Tabla de contenido

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¿Por qué HTML5?

En 2010 Steve Jobs hizo una fuerte crítica a Flash, en tanto que su desempeño es bueno en ordenadores, pero no es lo mejor para dispositivos móviles. Recomendó, entonces, el uso de HTML5 para la creación de aplicaciones y juegos, además de ser una tecnología sin costo. Con el tiempo, Adobe declaró que iba a dejar de desarrollar la tecnología Flash para dispositivos móviles apoyando a HTML5.

El HTML5 tiene por objetivo la homologación de todos los buscadores y sistemas operativos para que cualquier dispositivo móvil pueda desplegar gráficos, animaciones y videos, entre otras aplicaciones multimedia. Desde 1998 el Consorcio de Internet (World Wide Web Consortium W3C) dejó de evolucionar el protocolo HTML y comenzaron a buscar nuevas maneras de desplegar una red más atractiva desde su base. Tras diversas pruebas y decisiones, en 2007 se formó el grupo actual de trabajo del W3C que revisa la implementación de HTML5.

Su evolución continúa, ya que aún no es estándar, se encuentra en Working Draft (Borrador de Trabajo), pero ya se está aplicando en muchos proyectos Web importantes. Empresas de gran peso en Internet están apoyando HTML5 e impulsando su estandarización y perfeccionamiento, entre ellas podemos nombrar a Google, Mozilla, Adobe y Microsoft y, por qué no, nuestro primer libro digital interactivo.

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Visto de esta manera, el desarrollo de objetos de aprendizaje se configura como un proceso que contempla una secuencia que va desde el diseño, el análisis de herramientas disponibles, la definición de criterios, la reflexión, y a su vez su producción, aplicación y evaluación. La definición más aceptada, desde el contexto de los recursos digitales, establece que el diseño debe contemplar objetivos como: la reutilización, de ahí la posibilidad que brinda para construir unidades más complejas en diferentes contextos; la interoperabilidad, la durabilidad (objetos que no requieren de actualizaciones periódicas) y la accesibilidad (fácilmente identificados y encontrados, bien clasificados por categorías, lo que obliga a almacenarlos en metadatos asociados a él).

Todo lo anterior puede ser válido en el entorno de la web 1.0; sin embargo, en el contexto de los nuevos ambientes virtuales de aprendizaje, el concepto de OA adquiere un nuevo significado o, para ser más precisos, incluye un nuevo componente: la interactividad. Por tanto un OA debe diseñarse a partir de criterios como atemporalidad didáctica, reutilización, interacción y accesibilidad. No en vano, para el caso de las matemáticas, el proyecto ''Definición y selección de competencias clave'', impulsado por la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico (OCDE), clasifica las destrezas matemáticas como herramientas interactivas, necesarias para resolver múltiples tareas en diversas situaciones; desde esta taxonomía, los OA de la web 1.0 no serían compatibles con estas destrezas, si bien se constituyen en recursos valiosos para los procesos de enseñanza-aprendizaje, ya que no permiten interacción alguna y por tanto podemos considerar que no son más que objetos de información.

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Al arrastrar el punto interactúas con la gráfica y, en consecuencia, con el texto que muestra el valor de una función llamada f'(x) en la x donde tienes el punto.

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Esto requiere de realizar aproximaciones cada vez más parecidas a lo que se quiere calcular, mediante construcciones que podamos manejar, lo cual lleva a considerar no uno sino muchos cálculos, y además algo más complejo que es la obtención de un valor límite, aquel al que se acercan cada vez más los valores aproximados.

Por ejemplo, el área de la figura con frontera curva ilustrada arriba puede aproximarse mediante el área de polígonos de N lados. El área de la figura será el límite de las áreas de esos polígonos. Análogamente, la velocidad en el tiempo t del cuerpo cuya gráfica de movimiento se ilustra arriba, se calcula como el límite de las velocidades medias entre los tiempos t y t+h, cuando h tiende a cero.

