Tabla de integrales básicas

Formas básicas


∫ xn dx =
1
n+1
xn+1 , n ≠ -1     (1)
∫
1
x
dx = ln |x|     (2)
∫ u dv = uv - ∫ v du     (3)
∫
1
ax+b
dx =
1
a
ln |ax + b|     (4)

Integrales de funciones racionales


∫
1
(x+a)2
dx = -
1
x+a
    (5)
∫ (x+a)n dx =
(x+a)n+1
n+1
, n≠-1     (6)
∫ x(x+a)n dx =
(x+a)n+1 ( (n+1)x-a)
(n+1)(n+2)
    (7)
∫
1
1+x2
dx = tan-1 x     (8)
∫
1
a2+x2
dx =
1
a
tan-1
x
a
    (9)
∫
x
a2+x2
dx =
1
2
ln|a2+x2|     (10)
∫
x2
a2+x2
dx = x-a tan-1
x
a
    (11)
∫
x3
a2+x2
dx =
1
2
x2-
1
2
a2ln|a2+x2|     (12)
∫
1
ax2+bx+c
dx =
2
√ 4ac - b2
 
tan-1
2ax+b
√ 4ac - b2
 
    (13)
∫
1
(x+a)(x+b)
dx =
1
b-a
ln
a+x
b+x
, a ≠ b     (14)
∫
x
(x+a)2
dx =
a
a+x
+ ln |a+x|     (15)
∫
x
ax2+bx+c
dx =
1
2a
ln|ax2+bx+c| -
b
a
√4ac - b2
 
tan-1
2ax+b
√4ac - b2
 
    (16)

Integrales con raíces


∫
√x - a
  dx =
2
3
(x-a)3/2     (17)
∫
1
√ x ± a
 
dx = 2
√ x ± a
      (18)
∫
1
√ a - x
 
dx = -2
√ a - x
      (19)
∫ x
√x - a
  dx =
(2 a)/(3) (x-a)3/2 +(2 )/(5)( x-a)5/2
    (20)
∫
√ax + b
  dx = (  
2b
3a
+
2x
3
 
)√ax + b
      (21)
∫ (ax+b)3/2 dx =
2
5a
(ax+b)5/2     (22)
∫
x
√x ± a
 
dx =
2
3
(x-+ 2a)
√x ± a
      (23)
∫
x
√a - x
  dx = -
√x(a - x)
  -a tan-1
√x(a - x)
 
x-a
    (24)
∫
x
√a + x
  dx =
√x(a + x)
  -a ln [
√x
  +
√x + a]
        (25)
∫ x
√ax + b
  dx =
2
15a2
(-2b2 + abx + 3a2 x2)
√ax + b
      (26)
∫
√x(ax + b)
  dx =
1
4a3/2
  [(2ax + b)
√ax(ax + b)
  -b2 ln |   a
√x
  +
√a(ax + b)|]
        (27)
∫
√x3(ax + b)
  dx =[
b
12a
-
b2
8a2x
+
x
3
 
√x3(ax + b)
  +
b3
8a5/2
ln | a
√x
  +
√a(ax + b)
  |     (28)
∫
√x2 ± a2
  dx =
1
2
x
√x2 ± a2
  ±
1
2
a2 ln | x +
√x2 ± a2
  |     (29)
∫
√a2 - x2
  dx =
1
2
x
√a2 - x2
  +
1
2
a2tan-1
x
√a2 - x2
 
    (30)
∫ x
√x2 ± a2
  dx=
1
3
( x2 ± a2)   3/2     (31)
∫
1
√x2 ± a2
 
dx = ln | x +
√x2 ± a2
  |     (32)
∫
1
√a2 - x2
 
dx = sen-1
x
a
    (33)
∫
x
√x2 ± a2
 
dx =
√x2 ± a2
      (34)
∫
x
√a2 - x2
 
dx = -
√a2 - x2
      (35)
∫
x2
√x2 ± a2
 
dx =
1
2
x
√x2 ± a2
  -+
1
2
a2 ln   x +
√x2 ± a2
  |     (36)
∫
√ax2 + bx + c
  dx =
b + 2ax
4a
√ax2 + bx + c
  +
4ac-b2
8a3/2
ln |   2ax + b + 2
√a(ax2 + bx + c)
  |     (37)
∫
1
√ax2+ bx + c
 
dx=
1
√a
 
ln |   2ax+b + 2
√a(ax2+ bx +c)
  |     (38)
∫
x
√ax2+ bx + c
 
dx=
1
a
√ax2+ bx + c
  -
b
2a3/2
ln |   2ax+b + 2
√a(ax2+ bx + c)
  |     (39)
∫
dx
(a2+x2)3/2
=
x
a2
√a2 + x2
 
