LIBRO DIGITAL INTERACTIVO

LOS NÚMEROS ENTEROS

PARTE II

Autor de escenas: Eduardo Barbero Corral
Diseño del libro: Juan Guillermo Rivera Berrío

2016

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1. Introducción

En esta segunda parte de los números enteros se da un repaso de las nociones básicas y se practican con ellos las operaciones multiplicación, división y potencias. Es conveniente que los alumnos ya hayan estudiado los números enteros en la clase tradicional.

Este libro digital interactivo puede servir como repaso para afianzar mejor los conceptos y la realización de operaciones con estos números.

Los números que aparecen en cada escena se generan al azar, lo que permite utilizarla indefinidamente, y sacar de cada una de ellas innumerables actividades diferentes. Además, son números frecuentemente de una sola cifra cuyos cálculos se hacen mentalmente con facilidad.

En las actividades se utilizan cuadrados mágicos aditivos y multiplicativos, pero siempre hay que tener en cuenta que el objetivo es aprender a manejar los números enteros, no se trata de aprender cosas sobre cuadrados mágicos.

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1. La multiplicación de números enteros

Con números naturales sabemos que la multiplicación es una suma reiterada, sumamos el primer número consigo mismo de forma que interviene de sumando tantas veces como indica el segundo número. Pero con los números enteros también tenemos que considerar el signo. Multiplicar un número por un número negativo es sumar reiteradamente el opuesto del primer número. En la siguiente actividad, practica modificando los valores del primer y segundo factor incluso dando valores negativos entre +9 y -9. Descubrirás que el signo del producto cumple con una norma, llamada "Ley de los signos", que resumiremos en la siguiente página.

Segundo factor

Primer factor

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2. Ley de los signos

Si analizaste bien los resultados en la actividad anterior, pudiste concluir: el producto de dos números con el mismo signo es un número positivo y, además, que el producto de dos números con distinto signo es un número negativo. Esta conclusión es conocida como la Ley de los signos, tal como se aprecia en la siguiente imagen

Haz clic sobre la imagen para observar una simpática forma de aprender esta norma

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Aplicando la ley de los signos

Escribe el resultado de cada una de las siguientes multiplicaciones, sucesivamente de arriba a abajo. Tras marcar un número debes pulsar intro.

Cuando masques el número correcto aparecerá en la escena. Si no es correcto no aparecerá.

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Aplicando la ley de los signos

Los números de abajo son los resultados de estas multiplicaciones. Arrástralos a su puesto.

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3. Propiedades de la multiplicación de enteros

La multiplicación de enteros cumple con las propiedades que se enuncian en la escena interactiva de abajo.

Haz clic en el botón para que observes otras propiedades

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Ejercicios sobre las propiedades

Desde los círculos puedes mover los nombres de las propiedades y las expresiones numéricas que son ejemplo de ellas. Coloca en la misma línea lo referente a la misma propiedad.

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Observa algunos ejemplos de la propiedad distributiva

En los siguientes ejercicios, debes multiplicar el factor fuera del paréntesis por cada uno de los sumandos, lo escribes en el cuadro de texto y pulsas intro. Si marcas el número correcto aparecerá en la escena, si no es el correcto, no aparecerá.

Marca el número que siga y pulsa intro

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4. Cuadrados mágicos multiplicativos

Multiplica cada número del cuadrado mágico por el número que está afuera.

Los resultados que faltan en la derecha son los números de abajo, arrástralos a las casillas vacías correspondientes.

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Multiplicando cuadrados mágicos por un entero

En estos cuadrados mágicos se cumplen con la multiplicación en vez de la suma. El producto de los números de cada una de sus líneas horizontales, verticales y diagonales es el mismo.

Multiplica los números de las casillas correspondientes de los cuadrados mágicos multiplicativos. Los resultados son los números de abajo, arrástralos a las casillas correspondientes. Obtendrás otro cuadrado mágico multiplicativo.

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Cuadrados mágicos multiplicativos con fórmulas

Sustituye las letras por los valores indicados. Los resultados que faltan son los números de abajo, colócalos en las casillas correspondientes. Obtendrás un cuadrado mágico multiplicativo de números enteros.

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Cuadrado mágico multiplicativo de 4x4

Completa este cuadrado mágico, también aportan el mismo producto los cuatro números del centro, los cuatro números de los vértices del cuadrado, y cada uno de los grupos de cuatro números que están en vértices de rectángulos concéntricos paralelos al cuadrado.

