Preguntas y problemas - Capítulo V

1. ¿Qué condiciones deben cumplirse para producir un MAS?

2. (a) Si la frecuencia no es constante para alguna oscilación, ¿puede la oscilación ser un MAS? (b) ¿Puedes pensar en algún ejemplo de movimiento armónico donde la frecuencia pueda depender de la amplitud?

3. Da un ejemplo de un oscilador armónico simple, observando específicamente cómo su frecuencia es independiente de la amplitud.

4. Explica por qué esperas que un objeto hecho de un material rígido vibre a una frecuencia más alta que un objeto similar hecho de un material más flexible.

5. Al pasar por un camión de carga con un remolque en una carretera, observa que su remolque rebota hacia arriba y hacia abajo lentamente. ¿Es más probable que el remolque esté muy cargado o casi vacío? Explica tu respuesta.

6. Algunas personas modifican los automóviles para que estén mucho más cerca del suelo que cuando se fabrican. ¿Deberían instalar resortes más rígidos? Explica tu respuesta.

5.2 Energía en movimiento armónico simple

7. Describe un sistema en el que se almacena la energía potencial elástica.

8. Explica en términos de energía cómo las fuerzas disipativas, como la fricción, reducen la amplitud de un oscilador armónico. También explica cómo puede compensar un mecanismo de conducción (Un reloj de péndulo es tal sistema).

9. La temperatura de la atmósfera oscila desde un máximo cerca del mediodía y un mínimo cerca del amanecer. ¿Considerarías que la atmósfera está en equilibrio estable o inestable?

5.3 Comparando el movimiento armónico simple y el movimiento circular

10. ¿Se puede llevar a cabo esta analogía de un MAS al movimiento circular con un objeto que oscila sobre un resorte colgado verticalmente del techo? ¿Por qué o por qué no? Si tuvieras la opción, ¿preferirías usar una función senoidal o una función coseno para modelar el movimiento?

11. Si se aumentara la velocidad máxima de la masa unida a un resorte, que oscila sobre una mesa sin fricción, ¿qué características del disco giratorio deberían cambiarse?

5.4 péndulos

12. Los relojes de péndulo están hechos para funcionar a la velocidad correcta ajustando la longitud del péndulo. Supongamos que te mueves de una ciudad a otra donde la aceleración debida a la gravedad es ligeramente mayor, llevando tu reloj de péndulo contigo, ¿tendrás que alargar o acortar el péndulo para mantener la hora correcta, otros factores permanecen constantes? Explica tu respuesta.

13. Un reloj de péndulo funciona midiendo el período de un péndulo. En la primavera, el reloj funciona a la perfección, pero en verano e invierno cambia la longitud del péndulo. Cuando la mayoría de los materiales se calientan, se expanden. ¿Funciona el reloj demasiado rápido o demasiado lento en el verano? ¿Qué pasa con el invierno?

14. Con el uso de un cambio de fase, la posición de un objeto se puede modelar como una función coseno o senoidal. Si se te da la opción, ¿qué función elegirías? Suponiendo que el cambio de fase es cero, ¿cuáles son las condiciones iniciales de la función; es decir, la posición inicial, la velocidad y la aceleración, cuando se usa una función senoidal? ¿Qué tal cuando se usa una función de coseno?

5.5 Oscilaciones amortiguadas

15. Da un ejemplo de un oscilador armónico amortiguado (son más comunes que los osciladores armónicos no amortiguados o simples).

16. ¿Cómo rebotaría un automóvil después de un golpe en cada una de estas condiciones?
(a) sobreamortiguado
(b) subamortiguado
(c) amortiguamiento crítico

17. La mayoría de los osciladores armónicos están amortiguados y, si no están controlados, finalmente se detienen. ¿Por qué?

5.6 Oscilaciones Forzadas

18. ¿Por qué en general se les ordena a los soldados que "pasen por la ruta" (salgan de un paso) a través de un puente?

