INTRODUCCIÓN

• En la miscelánea "Modelo 3D de las conchas discoidales" mostramos cómo modelar este tipo de conchas adaptando el planteamiento indicado por Raup, D. M. (1966) en su artículo "Analysis of Shell Coiling: General Problems.".
• Para modelar la concha del Nautilus observamos la necesidad de disponer de un tipo para la sección frontal del Nautilus lo cual quedó plasmado, junto a la dificultad ocasional que nos encontramos inesperadamente, en la miscelánea "Elección de tipo para la sección frontal del Nautilus".

Una vez seleccionado el tipo para la sección frontal del Nautilus, en esta miscelánea se aborda la modelación de esta sección frontal utilizando una curva de Bézier y una vez determinada ésta se procede a obtener el modelo tridimensional del Nautilus asociado a dicha sección considerando su versión uniforme, es decir, sin tener en consideración las particularidades intrínsecas a su ontogenia, en particular en la fase embrionaria.

OBJETIVOS

1. Aproximar la sección frontal tipo de Nautilus con una curva de Bézier.
2. Modelar la concha tridimensional del Nautilus sin reflejar su ontogenia (modelo uniforme) a partir de la curva de Bézier obtenida.
3. Determinar la superficie que modela a la concha del Nautilus.

INSTRUCCIONES

En la escena se distinguen tres espacios:

1. A la izquierda un espacio de control o de determinación manual del polígono de control que define la curva de Bézier que aproxima a la sección transversal del Nautilus. Se observan los siguientes elementos y controles:
   • Expresión algebraica que refleja la curva de Bézier en función de los polinomios de Bernstein (en los dos hiperenlaces anteriores podemos profundizar sobre estos objetos matemáticos de modelado).
   • Reflejo por defecto de un polígono de control de la curva que aproxima a la sección transversal del Nautilus y que está compuesto de nueve puntos. Los nodos de este polígono pueden ser modificados pulsando en el botón "activa pulsadores" y cualquier variación que se efectúe en esos valores se verá reflejado en la curva de Bézier dibujada en el espacio central y en el modelo 3D. Cuando se ha pulsado este botón se permuta con un botón en igual posición "desactiva pulsadores"
   • Control "n" que permite aumentar o disminuir el número de nodos del polígono de control (entre 1 y 9).
   • Botón "Guardar" que permite guardar en un archivo las coordenadas del polígono de control para su reutilización en otro momento.
   • Botón "Cargar" que permite obtener las coordenadas de un polígono de control previamente guardado con el botón "Guardar" antes descrito. Por defecto hay grabados dos archivos ubicados en el directorio ./modelo, denominados Tanabe90.txt y Thompson.txt que se corresponden con el modelado de las dos fuentes utilizadas en la investigación (la de Tanabe 1990 que es la adoptada como tipo y la de D'Arcy Thompson). El polígono de control presentado por defecto se corresponde al tipo elegido.
   • Botón "Dibuja 3D" que muestra un espacio tridimendional en la parte lateral derecha. Por defecto no se dibuja para que no se ralentice la escena, ya que cualquier cambio en los nodos del polígono de control cambia el modelo 3D y el dibujo del mismo tiene cierta carga computacional. Es preferible primero modelar la sección transversal y, una vez ya se está conforme, proceder a activar este botón. Cuando el modelo 3D está visible, este botón se permuta con "Ocultar 3D"
   • Control tipo menú con tres opciones: "Tanabe", "Thompson" y "Diseño libre" que permite utilizar respectivamente la sección transversal aportada por Tanabe et al. (1990) en el artículo "Morphological analysis of Nautilus pompilius", la obtenida por González-Restrepo a partir de la digitalización realizada por el museo D'arcy Thompson o abordar un diseño personal, y el ajuste que se ha realizado con la Curva de Bézier (los datos iniciales se corresponden con el archivo Tanabe90.txt antes indicado, luego no es necesaria su carga, sino que basta seleccionar la opción de deseada en este menú).
2. En la parte central se tiene un espacio 2D en el que para la opción "Tanabe" y "Thompson" se muestra como fondo la respectiva sección transversal (la mitad) del Nautilus y los nodos del polígono de control de la curva de Bézier que la aproxima; en el diseño libre se omite para que su creatividad no esté coartada y pueda crear sus conchas. Los nodos del polígono de control pueden variarse a voluntad del usuario y al hacerlo verá los cambios que acontecen en el modelo. La curva de Bézier correspondiente al polígono de control está representada mediante la línea continua de color verde.
   En este espacio disponemos de unos controles adicionales:
   • oculta/muestra polígono: que permite dibujar el polígono de control.
   • muestra/oculta crecimiento: que nos representa la sección diseñada pero en diferentes instantes del crecimiento: el actual, media vuelta antes y una vuelta, vuelta y media y dos vueltas antes. Este control está accesible en la opciones de Tanabe y Thompson.
   • determina eje/fijar eje (sólo para el caso de "Diseño libre"): que permite desplazar la curva diseñada alejándola o acercándola al eje de giro. Al pulsarlo se activa un control numérico que permite ese desplazamiento y a la vez muestra el crecimiento indicado en el control "muestra/oculta crecimiento". El polígono de control de la curva de Bezier permanece invariable y la curva respectiva diseñada se representa en una línea discontinua de color verde.
3. En la parte derecha por defecto, y siempre que el botón "Dibuja 3D" del espacio lateral izquierdo esté inactivo, se presenta un espacio bidimensional en el que se refleja la sección transversal que se está modelando en la parte central. Esta sección se determina aplicando una simetría axial que es consecuencia de la simetría planal existente en el Nautilus. Cuando se pulsa sobre el botón "Dibuja 3D", este espacio bidimensional se representa a escala y sobre un espacio tridimensional que muestra el modelo tridimensional buscado.
   Para la selección "Tanabe" y "Thompson" se dispone de un botón "mostrar/ocultar modelo teórico" de la sección transversal. Este modelo teórico es un avance del modelo teórico completo que se analizará en detalle en otra miscelánea. Aquí puede comprobarse que la parte exterior de la concha, la parte que es visible externamente, es una elipse y se permite al usuario variar su centro y semiejes. También se indica el valor del Diámetro D del Nautilus (a la escala del dibujo) y el del ancho B.
   La proporción B/D obtenida para Tanabe en esta escena es aproximadamente 0,5081 que se aproxima muy bien al valor de 0,505 aportado para este ejemplar que es el etiquetado como B-27 en los datos aportados por Hayasaka et al. (1982) en Field study on the habitat of Nautilus in the environs of Cebu and Negros Islands, the Philippines que pueden consultarse en esta página obtenida del artículo citado, donde también se dispone de las medidas reales si se desea trabajar con ellas en lugar de la escaladas usadas en la escena.
   En el caso de la sección de Thompson el cociente B/D es aproximadamente 0,4900 que se aproxima a la media de los valores obtenidos en la tabla anterior que es 0,4938. En este caso no disponemos de las dimensiones reales de ese ejemplar.
4. En el espacio tridimensional de la derecha, que estará visible al pulsar el botón "Dibuja 3D", se refleja el modelo tridimensional correspondiente a la sección transversal diseñada. Para el modelo de "Tanabe" y "Thompson" del Nautilus el crecimiento es cordobés y para el "Diseño libre" por defecto es cordobés, pero puede modificar el valor de la base del factor de crecimiento.
   En este espacio disponemos de unos controles adicionales:
   • crecimiento, septo nº: que permite dibujar el Nautilus (o concha diseñada libremente) desde la etapa embrionaria hasta el septo seleccionado (con un máximo de 40 septos, 16 por verticilo en este modelo uniforme). Este control en el caso de diseño libre está etiquetado como "crecimiento 2π/16" que es el paso considerado en el crecimiento.
   • sección: parte de la sección transversal que se representa en 3D (de 0 a 1). El objetivo es poder ver el interior de la concha y para el modelo "Tanabe" y "Thompson" también la ubicación de los septos (en color verde), el sifúnculo (en color naranja) y la espiral de los polos de los septos (en magenta) siempre que el control inferior "curvas auxiliares" esté activo.
   • eje giro: visible sólo en el diseño libre y que permite trasladar la curva de Bézier obtenida en el espacio central para acercarla o alejarla del eje de giro. Es el mismo parámetro que realiza también esta opción y que está disponible en el espacio central de diseño. Según su valor la concha obtenida será tangencial a la obtenida en cada verticilo o bien se intersecarán (concha involuta) o bien no se intersecarám (concha evoluta). La concha del Nautilus (ver modelo "Tanabe" y "Thompson") tal y como estamos considerando el diseño de la sección frontal es tangencial, y si consideramos el modelo teórico elíptico sería involuta.
   • Menú con dos opciones: luz o alambre, que permite seleccional entre el dibujo de la concha como superficie o sólo con el mallado que la define.
   • Menú curvas auxiliares (para "Tanabe" y "Thompson") con dos opciones: Sí o No, que respectivamente activa el dibujo de curvas auxilares o dibuja sólo la concha, la pared dorsal y ventral y los septos.
   • base de factor de crecimiento (para diseño libre): por defecto muestra el valor 1.185580 correspondiente al crecimiento cordobés. Según el valor para cada diseño de la sección frontal se obtienen también conchas involutas o evolutas.
   • frontal: menú que permite seleccionar si se representa la sección frontal sobre la representación tridimensional o se oculta.

Modelo 3D del Nautilus con curvas auxiliares descriptivas

Modelo 3D del Nautilus y secciones sagitales de los septos

Modelo uniforme 3D del Nautilus en base a la sección de Tanabe 90 aproximada por una curva de Bézier.

Realizado en el año del vigésimo quinto aniversario del Proyecto Descartes