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Descubre los personajes

Si deseas saber algo más de los personajes de la página anterior, resuelve el puzle

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En el siguiente ejercicio interactivo podrás verificar tu ubicación espacial en el plano cartesiano, determinando la posición de un punto dadas unas coordenadas.

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En la siguiente página practicarás con un ejemplo. Para ello, debes cambiar los valores de las coordenadas de los punto P y Q y observar los cambios en la distancia.

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A partir del triángulo rectángulo del ejemplo, es sencillo demostrar la fórmula (1). Analiza la demostración que se da a continuación:

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1.3 Coordenadas del punto medio

En este apartado veremos como se encuentra las coordenadas del punto medio de un segmento conocidos sus extremos.

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1.4 La pendiente de la recta

La pendiente de una recta la podemos calcular según la información que tengamos de ella, por ejemplo, si conocemos su ángulo de inclinación, la pendiente se calcula como se explica a continuación.

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Existen diferentes formas de representar a un intervalo de forma escrita, las cuales tienen su equivalente gráfico. Cuando ponemos un corchete ], queremos indicar que el intervalo incluye al valor que se encuentra en el extremo. Otra forma de escribir esto es usando el símbolo ≥, que en palabras significa mayor o igual que. Por otro lado, si usamos un paréntesis ), queremos decir que el número que se encuentra en el extremo del intervalo se encuentra fuera del intervalo. Esto lo podemos representar con el símbolo >.

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Intervalo abierto

Intervalo semiabierto o semicerrado

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1.7 Inecuaciones de primer grado

Observa, paso a paso, cómo se resuelve la inecuación en el siguiente interactivo:

La noción de intervalo y la solución de inecuaciones, nos servirán para hallar el dominio y rango de una función, pero, antes de ello, estudiemos el concepto de función.

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Una forma de saber si la gráfica representa a una función, es trazando una línea recta vertical en cada valor de x. Si cada recta vertical toca una sola vez a la gráfica, entonces esa gráfica representa una función, en caso contrario, la gráfica no representa a una función. En la siguiente escena, arrastra el control gráfico, punto rojo, a la derecha y observa si la gráfica representa o no una función.

Al observar la gráfica, podemos ver de una forma simple, si representa a una función o no. Basta con trazar líneas rectas verticales (que sean paralelas al eje y). Si la línea corta a la gráfica una sola vez, para cualquier valor de x, entonces la gráfica representa a una función. Si la recta corta a la gráfica más de una vez, para algún valor de x, entonces la gráfica no representa a una función.

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Cuando conocemos la regla de correspondencia que determina a una función, conocemos la manera en que podemos calcular el valor de la ordenada, la cual es la variable dependiente, para cada valor de la abscisa, la variable independiente. Para poder calcular el valor de la ordenada, se debe sustituir el valor de la abscisa en la regla de correspondencia sustituyendo cada x que aparezca en dicha regla por el valor que tenemos de la abscisa. Al realizar todas las operaciones se obtendrá el valor de la ordenada. En la siguiente escena, aparece la regla de correspondencia de una función junto con botones en los que aparecen distintos valores para la abscisa. Oprime estos botones para obtener los correspondientes valores de las ordenadas.

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1.9 Funciones crecientes y decrecientes

Si observas las gráficas de las funciones, te darás cuenta que algunas crecen y/o decrecen a medida que avanzan a lo largo del eje x. Estas variaciones ocurren en los valores que toma la función; es decir, en el cambio de las ordenadas. En esta sesión, aprenderás cuándo una función crece o decrece. Puedes practicar con los ejemplos y los ejercicios que hemos preparado par ti. También puedes observar el video, las veces que desees, hasta que logres el objetivo de esta sesión.

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A continuación tendrás cinco ejercicios para verificar lo aprendido, en cada uno de ellos identifica los intervalos donde la función dada sea creciente. Elige la respuesta correcta.