    (40)

Integrales con Logaritmos


∫ ln ax dx = x ln ax - x     (41)
∫ x ln x dx =
1
2
x2 ln x-
x2
4
    (42)
∫ x2 ln x dx =
1
3
x3 ln x-
x3
9
    (43)
∫ xn ln x dx = xn+1 (  
ln x
n + 1
-
1
(n + 1)2
 ) , n ≠ -1     (44)
∫
ln ax
x
dx =
1
2
(ln ax)2       (45)
∫
ln x
x2
dx = -
1
x
-
ln x
x
    (46)
∫ ln(ax + b)dx = (x +
b
a
)   ln(ax+b)- x, a ≠ 0     (47)
∫ ln( x2 + a2)dx = x ln(x2 + a2) +2a tan-1
x
a
- 2x     (48)
∫ ln( x2 - a2 )dx = x ln(x2 - a2) + a ln
x+a
x-a
- 2x     (49)
∫ ln( ax2 + bx + c)   dx =
1
a
√4ac - b2
 tan-1
2ax+b
√4ac - b2
 
− 2x + (  
b
2a
+ x ) ln (ax2+ bx + c)       (50)
∫ x ln(ax + b) dx =
bx
2a
-
1
4
x2 +
1
2
  x2-
b2
a2
  ln(ax + b)     (51)
∫ x ln( a2 - b2 x2 )dx = -
1
2
x2 +
1
2
  (x2 −
a2
b2
) ln(a2 -b2 x2)       (52)
∫ (ln x)2 dx = 2x - 2x ln x + x (ln x)2     (53)
∫ (ln x)3 dx = −6x + x(ln x)3−3x(ln x)2 + 6x ln x     (54)
∫ x (ln x)2 dx =
x2
4
+
1
2
x2 (ln x)2-
1
2
x2 ln x     (55)
∫ x2 (ln x)2 dx =
2x3
27
+
1
3
x3 (ln x)2-
2
9
x3 ln x     (56)

Integrales con Exponenciales


∫ eax dx =
1
a
eax     (57)
∫ x ex dx = (x-1) ex     (58)
∫ x eax dx =  
x
a
-
1
a2
  eax     (59)
∫ x2 ex dx =   x2 - 2x + 2   ex     (60)
∫ x2 eax dx =  
x2
a
-
2x
a2
+
2
a3
  eax     (61)
∫ x3 ex dx =   x3-3x2 + 6x - 6   ex     (62)
∫ xn eaxdx =
xneax
a
-
n
a
∫ xn-1 eax dx     (63)
∫ xe-ax2dx = -
1
2a
e-ax2     (64)

