenezca al plano. Puede ser cualquier punto de las rectas, por ejemplo \(\left( {1,1,1} \right)\):

\[2.1 + 2.1 - 1.1 + d = 0 \Rightarrow d = - 3\]

\[\pi :\;2x + 2y - z - 3 = 0\]

### Ejemplo 2

\[{r_1}:\left( {x,y,z} \right) = \left( {1,2,3} \right) + \lambda \left( { -1,1,4} \right)\]

\[{r_2}:\left( {x,y,z} \right) = \left( {1,0,0} \right) + t\left( {3, - 3, - 12} \right)\]

Claramente son paralelas pues sus vectores directores son paralelos:

\(\left( {3, - 3, - 12} \right) = - 3.\left( { - 1,1,4} \right)\).

El lector puede comprobar que \(\left( { - 1,1,4} \right) \times \left( {3, - 3, - 12} \right) = \vec 0\) , entonces el vector normal del plano no puede hallarse con este producto vectorial.

Para hallar el vector normal, consideramos uno de los vectores directores y un vector \(\overrightarrow {{P_1}{P_2}} \) determinado por un punto de cada recta, como muestra la figura:

El producto vectorial de ambos da un vector normal al plano:

\[\vec n = \vec v \times \overrightarrow {{P_1}{P_2}} \]

Para completar la ecuación del plano, consideramos un punto de cualquiera de las rectas. Así obtenemos la ecuación del plano que contiene a las rectas dadas:

\[\pi :\;\;5x - 3y + 2z - 5 = 0\]

### Ejemplo 3

Hallar, si es posible, el plano que contiene a las rectas:

\[{r_1}:\;\left( {x,y,z} \right) = \lambda \left( {1,0,0} \right)\]

\[{r_2}:\left( {x,y,z} \right) = \left( {0,1,0} \right) + t\left( {0,0,1} \right)\]

Dejamos a cargo del lector la verificación de que son alabeadas. Busquemos un vector perpendicular a ambas rectas:

\[\vec n = \left( {1,0,0} \right) \times \left( {0,0,1} \right) = \left( {0, - 1,0} \right)\]

Considerando el punto \(\left( {0,0,0} \right)\) perteneciente a \({r_1}\), obtenemos el siguiente plano:

\[\pi :\;\;y\; = \;0\]

Sin embargo, este plano no contiene a \({r_2}\), pues el punto \(\left( {0,1,0} \right)\) no verifica la ecuación de \(\pi \).

Sugerimos al lector hacer una gráfico de las rectas y el plano obtenido, para visualizar la situación.

No es posible hallar un plano que contenga a dos rectas alabeadas. Las rectas alabeadas no son coplanares.