19. ¿Crees que hay algún movimiento armónico en el mundo físico que no sea un movimiento armónico amortiguado? Trata de hacer una lista de cinco ejemplos de movimiento armónico no amortiguado y movimiento armónico amortiguado. ¿Qué lista fue más fácil de hacer?

20. Algunos ingenieros utilizan el sonido para diagnosticar problemas de rendimiento con los motores de los automóviles. Ocasionalmente, se diseña una parte del motor que resuena a la frecuencia del motor. Las oscilaciones no deseadas pueden causar un ruido que irrita al conductor o puede hacer que la pieza falle prematuramente. En un caso, se ubicó una parte que tenía una longitud L hecha de un material con una masa M. ¿Qué se puede hacer para corregir este problema?

Problemas

5.1 Movimiento armónico simple

21. Probar que usando x(t) = Asen(ωt + φ) producirá los mismos resultados para el período de las oscilaciones de una masa y un resorte. ¿Por qué crees que la función coseno es una opción?

22. ¿Cuál es el período de 60.0 Hz de potencia eléctrica?

23. Si tu ritmo cardíaco es de 150 latidos por minuto durante un ejercicio intenso, ¿cuál es el tiempo por latido en unidades de segundos?

24. Encuentra la frecuencia de un diapasón que lleva 2.50×10^-3 s para completar una oscilación.

25. Un estroboscopio está configurado para parpadear cada 8.00×10⁻⁵ s. ¿Cuál es la frecuencia de los flashes?

26. Un neumático tiene un dibujo de la banda de rodadura con una grieta cada 2,00 cm. Cada grieta hace una sola vibración cuando el neumático se mueve. ¿Cuál es la frecuencia de estas vibraciones si el automóvil se mueve a 30.0 m/s?

27. Cada pistón de un motor hace un sonido agudo cada dos revoluciones del motor. (a) ¿Qué tan rápido va un auto de carreras si su motor de ocho cilindros emite un sonido de frecuencia de 750 Hz, dado que el motor hace 2000 revoluciones por kilómetro? (b) ¿A cuántas revoluciones por minuto gira el motor?

28. Un tipo de reloj cucú mantiene el tiempo al hacer que una masa rebote en un resorte, generalmente algo lindo como un querubín en una silla. ¿Qué constante de fuerza se necesita para producir un período de 0.500 s para una masa de 0.0150 kg?

29. una masa m₀ se une a un resorte y se cuelga verticalmente. La masa se eleva una distancia corta en la dirección vertical y se libera. La masa oscila con una frecuencia f₀. Si la masa se reemplaza con una masa nueve veces mayor y se repite el experimento, ¿cuál sería la frecuencia de las oscilaciones en términos de f₀?

30. Una masa de 0.500 kg suspendida de un resorte oscila con un período de 1.50 s. ¿Cuánta masa se debe agregar al objeto para cambiar el período a 2.00 s?

31. ¿Cuánto margen de maniobra (tanto en porcentaje como en masa) tendría en la selección de la masa del objeto en el problema anterior si no desearas que el nuevo período fuera mayor que 2.01 s o menos que 1.99 s?

5.2 Energía en movimiento armónico simple

32. Los peces se cuelgan en una balanza para determinar su masa. (a) ¿Cuál es la fuerza constante del resorte en tal escala si el resorte se estira 8.00 cm para una carga de 10.0 kg? (b) ¿Cuál es la masa de un pez que estira el resorte 5,50 cm? (c) ¿Qué tan separadas están las marcas de medio kilogramo en la escala?

33. Es el tiempo de pesaje para el equipo local de rugby de menos de 85 kg. La báscula de baño utilizada para evaluar la elegibilidad puede ser descrita por la ley de Hooke y está deprimida 0.75 cm por su carga máxima de 120 kg. (a) ¿Cuál es la constante de fuerza efectiva del resorte? (b) Un jugador se para en la balanza y la deprime en 0.48 cm. ¿Es elegible para jugar en este equipo de menos de 85 kg?