Integrales con Funciones Trigonométricas


∫ sen ax dx = -
1
a
cos ax     (65)
∫ sen2 ax dx =
x
2
-
sen 2ax
4a
    (66)
∫ sen3 ax dx = -
3cos ax
4a
+
cos 3ax
12a
    (67)
∫ cos ax dx=
1
a
sen ax     (68)
∫ cos2 ax dx =
x
2
+
sen 2ax
4a
    (69)
∫ cos3 ax dx =
3sen ax
4a
+
sen 3ax
12a
    (70)
∫ cos x sen x dx =
1
2
sen2 x + c1 = -
1
2
cos2x + c2 = -
1
4
cos 2x + c3     (71)
∫ cos ax sen bx dx =
cos[(a-b) x]
2(a-b)
-
cos[(a+b)x]
2(a+b)
, a ≠ b     (72)
∫ sen2 ax cos bx dx = -
sen[(2a-b)x]
4(2a-b)
+
sen bx
2b
-
sen[(2a+b)x]
4(2a+b)
    (73)
∫ sen2 x cos x dx =
1
3
sen3 x     (74)
∫ cos2 ax sen bx dx =
cos[(2a-b)x]
4(2a-b)
-
cos bx
2b
-
cos[(2a+b)x]
4(2a+b)
    (75)
∫ cos2 ax sen ax dx = -
1
3a
cos3ax     (76)
∫ sen2 ax cos2 bx dx =
x
4
-
sen 2ax
8a
-
sen[2(a-b)x]
16(a-b)
+
sen 2bx
8b
-
sen[2(a+b)x]
16(a+b)
    (77)
∫ sen2 ax cos2 ax dx =
x
8
-
sen 4ax
32a
    (78)
∫ tan ax dx = -
1
a
ln cos ax     (79)
∫ tan2 ax dx = -x +
1
a
tan ax     (80)
∫ tan3 ax dx =
1
a
ln cos ax +
1
2a
sec2 ax     (81)
∫ sec x dx = ln | sec x + tan x | = 2 tanh-1 (tan
x
2
  )     (82)
∫ sec2 ax dx =
1
a
tan ax     (83)
∫ sec3 x dx =
1
2
sec x tan x +
1
2
ln | sec x + tan x |     (84)
∫ sec x tan x dx = sec x     (85)
∫ sec2 x tan x dx =
1
2
sec2 x     (86)
∫ secn x tan x dx =
1
n
secn x , n ≠ 0     (87)
∫ csc x dx = ln | tan
x
2
  | = ln | csc x - cot x| + C     (88)
∫ csc2 ax dx = -
1
a
cot ax     (89)
∫ csc3 x dx = -
1
2
cot x csc x +
1
2
ln | csc x - cot x |     (90)
∫ cscnx cot x dx = -
1
n
cscn x, n ≠ 0     (91)
∫ sec x csc x dx = ln |tan x|     (92)

Productos de Funciones Trigonométricas y Monomios


∫ x cos x dx = cos x + x sin x     (93)
∫ x cos ax dx =
1
a2
cos ax +
x
a
sen ax     (94)
∫ x2 cos x dx = 2 xcos x + ( x2 - 2 ) sen x     (95)
∫ x2 cos ax dx =
2 x cos ax
a2
+
a2 x2 - 2
a3
sen ax     (96)
∫ xn cos x dx = -
1
2
(i)n+1 [ Γ(n+1, -ix) + (-1)n Γ(n+1, ix)]       (97)
∫ xn cos ax dx =
1
2
(ia)1-n [ (-1)n Γ(n+1, -iax) -Γ(n+1, ixa)]       (98)
∫ x sen x dx = -x cos x + sen x     (99)
∫ x sen ax dx = -
x cos ax
a
+
sen ax
a2
    (100)
∫ x2 sen x dx =   2-x2   cos x + 2 x sen x     (101)
∫ x2 sen ax dx =
2-a2x2
a3
cos ax +
2 x sen ax
a2
    (102)
∫ xn sen x dx = -
1
2
(i)n   Γ(n+1, -ix) - (-1)nΓ(n+1, -ix)       (103)
∫ x cos2 x dx =
x2
4
+
1
8
cos 2x +
1
4
x sen 2x     (104)
∫ x sen2 x dx =
x2
4
-
1
8
cos 2x -
1
4
x sen 2x     (105)
∫ x tan2 x dx = -
x2
2
+ ln cos x + x tan x     (106)
∫ x sec2 x dx = ln cos x + x tan x     (107)

Productos de Funciones Trigonométricas y Funciones Exponenciales


∫ ex sen x dx =
1
2
ex (sen x - cos x)     (108)
∫ ebx sen ax dx =
1
a2+b2
ebx (bsen ax - acos ax)     (109)
∫ ex cos x dx =
1
2
ex (sen x + cos x)     (111)
∫ ebx cos ax dx =
1
a2 + b2
ebx ( a sen ax + b cos ax )     (112)
∫ x ex sen x dx =
1
2
ex (cos x - x cos x + x sen x)     (113)
∫ x ex cos x dx =
1
2
ex (x cos x - sen x + x sen x)     (114)


Esta tabla fue diseñada a partir de la ofrecida en: http://integral-table.com/.