FÍSICA

VOLUMEN II

INTERACTIVO

FÍSICA
VOLUMEN II
INTERACTIVO

José Gregorio Doria Andrade
Juan Guillermo Rivera Berrío
Institución Universitaria Pascual Bravo

Obra derivada de

University Physics
Volumen I

Samuel J. Ling
Truman State University

Jeff Sanny
Loyola Marymount University

Bill Moebs

Fondo Editorial Pascual Bravo

Medellín

Título de la obra
Física - Volumen II
Mecánica, Ondas y Acústica
José Gregorio Doria Andrade
Juan Guillermo Rivera Berrío
2018

Diseño del libro: Juan Guillermo Rivera Berrío
Diseño de cubierta: Margarita Patiño Jaramillo
Librería turn.js: Emmanuel García
Herramienta de edición: DescartesJS
Fuente: Amaranth

Fondo Editorial Pascual Bravo
Calle 73 73A-226
PBX: (574) 4480520
Apartado 6564
Medellín, Colombia
www.pascualbravo.edu.co

Para generar esta obra derivada se ha tomado como referencia OpenStax University Physics, University Physics Volume 1, OpenStax CNX. 23 feb. 2018 Textbook content produced by OpenStax University Physics is licensed under a Creative Commons Attribution License 4.0 license.

Tabla de contenido

1. Rotación de eje fijo13

1.0 Introducción15

1.1 Variables de rotación16

1.2 Rotación con aceleración angular constante38

1.3 Relacionar Cantidades Angulares y Translacionales54

1.4 Momento de inercia y energía cinética rotacional64

1.5 Cálculo de momentos de inercia82

1.6 Torque102

1.7 Segunda ley de Newton para la rotación 114

1.8 Trabajo y potencia para el movimiento de rotación 123

1.9 Preguntas y respuestas - Capítulo I135

2. Momento angular137

2.0 Introducción139

2.1 Movimiento de rodadura140

2.2 Momento Angular160

2.3 Conservación del momento angular180

2.4 Precesión de un giroscopio193

2.5 Preguntas y respuestas - Capítulo II203

3. Equilibrio estático y elasticidad205

3.0 Introducción207

3.1 Condiciones para el equilibrio estático216

3.2 Ejemplos de equilibrio estático231

3.3 Esfuerzo, tensión y módulo elástico260

3.4 Elasticidad y plasticidad283

Prefacio

Este libro digital interactivo se ha diseñado con fundamento en la filosofía del Proyecto Descartes: "Trabajando altruistamente por la comunidad educativa de la aldea global", que sólo busca desarrollar contenidos educativos para el provecho de la comunidad académica, esperando únicamente como retribución el uso y difusión de estos contenidos. El contenido del libro, al igual que los objetos interactivos se han diseñado de tal forma que se puedan leer en ordenadores y dispositivos móviles sin necesidad de instalar ningún programa o plugin. El libro se puede descargar para su uso en local sin dependencia con la red, a excepción de los ocho vídeos incluidos en el texto. Algunos de los objetos interactivos se han diseñado con el Editor DescartesJS.

La herramienta Descartes se caracteriza por una innata interactividad, por permitir realizar representaciones de objetos bi y tridimensionales, por gestionar expresiones de texto y de fórmulas, por integrar objetos multimedia como imágenes, audios y vídeos, por tener la posibilidad de reflejar casos concretos y también potenciar la conceptualización de tareas y procedimientos mediante la utilización de semillas aleatorias y controles numéricos, gráficos y de texto, y con ellos poder abordar la evaluación de manera automática, tanto la correctiva como la formativa. Con Descartes es posible el diseño y desarrollo de objetos educativos que promueven el aprendizaje significativo, posibilitando esa deseada construcción del conocimiento.¹

El contenido del libro se basa en un recurso de OpenStax, organización sin fines de lucro de la Universidad de Rice, cuya misión, similar a la nuestra, es mejorar el acceso de los estudiantes a la educación. El libro ha sido desarrollado para cumplir con el alcance y la secuencia de la mayoría de los cursos de física universitarios y proporciona una base para una carrera en matemáticas, ciencias o ingeniería.

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Este segundo volumen del libro de texto de Física Universitaria se adhiere al alcance y la secuencia de los cursos de física universitaria. Se ha trabajado para hacer que la física sea interesante y accesible para los estudiantes, manteniendo el rigor matemático inherente a la materia. Con este objetivo en mente, el contenido de este libro de texto ha sido desarrollado y organizado para proporcionar una progresión lógica de conceptos fundamentales a más avanzados, basándose en lo que los alumnos ya han aprendido y enfatizando las conexiones entre los temas y entre la teoría y las aplicaciones. El objetivo de cada sección es permitir que los estudiantes no solo reconozcan conceptos, sino que trabajen con ellos de manera que sean útiles en cursos posteriores y carreras futuras. La organización y las características pedagógicas fueron desarrolladas y revisadas con comentarios de educadores de ciencias dedicados al proyecto.

A lo largo del libro encontrarás derivaciones de conceptos que presentan ideas y técnicas clásicas, así como también aplicaciones y métodos modernos. La mayoría de los capítulos comienzan con observaciones o experimentos que colocan el material en un contexto de experiencia física. Las presentaciones y explicaciones se basan en años de experiencia en el aula por parte de profesores de física de larga data, que luchan por un equilibrio de claridad y rigor que ha demostrado ser exitoso con sus alumnos. Las figuras históricas clave y los experimentos se discuten en el texto principal, manteniendo un enfoque en el desarrollo de la intuición física. Las ideas clave, las definiciones y las ecuaciones se destacan en el texto.

Los ejemplos y las imágenes de apertura de capítulos a menudo incluyen aplicaciones contemporáneas de la vida cotidiana o de la ciencia y la ingeniería modernas con las que los estudiantes se pueden relacionar, desde teléfonos inteligentes hasta Internet y dispositivos GPS.

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El texto original, desarrollado por Ling S., Sanny J. y Moebs B., ha sido publicado en versiones html y pdf. Esta obra derivada, en español y como libro interactivo, creada por Doria J. & Rivera J.G., presenta las siguientes aportaciones: traducción al español, diseño en formato flipbook, incorporación de 56 objetos interactivos de aprendizaje, 36 de ellos diseñados con el editor DescartesJS, y ocho vídeos. Para evitar, al máximo, la dependencia con la conectividad en la red, las expresiones matemáticas se han construido recurriendo al diseño de algunas clases en la hoja de estilos (style.css) y, en algunos casos, al editor DescartesJS.

Se ha conservado la propuesta pedagógica en los ejemplos presentados en cada uno de los capítulos, los cuales incluyen: formulación del problema, estrategia de solución, solución, explicación o sentido de los resultados obtenidos y, en la mayoría de los ejemplos, un problema propuesto, denominado "Comprueba tu aprendizaje". Al final de cada capítulo se han incluido tanto los problemas propuestos como las respuestas.

Capítulo i

Rotación de eje fijo

INTRODUCCIÓN

Figura 1.1 Brazos del parque eólico en el oeste de Texas. A partir de 2012, los parques eólicos en los Estados Unidos tenían una potencia de 60 gigavatios, capacidad suficiente para alimentar a 15 millones de hogares durante un año (crédito: modificación del trabajo por el Departamento de Energía de los Estados Unidos).

En capítulos anteriores, describimos el movimiento (cinemática) y cómo cambiar el movimiento (dinámica), y definimos conceptos importantes, como la energía para los objetos que se pueden considerar como masas puntuales. Las masas puntuales, por definición, no tienen forma y, por lo tanto, solo pueden experimentar un movimiento de traslación. Sin embargo, sabemos por la vida cotidiana que el movimiento de rotación también es muy importante y que muchos objetos que se mueven tienen tanto la traslación como la rotación.

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Las turbinas eólicas en la imagen de apertura de nuestro capítulo son un excelente ejemplo de cómo el movimiento rotacional impacta nuestras vidas diarias, a medida que el mercado de fuentes de energía limpia continúa creciendo.

Comenzamos a tratar el movimiento rotacional en este capítulo, comenzando con la rotación del eje fijo. La rotación del eje fijo describe la rotación alrededor de un eje fijo de un cuerpo rígido; es decir, un objeto que no se deforma cuando se mueve. Mostraremos cómo aplicar todas las ideas que hemos desarrollado hasta este momento sobre el movimiento de traslación a un objeto que gira alrededor de un eje fijo. En el próximo capítulo, extendemos estas ideas a un movimiento rotacional más complejo, que incluye objetos que giran y se trasladan, y objetos que no tienen un eje de rotación fijo.

1.1 Variables de rotación

Hasta ahora en este texto, hemos estudiado principalmente el movimiento traslacional, incluidas las variables que lo describen: desplazamiento, velocidad y aceleración. Ahora, expandimos nuestra descripción de movimiento a rotación, específicamente, movimiento de rotación sobre un eje fijo. Encontraremos que el movimiento de rotación se describe mediante un conjunto de variables relacionadas similares a las que utilizamos en el movimiento traslacional.

Velocidad angular

El movimiento circular uniforme (discutido anteriormente) es un movimiento en círculo a velocidad constante. Aunque este es el caso más simple de movimiento rotacional, es muy útil para muchas situaciones, y lo usamos aquí para introducir variables rotativas.

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En la Figura 1.2, mostramos una partícula moviéndose en un círculo. El sistema de coordenadas es fijo y sirve como un marco de referencia para definir la posición de la partícula. Su vector de posición desde el origen del círculo hasta la partícula barre el ángulo θ, que aumenta en la dirección contraria a las agujas del reloj a medida que la partícula se mueve a lo largo de su trayectoria circular. El ángulo θ se llama la posición angular de la partícula. A medida que la partícula se mueve en su trayectoria circular, también traza una longitud de arco s.

Figura 1.2 Una partícula sigue una trayectoria circular. A medida que se mueve en sentido antihorario, barre un ángulo positivo θ con respecto al eje x y traza una longitud de arco s.

El ángulo está relacionado con el radio del círculo y la longitud del arco.

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θ = s/r

(1.1)

El ángulo θ, la posición angular de la partícula a lo largo de su trayectoria, tiene unidades de radianes (rad). Hay 2π radianes en 360 °. Tenga en cuenta que la medida de radianes es una relación de medidas de longitud, y por lo tanto es una cantidad adimensional. A medida que la partícula se mueve a lo largo de su trayectoria circular, su posición angular cambia y sufre desplazamientos angulares Δθ.

Podemos asignar vectores a las cantidades en la Ecuación 1.1. El ángulo θ→ es un vector fuera de la página en la Figura 1.2. El vector de posición angular r→ y la longitud del arco s→ se encuentran en el plano de la página. Estos tres vectores están relacionados entre sí por

s→ = θ→ × r→

(1.2)

Es decir, la longitud del arco es el producto cruz entre el vector θ → y el vector r→, como se muestra en la Figura 1.3.

La velocidad angular instantánea se define como el límite en el cual Δt → 0 en la velocidad angular promedio

ω= limΔt→0Δθ/Δt = dθ/dt

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Figura 1.3 Los puntos del vector de ángulo a lo largo del eje z y el vector de posición y el vector de longitud del arco se encuentran en el plano xy. Vemos que s→ = θ→ × r→. Los tres vectores son perpendiculares entre sí.

El ángulo está relacionado con el radio del círculo y la longitud del arco donde θ es el ángulo de rotación (Figura 1.2). Las unidades de velocidad angular son radianes por segundo (rad / s). La velocidad angular también se puede denominar velocidad de rotación en radianes por segundo. En muchas situaciones, se nos da la velocidad de rotación en revoluciones / s o ciclos / s. Para encontrar la velocidad angular, debemos multiplicar revoluciones por segundo, ya que hay 2π radianes en una revolución completa. Como la dirección de un ángulo positivo en un círculo es en sentido antihorario, tomamos rotaciones en sentido antihorario como positivas y rotaciones en sentido horario como negativas.

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Podemos ver cómo la velocidad angular se relaciona con la velocidad tangencial de la partícula al diferenciar la ecuación 1.1 con respecto al tiempo. Reescribimos la Ecuación 1.1 como

s = rθ

(1.3)

Tomando la derivada con respecto al tiempo y observando que el radio r es una constante, tenemos

ds/dt= d(rθ)/dt= θdr/dt + rdθ/dt = rdθ/dt

donde θdr/dt=0. Aqui ds/dt es justamente la velocidad tangencial v_t de la particula
Figura 1.2. Por lo tanto, al usar la Ecuación 1.2, llegamos a

v_t = rw

(1.4)

Es decir, la velocidad tangencial de la partícula es su velocidad angular multiplicada por el radio del círculo. A partir de la ecuación 1.4, vemos que la velocidad tangencial de la partícula aumenta con su distancia desde el eje de rotación para una velocidad angular constante. Este efecto se muestra en la Figura 1.4. Dos partículas se colocan en diferentes radios en un disco giratorio con una velocidad angular constante. A medida que el disco gira, la velocidad tangencial aumenta linealmente con el radio del eje de rotación.

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En la figura 1.4, vemos que v₁ = r₁ω₁ y v₂ = r₂ω₂. Pero el disco tiene una velocidad angular constante, por lo que ω₁ = ω₂. Esto significa que v₁/r₁=v₂/r₂ o v₂=(r₂/r₁)v₁, por lo tanto, r₂ > r₁, v₂ > v₁.

Figura 1.4 Dos partículas en un disco giratorio tienen diferentes velocidades tangenciales, dependiendo de su distancia al eje de rotación.

Hasta ahora, hemos discutido la magnitud de la velocidad angular , que es una cantidad escalar, y se define como el cambio en la posición angular con respecto al tiempo ω = dθ / dt . El vector w→ es el vector relacionado con la velocidad angular y los puntos a lo largo del eje de rotación.

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En el siguiente interactivo, diseñado por Andrew Duffy, puedes...

Ampliar

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Esto es útil porque cuando un cuerpo rígido está girando, queremos saber tanto el eje de rotación como la dirección en que el cuerpo gira alrededor del eje, en sentido horario o antihorario.La velocidad angular w→ nos da esta información. La velocidad angular w→ tiene una dirección determinada por lo que se llama una regla de la mano derecha. La regla de la mano derecha es tal que los dedos de la mano derecha se envuelven en sentido antihorario desde el eje x (la dirección en la que θ aumenta) hacia el eje y , su pulgar apunta en la dirección del eje z positivo (Figura 1.5).

Figura 1.5 Para la rotación en sentido antihorario en el sistema de coordenadas que se muestra, la velocidad angular apunta en la dirección z positiva mediante la regla de la mano derecha.

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Una velocidad angular w→ que apunte hacia el eje-z positivo,por lo tanto, corresponde a una rotación en contra a las manecillas del reloj, donde la velocidad angular w→ apunta a lo largo del eje z negativo que corresponde a una rotación en el sentido de las agujas del reloj.

Podemos verificar la regla de la mano derecha usando la expresión del vector

s→ = θ→ × r→. Ecuación 1.4. Si diferenciamos esta ecuación con respecto al tiempo, encontramos

ds→/dt = d/dt(θ→ × r→)= (dθ→/dt × r→) + (θ→× dr→/dt)= dθ→/dt × r→. Como r→ es constante, el término
(θ→× dr→/dt) = 0. Ya que v→= dr→/dt es la velocidad tangencial y w→= dθ→/dt es la velocidad angular, asi tenemos que:

v→ = w→×r→

(1.5)

Es decir, la velocidad tangencial es el producto cruzado entre velocidad angular y el vector posición angular como se muestra en la figura 1.6. De la parte (a) de esta figura, vemos que con la velocidad angular en la dirección z positiva, la rotación en el plano xy es en sentido antihorario. En la parte (b), la velocidad angular está en la dirección negativa, dando una rotación en el sentido de las agujas del reloj en el plano xy

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Figura 1.6 Los vectores que se muestran son la velocidad angular, la posición y la velocidad tangencial. (a) La velocidad angular apunta en la dirección z positiva, dando una rotación en el sentido antihorario en el plano x-y. (b) Los puntos de velocidad angular en la dirección z negativa, dando una rotación en el sentido de las agujas del reloj.

Ejemplo 1.1

Rotación de un volante

Un volante gira de tal manera que barre un ángulo a la velocidad de θ = ωt = (45 rad/s)t. La rueda gira hacia la izquierda cuando se ve en el plano de la página.

(a) ¿Cuál es la velocidad angular del volante?.

(b) ¿Qué dirección tiene la velocidad angular?.

(c) ¿Cuántos radianes gira el volante en 30 s?.

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(d) ¿Cuál es la velocidad tangencial de un punto en el volante a 10 cm del eje de rotación?.

Estrategia

La forma funcional de la posición angular de la rueda voladora se da en los problemas θ (t) = ωt, así que tomando la derivada con respecto al tiempo, podemos encontrar la velocidad angular. Usamos la regla de la mano derecha para encontrar la velocidad angular. Para encontrar el desplazamiento angular del volante durante 30 s, buscamos el desplazamiento angular Δθ, donde el cambio en la posición angular está entre 0 y 30 s. Para encontrar la velocidad tangencial de un punto a una distancia del eje de rotación, multiplicamos su distancia por la velocidad angular del volante.

Solución

a. ω = dθ/dt = 45 rad / s. Vemos que la velocidad angular es una constante.

b. Con la regla de la mano derecha, curvamos los dedos en la dirección de rotación, que está en sentido antihorario en el plano de la página, y el pulgar apunta en la dirección de la velocidad angular, que está fuera de la página.

c. Δθ = θ(30 s) − θ(0 s) = 45(30s) − 45(0s) = 1350 rad.

d. v_t = rω = (0.1 m)(45rad/s) = 4.5 m/s.

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Significado

En 30 s, el volante ha girado alrededor de 215, si dividimos el desplazamiento angular por 2π. Un volante masivo se puede utilizar para almacenar energía de esta manera y las pérdidas debidas a la fricción son mínimas. Una investigación reciente ha considerado los cojinetes superconductores en los que descansa el volante, con cero pérdida de energía debido a la fricción.

Aceleración angular

Acabamos de analizar la velocidad angular para un movimiento circular uniforme, pero no todo el movimiento es uniforme. Imagine a un patinador de hielo girando con los brazos extendidos; cuando tira de sus brazos hacia adentro, su velocidad angular aumenta, o piense en que el disco duro de una computadora se desacelere a medida que disminuye la velocidad angular. Exploraremos estas situaciones más adelante, pero ya podemos ver la necesidad de definir una aceleración angular para describir situaciones donde ω cambia. Cuanto más rápido sea el cambio en ω, mayor será la aceleración angular. Definimos la aceleración angular instantánea α como la derivada de la velocidad angular con respecto al tiempo:

α = lim Δt→0Δw/Δt= dw/dt = d²θ/dt²

(1.6)

donde hemos tomado el límite de la aceleración angular promedio α= Δw/Δt cuando Δt→0

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Las unidades de aceleración angular son (rad/s²). De la misma manera que definimos el vector asociado con la velocidad angular w→, podemos definir α→, el vector asociado con la aceleración angular (Figura 1.7). Si la velocidad angular está a lo largo del eje z positivo, como en la figura 1.5, y dw/dt es positivo, entonces la aceleración angular α→es positiva y apunta a lo largo del eje + z. De manera similar, si la velocidad angular w→ está a lo largo del eje z positivo y dw/dt es negativo, entonces la aceleración angular es negativa y apunta a lo largo del eje + z

Figura 1.7 .La rotación es en sentido antihorario en ambos (a) y (b) con la velocidad angular en la misma dirección. (a) La aceleración angular está en la misma dirección que la velocidad angular, lo que aumenta la velocidad de rotación. (b) La aceleración angular es en la dirección opuesta a la velocidad angular, lo que disminuye la velocidad de rotación.

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Podemos expresar el vector de aceleración tangencial como un producto cruzado de la aceleración angular y el vector de posición. Esta expresión se puede encontrar tomando la derivada de tiempo de v→ = w→ × r→ y se deja como un ejercicio:

a→ = α→ × r→

(1.7)

Las relaciones de vectoriales para la aceleración angular y la aceleración tangencial se muestran en la figura 1.8.

Figura 1.8 (a) La aceleración angular es la dirección z positiva y produce una aceleración tangencial en sentido antihorario. (b) La aceleración angular está en la dirección z negativa y produce una aceleración tangencial en sentido horario.

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Podemos relacionar la aceleración tangencial de un punto en un cuerpo giratorio a una distancia del eje de rotación de la misma manera que relacionamos la velocidad tangencial con la velocidad angular. Si diferenciamos la ecuación 1.7 con respecto al tiempo, observando que el radio r es constante, obtenemos

a_t = rα

(1.8)

Por lo tanto, la aceleración tangencial a es el radio multiplicado por la aceleración angular. La ecuación 1.4 y la ecuación 1.8 son importantes para la discusión del movimiento de rotación (ver Momento angular).Vamos a aplicar estas ideas al análisis de algunos escenarios simples de rotación de eje fijo. Antes de hacerlo, presentamos una estrategia de resolución de problemas que se puede aplicar a la cinemática rotacional: la descripción del movimiento rotacional.

Estrategia de resolución de problemas: cinemática rotacional

1.Examine la situación para determinar que la cinemática rotacional (movimiento de rotación) está involucrada.

2.Identifique exactamente qué debe determinarse en el problema (identifique las incógnitas). Un boceto de la situación es útil.

3. Haga una lista completa de lo que se da o se puede deducir del problema tal como se establece (identifique los conocimientos).

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4. Resuelve la ecuación o ecuaciones apropiadas para la cantidad que se determinará (lo desconocido). Puede ser útil pensar en términos de un análogo traslacional, porque a estas alturas ya está familiarizado con las ecuaciones del movimiento traslacional.

5. Sustituya los valores conocidos junto con sus unidades en la ecuación apropiada y obtenga soluciones numéricas completas con unidades. Asegúrese de usar unidades de radianes para ángulos.

6. Verifique su respuesta para ver si es razonable: ¿tiene sentido su respuesta?

Ahora apliquemos esta estrategia de resolución de problemas a algunos ejemplos específicos.

Ejemplo 1.2

Una rueda de bicicleta giratoria

Un mecánico de bicicletas monta una bicicleta en el soporte de reparación e inicia la rotación de la rueda trasera desde el reposo hasta una velocidad angular final de 250 rpm en 5.00 s. (a) Calcule la aceleración angular promedio en rad / s². (b) Si ahora golpea los frenos, causando una aceleración angular de -87.3 rad / s², ¿cuánto tiempo demora la rueda en detenerse?

Estrategia

La aceleración angular promedio se puede encontrar directamente desde su definición α_ = w_f - w_iΔt dado que la velocidad angular final y el tiempo se dan.

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Vemos que w_f - w_i= 250 rev/s y Δt es 5.00 s. Para la parte (b), conocemos la aceleración angular y la velocidad angular inicial. Podemos encontrar el tiempo de parada usando la definición de aceleración angular promedio y resolviendo para Δt, produciendo Δt = Δw/α.

Solución

a. Ingresando información conocida en la definición de aceleración angular, obtenemos

α_ = ΔwΔt= 250rpm/5.00s

Como Δω está en revoluciones por minuto (rpm) y queremos las unidades estándar de rad / s² para la aceleración angular, necesitamos convertir de rpm a rad / s:

Δw= 250rev/min· 2π/rev· 1min/60s =26.2 rad/s. Ingresando esta cantidad en la expresión para α, obtenemos.

α=Δw/Δt=26.2rad/s/5.00s= 5.24rad/s²

b.Aquí la velocidad angular disminuye de 26.2 rad / s (250 rpm) a cero, de modo que Δω es -26.2 rad / s, y α se da como -87.3 rad / s².

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Así, Δt= -26.2rad/s/-87.3rad/s²=0.300s

Significado Tenga en cuenta que la aceleración angular a medida que el mecánico hace girar la rueda es pequeña y positiva; toma 5 s para producir una velocidad angular apreciable. Cuando golpea el freno, la aceleración angular es grande y negativa. La velocidad angular rápidamente va a cero.

Comprueba tu aprendizaje 1.1

Las paletas del ventilador en un motor turboventilador (como se muestra a continuación) aceleran desde el reposo hasta una velocidad de rotación de 40.0 rev / s en 20 s. El aumento en la velocidad angular del ventilador es constante en el tiempo. (El motor turboventilador GE90-110B1 montado en un Boeing 777, como se muestra, es actualmente el motor turboventilador más grande del mundo, capaz de empujes de 330-510 kN).

(a) ¿Cuál es la aceleración angular promedio?

(b) ¿Cuál es la aceleración angular instantánea en cualquier momento durante los primeros 20 s?

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Figura 1.9 ((crédito: "Bubinator" / Wikimedia Commons).

Ejemplo 1.3

Turbina eólica

Una turbina eólica (Figura 1.10) en un parque eólico se está cerrando para su mantenimiento. La turbina tarda 30 s en pasar de su velocidad angular operativa a una parada completa en la cual la función de velocidad angular es:

ω (t) = [(ts^-1-30.0)² / 100.0] rad / s.

Si la turbina de la (Figura 1.10) gira hacia la izquierda mirando hacia la página, (a) ¿cuáles son las direcciones de los vectores de aceleración y velocidad angular? (b) ¿Cuál es la aceleración angular promedio? (c) ¿Cuál es la aceleración angular instantánea en t = 0.0,15.0,30.0s?

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Figura 1.10 Una turbina eólica que está girando en sentido antihorario, como se ve de frente.

Estrategia

a. Nos da el sentido de rotación de la turbina, que está en sentido antihorario en el plano de la página.

Usando la regla de la mano derecha (Figura 1.5), podemos establecer las direcciones de los vectores de velocidad angular y aceleración.

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b. Calculamos las velocidades angulares inicial y final para obtener la aceleración angular promedio.

c. Se nos da la forma funcional de la velocidad angular, por lo que podemos encontrar la forma funcional de la función de aceleración angular tomando su derivada con respecto al tiempo.

Solución

a.Dado que la turbina está girando en sentido antihorario, la velocidad angular w→señala fuera de la página. Pero dado que la velocidad angular está disminuyendo, la aceleración angular α→ apunta a la página, en el sentido opuesto a la velocidad angular.

b.La velocidad angular inicial de la turbina, configuración t = 0, es ω = 9.0rad / s. La velocidad angular final es cero, por lo que la aceleración angular promedio es

α_ = ΔwΔt = w - w₀t - t₀= 0-9.0rad/s/30.0-0s = -0.3rad/s²

c. Tomando la derivada de la velocidad angular con respecto al tiempo da:

α= dω/dt=(t-30)/50.0 rad/s²

α(0,0s)= -0.6rad/s²,α(15,0s)= -0.3 rad/s² y α(30,0s)= 0 rad/s²

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Significado

De los cálculos de (a) y (b) encontramos que la aceleración angular α y la aceleración angular promedio α son negativas. La turbina tiene una aceleración angular en el sentido opuesto a su velocidad angular.

Ahora tenemos un vocabulario básico para discutir la cinemática rotacional de eje fijo y las relaciones entre variables rotacionales. Discutimos más definiciones y conexiones en la siguiente sección.

Animación tomada de https://www.stthomasaquinasversusnasa.com

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1.2. Rotación con aceleración angular constante

En la sección anterior, definimos las variables de rotación del desplazamiento angular, la velocidad angular y la aceleración angular. En esta sección, trabajamos con estas definiciones para derivar relaciones entre estas variables y usamos estas relaciones para analizar el movimiento de rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo bajo una aceleración angular constante. Este análisis forma la base de la cinemática rotacional. Si la aceleración angular es constante, las ecuaciones de la cinemática rotacional se simplifican, similar a las ecuaciones de la cinemática lineal tratadas en Movimiento a lo largo de una Línea recta y Movimiento en dos y tres dimensiones. Entonces podemos usar este conjunto simplificado de ecuaciones para describir muchas aplicaciones en física e ingeniería donde la aceleración angular del sistema es constante. La cinemática rotacional es también un prerrequisito para la discusión de la dinámica rotacional más adelante en este capítulo.

Figura 2.1 Disco de una pelicula de DVD deteniendose. Tomado de Y.Milachay/S.Tinoco

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Cinemática del movimiento de rotación

Utilizando nuestra intuición, podemos comenzar a ver cómo las cantidades de rotación θ, ω, α y t se relacionan entre sí. Por ejemplo, vimos en la sección anterior que si un volante tiene una aceleración angular en la misma dirección que su vector de velocidad angular, su velocidad angular aumenta con el tiempo y también aumenta su desplazamiento angular. Por el contrario, si la aceleración angular es opuesta al vector de velocidad angular, su velocidad angular disminuye con el tiempo. Podemos describir estas situaciones físicas y muchas otras con un conjunto consistente de ecuaciones cinemáticas rotativas bajo una constante aceleración angular. El método para investigar el movimiento rotacional de esta manera se denomina cinemática del movimiento rotacional.

Para comenzar, notamos que si el sistema está girando bajo una aceleración constante, entonces la velocidad angular promedio sigue una relación simple porque la velocidad angular aumenta linealmente con el tiempo. La velocidad angular promedio es solo la mitad de la suma de los valores inicial y final:

α_ = w₀+w_f 2

(1.9)

A partir de la definición de la velocidad angular promedio, podemos encontrar una ecuación que relaciona la posición angular, la velocidad angular promedio y el tiempo:

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w_ = ΔθΔt. Resolviendo para θ, tenemos:

θ_f = θ₀+ w_t

(1.10)

donde hemos establecido t₀ = 0. Esta ecuación puede ser muy útil si conocemos la velocidad angular promedio del sistema. Entonces podríamos encontrar el desplazamiento angular en un período de tiempo dado. A continuación, encontramos una ecuación que relaciona ω, α y t. Para determinar esta ecuación, comenzamos con la definición de aceleración angular:

α= dω/dt

Reorganizamos esto para obtener αdt = dω y luego integramos ambos lados de esta ecuación desde los valores iniciales hasta los valores finales, es decir, desde t₀ a t y ω₀,t₀,ω_f. En un movimiento de rotación uniforme, la aceleración angular es constante por lo que se puede extraer de la integral, produciendo dos integrales definidas

α∫_t₀_tdt^´=∫_w₀_{w_f}dθ

Asumiendo que t₀ = 0, tenemos

αt=w_f-w₀

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Reordenando lo anterior obtenemos:

w_f = w₀+ αt

(1.11)

donde ω₀ es la velocidad angular inicial. La ecuación 1.11 es la contraparte rotacional de la ecuación de la cinemática lineal v_f = v₀ + at. Con la ecuación 1.11, podemos encontrar la velocidad angular de un objeto en cualquier momento especificado t dada la velocidad angular inicial y la aceleración angular.