34. Un tipo de pistola BB usa un émbolo accionado por resorte para soplar la BB desde su cañón. (a) Calcula la constante de fuerza del resorte del émbolo si debes comprimirlo a 0.150 m para impulsar el émbolo de 0.0500 kg a una velocidad máxima de 20.0 m/s. (b) ¿Qué fuerza se debe ejercer para comprimir el resorte?

35. Cuando un hombre de 80.0 kg se para en un palo de pogo, el resorte se comprime 0.120 m. (a) ¿Cuál es la fuerza constante del resorte? (b) ¿Se comprimirá más el resorte cuando salte por la carretera?

36. Un resorte tiene una longitud de 0.200 m cuando una masa de 0.300 kg cuelga de él, y una longitud de 0.750 m cuando una masa de 1.95 kg cuelga de él. (a) ¿Cuál es la fuerza constante del resorte? (b) ¿Cuál es la longitud descargada del resorte?

37. La longitud de la cuerda de nylon a partir de la cual se suspende un montañista tiene una fuerza efectiva constante de 1.40×10⁴ N/m. (a) ¿Cuál es la frecuencia con la que rebota, dada su masa más la masa de su equipo que son 90.0 kg? (b) ¿Cuánto se estiraría esta cuerda para romper la caída del escalador si cae libremente 2,00 m antes de que la cuerda se quede sin holgura? (Sugerencia: usa la conservación de la energía. (c) Repite ambas partes de este problema en la situación en que se usa el doble de la longitud de la cuerda de nylon.

5.3 Comparando el movimiento armónico simple y el movimiento circular

38. El movimiento de una masa en un resorte colgado verticalmente, donde la masa oscila hacia arriba y hacia abajo, también se puede modelar utilizando el disco giratorio. En lugar de colocar las luces horizontalmente a lo largo de la parte superior y apuntar hacia abajo, coloca las luces verticalmente y haz que las luces brillen en el lado del disco giratorio. Se producirá una sombra en una pared cercana, y se moverá hacia arriba y hacia abajo. Escribe las ecuaciones de movimiento para la sombra que toma la posición en t = 0.0 s con y = 0.0 m con la masa moviéndose en la dirección y positiva.

39. (a) Un reloj de novedad tiene un objeto de masa de 0.0100 kg rebotando en un resorte que tiene una fuerza constante de 1.25 N/m. ¿Cuál es la velocidad máxima del objeto si el objeto rebota 3.00 cm por encima y por debajo de su posición de equilibrio? (b) ¿Cuántos julios de energía cinética tiene el objeto a su velocidad máxima?

40. El movimiento recíproco utiliza la rotación de un motor para producir un movimiento lineal hacia arriba y hacia abajo o hacia atrás y hacia adelante. Así es como funciona una sierra recíproca, como se muestra a continuación.



Si el motor gira a 60 Hz y tiene un radio de 3.0 cm, estima la velocidad máxima de la hoja de sierra a medida que se mueve hacia arriba y hacia abajo. Este diseño es conocido como un yugo escocés.

41. Un estudiante se para en el borde de un tiovivo que gira cinco veces por minuto y tiene un radio de dos metros una noche cuando se pone el sol. El estudiante produce una sombra en el edificio cercano. (a) Escribe una ecuación para la posición de la sombra. (b) Escribe una ecuación para la velocidad de la sombra.

5.4 péndulos

42. ¿Cuál es la longitud de un péndulo que tiene un período de 0.500 s?

43. Algunas personas piensan que un péndulo con un período de 1,00 s puede manejarse con "energía mental" o psicoquímica, porque su período es el mismo que un latido cardíaco promedio. Cierto o no, ¿cuál es la longitud de tal péndulo?

44. ¿Cuál es el período de un péndulo de 1.00 m de largo?

45. ¿Cuánto tiempo le toma a un niño en un columpio completar un columpio si su centro de gravedad está 4,00 m por debajo del pivote?

