<!DOCTYPE=HTML>

<HTML>
<HEAD>
<meta http-equiv="content-type" content="text/html; charset=UTF-8">
	<meta http-equiv="X-UA-Compatible" content="IE=edge,chrome=1">
	<meta name="viewport" content="width=device-width,initial-scale=1,maximum-scale=1,minimum-scale=1,user-scalable=yes,minimal-ui">
	<meta name="mobile-web-app-capable" content="yes">
	<meta name="apple-mobile-web-app-capable" content="yes">
	<meta name="apple-mobile-web-app-status-bar-style" content="black">
	
	<style>
body {font-family: Lato; margin: 50px 70px;} h2 {text-align: center; color: #e85555;} h3 {color: #e85555;} h4 {color: #e85555;} h5 {color: #e85555;} h6 {color: #e85555;} 	
</style>

  	
  <script id="MathJax-script" async
          src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/mathjax@3/es5/tex-mml-chtml.js">
  </script>
    </HEAD>
<BODY>
<h3><b>Ejemplo 1</b></h3>
<p>Retomemos el sistema de ecuaciones anterior para analizar su compatibilidad:</p>
<p>\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} + {x_4} = 3}\\{{x_3} - {x_4} = 2}\\{{x_1} + {x_2} - {x_3} + 2{x_4} = 0}\end{array}} \right.\]</p>
<p>\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&amp;1&amp;0&amp;1&amp;3\\0&amp;0&amp;1&amp;{ - 1}&amp;2\\1&amp;1&amp;{ - 1}&amp;2&amp;0\end{array}} \right)\mathop \to \limits_{{F_3} \; \to \; {F_3} \; - \; {F_1}} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&amp;1&amp;0&amp;1&amp;3\\0&amp;0&amp;1&amp;{ - 1}&amp;2\\0&amp;0&amp;{ - 1}&amp;1&amp;{ - 3}\end{array}} \right)\mathop \to \limits_{{F_3} \; \to \; {F_3} \; + \; {F_2}} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&amp;1&amp;0&amp;1&amp;3\\0&amp;0&amp;1&amp;{ - 1}&amp;2\\0&amp;0&amp;0&amp;0&amp;{ - 1}\end{array}} \right)\]</p>
<p>\[rg\left( A \right) = 2\;\;\;\;{\rm{y\;\;\;}}\;rg\left( {A'} \right) = 3 \Rightarrow {\rm{El\;sistema\;es\;incompatible}}\]</p>
<h3><b>Ejemplo 2</b></h3>
<p>Si cambiamos el término independiente de la tercera ecuación como sigue:</p>
<p>\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} + {x_4} = 3}\\{{x_3} - {x_4} = 2}\\{{x_1} + {x_2} - {x_3} + 2{x_4} = \color{red}{1}}\end{array}} \right.\]</p>
<p>El sistema resulta compatible porque:</p>
<p>\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&amp;1&amp;0&amp;1&amp;3\\0&amp;0&amp;1&amp;{ - 1}&amp;2\\1&amp;1&amp;{ - 1}&amp;2&amp;1\end{array}} \right) \sim \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&amp;1&amp;0&amp;1&amp;3\\0&amp;0&amp;1&amp;{ - 1}&amp;2\\0&amp;0&amp;{ - 1}&amp;1&amp;{ -2}\end{array}} \right) \sim \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&amp;1&amp;0&amp;1&amp;3\\0&amp;0&amp;1&amp;{ - 1}&amp;2\\0&amp;0&amp;0&amp;0&amp;0\end{array}} \right)\]</p>
<p>\[rg\left( A \right) = rg\left( {A'} \right) = 2 \Rightarrow {\rm{El\;sistema\;es\;compatible}}\]</p>
<p>De acuerdo con la matriz escalonada el sistema se expresa cómo sigue:</p>
<p>\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} + {x_4} = 3}\\{{x_3} - {x_4} = 2}\end{array}} \right.\;\; \Rightarrow \;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_3} = 2 + {x_4}}\\{{x_1} = 3 - {x_4} - {x_2}}\end{array}\;\;\;\;\forall {x_2},{x_4}} \right. \in \mathbb{R}\]</p>
<p>\({x_2},{x_4}\) son las variables libres.</p>
<p>El conjunto solución es:</p>
<p>\[S = \left\{ {\left( {{x_1},{x_2},{x_3},{x_4}} \right) = \left( {3 - {x_4} - {x_2},{x_2},2 + {x_4},{x_4}} \right)\;\;\;,\;{\rm{\;\;con\;\;}}\;{x_2},{x_4} \in \mathbb{R}} \right\}\]</p>
<p>Observación sobre la notación: Si expresamos el sistema de ecuaciones como \(AX = B\) con \(A \in {\mathbb{R}^{m \times n}}\) , el conjunto solución está incluido en \({\mathbb{R}^{n \times 1}}\) y deberíamos escribirlo en forma de columna. En este caso deberíamos escribir:</p>
<p><span style="font-size: 10pt;"><a name="MTBlankEqn"></a> \[S = \left\{ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{{x_2}}\\{{x_3}}\\{{x_4}}\end{array}}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{3 - {x_4} - {x_2}}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{{x_2}}\\{2 + {x_4}}\\{{x_4}}\end{array}}\end{array}} \right){\rm{\;\;\;\;\;con\;\;}}{x_2},{x_4} \in \mathbb{R}} \right\}\]</span></p>
<p>Pero por motivos de simplicidad en la escritura muchas veces utilizaremos la notación de filas en lugar de la de columnas.</p>



</BODY>
</HTML>