Hagamos ahora un tratamiento similar comenzando con la ecuación ω = dθ/dt. Lo reorganizamos para obtener ωdt = dθ e integramos ambos lados de los valores iniciales a los valores finales de nuevo, teniendo en cuenta que la aceleración angular es constante y no tiene dependencia del tiempo. Sin embargo, esta vez, la velocidad angular no es constante (en general), por lo que sustituimos en lo que derivamos anteriormente:

∫_t₀_{t_f}w₀dt+∫_t₀_{t_f}αtdt=∫_θ₀_{θ_f}dθ= [w₀t^´+α((t^´)²/2)]_t₀_{t_f} = w₀+α(t²/2)= θ_f - θ₀

donde hemos establecido que t₀ = 0. Ahora reorganizamos para obtener

θ_f = θ₀+w_ft + 1/2αt²

(1.12)

41

La ecuación 1.12 es la contraparte de rotación de la ecuación de la cinemática lineal encontrada en Movimiento a lo largo de una línea recta para la posición en función del tiempo. Esta ecuación nos da la posición angular de un cuerpo rígido giratorio en cualquier momento t dadas las condiciones iniciales (posición angular inicial y velocidad angular inicial) y la aceleración angular.Podemos encontrar una ecuación que sea independiente del tiempo resolviendo para t en la ecuación 1.11 y sustituyéndolo por la ecuación 1.12. La ecuación 1.12 se convierte

θ_f = θ₀+w₀( w_f-w₀/α) + 1/2α(w_f-w₀/α)²

θ_f = θ₀+w₀w_f /α-w₀²/α+1/2w_f²/α-w₀w_f/α+1/2w₀² /α

θ_f = θ₀+ 1/2 w_f²/α-1/2 w₀²/α,

θ_f - θ₀ = w_f²-w₀²/2α

w_f² = w₀²+2α(Δθ)

(1.13)

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La ecuación 1.10 y la ecuación 1.13 describe la rotación del eje fijo para la aceleración constante y se resumen en la Tabla 1.1

Tabla 1.1 Ecuaciones cinemáticas

Aplicando las ecuaciones para movimiento rotacional

Ahora podemos aplicar las relaciones cinemáticas, clave para el movimiento rotatorio a algunos ejemplos simples para tener una idea de cómo las ecuaciones se pueden aplicar a las situaciones cotidianas.

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Ejemplo 1.4

Cálculo de la aceleración de un carrete de pesca

Un pescador de aguas profundas engancha un gran pez que nada desde el bote, tirando de la cuerda de pescar de su carrete de pesca. Todo el sistema está inicialmente en reposo, y la línea de pesca se desenrolla del carrete a un radio de 4.50 cm desde su eje de rotación. Al carrete se le da una aceleración angular de 110rad / s² por 2.00 s (Figura 1.11).

Figura 1.11 La línea de pesca que sale de un carrete giratorio se mueve linealmente.

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(a) ¿Cuál es la velocidad angular final del carrete después de 2 s?

(b) ¿Cuántas revoluciones hace el carrete?

Estrategia

Identifique los conocimientos y compare con las ecuaciones cinemáticas para la aceleración constante. Busque la ecuación apropiada que se pueda resolver para lo desconocido, usando los conocimientos que se dan en la descripción del problema.

Solución

a) Nos dan α y t y queremos determinar ω. La ecuación más directa para usar es w_f = w₀+ αt, ya que todos los términos son conocidos además de la variable desconocida que estamos buscando. Se nos da que w₀ = 0 (comienza desde el reposo), entonces

w_f = 0+ (110rad/s²(2.00s)= 220rad/s

b) Se nos pide que encontremos el número de revoluciones. Debido a que 1rev = 2π rad, podemos encontrar el número de revoluciones encontrando θ en radianes. Nos dan α y t, y sabemos que w₀ es cero, entonces podemos obtener θ usando

θ_f =θ₀ + w₀t + 1/2αt²

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θ_f = 0 + 0 + (0.500)( 110rad/s²)(2s)² = 220 rad

La conversión de radianes a revoluciones da

Número de revoluciones = (220rad)1rev/2π rad = 35.0 rev

Significado

Este ejemplo ilustra que las relaciones entre cantidades rotacionales son altamente análogas a aquellas entre cantidades lineales. Las respuestas a las preguntas son realistas. Después de desenrollar durante dos segundos, se encuentra que el carrete gira a 220 rad / s, que es 2100 rpm.

En el ejemplo anterior, consideramos un carrete de pesca con una aceleración angular positiva. Ahora consideremos qué sucede con una aceleración angular negativa.

Ejemplo 1.5

Cálculo de la duración cuando el carrete de pesca disminuye y se detiene. Ahora el pescador aplica un freno al carrete giratorio, logrando una aceleración angular de -300rad/s². ¿Cuánto tiempo demora el carrete en detenerse?

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Estrategia

Se nos pide que encontremos el tiempo t para que el carrete se detenga. Las condiciones iniciales y finales son diferentes a las del problema anterior, que involucró el mismo carrete de pesca. Ahora vemos que la velocidad angular inicial es
w₀ = 220rad/s y la velocidad angular final ω es cero. La aceleración angular se da
como α = -300rad/s². Al examinar las ecuaciones disponibles, vemos todas las cantidades pero t se conocen en w_f = w₀ + αt, por lo que es más fácil usar esta ecuación.

Solución

La ecuación establece

w_f = w₀ + αt

Resolvemos la ecuación algebraicamente para t y luego sustituimos los valores conocidos como de costumbre, produciendo

t= w_f - w₀/α= 0 - 220.0 rad/s/-300.0 rad/s² = 0.733s

Explicación

Tenga en cuenta que se debe tener cuidado con los signos que indican las direcciones de varias cantidades. Además, tenga en cuenta que el tiempo para detener el carrete es

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bastante pequeño porque la aceleración es bastante grande. Las líneas de pesca a veces se rompen debido a las aceleraciones involucradas, y los pescadores a menudo dejan que los peces naden por un tiempo antes de aplicar los frenos en el carrete. Un pez cansado es más lento, requiere una aceleración más pequeña.

Animación tomada de https://www.boois.com/fishing-tips.htm

Comprueba tu aprendizaje 1.2

Una centrífuga utilizada en la extracción de ADN gira a una velocidad máxima de 7000 rpm, produciendo una "fuerza g" en la muestra que es 6000 veces la fuerza de la gravedad. Si la centrífuga tarda 10 segundos en descansar de la velocidad máxima de rotación: (a) ¿Cuál es la aceleración angular de la centrífuga? (b) ¿Cuál es el desplazamiento angular de la centrífuga durante este tiempo?.

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Ejemplo 1.6

Aceleración angular de una hélice

La Figura 1.12 muestra un gráfico de la velocidad angular de una hélice en un avión en función del tiempo. Su velocidad angular comienza en 30 rad/s y cae linealmente a 0 rad/s en el transcurso de 5 segundos. (a) Encuentre la aceleración angular del objeto y verifique el resultado usando las ecuaciones cinemáticas. (b) Encuentre el ángulo a través del cual gira la hélice durante estos 5 segundos y verifique su resultado usando las ecuaciones cinemáticas.

Figura 1.12. Gráfico de la velocidad angular de una hélice en función del tiempo.

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Estrategia

a) Dado que la velocidad angular varía linealmente con el tiempo, sabemos que la aceleración angular es constante y no depende de la variable de tiempo. La aceleración angular es la pendiente del gráfico de velocidad angular vs. tiempo,α = dω/dt. Para calcular la pendiente, leemos directamente de la figura 1.12, y vemos que w₀ = 30rad / s en t = 0 s y w_f = 0 rad/s en t = 5 s. Entonces, podemos verificar el resultado usando
w = w₀ + αt.

b) Usamos la ecuación w = dθ/dt; dado que la derivada en el tiempo del ángulo es la velocidad angular, podemos encontrar el desplazamiento angular integrando la velocidad angular, que de la figura significa tomar el área bajo el gráfico de velocidad angular. En otras palabras:

∫_θ₀_{θ_f}dθ = θ_f - θ₀ = ∫_t₀_{t_f}w(t)dt

Luego usamos las ecuaciones cinemáticas para la aceleración constante para verificar el resultado.

Solución

a) Calculando la pendiente, obtenemos

50

α = w - w₀/t - t₀ = (0 - 30.0)rad/s/(5.0 -0)s = -6.0 rad/s²

Vemos que esta es exactamente la Ecuación 1.11 con una pequeña reorganización de los términos

b) Podemos encontrar el área debajo de la curva calculando el área del triángulo rectángulo, como se muestra en la Figura 1.13

Figura 1.13. El área debajo de la curva es el área del triángulo rectángulo.

51

Δθ = área ( triangulo)

Δθ = 1/2(30rad/s)(5s)= 75 rad

Verificamos la solución usando la Ecuación 1.12:

θ_f = θ₀ + w₀t + 1/2 αt²

Asumiendo que θ₀ = 0, tenemos

θ_f = (30.0rad/s)(5s)+ 1/2 (-6.0rad/s²)(5.0rad/s)² = 150.0 - 75.0 = 75.0 rad

Esto verifica la solución encontrada al encontrar el área debajo de la curva.

Explicación

Vemos en la parte (b) que existen enfoques alternativos para analizar la rotación del eje fijo con aceleración constante. Comenzamos con un enfoque gráfico y verificamos la solución utilizando las ecuaciones cinemáticas de rotación. Como α = dω/dt, podríamos hacer el mismo análisis gráfico en una curva de aceleración angular vs. tiempo. El área bajo una curva α-vs-t nos da el cambio en la velocidad angular. Como la aceleración angular es constante en esta sección, este es un ejercicio directo.

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En la rotación del eje fijo se presentan otras variables que trabajaremos en los próximos apartados. Por ahora, te presentamos la siguiente escena interactiva diseñada por Denis Radin, la cual hemos modificado para incorporar dos piezas adicionales. Con el puntero del ratón rota las hélices o la turbina y observa cómo la inercia juega un papel importante en la rotación.

te sugerimos interactuar con la escena en una ventan ampliada.

Ampliar

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1.3 Relacionar Cantidades Angulares y Translacionales

En esta sección, relacionamos cada una de las variables de rotación con las variables de traslación definidas en Movimiento a lo largo de una línea recta y Movimiento en dos y tres dimensiones. Esto completará nuestra capacidad de describir rotaciones de cuerpo rígido.

Variables angulares vs. lineales

En variables de rotación, presentamos variables angulares. Si comparamos las definiciones de rotación con las definiciones de variables cinemáticas lineales del movimiento a lo largo de la línea recta y el movimiento en dos y tres dimensiones, encontramos que hay un mapeo de las variables lineales con las rotacionales. La posición lineal, la velocidad y la aceleración tienen sus equivalentes rotativos, como podemos ver cuando los escribimos uno al lado del otro como se muestra en la sigueinte Tabla 1.2 .

Tabla 1.2. Variables angulares vs. lineales.

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Comparemos las variables lineales y rotacionales individualmente. La variable lineal de posición tiene unidades físicas de metros, mientras que la variable de posición angular tiene unidades adimensionales de radianes, como se puede ver en la definición de θ = sr, que es la relación de dos longitudes. La velocidad lineal tiene unidades de m/s, y su contraparte, la velocidad angular, tiene unidades de rad/s. En Variables de rotación, vimos en el caso del movimiento circular que la velocidad tangencial lineal de una partícula a un radio r del eje de rotación está relacionada con la velocidad angular por la relación v_t = rω. Esto también podría aplicarse a puntos en un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo. Aquí, consideramos solo movimiento circular. En movimientos circulares, uniformes y no uniformes, existe una aceleración centrípeta (Movimiento en Dos y Tres Dimensiones). El vector de aceleración centrípeta apunta hacia adentro desde la partícula que ejecuta el movimiento circular hacia el eje de rotación. La derivación de la magnitud de la aceleración centrípeta se da en movimiento en dos y tres dimensiones. A partir de esa derivación, se encontró que la magnitud de la aceleración centrípeta era

a_c = v_t²/r

(1.14)

donde r es el radio del círculo. Por lo tanto, en un movimiento circular uniforme cuando la velocidad angular es constante y la aceleración angular es cero, tenemos una aceleración lineal, es decir, aceleración centrípeta, ya que la velocidad tangencial en la ecuación 1.14 es una constante. Si el movimiento circular no uniforme está presente, el sistema rotativo tiene una aceleración angular, y tenemos tanto una aceleración centrípeta lineal que está cambiando (por que v_t está cambiando) como una aceleración tangencial lineal.

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Estas relaciones se muestran en la Figura 1.14 donde mostramos las aceleraciones centrípeta y tangencial para el movimiento circular uniforme y no uniforme.

Figura 1.14. (a) Movimiento circular uniforme: la aceleración centrípeta a_ctiene su vector hacia el eje de rotación. No hay aceleración tangencial. (b) Movimiento circular no uniforme: una aceleración angular produce una aceleración centrípeta hacia adentro que está cambiando en magnitud, más una aceleración tangencial en.

La aceleración centrípeta se debe al cambio en la dirección de la velocidad tangencial, mientras que la aceleración tangencial se debe a cualquier cambio en la magnitud de la velocidad tangencial. Los vectores de aceleración tangencial y centrípeta a→_t y a→_c son siempre perpendiculares entre sí, como se ve en la Figura 1.14. Para completar esta descripción, podemos asignar un vector de aceleración lineal total a un punto en un cuerpo rígido giratorio o una partícula que ejecuta un movimiento circular a un radio r desde un eje fijo. El vector de aceleración lineal total a→ es la suma vectorial de las aceleraciones centrípeta y tangencial.

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a→ = a→_t + a→_c

(1.15)

El vector de aceleración lineal total en el caso del movimiento circular no uniforme apunta en un ángulo entre los vectores de aceleración tangencial y centrípeta, como se muestra en la Figura 1.15. Desde a→_c ⊥ a→_t, la magnitud de la aceleración lineal total es:

√a_c² + a_t²/

Ten en cuenta que si la aceleración angular es cero, la aceleración lineal total es igual a la aceleración centrípeta.

La Figura 1.15 muestra la aceleración lineal total, tangencial y centrípeta.

Figura 1.15. Una partícula está ejecutando un movimiento circular y tiene una aceleración angular. La aceleración lineal total de la partícula es la suma vectorial de los vectores de aceleración centrípeta y aceleración tangencial. El vector de aceleración lineal total está en un ángulo entre las aceleraciones centrípeta y tangencial.

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En la siguiente escena interactiva, diseñada por Andrew Duffy, puedes observar una comparación de la aceleración constante en cinemática rotacional y de una dimensión.

Ampliar

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En la anterior escena, puedes comparar el movimiento de una bola, que está influenciada solo por la gravedad, con la de un disco, que tiene una aceleración angular constante dirigida hacia la izquierda. Puedes ver el diagrama de movimiento de la bola, con la posición marcada a intervalos de 0,5 s. También puedes ver el diagrama de movimiento del disco, con la posición marcada a intervalos de 0,5 s. Luego, puedes ver gráficos de la posición, velocidad y aceleración de la bola, todo en función del tiempo, o gráficos de la posición angular, velocidad angular y aceleración angular del disco, tmabién en función del tiempo.

Relaciones entre movimiento rotacional y traslacional

Podemos ver dos relaciones entre el movimiento rotacional y traslacional.

1. En términos generales, las ecuaciones cinemáticas lineales tienen sus equivalentes rotacionales. La Tabla 1.3 enumera las cuatro ecuaciones cinemáticas lineales y la correspondiente contraparte rotacional.

Tabla 1.3. Ecuaciones cinemáticas de rotación y traslación

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Los dos conjuntos de ecuaciones se parecen entre sí, pero describen dos situaciones físicas diferentes, es decir, rotación y traslación

2. La segunda correspondencia tiene que ver con relacionar variables lineales y rotacionales en el caso especial de movimiento circular. Esto se muestra en la Tabla 1.4 , donde en la tercera columna, hemos enumerado la ecuación de conexión que relaciona la variable lineal con la variable de rotación. Las variables de rotación de velocidad angular y aceleración tienen subíndices que indican su definición en movimiento circular.

Tabla 1.4 . Cantidades rotatorias y traslacionales: movimiento circular.

Ejemplo 1.7

Aceleración lineal de una centrífuga

Una centrífuga tiene un radio de 20 cm y acelera desde una velocidad máxima de

60

rotación de 10.000 rpm hasta descansar en 30 segundos bajo una aceleración angular constante. Está girando en sentido antihorario. ¿Cuál es la magnitud de la aceleración total de un punto en la punta de la centrífuga en t = 29.0s? ¿Cuál es la dirección del vector de aceleración total?

Estrategia

Con la información dada, podemos calcular la aceleración angular, que luego nos permitirá encontrar la aceleración tangencial. Podemos encontrar la aceleración centrípeta en t = 0 calculando la velocidad tangencial en este momento. Con las magnitudes de las aceleraciones, podemos calcular la aceleración lineal total. A partir de la descripción de la rotación en el problema, podemos dibujar la dirección del vector de aceleración total.

Solución

La aceleración angular es

α = w - w₀/t = 0 - (1.0x10⁴)2π/60.0s(rad/s)/30.0s = -34.9 rad/s²

Por lo tanto, la aceleración tangencial es:

a_t = rα = 0.2m (-34.9 rad/s²)= -7.0 m/s²

La velocidad angular en t = 29.0s es:

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w = w₀ + αt = 1.0x10⁴(2π/60.0s)+ (-34.9 rad/s²)(29.0s)

w = 1047.2 rad/s - 1012.71 rad/s = 35.1 rad/s

Por lo tanto, la velocidad tangencial en t = 29.0s es:

v_t = rw = 0.2m (35.1rad/s)= 7.0 m/s.

Ahora podemos calcular la aceleración centrípeta en t = 29.0s

a _c= v² /r = (7.0 m/s)²/0.2 m= 245.1 m/s²

a =√x²/

Dado que la centrífuga tiene una aceleración angular negativa, se está desacelerando. El vector de aceleración total es como se muestra en la figura 1.16. El ángulo con respecto al vector de aceleración centrípeta es:

θ =tan^-1 -7.0/245.0 = -1.6^º

El signo negativo significa que el vector de aceleración total está en ángulo hacia la dirección de las agujas del reloj.

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Figura 1.16. Vectores de aceleración centrípeta, tangencial y total. La centrífuga se está desacelerando, por lo que la aceleración tangencial es en el sentido de las agujas del reloj, opuesta a la dirección de rotación (en sentido antihorario).

Explicación

En la figura 1.16 , vemos que el vector de aceleración tangencial es opuesto a la dirección de rotación. La magnitud de la aceleración tangencial es mucho menor que la aceleración centrípeta, por lo que el vector de aceleración lineal total formará un ángulo muy pequeño con respecto al vector de aceleración centrípeta.

Comprueba tu aprendizaje 1.3

Un niño salta en un carrusel con un radio de 5 m que está en reposo. Comienza a acelerar a una velocidad constante hasta una velocidad angular de 5 rad / s en 20 segundos. ¿Cuál es la distancia recorrida por el niño?

63

1.4 Momento de inercia y energía cinética rotacional

Hasta ahora en este capítulo, hemos estado trabajando con la cinemática rotacional: la descripción del movimiento para un cuerpo rígido giratorio con un eje de rotación fijo. En esta sección, definimos dos nuevas cantidades que son útiles para analizar propiedades de objetos rotativos: momento de inercia y energía cinética rotacional. Con estas propiedades definidas, tendremos dos herramientas importantes que necesitamos para analizar la dinámica rotacional.

Energía cinética rotacional

Cualquier objeto en movimiento tiene energía cinética. Sabemos cómo calcular esto para un cuerpo sometido a movimiento de traslación, pero ¿qué tal si un cuerpo rígido sufre rotación?. Esto puede parecer complicado porque cada punto en el cuerpo rígido tiene una velocidad diferente. Sin embargo, podemos hacer uso de la velocidad angular, que es la misma para todo el cuerpo rígido, para expresar la energía cinética de un objeto giratorio. La figura 1.17 muestra un ejemplo de un cuerpo giratorio muy enérgico: una muela eléctrica propulsada por un motor. Las chispas están volando, y el ruido y la vibración se generan cuando la piedra de afilar hace su trabajo. Este sistema tiene una energía considerable, en parte en forma de calor, luz, sonido y vibración. Sin embargo, la mayor parte de esta energía está en forma de energía cinética de rotación.

La energía en movimiento rotacional no es una nueva forma de energía; más bien, es la energía asociada con el movimiento de rotación, lo mismo que la energía cinética en el movimiento de traslación. Sin embargo, debido a que la energía cinética viene dada por K =1/2 m v², y la velocidad es una cantidad diferente para cada punto de un cuerpo giratorio alrededor de un eje, tiene sentido encontrar una forma de escribir energía

64

Figura 1.17. La energía cinética de rotación de la piedra de afilar se convierte en calor, luz, sonido y vibración. (crédito: Zachary David Bell, US Navy).

cinética en términos de la variable ω, que es el mismo para todos los puntos en un cuerpo giratorio rígido.

Para una sola partícula que gira alrededor de un eje fijo, esto es fácil de calcular. Podemos relacionar la velocidad angular con la magnitud de la velocidad de traslación usando la relación v_t = ωr, donde r es la distancia de la partícula desde el eje de rotación y v_t es su velocidad tangencial. Sustituyendo en la ecuación por energía cinética, encontramos:

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K = 1/2 m v² = 1/2 m (wr)² = 1/2 (mr²)w²

En el caso de un cuerpo giratorio rígido, podemos dividir cualquier cuerpo en un gran número de masas más pequeñas, cada una con una masa mj y distancia al eje de rotación r_j, de modo que la masa total del cuerpo sea igual a la suma de las masas individuales M = ∑ m_j.

Cada masa más pequeña tiene velocidad tangencial v_j, donde hemos soltado el subíndice t por el momento. La energía cinética total del cuerpo giratorio rígido es:

K=∑1/2m_jv²_j = ∑1/2m_j(r_jω_j)²

y dado que ω_j = ω para todas las masas,

K = 1/2(∑m_jr²_j)ω²

(1.16)

Las unidades de la ecuación 1.16 son joules (J). La ecuación en esta forma es completa, pero incómoda; necesitamos encontrar una manera de generalizarlo.

Momento de inercia

Si comparamos la ecuación 1.16 con la forma en que escribimos la energía cinética en

66

trabajo y energía cinética, (1/2 mv²), esto sugiere que tenemos una nueva variable de rotación para agregar a nuestra lista de nuestras relaciones entre las variables de rotación y traslacional. La cantidad Σm_jr_j² es la contraparte de la masa en la ecuación de la energía cinética de rotación. Este es un nuevo término importante para el movimiento de rotación. Esta cantidad se denomina momento de inercia I, con unidades de kg m²:

I = ∑m_jr_j².

(1.17)

Por ahora, dejamos la expresión en forma de suma, que representa el momento de inercia de un sistema de partículas puntuales que giran alrededor de un eje fijo. Observamos que el momento de inercia de una sola partícula puntual alrededor de un eje fijo es simplemente mr², siendo r la distancia desde la partícula puntual al eje de rotación. En la siguiente sección, exploramos la forma integral de esta ecuación, que puede usarse para calcular el momento de inercia de algunos cuerpos rígidos de forma regular.

El momento de inercia es la medida cuantitativa de la inercia rotacional, al igual que en el movimiento traslacional, y la masa es la medida cuantitativa de la inercia lineal; es decir, cuanto más masivo es un objeto, más inercia tiene y mayor es su resistencia para cambiar en velocidad lineal. De manera similar, cuanto mayor es el momento de inercia de un cuerpo rígido o sistema de partículas, mayor es su resistencia al cambio en la velocidad angular alrededor de un eje de rotación fijo. Es interesante ver cómo el momento de inercia varía con r, la distancia al eje de rotación de las partículas de masa en la ecuación 1.17. Los cuerpos rígidos y los sistemas de partículas con más masa concentrada a una mayor distancia del eje de rotación tienen mayores momentos de

67

inercia que los cuerpos y sistemas de la misma masa, pero concentrados cerca del eje de rotación. De esta manera, podemos ver que un cilindro hueco tiene más inercia rotacional que un cilindro sólido de la misma masa cuando gira alrededor de un eje a través del centro. Sustituyendo la ecuación 1.17 en la ecuación 10.16, la expresión de la energía cinética de un cuerpo rígido giratorio se convierte en:

K=1/2I ω²

(1.18)

Vemos a partir de esta ecuación que la energía cinética de un cuerpo rígido giratorio es directamente proporcional al momento de inercia y al cuadrado de la velocidad angular. Esto se explota en dispositivos de almacenamiento de energía de volante, que están diseñados para almacenar grandes cantidades de energía cinética de rotación. Muchos fabricantes de automóviles ahora están probando dispositivos de almacenamiento de energía volante en sus automóviles, como el volante, o el sistema de recuperación de energía cinética, que se muestra en la figura 1.18

Las cantidades rotacionales y de traslación para la energía cinética y la inercia se resumen en la tabla 1.5

Tabla 1.5. Energías cinéticas de rotación y traslación e inercia

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Figura 1.18. Un volante motor KERS (sistema de recuperación de energía cinética) utilizado en automóviles. (crédito: "cmonville" / Flickr).

Ejemplo 1.8

Momento de inercia de un sistema de partículas

Seis arandelas pequeñas están espaciadas a 10 cm de distancia en una varilla de masa despreciable y de 0,5 m de longitud. La masa de cada arandela es de 20 g. La barra gira alrededor de un eje ubicado a 25 cm, como se muestra en la figura 1.19 (a) ¿Cuál es el momento de inercia del sistema? (b) Si se quitan las dos arandelas más cercanas al

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eje, ¿cuál es el momento de inercia de las cuatro arandelas restantes? (c) Si el sistema con seis arandelas gira a 5 rev/s, ¿cuál es su energía cinética de rotación?.

Figura 1.19. Seis arandelas están espaciadas a 10 cm de distancia en una varilla de masa despreciable y girando alrededor de un eje vertical.

Estrategia

a) Usamos la definición de momento de inercia para un sistema de partículas y realizamos la suma para evaluar esta cantidad. Las masas son todas iguales, así que podemos tirar esa cantidad delante del símbolo de suma.

b) Hacemos un cálculo similar.

c) Insertamos el resultado de (a) en la expresión de energía cinética de rotación

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Solución

a) I = ∑m_jr_j²=(0.02 kg)(2×(0.25 m)² + 2×(0.15 m)² + 2×(0.05 m)²)= 0.0035 kg•m².

b) I = ∑m_jr_j²=(0.02 kg)(2×(0.25 m)² + 2×(0.15 m)² = 0.0034 kg•m².

c) K = 1/2Iω²=12(0.0035 kg•m ²)(5.0×2π rad/s)² = 1.73 J.

Explicación

Podemos ver las contribuciones individuales al momento de inercia. Las masas cercanas al eje de rotación tienen una contribución muy pequeña. Cuando los quitamos, tuvo un efecto muy pequeño en el momento de inercia.

En la siguiente escena interactiva, diseñada por Juan Guillermo Rivera Berrío, presentamos una simulación del problema anterior, en la cual puedes cambiar la separación de las arandelas, quitar o poner las arandelas más cercanas al eje y detener o reanudar la rotación.

71

Ampliar

En la siguiente sección, generalizamos la ecuación de suma para partículas puntuales y desarrollamos un método para calcular momentos de inercia para cuerpos rígidos. Por ahora, sin embargo, la Figura 1.20 (a) - (b) da valores de inercia rotacional para formas de objetos comunes alrededor de ejes especificados.

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Figura 1.20 (a). Valores de inercia rotacional para formas comunes de objetos.

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Figura 1.20 (b). Valores de inercia rotacional para formas comunes de objetos.

Aplicando energía cinética rotacional

Ahora apliquemos las ideas de la energía cinética rotacional y el momento de la tabla de inercia para tener una idea de la energía asociada con unos pocos objetos rotativos. Los siguientes ejemplos también lo ayudarán a sentirse cómodo usando estas ecuaciones. Primero, veamos una estrategia general de resolución de problemas para la energía rotacional.

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Estrategia de resolución de problemas: energía rotacional

1. Determine que la energía o el trabajo está involucrado en la rotación.

2. Determine el sistema de interés. Un boceto generalmente ayuda.

3. Analice la situación para determinar los tipos de trabajo y energía involucrados.

4. Si no hay pérdidas de energía debido a la fricción y otras fuerzas no conservativas, la energía mecánica se conserva, es decir:
K_i + U_i = K_f + U_f

5. Si hay fuerzas no conservativas presentes, la energía mecánica no se conserva y otras formas de energía, como el calor y la luz, pueden entrar o salir del sistema. Determine cuáles son y calcúlelos según sea necesario.

6. Eliminar términos siempre que sea posible para simplificar el álgebra.

7. Evalúe la solución numérica para ver si tiene sentido en la situación física presentada en la redacción del problema.

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Ejemplo 1.9

Cálculo de las energías de los helicópteros

Un pequeño helicóptero de rescate típico tiene cuatro hélices: cada una tiene 4.00 m de largo y una masa de 50.0 kg, Figura 1.21 Las hélices se pueden aproximar como barras delgadas que giran alrededor de un extremo de un eje perpendicular a su longitud. El helicóptero tiene una masa total cargada de 1000 kg. (a) Calcule la energía cinética de rotación en las hélicescuando giran a 300 rpm. (b) Calcule la energía cinética de traslación del helicóptero cuando vuela a 20.0 m / s, y compárelo con la energía de rotación en las hélices.

Figura 1.21 (a) Croquis de un helicóptero de cuatro hélices. (b) Una operación de rescate de agua con un helicóptero del Servicio de Helicópteros de Rescate Westpac de Auckland. (crédito b: modificación del trabajo por "111 Emergencia" / Flickr)

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Estrategia

Las energías cinéticas de rotación y traslación se pueden calcular a partir de sus definiciones. La redacción del problema proporciona todas las constantes necesarias para evaluar las expresiones de las energías cinéticas de rotación y translación.

Solución

a. La energía cinética de rotación es:

K=1/2Iω²

Debemos convertir la velocidad angular en radianes por segundo y calcular el momento de inercia antes de que podamos encontrar K. La velocidad angular ω es:

ω = 300 rev/1.00 min 2π rad/1 rev1.00 min/60.0s = 31.4 rad/s.