46. ​​El péndulo de un reloj de cuco tiene 5,00 cm de largo. ¿Cuál es su frecuencia?

47. Dos periquitos se sientan en un columpio con sus CM combinados a 10.0 cm por debajo del pivote. ¿A qué frecuencia se balancean?

48. (a) Un péndulo que tiene un período de 3.00000 s y que está ubicado donde la aceleración debida a la gravedad es 9.79 m/s² es movido a un lugar donde la aceleración debida a la gravedad es 9.82 m/s². ¿Cuál es su nuevo periodo? (b) Explica por qué se necesitan tantos dígitos en el valor para el período, en función de la relación entre el período y la aceleración debida a la gravedad.

49. Un péndulo con un período de 2.00000 s en una ubicación (g = 9.80 m/s²) se mueve a una nueva ubicación donde el período es ahora 1.99796 s. ¿Cuál es la aceleración debida a la gravedad en su nueva ubicación?

50. (a) ¿Cuál es el efecto sobre el período de un péndulo si doblas su longitud? (b) ¿Cuál es el efecto sobre el período de un péndulo si disminuye su longitud en un 5,00%?

5.5 Oscilaciones amortiguadas

51. La amplitud de un oscilador ligeramente amortiguado disminuye 3.0% durante cada ciclo. ¿Qué porcentaje de la energía mecánica del oscilador se pierde en cada ciclo?

5.6 Oscilaciones Forzadas

52. ¿Cuánta energía deben disipar los amortiguadores de un automóvil de 1200 kg para amortiguar un rebote que inicialmente tiene una velocidad de 0,800 m/s en la posición de equilibrio? Supongamos que el coche vuelve a su posición vertical original.

53. Si un automóvil tiene un sistema de suspensión con una fuerza constante de 5.00×10⁴ N/m, ¿cuánta energía deben eliminar los amortiguadores del automóvil para amortiguar una oscilación que comienza con un desplazamiento máximo de 0.0750 m?

54. (a) ¿Cuánto estirará un resorte que tiene una fuerza constante de 40.0 N/m un objeto con una masa de 0.500 kg cuando se cuelga inmóvil del resorte? (b) Calcula la disminución de la energía potencial gravitatoria del objeto de 0.500 kg cuando desciende esta distancia. (c) Parte de esta energía gravitacional entra en el resorte. Calcula la energía almacenada en el resorte mediante este estiramiento y compárala con la energía potencial gravitatoria. Explica a dónde podría ir el resto de la energía.

55. Supó que tienes un objeto de 0.750 kg en una superficie horizontal conectada a un resorte que tiene una fuerza constante de 150 N/m. Existe una fricción simple entre el objeto y la superficie con un coeficiente de fricción estático μ_s = 0.100. (a) ¿Hasta qué punto se puede estirar el resorte sin mover la masa? (b) Si el objeto se establece en oscilación con una amplitud el doble de la distancia encontrada en la parte (a), y el coeficiente de fricción cinético es μ_k = 0.0850, ¿qué distancia total recorre antes de detenerse? Supongamos que comienza en la amplitud máxima.

Problemas adicionales

56. Supón que adjuntas un objeto con masa m a un resorte vertical originalmente en reposo y lo dejas saltar hacia arriba y hacia abajo. Liberas el objeto del reposo en la longitud de reposo original del resorte, la longitud del resorte en equilibrio, sin la masa unida. La amplitud del movimiento es la distancia entre la posición de equilibrio del resorte sin la masa unida y la posición de equilibrio del resorte con la masa unida. (a) Demuestra que el resorte ejerce una fuerza ascendente de 2.00 mg en el objeto en su punto más bajo. (b) Si el resorte tiene una fuerza constante de 10.0 N/m, se cuelga horizontalmente y la posición del extremo libre del resorte se marca como y = 0.00 m, ¿dónde está la nueva posición de equilibrio si un objeto de 0.25 kg de masa se cuelga del resorte? (c) Si el resorte tiene una fuerza constante de 10.0 M/m y un objeto de masa de 0.25 kg se pone en movimiento como se describe, encuentra la amplitud de las oscilaciones. (d) Encuentra la velocidad máxima.