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Cuando una función no es continua se dice que presenta alguna discontinuidad. Hay varias razones por las que una función no es continua en un punto: Hay un "agujero" en la gráfica, bien porque la función no está definida en el punto, bien porque su valor queda separado del resto; presenta un salto; o el valor de la función crece (o decrece) indefinidamente cuando nos acercamos al punto.

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1.11 Dominio y rango de una función

Se llama dominio de una función f al conjunto de valores que toma la variable independiente, x. Se indica como D. El dominio está formado, por tanto, por los valores de x para los que existe la función, es decir, para los que hay un f(x).

El rango, recorrido o imagen es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente, y, esto es el conjunto de las imágenes. Se representa como R o I.

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Ejercicios

A continuación se presentan ejercicios, debes seleccionar la respuesta correcta para continuar con el siguiente ejercicio.

En general, para funciones del tipo el dominio serían todos los reales excepto los valores de la solución de la ecuación Q(x)=0. Veamos algunos ejemplos.

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En general, para encontrar el rango de una función f(x) debemos buscar los valores y para los cuáles existe x tal que y=f(x). En el caso que nos interesa, cuando f(x) es el cociente de dos polinomios, el problema se traduce en encontrar las yes para las cuales existe x. Si además suponemos que este cociente está reducido, que P(x) y Q(x) no comparten factores comunes, entonces el problema será equivalente a encontrar los valores de y para los cuales la ecuación yQ(x)-P(x)=0 tiene solución.

Como P(x) y Q(x) son lineales o cuadráticos, la ecuación yQ(x) - P(x) = 0 deberá ser lineal o cuadrática en x, lo que vuelve nuestro problema soluble. Pues, debido a las siguientes dos afirmaciones, podemos encontrar las condiciones que debe satisfacer y para que la ecuación yQ(x)-P(x)=0 tenga solcución.

* Ecuaciones lineales. Una ecuación lineal de la forma Bx + C=0 con B distinto de cero siempre tiene solución.

* Ecuaciones cuadráticas. Una ecuación cuadrática de la forma Ax²+Bx+C=0 con A distinto de cero, tiene solución, si y sólo si B²-4*A*C >= 0.

Cabe destacar que las condiciones B≠0, en la primera afirmación; y A≠0, en la segunda, son necesarias, pues de lo contrario la ecuación no sería lineal en el primer caso, o cuadrática en el segundo.

Veamos algunos ejemplos en la página siguiente.

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2. Límite de una función

El límite de una función es un concepto fundamental del análisis matemático aplicado a las funciones. En particular, el concepto aplica en análisis real al estudio de límites, continuidad y derivabilidad de las funciones reales. Intuitivamente, el hecho que una función f alcance un límite L en un punto c significa que, tomando puntos suficientemente próximos a c, el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee. La cercanía de los valores de f y L no depende del valor que adquiere f en dicho punto c.

Aunque implícita en el desarrollo del Cálculo de los siglos XVII y XVIII, la notación moderna del límite de una función se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo las bases de la técnica épsilon-delta. Sin embargo, su trabajo no fue conocido mientras él estuvo vivo. Cauchy expuso límites en su Cours d'analyse (1821) y parece haber expresado la esencia de la idea, pero no de una manera sistemática. La primera presentación rigurosa de la técnica hecha pública fue dada por Weierstrass en los 1850 y 1860 y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar con límites. La notación de escritura usando la abreviatura lim con la flecha debajo es debida a Hardy en su libro A Course of Pure Mathematics en 1908.

https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_de_una_funci%C3%B3n

Como un paso previo, haremos una incursión al concepto de límite desde las sucesiones. En las siguientes páginas definimos las sucesiones, sus tipos, algunos ejemplos y, finalmente, el concepto intuitivo de límite.

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El siguiente recuadro muestra ejemplos de sucesiones con sus definiciones y sus gráficas. Se puede mover el espacio arrastrándolo a la izquierda y a la derecha, también se puede cambiar la escala con el pulsador que está en la parte inferior derecha.

