Bloques: Geometría, Álgebra, Trigonometría...

 

ENUNCIADO

Los tres puntos intersección de las trisectrices adyacentes de los ángulos de un triángulo cualquiera forman un triángulo equilátero.

COMPROBACIÓN:

Moviendo los puntos A, B y C del triángulo mayor, observamos que el de Morley, MNP, se mantiene equilátero. (puede que en ciertas situaciones, debido a problemas de redondeo y cálculo, la medida de los lados discrepe)

Consideraciones sobre la construcción del triángulo de Morley, MNP:

  1. Los puntos A, B y C, son libres, pueden moverse.
  2. Se ha calculado el circuncentro, K y dibujado la circunferencia circunscrita para, más adelante, estudiar ciertas propiedades y facilitar la demostración del teorema.
  3. Los puntos Q, R y S son los puntos medios de los lados a, b y c del triángulo ABC. El punto K es el Circuncentro del triángulo ABC y el punto I el Incentro.
  4. Las trisectrices de cada uno de los vértices son líneas isogonales respecto de los lados respectivos del triángulo.
  5. Consideramos que al vértice A le corresponde un ángulo  = 3 α y de forma análoga a los vértices B y C, los ángulos 3 β y 3 γ
  6. En el siguiente apartado se detallará el procedimiento para otener los vértices M, N y P del triángulo de Morley.

PROPUESTA DE TRABAJO

  1. Anotar las coordenadas de los puntos A, B y C.
  2. Deducir las ecuaciones de las rectas que contienen a los lados del triángulo ABC.
  3. Deducir las ecuaciones de las seis trisectrices.
  4. Hallar las intersecciones de las trisectrices adyacentes a cada vértice.
  5. Comprobar que las coordenadas de los puntos obtenidos en el apartado anterior coinciden con las de M, N y P.
  6. Hallar las distancias de M a N, de N a P y de P a M.
  7. Deducir las coordenadas del Incentro y del Circuncentro del triángulo ABC.
    8.

 

 

 

Ildefonso Fernández Trujillo

 

Proyecto Descartes. Año 2013

 

 

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