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5. La división de números enteros

En la división de números enteros se cumple la misma norma de signos que en la multiplicación.

La división no es una operación interna en el conjunto de los números enteros. Es decir, al dividir dos números enteros puede ser que no resulte otro número entero.

¡Nunca se puede dividir por el número 0!

No obstante, en los ejercicios que aparecen en las siguientes páginas, tendrás siempre divisiones posibles y que dan de resultado números enteros.

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Ejercicios de división de números enteros

Distribuye los números de abajo para que se cumplan estas divisiones.

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Ejercicios de división de números enteros

En el cuadro de texto escribe el resultado de cada operación, sucesivamente de arriba a abajo. Tras marcar un número debes pulsar intro. Cuando marques el número correcto aparecerá en la escena. Si no es correcto no aparecerá.

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Ejercicios de división de números enteros

Divide cada número del cuadrado mágico de la izquierda por el número de fuera. Los resultados que faltan son los números de abajo, arrástralo a las casillas vacías correspondientes. Obtendrás otro cuadrado mágico de números enteros.

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Ejercicios de división de números enteros

Cada número del cuadrado mágico multiplicativo de la izquierda divídelo por el número de fuera. Los resultados son los números de abajo, colócalos en las casillas correspondientes de la derecha. Obtendrás otro cuadrado mágico multiplicativo.

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6. La potenciación de números enteros

La potenciación es una multiplicación reiterada, multiplicamos el número base consigo mismo, de forma que interviene de factor tantas veces como indica el exponente. En la escena interactiva puedes variar los números base y exponente y así comprobar el signo de la potencia resultante.

- ¿Qué signo tiene la potencia cuando la base es un número positivo?
- ¿Qué signo tiene la potencia cuando la base es un número negativo y el exponente es un número par?
- ¿Qué signo tiene la potencia cuando la base es un número negativo y el exponente es un número impar?

exponente

Base

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Ejercicios de potenciación de números enteros

En los cuadros de texto escribe el resultado de cada potencia sucesivamente de arriba a abajo. Tras marcar un número pulsa intro. Si tu respuesta es correcta aparecerá el resultado en la escena junto con su proceso de obtención, pero si marcas un número incorrecto no aparecerá.

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Ejercicios de potenciación de números enteros

Los números de abajo son los resultados de estas potencias, arrastra cada uno a su puesto.

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Ejercicios de potenciación de números enteros

Eleva al cuadrado o al cubo, según te indique cada número de este cuadrado mágico multiplicativo. Los resultados son los números de abajo, arrástralos cada uno a su casilla correspondiente, habrás obtenido otro cuadrado mágico multiplicativo.

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7. Operaciones combinadas

Es una expresión formada por números en operaciones diversas y agrupados mediante paréntesis, corchetes y llaves. Para resolver operaciones combinadas debemos dominar todo lo estudiado anteriormente.
- La misión de los paréntesis es la de unir aquello a lo que afectan.
- Los signos de multiplicar unen más que los de sumar y restar, es decir, cuando dos números están unidos por el signo de multiplicar forman un bloque inseparable, mientras que si los une un signo de sumar o restar están más sueltos.
- Debemos conocer las propiedades de las operaciones para no hacer algo que sea incorrecto.
- Para poder sumar o restar dos números deben estar sueltos, no podemos sumar dos números si uno de ellos está unido por el otro lado a otra expresión mediante un signo de multiplicar.
- Las operaciones combinadas se resuelven en varios pasos, todo lo que no se resuelva en un paso se debe copiar otra vez tal como estaba, sin olvidarlo ni cambiarlo de posición.
- Por eso, antes de comenzar a resolver operaciones combinadas debemos observar la expresión y plantearnos una estrategia a seguir, lo que vamos a hacer antes y después.
- Como norma general es aconsejable comenzar resolviendo lo del interior de paréntesis, seguir luego con las multiplicaciones y terminar realizando las sumas que queden.

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7. Operaciones combinadas

En esta última actividad debes escribir el número que sigue al resolver la expresión. Cuando el número marcado sea el correcto aparecerá en la escena, si no es el correcto no aparecerá. Debes hacerlo sucesivamente, paso a paso, para ello debes borrar el número anterior. No se trata de que halles directamente el resultado final.

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