El momento de inercia de una hélice es el de una varilla delgada que gira alrededor de su extremo, enumerada en la Figura 1.21 El momento total I es cuatro veces este momento de inercia porque hay cuatro hélices. Así,

I = 4Ml²/3= 4×(50.0 kg)(4.00 m)²/3 = 1067.0 k•gm².

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Ingresando ω y I en la expresión de la energía cinética de rotación da

K = 0.5(1067 kg•m²)(31.4 rad/s)² = 5.26×105 J

b. Ingresando los valores dados en la ecuación para la energía cinética de la traducción, obtenemos:

K = 1/2mv² = (0.5)(1000.0 kg)(20.0 m/s)² = 2.00×10⁵J

Para comparar energías cinéticas, tomamos la proporción de energía cinética de traslación a energía cinética de rotación. Esta relación es:

2.00×10⁵J/5.26×10⁵J = 0.380

Explicación

La relación de energía de traslacional y la energía cinética de rotación es solo 0.380. Esta relación nos dice que la mayor parte de la energía cinética del helicóptero está en sus hélices giratorias.

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Ejemplo 1.10

Energía en un Boomerang

Una persona arroja un boomerang al aire con una velocidad de 30.0 m / s en un ángulo de 40.0 ° con respecto a la horizontal Figura 1.22 . Tiene una masa de 1.0 kg y está girando a 10.0 rev / s. El momento de inercia del boomerang se da como I = 1/12mL² donde L = 0.7m. (a) ¿Cuál es la energía total del boomerang cuando sale de la mano? (b) ¿Qué tan alto va el bumerang desde la elevación de la mano, despreciando la resistencia del aire?

Figura 1.22. Un boomerang se lanza al aire en un ángulo inicial de 40 °

79

Estrategia

Usamos las definiciones de energía cinética rotacional y lineal para encontrar la energía total del sistema. El problema indica que debemos despreciar la resistencia del aire, por lo que no debemos preocuparnos por la pérdida de energía. En la parte (b), usamos la conservación de energía mecánica para encontrar la altura máxima del boomerang.

Solución

a. Momento de inercia: I = 1/12mL² = 1/12(1.0 kg)(0.7 m)² = 0.041 kg•m²

Velocidad angular: ω = (10.0rev/s)(2π)= 62.83 rad/s.

La energía cinética de rotación es por lo tanto

K_R = 1/2(0.041 kg•m²)(62.83 rad/s)² = 80.93 J

La energía cinética de traslación es:

K_T = 1/2mv²=1/2(1.0 kg)(30.0 m/s)²= 450.0 J

Por lo tanto, la energía total en el boomerang es:

80

K_Total = K_R+K_T = 80.93 + 450.0 = 530.93 J

b. Usamos la conservación de energía mecánica. Como el boomerang se lanza con un ángulo, necesitamos escribir las energías totales del sistema en términos de sus energías cinéticas lineales usando la velocidad en las direcciones x e y. La energía total cuando el boomerang sale de la mano es:

E_Antes = 1/2mv²_x+1/2mv²_y+1/2Iω²

La energía total a la altura máxima es:

E_Final = 1/2mv²_x+1/2Iω² + mgh

Por conservación de la energía mecánica, E_Antes = E_Final, entonces tenemos, después de cancelar los términos semejante

1/2mv²_y = mgh

Dado que v_y = 30.0 m/s(sen40 °) = 19.28 m/s, encontramos

h = (19.28 m/s)²/2(9.8 m/s²) = 18.97 m

81

Explicación

En la parte (b), la solución demuestra cómo la conservación de energía es un método alternativo para resolver un problema que normalmente se resolvería utilizando la cinemática. En ausencia de resistencia al aire, la energía cinética de rotación no era un factor en la solución para la altura máxima.

Comprueba tu entendimiento 1.4

Una hélice submarina nuclear tiene un momento de inercia de 800.0 kg m². Si la hélice sumergida tiene una velocidad de rotación de 4.0 rev / s cuando se corta el motor, ¿cuál es la velocidad de rotación de la hélice después de 5.0 s cuando la resistencia al agua ha eliminado 50,000 J del sistema?

1.5 Cálculo de momentos de inercia

Momento de Inercia

Definimos el momento de inercia I de un objeto como I = Σ m_ir²_i para todas las masas de puntos que componen el objeto. Como r es la distancia al eje de rotación de cada masa que forma el objeto, el momento de inercia para cualquier objeto depende del eje elegido. Para ver esto, tomemos un ejemplo simple de dos masas al final de una varilla sin masa (insignificantemente pequeña) Figura 1.23 y calculemos el momento de inercia alrededor de dos ejes diferentes. En este caso, la suma sobre las masas es simple

82

porque las dos masas al final de la barra se pueden aproximar como masas puntuales, y la suma, por lo tanto, tiene solo dos términos.

En el caso del eje en el centro de la barra, cada una de las dos masas m está a una distancia R lejos del eje, dando un momento de inercia de

I₁ = mR² + mR² = 2mR²

En el caso del eje al final de la barra, que pasa por una de las masas, el momento de inercia es

I₂ = m(0)² + m(2R)² = 4mR²

A partir de este resultado, podemos concluir que es dos veces más difícil rotar la barra con respecto al extremo que sobre su centro.

Figura 1.23 (a) Una barra con un eje de rotación a través de su centro; (b) una barra con un eje de rotación a través de un extremo.

83

En este ejemplo, tuvimos dos masas puntuales y la suma fue simple de calcular. Sin embargo, para tratar con objetos que no son puntuales, debemos pensar cuidadosamente sobre cada uno de los términos en la ecuación. La ecuación nos pide que sumemos cada "porción de masa" a cierta distancia del eje de rotación. Pero, ¿qué significa exactamente cada "porción de masa".? Recordemos que en nuestra derivación de esta ecuación, cada porción de masa tenía la misma magnitud de velocidad, lo que significa que toda la porción tenía que tener una sola distancia r con respecto al eje de rotación. Sin embargo, esto no es posible a menos que tomemos una porción de masa infinitesimalmente pequeña, como se muestra en la Figura 1.24

Figura 1.24 . Usar una porción de masa infinitesimalmente pequeña para calcular la contribución al momento total de inercia.

La necesidad de usar una cantidad de masa infinitamente pequeña dm sugiere que podemos escribir el momento de inercia evaluando una integral sobre masas infinitesimales en lugar de hacer una suma discreta sobre masas finitas:

84

I = ∑m_ir_i² se convierte I = ∫r²dm

(1.19)

Esto, de hecho, es la forma que necesitamos para generalizar la ecuación para formas complejas. Lo mejor es trabajar con ejemplos específicos en detalle para tener una idea de cómo calcular el momento de inercia para formas específicas. Este es el enfoque de la mayor parte del resto de esta sección.

Una varilla delgada y uniforme con un eje a través del centro

Considere una varilla delgada uniforme (densidad y forma) de masa M y longitud L, como se muestra en la Figura 1.25 . Queremos una varilla delgada para que podamos asumir que el área de la sección transversal de la varilla es pequeña y la varilla puede considerarse como una cadena de masas a lo largo de una línea recta unidimensional. En este ejemplo, el eje de rotación es perpendicular a la varilla y pasa por el punto medio para simplificar. Nuestra tarea es calcular el momento de inercia sobre este eje. Orientamos los ejes para que el eje z sea el eje de rotación y el eje x pase a lo largo de la varilla, como se muestra en la figura. Esta es una opción conveniente porque podemos integrarnos a lo largo del eje x.

Figura 1.25. Cálculo del momento de inercia I para una varilla delgada uniforme alrededor de un eje a través del centro de la varilla.

85

Definimos dm como un pequeño elemento de masa que forma la barra. El momento de inercia es una integral sobre la distribución de masa. Sin embargo, sabemos cómo integrar sobre el espacio, no sobre la masa. Por lo tanto, necesitamos encontrar una manera de relacionar las variables masivas con las espaciales. Hacemos esto usando la densidad de masa lineal λ del objeto, que es la masa por unidad de longitud. Dado que la densidad de masa de este objeto es uniforme, podemos escribir

λ=m/l ó m=λ l

Si tomamos el diferencial de cada lado de esta ecuación, encontramos

dm = d(λl)=λ(dl)

ya que λ es constante. Elegimos orientar la varilla a lo largo del eje x para mayor comodidad; aquí es donde esa elección se vuelve muy útil. Tenga en cuenta que una pieza de la barra dl se encuentra completamente a lo largo del eje x y tiene una longitud dx; de hecho, dl = dx en esta situación. Por lo tanto, podemos escribir dm = λ (dx), que nos da una variable de integración que sabemos cómo manejar. La distancia de cada pieza de masa dm desde el eje viene dada por la variable x, como se muestra en la figura. Juntando todo esto, obtenemos

I = ∫r²dm = ∫x²dm = ∫x²λdx

El último paso es tener cuidado con nuestros límites de integración.

La varilla se extiende desde x = -L/2 a x = L/2, ya que el eje está en el centro de la varilla en x = 0. Esto nos da

86

∫_-L/2_L/2x²λdx = λ(1/3)[(L/2)³−(-L/2)³]= λ(L/3)L³/8(2)= M/L(1/3)L³/8(2)= 1/12ML²

A continuación, calculamos el momento de inercia para la misma varilla delgada uniforme pero con una elección de eje diferente para que podamos comparar los resultados. Es de esperar que el momento de inercia sea más pequeño en torno a un eje a través del centro de masa que el eje de punto final, tal como lo fue para el ejemplo de barra al comienzo de esta sección. Esto sucede porque más masa se distribuye más lejos del eje de rotación.

Una varilla delgada uniforme con eje en el extremo

Ahora considere la misma varilla delgada uniforme de masa M y longitud L, pero esta vez movemos el eje de rotación hasta el final de la varilla. Deseamos encontrar el momento de inercia sobre este nuevo eje Figura 1.26 . La cantidad dm se define nuevamente como un pequeño elemento de masa que forma la varilla. Al igual que antes, obtenemos

I = ∫r²dm = ∫x²dm = ∫x²λdx

Sin embargo, esta vez tenemos diferentes límites de integración. La varilla se extiende desde x = 0 hasta x = L, ya que el eje está al final de la varilla en x = 0. Por lo tanto, encontramos

I=∫₀_Lx²λdx = λ(1/3)[(L)³−(0)³] = λ(1/3)L³=M/L(1/3)L³=1/3ML²

87

Tenga en cuenta que la inercia de rotación de la varilla alrededor de su punto final es mayor que la inercia rotacional alrededor de su centro (consistente con el ejemplo de la barra) por un factor de cuatro.

Figura 1.26. Cálculo del momento de inercia I para una varilla delgada uniforme alrededor de un eje a través del extremo de la varilla.

El Teorema de los Ejes Paralelos

La similitud entre el proceso de encontrar el momento de inercia de una varilla alrededor de un eje a través de su centro y alrededor de un eje hasta su final es llamativa, y sugiere que podría haber un método más simple para determinar el momento de inercia de una varilla sobre cualquier eje paralelo al eje a través del centro de masa. Tal eje se llama eje paralelo. Hay un teorema para esto, llamado el teorema del eje paralelo, que aquí indicamos pero no derivamos en este texto.

Teorema de los ejes paralelos

Sea m la masa de un objeto y d la distancia desde un eje a través del centro de masa del objeto a un nuevo eje. Entonces tenemos

I_{eje paralelo}= I_{centro de masa} + md²

(1.20)

88

Vamos a aplicar esto a los ejemplos de varillas resueltos anteriormente:

I = I_{centro de masa}+md²=1/12mL²+m(L/2)² = (1/12+1/4)mL²=1/3mL²

Este resultado concuerda con nuestro cálculo más extenso hecho arriba. Esta es una ecuación útil que aplicamos en algunos de los ejemplos y problemas.

Comprueba tu aprendizaje 1.5

¿Cuál es el momento de inercia de un cilindro de radio R y masa m alrededor de un eje a través de un punto en la superficie, como se muestra a continuación?

Un disco delgado uniforme alrededor de un eje a través del centro

Integrar para encontrar el momento de inercia de un objeto bidimensional es un poco más complicado, pero una forma que se suele hacer en este nivel de estudio: un disco delgado y uniforme alrededor de un eje que atraviesa su centro (Figura 1.27)

89

Figura 1.27 Cálculo del momento de inercia para un disco delgado sobre un eje a través de su centro.

Como el disco es delgado, podemos tomar la masa distribuida por completo en el plano xy. Nuevamente comenzamos con la relación de la densidad de masa superficial, que es la masa por área de superficie unitaria. Como es uniforme, la densidad de masa superficial σ es constante:

σ = m/A o σA = m, así que dm = σ(dA)

Ahora usamos una simplificación para el área. Se puede pensar que el área está formada por una serie de anillos delgados, donde cada anillo es un incremento en masa dm de radio r equidistante del eje, como se muestra en la parte (b) de la figura.

90

El área infinitesimal de cada anillo dA está dada por la longitud de cada anillo (2πr) multiplicado por el ancho infinitesimal de cada anillo dr:

A = πr², dA = d(πr²) = πdr² = 2πrdr

El área completa del disco se compone de la adición de todos los anillos delgados con un radio de 0 a R. Este rango de radio se convierte en nuestros límites de integración para dr, es decir, integramos de r = 0 a r = R . Juntando todo esto, tenemos

I = ∫₀_Rr²σ(2πr)dr = 2πσ∫₀_Rr³dr = 2πσ(R⁴/4 − 0)

I = 2πm/A(R⁴/4) = 2πm/πR²(R⁴/4) = 1/2mR²

Ten en cuenta que esto concuerda con el valor dado en la Figura 1.20.

Cálculo del momento de inercia para objetos compuestos

Ahora considera un objeto compuesto como el de la Figura 1.28, que representa un disco delgado al final de una varilla delgada. Esto no se puede integrar fácilmente para encontrar el momento de inercia porque no es un objeto de forma uniforme. Sin embargo, si volvemos a la definición inicial del momento de inercia como una sumatoria, podemos razonar que el momento de inercia de un objeto compuesto se puede encontrar a partir de la suma de cada parte del objeto:

I_total = ∑_i I_i

(1.21)

91

Es importante observar que los momentos de inercia de los objetos en la ecuación 1.21 se refieren a un eje común. En el caso de este objeto, sería una barra de longitud L girando alrededor de su extremo, y un disco delgado de radio R girando alrededor de un eje desplazado fuera del centro por una distancia L + R, donde R es el radio de la disco. Vamos a definir la masa de la barra por m_T y la masa del disco por m_d.

Figura 1.28. Objeto compuesto que consiste en un disco al final de una varilla. El eje de rotación se encuentra en A.

El momento de inercia de la varilla es simplemente 1/3m_TL², pero tenemos que usar el teorema de eje paralelo para encontrar el momento de inercia del disco alrededor del eje que se muestra. El momento de inercia del disco alrededor de su centro es 1/2m_dR² y aplicamos el teorema del eje paralelo I_{eje paralelo} = I_{centro de masa} + md² para encontrar

92

I_{eje paralelo} = 1/2m_dR² + m_d(L+R)²

Añadiendo el momento de inercia de la varilla más el momento de inercia del disco con un eje de rotación desplazado, encontramos que el momento de inercia para el objeto compuesto es

I_total = 1/3m_TL² + 1/2m_dR² + m_d(L+R)².

Aplicación de cálculos de momento de inercia para resolver problemas

Ahora examinemos algunas aplicaciones prácticas de los cálculos del momento de inercia.

Ejemplo 1.11

Persona en un tiovivo

Un niño de 25 kg se encuentra a una distancia r = 1.0 m del eje de un carrusel giratorio (Figura 1.29). El tiovivo se puede aproximar como un disco sólido uniforme con una masa de 500 kg y un radio de 2,0 m. Encuentra el momento de inercia de este sistema.

Estrategia

Este problema implica el cálculo de un momento de inercia. Se nos da la masa y la distancia al eje de rotación del niño, así como la masa y el radio del tiovivo.

93

Figura 1.29. Cálculo del momento de inercia para un niño en un tiovivo

Como la masa y el tamaño del niño son mucho más pequeños que el tiovivo, podemos aproximar al niño como una masa de puntos. La notación que usamos es

m_c = 25 kg, r_c = 1.0 m, m_m = 500 kg, r_m = 2.0 m

Nuestro objetivo es encontrar I_total = ∑ _i I _i

Solución

Para el niño, I_c = m_cr², y para el tiovivo, I_m = 12m_mr². Por lo tanto

I_total = 25(1)² + 1/2(500)(2)² = 25 + 1000 = 1025 kg•m²

94

Explicación

El valor debe estar cerca del momento de inercia del tiovivo por sí solo porque tiene mucha más masa distribuida desde el eje que el niño.

Ejemplo 1.12

Varilla y esfera sólida

Encuentre el momento de inercia de la varilla y la combinación de esfera sólida alrededor de los dos ejes, como se muestra a continuación.

La barra tiene una longitud de 0,5 my una masa de 2,0 kg. El radio de la esfera es de 20.0 cm y tiene una masa de 1.0 kg

95

Estrategia

Como tenemos un objeto compuesto en ambos casos, podemos usar el teorema del eje paralelo para encontrar el momento de inercia sobre cada eje. En (a), el centro de masa de la esfera se encuentra a una distancia L + R del eje de rotación. En (b), el centro de masa de la esfera se encuentra a una distancia R del eje de rotación. En ambos casos, el momento de inercia de la varilla es alrededor de un eje en un extremo. Consulte la Tabla 1.5 para conocer los momentos de inercia de los objetos individuales.

a) I_total = ∑_iI_i = I_barra + I_esfera;

I_esfera = I_{centro de masa} + m_esfera(L+R)² = 2/5m_esferaR² + m_esfera(L+R)²;

I_total = 1/3(2.0 kg)(0.5 m)² + 2/5(1.0 kg)(0.2 m)² + (1.0 kg)(0.5 m+0.2 m)²;

I_total = (0.167 + 0.016 + 0.490) kg•m² = 0.673 kg•m².

b) I_esfera = 2/5m_esferaR² + m_esferaR²;

I_total = I_barra + I_esfera = 1/3m_barraL² + 2/5m_esferaR² + m_esferaR²;

96

I_total = 1/3(2.0 kg)(0.5 m)²+2/5(1.0 kg)(0.2 m)² + (1.0 kg)(0.2 m)²;

I_total = (0.167 + 0.016 + 0.04) kg•m² = 0.223 kg•m².

Explicación

El uso del teorema del eje paralelo facilita el cálculo del momento de inercia de los objetos compuestos. Vemos que el momento de inercia es mayor en (a) que (b). Esto se debe a que el eje de rotación está más cerca del centro de masa del sistema en (b). La simple analogía es la de una varilla. El momento de inercia en un extremo es de 1/3 ml², pero el momento de inercia a través del centro de masa a lo largo de su longitud es de 1/12 ml².

Ejemplo 1.13

Velocidad angular de un péndulo.

Un péndulo en forma de varilla ( Figura 1.30 ), se libera en un ángulo de 30°. Tiene una longitud de 30 cm y una masa de 300 g. ¿Cuál es su velocidad angular en su punto más bajo?

97

Figura 1.30. Un péndulo en forma de varilla se libera del resto en un ángulo de 30°

Estrategia

Usa la conservación de la energía para resolver el problema. En el punto de liberación, el péndulo tiene energía potencial gravitacional, que se determina a partir de la altura del centro de masa por encima de su punto más bajo en el columpio. En la parte inferior de la oscilación, toda la energía potencial gravitatoria se convierte en energía cinética de rotación.

Solución

El cambio en la energía potencial es igual al cambio en la energía cinética de rotación ΔU+ΔK=0.

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En la parte superior del péndulo U = mgh_cm = mgL²(cosθ). En la parte inferior del péndulo, U = mgL².

En la parte superior del péndulo, la energía cinética de rotación es K = 0. En la parte inferior del péndulo, K = 1/2Iω². Por lo tanto:

ΔU+ΔK = 0 ⇒ (mgL/2(1 − cosθ)− 0)+(0 − 1/2Iω²) = 0

1/2Iω² = mgL²(1−cosθ).

Resolviendo para ω, tenemos

99

Péndulo con soporte móvil - Interactivo

Presentamos una escena interactiva, diseñada por Wolfgang Christian, en la que puedes incluir los datos del ejemplo anterior y observar el comportamiento del péndulo².

Esta simulación muestra una masa m = 1 que se entrega desde una barra de longitud L que cuelga de un punto de soporte móvil. El movimiento del punto de soporte es el movimiento del dispositivo móvil o el movimiento del control deslizante cuando se selecciona la opción "sin sensor". También hay una fuerza de fricción (fricción) viscosa a baja velocidad F_drag = -Dv que es proporcional a la velocidad v y al coeficiente de amortiguación D. La configuración del arrastre no cero es útil para amortiguar el movimiento transitorio al realizar observaciones.

Practica para la masa del péndulo con θ = {0°, 30°, 45°, 90° 180°} sin fricción y con ω = 0. Ten en cuenta que la posición angular se ingresa usando radianes, no grados, en la simulación.

¿Cómo cambiará el comportamiento del péndulo si ω = 3.6 (resultado del ejemplo anterior)?

Ingresa una velocidad angular inicial mayor y observa el movimiento.

100

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101

1.6 Torque

Definición de Torque

Hasta ahora hemos definido muchas variables que son equivalentes rotativos a sus contrapartes traslacionales. Consideremos cuál debe ser la contraparte de la fuerza. Dado que las fuerzas cambian el movimiento de traslación de los objetos, la contraparte rotacional debe estar relacionada con el cambio del movimiento de rotación de un objeto sobre un eje. Llamamos a este par de contraparte rotacional: torque.

En la vida cotidiana, rotamos objetos sobre un eje todo el tiempo, por lo que intuitivamente ya sabemos mucho sobre el torque. Considera, por ejemplo, cómo rotamos una puerta para abrirla. Primero, sabemos que una puerta se abre lentamente si nos acercamos demasiado a sus bisagras; es más eficiente rotar una puerta para abrirla si nos alejamos de las bisagras. Segundo, sabemos que debemos empujar perpendicularmente al plano de la puerta; si empujamos en paralelo al plano de la puerta, no podemos rotarlo. En tercer lugar, cuanto mayor es la fuerza, más eficaz es para abrir la puerta; cuanto más empuje, más rápidamente se abre la puerta. El primer punto implica que cuanto más se aplica la fuerza desde el eje de rotación, mayor es la aceleración angular; el segundo implica que la efectividad depende del ángulo al que se aplica la fuerza; el tercero implica que la magnitud de la fuerza también debe ser parte de la ecuación. Ten en cuenta que para la rotación en un plano, el par tiene dos direcciones posibles.

El par de torsión es en sentido horario o antihorario en relación con el punto de pivote elegido. La Figura 1.31 muestra rotaciones en sentido antihorario.

102

Figura 1.31. Torque es la efectividad de giro o torsión de una fuerza, ilustrada aquí para la rotación de la puerta en sus bisagras (vista desde arriba). El par tiene tanto magnitud como dirección. (a) Un par de torsión en sentido antihorario es producido por una fuerza F→ que actúa a una distancia r de las bisagras (el punto de pivote). (b) Se produce un par menor en el sentido contrario a las agujas del reloj cuando una fuerza más pequeña F→' actúa a la misma distancia r de las bisagras. (c) La misma fuerza que en (a) produce un par menor en sentido antihorario cuando se aplica a una distancia menor de las bisagras. (d) Se produce un par menor en sentido contrario a las agujas del reloj con la misma fuerza de magnitud que (a) actuando a la misma distancia que (a) pero con un ángulo θ inferior a 90°.

103

Torque

Cuando se aplica una fuerza F→ a un punto P cuya posición es r→ relativa a O ( Figura 1.32 ), el par τ→ alrededor de O es

τ→ = r→ × F→

(1.22)

Figura 1.32. . El par es perpendicular al plano definido por r→y F→ y su dirección está determinada por la regla de la mano derecha.

104

A partir de la definición del producto cruz, el par τ→ es perpendicular al plano que contiene r→ y F→ y tiene magnitud |τ→| = |r→ × F→| = rsenθ

donde θ es el ángulo entre los vectores r→ y F→. La unidad del torque en el SI es newtons por metros, generalmente escrito como N⋅m. La cantidad r⊥ = rsenθ es la distancia perpendicular de O a la línea determinada por el vector F→ y se llama brazo de palanca. Ten en cuenta que cuanto mayor es el brazo de palanca, mayor es la magnitud del par o torque. En términos del brazo de palanca, la magnitud del torque es

|τ→| = r⊥F

(1.23)

El producto cruz r→ × F→ también nos dice el signo del torque. En la Figura 1.32 , el producto cruz r→ × F→ está a lo largo del eje z positivo, que por convención es un par positivo. Si r→ × F→ está a lo largo del eje z negativo, esto produce un par negativo.

Si consideramos un disco que puede girar libremente alrededor de un eje a través del centro, como se muestra en la Figura 1.33 podemos ver cómo el ángulo entre el radio r→ y la fuerza F→ afecta la magnitud del torque. Si el ángulo es cero, el par es cero; si el ángulo es de 90° el par es máximo. El torque en la figura 1.33 es positivo porque la dirección del torque por la regla de la mano derecha está fuera de la página a lo largo del eje z positivo. El disco gira en sentido antihorario debido al par, en la misma dirección que una aceleración angular positiva.

105

Figura 1.33. Un disco es libre de rotar sobre su eje a través del centro. La magnitud del torque en el disco es rFsenθ. Cuando θ = 0°, el torque es cero y el disco no gira. Cuando θ = 90°, el par es máximo y el disco gira con aceleración angular máxima.

Se puede calcular cualquier cantidad de pares sobre un eje dado. Los pares o torques individuales se suman para producir un par neto alrededor del eje. Cuando se asigna el signo apropiado (positivo o negativo) a las magnitudes de los pares individuales sobre un eje específico, el par neto alrededor del eje es la suma de los pares individuales:

τ→_neto = ∑_i|τ_i→|

(1.24)

Cálculo del par neto para cuerpos rígidos en un eje fijo

En los siguientes ejemplos, calculamos el par tanto de forma abstracta como aplicada a un cuerpo rígido. Primero presentamos una estrategia de resolución de problemas.

106

Estrategia de resolución de problemas: Encontrar el par neto

1. Elige un sistema de coordenadas con el punto de pivote o el eje de rotación como el origen del sistema de coordenadas seleccionado.

2. Determina el ángulo entre el brazo de palanca r→ y el vector de fuerza.

3. Toma el producto cruz de r→ y F→ para determinar si el torque es positivo o negativo sobre el eje o punto de pivote.

4. Evalúa la magnitud del torque usando r⊥F.

5. Asigna el signo apropiado, positivo o negativo, a la magnitud.

6. Suma los pares para encontrar el par neto.

Ejemplo 1.14

Calculando el torque

En la Figura 1.34 se muestran cuatro fuerzas en ubicaciones y orientaciones particulares con respecto a un sistema de coordenadas xy dado. Encuentra el torque debido a cada fuerza sobre el origen, luego usa tus resultados para encontrar el torque neto sobre el origen.

107

Figura 1.34. Cuatro fuerzas que producen torques

Estrategia

Este problema requiere calcular el torque. Todas las cantidades conocidas -fuerzas con direcciones y brazos de palanca- se dan en la figura. El objetivo es hallar cada torque individual y el torque neto sumando los pares individuales. Ten cuidado de asignar el signo correcto a cada torque usando el producto cruz de r→ y el vector fuerza F→.

Solución

Utiliza | τ→ | = r⊥F = rFsenθ para encontrar la magnitud y τ→ = r→ × F→ para determinar el signo del torque.

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El par de la fuerza 40 N en el primer cuadrante viene dado por (4)(40)sen90° = 160 N•m.

El producto cruz de r→ y F→ está fuera de la página, positivo.

El par de la fuerza 20 N en el tercer cuadrante está dado por -(3)(20)sen90° = -60 N•m.

El producto cruz de r→ y F→ está dentro de la página, por lo que es negativo.

El par de la fuerza 30 N en el tercer cuadrante viene dado por (5)(30)sen53° = 120N•m.

El producto cruz de r→ y F→ está fuera de la página, positivo.

El par de la fuerza 20 N en el segundo cuadrante está dado por (1)(20)sen30° = 10N•m.

El producto cruz de r→ y F→ está fuera de la página.

El par neto es, por lo tanto,

τ_neto = ∑_i|τ_i→| = 160 - 60 + 120 + 10 = 230 N•m.

Explicación

Ten en cuenta que cada fuerza que actúa en el sentido contrario a las agujas del reloj tiene un par positivo, mientras que cada fuerza que actúa en el sentido de las agujas del reloj tiene un par negativo. El torque es mayor cuando la distancia, la fuerza o los componentes perpendiculares son mayores.

109

Practica con el cálculo de torques en las siguiente escena, diseñada por Juan Guillermo Rivera Berrío. Trata, al menos, de estimar el signo del torque.

Ampliar

110

Ejemplo 1.15

Cálculo de par en un cuerpo rígido

La Figura 1.35 muestra varias fuerzas que actúan en diferentes ubicaciones y ángulos en un volante. Tenemos ||F→₁|| = 20N, ||F→ ₂|| = 30N, ||F→ ₃|| = 30N, y r = 0.5 m. Encuentra el torque neto en el volante alrededor de un eje a través del centro.

Figura 1.35 Tres fuerzas que actúan sobre un volante.

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Estrategia

Calculamos cada torque de forma individual, utilizando el producto cruz, y determinamos el signo del torque. Luego sumamos los torques para encontrar el torque neto

Solución

Comenzamos con F→₁. Si observamos la Figura 1.35 vemos que F→₁ forma un ángulo de 90° + 60° con el vector de radio r→. Tomando el producto cruz, vemos que está fuera de la página y, por lo tanto, es positivo. También vemos esto al calcular su magnitud:

|τ→₁| = rF₁sen150° = 0.5m(20 N)(0.5) = 5.0 N•m.

A continuación, observamos F→₂. El ángulo entre F→₂ y r→ es 90° y el producto cruz está hacia dentro de la página, por lo que el torque es negativo. Su valor es

|τ→₂| = −rF₂sen90° = −0.5m(30 N) = −15.0N•m.

Cuando evaluamos el torque debido a F→₃, vemos que el ángulo que hace con r→ es cero, entonces r→ × F→₃ = 0. Por lo tanto, F→₃ no produce ningún torque en el volante. Evaluamos la suma de los pares:

τ_neto = ∑_i|τ_i→| = 5 − 15 = −10N•m.

