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<h3>Ejemplo 1</h3>
<p>Sea \(S = \left\{ {\left( {x,y,z} \right) \in {\mathbb{R}^3}\;|\;2x + 3y -z = 0} \right\}\). Hallar \({S^ \bot }\).</p>
<h3>Resolución</h3>
<p>Tenemos que buscar los vectores de \({\mathbb{R}^3}\) que sean perpendiculares a todos los vectores de ese plano.</p>
<p>Primero buscamos una base de \(S\), por ejemplo:</p>
<p style="text-align: center;">\[{B_S} = \left\{ {\left( { - 1,1,1} \right),\left( {0,1,3} \right)} \right\}\]</p>
<p>Para hallar el complemento ortogonal, buscamos todos los vectores \(\left( {x,y,z} \right)\) que sean ortogonales a \(\left( { - 1,,1,1} \right)\) y a \(\left( {0,1,3} \right)\).</p>
<p>Se obtiene así un sistema de ecuaciones que define el complemento ortogonal:</p>
<p style="text-align: center;">\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x,y,z} \right).\left( { - 1,1,1} \right) = 0}\\{\left( {x,y,z} \right).\left( {0,1,3} \right) = 0}\end{array}} \right.\; \Rightarrow \;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - x + y + z = 0\;\;\;\; \Rightarrow \; - x - 3z + z = 0\;}\\{y + 3z = 0\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\]</p>
<p style="text-align: center;">\[\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\;x = -2z}\\{\;y = -3z}\end{array}} \right.\;\;\;\;\;\;Ecuaciones\;de\;\;{S^ \bot }\;\]</p>
<p>¿Cuál es una base del subespacio \({S^ \bot }\)?</p>
<p style="text-align: center;">\[{B_{{S^ \bot }}} = \left\{ {\left( { - 2, - 3,1} \right)} \right\}\]</p>
<p>La base es un vector perpendicular al plano \(S\). Por lo tanto, el complemento ortogonal de un plano que pasa por el origen es la recta perpendicular que pasa por el origen.</p>
<p style="text-align: center;"><img loading="lazy" class="alignnone" title="complemento ortogonal de un subespacio" src="https://aga.frba.utn.edu.ar/wp-content/uploads/2016/09/092316_1631_Operaciones5.png" alt="complemento ortogonal de un subespacio" width="531" height="363" /></p>
<p>Si \(S\) es una recta que pasa por el origen: ¿cuál es su complemento ortogonal?</p>
<h3>Ejercicio para el lector</h3>
<p>Para justificar el procedimiento que utilizamos para encontrar las ecuaciones de \({S^ \bot },\;\) les pedimos que demuestren la siguiente propiedad:</p>
<p>Sean \(u,\;v,\;w\) vectores de \({\mathbb{R}^n}\).</p>
<p>Si \(w\) es ortogonal a \(u\) y a \(v\), entonces es ortogonal a cualquier combinación lineal de \(u\) y \(v\).</p>
<h3>Ejemplo 2</h3>
<p>Dado siguiente subespacio de \({\mathbb{R}^4}\):</p>
<p style="text-align: center;">\[S = \left\{ {\left( {{x_1},{x_2},{x_3},{x_4}} \right) \in {\mathbb{R}^4}\;\;|\;\;\;{x_1} + {x_2} - 3{x_3} = 0\; \wedge \;{x_2} - {x_4} = 0} \right\}\]</p>
<p>Halle base y dimensión del complemento ortogonal.</p>
<h3>Resolución</h3>
<p>Tenemos que buscar los vectores de \({\mathbb{R}^4}\) que son ortogonales a los vectores de \(S\).</p>
<p>Hallemos una base de \(S\):</p>
<p style="text-align: center;">\[\left( { -{x_2} + 3{x_3},\;\;{x_2},\;\;{x_3},\;\;{x_2}} \right) = {x_2}\left( { - 1,1,0,1} \right) + {x_3}\left( {3,0,1,0} \right)\]</p>
<p style="text-align: center;">\[ \Rightarrow {B_S} = \left\{ {\left( { - 1,1,0,1} \right),\left( {3,0,1,0} \right)} \right\}\]</p>
<p>Ahora buscamos los \(\left( {{x_1},{x_2},{x_3},{x_4}} \right)\) tales que:</p>
<p style="text-align: center;">\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {{x_1},{x_2},{x_3},{x_4}} \right)\left( {3,0,1,0} \right) = 0}\\{\left( {{x_1},{x_2},{x_3},{x_4}} \right)\left( { - 1,1,0,1} \right) = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3{x_1} + {x_3} = 0}\\{ -{x_1} + {x_2} + {x_4} = 0}\end{array}} \right.\]</p>
<p>Hallamos las ecuaciones que definen a \({S^ \bot }\):</p>
<p style="text-align: center;">\[{S^ \bot } = \left\{ {\left( {{x_1},{x_2},{x_3},{x_4}} \right) \in {\mathbb{R}^4}\;\;|\;\;3{x_1} + {x_3} = 0\; \wedge \; -{x_1} + {x_2} + {x_4} = 0} \right\}\]</p>
<p>Busquemos una base de \({S^ \bot }\):</p>
<p style="text-align: center;">\[\left( {{x_1},\;\;{x_2},\;\; - 3{x_1},\;\;{x_1} - {x_2}\;} \right) = {x_1}\left( {1,0, -3,1} \right) + {x_2}\left( {0,1,0, -1} \right)\]</p>
<p style="text-align: center;">\[ \Rightarrow {B_{{S^ \bot }}} = \left\{ {\left( {1,0, - 3,1} \right),\left( {0,1,0, -1} \right)} \right\}\;\; \Rightarrow \;\;\dim \left( {{S^ \bot }} \right) = 2\]</p>

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