57. Un buzo en un trampolín está experimentando MAS. Su masa es de 55.0 kg y el período de su movimiento es de 0.800 s. El siguiente buceador es un hombre cuyo período de oscilación armónica simple es 1.05 s. ¿Cuál es su masa si la masa del tablero es despreciable?

58. Supongamos que un trampolín sin nadie salta arriba y abajo en un MAS con una frecuencia de 4.00 Hz. El tablero tiene una masa efectiva de 10.0 kg. ¿Cuál es la frecuencia del MAS de un buzo de 75.0 kg en el tablero?

59. El dispositivo que se muestra en la siguiente figura entretiene a los bebés y los mantiene alejados. El niño rebota en un arnés suspendido de un marco de puerta por un resorte. (a) Si el resorte se extiende 0.250 m mientras soporta un niño de 8.0 kg, ¿cuál es su fuerza constante? (b) ¿Cuál es el tiempo para un rebote completo de este niño? (c) ¿Cuál es la velocidad máxima del niño si la amplitud de su rebote es de 0.200 m?


Figure 5.34 (crédito: Lisa Doehnert)

60. Se coloca una masa sobre una mesa horizontal sin fricción. Un resorte (k = 100 N/m), que se puede estirar o comprimir, se coloca sobre la mesa. Una masa de 5.00 kg está unida a un extremo del resorte, el otro extremo está anclado a la pared. La posición de equilibrio está marcada en cero. Un estudiante mueve la masa hacia afuera para X = 4.0 cm  y lo libera del reposo. La masa oscila en MAS. (a) Determina las ecuaciones de movimiento. (b) Encuentra la posición, la velocidad y la aceleración de la masa en el momento t = 3.00 s.

61. Encuentra la proporción de los periodos nuevo/antiguo de un péndulo si el péndulo fue transportado de la Tierra a la Luna, donde la aceleración debida a la gravedad es 1.63 m/s².

62. ¿A qué velocidad se ejecutará un reloj de péndulo en la Luna, donde la aceleración debida a la gravedad es 1.63 m/s², si mantiene el tiempo con precisión en la Tierra? Es decir, encuentra el tiempo (en horas) que toma la manecilla del reloj para hacer una revolución en la Luna.

63. Si un reloj impulsado por péndulo gana 5.00 s/día, ¿qué cambio fraccional en la longitud del péndulo se debe hacer para que se mantenga perfecto el tiempo?

64. Un objeto de 2.00 kg cuelga, en reposo, de una cuerda de 1.00 m de largo pegada al techo. Se dispara una masa de 100 g con una velocidad de 20 m/s en la masa de 2.00 kg, y la masa de 100.00 g choca perfectamente elásticamente con la masa de 2.00 kg. Escribe una ecuación para el movimiento de la masa colgante después de la colisión. Supongamos que la resistencia del aire es despreciable.

65. Un objeto de 2.00 kg cuelga, en reposo, de una cuerda de 1.00 m de largo pegada al techo. Se dispara un objeto de 100 g con una velocidad de 20 m/s al objeto de 2.00 kg, y los dos objetos chocan y se pegan en una colisión totalmente inelástica. Escribe una ecuación para el movimiento del sistema después de la colisión. Supongamos que la resistencia del aire es despreciable.

66. Supongamos que un péndulo utilizado para conducir un reloj de abuelo tiene una longitud L₀ = 1.00 m y una masa M a temperatura T = 20.00° C.  Puede modelarse como un péndulo físico como una varilla que oscila alrededor de un extremo. ¿En qué porcentaje cambiará el período si la temperatura aumenta en 10° C?  Supongamos que la longitud de la varilla cambia linealmente con la temperatura, donde L = L₀(1 + αΔT) y la varilla es de latón (α = 18×10⁻⁶°C⁻¹).