Explicación

El eje de rotación está en el centro de la masa del volante. Como el volante está en un

112

eje fijo, no es libre de trasladar. Si estuviera en una superficie sin fricción y no se fijara en su lugar, F→₃ haría que el volante se traslade, así como también F→₁. Su movimiento sería una combinación de traslación y rotación.

Comprueba tu aprendizaje

Un gran barco oceánico encalla cerca de la costa, similar al destino del Costa Concordia, y se encuentra en un ángulo como se muestra a continuación. Las cuadrillas de salvamento deben aplicar un par de torsión para enderezar la nave para el transporte. Una fuerza de 5.0 × 10⁵ N que actúa en el punto A se debe aplicar a la derecha del barco. ¿Cuál es el torque sobre el punto de contacto de la nave con el suelo ( Figura 1.36).

Figura 1.36. Un barco encalla y se inclina, lo que requiere que se aplique un par de torsión para devolver el buque a una posición vertical.

113

1.7 Segunda ley de Newton para la rotación

Hasta ahora, hemos encontrado muchas contrapartes a los términos de traslación utilizados en este texto, más recientemente, el torque, el análogo de rotación a la fuerza. Esto plantea la pregunta: ¿Existe una ecuación análoga a la segunda ley de Newton, ΣF→ = ma→, ¿qué implica el par y el movimiento de rotación? Para investigar esto, comenzamos con la segunda ley de Newton para una sola partícula que gira alrededor de un eje y ejecuta un movimiento circular. Ejerzamos una fuerza F→ en una masa de punto m que está a una distancia r de un punto de pivote ( Figura 1.37 ). La partícula está obligada a moverse en una trayectoria circular con un radio fijo y la fuerza es tangente al círculo. Aplicamos la segunda ley de Newton para determinar la magnitud de la aceleración a = F/m en la dirección de F→.

Recuerda que la magnitud de la aceleración tangencial es proporcional a la magnitud de la aceleración angular a = rα. Sustituyendo esta expresión en la segunda ley de Newton, obtenemos

F = mrα

Multiplica ambos lados de esta ecuación por r,

rF = mr²α

Ten en cuenta que el lado izquierdo de esta ecuación es el par sobre el eje de rotación, donde r es el brazo de palanca y F es la fuerza, perpendicular a r.

Recuerda que el momento de inercia para una partícula puntual es I = mr². El torque aplicado perpendicularmente a la masa de punto en la Figura 1.37 es por lo tanto

114

τ = Iα

Figura 1.37. Un objeto es soportado por una mesa horizontal sin fricción y está sujeto a un punto de pivote por un cordón que suministra fuerza centrípeta. Una fuerza F→ se aplica al objeto perpendicularmente al radio r, haciendo que se acelere alrededor del punto de pivote. La fuerza es perpendicular a r.

El torque en la partícula es igual al momento de inercia alrededor del eje de rotación multiplicado por la aceleración angular. Podemos generalizar esta ecuación a un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo.

115

LA SEGUNDA LEY DE ROTACIÓN DE NEWTON

Si más de un torque actúa sobre un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo, entonces la suma de los torques es igual al momento de inercia multiplicado por la aceleración angular

∑_iτ_i = Iα

(1.25)

El término Iα es una cantidad escalar y puede ser positivo o negativo (en sentido antihorario o en el sentido de las agujas del reloj) según el signo del torque neto. Recuerde la convención de que la aceleración angular en sentido antihorario es positiva. Por lo tanto, si un cuerpo rígido está girando en el sentido de las agujas del reloj y experimenta un par positivo (en sentido antihorario), la aceleración angular es positiva.

La ecuación 1.25 es la segunda ley de rotación de Newton y nos dice cómo relacionar torque, momento de inercia y cinemática rotacional. Esto se llama la ecuación para la dinámica rotacional. Con esta ecuación, podemos resolver una clase completa de problemas que involucran fuerza y rotación. Tiene sentido que la relación de cuánta fuerza se necesita para rotar un cuerpo incluiría el momento de inercia, ya que esa es la cantidad que nos dice qué tan fácil o difícil es cambiar el movimiento de rotación de un objeto.

Derivando la segunda ley de Newton para la rotación en forma de vector

Como antes, cuando encontramos la aceleración angular, también podemos encontrar

116

el vector de par. La segunda ley ΣF→ = ma→ nos dice la relación entre la fuerza neta y cómo cambiar el movimiento de traslación de un objeto. Tenemos un equivalente de rotación vectorial de esta ecuación, que se puede encontrar usando la Ecuación 1.7 y la Figura 1.8. La ecuación 1.7 relaciona la aceleración angular con la posición y los vectores de aceleración tangencial:

a→ = α→ × r→

Formamos el producto cruz de esta ecuación con r→ y usamos una identidad de producto cruz (ten en cuenta que r→ • α→ = 0):

r→ × a→ = r→ × (α→ ×r→ ) = α→ (r→ • r→ ) − r→ (r→ • α→ ) = α→ (r→ • r→ ) = α→r².

Ahora formamos el producto cruzado de la segunda ley de Newton con el vector de posición r→,

Σ(r→ × F→ ) = r→ ×(m a→ )= mr→ × a→ = mr²α→ .

Identificando el primer término a la izquierda como la suma de los pares, y mr² como el momento de inercia, llegando a la segunda ley de rotación de Newton en forma vectorial:

Σ τ→ = Iα→

(1.26)

Esta ecuación es exactamente la ecuación 1.25 pero con el torque y la aceleración angular como vectores. Un punto importante es que el vector de torque está en la misma dirección que la aceleración angular.

117

Aplicando la ecuación de dinámica rotacional

Antes de aplicar la ecuación de dinámica rotacional a algunas situaciones cotidianas, repasemos una estrategia general de resolución de problemas para usar con esta categoría de problemas.

Estrategia de resolución de problemas: dinámica rotacional

1. Examina la situación para determinar que el torque y la masa están involucrados en la rotación. Dibuja un esbozo cuidadoso de la situación.

2. Determina el sistema de interés.

3. Dibuja un diagrama de cuerpo libre. Es decir, dibujar y etiquetar todas las fuerzas externas que actúan sobre el sistema de interés.

4. dentifica el punto de pivote. Si el objeto está en equilibrio, debe estar en equilibrio para todos los puntos pivote posibles: elige el que simplifique más tu trabajo.

5. Aplica Σ_iτ_i = Iα, el equivalente de rotación de la segunda ley de Newton, para resolver el problema. Se debe tener cuidado de usar el momento correcto de inercia y considerar el torque alrededor del punto de rotación.

6. Como siempre, verifica la solución para ver si es razonable.

118

Ejemplo 1.16

Cálculo del efecto de la distribución de masa en un tiovivo

Considera al padre empujando un carrusel de patio de recreo en la Figura 1.38 . Él ejerce una fuerza de 250 N en el borde del carrusel de 50.0 kg, que tiene un radio de 1.50 m. Calcula la aceleración angular producida (a) cuando nadie está en el tiovivo y (b) cuando un niño de 18.0 kg se encuentra a 1.25 m del centro. Considera que el tiovivo es un disco uniforme con una fricción insignificante.

Figura 1.38. Un padre empuja un carrusel de patio de recreo en su borde y perpendicular a su radio para lograr el torque máximo.

Estrategia

El torque neto está dado directamente por la expresión Σ_iτ_i = Iα, para hallar α, primero

119

debemos calcular el torque neto τ (que es el mismo en ambos casos) y el momento de inercia I (que es mayor en el segundo caso).

Solución

a. El momento de inercia de un disco sólido alrededor de este eje se da en la Figura 1.20 para ser

1/2MR²

Tenemos M = 50.0 kg y R = 1.50 m, entonces

I = (0.500)(50.0 kg)(1.50 m)² = 56.25 kg•m².

Para encontrar el torque neto, observamos que la fuerza aplicada es perpendicular al radio y la fricción es insignificante, por lo que

τ = rFsenθ = (1.50 m)(250.0 N) = 375.0 N•m.

Ahora, después de que sustituimos los valores conocidos, encontramos que la aceleración angular es

α = τ/I = 375.0 N•m /56.25 kg•m² = 6.67 rad/s².

b. Esperamos que la aceleración angular para el sistema sea menor en esta parte porque el momento de inercia es mayor cuando el niño está en el tiovivo.

120

Para encontrar el momento total de inercia I, primero encontramos el momento de inercia I_c del niño al aproximar al niño como una masa puntual a una distancia de 1.25 m del eje. Entonces

I_c = mR² = (18.0 kg)(1.25 m)² = 28.13 kg•m².

El momento total de inercia es la suma de los momentos de inercia del tiovivo y el niño (sobre el mismo eje):

I = 28.13 kg•m² + 56.25 kg•m² = 84.38 kg•m².

Al sustituir los valores conocidos en la ecuación para α da

α = τ/I = 375.0 Nm/84.38 kg•m² = 4.44 rad/s².

Explicación

La aceleración angular es menor cuando el niño está en el tiovivo que cuando el tiovivo está vacío, como se esperaba. Las aceleraciones angulares encontradas son bastante grandes, en parte debido al hecho de que la fricción se consideró insignificante. Si, por ejemplo, el padre siguió presionando perpendicularmente durante 2.00 s, le daría al carrusel una velocidad angular de 13.3 rad/s cuando está vacía, pero solo 8.89 rad/s cuando el niño está sobre ella.

En términos de revoluciones por segundo, estas velocidades angulares son 2.12 rev/s y 1.41 rev/s, respectivamente. El padre terminaría corriendo a unos 50 km/h en el primer caso.

121

Comprueba tu aprendizaje

Las aspas del ventilador en un motor a reacción tienen un momento de inercia de 30.0 kgm². En 10 s, giran en sentido antihorario desde el reposo hasta una velocidad de rotación de 20 rev/s. (a) ¿Qué torque se debe aplicar a las cuchillas para lograr esta aceleración angular? (b) ¿Cuál es el par de torsión requerido para que las paletas del ventilador giren a 20 rev/s a un reposo en 20 s?

En la siguiente escena interactiva, arrastra el disco desde diferentes puntos y verifica que el movimiento se facilita cuando el torque se aplica en los extremos.

122

1.8 Trabajo y potencia para el movimiento de rotación

En el capítulo anterior, hemos abordado ampliamente la cinemática y la dinámica para rotar cuerpos rígidos alrededor de un eje fijo. En esta sección final, definimos el trabajo y la potencia dentro del contexto de rotación sobre un eje fijo, que tiene aplicaciones tanto para la física como para la ingeniería. La discusión sobre el trabajo y la potencia hace que nuestro tratamiento del movimiento rotacional sea casi completo, con la excepción del movimiento giratorio y el momento angular, que se analizan en otro capítulo. Comenzamos esta sección con un tratamiento del teorema del trabajo y la energía para la rotación.

Trabajo para el movimiento de rotación

Ahora que hemos determinado cómo calcular la energía cinética para cuerpos rígidos rotativos, podemos proceder con una discusión del trabajo realizado en un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo. La Figura 1.39 muestra un cuerpo rígido que ha girado en un ángulo dθ desde A hasta B bajo la influencia de una fuerza F→. La fuerza externa F→ se aplica al punto P, cuya posición es r→, y el cuerpo rígido se ve obligado a girar alrededor de un eje fijo que es perpendicular a la página y pasa por O. El eje de rotación es fijo, por lo que el vector r→ se mueve un círculo de radio r, y el vector ds→ es perpendicular a r→.

De la Ecuación 1.2, tenemos

s→ = θ→ × r→

ds→ = d( θ→ × r→ ) = dθ→ × r→ + dr→ × θ→ = dθ→ × r→

123

Figura 1.39. Un cuerpo rígido gira en un ángulo dθ de A a B por la acción de una fuerza externa F→ aplicada al punto P

Ten en cuenta que dr→ es cero porque r→ está fijo en el cuerpo rígido desde el origen O hasta el punto P. Usando la definición de trabajo, obtenemos

W = ∫∑F→• ds→ = ∫∑F→•(dθ→ × r→) = ∫dθ→•(r→ × ∑F→)

donde usamos la identidad a•→(b→ × c→) = b•→(c→ × a→). Teniendo en cuenta que (r→ × ΣF→) = Στ→, llegamos a la expresión del trabajo de rotación realizado en un cuerpo rígido:

124

W = ∫ ∑ τ→ • dθ→

(1.27)

El trabajo total realizado en un cuerpo rígido es la suma de los torques integrados en el ángulo a través del cual gira el cuerpo. El trabajo incremental es

dW =(∑_iτ _i)dθ

(1.28)

donde hemos tomado el producto de puntos en la Ecuación 1.27, dejando solo torsiones a lo largo del eje de rotación. En un cuerpo rígido, todas las partículas giran en el mismo ángulo; por lo tanto, el trabajo de cada fuerza externa es igual al torque por el ángulo incremental común dθ. La cantidad (∑_i τ _i) es el par neto en el cuerpo debido a fuerzas externas.

De manera similar, encontramos la energía cinética de un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo al sumar la energía cinética de cada partícula que forma el cuerpo rígido. Como el teorema de trabajo y energía W_i = ΔK_i es válido para cada partícula, es válido para la suma de las partículas y el cuerpo entero.

TEOREMA DEL TRABAJO-ENERGÍA PARA LA ROTACIÓN

El teorema del trabajo-energía para un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo es

W_AB = K_B − K_A

(1.29)

125

donde

K = 1/2Iω²

y el trabajo de rotación realizado por una fuerza neta que rota un cuerpo desde el punto A al punto B es

W_AB = ∫_{θ_A}_{θ_B}(∑_i τ _i)dθ

(1.30)

Proporcionamos una estrategia para usar esta ecuación al analizar el movimiento rotacional.

Estrategia de resolución de problemas: Teorema de trabajo-energía para el movimiento de rotación

Identifica las fuerzas en el cuerpo y dibuja un diagrama de cuerpo libre. Calcula el torque para cada fuerza.
Calcula el trabajo realizado durante la rotación del cuerpo con cada torque.
Aplica el teorema del trabajo-energía igualando el trabajo neto realizado en el cuerpo con el cambio en la energía cinética de rotación.

126

Veamos dos ejemplos y usemos el teorema del trabajo-energía para analizar el movimiento rotacional.

Ejemplo 1.17

Trabajo rotativo y energía

Un torque de 12.0 N•m se aplica a un volante que gira alrededor de un eje fijo y tiene un momento de inercia de 30.0 kg•m². Si el volante está inicialmente en reposo, ¿cuál es su velocidad angular después de haber girado ocho revoluciones?

Estrategia

Aplicamos el teorema del trabajo-energía. Sabemos por la descripción del problema cuál es el torque y el desplazamiento angular del volante. Entonces podemos encontrar la velocidad angular final.

Solución

El volante gira a través de ocho revoluciones, que son 16π radianes. El trabajo realizado por el torque, que es constante y por lo tanto puede salir de la integral en la Ecuación 130, es

W_AB = τ(θ_B − θ_A)

Aplicamos el teorema del trabajo-energía:

127

W_AB = τ(θ_B − θ_A) = 1/2Iω²_B − 1/2Iω²_A

Con τ = 12.0 N•m, θ_B − θ_A = 16.0 πrad, I = 30.0 kg•m², y ω_A = 0,

12.0 N•m(16.0πrad) = 1/2(30.0 k•gm²)(ω²_B) − 0.

Por lo tanto,

ω_B = 6.3 rad/s.

Esta es la velocidad angular del volante después de ocho revoluciones.

Explicación

El teorema del trabajo-energía proporciona una manera eficiente de analizar el movimiento de rotación, conectando el torque con la energía cinética de rotación.

Ejemplo 1.18

Trabajo de rotación: una polea

Una cuerda enrollada alrededor de la polea en la Figura 1.40 se tira con una fuerza constante hacia abajo F de magnitud 50 N. El radio R y el momento de inercia I de la polea son 0.10 m y 2.5 × 10^-3kg•m², respectivamente. Si la cuerda no se desliza, ¿cuál

128

es la velocidad angular de la polea después de que se haya desenrollado 1.0 m de cuerda? Supongamos que la polea comienza desde el reposo.

Figura 1.40. (a) Una cuerda se enrolla alrededor de una polea de radio R. (b) El diagrama de cuerpo libre

Estrategia

Al observar el diagrama de cuerpo libre, vemos que ni B→, la fuerza en los cojinetes de la polea, ni el peso de la polea Mg→, ejercen un torque alrededor del eje de rotación y, por lo tanto, no influyen en la rotación de la polea. A medida que la polea gira en un ángulo θ, F→ actúa a través de una distancia d,tal que d = Rθ.

129

Solución

Dado que el torque debido a F→ tiene una magnitud τ = RF, tenemos

W = τθ = (FR)θ = Fd.

Si la fuerza sobre la cuerda actúa a una distancia de 1.0 m, tenemos, desde el teorema del trabajo-energía,

W_AB = K_B − K_B

Fd = 1/2Iω² - 0

(50.0 N)(1.0 m)= 1/2(2.5×10^-3kg•m²)ω²

Resolviendo para ω, obtenemos

ω = 200.0 rad/s.

Potencia para el movimiento de rotación

La potencia siempre surge en la discusión de aplicaciones en ingeniería y física. La potencia para el movimiento de rotación es igual de importante que la potencia en el movimiento lineal y se puede derivar de manera similar a la del movimiento lineal cuando la fuerza es una constante.

130

La potencia lineal cuando la fuerza es una constante es P = F→•v→. Si el torque neto es constante sobre el desplazamiento angular, la ecuación 1.25 se simplifica y el torque neto se puede sacar de la integral. En la siguiente discusión, asumimos que el torque neto es constante. Podemos aplicar la definición de potencia derivada de la potencia al movimiento de rotación. Desde el trabajo y la energía cinética, la potencia instantánea (o solo potencia) se define como la tasa de trabajo,

P = dW/dt

Si tenemos un torque neto constante, la ecuación 1.25 se convierte en W = τθ y la potencia es

P = dW/dtt = d/dt(τθ)= τdθ/dt

P = τ ω

(1.31)

Ejemplo 1.19

Torque en una hélice de barco

Un motor de bote que opera a 9.0 × 10⁴ W está funcionando a 300 rev/min. ¿Cuál es el par en el eje de la hélice?

131

Estrategia

Nos dan la velocidad de rotación en rev/min y el consumo de energía, por lo que podemos calcular fácilmente el torque.

Solución

300.0 rev/min = 31.4 rad/s;

τ = P/ω = 9.0×10⁴ N•m/s/31.4 rad/s = 2864.8 N•m

Explicación

Es importante tener en cuenta que el radián es una unidad adimensional porque su definición es la relación de dos longitudes. Por lo tanto, no aparece en la solución.

Comprueba tu aprendizaje

Se aplica un torque constante de 500 kN•m a un aerogenerador para mantenerlo girando a 6 rad/s. ¿Cuál es la potencia requerida para mantener la turbina girando?

Relaciones rotacionales y traslacionales resumidas

Las magnitudes de rotación y su análogo lineal se resumen en tres tablas. La tabla 1.5 resume las variables de rotación para el movimiento circular alrededor de un eje fijo con sus análogos lineales y la ecuación de conexión, excepto la aceleración centrípeta,

132

que se mantiene por sí misma. La tabla 1.6 resume las ecuaciones cinemáticas de rotación y traslación. La Tabla 1.7 resume las ecuaciones de dinámica rotacional con sus análogos lineales.

Tabla 1.5. Variables de rotación y traslación: resumen

Tabla 1.6. Variables de rotación y traslación: resumen

133

Tabla 1.7. Ecuaciones de rotación y traslación: dinámica

134

1.9 Preguntas y respuestas - Capítulo I

Respuestas

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135

136

Capítulo ii

Momento angular

Introducción

Figura 2.1 Un helicóptero tiene sus palas de elevación principales girando para mantener el avión en el aire. Debido a la conservación del momento angular, el cuerpo del helicóptero querría rotar en el sentido opuesto a las cuchillas, si no fuera por el pequeño rotor en la cola del avión, que proporciona empuje para estabilizarlo.

El momento angular es la contraparte rotacional del momento lineal. Cualquier objeto masivo que gira alrededor de un eje tiene un momento angular, incluyendo volantes giratorios, planetas, estrellas, huracanes, tornados, remolinos, y así sucesivamente. El helicóptero que se muestra en la imagen de apertura del capítulo se puede utilizar para ilustrar el concepto de momento angular. Las paletas de elevación giran alrededor de un eje vertical a través del cuerpo principal y llevan un momento angular. El cuerpo del helicóptero tiende a rotar en el sentido opuesto para conservar el momento angular. Los pequeños rotores en la cola del avión proporcionan un contra empuje contra el cuerpo para evitar que esto suceda, y el helicóptero se estabiliza.

139

El concepto de conservación del momento angular se analiza más adelante en este capítulo. En la parte principal de este capítulo, exploramos las complejidades del momento angular de cuerpos rígidos, como una parte superior, y también de partículas puntuales y sistemas de partículas. Pero para ser completo, comenzamos con una discusión sobre el movimiento continuo, que se basa en los conceptos del capítulo anterior.

2.1 Movimiento de rodadura

El movimiento de rodadura es la combinación común de movimiento rotacional y de traslación que vemos en todas partes, todos los días. Piensa en las diferentes situaciones de las ruedas que se mueven en un automóvil a lo largo de una carretera, o las ruedas de un avión que aterriza en una pista, o las ruedas de un explorador robótico en otro planeta. Comprender las fuerzas y pares que intervienen en el balanceo del movimiento es un factor crucial en muchos tipos diferentes de situaciones.

Movimiento de rodadura sin deslizamiento

La gente ha observado movimientos de rodadura sin deslizamientos desde la invención de la rueda. Por ejemplo, podemos ver la interacción de los neumáticos de un automóvil y la superficie de la carretera. Si el conductor presiona el acelerador hacia el piso, de modo que las llantas giren sin que el automóvil avance, debe existir una fricción cinética entre las ruedas y la superficie de la carretera. Si el conductor presiona el acelerador lentamente, haciendo que el automóvil avance, las llantas ruedan sin deslizarse. Es sorprendente para la mayoría de las personas que, de hecho, la parte inferior de la rueda está en reposo con respecto al suelo, lo que indica que debe haber fricción estática entre las llantas y la superficie de la carretera.

140

En la Figura 2.2, la bicicleta está en movimiento con el ciclista en posición vertical. Los neumáticos tienen contacto con la superficie de la carretera y, aunque están rodando, los fondos de los neumáticos se deforman levemente, no resbalan y están en reposo con respecto a la superficie de la carretera durante un período de tiempo medible. Debe haber una fricción estática entre el neumático y la superficie de la carretera para que así sea.

Figura 2.2 (a) La bicicleta avanza y sus neumáticos no se resbalan. La parte inferior de la llanta levemente deformada está en reposo con respecto a la superficie de la carretera durante un período mensurable de tiempo. (b) Esta imagen muestra que la parte superior de una rueda giratoria aparece borrosa por su movimiento, pero la parte inferior de la rueda está instantáneamente en reposo (crédito a: modificación del trabajo por Nelson Lourenço, crédito b: modificación del trabajo por Colin Rose).

Para analizar el movimiento rodante sin deslizamiento, primero derivamos las variables lineales de velocidad y aceleración del centro de masa de la rueda en términos de las variables angulares que describen el movimiento de la rueda. La situación se muestra en la Figura 2.3.

141

Figura 2.3 (a) Se tira de una rueda sobre una superficie horizontal mediante una fuerza F→. La fuerza de fricción estática F→_s, |F→_s| ≤ μ_SN es lo suficientemente grande como para evitar que se deslice. (b) Los vectores lineales de velocidad y aceleración del centro de masa y las expresiones relevantes para ω y α. El punto P está en reposo relativo a la superficie. (c) En relación con el marco del centro de masa (CM), el punto P tiene una velocidad lineal -Rωi^.

En la Figura 2.3 (a), vemos los vectores de fuerza implicados en la prevención de deslizamiento de la rueda. En (b), el punto P que toca la superficie está en reposo con relación a la superficie. En relación con el centro de masa, el punto P tiene la velocidad -Rωi^, donde R es el radio de la rueda y ω es la velocidad angular de la rueda sobre su eje. Dado que la rueda está rodando, la velocidad de P con respecto a la superficie es su velocidad con respecto al centro de masa más la velocidad del centro de masa con respecto a la superficie:

v→_P = -Rωi^ + v_CMi^

Como la velocidad de P con respecto a la superficie es cero, v_P = 0, entonces

v_CM = Rω

(2.1)

142

Por lo tanto, la velocidad del centro de masa de la rueda es su radio multiplicado por la velocidad angular alrededor de su eje. Mostramos la correspondencia de la variable lineal en el lado izquierdo de la ecuación con la variable angular en el lado derecho de la ecuación. Esto se hace a continuación para la aceleración lineal; pero antes, practica con la siguiente escena interactiva diseñada por Juan Guillermo Rivera Berrío.

Ampliar

143

En la escena se describe el movimiento de rodadura de una rueda como una combinación de traslación y rotación.

Cuando la rueda está rodando, la velocidad de cualquier punto en la rueda es igual a la suma de las velocidades debidas a la rotación y la traslación por separado. Las velocidades debidas a la rotación durante el movimiento de balanceo se pueden visualizar más fácilmente al imaginar que estás mirando la rueda mientras corre a tu lado a una velocidad igual a la velocidad de su centro de masa.
Las velocidades de la parte superior, central e inferior de la rueda se encuentran sumando la velocidad del centro de masa a la velocidad debido a la rotación:

v_sup = v_CM + v_CM = 2v_CM,
v_med = v_CM + 0 = v_CM,
v_inf = v_CM - v_CM = 0 (https://www.wiley.com)³

Retornando a nuestra discusión anterior, si diferenciamos la Ecuación 2.1 en el lado izquierdo de la ecuación, obtenemos una expresión para la aceleración lineal del centro de masa. En el lado derecho de la ecuación, R es una constante y desde α = dω/dt, tenemos

a_CM = Rα.

(2.2)

Además, podemos encontrar la distancia que recorre la rueda en términos de variables angulares consultando la Figura 2.4.

144

A medida que la rueda de la bicicleta rueda del punto A al punto B, su superficie exterior se mapea en el suelo exactamente por la distancia recorrida, que es d_CM. Vemos en la figura 2.4 que la longitud de la superficie exterior que se dibuja en el suelo es la longitud del arco Rθ. Igualando las dos distancias, obtenemos

d_CM = Rθ.

(2.3)

Figura 2.4 A medida que la rueda de la bicicleta rueda sobre la superficie, la longitud del arco Rθ de A a B se mapea en la superficie, correspondiente a la distancia d_CM que el centro de masa ha movido.

Ejemplo 2.1

Rodando en un plano inclinado

Un cilindro sólido rueda por un plano inclinado sin deslizarse, comenzando desde el reposo. Tiene masa m y radio r. (a) ¿Cuál es su aceleración?

145

(b) ¿Qué condición debe cumplir el coeficiente de fricción estática μ_S para que el cilindro no se deslice?

Estrategia

Dibuja un boceto y un diagrama de cuerpo libre, y elige un sistema de coordenadas. Colocamos x en la dirección descendente del plano y y hacia arriba perpendicularmente al plano. Identifica las fuerzas involucradas. Estas son la fuerza normal, la fuerza de la gravedad y la fuerza debida a la fricción. Escribe las leyes de Newton en las direcciones x e y, y la ley de Newton para la rotación, y luego halla la aceleración y la fuerza debidas a la fricción.

Solución

a. El diagrama y el boceto de cuerpo libre se muestran en la figura 2.5, que incluyen la fuerza normal, los componentes del peso y la fuerza de fricción estática. Apenas hay suficiente fricción para mantener el cilindro rodando sin resbalar. Como no hay deslizamiento, la magnitud de la fuerza de fricción es menor o igual a μ_SN. Escribiendo las leyes de Newton en las direcciones x e y, tenemos

∑F_x = ma_x;∑F_y = ma_y.

Sustituyendo en del diagrama de cuerpo libre,

mgsenθ − f_S = m(a_CM)_x,
N − mgcosθ = 0
f_S ≤ μ_SN

146

Figura 2.5 Un cilindro sólido rueda por un plano inclinado sin deslizarse desde el reposo. El sistema de coordenadas tiene x en la dirección hacia abajo del plano inclinado y y perpendicular al plano. El diagrama de cuerpo libre se muestra con la fuerza normal, la fuerza de fricción estática y los componentes del peso mg→. La fricción hace que el cilindro ruede por el plano en lugar de deslizarse.

entonces podemos hallar la aceleración lineal del centro de masa a partir de estas ecuaciones:

(a_CM)_x = g(senθ − μ_Scosθ).

Sin embargo, es útil expresar la aceleración lineal en términos del momento de inercia. Para esto, escribimos la segunda ley de Newton para la rotación,

∑τ_CM = I_CMα

Los torques (pares) se calculan sobre el eje a través del centro de masa del cilindro. El único torque (par) distinto de cero es proporcionado por la fuerza de fricción.

147

Tenemos, entonces

f_Sr = I_CMα.

Finalmente, la aceleración lineal está relacionada con la aceleración angular por

(a_CM)_x = rα.

Estas ecuaciones se pueden usar para hallar a_CM, α, y f_S en términos del momento de inercia, donde hemos descartado el subíndice x. Escribimos a_CM en términos del componente vertical de la gravedad y la fuerza de fricción, y realizamos las siguientes sustituciones.

a_CM = gsenθ − f_S/m
f_S = I_CMα/r = I_CMa_CM/r²

De esto obtenemos

a_CM = gsenθ − I_CMa_CM/mr²
= mgsenθ/m + (I_CM/r²)

Ten en cuenta que este resultado es independiente del coeficiente de fricción estática, μ_S.

148

Como tenemos un cilindro sólido, de la figura 1.20, tenemos I_CM = mr²/2 y

a_CM = mgsenθ/m + (m²/2r²) = 2/3gsenθ

Por lo tanto, obtenemos

α = a_CM/r = 2/3rgsenθ

b. Como no se produce deslizamiento, f_S ≤ μ_SN. Resolviendo para la fuerza de fricción,

f_S = I_CMa_CM/r = I_CMα/r² = I_CM/r²(mgsenθ/m + (I_CM/r²)) = mgI_CMsenθ/r² + I_CM

Sustituyendo esta expresión en la condición de no deslizamiento, y observando que N = mgcosθ, tenemos

mgI_CMsenθ/mr² + I_CM ≤ μ_Smgcosθ

μ_S ≥ tan θ/1 + (2mr²/mr²) = 1/3tanθ

149

Explicación

La aceleración lineal es linealmente proporcional a senθ. Por lo tanto, cuanto mayor es el ángulo de la inclinación, mayor es la aceleración lineal, como cabría esperar. La aceleración angular, sin embargo, es linealmente proporcional a senθ e inversamente proporcional al radio del cilindro. Por lo tanto, cuanto mayor es el radio, menor es la aceleración angular.