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Ejemplos

En la siguiente página, hemos incluido un interactivo de la profesora Consolación Ruiz. Puedes hacer todos los ejercicios que desees. Es importante que analices bien cuál es el método empleado para hallar el límite de la sucesión en cada caso.

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2.3 Límites unilaterales

En este apartado tendremos como objetivos: identificar el valor de límites unilaterales a partir de la observación de la gráfica de una función y, obtener el valor del límite a partir de la observación de la gráfica.

El límite de una función f(x) en un punto x₀ es el valor al que se acercan los valores de la función cuando la variable x se acerca a x₀. Las funciones no siempre tienen límite en cualquier punto. Inicialmente, observa con detenimiento el siguiente vídeo:

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Cuando el límite de una función en un punto x existe y es L, se escribe:

y se lee así: El límite de f cuando x tiende a x₀ es L. Cuando los límites laterales por la izquierda y la derecha existen, pero no son iguales, se dice que la función no tiene límite. Así mismo, si la función tiende a ± ∞ en un punto x₀, también se dice que no tiene límite; aunque en esos casos está permitido escribir:

Ejercicios

De acuerdo a lo explicado en el vídeo y en los ejemplos anteriores, realiza los jercicios de la siguiente página en la que aparecen las gráficas de unas funciones y un punto. En cada caso, deberás decidir si la función tiene límite en ese punto y cuáles son sus límites laterales.

En cada ejercicio responde si la función tiene límite o no y cuáles son los valores de los límites laterales, en estos últimos puede responder en la caja de texto o, en algunos casos, seleccionando la respuesta en el menú de la derecha.

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2.4 Cálculo de límites no indeterminados

Vamos a obtener el valor del límite de una función f(x) cuando x tiende a un número a y no presenta indeterminación.

Nota: Debido a que es más natural el concepto de continuidad que el concepto de límite, es conveniente estudiar primero las lecciones de continuidad y después las de límite. Si una función es continua en un número a, entonces el valor del límite de ella, cuando x tiende a a, es f(a); es decir,

La gran mayoría de las funciones que utilizamos cotidianamente son continuas en todos los números donde están definidas.
● Las funciones polinomiales, f(x)=c_nxⁿ + c_n-1x^n-1 + ... + c₁x + c₀, son continuas en todos los reales.
● Las funciones racionales, es decir, los cocientes de funciones polinomiales

son continuas en todos los números a para los cuales g(a)≠0.
● Las funciones trigonométricas, seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante, son continuas en todos los números donde están definidas.

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En el siguiente vídeo podrás observar cómo se aplican las operaciones con límites relacionadas en la página anterior:

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2.5 Cálculo de límites con indeterminación

En esta sesión aprenderás cómo evaluar límites con la indeterminación (0/0). Estudia las explicaciones, observa los ejemplos, practica con los ejercicios y repasa con el video.

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Vamos a obtener, por factorizacion, el valor del límite de un cociente de polinomios que dé lugar a una indeterminación del tipo (0/0). Como dijimos antes, es más natural el concepto de continuidad que el concepto de límite. Si una función es continua en un número a, entonces el valor del límite de ella, cuando x tiende a a, es f(a); es decir,

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Ejemplos

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Ahora, inténtalo con estos ejercicios.

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El procedimiento para calcular el primer límite es el siguiente:

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Algunos ejemplos de límites de funciones trigonométricas:

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2.7 Límites al infinito

El límite de una función f(x) al infinito es el número al que se acercan los valores de la función cuando la variable x tiende a +∞ o a -∞. Las funciones no siempre tienen límite al infinito.

Explora los distintos ejemplos que se dan en el interactivo para formarte una idea intuitiva de los diferentes tipos de límites al infinito:

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Los límites, cuando x → ∞, se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir, siempre y cuando no se presente una indeterminación, así, por ejemplo:

Cuando se presenta alguna indeterminación, hay que reescribir la función para eliminar dicha indeterminación. Esto se verá en un apartado posterior.

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Ejercicios

Para cada función responde si tiene límite en -∞ o en +∞. Si tiene límite, escríbelo y si no, elige la opción correcta entre: tiende a -∞, tiende a +∞ o no tiende a nada.

