GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL PLANO
INTERACTIVO

María José García Cebrian

Red Educativa Digital Descartes, España

Fondo Editorial Pascual Bravo

Medellín

Tabla de contenido

Introducciónv

PARTE I: Vectores1

    1. Vectores fijos y vectores libres3

    2. Operaciones con vectores4

        2.1. Suma y producto por un escalar4

        2.2. Combinaciones lineales4

    3. Bases y coordenadas5

        3.1. Dependencia e independencia lineal5

        3.2. Base de vectores5

        3.3. Base canónica6

        3.4. Operaciones con vectores dados por sus coordenadas6

    4. Producto escalar7

        4.1. Módulo de un vector7

        4.2. Producto escalar de dos vectores7

        4.3. Interpretación geométrica del producto escalar8

        4.4. Ángulo de dos vectores8

    Ejercicios para practicar9

PARTE II: El plano afín11

    1. Sistema de referencia y puntos en el plano13

        1.1. Puntos alineados13

        1.2. Punto medio de un segmento14

    2. Rectas en el plano15

        2.1. Ecuación de la recta16

        2.2. Otras formas de la ecuación de la recta17

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Introducción

La Geometría analítica es la rama de la geometría que estudia ciertos objetos geométricos a partir de un sistema de coordenadas y empleando los métodos del álgebra y del análisis matemático.

Su invención se atribuye a René Descartes (1596-1650), ya que fue el primero en publicar el término en un apéndice al Discurso del método, si bien se sabe que Pierre de Fermat (1601-1665) conocía y utilizaba el método antes de su publicación por Descartes.

En el siguiente video¹ puedes ver una breve historis de la Geometría analítica.

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En la Parte III: El plano métrico, se aborda la resolución de distintos problemas métricos en el plano. El producto escalar nos va a permitir calcular ángulos y distancias en el plano. Se estudia, en primer lugar, la medida de ángulos entre dos rectas, Sigue el cálculo de distancias entre los distintos elementos del plano, desde un punto a otro punto, de un punto a una recta y entre dos rectas. Por último se resuelven algunos problemas típicos como la determinación del punto simétrico de otro respecto a una recta, o el cálculo de algunos lugares geométricos como la mediatriz o las bisectrices.

Al finalizar cada uno de estos apartados bajo el epígrafe "Para practicar más", se incluye una colección de ejercicios y problemas con el objeto de afianzar los conceptos aprendidos. Para terminar se presenta un cuestionario de autoevaluación que permite valorar al alumno los conocimientos adquiridos.

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parte i

Vectores

1. Vectores fijos y vectores libres

El conjunto IR² está formado por todos los pares ordenados de números reales (x, y). El primer elemento, x, es la primera componente del par; el segundo, y, es la segunda componente.

Dos elementos de IR² son iguales si lo son sus componentes. Entre los elementos de IR² podemos definir las siguientes operaciones:

• Suma:   (x₁, y₁) + (x₂, y₂) = (x₁+x₂, y₁+y₂)
• Producto por un escalar:   t·(x₁, y₁) = (t·x₁, t·y₁)

Un elemento de IR² se puede representar por un punto en la forma habitual mediante un sistema de coordenadas cartesianas, formado por dos ejes perpendiculares X, Y que se cortan en un punto O. Las rectas son los ejes coordenados y el punto O es el origen de coordenadas. Dado un punto P(x, y) la primera coordenada se representa sobre el eje X y la segunda sobre el eje Y.

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3. Bases y coordenadas

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4. Producto escalar

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Ejercicios para practicar

A continuación se presentan más ejercicios para practicar con vectores. Puedes elegir en el menú el tipo que prefieras para empezar. De todos ellos se ofrece la solución.

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parte ii

El plano afín

1. Sistema de referencia y puntos en el plano.

1.1. Puntos alineados

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2. Rectas en el plano

Una recta en el plano queda determinada por un punto P y un vector no nulo v, llamado vector direccional o director de la recta.
Los puntos X de la recta que pasa por P(x₀, y₀) y tiene por vector director v(v_x, v_y) cumplen la relación vectorial PX = tv con t∈IR, y como OX = OP + PX podemos escribir OX = OP + tv.

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2.2. Otras formas de la ecuación de la recta

La pendiente nos indica el crecimiento o decrecimiento de la recta. Si m>0, la recta es creciente, si m<0 la recta es decreciente y si m=0, la recta ni crece ni decrece, es paralela al eje OX.

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2.5. Haz de rectas

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Ejercicios para practicar

A continuación se presentan más ejercicios para practicar con rectas. Puedes elegir en el menú el tipo que prefieras para empezar. De todos ellos se ofrece la solución.

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parte iii

El plano métrico

1. Ángulo de dos rectas

Dos rectas secantes forman cuatro ángulos iguales dos a dos, siendo además los dos adyacentes suplementarios. Consideraremos que el ángulo formado por dos rectas es el menor de los que determinan y para calcularlo basta observar que coincide con el de sus vectores directores.

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2.3. Distancia entre dos rectas

La distancia entre dos rectas es la menor distancia que se puede obtener desde un punto de una a un punto de la otra. Si las rectas son secantes o coincidentes la distancia entre ellas es 0.

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4. Ejercicios resueltos

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Autoevaluación

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