67. Un bloque de 2.00 kg descansa sobre una mesa sin fricción. Un resorte, con una constante de resorte de 100 N/m, está unido a la pared y al bloque. Un segundo bloque de 0,50 kg se coloca encima del primer bloque. El bloque de 2.00 kg se tira suavemente a una posición X = +A y liberado del reposo. Existe un coeficiente de fricción de 0,45 entre los dos bloques. (a) ¿Cuál es el período de las oscilaciones? (b) ¿Cuál es la mayor amplitud de movimiento que permitirá que los bloques oscilen sin que el bloque de 0.50 kg se deslice?

Problemas de Desafío

68. Un puente colgante oscila con una constante de fuerza efectiva de 1.00×10⁸ N/m. (a) ¿Cuánta energía se necesita para que oscile con una amplitud de 0.100 m? (b) Si los soldados marchan a través del puente con una frecuencia igual a la frecuencia natural del puente e imparten 1.00×10⁴ J de energía cada segundo, cuánto tiempo tardan las oscilaciones del puente en pasar de una amplitud de 0,100 ma 0,500 m.

69. Cerca de la parte superior del edificio Citigroup Center en la ciudad de Nueva York, hay un objeto con una masa de 4.00×10⁵ kg sobre resortes que tienen constantes de fuerza ajustables. Su función es amortiguar las oscilaciones impulsadas por el viento del edificio mediante la oscilación a la misma frecuencia con la que se impulsa el edificio: la fuerza impulsora se transfiere al objeto, que oscila en lugar de todo el edificio. (a) ¿Qué constante de fuerza efectiva deben tener los resortes para hacer que el objeto oscile con un período de 2,00 s? (b) ¿Qué energía se almacena en los resortes para un desplazamiento de 2,00 m desde el equilibrio?

70. Las parcelas de aire (pequeños volúmenes de aire) en una atmósfera estable (donde la temperatura aumenta con la altura) pueden oscilar hacia arriba y hacia abajo, debido a la fuerza de restauración proporcionada por la flotabilidad de la parcela de aire. La frecuencia de las oscilaciones es una medida de la estabilidad de la atmósfera. Suponiendo que la aceleración de una parcela de aire puede modelarse como ∂²z'/∂t² = g/ρ₀∂ρ(z)/∂zz', comprueba que z' = z'₀e^t√-N2   es una solución, donde N es conocida como la frecuencia Brunt-Väisälä. Ten en cuenta que en una atmósfera estable, la densidad disminuye con la altura y la parcela oscila hacia arriba y hacia abajo.

71. Considera el potencial de Van der Waals U(r) = U₀[(R₀/r)¹² - 2(R₀/r)⁶], utilizado para modelar la función de energía potencial de dos moléculas, donde el potencial mínimo está en r = R₀. Encuentra la fuerza en función de r. Considera un pequeño desplazamiento r = R₀ + r'  y usa el teorema del binomio:

(1 + x)ⁿ = 1 + nx + n(n - 1)/2!x² + n(n - 1)(n - 2)/3!x³ + ••• para demostrar que la fuerza se aproxima a la fuerza de la ley de Hooke.

72. Supón que la longitud del péndulo de un reloj se cambia en un 1.000%, exactamente al mediodía de un día. ¿A qué hora leerá el reloj 24 horas después, suponiendo que el péndulo se haya mantenido a la perfección antes del cambio? Ten en cuenta que hay dos respuestas y realiza el cálculo con una precisión de cuatro dígitos.

73. (a) Los resortes de una camioneta actúan como un único resorte con una fuerza constante de 1.30×10⁵ N/m. ¿Cuánto se deprimirá el camión con su carga máxima de 1000 kg? (b) Si la camioneta tiene cuatro resortes idénticos, ¿cuál es la fuerza constante de cada uno?