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Cuando se presenta alguna indeterminación, hay que reescribir la función para eliminar dicha indeterminación. En el caso del vídeo lo hicimos dividiendo todos los términos por la x de mayor exponente, recordando que en el radical se ingresa elevando al cuadrado la x seleccionada.

Ejercicios

En los siguientes ejercicios analiza el límite propuesto, resuélvelo y, finalmente, escribe el resultado en los dos campos de texto que se presentan.

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Ejercicios

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3. Derivada de funciones

Los problemas que llevaron al Cálculo

Durante el siglo XVII el interés primordial de los científicos de la época se centró en el estudio del movimiento, el movimiento de los objetos en la superficie de la Tierra o cerca de ella y el movimiento de los cuerpos celestes. Naturalmente, en este estudio, era de vital importancia determinar la rapidez y la aceleración de los cuerpos en movimiento, así como la dirección en que se está moviendo un objeto en cualquier punto de su trayectoria. Los movimientos de los objetos no son en línea recta y su rapidez es variable, por lo que la dirección en que se está moviendo un objeto en cualquier punto de su trayectoria es variable de un momento a otro. Entonces su determinación presenta una nueva clase de dificultad. Estos son dos de los problemas que dieron lugar a los procedimientos del Cálculo.

En matemática, la derivada de una función mide la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada

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3.1 Sobre hombros de gigantes

A mediados del siglo XVII dos grandes científicos sientan las bases del Cálculo diferencial, Newton y Leibnitz. Como introducción a este último capítulo, te invitamos a que observes el siguiente vídeo, que hace parte de la serie Universo matemático, titulado "Sobre hombros de gigantes"

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Cambio, razón de cambio y razón de cambio instantánea

Conforme un objeto se mueve transcurre el tiempo, que representamos con t. Cuando un objeto se mueve en línea recta, su velocidad promedio es el cociente (y₁-y₀)/(t₁-t₀) donde y₁, y₀ son las posiciones en los momentos t₁, t₀ respectivamente. Cabe aclarar que estos momentos son instantes y no intervalos de tiempo. Como a cada tiempo corresponde una posición, podemos hacer una gráfica de posición contra tiempo. Observa, eligiendo un ejemplo y pulsando el botón de animar, el movimiento del punto rojo y la gráfica que genera.

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Ejemplos

Observa y analiza los siguientes ejemplos de rapidez o velocidad promedio. Haz clic en los botones inferiores, siempre se presentará un ejemplo diferente

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En los ejemplos de la sección anterior consideramos el cambio en la posición de un punto sobre la gráfica con respecto al tiempo. Pero no todos los fenómenos estudiados tienen que ver con el tiempo. En general, tomemos los puntos x₀ y x₁. La razón de cambio promedio de y=f(x) es

si h = x₁ - x₀, es decir, la pendiente de la recta secante a la gráfica de la función y=f(x)por los puntos x₀ y x₁.

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La razón de cambio promedio se calcula en un intervalo, ya sea de tiempo [t₀, t₁], o en general en el intervalo [x₀, x₁], si x₀ < x₁, y si x₁ < x₀, en [x₁, x₀].

es una razón de cambio instantánea, es decir, en el instante x₀, y es la pendiente de la recta tangente a la gráfica en x₀. Si estamos considerando un intervalo de tiempo, esta razón de cambio instantánea es la velocidad instantánea de un objeto cuya trayectoria es la gráfica de f(x).

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Ejemplos

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3.3 La notación de la derivada

La derivada de una función en un punto x indica qué tanto está cambiando la función en ese punto; así, por ejemplo, si la función indica la posición de un móvil en una carretera recta, la derivada indica la velocidad del móvil, es decir, expresa cómo está cambiando la posición en ese momento. Geométricamente, si representamos a la función f mediante su gráfica en un plano, su derivada en un punto x es la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto (x, f(x)), y ésta indica qué tanto está creciendo o decreciendo la función en ese punto. En el plano del interactivo, arrastra el punto sobre la gráfica y observa el comportamiento de la recta tangente.