Para que no se produzca deslizamiento, el coeficiente de fricción estática debe ser mayor o igual que (1/3)tanθ. Por lo tanto, cuanto mayor sea el ángulo de inclinación, mayor será el coeficiente de fricción estática para evitar que el cilindro se deslice.

Comprueba tu aprendizaje 2.1

Un cilindro hueco está inclinado en un ángulo de 60°. El coeficiente de fricción estática en la superficie es μ_S = 0.6. (a) ¿El cilindro rueda sin deslizarse? (b) ¿Un cilindro sólido rodará sin deslizarse?

Vale la pena repetir la ecuación derivada en este ejemplo para la aceleración de un objeto que rueda sin deslizarse:

a_CM = mgsenθ/m + (I_CM/r²)

(2.4)

Esta es una ecuación muy útil para resolver problemas que implican rodar sin resbalar.

150

Observa que la aceleración es menor que la de un objeto deslizándose por un plano sin fricción sin rotación. La aceleración también será diferente para dos cilindros giratorios con diferentes inercias rotacionales.

Movimiento de rodadura con deslizamiento

En el caso del movimiento de rodadura con deslizamiento, debemos usar el coeficiente de fricción cinética, que da lugar a la fuerza de fricción cinética ya que la fricción estática no está presente. La situación se muestra en la figura 2.6. En el caso de deslizamiento, v_CM - Rω ≠ 0, porque el punto P en la rueda no está en reposo en la superficie, y v_P ≠ 0. Por lo tanto, ω ≠ v_CM/R, α ≠ a_CM/R.

Figura 2.6 (a) La fricción cinética surge entre la rueda y la superficie porque la rueda se desliza. (b) Las relaciones simples entre las variables lineales y angulares ya no son válidas.

151

Ejemplo 2.2

Desplazamiento en un plano inclinado con deslizamiento

Un cilindro sólido rueda desde un plano inclinado y se desliza (Figura 2.7). Tiene masa m y radio r. (a) ¿Cuál es su aceleración lineal? (b) ¿Cuál es su aceleración angular alrededor de un eje a través del centro de masa?

Estrategia

Dibuja un boceto y un diagrama de cuerpo libre que muestre las fuerzas involucradas. El diagrama de cuerpo libre es similar al caso de antideslizamiento, excepto por la fuerza de fricción, que es cinética en lugar de estática. Usa la segunda ley de Newton para hallar la aceleración en la dirección x. Usa la segunda ley de rotación de Newton para hallar la aceleración angular.

Solución

La suma de las fuerzas en la dirección y es cero, por lo que la fuerza de fricción es ahora f_k = μ_kN = μ_kmgcosθ.

La segunda ley de Newton en la dirección x se convierte en

∑F_x = ma_x

mgsenθ − μ_kmgcosθ = m(a_CM)_x

(a_CM)_x = g(senθ − μ_kcosθ).

152

Figura 2.7 Un cilindro sólido rueda desde un plano inclinado y se desliza. El sistema de coordenadas tiene x en la dirección hacia abajo del plano inclinado y y hacia arriba perpendicular al plano. El diagrama de cuerpo libre muestra la fuerza normal, la fuerza de fricción cinética y los componentes del peso mg→.

La fuerza de fricción proporciona el único torque (par) sobre el eje a través del centro de masa, por lo que la segunda ley de rotación de Newton se convierte en

∑τ_CM = I_CMα

f_kr = I_CMα = 1/2mr²α

Resolviendo para α, tenemos

α = 2f_k/mr = 2μ_kgcosθ/r

153

Explicación

Escribimos las aceleraciones lineales y angulares en términos del coeficiente de fricción cinética. La aceleración lineal es la misma que la encontrada para un objeto que se desliza por un plano inclinado con fricción cinética. La aceleración angular alrededor del eje de rotación es linealmente proporcional a la fuerza normal, que depende del coseno del ángulo de inclinación. Como θ → 90°, esta fuerza tiende a cero, y, por lo tanto, la aceleración angular tiende a cero.

Conservación de Energía Mecánica en el movimiento de rodadura

En el capítulo anterior, introdujimos la energía cinética de rotación. Cualquier objeto rodante lleva energía cinética de rotación, así como energía cinética de traslación y energía potencial si el sistema lo requiere. Incluyendo la energía potencial gravitacional, la energía mecánica total de un objeto rodando es

E_T = 1/2mv_CM² + 1/2I_CM²ω² + mgh

En ausencia de fuerzas no conservativas que extraigan la energía del sistema en forma de calor, la energía total de un objeto rodante sin deslizamiento se conserva y es constante durante todo el movimiento. Los ejemplos en los que no se conserva la energía son un objeto rodante que se desliza, la producción de calor como resultado de la fricción cinética y un objeto rodante que encuentra resistencia al aire.

Puedes preguntar por qué un objeto rodante que no se desliza conserva energía, ya que la fuerza de fricción estática no es conservadora. La respuesta se puede encontrar haciendo referencia a la figura 1.3.

154

El punto P en contacto con la superficie está en reposo con respecto a la superficie. Por lo tanto, su desplazamiento infinitesimal dr→ con respecto a la superficie es cero, y el trabajo incremental hecho por la fuerza de fricción estática es cero. Podemos aplicar la conservación de la energía a nuestro estudio del movimiento de rotación para sacar algunos resultados interesantes.

Ejemplo 2.3

Curiosity Rover

El rover Curiosity, que se muestra en la Figura 2.8, se desplegó en Marte el 6 de agosto de 2012. Las ruedas del rover tienen un radio de 25 cm. Supongamos que los astronautas llegan a Marte en el año 2050 y encuentran al Curiosity ahora inoperativa en el costado de una cuenca. Mientras están desmantelando el rover, un astronauta accidentalmente pierde un agarre en una de las ruedas, que rueda sin deslizarse hacia abajo en el fondo de la cuenca a 25 metros abajo. Si la rueda tiene una masa de 5 kg, ¿cuál es su velocidad en la parte inferior de la cuenca?

Estrategia

Usamos la conservación de la energía mecánica para analizar el problema. En la cima de la colina, la rueda está en reposo y solo tiene energía potencial. En el fondo de la cuenca, la rueda tiene energía cinética de rotación y de traslación, que debe ser igual a la energía potencial inicial mediante la conservación de la energía. Como la rueda del rover rueda sin deslizarse, utilizamos la relación v_CM = rω para relacionar las variables de traslación con las variables de rotación en la ecuación de conservación de energía. Entonces resolvemos la velocidad. En la Figura 2.8, vemos que un cilindro hueco es una buena aproximación para la rueda, por lo que podemos utilizar este momento de inercia para simplificar el cálculo.

155

Figura 2.8 El rover Curiosity del Laboratorio de Ciencias de Marte de la NASA durante la prueba el 3 de junio de 2011. La ubicación se encuentra dentro de la Instalación de ensamblaje de naves espaciales en el Laboratorio de Propulsión a Chorro de la NASA en Pasadena, California (crédito: NASA/JPL-Caltech).

156

Solución

La energía en la parte superior de la cuenca equivale a la energía en la parte inferior:

mgh = 1/2mv_CM² + 1/2I_CM²ω²

Las cantidades conocidas son I_CM = mr², r = 0.25 m, y h = 25.0 m.

Reescribimos la ecuación de conservación de energía eliminando ω usando ω = v_CM/r. Tenemos, entonces:

mgh = 1/2mv_CM² + 1/2mr²v_CM²/r², o
gh = 1/2v_CM² + 1/2v_CM² → v_CM = √gh/

En Marte, la aceleración de la gravedad es de 3.71 m/s², lo que da la magnitud de la velocidad en el fondo de la cuenca como

v_CM = √(3.71 m/s²)25.0 m/

157

Explicación

Este es un resultado bastante preciso teniendo en cuenta que Marte tiene muy poca atmósfera, y la pérdida de energía debido a la resistencia del aire sería mínima. El resultado también supone que el terreno es liso, de modo que la rueda no se topará con rocas y baches a lo largo del camino.

Además, en este ejemplo, la energía cinética, o energía del movimiento, se comparte por igual entre el movimiento lineal y rotacional. Si miramos los momentos de inercia en la figura 1.20, vemos que el cilindro hueco tiene el mayor momento de inercia para un radio y masa dados. Si las ruedas del rover fueran sólidas y se aproximaran mediante cilindros sólidos, por ejemplo, habría más energía cinética en el movimiento lineal que en el movimiento rotatorio. Esto daría a la rueda una mayor velocidad lineal que la aproximación de cilindro hueco. Por lo tanto, el cilindro sólido llegaría al fondo del tanque más rápido que el cilindro hueco.

Una simulación para los dos cilindros (sólido y hueco), la presentamos a continuación, la cual fue diseñada por Juan Guillermo Rivera Berrío. Puedes cambiar el valor del ángulo de inclinación.

Por otra parte, en el siguiente apartado, estudiaremos la naturaleza vectorial del momento angular, cómo hallar el momento angular total y el torque sobre un origen designado de un sistema de partículas, el momento angular de un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo, el torque en un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo y la utilización de la conservación del momento angular en el análisis de objetos que cambian su velocidad de rotación.

158

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159

2.2 Momento Angular

¿Por qué la Tierra sigue girando? ¿Qué la hizo girar para empezar? ¿Por qué la atracción gravitacional de la Tierra no atrae a la Luna hacia la Tierra? ¿Y cómo un patinador de hielo puede girar cada vez más rápido simplemente tirando de sus brazos? ¿Por qué no tiene que ejercer un torque para girar más rápido?

Preguntas como estas tienen respuestas basadas en el momento angular, el análogo de rotación al momento lineal. En este capítulo, primero definimos y luego exploramos el momento angular desde una variedad de puntos de vista. Primero, sin embargo, investigamos el momento angular de una sola partícula. Esto nos permite desarrollar un momento angular para un sistema de partículas y para un cuerpo rígido que es cilíndricamente simétrico.

Momento angular de una sola partícula

La figura 2.9 muestra una partícula en una posición r→ con un momento lineal p→ = mv→ con respecto al origen. Incluso si la partícula no está girando sobre el origen, aún podemos definir un momento angular en términos del vector de posición y el momento lineal.

MOMENTO ANGULAR DE UNA PARTICULA

El momento angular l→ de una partícula se define como el producto cruzado de r→ y p→, y es perpendicular al plano que contiene r→ y p→:

l→ = r→ × p→.

(2.5)

160

Figura 2.9 En el espacio tridimensional, el vector de posición r→ localiza una partícula en el plano xy con momento lineal p→. El momento angular con respecto al origen es l→ = r→ × p→, que está en la dirección z. La dirección de l→ viene dada por la regla de la mano derecha, como se muestra en la figura.

La intención de elegir la dirección del momento angular para que sea perpendicular al plano que contiene r→ y p→ es similar a elegir la dirección del torque para que sea perpendicular al plano de r→ y F→, como se explica en el capítulo I. La magnitud del momento angular se encuentra a partir de la definición del producto cruz,

l→ = rpsenθ,

donde θ es el ángulo entre r→ y p→. Las unidades de momento angular son kg • m²/s.

161

Al igual que con la definición de torque, podemos definir un brazo de palanca r⊥ que es la distancia perpendicular desde el vector de momento p→ al origen, r⊥ = rsenθ. Con esta definición, la magnitud del momento angular se vuelve

l = r⊥p = r⊥mv.

Vemos que si la dirección de p→ es tal que pasa por el origen, entonces θ = 0, y el momento angular es cero porque el brazo de palanca es cero. A este respecto, la magnitud del momento angular depende de la elección del origen.

Si tomamos la derivada temporal del momento angular, llegamos a una expresión para el torque en la partícula:

dl→/dt = dr→/dt × p→ + r→ × dp→/dt = v→ × mv→ + r→ × dp→/dt = r→dp→/dt

Aquí hemos utilizado la definición de p→ y el hecho de que un vector cruz en sí mismo es cero. De la segunda ley de Newton, dp→/dt = ∑F→, la fuerza neta que actúa sobre la partícula, y la definición del torque neto, podemos escribir

dl→/dt = ∑τ→

(2.6)

Observa la similitud con el resultado lineal de la segunda ley de Newton, dp→/dt = ∑F→.

162

La siguiente estrategia de resolución de problemas puede servir como una guía para calcular el momento angular de una partícula.

Estrategia de resolución de problemas: momento angular de una partícula

1. Elige un sistema de coordenadas sobre el cual se calculará el momento angular.
2. Escribe el vector r→ de la partícula en la notación de vector unitario.
3. Escribe el vector de momento lineal de la partícula en la notación de vector unitario.
4. Toma el producto cruz l→ = r→ × p→ y usa la regla de la mano derecha para establecer la dirección del vector de momento angular.
5. Observa si hay una dependencia de tiempo en la expresión del vector de momento angular. Si existe, entonces existe un torque sobre el origen, y debes usar dl→/dt = ∑τ→ para calcular el torque. Si no hay dependencia del tiempo en la expresión del momento angular, entonces el torque neto es cero.

Ejemplo 2.4

Momento angular y torque en un meteorito

Un meteorito entra en la atmósfera de la Tierra (figura 2.10) y es observado por alguien en el suelo antes de que se incendie en la atmósfera. El vector r→ = 25kmi^ + 25kmj^ da la posición del meteoro con respecto al observador. En el instante en que el observador ve el meteoro, tiene un momento lineal p→ = 15.0kg (-2.0 km/sj^), y se está acelerando a una constante de 2.0 m/s²(-j^) a lo largo de su trayectoria, que para nuestros propósitos puede ser tomado como una línea recta.

163

(a) ¿Cuál es el momento angular del meteoro sobre el origen, que está en la ubicación del observador? (b) ¿Cuál es el torque en el meteoro sobre el origen?

Figura 2.10 Un observador en el suelo ve un meteoro en la posición r→ con un momento lineal p→.

Estrategia

Hallamos la aceleración en componentes x e y usamos las ecuaciones cinemáticas para expresar la velocidad en función de la aceleración y el tiempo. Insertamos estas expresiones en el momento lineal y luego calculamos el momento angular usando el producto cruz.

164

Dado que los vectores de posición y momento están en el plano xy, esperamos que el vector de momento angular esté a lo largo del eje z. Para encontrar el torque, tomamos la derivada de tiempo del momento angular.

Solución

El meteoro está entrando a la atmósfera de la Tierra en un ángulo de 90.0° por debajo de la horizontal, por lo que los componentes de la aceleración en las direcciones x e y son

a_x = 0, a_y = −2.0 m/s².

Escribimos las velocidades usando las ecuaciones cinemáticas.

v_x = 0, v_y = -2.0 × 10³ m/s - (2.0 m/s²)t.

a. El momento angular es

l→ = r→ × r→ = (25.0kmi^ + 25.0kmj^) × 15.0 kg(0i^ + v_yj^)

= 15.0 kg[25.0 km(v_y)k^]
= 15.0 kg[2.50 × 10⁴ m(−2.0 × 10³ m/s − (2.0 m/s²)t)k^].

En t = 0, el momento angular del meteoro sobre el origen es

r→₀ = 15.0kg [2.50 × 10⁴ m(-2.0 × 10³ m/s)k^] = 7.50 × 10⁸ kg • m²/s(-k^).

Este es el instante en que el observador ve el meteoro.

165

b. Para encontrar el torque, tomamos la derivada de tiempo del momento angular. Tomando la derivada de tiempo de l→ en función del tiempo, que es la segunda ecuación inmediatamente anterior, tenemos

dl→/dt = −15.0 kg(2.50 × 10⁴ m)(2.0 m/s²)k^

Luego, ya que, dl→/dt = ∑τ→, obtenemos

∑τ→ = −7.5 × 10⁵ N • mk^

Las unidades de torque se dan como newton-metro, que no deben confundirse con julios. Como comprobación, notamos que el brazo de palanca es la componente x del vector r→ en la figura 2.10 ya que es perpendicular a la fuerza que actúa sobre el meteoro, que está a lo largo de su trayectoria. Según la segunda ley de Newton, esta fuerza es

F→ = ma(−j^) = 15.0 kg(2.0 m/s²)(−j^) = 30.0 kg • m/s²(−j^).

El brazo de la palanca es

r→⊥ = 2.5 × 10⁴ mi^.

Por lo tanto, el torque es

∑τ→ = r→⊥ × F→ = (2.5 × 10⁴ mi^) × (−30.0 kg • m/s²j^) = 7.5 × 10⁵ N • m(−k^).

166

Explicación

Dado que el meteoro está acelerando hacia la Tierra, su radio y su vector de velocidad están cambiando. Por lo tanto, dado que l→ = r→ × p→, el momento angular está cambiando en función del tiempo. Sin embargo, el torque en el meteoro sobre el origen es constante, porque el brazo de palanca r→⊥ y la fuerza en el meteoro son constantes. Este ejemplo es importante porque ilustra que el momento angular depende de la elección del origen sobre el que se calcula. Los métodos utilizados en este ejemplo también son importantes para desarrollar el momento angular para un sistema de partículas y para un cuerpo rígido.

Comprueba tu aprendizaje 2.2

Un protón que gira en espiral alrededor de un campo magnético ejecuta un movimiento circular en el plano del papel, como se muestra a continuación. La trayectoria circular tiene un radio de 0,4 m y el protón tiene una velocidad de 4,0 × 10⁶ m/s. ¿Cuál es el momento angular del protón sobre el origen?

167

Momento angular de un sistema de partículas

El momento angular de un sistema de partículas es importante en muchas disciplinas científicas, una de ellas es la astronomía. Considere una galaxia espiral, una isla giratoria de estrellas como nuestra propia Vía Láctea. Las estrellas individuales pueden tratarse como partículas puntuales, cada una de las cuales tiene su propio momento angular. La suma del vector de los momentos angulares individuales da el momento angular total de la galaxia. En esta sección, desarrollamos las herramientas con las cuales podemos calcular el momento angular total de un sistema de partículas.

En la sección anterior, presentamos el momento angular de una partícula individual sobre un origen designado. La expresión de este momento angular es l→ = r→ × p→, donde el vector r→ está desde el origen hasta la partícula, y p→ es el momento lineal de la partícula. Si tenemos un sistema de N partículas, cada una con un vector de posición del origen dado por r→_i y cada una con un momento p→_i, entonces el momento angular total del sistema de partículas sobre el origen es la suma del vector de los momentos angulares individuales sobre el origen. Es decir,

L→ = l→₁ + l→₂ + ... + l→_N.

(2.7)

De forma similar, si la partícula i está sujeta a un torque neto τ→_i sobre el origen, entonces podemos encontrar el torque neto sobre el origen debido al sistema de partículas al diferenciar la ecuación 2.7:

dL→/dt = ∑_idl_i→/dt = ∑_iτ_i

168

La suma de los torques individuales produce un torque externo neto en el sistema, que designamos ∑τ_i→. Así,

dL→/dt = ∑τ

(2.8)

La ecuación 2.8 establece que la tasa de cambio del momento angular total de un sistema es igual al torque externo neto que actúa en el sistema cuando ambas cantidades se miden con respecto a un origen dado. La ecuación 2.8 se puede aplicar a cualquier sistema que tenga un momento angular neto, incluidos los cuerpos rígidos, como se analiza en la siguiente sección.

Ejemplo 2.5

Momentum angular de tres partículas

Con referencia a la figura 2.11 (a), determina el momento angular total debido a las tres partículas sobre el origen. (b) ¿Cuál es la tasa de cambio del momento angular?

Estrategia

Escribe la posición y los vectores de momento para las tres partículas. Calcula los momentos angulares individuales y súmalos como vectores para encontrar el momento angular total. Luego haz lo mismo para los torques.

169

Figura 2.11 Tres partículas en el plano xy con diferentes vectores de posición y momento.

Solución

a. Partícula 1: r→₁ = -2.0 mi^ + 1.0 mj^, p→₁ = 2.0 kg (4.0 m/sj^) = 8.0 kg • m/sj^,
l→₁ = r→₁ × p→₁ = -16.0 kg • m²/sk^.

170

Partícula 2: r→₂ = 4.0 mi^ + 1.0 mj^, p→₂ = 4.0 kg(5.0 m/si^) = 20.0 kg • m/si^,
l→₂ = r→₂ × p→₂ = -20.0 kg • m²/sk^.

Partícula 3: r→₃ = 2.0 mi^ - 2.0 mj^, p→₃ = 1.0 kg(3.0 m/si^) = 3.0 kg • m/si^,
l→₃ = r→₃ × p→₃ = 6.0kg • m²/sk^.

Sumamos los momentos angulares individuales para encontrar el total sobre el origen:

l→_T = l→₁ + l→₂ + l→₃ = −30kg • m²/sk^.

b. Las fuerzas individuales y los brazos de palanca son

r→₁⊥ = 1.0 mj^, F→₁ = −6.0 Ni^, τ→₁ = 6.0 N • mk^
r→₂⊥ = 4.0 mi^, F→₂ = 10.0 Nj^, τ→₂ = 40.0 N • mk^
r→₃⊥ = 2.0 mi^, F→₃ = −8.0 Nj^, τ→₃ = -16.0 N • mk^

Por lo tanto

∑_iτ_i→ = τ₁→ + τ₂→ + τ₃→ = 30 N • mk^.

Explicación

Este ejemplo ilustra el principio de superposición para el momento angular y el torque de un sistema de partículas. Se debe tener cuidado al evaluar los vectores de radio r→_i de las partículas para calcular los momentos angulares, y los brazos de palanca, r→₁⊥ para calcular los torques, ya que son cantidades completamente diferentes.

171

En la siguiente escena interactiva, diseñada por Juan Guillermo Rivera Berrío, puedes practicar el ejemplo anterior para diferentes posiciones y valores del momento angular. Copia los datos y resuelve el ejercicio, luego escribe tu resultado en el cuadro de texto para verificarlo.

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172

Momento angular de un cuerpo rígido

Hemos investigado el momento angular de una sola partícula, que hemos generalizado a un sistema de partículas. Ahora podemos usar los principios discutidos en la sección anterior para desarrollar el concepto del momento angular de un cuerpo rígido. Los objetos celestes, como los planetas, tienen un momento angular debido a su giro y órbitas alrededor de las estrellas. En ingeniería, todo lo que gira alrededor de un eje transporta momento angular, como volantes, hélices y piezas giratorias en los motores. El conocimiento de los momentos angulares de estos objetos es crucial para el diseño del sistema en el que forman parte.

Para hallar el momento angular de un cuerpo rígido, modelamos un cuerpo rígido formado por pequeños segmentos de masa, Δm_i. En la figura 2.12, un cuerpo rígido está obligado a girar alrededor del eje z con una velocidad angular ω. Todos los segmentos de masa que componen el cuerpo rígido experimentan un movimiento circular alrededor del eje z con la misma velocidad angular. La parte (a) de la figura muestra el segmento de masa Δm_i con el vector de posición r→_i desde el origen y el radio R_i con respecto al eje z. La magnitud de su velocidad tangencial es v_i = R_iω. Debido a que los vectores v→_i y r→_i son perpendiculares entre sí, la magnitud del momento angular de este segmento de masa es

l_i = r_i(Δmv_i)sen90°.

Usando la regla de la mano derecha, el vector de momento angular apunta en la dirección que se muestra en la parte (b). La suma de los momentos angulares de todos los segmentos de masa contiene componentes tanto a lo largo como perpendiculares al eje de rotación.

173

Figura 2.12 (a) Un cuerpo rígido está obligado a girar alrededor del eje z. El cuerpo rígido es simétrico alrededor del eje z. Un segmento de masa Δm_i se encuentra en la posición r→_i, que forma el ángulo θ_i con respecto al eje z. Se muestra el movimiento circular de un segmento de masa infinitesimal. (b) l→_i es el momento angular del segmento de masa y tiene un componente a lo largo del eje z (l→_i)_z.

Cada segmento de masa tiene una componente perpendicular del momento angular que será cancelada por la componente perpendicular de un segmento de masa idéntico en el lado opuesto del cuerpo rígido, porque es cilíndricamente simétrico. Por lo tanto, el componente a lo largo del eje de rotación es el único componente que da un valor distinto de cero cuando se suma a todos los segmentos de masa. De la parte (b), el componente de l→_i a lo largo del eje de rotación es

174

(l_i)_z = l_isenθ_i = (r_iΔm_iv_i)senθ_i,

= (r_isenθ_i)(Δm_iv_i) = R_iΔm_iv_i.

El momento angular neto del cuerpo rígido a lo largo del eje de rotación es

L = ∑_i(l→_i)_z = ∑_i R_iΔm_iv_i = ∑_i R_iΔm_i(R_iω) = ω∑_i Δm_i(R_i)²

La suma ∑ Δm_i(R_i)² es simplemente el momento de inercia I del cuerpo rígido alrededor del eje de rotación. Para un aro delgado que gira alrededor de un eje perpendicular al plano del aro, todos los R_i son iguales a R, por lo que la suma se reduce a R²∑ Δm_i = mR², que es el momento de inercia de un aro delgado que se ve en la Figura 1.20. Por lo tanto, la magnitud del momento angular a lo largo del eje de rotación de un cuerpo rígido que gira con una velocidad angular ω alrededor del eje es

L = Iω

(2.9)

Esta ecuación es análoga a la magnitud del momento lineal p = mv. La dirección del vector de momento angular se dirige a lo largo del eje de rotación dado por la regla de la mano derecha.

Ejemplo 2.6

Momento angular de un brazo de robot

Un brazo robótico en un explorador de Marte como Curiosity que se muestra en la Figura 2.8 tiene 1.0 m de largo y tiene pinzas en el extremo libre para recoger rocas.

175

La masa del brazo es de 2,0 kg y la masa del fórceps es de 1,0 kg (Ver la Figura 2.13). El brazo del robot y las pinzas se mueven desde el reposo a ω = 0.1π rad/s en 0.1 s. Gira hacia abajo y recoge una roca de Marte que tiene una masa de 1,5 kg. El eje de rotación es el punto donde el brazo del robot se conecta al rover. (a) ¿Cuál es el momento angular del brazo del robot por sí mismo sobre el eje de rotación después de 0.1 s cuando el brazo ha dejado de acelerar? (b) ¿Cuál es el momento angular del brazo del robot cuando tiene la roca de Marte en su fórceps y está girando hacia arriba? (c) Cuando el brazo no tiene una roca en el fórceps, ¿cuál es el torque sobre el punto donde el brazo se conecta al rover cuando está acelerando desde el reposo hasta su velocidad angular final?

Figura 2.13 Un brazo robot en un rover de Marte se balancea y levanta una roca de Marte (crédito: modificación del trabajo por NASA/JPL-Caltech)

176

Estrategia

Usamos la Ecuación 2.9 para encontrar el momento angular en las diversas configuraciones. Cuando el brazo está girando hacia abajo, la regla de la mano derecha da el vector de momento angular dirigido fuera de la página, que llamaremos la dirección z positiva. Cuando el brazo está girando hacia arriba, la regla de la mano derecha proporciona la dirección del vector de momento angular en la página o en la dirección z negativa. El momento de inercia es la suma de los momentos individuales de inercia. El brazo se puede aproximar con una barra sólida, y las pinzas y la roca de Marte se pueden aproximar como masas puntuales ubicadas a una distancia de 1 m del origen. Para la parte (c), usamos la segunda ley de movimiento de Newton para la rotación para encontrar el torque en el brazo del robot.

Solución

a. Escribiendo los momentos individuales de inercia, tenemos

Brazo del robot: I_R = 1/3m_Rr² = 1/3(2.00 kg)(1.00 m)² = 2/3kg • m².

Fórceps: I_F = m_Fr² = (1.0 kg)(1.0 m)² = 1.0 kg •m².

Roca de Marte: I_MR = m_MRr² = (1.5 kg)(1.0 m)² = 1.5 kg •m².

Por lo tanto, sin la roca de Marte, el momento total de inercia es

I_Total = I_R + I_F = 1.67 kg • m²

177

y la magnitud del momento angular es

L = Iω = 1.67 kg • m²(0.1π rad/s) = 0.17π kg • m²/s.

El vector de momento angular se dirige fuera de la página en la dirección k^ ya que el brazo del robot está girando en sentido antihorario.

b. Debemos incluir la roca de Marte en el cálculo del momento de inercia, por lo que tenemos

I_Total = I_R + I_F + I_MR = 3.17 kg • m²

L = Iω = 3.17 kg • m²(0.1π rad/s) = 0.32π kg • m²/s.

Ahora el vector de momento angular se dirige a la página en la dirección -k^, por la regla de la mano derecha, ya que el brazo del robot ahora está girando en el sentido de las agujas del reloj.

c. Encontramos el torque cuando el brazo no tiene la roca tomando la derivada del momento angular usando la Ecuación 2.8
dL→/dt = ∑τ.
Pero como L = Iω, y entendiendo que la dirección del momento angular y los vectores de torque están a lo largo del eje de rotación, podemos suprimir la notación vectorial y encontrar

178

dL/dt = d(Iω)/dt = Idω/dt = Iα = ∑τ

que es la segunda ley de Newton para la rotación. Dado que α = 0.1π rad/s/0.1 s = π rad/s², podemos calcular el torque neto:

∑τ = Iα = 1.67 kg • m²(π rad/s²) = 1.67π N • m.

Explicación

El momento angular en (a) es menor que el de (b) debido al hecho de que el momento de inercia en (b) es mayor que (a), mientras que la velocidad angular es la misma.

Comprueba tu aprendizaje 2.3

¿Cuál tiene mayor momento angular: una esfera sólida de masa m que gira a una frecuencia angular constante ω₀ sobre el eje z, o un cilindro sólido de la misma masa y tasa de rotación alrededor del eje z?

179

2.3 Conservación del momento angular

Hasta ahora, hemos analizado el momento angular de los sistemas compuestos por partículas puntuales y cuerpos rígidos. También hemos analizado los torques involucrados, usando la expresión que relaciona el par neto externo con el cambio en el momento angular (Ecuación 2.8). Los ejemplos de sistemas que obedecen esta ecuación incluyen un neumático de bicicleta que gira libremente que se ralentiza con el tiempo debido al par provocado por la fricción o la ralentización de la rotación de la Tierra durante millones de años debido a las fuerzas de fricción ejercidas sobre las deformaciones de las mareas.

