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<h3>Ejemplo 1</h3>
<p>¿Es el conjunto \(\left\{ {\left( {1,1} \right),\left( {1, - 1} \right)} \right\}\) linealmente independiente (LI) o linealmente dependiente (LD)?</p>
<p>Planteamos la ecuación:</p>
<p>\[{\alpha _1}\left( {1,1} \right) + {\alpha _2}\left( {1, - 1} \right) = \left( {0,0} \right)\]</p>
<p>\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\alpha _1} + {\alpha _2} = 0}\\{{\alpha _1} - {\alpha _2} = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\;{\alpha _1} = 0 \wedge {\alpha _2} = 0\]</p>
<p>Luego el conjunto es <b>linealmente independiente</b> (LI).</p>
<h3>Ejemplo 2</h3>
<p>¿Es el conjunto \(\left\{ {\left( {1,1} \right),\left( {1, - 1} \right),\left( {2,0} \right)} \right\}\) LI o LD?</p>
<p>Planteamos un sistema de ecuaciones. Nos interesa saber si tiene solución única o infinitas soluciones:</p>
<p>\[\alpha \left( {1,1} \right) + \beta \left( {1, - 1} \right) + \gamma \left( {2,0} \right) = \left( {0,0} \right)\;\;\; \Rightarrow \;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 = \alpha + \beta + 2\gamma }\\{0 = \alpha - \beta }\end{array}} \right.\;\]</p>
<p>Veamos cómo es la resolución por el método de Gauss:</p>
<p>\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&amp;1&amp;2&amp;0\\1&amp;{ - 1}&amp;0&amp;0\end{array}} \right)\mathop \to \limits_{{F_2} \to {F_1} - {F_2}} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&amp;1&amp;2&amp;0\\0&amp;{ &#8211; 2}&amp;{ - 2}&amp;0\end{array}} \right)\mathop \to \limits_{{F_2} \to - \frac{1}{2}.{F_2}} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&amp;1&amp;2&amp;0\\0&amp;1&amp;1&amp;0\end{array}} \right)\]</p>
<p>\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha + \beta + 2\gamma = 0}\\{\beta + \gamma = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha = - \gamma }\\{\beta = - \gamma }\end{array}} \right.\]</p>
<p>El sistema de ecuaciones es compatible indeterminado, o sea tiene infinitas soluciones. Luego, el conjunto es LD.</p>
<p>Notemos que también se cumple la forma alternativa de caracterizar la dependencia lineal, pues es posible escribir \(\left( {2,0} \right)\) como combinación lineal de \(\left( {1,1} \right)\) y \(\left( {1, - 1} \right)\):</p>
<p>\[\left( {1,1} \right) + \left( {1, - 1} \right) = \left( {2,0} \right)\]</p>
<h3>Ejemplo 3</h3>
<p>¿Es el conjunto \(\left\{ {\left( {1,0,0} \right),\left( {0,1,0} \right),\left( {1,1,1} \right)} \right\}\) LI o LD?</p>
<p>\[\alpha \left( {1,0,0} \right) + \beta \left( {0,1,0} \right) + \gamma \left( {1,1,1} \right) = \left( {0,0,0} \right)\; \Rightarrow \;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 = \alpha + \gamma }\\{0 = \beta + \gamma }\\{0 = \gamma }\end{array}} \right.\; \Rightarrow \;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha = 0}\\{\beta = 0}\\{\gamma = 0}\end{array}} \right.\]</p>
<p>Como el sistema es compatible determinado, el conjunto es LI.</p>
<h3>Ejemplo 4</h3>
<p>¿Es el conjunto \(\left\{ {\;\left( {1,0,0} \right)\;,\;\left( {0,1,0} \right)} \right\}\) LI o LD?</p>
<p>\[\alpha \left( {1,0,0} \right) + \beta \left( {0,1,0} \right) = \left( {0,0,0} \right)\;\; \Rightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha = 0}\\{\beta = 0}\end{array}} \right.\]</p>
<p>Como el sistema tiene solución única el conjunto es LI.</p>
<h3>Ejemplo 5</h3>
<p>¿Es el conjunto \(\left\{ {\color{green}{x}\;\;,\;\;\; \color{red}{- {x^2}}\;\;\;\;,\;\;\;\;\color{fuchsia}{4{x^2} -x}} \right\}\) LI o LD?</p>
<p>\[{\alpha _1}\left( \color{green}{x} \right) + {\alpha _2}\left( { \color{red}{- {x^2}}} \right) + {\alpha _3}\left( {\color{fuchsia}{4{x^2} - x}} \right) = 0{x^2} + 0x + 0\]</p>
<p>\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - {\alpha _2} + 4{\alpha _3} = 0}\\{{\alpha _1} - {\alpha _3} = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\alpha _2} = 4{\alpha _3}}\\{{\alpha _1} = {\alpha _3}}\end{array}} \right.\]</p>
<p>El sistema es compatible indeterminado. Luego el conjunto es LD.</p>
<p>Notemos que es posible escribir \(\color{fuchsia}{4{x^2} - x}\) cómo combinación lineal de \(\color{green}{x}\) y de \( \color{red}{- {x^2}}\):</p>
<p>\[\left( { - 1} \right)\left( \color{green}{x} \right) + \left( { - 4} \right)\left( { \color{red}{- {x^2}}} \right) = \color{fuchsia}{4{x^2} - x}\]</p>

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