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Ejercicios

A continuación se muestra una función para derivar.
- Primero selecciona la fórmula que se debe emplear para resolverlo.
- Después escribe el resultado obtenido después de derivarlo.

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3.5 Fórmulas para funciones trigonométricas

Vamos a obtener por fórmula la derivada de funciones del tipo:

f(x) = sen x      f(x) = cot x
f(x) = cos x      f(x) = sec x
f(x) = tan x      f(x) = csc x

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Ejemplos

Selecciona la derivada que quieras practicar y presiona el botón Continuar para ver el procedimiento.

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3.6 Fórmulas para funciones trascendentes

Vamos a obtener obtener por fórmula, la derivada de alguna de las siguientes funciones:
f(x)= ln x      f(x) = e^x
f(x)= log_ax      f(x)= a^x

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Ejemplos

Selecciona la fórmula que deseas observar en el ejemplo y después presiona el botón Continuar para ver el procedimiento de ésta.

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3.7 Derivada de una suma o resta de funciones

La derivada de la suma de dos funciones es la suma de sus derivadas, y análogamente, la derivada de la diferencia de dos funciones es la diferencia de sus derivadas:

(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x) (regla de la suma)

(f-g)'(x) = f'(x) - g'(x) (regla de la diferencia)

de modo que, para derivar una función que es suma (o diferencia) de dos funciones, basta obtener la derivada de cada una de las funciones y después sumar (o restar) las funciones obtenidas.

A continuación se muestra un polinomio con su derivada. Presiona el botón para ver otros ejemplos.

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3.8 Derivada de un producto de funciones

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Refuerzo interactivo

Utiliza el siguiente cuadro interactivo para repasar la fórmula de la derivada de un producto de funciones. Arrastra y suelta las expresiones faltantes en el lugar correcto.

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Ejercicios

Resuelve los siguientes ejercicios. Si deseas ver cómo se resuelve el ejercicio, pulsa el botón Ver solución.

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Ejercicios

Resuelve los siguientes ejercicios de opción multiple. Pulsa Verificar cuando hayas elegido tu opción.

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En la siguiente escena puedes observar geométricamente el significado de la composición. Mueve el punto x en la primera gráfica, la flecha roja muestra el valor g(x), en la segunda gráfica se evalúa h en u = g(x) y en la tercera gráfica ese valor, h(u) = h(g(x)) se asocia con x. Con los pulsadores puedes cambiar las funciones g y h.

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Ejercicios

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Ejercicios con diferentes tipos de funciones

Los siguientes ejercicios fueron diseñados por Miguel Ángel Cabezón Ochoa. Selecciona el tipo de derivada a practicar, haciendo clic en una de las opciones de la columna izquierda. La útima opción muestra tipos de funciones aleatoriamente.

Tienes a disposición una gran infinidad de ejercicios. Te sugerimos realizarlos en tu cuaderno y verificarlos con la solución del interactivo

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En la página anterior se muestran las gráficas de dos funciones y un punto que se mueve sobre cada una de ellas. Conforme el punto se mueve, en cada gráfica inferior se muestra el valor de la pendiente instantánea de la función en ese punto. Es decir, las gráficas inferiores corresponden respectivamente a las derivadas de las gráficas superiores.

A continuación, se describen algunas caracteristicas importantes de la gráfica de la derivada de una función:

1. Si en todos los puntos de un intervalo, la inclinación de la gráfica de una funcion es a la derecha (o lo que es lo mismo, su pendiente es positiva), el valor correspondiente en la gráfica de su derivada será positivo. Conforme mayor sea la inclinación a la derecha en la gráfica original, mayor será el valor correspondiente en la gráfica de su derivada. Si una porción de una gráfica se encuentra inclinada a la derecha, se dice que dicha porción es creciente.