Sin embargo, supongamos que no existe un torque externo neto en el sistema, ∑τ→ = 0. En este caso, la Ecuación 2.8 se convierte en la ley de conservación del momento angular.

LEY DE CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR

El momento angular de un sistema de partículas alrededor de un punto en un marco de referencia inercial fijo se conserva si no hay un torque externo neto alrededor de ese punto:

dL→/dt = 0

L→ = l→₁ + l→₂ + l→₃ + ··· + l→_N = constante.

(2.10)

(2.11)

180

Tenga en cuenta que el momento angular total L→ es conservado. Cualquiera de los momentos angulares individuales puede cambiar siempre que su suma permanezca constante. Esta ley es análoga al momento lineal que se conserva cuando la fuerza externa en un sistema es cero.

Como ejemplo de conservación del momento angular, la Figura 2.14 muestra una patinadora sobre hielo ejecutando un giro. El torque neto en ella es muy cercano a cero porque hay relativamente poca fricción entre sus patines y el hielo. Además, la fricción se ejerce muy cerca del punto de pivote. Ambos |F→| y |r→| son pequeños, entonces |τ→| es despreciable. En consecuencia, ella puede girar durante bastante tiempo. También puede aumentar su velocidad de giro tirando de sus brazos y piernas. ¿Por qué tira de sus brazos y piernas para aumentar su velocidad de giro? La respuesta es que su momento angular es constante, por lo que

L' = L
o

I'ω' = Iω

donde las cantidades a la izquierda (prima) se refieren a las condiciones después de que ella ha jalado a sus brazos y reducido su momento de inercia. Como I' es más pequeño, la velocidad angular ω' debe aumentar para mantener constante el momento angular.

Es interesante ver cómo la energía cinética de rotación de la patinadora cambia cuando empuja sus brazos hacia adentro. Su energía de rotación inicial es

K_rot = 1/2Iω²

181

Figura 2.14 (a) Una patinadora de hielo está girando en la punta de su patín con los brazos extendidos. Su momento angular se conserva porque el torque neto sobre ella es insignificante. (b) Su velocidad de giro aumenta mucho cuando tira de sus brazos, disminuyendo su momento de inercia. El trabajo que hace para tirar de sus brazos da como resultado un aumento en la energía cinética de rotación.

mientras que su energía de rotación final es

K'_rot = 1/2I'(ω')²

Como I'ω'= Iω, podemos sustituir a ω' y encontrar

182

K'_rot = 1/2I'(ω')² = 1/2I'(I/I'ω)² = 1/2Iω²(I/I') = K_rot(I/I')

En la siguiente imagen animada, observa cómo la patinadora Natalia Kanounnikov rompe el record mundial en 2010, al girar 308 RPM.

Debido a que su momento de inercia ha disminuido, I' < I, su energía cinética de rotación final ha aumentado. La fuente de esta energía cinética giratoria adicional es el trabajo requerido para tirar de sus brazos hacia adentro. Ten en cuenta que los brazos de la patinadora no se mueven en un círculo perfecto, sino que se mueven en espiral hacia adentro. Este trabajo causa un aumento en la energía cinética de rotación, mientras que su momento angular permanece constante. Como ella está en un entorno sin fricciones, no escapa energía del sistema.

183

Por lo tanto, si extendiera sus brazos a sus posiciones originales, rotaría a su velocidad angular original y su energía cinética volvería a su valor original.

El sistema solar es otro ejemplo de cómo funciona la conservación del momento angular en nuestro universo. Nuestro sistema solar nació de una enorme nube de gas y polvo que inicialmente tenía energía de rotación.

Figura 2.15 El sistema solar se fusionó a partir de una nube de gas y polvo que originalmente estaba rotando. Los movimientos orbitales y los giros de los planetas están en la misma dirección que el giro original y conservan el momento angular de la nube padre (crédito: modificación del trabajo por la NASA).

184

Las fuerzas gravitacionales causaron que la nube se contrajera, y la velocidad de rotación aumentó como resultado de la conservación del momento angular (Figura 2.15).

Continuamos nuestra discusión con un ejemplo que tiene aplicaciones para la ingeniería.

Ejemplo 2.7

Volantes acoplados

Un volante gira sin fricción a una velocidad angular ω₀ = 600 rev/min en un eje vertical sin fricción de insignificante inercia rotacional. Se deja caer un segundo volante, que está en reposo y tiene un momento de inercia tres veces mayor que el del volante giratorio (Figura 2.16). Debido a que existe fricción entre las superficies, los volantes alcanzan rápidamente la misma velocidad de rotación, después de lo cual giran juntos. (a) Usa la ley de conservación del momento angular para determinar la velocidad angular ω de la combinación. (b) ¿Qué fracción de la energía cinética inicial se pierde en el acoplamiento de los volantes?

Estrategia

La parte (a) es fácil de resolver para la velocidad angular del sistema acoplado. Usamos el resultado de (a) para comparar las energías cinéticas inicial y final del sistema en la parte (b).

Solución

a. No hay torques externos que actúen en el sistema.

185

Figura 2.16 Dos volantes están acoplados y giran juntos.

La fuerza debida a la fricción produce un torque interno, que no afecta el momento angular del sistema. Por lo tanto, la conservación del momento angular da

I₀ω₀ = (I₀ + 3I₀)ω₀,

ω = 1/4ω₀ = 150 rev/min = 15.7 rad/s.

b. Antes del contacto, solo un volante está girando. La energía cinética de rotación de este volante es la energía cinética de rotación inicial del sistema, 1/2I₀ω₀². La energía cinética final es 1/2(4I₀)ω² = 1/2(4I₀)(ω₀/4)² = 1/8I₀ω₀². Por lo tanto, la relación de la energía cinética final a la energía cinética inicial es

186

(1/8)I₀ω₀²/(1/2)I₀ω₀² = 1/4

Por lo tanto, 3/4 de la energía cinética inicial se pierde al acoplar los dos volantes.

Explicación

Dado que la inercia rotacional del sistema aumentó, la velocidad angular disminuyó, como se esperaba de la ley de conservación del momento angular. En este ejemplo, vemos que la energía cinética final del sistema ha disminuido, ya que la energía se pierde al acoplar los volantes. Compara esto con el ejemplo de la patinadora en la Figura 2.14 que hace un trabajo para llevar sus brazos hacia adentro y agregar energía cinética de rotación.

Comprueba tu aprendizaje 2.4

Un tiovivo en un patio de juegos está girando a 4.0 rev/min. Tres niños saltan y aumentan un 25% el momento de inercia del sistema giratorio del tiovivo. ¿Cuál es la nueva tasa de rotación?

187

Ejemplo 2.8

Desmontar de una Barra Alta

Un gimnasta de 80.0 kg se desmonta de una barra alta. Él comienza el desmontaje en extensión completa, luego se pliega para completar un número de revoluciones antes de aterrizar. Su momento de inercia cuando está completamente extendido se puede aproximar como una vara de 1,8 m de longitud y cuando se coloca una vara de la mitad de esa longitud. Si su tasa de rotación en extensión completa es 1.0 rev/s, y él ingresa en la posición de relleno cuando su centro de masa está a 3.0 m de altura moviéndose horizontalmente al piso, ¿cuántas revoluciones puede ejecutar si sale de la curvatura a una altura de 1.8 m? (Observa la figura 2.17).

Estrategia

Utilizando la conservación del momento angular, podemos encontrar su índice de rotación cuando está plegado. Usando las ecuaciones de la cinemática, podemos encontrar el intervalo de tiempo desde una altura de 3.0 m hasta 1.8 m. Como se mueve horizontalmente con respecto al suelo, las ecuaciones de caída libre se simplifican. Esto permitirá que se calcule el número de revoluciones que se pueden ejecutar. Como usamos una razón, podemos mantener las unidades como rev/s y no necesitamos convertirlas a radianes/s.

Solución

El momento de inercia en extensión completa es I₀ = 1/12mL² = 1/1280.0 kg(1.8 m)²
= 21.6 kg • m²

188

Figura 2.17 Un gimnasta se desmonta de una barra alta y ejecuta varias revoluciones en la posición reclinada antes de aterrizar en posición vertical.

El momento de inercia en posición plegada es I_p = 1/12mL_p² = 1/1280.0 kg(0.9 m)²
= 5.4 kg • m²

189

La conservación del momento angular: I_pω_p = I₀ω₀ ⇒ ω_p = I₀ω₀/I_p = 21.6 kg • m²(1.0 rev/s)/5.4 kg • m² = 4.0 rev/s

El itervalo de tiempo en el plegado: t = √2h/g/ = √2(3.0 -1.8)m/(9.8 m/s)/ = 0.5 s.

En 0.5 s, podrá ejecutar dos revoluciones a 4.0 rev/s.

Explicación

Observa que la cantidad de revoluciones que puede completar dependerá de cuánto tiempo esté en el aire. En el problema, él está saliendo de la barra alta horizontalmente al suelo. También podría salir en un ángulo con respecto al suelo, dándole más o menos tiempo en el aire dependiendo del ángulo, positivo o negativo, con respecto al suelo. Los gimnastas deben tener esto en cuenta cuando están ejecutando sus desmontajes.

Ejemplo 2.9

Conservación del momento angular de una colisión

Una bala de masa m = 2.0 g se mueve horizontalmente con una velocidad de 500.0 m/s. La bala impacta y se incrusta en el borde de un disco sólido de masa M = 3.2 kg y radio R = 0.5 m. El cilindro puede girar libremente alrededor de su eje e inicialmente está en reposo (Figura 2.18). ¿Cuál es la velocidad angular del disco inmediatamente después de incrustar la bala?

190

Figura 2.18 Una bala se dispara horizontalmente y se incrusta en el borde de un disco que puede girar libremente alrededor de su eje vertical.

Estrategia

Para el sistema de la bala y el cilindro, ningún torque externo actúa a lo largo del eje vertical a través del centro del disco. Por lo tanto, el momento angular a lo largo de este eje se conserva. El momento angular inicial de la bala es mvR, que se toma alrededor del eje de rotación del disco en el momento anterior a la colisión. El momento angular inicial del cilindro es cero. Por lo tanto, el momento angular neto del sistema es mvR. Dado que se conserva el momento angular, el momento angular inicial del sistema es igual al momento angular de la bala incrustado en el disco inmediatamente después del impacto.

Solución

El momento angular inicial del sistema es

L_i = mvR.

191

El momento de inercia del sistema con la bala incrustada en el disco es

I = mR² + 1/2MR² = (m + M/2)R²

El momento angular final del sistema es

L_i = Iω_f.

Por lo tanto, mediante la conservación del momento angular, L_i = L_i y

mvR = (m + M/2)R²ω_f.

resolviendo para ω_f

ω_f = mvR/(m + M/2)R² = 2.0 × 10⁻³ kg)(500.0 m/s)/(2.0 × 10⁻³ kg + 1.6 kg)(0.50 m)

Explicación

El sistema está compuesto de una partícula puntual y un cuerpo rígido. Se debe tener cuidado al formular el momento angular antes y después de la colisión. Justo antes del impacto, el momento angular de la bala se toma alrededor del eje de rotación del disco.

192

2.4 Precesión de un giroscopio

La figura 2.19 muestra un giroscopio, definido como un disco giratorio en el que el eje de rotación puede asumir cualquier orientación. Al girar, la orientación del eje de giro no se ve afectada por la orientación del cuerpo que la encierra. El cuerpo o vehículo que rodea el giroscopio se puede mover de un lugar a otro y la orientación del eje de giro seguirá siendo la misma. Esto hace que los giroscopios sean muy útiles en la navegación, especialmente cuando no se pueden usar brújulas magnéticas, como en las naves espaciales tripuladas y no tripuladas, misiles balísticos intercontinentales, vehículos aéreos no tripulados y satélites como el Telescopio Espacial Hubble.

Figura 2.19 Un giroscopio consiste en un disco giratorio sobre un eje que es libre de asumir cualquier orientación.

Ilustramos la precesión de un giroscopio con un ejemplo en las siguientes dos figuras. Si la parte superior se coloca sobre una superficie plana cerca de la superficie de la Tierra en un ángulo respecto a la vertical y no gira, se caerá, debido a la fuerza de la gravedad produciendo un torque que actúa sobre su centro de masa. Esto se muestra en la figura 2.20 (a).

193

Sin embargo, si la parte superior está girando sobre su eje, en lugar de caer debido a este torque, precede sobre la vertical, que se muestra en la parte (b) de la figura. Esto se debe al torque en el centro de masa, que proporciona el cambio en el momento angular.

Figura 2.20 (a) Si la parte superior no está girando, hay un par r→ × Mg→ sobre el origen, y la parte superior cae. (b) Si la parte superior está girando alrededor de su eje OO', no se cae, sino que precede sobre el eje z.

La figura 2.21 muestra las fuerzas que actúan sobre un trompo giratorio. El torque producido es perpendicular al vector de momento angular. Esto cambia la dirección del vector de momento angular L→ según dL→ = τ→dt, pero no su magnitud.

194

La parte superior precede alrededor de un eje vertical, ya que el torque es siempre horizontal y perpendicular a L→. Si la parte superior no está girando, adquiere un momento angular en la dirección del torque, y gira alrededor de un eje horizontal, cayendo justo como cabría esperar.

Figura 2.21 La fuerza de la gravedad que actúa sobre el centro de masa produce un par τ→ en la dirección perpendicular a L→. La magnitud de L→ no cambia, pero su dirección sí lo hace, y la parte superior precede sobre el eje z.

195

Podemos experimentar este fenómeno de primera mano sujetando una rueda giratoria de bicicleta e intentando girarla alrededor de un eje perpendicular al eje de giro. Como se muestra en la figura 2.22, la persona aplica fuerzas perpendiculares al eje de giro en un intento de girar la rueda, pero en su lugar, el eje de la rueda comienza a cambiar de dirección hacia la izquierda debido al torque aplicado.

Figura 2.22 (a) Una persona que sostiene la rueda giratoria de una bicicleta la levanta con su mano derecha y empuja hacia abajo con su mano izquierda en un intento de girar la rueda. Esta acción crea un torque directo hacia ella. Este torque provoca un cambio en el momento angular ΔL→ exactamente en la misma dirección. (b) Un diagrama vectorial que representa cómo ΔL→ y L→ se suman, produciendo un nuevo momento angular apuntando más hacia la persona. La rueda se mueve hacia la persona, perpendicular a las fuerzas que ejerce sobre ella.

196

Todos sabemos lo fácil que es para una bicicleta volcarse cuando te sientas en reposo. Pero al andar en bicicleta a un buen ritmo, inclinarla implica cambiar el vector de momento angular de las ruedas giratorias.

En la siguiente escena interactiva, diseñada por Joseph Stephen, se presenta un simulador que muestra cómo funciona la precesión giroscópica. En este simulador, ni las medidas de entrada ni las resultantes son válidas y pueden usarse solo con fines educativos. Observa algunas imágenes resultantes de la interacción con el simulador:

197

Con clic sostenido, puedes mover el giroscopio. Con la rueda del ratón puedes hacer zoom a la escena.

Haz clic aquí o sobre la imagen

Cuando coloques un disco giratorio en una caja, como un reproductor de Blu-Ray, intenta moverlo. Es fácil trasladar la caja en una dirección dada pero es difícil girarla sobre un eje perpendicular al eje del disco giratorio, ya que estamos aplicando un par de torsión en la caja que hará que el vector de momento angular del disco giratorio preceda.

198

Podemos calcular la tasa de precesión de la parte superior en la figura 2.21, en la que la magnitud del torque es

τ = rMgsenθ.

Entonces,

dL = rMgsenθdt.

El ángulo por el que la parte superior pasa a precesión en el tiempo dt es

dφ = dL/Lsenθ = rMgsenθ/Lsenθdt = rMg/Ldt

La velocidad angular de precesión es ω_P = dφ/dt y de esta ecuación vemos que

ω_P = rMg/L,

ya que L = Iω

ω_P = rMg/Iω

(2.12)

En esta derivación, supusimos que ω_P << ω, es decir, que la velocidad angular de precesión es mucho menor que la velocidad angular del disco del giroscopio.

199

La velocidad angular de precesión agrega un componente pequeño al momento angular a lo largo del eje z. Esto se ve en una ligera sacudida hacia arriba y hacia abajo a medida que el giroscopio avanza, lo que se conoce como nutación.

La Tierra misma actúa como un gigantesco giroscopio. Su momento angular es a lo largo de su eje y actualmente apunta a Polaris, la estrella polar. Pero la Tierra está precesando lentamente (una vez en aproximadamente 26,000 años) debido al torque del Sol y la Luna en su forma no esférica.

Ejemplo 2.10

Período de Precesión

Un giroscopio gira con su punta en el suelo y gira con una resistencia a la fricción despreciable. El disco del giroscopio tiene una masa de 0.3 kg y está girando a 20 rev/s. Su centro de masa está a 5.0 cm del pivote y el radio del disco es 5.0 cm. ¿Cuál es el período de precesión del giroscopio?

Estrategia

Usamos la Ecuación 2.12 para hallar la velocidad angular de precesión del giroscopio. Esto nos permite encontrar el período de precesión.

Solución

El momento de inercia del disco es

I = 1/2mr² = 1/2(0.30 kg)(0.05 m)² = 3.75 × 10^-4kg • m²

200

La velocidad angular del disco es

20.0 rev/s = 20.0(2π) rad/s = 125.66 rad/s.

Ahora podemos sustituir en la Ecuación 21.12. La velocidad angular precesional es

ω_P = rMg/Iω = (0.05 m)(0.3 kg)(9.8 m/s²)/(3.75 × 10^-4 kg • m²)(125.66 rad/s) = 3.12 rad/s

El período precesional del giroscopio es

T_P = 2π/3.12 rad/s = 2.0 s

Explicación

La frecuencia angular precesional del giroscopio, 3.12 rad/s, o aproximadamente 0.5 rev/s, es mucho menor que la velocidad angular 20 rev/s del disco del giroscopio. Por lo tanto, no esperamos que surja un componente grande del momento angular debido a la precesión, y la ecuación 2.12 es una buena aproximación de la velocidad angular en precesión.

Comprueba tu aprendizaje 2.5

Una parte superior tiene una frecuencia de precesión de 5.0 rad/s en la Tierra. ¿Cuál es su frecuencia de precesión en la Luna?

201

Antes de proponerte algunos problemas a resolver, relájate con el siguiente juego, diseñado por James O'Toole. Presiona enter (con el ratón en el juego) y con las teclas del desplazamiento, trata de bajar el pajarito.

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202

2.5 Preguntas y respuestas - Capítulo II

Respuestas

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203

Capítulo iii

Equilibrio estático y elasticidad

3.0 Introducción

Figura 3.1 Dos zancudos en posición de pie. Todas las fuerzas que actúan sobre cada zanco se equilibran; ninguno cambia su movimiento traslacional. Además, todos los momentos de torsión que actúan sobre cada persona se equilibran, y por lo tanto, ninguno de ellos cambia su movimiento de rotación. El resultado es equilibrio estático (crédito: modificación del trabajo por Stuart Redler)

En capítulos anteriores, aprendiste sobre las fuerzas y las leyes de Newton para el movimiento traslacional. Luego estudiaste los pares y el movimiento de rotación de un cuerpo sobre un eje fijo de rotación. También aprendiste que el equilibrio estático significa que no hay movimiento en absoluto y que el equilibrio dinámico significa movimiento sin aceleración.

En este capítulo, combinamos las condiciones para el equilibrio de traslación estático y el equilibrio rotacional estático para describir situaciones típicas de cualquier tipo de construcción.

207

¿Qué tipo de cable soportará un puente colgante? ¿Qué tipo de fundación apoyará un edificio de oficinas? ¿Funcionará correctamente este brazo protésico? Estos son ejemplos de preguntas que los ingenieros contemporáneos deben ser capaces de responder.

Las propiedades elásticas de los materiales son especialmente importantes en aplicaciones de ingeniería, incluida la bioingeniería. Por ejemplo, los materiales que se pueden estirar o comprimir y luego regresar a su forma o posición original son buenos amortiguadores. En este capítulo, aprenderás sobre algunas aplicaciones que combinan el equilibrio con la elasticidad para construir estructuras reales que perduren.

3.1 Condiciones para el equilibrio estático

Decimos que un cuerpo rígido está enequilibrio cuando tanto su aceleración lineal como angular son cero con respecto a un marco de referencia inercial. Esto significa que un cuerpo en equilibrio puede estar en movimiento, pero si es así, sus velocidades lineales y angulares deben ser constantes. Decimos que un cuerpo rígido está en equilibrio estático cuando está en reposo en nuestro marco de referencia seleccionado. Ten en cuenta que la distinción entre el estado de reposo y un estado de movimiento uniforme es artificial, es decir, un objeto puede estar en reposo en nuestro marco de referencia seleccionado, pero para un observador que se mueve a velocidad constante en relación con nuestro marco, el mismo objeto parece estar en movimiento uniforme con velocidad constante. Como el movimiento es relativo, lo que está en equilibrio estático para nosotros está en equilibrio dinámico con el observador en movimiento, y viceversa. Dado que las leyes de la física son idénticas para todos los marcos de referencia inerciales, en un marco de referencia inercial, no hay distinción entre el equilibrio estático y el equilibrio.

208

De acuerdo con la segunda ley del movimiento de Newton, la aceleración lineal de un cuerpo rígido es causada por una fuerza neta que actúa sobre él, o

∑_kF→_k = ma→_CM

(3.1)

Aquí, la suma es de todas las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo, donde m es su masa y a→_CM es la aceleración lineal de su centro de masa. En equilibrio, la aceleración lineal es cero. Si establecemos la aceleración en cero en la ecuación 3.1, obtenemos la siguiente ecuación:

PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO

La primera condición de equilibrio para el equilibrio estático de un cuerpo rígido se expresa en el equilibrio traslacional:

∑_kF→_k = 0→

(3.2)

La primera condición de equilibrio, la Ecuación 3.2, es la condición de equilibrio para las fuerzas, que encontramos al estudiar las aplicaciones de las leyes de Newton.

Esta ecuación vectorial es equivalente a las siguientes tres ecuaciones escalares para los componentes de la fuerza neta:

∑_kF_kx = 0, ∑_kF_ky = 0, ∑_kF_kz = 0

(3.3)

209

Análogamente a la Ecuación 3.1, podemos afirmar que la aceleración rotacional α→ de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo de rotación es causada por el torque neto que actúa sobre el cuerpo, o

∑_kτ→_k = Iα→

(3.4)

Aquí I es la inercia rotacional del cuerpo en rotación alrededor de este eje y la suma está sobre todos los torques τ→_k de las fuerzas externas en la ecuación 3.2. En equilibrio, la aceleración rotacional es cero. Al poner a cero el lado derecho de la Ecuación 3.4, obtenemos la segunda condición de equilibrio:

SEGUNDA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO

La segunda condición de equilibrio para el equilibrio estático de un cuerpo rígido expresa el equilibrio rotacional:

∑_kτ→_k = 0→

(3.5)

La segunda condición de equilibrio, la Ecuación 3.5, es la condición de equilibrio para los torques que encontramos cuando estudiamos la dinámica rotacional. Vale la pena señalar que esta ecuación para el equilibrio es generalmente válida para el equilibrio rotacional sobre cualquier eje de rotación (fijo o no). De nuevo, esta ecuación vectorial es equivalente a tres ecuaciones escalares para los componentes del vector del torque neto:

∑_kτ_kx = 0, ∑_kτ_ky = 0, ∑_kτ_kz = 0

(3.6)

210

La segunda condición de equilibrio significa que, en equilibrio, no existe un torque externo neto para causar rotación alrededor de ningún eje.

La primera y la segunda condición de equilibrio se establecen en un marco de referencia particular. La primera condición implica solo fuerzas y, por lo tanto, es independiente del origen del marco de referencia. Sin embargo, la segunda condición implica un torque, que se define como un producto cruz, τ→ _k = r→ _k × F→ _k, donde el vector de posición r→ _k con respecto al eje de rotación del punto donde se aplica la fuerza entra en la ecuación. Por lo tanto, el torque depende de la ubicación del eje en el marco de referencia. Sin embargo, cuando las condiciones de equilibrio de rotación y traslación se mantienen simultáneamente en un marco de referencia, también se mantienen en cualquier otro marco de referencia inercial, de modo que el torque neto alrededor de cualquier eje de rotación sigue siendo cero. La explicación de esto es bastante sencilla.

Supongamos que el vector R→ es la posición del origen de un nuevo marco inercial de referencia S' en el antiguo marco inercial de referencia S. De nuestro estudio del movimiento relativo, sabemos que en el nuevo marco de referencia S', el vector de posición r'→ _k del punto donde se aplica la fuerza F→ _k se relaciona con r→ _k a través de la ecuación

r'→ _k = r→ _k - R→ _k

Ahora, podemos sumar todos los pares τ→ _k = r'→ _k × F→ _k de todas las fuerzas externas en un nuevo marco de referencia, S':

∑_kτ'→_k = ∑_kr'→_k × F→ _k = ∑_k(r→_k - R→) × F→ _k = ∑_kr→_k × F→ _k - ∑_kR→_k × F→ _k

= ∑_kτ→_k - R→ × F→ _k = 0→

211

En el último paso de esta cadena de razonamiento, utilizamos el hecho de que en equilibrio en el antiguo marco de referencia, S, el primer término desaparece debido a la Ecuación 3.5 y el segundo término desaparece debido a la Ecuación 3.2. Por lo tanto, vemos que el torque neto en cualquier marco inercial de referencia S' es cero, siempre que ambas condiciones para el equilibrio se mantengan en un marco inercial de referencia S.

La implicación práctica de esto es que al aplicar las condiciones de equilibrio para un cuerpo rígido, somos libres de elegir cualquier punto como el origen del marco de referencia. Nuestra elección del marco de referencia está dictada por las características físicas del problema que estamos resolviendo. En un marco de referencia, la forma matemática de las condiciones de equilibrio puede ser bastante complicada, mientras que en otro marco, las mismas condiciones pueden tener una forma matemática más simple que sea fácil de resolver. El origen de un marco de referencia seleccionado se llama punto de pivote.

En el caso más general, las condiciones de equilibrio se expresan mediante las seis ecuaciones escalares (Ecuación 3.3 y Ecuación 3.6). Para problemas de equilibrio planar con rotación alrededor de un eje fijo, que consideramos en este capítulo, podemos reducir el número de ecuaciones a tres. El procedimiento estándar es adoptar un marco de referencia donde el eje z es el eje de rotación. Con esta elección de eje, el torque neto tiene solo un componente z, todas las fuerzas que tienen pares de torsión distintos de cero se encuentran en el plano xy, y por lo tanto las contribuciones al torque neto provienen solo de los componentes x e y de las conexiones externas. Por lo tanto, para problemas planos con el eje de rotación perpendicular al plano xy, tenemos las siguientes tres condiciones de equilibrio para fuerzas y pares:

F_1x + F_2x + ··· + F_Nx = 0

(3.7)

212

F_1y + F_2y + ··· + F_Ny = 0

(3.8)

τ₁ + τ₂ + ··· + τ_N = 0

(3.9)

donde la suma es sobre todas las N fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo y sobre sus torques. En la Ecuación 3.9, simplificamos la notación descartando el subíndice z, pero entendemos aquí que la sumatoria es sobre todas las contribuciones a lo largo del eje z, que es el eje de rotación. En la ecuación 3.9, la componente z del torque τ→_k de la fuerza F→_k es

τ_k = r_kF_ksenθ

(3.10)

donde r_k es la longitud del brazo de palanca de la fuerza y F_k es la magnitud de la fuerza. El ángulo θ es el ángulo entre los vectores r→_k y F→_k, que se mide desde el vector r→_k hasta el vector F→_k en el sentido antihorario (figura 3.2). Al usar la Ecuación 3.10, a menudo calculamos la magnitud del torque y asignamos su sentido como positivo (+) o negativo (-), dependiendo de la dirección de rotación causada solo por este torque. En la ecuación 3.9, el torque neto es la suma de los términos, con cada término calculado a partir de la ecuación 3.10, y cada término debe tener el sentido correcto. De manera similar, en la Ecuación 3.7, asignamos el signo + para forzar los componentes en la dirección + x y el signo - a los componentes en la dirección - x. La misma regla se debe seguir consistentemente en la ecuación 3.8, al calcular los componentes de fuerza a lo largo del eje y.

213

Figura 3.2 Par de una fuerza: (a) Cuando el par de una fuerza causa una rotación en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del eje de rotación, decimos que su sentido es positivo, lo que significa que el vector de torque es paralelo al eje de rotación. (b) Cuando el par de una fuerza causa una rotación en el sentido de las agujas del reloj alrededor del eje, decimos que su sentido es negativo, lo que significa que el vector de torque es antiparalelo al eje de rotación.

En la siguiente escena interactiva, diseñada por Juan Guillermo Rivera Berrío, podrás comprender la regla de la mano derecha, también conocida como relga del sacacorchos, la cual es útil para determinar sentidos vectoriales, tanto de moviemientos vectoriales lineales como de tipo rotacional. Explora la escena y cambia los valores del ángulo entre los vectores para entender el método.

214

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A continuación, en otra escena de Juan Guillermo Rivera Berrío, puedes interactuar con dos fuerzas actuando en un cuadrado rígido en dos dimensiones. En todo momento, se satisfacen las condiciones de equilibrio estático dadas por la Ecuación 3.7 a la Ecuación 3.9. Puedes variar las magnitudes de las fuerzas y sus brazos de palanca y observar el efecto que estos cambios tienen en el cuadrado (la idea original de la escena, es de John Evans).

215

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En muchas situaciones de equilibrio, una de las fuerzas que actúa sobre el cuerpo es su peso. En los diagramas de cuerpo libre, el vector de peso está unido al centro de gravedad del cuerpo. Para todos los propósitos prácticos, el centro de gravedad es idéntico al centro de masa.

