INTRODUCCIÓN

En esta miscelánea se analizan las curvas de Bézier.
Cuando se necesita ajustar una nube de puntos P_i=(x_i, y_i) por una curva c(t)=(x(t), y(t)) la alternativa más simple es considerar funciones polinómicas, por ser éstas las funciones más básicas, dado que su evaluación sólo requiere realizar sumas y multiplicaciones y por ser son curvas suaves ya que son infinitamente diferenciables. Pero, en la determinación de un polinomio p(t)=a₀+a₁t+a₂t²+...+a_ntⁿ a partir de n+1 valores, por ejemplo los x_i, los coeficientes a_i pueden variar sensiblemente ante pequeños cambios de alguno o algunos de esos n+1 valores y, por tanto, cambiar radicalmente la forma de la curva de ajuste. Así pues, si en un ajuste tenemos que a_i=0 para i≥2 (una recta) un pequeño desplazamiento de un punto puede provocar que esos a_i dejen de ser nulos (aunque mantengan un valor próximo a cero) y obviamente la forma de un polinomio de grado n difiere bastante del de una recta. Adicionalmente no hay una correlación simple cuando se produce cualquier transformación afín, por ejemplo, una traslación o un giro.
Las curvas de Bézier son curvas de ajuste polinómicas, pero se definen de manera que mitiguen los inconvenientes antes indicados. Son de amplio uso en el contexto del diseño asistido por ordenador y la aplicación de transformaciones afines actúa sobre los coeficientes siguiendo igual transformación. Estas propiedades hacen que las curvas de Bézier sean útiles en el diseño asistido por ordenador.

OBJETIVOS

1. Definir la curva de Bézier asociada a un conjunto de puntos {P₀, P₁, ..., P_n}, conjunto que se denomina polígono de control de la curva.
   
2. Mostrar gráficamente la curva de Bézier asociada a un polígono de control y cómo varía la curva al cambiar el polígono.
3. Enunciar y vizualizar las propiedades de las curvas de Bézier.

INSTRUCCIONES

En la escena se muestra la definición de la curva asociada a un polígono de control constituido por n+1 puntos. Esta curva viene dada en función de los polinomios de Bernstein de grado n, los cuales podemos ver u ocultar pulsando sobre el icono de la lupa . Junto a ella hay otro icono que, al pulsarlo, abre una miscelánea específica donde se analiza este tipo de polinomios.
Puede variarse el número de puntos del polígono de control con el pulsador etiquetado como n. Al incrementar este valor se introduce un nuevo punto en el polígono de control, éste se ha optado por ubicarlo entre el penúltimo y el último para mantener los puntos extremos del polígono de control anterior. Si se decrementa se elimimina el penúltimo punto. La posición de cada uno de los puntos del polígono de control puede variarse sin más que seleccionarlo y desplazarlo, quedando recalculada la curva de Bézier correspondiente. Las coordenadas de estos puntos quedan reflejadas en el margen izquierdo de la escena.
Pulsando sobre pueden observarse algunas propiedades de las curvas de Bézier. Con las flechas y podemos respectivamente pasar a una nueva propiedad o regresar a la anterior.

Cada propiedad cuenta de botones y controles específicos que ayudan a su visualización:

1. En la primera propiedad: "La curva de Bézier determinada por el polígono de control {P₀, P₁, ..., P_n} pasa por P₀ y P_n" pueden desplazarse los puntos del polígono de control.
2. En la segunda propiedad: "La gráfica de la curva de Bézier determinada por el polígono de control {P₀, P₁, ..., P_n} coincide con la que tiene como polígono de control {P₀, P₁, ..., P_n}, pero se recorre una en sentido contraria de la otra" puede cambiarse el valor del parámetro t y podrá observarse el recorrido sobre la primera curva y sobre la segunda.
3. En la tercera: "La curva de Bézier está contenida en la envolvente convexa de su polígono de control" puede verse esa envolvente y observar la propiedad modificando los vértices de ese polígono.
4. En la cuarta: "La curva de Bézier es tangente al polígono de control en los puntos extremos del mismo" puede cambiarse el valor del parámetro t y ver cómo varía la recta tangente a la curva en el punto correspondiente a ese valor y comprobar la tangencia indicada en los puntos P₀ y P_n.
5. En la quinta propiedad: "La curva de Bézier es invariante por transformaciones afines" se representa el polígono de control (que puede ser modificado) y su curva asociada, junto al polígono transformado por una transformación afín P' = A P + Q y su curva respectiva. La transformación puede modificarse pulsando el botón y, en particular, ésta puede centrarse en el caso de una traslación usando el botón o en el de un giro usando