2. Si en todos los puntos de un intervalo, la inclinación de la gráfica de una funcion es a la izquierda (o lo que es lo mismo, su pendiente es negativa), el valor correspondiente en la gráfica de su derivada será negativo. Mientras más inclinada a la izquierda se encuentre la gráfica original en un intervalo, menor será el valor correspondiente en la gráfica de su derivada en ese intervalo. Si una porción de una gráfica se encuentra inclinada a la izquierda, se dice que dicha porción es decreciente.

3. Si para todos los puntos para un intervalo, la gráfica de una funcion es horizontal, el valor correspondiente en la gráfica de su derivada será cero.

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Cuando se quiere identificar la gráfica de f'(x) a partir de f(x) es útil encontrar los puntos en que cambia f(x) de creciente a decreciente o viceversa. Esos puntos son máximos y mínimos respectivamente en f(x) y corresponden a las raíces de f'(x). Ahora vamos a tomar el camino al revés (ir de f'(x) a f(x)), al localizar raíces en f'(x) encontramos los máximos o mínimos en f(x). Más aún, si f'(x) cruza las abscisas de forma ascendente, podemos deducir que se trata de un mínimo en f(x), mientras que si lo cruza de forma descendente, se trata de un máximo en f(x). Observa los interactivos de la siguiente página. Mueve los puntos en las gráficas superiores (f'(x) y g'(x)) y observa la gráfica inferior.

En los dos planos superiores se muestran las gráficas de las funciones derivadas y en los dos planos inferiores, se muestran respectivamente las gráficas de sus funciones originales. En resumen:
1. Las raíces de las funciones derivadas, que son los valores de x para los que éstas se hacen cero, corresponden a los máximos y mínimos de las funciones originales.
2. Los valores de x que corresponden a máximos locales de las funciones derivadas corresponden a puntos en la gráfica original dónde ésta cambia de ser cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo. De igual forma, los mínimos en la gráfica de las funciones derivadas, corresponden a puntos en la gráfica original dónde ésta pasa de ser cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba. Estos puntos se les conoce como puntos de inflexión y en ellos la segunda derivada es cero. Esto es, si se derivara la función original dos veces y se sustituyera uno de estos puntos en ella, el resultado sería cero.

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Ejemplos

A continuación, se muestran otros ejemplos tanto con funciones algebraicas como trascendentes.

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3.12 Derivadas sucesivas

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Ejercicios

Para cada función planteada, calcula la derivada correspondiente.

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En el siguiente cuadro interactivo mueve el punto rojo y observa la derivada de f en cada punto x (la pendiente de la recta dibujada). Pon especial atención en los casos en que x corresponde a un máximo o a un mínimo relativo.

Los valores de x en donde f'(x) = 0 o f'(x) no está definida son llamados valores críticos. Al punto de la gráfica (x,f(x)) asociado a cada valor crítico se le llama punto crítico. En el cuadro interactivo anterior se pueden notar dos cosas:

- Los máximos y mínimos relativos son puntos críticos.
- No todos los puntos críticos son máximos o mínimos relativos.

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Ejemplos

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Podemos ahora abordar cuándo crece o decrece la derivada de una función. Esto es, cuándo la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función es creciente o decreciente al recorrer la gráfica de izquierda a derecha. Mueve el punto rojo de izquierda a derecha y determina si la pendiente de la recta tangente a la gráfica crece o decrece. Verifica tu respuesta y presiona Siguiente.

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Ejercicios

Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios.

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Teorema de Rolle

Supongamos que una función f(x) cumple las dos hipótesis de los dos teoremas mencionados, es decir, f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b] de R y derivable en el correspondiente intervalo abierto (a, b). Imaginemos que, además, los valores de f(x) en los extremos coinciden, es decir, f(a)=f(b).

Según el teorema de Weierstrass, f(x) alcanza un máximo y un mínimo en [a, b]. Hay dos posibilidades:

Si alcanza los dos extremos en a o en b, por ser f(a)=f(b), ambos extremos son iguales y la función es constante en [a, b], por lo que su derivada se anula en todos los puntos del intervalo cerrado [a, b].