216

Solo en situaciones en las que un cuerpo tiene una gran extensión espacial de modo que el campo gravitacional no es uniforme en todo su volumen, el centro de gravedad y el centro de masa se encuentran en diferentes puntos. Sin embargo, en situaciones prácticas, incluso objetos tan grandes como edificios o cruceros se encuentran en un campo gravitatorio uniforme en la superficie de la Tierra, donde la aceleración debida a la gravedad tiene una magnitud constante de g = 9.8 m/s². En estas situaciones, el centro de gravedad es idéntico al centro de masa. Por lo tanto, a lo largo de este capítulo, usamos el centro de masa (CM) como el punto donde se adjunta el vector de peso. Recuerda que el CM tiene un significado físico especial: cuando se aplica una fuerza externa a un cuerpo exactamente en su CM, el cuerpo como un todo se somete a un movimiento de traslación y dicha fuerza no causa rotación.

Cuando el CM se encuentra fuera del eje de rotación, se produce un torque gravitacional neto en un objeto. El torque gravitacional es el par causado por el peso. Este par gravitacional puede girar el objeto si no hay soporte presente para equilibrarlo. La magnitud del torque gravitacional depende de qué tan lejos del pivote esté ubicado el CM. Por ejemplo, en el caso de un camión basculante (Figura 3.3), el pivote está ubicado en la línea donde los neumáticos hacen contacto con la superficie de la carretera. Si el CM está ubicado muy por encima de la superficie de la carretera, el torque gravitacional puede ser lo suficientemente grande como para voltear el camión. Los automóviles de pasajeros con un CM de poca altura, cerca del pavimento, son más resistentes a vuelcos que los camiones.

217

Figura 3.3 La distribución de la masa afecta la posición del centro de masa (CM), donde se adjunta el vector de peso w→. Si el centro de gravedad se encuentra dentro del área de soporte, el camión vuelve a su posición inicial después de inclinarse [observa el panel izquierdo en (b)]. Pero si el centro de gravedad se encuentra fuera del área de soporte, el camión gira [observa el panel derecho en (b)]. Ambos vehículos en (b) están fuera de equilibrio. Observa que el camión en (a) está en equilibrio: la baja ubicación de su centro de gravedad hace que sea difícil volcarse.

Si inclinas una caja para que un borde permanezca en contacto con la base debajo de ella, entonces un borde de la base de soporte se convierte en un pivote. Mientras el centro de gravedad de la caja permanezca sobre la base del soporte, el torque gravitacional hace que la caja vuelva a su posición original de equilibrio estable. Cuando el centro de gravedad se mueve fuera de la base de soporte, el torque gravitacional gira la caja en la dirección opuesta, y la caja se da vuelta. Observa esta situación y para experimenta con posiciones estables e inestables de una caja en la siguiente escena interactiva diseñada por Juan Guillermo Rivera Berrío.

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Ejemplo 3.1

Centro de gravedad de un automóvil

Un automóvil de pasajeros con una distancia entre ejes de 2,5 m tiene el 52% de su peso en las ruedas delanteras en terreno llano, como se ilustra en la Figura 3.4. ¿Dónde está ubicado el CM de este automóvil con respecto al eje trasero?

Figura 3.4 La distribución del peso entre los ejes de un automóvil. ¿Dónde se encuentra el centro de gravedad? (crédito "automóvil": modificación del trabajo por Jane Whitney).

Estrategia

No sabemos el peso w del automóvil. Todo lo que sabemos es que cuando el automóvil descansa sobre una superficie nivelada, 0.52w empuja hacia abajo sobre la superficie en los puntos de contacto de las ruedas delanteras y 0.48w empuja hacia abajo sobre la superficie en los puntos de contacto de las ruedas traseras.

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Además, los puntos de contacto están separados el uno del otro por la distancia d = 2.5 m. En estos puntos de contacto, el automóvil experimenta fuerzas de reacción normales con magnitudes F_F = 0.52w y F_R = 0.48w en los ejes delantero y trasero, respectivamente. También sabemos que el automóvil es un ejemplo de un cuerpo rígido en equilibrio cuyo peso completo w actúa en su CM. El CM está ubicado en algún lugar entre los puntos donde actúan las fuerzas de reacción normales, en algún lugar a una distancia x desde el punto donde actúa F_R. Nuestra tarea es encontrar x. Por lo tanto, identificamos tres fuerzas que actúan sobre el cuerpo (el automóvil), y podemos dibujar un diagrama de cuerpo libre para el cuerpo rígido extendido, como se muestra en la Figura 3.5.

Figura 3.5 El diagrama de cuerpo libre para el automóvil indica claramente los vectores de fuerza que actúan en el automóvil y las distancias al centro de masa (CM). Cuando se selecciona CM como el punto de pivote, estas distancias son brazos de palanca de fuerzas de reacción normales. Ten en cuenta que las magnitudes vectoriales y los brazos de palanca no necesitan ser dibujados a escala, pero todas las cantidades de relevancia deben estar claramente etiquetadas.

Estamos casi listos para anotar las condiciones de equilibrio de la Ecuación 3.7 a la Ecuación 3.9 para el automóvil, pero primero debemos decidir sobre el marco de referencia.

221

Supongamos que elegimos el eje x a lo largo de la longitud del auto, el eje y vertical y el eje z perpendicular a este plano xy. Con esta opción solo necesitamos escribir la Ecuación 3.7 y la Ecuación 3.9 porque todos los componentes y son idénticamente cero. Ahora tenemos que decidir sobre la ubicación del punto de pivote. Podemos elegir cualquier punto como la ubicación del eje de rotación (eje z). Supongamos que colocamos el eje de rotación en CM, como se indica en el diagrama de cuerpo libre para el automóvil. En este punto, estamos listos para escribir las condiciones de equilibrio para el automóvil.

Solución

Cada condición de equilibrio contiene solo tres términos porque hay N = 3 fuerzas que actúan sobre el automóvil. La primera condición de equilibrio, la Ecuación 3.7, dice

+F_F - w + F_R = 0.

(3.11)

Esta condición se cumple trivialmente porque cuando sustituimos los datos, la ecuación 3.11 se convierte en + 0.52w - w + 0.48w = 0. La segunda condición de equilibrio, Ecuación 3.9, dice

τ_F + τ_w + τ_R = 0

(3.12)

donde τ_F es el torque de la fuerza F_F, τ_w es el torque gravitacional de la fuerza w, y τ_R es el torque de la fuerza F_R. Cuando el pivote está ubicado en CM, el torque gravitacional es idénticamente cero porque el brazo de palanca del peso con respecto a un eje que pasa a través de CM es cero. Las líneas de acción de ambas fuerzas de reacción normales son perpendiculares a sus brazos de palanca, por lo que en la ecuación 3.10, tenemos |senθ| = 1 para ambas fuerzas.

222

Del diagrama de cuerpo libre, leemos que el torque τ_F causa rotación en el sentido de las agujas del reloj alrededor del pivote en CM, por lo que su sentido es negativo; y el torque τ_R causa una rotación en sentido antihorario alrededor del pivote en CM, por lo que su sentido es positivo. Con esta información, escribimos la segunda condición de equilibrio como

-R_FF_F + r_RF_R = 0.

(3.13)

Con la ayuda del diagrama de cuerpo libre, identificamos las magnitudes de fuerza F_R = 0.48w y F_F = 0.52w, y sus correspondientes brazos de palanca r_R = x y r_F = d - x. Ahora podemos escribir la segunda condición de equilibrio, la Ecuación 3.13, explícitamente en términos de la distancia desconocida x:

-0.52(d - x)w + 0.48xw = 0.

(3.14)

Aquí el peso w se cancela y podemos resolver la ecuación para la posición desconocida x del CM. La respuesta es x = 0.52d = 0.52(2.5 m) = 1.3 m.

Elegir el pivote en la posición del eje delantero no cambia el resultado. El diagrama de cuerpo libre para esta ubicación de pivote se presenta en la Figura 3.6. Para esta elección del punto de pivote, la segunda condición de equilibrio es

-R_ww + r_RF_R = 0.

(3.15)

Cuando sustituimos las cantidades indicadas en el diagrama, obtenemos

-(d - x)w + 0.48dw = 0.

(3.16)

223

La respuesta obtenida al resolver la Ecuación 3.13 es, nuevamente, x = 0.52d = 1.3 m.

Figura 3.6 El diagrama equivalente de cuerpo libre para el automóvil; el pivote está claramente indicado.

Explicación

Este ejemplo muestra que cuando resolvemos problemas de equilibrio estático, somos libres de elegir la ubicación del pivote. Para diferentes opciones del punto de pivote tenemos diferentes conjuntos de condiciones de equilibrio para resolver. Sin embargo, todas las opciones conducen a la misma solución al problema.

Comprueba tu aprendizaje 3.1

Resuelve el Ejemplo 3.1 eligiendo el pivote en la ubicación del eje trasero.

224

Comprueba tu aprendizaje 3.2

Explique cuál de las siguientes situaciones satisface ambas condiciones de equilibrio: (a) una pelota de tenis que no gira mientras viaja en el aire; (b) un pelícano que se desliza en el aire a una velocidad constante a una altitud; o (c) un cigüeñal en el motor de un automóvil estacionado.

Un caso especial de equilibrio estático ocurre cuando todas las fuerzas externas en un objeto actúan a lo largo del eje de rotación o cuando la extensión espacial del objeto puede ser ignorada. En tal caso, el objeto puede tratarse efectivamente como una masa puntual. En este caso especial, no debemos preocuparnos por la segunda condición de equilibrio, Ecuación 3.9, porque todos los torques son cero y la primera condición de equilibrio (por fuerzas) es la única condición que debe cumplirse. El diagrama de cuerpo libre y la estrategia de resolución de problemas para este caso especial fueron delineados en el capítulo sobre las Leyes de Newton y sus Aplicaciones. Verás una situación de equilibrio típica que implica solo la primera condición de equilibrio en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3.2

Una tensión de ruptura

Una pequeña cubeta de masa 42.0 g es soportada por dos cadenas, como se muestra en la Figura 3.7. La tensión máxima que la cuerda puede soportar es de 2.80 N. La masa se agrega gradualmente a la bandeja hasta que se rompa una de las cuerdas. ¿Qué cuerda es? ¿Cuánta masa se debe agregar para que esto ocurra?

225

Figura 3.7 La masa se agrega gradualmente a la bandeja hasta que se rompa una de las cuerdas.

Estrategia

Este sistema mecánico que consiste en cuerdas, masas y la bandeja está en equilibrio estático. Específicamente, el nudo que ata las cuerdas a la bandeja está en equilibrio estático. El nudo se puede tratar como un punto; por lo tanto, solo necesitamos la primera condición de equilibrio. Las tres fuerzas que tiran al nudo son la tensión T→₁ en la cuerda de 5.0 cm, la tensión T→₂ en la cuerda de 10.0 cm, y el peso w→ de la bandeja que contiene las masas. Adoptamos un sistema de coordenadas rectangulares con el eje y apuntando opuesto a la dirección de la gravedad y dibujamos el diagrama de cuerpo libre para el nudo (observa la Figura 3.8). Para encontrar los componentes de tensión, debemos identificar los ángulos de dirección α₁ y α₂ que hacen las cuerdas con la dirección horizontal que es el eje x. Como puedes ver en la Figura 3.7, las cuerdas forman dos lados de un triángulo rectángulo. Podemos usar el teorema de Pitágoras para resolver este triángulo, que se muestra en la figura 3.8, y encontrar el seno y el coseno de los ángulos α₁ y α₂.

226

Entonces podemos hallar las tensiones en sus componentes rectangulares, sustituir en la primera condición de equilibrio (Ecuación 3.7 y Ecuación 3.8) y hallar las tensiones en las cuerdas. La cuerda con una mayor tensión se romperá primero.

Figura 3.8 Diagrama de cuerpo libre para el nudo en el Ejemplo 3.2.

227

Solución

El peso w que tira del nudo se debe a la masa M de la bandeja y la masa m añadida a la bandeja, o w = (M + m)g. Con la ayuda del diagrama de cuerpo libre de la figura 3.8, podemos establecer las condiciones de equilibrio para el nudo:

en la dirección x, -T_1x + T_2x = 0.

en la dirección y, +T_1y + T_2y - w = 0.

Del diagrama de cuerpo libre, las magnitudes de los componentes en estas ecuaciones son

T_1x = T₁cosα₁ = T₁/√5/, T_1y = T₁senα₁ = 2T₁/√5/

T_2x = T₂cosα₂ = 2T₂/√5/, T_2y = T₂senα₂ = T₂/√5/.

Sustituimos estos componentes en las condiciones de equilibrio y simplificamos. Luego obtenemos dos ecuaciones de equilibrio para las tensiones:

En dirección x, T₁ = 2T₂.

En dirección y, 2T₁/√5/ + T₂/√5/ = (M + m)g.

La ecuación de equilibrio para la dirección x nos dice que la tensión T₁ en la cuerda de 5,0 cm es el doble de la tensión T₂ en la cuerda de 10,0 cm. Por lo tanto, la cadena más corta se romperá.

228

Cuando usamos la primera ecuación para eliminar T₂ de la segunda ecuación, obtenemos la relación entre la masa m en la bandeja y la tensión T₁ en la cadena más corta:

2.5T₁/√5/ = (M + m)g.

La cuerda se rompe cuando la tensión alcanza el valor crítico de T₁ = 2.80 N. La ecuación anterior se puede resolver para la masa crítica m que rompe la cadena:

m = 2.5/√5/T₁/g - M = 2.5/√5/2.80 N/9.8 m/s² − 0.042 kg = 0.277 kg = 277.0 g

Explicación

Supongamos que el sistema mecánico considerado en este ejemplo está unido a un techo dentro de un elevador que sube. Siempre que el elevador se mueva hacia arriba a una velocidad constante, el resultado permanece igual porque el peso w no cambia. Si el elevador se mueve hacia arriba con aceleración, la masa crítica es más pequeña porque el peso de M + m aumenta por un peso aparente debido a la aceleración del elevador. Aún así, en todos los casos, la cadena más corta se rompe primero.

En la siguiente escena interactiva, diseñada por Walter Fendt observa tres pesos que están conectados por cuerdas sobre poleas y unidos en un nudo. Puedes experimentar con los pesos para ver cómo afectan la posición de equilibrio del nudo y, al mismo tiempo, ver la representación del diagrama vectorial de la primera condición de equilibrio en funcionamiento.

229

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En esta escena interactiva se simula un experimento simple sobre el equilibrio de tres fuerzas: los pesos se suspenden de tres cuerdas atadas. Dos de las cuerdas corren sobre poleas sin fricción. Las tres fuerzas que actúan sobre el nudo (flechas de colores) están en equilibrio.

Puedes elegir fuerzas de 1 N a 10 N en los campos de entrada.

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¡Observa que cada fuerza debe ser más pequeña que la suma de las otras dos fuerzas! Es posible variar las posiciones de las dos poleas arrastrándolas con el ratón. El paralelogramo de fuerzas que se dirigen a la parte superior izquierda y derecha (rojo y azul, respectivamente) se dibujará si seleccionas la opción correspondiente. En la parte inferior derecha puede leer los ángulos de estas dos fuerzas con respecto a la vertical.

3.2 Ejemplos de equilibrio estático

Todos los ejemplos en este capítulo son problemas planarios. En consecuencia, utilizamos condiciones de equilibrio en la forma de la Ecuación 3.7 a la Ecuación 3.9. Introdujimos una estrategia de resolución de problemas en el Ejemplo 3.1 para ilustrar el significado físico de las condiciones de equilibrio. Ahora generalizamos esta estrategia en una lista de pasos a seguir cuando resolvemos problemas de equilibrio estático para cuerpos rígidos extendidos. Procedemos en cinco pasos prácticos.

Estrategia de resolución de problemas: equilibrio estático

1. Identifica el objeto a analizar. Para algunos sistemas en equilibrio, puede ser necesario considerar más de un objeto. Identifica todas las fuerzas que actúan sobre el objeto. Identifica las preguntas que necesitas responder. Identifica la información dada en el problema. En problemas realistas, cierta información clave puede estar implícita en la situación en lugar de proporcionarse de manera explícita.

2. Configura un diagrama de cuerpo libre para el objeto. (a) Elige el marco de referencia xy para el problema. Dibuja un diagrama de cuerpo libre para el objeto, que incluya solo las fuerzas que actúan sobre él.

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Cuando sea adecuado, representa las fuerzas en términos de sus componentes en el marco de referencia elegido. Al hacer esto para cada fuerza, tacha la fuerza original para que no incluya erróneamente la misma fuerza dos veces en las ecuaciones.. Etiqueta todas las fuerzas; lo necesitarás para los cálculos correctos de las fuerzas netas en las direcciones x e y. Para una fuerza desconocida, la dirección debe asignarse arbitrariamente; piensa en ello como una "dirección de trabajo" o una "dirección sospechada". La dirección correcta está determinada por el signo que obtienes en la solución final. Un signo más (+) significa que la dirección de trabajo es la dirección real. Un signo menos (-) significa que la dirección real es opuesta a la dirección de trabajo asumida. (b) Elige la ubicación del eje de rotación; en otras palabras, elige el punto de pivote con respecto al cual calcularás torques de fuerzas actuantes. En el diagrama de cuerpo libre, indica la ubicación del pivote y los brazos de palanca de las fuerzas actuantes; lo necesitarás para cálculos de torques correctos. En la selección del pivote, ten en cuenta que el pivote se puede colocar en cualquier lugar que desees, pero el principio rector es que la mejor opción simplificará tanto como sea posible el cálculo del torque neto a lo largo del eje de rotación.

3. Configura las ecuaciones de equilibrio para el objeto. (a) Usa el diagrama de cuerpo libre para escribir una condición de equilibrio correcta con la ecuación 3.7 para componentes de fuerza en la dirección x. (b) Usa el diagrama de cuerpo libre para escribir una condición de equilibrio correcta con la ecuación 3.11 para componentes de fuerza en la dirección y. (c) Usa el diagrama de cuerpo libre para escribir una condición de equilibrio correcta con la ecuación 3.9 para torques a lo largo del eje de rotación. Usa la ecuación 3.10 para evaluar las magnitudes y los sentidos del torque.

4. Simplifica y resuelve el sistema de ecuaciones de equilibrio para obtener cantidades desconocidas. En este punto, tu trabajo solo requiere álgebra.

232

Ten en cuenta que el número de ecuaciones debe ser el mismo que el número de incógnitas. Si el número de incógnitas es mayor que el número de ecuaciones, el problema no se puede resolver.

5. Evalúa las expresiones de las cantidades desconocidas que obtuviste en tu solución. Tus respuestas finales deben tener valores numéricos correctos y unidades físicas correctas. Si no lo hacen, utiliza los pasos anteriores para rastrear un error hasta su origen y corregirlo. Además, puedes verificar independientemente tus respuestas numéricas desplazando el pivote a una ubicación diferente y resolviendo el problema nuevamente, que es lo que hicimos en el Ejemplo 3.1.

Observa que la creación de un diagrama de cuerpo libre para un problema de equilibrio de cuerpo rígido es el componente más importante en el proceso de solución. Sin la configuración correcta y un diagrama correcto, no podrás anotar las condiciones correctas para el equilibrio. También ten en cuenta que un diagrama de cuerpo libre para un cuerpo rígido extendido que puede experimentar movimiento rotacional es diferente de un diagrama de cuerpo libre para un cuerpo que experimenta solo movimiento traslacional (como vimos en los capítulos sobre las leyes de movimiento de Newton). En la dinámica traslacional, un cuerpo se representa como su CM, donde todas las fuerzas del cuerpo están unidas y no aparecen torques. Esto no es válido en la dinámica rotacional, donde un cuerpo rígido extendido no puede ser representado por un solo punto. La razón de esto es que al analizar la rotación, debemos identificar los torques que actúan sobre el cuerpo, y el torque depende tanto de la fuerza actuante como de su brazo de palanca. Aquí, el diagrama de cuerpo libre para un cuerpo rígido extendido nos ayuda a identificar torques externos.

233

Ejemplo 3.3

El Equilibrio de Torque

Tres masas se unen a una viga de madera uniforme, como se muestra en la Figura 3.9. La masa de la viga es de 150.0 g y las masas a la izquierda del fulcro son m₁ = 50.0 g y m₂ = 75.0 g. Encuentra la masa m₃ que equilibra el sistema cuando está conectado en el extremo derecho de la palanca, y la fuerza de reacción normal en el fulcro cuando el sistema está equilibrado.

Figura 3.9 En un equilibrio de torque, una viga horizontal se apoya en un fulcro (indicado por S) y las masas se unen a ambos lados del fulcro. El sistema está en equilibrio estático cuando la viga no gira. Está equilibrado cuando la viga permanece nivelada.

Estrategia

Para la disposición que se muestra en la figura, identificamos las siguientes cinco fuerzas que actúan en la viga:

234

w₁ = m₁g es el peso de la masa m₁; w₂ = m₂g es el peso de la masa m₂;

w = mg es el peso de la viga; w₃ = m₃g es el peso de la masa desconocida m₃;

F_S es la fuerza de reacción normal en el punto de soporte S.

Elegimos un marco de referencia donde la dirección del eje y es la dirección de la gravedad, la dirección del eje x está a lo largo de la viga y el eje de rotación (el eje z) es perpendicular al eje x y pasa a través del punto de soporte S. En otras palabras, elegimos el pivote en el punto donde la viga toca el soporte. Esta es una opción natural para el pivote porque este punto no se mueve cuando gira la viga. Ahora estamos listos para configurar el diagrama de cuerpo libre para la viga. Indicamos el pivote y unimos cinco vectores que representan las cinco fuerzas a lo largo de la línea que representa la viga de madera, ubicando las fuerzas con respecto al pivote (Figura 3.10). En esta etapa, podemos identificar los brazos de palanca de las cinco fuerzas dada la información provista en el problema. Para las tres masas colgantes, el problema es explícito sobre su ubicación a lo largo de la viga, pero la información sobre la ubicación del peso w se da implícitamente. La palabra clave aquí es "uniforme". Sabemos por nuestros estudios previos que el CM de una viga uniforme se encuentra en su punto medio, por lo que aquí es donde se adjunta el peso w, en la marca de 50 cm.

Solución

Con la Figura 3.9 y la Figura 3.10 como referencia, comenzamos por encontrar los brazos de palanca de las cinco fuerzas que actúan sobre la viga:

r₁ = 30.0 cm + 40.0 cm = 70.0 cm

235

r₂ = 40.0 cm
r = 50.0 cm − 30.0 cm = 20.0 cm
r_S = 0.0 cm (porque F_S está conectado al pivote)
r₃ = 30.0 cm

Figura 3.10 Diagrama de cuerpo libre para la viga. El pivote se elige en el punto de soporte S.

Ahora podemos encontrar los cinco torques con respecto al pivote elegido:

τ₁ = +r₁w₁sen90° = +r₁m₁g (rotación en sentido antihorario, sentido positivo)

τ₂ = +r₂w₂sen90° = +r₂m₂g (rotación en sentido antihorario, sentido positivo)

τ = +rwsen90° = +rmg(torque gravitacional)

τ_S = +r_SF_Ssenθ_S = 0 (porque r_S = 0 cm)

236

τ₃ = -r₃w₃sen90° = -r₃m₃g (rotación en el sentido de las agujas del reloj,
sentido negativo)

La segunda condición de equilibrio (ecuación para los torques) para la viga es

τ₁ + τ₂ + &tau + τ_S + τ_S = 0.

Al sustituir los valores de torque en esta ecuación, podemos omitir los torques que dan contribuciones cero. De esta manera, la segunda condición de equilibrio es

+ r₁m₁g + r₂m₂g + rmg - r₃m₃g = 0.

(3.17)

Seleccionando la dirección + y para que sea paralela a F→_S, la primera condición de equilibrio para la viga es

- W₁ - w₂ - w + F_S - w₃ = 0.

Sustituyendo las fuerzas, la primera condición de equilibrio se vuelve

- M₁g - m₂g - mg + F_S - m₃g = 0.

(3.18)

Resolvemos estas ecuaciones simultáneamente para los valores desconocidos m3 y FS. En la ecuación 12.17, cancelamos el factor g y reorganizamos los términos para obtener

r₃m₃ = r₁m₁ + r₂m₂ + rm.

Para obtener m₃ dividimos ambos lados por r₃, entonces tenemos

237

m₃ = r₁/r₃m₁ + r₂/r₃m₂ + r/r₃m

(3.19)

= 70/30(50.0 g) + 40/30(75.0 g) + 20/30(150.0 g) = 3162/3g ≃ 317 g

Para encontrar la fuerza de reacción normal, reorganizamos los términos en la Ecuación 3.18, convirtiendo gramos a kilogramos:

F_S = (m₁ + m₂ + m + m₃)g

= (50.0 + 75.0 + 150.0 + 316.7)×10⁻³kg × 9.8 m/s² = 5.8N.

(3.20)

Explicación

Observa que la ecuación 3.17 es independiente del valor de g. Por lo tanto, el balance de torque se puede usar para medir la masa, ya que las variaciones en los valores de g en la superficie de la Tierra no afectan estas mediciones.

Comprueba tu aprendizaje 3.3

Repite el Ejemplo 3.3 usando el extremo izquierdo de la viga para calcular los torues; es decir, colocando el pivote en el extremo izquierdo de la viga.

238

En la siguiente escena interactiva de PhET Simulaciones, practica con una viga similar al ejemplo anterior, disponiendo objetos de diferentes masas en el balancín. Predice cómo los cambios en las posiciones de las masas en el tablón afectará el movimiento de la viga. Utiliza las ecuaciones para resolver los acertijos sobre equilibrio.

Ampliar

239

En el siguiente ejemplo, mostramos cómo usar la primera condición de equilibrio (ecuación para fuerzas) en la forma vectorial dada por la Ecuación 3.7 y la Ecuación 3.8. Presentamos esta solución para ilustrar la importancia de una elección adecuada del marco de referencia. Aunque todos los marcos de referencia inerciales son equivalentes y las soluciones numéricas obtenidas en un marco son las mismas que en cualquier otro, una elección inadecuada del marco de referencia puede hacer que la solución sea bastante larga y complicada, mientras que una elección inteligente del marco de referencia simplifica la solución. Mostramos esto en la solución equivalente al mismo problema. Este ejemplo particular ilustra una aplicación del equilibrio estático a la biomecánica.

Ejemplo 3.4

Fuerzas en el antebrazo

Un levantador de pesas tiene un peso de 50.0 lb (equivalente a 222.4 N) con su antebrazo, como se muestra en la Figura 3.11. Su antebrazo está posicionado en β = 60° con respecto a su brazo superior. El antebrazo se apoya en una contracción del músculo bíceps, lo que provoca un torque alrededor del codo. Suponiendo que la tensión en el bíceps actúa a lo largo de la dirección vertical dada por la gravedad, ¿qué tensión debe ejercer el músculo para mantener el antebrazo en la posición que se muestra? ¿Cuál es la fuerza sobre la articulación del codo? Supón que el peso del antebrazo es insignificante. Da tus respuestas finales en unidades del SI.

Estrategia

Identificamos tres fuerzas que actúan sobre el antebrazo: la fuerza desconocida F→ en el codo; la tensión desconocida T→_M en el músculo; y el peso w→ con una magnitud w = 50 lb.

240

Figura 3.11 El antebrazo se rota alrededor del codo (E) mediante una contracción del músculo bíceps, que causa tensión T→_M.

Adoptamos el marco de referencia con el eje x a lo largo del antebrazo y el pivote en el codo. La dirección vertical es la dirección del peso, que es la misma que la dirección del brazo superior. El eje x forma un ángulo β = 60° con la vertical. El eje y es perpendicular al eje x. Ahora configuramos el diagrama de cuerpo libre para el antebrazo. Primero, dibujamos los ejes, el pivote y los tres vectores que representan las tres fuerzas identificadas. Luego ubicamos el ángulo β y representamos cada fuerza por sus componentes x e y, recordando tachar el vector de fuerza original para evitar el doble conteo. Finalmente, etiquetamos las fuerzas y sus brazos de palanca. El diagrama de cuerpo libre para el antebrazo se muestra en la Figura 3.12.

241

En este punto, estamos listos para establecer las condiciones de equilibrio para el antebrazo. Cada fuerza tiene componentes x e y; por lo tanto, tenemos dos ecuaciones para la primera condición de equilibrio, una ecuación para cada componente de la fuerza neta que actúa sobre el antebrazo.

Figura 3.12 Diagrama de cuerpo libre para el antebrazo: El pivote se encuentra en el punto E (codo).

Observa que en nuestro marco de referencia, las contribuciones a la segunda condición de equilibrio (para torques) provienen únicamente de los componentes y de las fuerzas porque los componentes x de las fuerzas son todos paralelos a sus brazos de palanca, por lo que para cualquiera de ellos tenemos sen&tehta; = 0 en la ecuación 3.10. Para los componentes y tenemos θ = ± 90° en la ecuación 3.10. También nota que el torque de la fuerza en el codo es cero porque esta fuerza está unida al pivote. Entonces, la contribución al torque neto proviene solo de los torques de T_y y de w_y.

242

Solución

Vemos en el diagrama de cuerpo libre que el componente x de la fuerza neta satisface la ecuación

+F_x + T_x − w_x = 0

(3.21)

y el componente y de la fuerza neta satisface

+F_y + T_y − w_y = 0

(3.22)

La ecuación 3.21 y la ecuación 3.22 son dos ecuaciones de la primera condición de equilibrio (para las fuerzas). A continuación, leemos del diagrama de cuerpo libre que el torque neto a lo largo del eje de rotación es

+r_TT_y - r_ww_y = 0.

(3.23)

La ecuación 3.23 es la segunda condición de equilibrio (para torques) para el antebrazo. El diagrama de cuerpo libre muestra que los brazos de palanca son r_T = 1.5 pulgadas y r_w = 13.0 pulgadas. En este punto, no necesitamos convertir pulgadas en unidades del SI, ya que mientras estas unidades sean consistentes en la Ecuación 3.23, se cancelan. Usando nuevamente el diagrama de cuerpo libre, encontramos las magnitudes de las fuerzas componentes:

F_x = Fcosβ = Fcos60° = F/2
T_x = Tcosβ = Tcos60° = T/2
w_x = wcosβ = wcos60° = w/2

243

F_y = Fsenβ = Fsen60° = F√3/2
T_y = Tsenβ = Tsen60° = T√3/2
w_y = wsenβ = wsen60° = w√3/2

Sustituimos estas magnitudes en la Ecuación 3.21, la Ecuación 3.22 y la Ecuación 3.23 para obtener, respectivamente,

F/2 + T/2 −w/2 = 0

F√2/2 + T√3/2 − w√3/2 = 0

r_TT√3/2 − r_ww√3/2 = 0

Cuando simplificamos estas ecuaciones, vemos que nos quedan solo dos ecuaciones independientes para las dos magnitudes de fuerza desconocidas, F y T, porque la ecuación 3.21 para el componente x es equivalente a la ecuación 3.22 para el componente y. De esta manera, obtenemos la primera condición de equilibrio para las fuerzas

F + T - w = 0

(3.24)

y la segunda condición de equilibrio para torques

r_TT - r_ww = 0.