Si alcanza alguno de los dos extremos en el intervalo abierto (a, b), en virtud del teorema de la anulación de la derivada en un extremo, la derivada de la función se anula en ese punto del intervalo abierto.

En cualquier caso, podemos asegurar que la derivada de f(x) se anula al menos en un punto c del intervalo abierto (a, b). Esa es la tesis del teorema de Rolle y los razonamientos expuestos son las ideas fundamentales de una demostración del teorema basada en los dos teoremas citados en la página anterior. En la siguiente gráfica observa que:

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Teorema del Valor Medio o de Lagrange

El teorema dice que dada cualquier función f continua en el intervalo [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b), entonces existe al menos algún punto c en el intervalo (a, b) tal que la tangente a la curva en c es paralela a la recta secante que une los puntos (b, f(b)) y (a, f(a)). Es decir:

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3.15 Ecuación de la recta tangente en un punto

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Ejemplos

Analiza los siguientes ejemplos. Haz clic en el botón Siguiente para otro ejemplo diferente.

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3.16 Derivación implícita

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Ecuaciones como la de Descartes se denominan ecuaciones paramétricas, puesto que es posible cambiar los valores de los coeficientes o exponentes (parámetros), dando origen a diversas curvas llamadas paramétricas. En el siguiente interactivo podrás observar algunas de estas relaciones y la curvas que se obtienen al variar los parámetros a, b, c y giros.

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3.17 Aplicaciones de la derivada

Las aplicaciones de la derivada son muchas y en varias áreas del conocimiento. En ingeniería sismoresistente, por ejemplo, la ecuación que gobierna el movimiento horizontal de una edificación es: F = m · ü, donde u es el desplazamiento horizontal de la edificación y ü la aceleración, es decir, ü = d²u/dx² o, si se prefiere u''; esta ecuación es la segunda ley de Newton que, en términos matemáticos, es una ecuación diferencial, no en vano Einstein afirmaba que el mayor aporte que se obtuvo de las derivadas fue la posibilidad de formular diversos problemas de la física mediante ecuaciones diferenciales. La notación para la segunda derivada (ü) fue utilizada por Newton.

En otros casos se aplica la derivada para medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación, por ello, se constituye en una herramienta de cálculo fundamental para Ingenieros, Físicos, Químicos, Biólogos, Economistas, Sociólogos y un gran etcétera.

En este apartado no resolveremos problemas de estas disciplinas, pues se requiere avanzar en otros estudios avanzados para ello. En el caso del cálculo de la deriva de un edificio, la aparente expresión simple de Newton demanda cálculos complejos que no están al alcance de este libro. No obstante, presentamos dos aplicaciones relacionadas con el movimiento estudiado en un curso de física básica.

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Ejercicios   

En el siguiente interactivo puedes realizar todos los ejercicios que desees.

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Ejemplos

Observa y analiza los siguientes ejemplos.

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Evaluación final   

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    Autores

Este libro digital interactivo se realizó gracias a los aportes de profesores dedicados a la producción de contenidos digitales. De las facultades de Ciencias y de Matemáticas de la Universidad Autónoma de México (UNAM), 13 profesores diseñaron gran parte de los interactivos de la obra. Por otra parte, cuatro profesores españoles y uno colombiano completan el grupo de autores.

José Luis Abreu León
José Román Galo Sánchez
Juan Guillermo Rivera Berrío
Héctor de Jesús Argueta Villamar
María Juana Linares Altamirano
Zinnya de Villar Islas
Alberto Bravo García
Fernando René Martínez Ortíz
Carlos Hernández Garciadiego
Norma Patricia Apodaca Álvarez
Valentina Muñoz Porras
Consolación Ruiz Gil
Miguel Ángel Cabezón Ochoa
Octavio Fonseca Ramos
Carlos Alberto Serrato Hernández
María de Lourdes Velasco Arregui
Alejandro Radillo Díaz
Jesús Ángel Sánchez García