(3.25)

La magnitud de la tensión en el músculo se obtiene al resolver la Ecuación 3.25:

244

T = r_w/r_Tw = 13.0/1.5(50 lb) = 4.331/3 lb ≅ 433.3 lb

La fuerza en el codo se obtiene al resolver la Ecuación 3.24:

F = w - T = 50.0 lb - 433.3 lb = -383.3 lb

El signo negativo en la ecuación nos dice que la fuerza real en el codo es antiparalela a la dirección de trabajo adoptada para dibujar el diagrama de cuerpo libre. En la respuesta final, convertimos las fuerzas en unidades de fuerza del SI. La respuesta es

F = 383.3 lb = 383.3(4.448 N) = 1705 N hacia abajo

T = 433.3 lb = 433.3(4.448 N) = 1927 N hacia arriba.

Explicación

Hay dos cuestiones importantes que vale la pena mencionar. La primera se refiere a la conversión en unidades del SI, lo que se puede hacer al final de la solución siempre que conservemos la coherencia en las unidades. El segundo problema importante se refiere a las articulaciones de bisagra, como el codo. En el análisis inicial de un problema, siempre se debe asumir que las articulaciones de bisagras ejercen una fuerza en una dirección arbitraria, y luego se debe resolver para todos los componentes de una fuerza de bisagra de forma independiente. En este ejemplo, la fuerza del codo pasa a ser vertical porque el problema asume que la tensión del bíceps también es vertical. Tal simplificación, sin embargo, no es una regla general.

245

Solución equivalente

Supongamos que adoptamos un marco de referencia con la dirección del eje y a lo largo del peso de 50 lb y el pivote colocado en el codo.

En este marco, las tres fuerzas tienen solo componentes y, por lo que tenemos una sola ecuación para la primera condición de equilibrio (para las fuerzas). Dibujamos el diagrama de cuerpo libre para el antebrazo como se muestra en la Figura 3.13, indicando el pivote, las fuerzas actuantes y sus brazos de palanca con respecto al pivote, y los ángulos θ_T y θ_w que las fuerzas T→_M y w→ (respectivamente) hacen con sus brazos de palanca. En la definición de torque dada por la ecuación 3.10, el ángulo θ_T es el ángulo de dirección del vector T→_M, contado en sentido antihorario desde la dirección radial del brazo de palanca que siempre apunta hacia fuera del pivote. Según la misma convención, el ángulo θ_w se mide en sentido antihorario desde la dirección radial del brazo de palanca hasta el vector w→. Hecho de esta manera, los torques distintos de cero se calculan más fácilmente al sustituir directamente en la ecuación 3.10 de la siguiente manera:

τ_T = r_TTsenθ_T = r_TTsenβ = r_TTsen60° = +r_TT√3/2
τ_w = r_wwsenθ_w = r_wwsen(β + 180°) = -r_wsenβ = = -r_ww√3/2

La segunda condición de equilibrio, τ_T + τ_w = 0, se puede escribir ahora como

r_TT√3/2 - r_ww√3/2 = 0.

(3.26)

Del diagrama de cuerpo libre, la primera condición de equilibrio (para fuerzas) es

-F + T - w = 0.

(3.27)

246

Figura 3.13 Diagrama de cuerpo libre para el antebrazo para la solución equivalente. El pivote está ubicado en el punto E (codo).

La ecuación 3.26 es idéntica a la ecuación 3.25 y da el resultado T = 433.3 lb. Da la ecuación 3.27 obtenemos

F = T - w = 433,3 lb - 50,0 lb = 383,3 lb.

Vemos que estas respuestas son idénticas a nuestras respuestas anteriores, pero la segunda opción para el marco de referencia conduce a una solución equivalente que es más simple y más rápida porque no requiere que las fuerzas se resuelvan en sus componentes rectangulares.

247

Comprueba tu aprendizaje 3.4

Repite el ejemplo 3.4 suponiendo que el antebrazo es un objeto de densidad uniforme que pesa 8.896 N.

Ejemplo 3.5

Una escalera que descansa contra una pared

Una escalera uniforme de L = 5.0 m de largo y peso 400.0 N, descansa contra una pared vertical resbaladiza, como se muestra en la Figura 3.14. El ángulo de inclinación entre la escalera y el piso áspero es β = 53°. Encuentra las fuerzas de reacción del piso y de la pared en la escalera y el coeficiente de fricción estática μ_s en la interfaz de la escalera con el piso que evita que la escalera se deslice.

Estrategia

Podemos identificar cuatro fuerzas que actúan en la escalera. La primera fuerza es la fuerza de reacción normal N del piso en la dirección vertical ascendente. La segunda fuerza es la fuerza de fricción estática f = μ_sN dirigida horizontalmente a lo largo del piso hacia la pared; esta fuerza evita que la escalera se deslice. Estas dos fuerzas actúan sobre la escalera en su punto de contacto con el piso. La tercera fuerza es el peso w de la escalera, unida a su CM ubicada a medio camino entre sus extremos. La cuarta fuerza es la fuerza de reacción normal F de la pared en la dirección horizontal alejada de la pared, unida al punto de contacto con la pared.

248

Figura 3.14 Una escalera de 5.0 m de largo descansa contra una pared sin fricción.

No hay otras fuerzas porque la pared es resbaladiza, lo que significa que no hay fricción entre la pared y la escalera. En base a este análisis, adoptamos el marco de referencia con el eje y en la dirección vertical (paralelo a la pared) y el eje x en la dirección horizontal (paralelo al piso). En este marco, cada fuerza tiene un componente horizontal o un componente vertical, pero no ambos, lo que simplifica la solución. Seleccionamos el pivote en el punto de contacto con el piso. En el diagrama de cuerpo libre para la escalera, indicamos el pivote, las cuatro fuerzas y sus brazos de palanca, y los ángulos entre los brazos de palanca y las fuerzas, como se muestra en la Figura 3.15. Con nuestra elección de la ubicación del pivote, no existe torque desde la fuerza de reacción normal N o desde la fricción estática f porque ambas actúan en el pivote.

249

Figura 3.15 Diagrama de cuerpo libre para una escalera apoyada contra una pared sin fricción.

Solución

Del diagrama de cuerpo libre, la fuerza neta en la dirección x es

+f - F = 0

(3.28)

la fuerza neta en la dirección y es

+N - w = 0

(3.29)

250

y el torque neto a lo largo del eje de rotación en el punto de pivote es

τ_w + τ_F = 0

(3.30)

donde τ_w es el torque del peso w y τ_F es el torque de la reacción F. Del diagrama de cuerpo libre, identificamos que el brazo de palanca de la reacción en la pared es r_F = L = 5.0 m y el brazo de palanca de el peso es r_w = L/2 = 2.5 m. Con la ayuda del diagrama de cuerpo libre, identificamos los ángulos que se usarán en la ecuación 3.10 para torques: θ_F = 180° - β para el torque de la fuerza de reacción con la pared, y θ_w = 180° + (90° - β) para el torque debido al peso. Ahora estamos listos para usar la Ecuación 3.10 para calcular torques:

τ_w = r_wwsenθ_w = r_wwsen(180° + 90° − β) = −L/2wsen(90° − β) = −L/2wcosβ.
τ_F = r_FFsenθ_F = r_FFsen(180° − β) = LFsenβ.

Sustituimos los torques por la ecuación 3.30 y hallamos F:

−L/2wcosβ + LFsenβ = 0
F = w/2cotβ = 400.0 N/2cot53° = 150.7N

(3.31)

Obtenemos la fuerza de reacción normal con el piso resolviendo la Ecuación 3.29: N = w = 400.0 N. La magnitud de la fricción se obtiene al resolver la Ecuación 3.28: f = F = 150.7 N. El coeficiente de fricción estática es μ_s = f/N = 150.7/400.0 = 0.377.

251

La fuerza neta en la escalera en el punto de contacto con el piso es la suma vectorial de la reacción normal del piso y las fuerzas de fricción estáticas:

F→_piso = f→ + N→ =( 150.7 N)(−i^) + (400.0 N)(+j^) = (−150.7i^ + 400.0j^) N.

Su magnitud es

F_piso = √f² + N²/ = √150.7² + 400.0²/ N = 427.4 N

y su dirección es

φ = tan^-1(N/f) = tan^-1(400.0/150.7) = 69.3° sobre el piso.

Deberíamos enfatizar aquí dos observaciones generales de uso práctico. Primero, observa que cuando elegimos un punto de pivote, no hay expectativa de que el sistema realmente pivoteará alrededor del punto elegido. La escalera en este ejemplo no gira en absoluto, sino que se apoya firmemente en el piso; no obstante, su punto de contacto con el piso es una buena opción para el pivote. Segundo, observa que cuando usamos la Ecuación 3.10 para el cálculo de torques individuales, no necesitamos resolver las fuerzas en sus componentes normales y paralelos con respecto a la dirección del brazo de palanca, y no necesitamos considerar el sentido del torque. Siempre que el ángulo en la Ecuación 3.10 esté correctamente identificado -con la ayuda de un diagrama de cuerpo libre- como el ángulo medido en sentido antihorario desde la dirección del brazo de palanca hasta la dirección del vector de fuerza, la Ecuación 3.10 da la magnitud y el sentido del torque. Esto se debe a que el torque es el producto vectorial del vector palanca-brazo cruzado con el vector de fuerza, y la ecuación 3.10 expresa el componente rectangular de este producto vectorial a lo largo del eje de rotación.

252

Explicación

Este resultado es independiente de la longitud de la escalera porque L se cancela en la segunda condición de equilibrio (Ecuación 3.31). No importa qué tan larga o corta sea la escalera, siempre y cuando su peso sea de 400 N y el ángulo con el piso sea de 53°, nuestros resultados se mantienen. Pero la escalera se deslizará si el torque neto se vuelve negativo en la ecuación 3.31. Esto sucede en algunos ángulos cuando el coeficiente de fricción estática no es lo suficientemente grande como para evitar que la escalera se deslice.

Comprueba tu aprendizaje 3.5

Para la situación descrita en el Ejemplo 3.5, determina los valores del coeficiente μ_s de fricción estática para los cuales la escalera comienza a deslizarse, dado que β es el ángulo que la escalera forma con el piso.

Ejemplo 3.6

Fuerzas en las bisagras de una puerta

Una puerta basculante que pesa w = 400.0 N es soportada por las bisagras A y B de modo que la puerta puede balancearse alrededor de un eje vertical que pasa a través de las bisagras (Figura 3.16). La puerta tiene un ancho b = 1.00 m, y la lámina de la puerta tiene una densidad de masa uniforme. Las bisagras se colocan simétricamente en el borde de la puerta de tal forma que el peso de la puerta se distribuye uniformemente entre ellas. Las bisagras están separadas por una distancia a = 2.00 m. Encuentra las fuerzas en las bisagras cuando la puerta está medio abierta.

253

Figura 3.16 Una puerta vertical oscilante de 400 N está soportada por dos bisagras unidas en los puntos A y B.

Estrategia

Las fuerzas que la puerta ejerce sobre sus bisagras se pueden encontrar simplemente invirtiendo las direcciones de las fuerzas que ejercen las bisagras sobre la puerta.

254

Por lo tanto, nuestra tarea es encontrar las fuerzas de las bisagras en la puerta. Tres fuerzas actúan sobre la lámina de la puerta: una fuerza desconocida A→ de la bisagra A, una fuerza desconocida B→ de la bisagra B, y el peso conocido w→ unido al centro de masa de la lámina de la puerta. El CM está ubicado en el centro geométrico de la puerta porque la lámina tiene una densidad de masa uniforme. Adoptamos un marco rectangular de referencia con el eje largo de la dirección de la gravedad y el eje x en el plano de la placa, como se muestra en el panel (a) de la figura 3.17, y hallamos todas las fuerzas en sus componentes rectangulares. De esta manera, tenemos cuatro fuerzas con componentes desconocidos: dos componentes de la fuerza A→ (A_x y A_y) y dos componentes de la fuerza B→ (B_x y B_y). En el diagrama de cuerpo libre, representamos las dos fuerzas en las bisagras por sus componentes vectoriales, cuyas orientaciones asumidas son arbitrarias. Debido a que hay cuatro incógnitas (A_x, B_x, A_y y B_y), debemos configurar cuatro ecuaciones independientes. Una ecuación es la condición de equilibrio para las fuerzas en la dirección x. La segunda ecuación es la condición de equilibrio para las fuerzas en la dirección y. La tercera ecuación es la condición de equilibrio para torques en rotación sobre una bisagra. Debido a que el peso se distribuye uniformemente entre las bisagras, tenemos la cuarta ecuación, A_y = B_y. Para establecer las condiciones de equilibrio, dibujamos un diagrama de cuerpo libre y elegimos el punto de pivote en la bisagra superior, como se muestra en el panel (b) de la Figura 3.17. Finalmente, resolvemos las ecuaciones para los componentes de fuerza desconocidos y encontramos las fuerzas.

255

Figura 3.17 a) Geometría y (b) diagrama de cuerpo libre para la puerta.

Solución

Del diagrama de cuerpo libre para la puerta tenemos la primera condición de equilibrio para las fuerzas:

En dirección x: −A_x + B_x = 0 ⇒ A_x = B_x
En dirección x: +A_y +B_y − w = 0 ⇒ A_y = B_y = w/2 = 400.0 N/2 = 200.0N.

256

Seleccionamos el pivote en el punto P (bisagra superior, según el diagrama de cuerpo libre) y escribimos la segunda condición de equilibrio para los torques en rotación alrededor del punto P:

pivote en P: τ_w + τ_Bx + τ_By = 0.

(3.32)

Usamos el diagrama de cuerpo libre para encontrar todos los términos en esta ecuación:

τ_w = dwsen(-β) = -dwsenβ = -dwb/2/d = -wb/2
τ_Bx = aB_xsen90° = +aBx_x
τ_By = aB_ysen180° = 0

Al evaluar senβ, utilizamos la geometría del triángulo que se muestra en la parte (a) de la figura. Ahora sustituimos estos torques en la Ecuación 3.32 y calculamos B_x:

pivote en P: -wb/2 + aB_x = 0 ⇒ B_x = wb/2a = (400.0 N) 1/2 • 2 = 100.0 N.

Por lo tanto, las magnitudes de las fuerzas del componente horizontal son A_x = B_x = 100.0 N. Las fuerzas en la puerta son

en la bisagra superior: F→_{A sobre la puerta} = -100.0 Ni^ + 200.0 Nj^
en la bisagra inferior: F→_{B sobre la puerta} = +100.0 Ni^ + 200.0 Nj^

Las fuerzas en las bisagras se encuentran en la tercera ley de Newton como

257

en la bisagra superior: F→_{la puerta sobre A} = 100.0 Ni^ - 200.0 Nj^
en la bisagra inferior: F→_{la puerta sobre B} = -100.0 Ni^ - 200.0 Nj^

Explicación

Ten en cuenta que si el problema se formuló sin suponer que el peso se distribuye por igual entre las dos bisagras, no podríamos resolverlo porque el número de incógnitas sería mayor que el número de ecuaciones que expresan condiciones de equilibrio.

Comprueba tu aprendizaje 3.6

Resuelve el problema en el Ejemplo 3.6 tomando la posición de pivote en el centro de masa.

Comprueba tu aprendizaje 3.7

Una persona de 50 kg se encuentra a 1.5 m de distancia de un extremo de un andamio uniforme de 6.0 m de largo con una masa de 70.0 kg. Encuentra las tensiones en las dos cuerdas verticales que sostienen el andamio.

258

Comprueba tu aprendizaje 3.8

Un aviso de 400.0 N cuelga del extremo de un puntal uniforme. El puntal mide 4.0 m de largo y pesa 600.0 N. El puntal es sostenido por una bisagra en la pared y por un cable cuyo otro extremo está atado a la pared en un punto 3.0 m por encima del extremo izquierdo del puntal. Encuentra la tensión en el cable de soporte y la fuerza de la bisagra en el puntal.

259

3.3 Esfuerzo, deformación y módulo elástico

Un modelo de un cuerpo rígido es un ejemplo idealizado de un objeto que no se deforma bajo las acciones de fuerzas externas. Es muy útil cuando se analizan sistemas mecánicos, y muchos objetos físicos son de hecho rígidos en gran medida. El grado en que un objeto puede percibirse como rígido depende de las propiedades físicas del material del que está hecho. Por ejemplo, una pelota de ping-pong hecha de plástico es frágil, y una pelota de tenis hecha de caucho es elástica cuando actúa sobre fuerzas de aplastamiento. Sin embargo, bajo otras circunstancias, tanto una pelota de ping-pong como una de tenis pueden rebotar bien como cuerpos rígidos. Del mismo modo, alguien que diseña extremidades protésicas puede ser capaz de aproximarse a la mecánica de las extremidades humanas modelándolas como cuerpos rígidos; sin embargo, la combinación real de huesos y tejidos es un medio elástico.

Para el resto de este capítulo, pasamos de la consideración de las fuerzas que afectan el movimiento de un objeto a aquellas que afectan la forma de un objeto. Un cambio de forma debido a la aplicación de una fuerza se conoce como una deformación. Incluso se sabe que fuerzas muy pequeñas causan cierta deformación. La deformación es experimentada por objetos o medios físicos bajo la acción de fuerzas externas, por ejemplo, ésta puede aplastar, apretar, rasgar, retorcer, esquilar o separar los objetos. En el lenguaje de la física, dos términos describen las fuerzas sobre los objetos sometidos a deformación: esfuerzo y deformación.

El esfuerzo es una cantidad que describe la magnitud de las fuerzas que causan la deformación. El esfuerzo generalmente se define como la fuerza por unidad de área. Cuando las fuerzas tiran de un objeto y causan su alargamiento, como el estiramiento de una banda elástica, llamamos a este esfuerzo un esfuerzo de tensión o tracción. Cuando las fuerzas causan la compresión de un objeto, lo llamamos esfuerzo de compresión.

260

Cuando un objeto se aprieta desde todos los lados, como un submarino en las profundidades de un océano, llamamos a este tipo de esfuerzo un esfuerzo masivo (o esfuerzo volumétrico). En otras situaciones, las fuerzas actuantes pueden no ser ni extensibles ni compresivas, y aún así producir una deformación notable. Por ejemplo, supón que sostienes un libro apretadamente entre las palmas de las manos, luego con una mano presionas y tiras de la cubierta frontal alejándola de ti, mientras con la otra mano presionas y tiras de la cubierta posterior hacia ti. En tal caso, cuando las fuerzas de deformación actúan tangencialmente a la superficie del objeto, las llamamos fuerzas de cizalla y el esfuerzo que provocan se denomina esfuerzo de cizalladura o cortante.

La unidad de esfuerzo en el SI es el pascal (Pa). Cuando un newton de fuerza presiona sobre un área de superficie unitaria de un metro cuadrado, el esfuerzo resultante es un pascal:

Un pascal = 1.0 Pa = 1.0 N/1.0 m²

En el sistema británico de unidades, la unidad de esfuerzo es 'psi', que significa 'libra por pulgada cuadrada' (lb/in²). Otra unidad que se utiliza a menudo para el esfuerzo es la atm (atmósfera). Los factores de conversión son

1 psi = 6895 Pa y 1Pa = 1.450 × 10^-4psi
1 atm = 1.013 × 10⁵ Pa = 14.7 psi.

Un objeto o un medio bajo esfuerzo se deforma. La cantidad que describe esta deformación se llama esfuerzo. La deformación se da como un cambio fraccionario en la longitud (bajo esfuerzo de tracción) o el volumen (bajo esfuerzo en masa) o la geometría (bajo esfuerzo de cizalladura).

261

Por lo tanto, la deformación es un número adimensional. La deformación bajo un esfuerzo de tracción se denomina deformación por tracción, la deformación bajo el esfuerzo masivo se denomina deformación volumétrica y la causada por el esfuerzo cortante se denomina deformación por cizalladura.

Cuanto mayor es el esfuerzo, mayor es la deformación; sin embargo, la relación entre la deformación y el esfuerzo no necesita ser lineal. Solo cuando el esfuerzo es suficientemente bajo se produce la deformación en proporción directa con el valor del esfuerzo. La constante de proporcionalidad en esta relación se llama módulo elástico. En el límite lineal de los valores de bajo esfuerzo, la relación general entre el esfuerzo y la deformación es

Esfuerzo = (módulo elástico) × deformación

(3.33)

Como podemos ver en el análisis dimensional de esta relación, el módulo elástico tiene la misma unidad física que el esfuerzo porque la deformación es adimensional.

También podemos ver a partir de la Ecuación 3.33 que cuando un objeto se caracteriza por un gran valor de módulo elástico, el efecto del esfuerzo es pequeño. Por otro lado, un pequeño módulo elástico significa que el esfuerzo produce una notable deformación. Por ejemplo, un esfuerzo en una banda de caucho produce una deformación mayor que el mismo esfuerzo en una banda de acero de las mismas dimensiones porque el módulo elástico para el caucho es dos órdenes de magnitud menor que el módulo elástico para el acero.

El módulo elástico para el esfuerzo de tracción se llama módulo de Young; que para el esfuerzo masivo se llama módulo volumétrico; y que para el esfuerzo cortante se llama módulo de corte. Ten en cuenta que la relación entre el esfuerzo y la tensión es una relación observada y medida en el laboratorio.

262

Los módulos elásticos para diversos materiales se miden bajo diversas condiciones físicas, como la variación de temperatura, y se recogen en tablas de datos de ingeniería para referencia (Tabla 3.1). Estas tablas son referencias valiosas para la industria y para cualquier persona involucrada en ingeniería o construcción. En la siguiente sección, discutiremos las relaciones esfuerzo-deformación más allá del límite lineal representado por la ecuación 3.33, en el rango completo de valores de esfuerzo hasta un punto de fractura. En el resto de esta sección, estudiamos el límite lineal expresado por la Ecuación 3.33.

Tabla 3.1 Módulos elásticos aproximados para los materiales seleccionados

263

Tabla 3.1 (Continuación) Módulos elásticos aproximados para los materiales seleccionados

Esfuerzos de tracción o compresión, deformación y módulo de Young

La tracción o compresión ocurren cuando dos fuerzas antiparalelas de igual magnitud actúan sobre un objeto a lo largo de solo una de sus dimensiones, de tal forma que el objeto no se mueve. Una forma de visualizar tal situación se ilustra en la Figura 3.18. Un segmento de varilla se estira o se aprieta mediante un par de fuerzas que actúan a lo largo de su longitud y son perpendiculares a su sección transversal. El efecto neto de tales fuerzas es que la barra cambia su longitud desde la longitud original L₀ que tenía antes de que aparecieran las fuerzas, a una nueva longitud L que tiene bajo la acción de las fuerzas.

264

Este cambio en la longitud ΔL = L - L₀ puede ser o elongación (cuando L es más grande que la longitud original L₀) o contracción (cuando L es más pequeño que la longitud original L₀). El esfuerzo y la deformación a tracción ocurren cuando las fuerzas están estirando un objeto, causando su elongación, y el cambio de longitud ΔL es positivo. El esfuerzo y la deformación de compresión se producen cuando las fuerzas se contraen con un objeto, lo que provoca su acortamiento, y el cambio de longitud ΔL es negativo.

En cualquiera de estas situaciones, definimos el esfuerzo como la relación entre la fuerza de deformación F⊥ y el área de sección transversal A del objeto que se está deformando. El símbolo F⊥ que reservamos para la fuerza de deformación significa que esta fuerza actúa perpendicularmente a la sección transversal del objeto. Las fuerzas que actúan en paralelo a la sección transversal no cambian la longitud de un objeto. La definición del esfuerzo de tracción es

Esfuerzo de tracción = F⊥/A

(3.34)

La deformación a tracción es la medida de la deformación de un objeto bajo esfuerzo de tracción y se define como el cambio fraccional de la longitud del objeto cuando el objeto experimenta deformación a tracción

Deformación a tracción = ΔL/L₀

(3.35)

El esfuerzo y la deformación compresiva se definen con las mismas fórmulas, las ecuaciones 3.34 y 3.35, respectivamente. La única diferencia con respecto a la situación de tracción es que para el esfuerzo de compresión y la deformación, tomamos valores absolutos de los lados derechos en la Ecuación 3.34 y la Ecuación 3.35.

265

Figura 3.18 Cuando un objeto está en tracción o compresión, la fuerza neta sobre él es cero, pero el objeto se deforma cambiando su longitud original L₀. (a) Tracción: la barra es alargada un ΔL. (b) Compresión: la barra se contrae un ΔL. En ambos casos, la fuerza de deformación actúa a lo largo de la varilla y perpendicular a su sección transversal. En el rango lineal de baja tensión, el área de la sección transversal de la varilla no cambia.

266

El módulo Y de Young es el módulo elástico cuando la deformación es causada por el esfuerzo de tracción o de compresión, y se define mediante la ecuación 3.33. Al dividir esta ecuación por la deformación a tracción, obtenemos la expresión del módulo de Young:

Y = Esfuerzo a tracción/Deformación a tracción = F⊥/A/ΔL/L₀ = F⊥/AL₀/ΔL

(3.36)

Ejemplo 3.7

Esfuerzo de compresión en un pilar

Una escultura con un peso de 10.000 N descansa sobre una superficie horizontal en la parte superior de un pilar vertical de 6.0 m de altura (Figura 3.19). El área transversal del pilar es de 0.20 m² y está hecho de granito con una densidad de masa de 2700 kg/m³. Encuentra el esfuerzo de compresión en la sección transversal ubicada a 3,0 m por debajo de la parte superior del pilar y el valor de la deformación de compresión del segmento superior de 3,0 m del pilar.

Estrategia

Primero, encontramos el peso de la sección superior de 3,0 m de largo del pilar. La fuerza normal que actúa en la sección transversal ubicada a 3.0 m hacia abajo desde la parte superior es la suma del peso del pilar y el peso de la escultura. Una vez que tenemos la fuerza normal, usamos la ecuación 3.34 para encontrar el esfuerzo. Para encontrar la deformación a compresión, encontramos el valor del módulo de Young para granito en la Tabla 3.1 y reemplazamos en la ecuación 3.36.

267

Figura 3.19 Columna de Nelson en Trafalgar Square, Londres, Inglaterra (crédito: modificación del trabajo por Cristian Bortes).

Solución

El volumen del segmento del pilar con altura h = 3.0 m y área de sección transversal A = 0.20 m² es

V = Ah = (0.20 m²)(3.0 m) =0.6 0m³

268

Con la densidad del granito ρ = 2.7 × 10³ kg/m³, la masa del segmento del pilar es

m = ρV = (2.7 × 10³ kg/m³)(0.60 m³) = 1.60 × 10³ kg.

El peso del segmento del pilar es

w_p = mg = (1,60 × 10³ kg)(9,80 m/s²) = 1,568 × 10⁴ N.

El peso de la escultura es w_s = 1.0 × 10⁴ N, por lo que la fuerza normal en la superficie de la sección transversal ubicada a 3.0 m por debajo de la escultura es

F⊥ = w_p + w_s = (1.568 + 1.0) × 10⁴ N = 2.568 × 10⁴ N.

Por lo tanto, el esfuerzo es

Esfuerzo = F⊥/A = 2.568 × 10⁴ N/0.20 m² = 1.284× 10⁵ Pa = 128.4 kPa

El módulo de Young para granito es Y = 4.5 × 10¹⁰ Pa = 4.5 × 10⁷ kPa. Por lo tanto, la deformación a compresión en esta posición es

Deformación = Esfuerzo/Y = 128.4 kPa/4.5 × 10⁷ kPa = 2.85 × 10^-6

269

Explicación

Observa que la fuerza normal que actúa en el área de la sección transversal del pilar no es constante a lo largo de su longitud, sino que varía desde su valor más pequeño en la parte superior hasta su valor más grande en la parte inferior del pilar. Por lo tanto, si el pilar tiene un área transversal uniforme a lo largo de su longitud, la deformación es mayor en su base.

Comprueba tu aprendizaje 3.9

Encuentra el esfuerzo de compresión y la deformación en la base de la columna de Nelson.

Ejemplo 3.8

Estirando una barra

Una barra de acero de 2,0 m de longitud tiene un área de sección transversal de 0,30 cm². La varilla es parte de un soporte vertical que sostiene una plataforma pesada de 550 kg que cuelga unida al extremo inferior de la varilla. Ignorando el peso de la varilla, ¿cuál es el esfuerzo a tracción en la varilla y el alargamiento de la varilla bajo ese esfuerzo?

Estrategia

Primero calculamos el esfuerzo a tracción en la varilla bajo el peso de la plataforma de acuerdo con la Ecuación 3.34.

270

Luego invertimos la ecuación 3.36 para encontrar el alargamiento de la varilla, usando L₀ = 2.0 m. De la tabla 3.1, el módulo de Young para el acero es Y = 2.0 × 10¹¹ Pa.

Solución

La sustitución de valores numéricos en las ecuaciones nos da

F⊥/A = (550 kg)(9.8 m/s²)/3.0 × 10^-5 m² = 1.8 × 10⁸ Pa
ΔL = F⊥/AL₀/Y = (1.8 × 10⁸ Pa)2.0 m/2.0 × 10¹¹ Pa = 1.8 × 10^-3 m = 1.8 mm.

Explicación

De forma similar a como en el ejemplo de la columna, la deformación a tracción en este ejemplo no es uniforme a lo largo de la longitud de la barra. A diferencia del ejemplo anterior, sin embargo, si se tiene en cuenta el peso de la varilla, el esfuerzo en la varilla es mayor en la parte superior y más pequeño en la parte inferior de la varilla donde está fijado el equipo.

Comprueba tu aprendizaje 3.10

Un cable de 2,0 m de longitud se estira 1,0 mm cuando se somete a una carga. ¿Cuál es el esfuerzo de tracción en el cable?

271

Los objetos a menudo pueden experimentar tanto esfuerzo de compresión como de tracción simultáneamente (Figura 3.20). Un ejemplo es un estante largo cargado con libros pesados que se pliega entre los soportes finales bajo el peso de los libros. La superficie superior del estante está sometida a esfuerzo de compresión y la superficie inferior del estante a esfuerzo de tracción. De manera similar, los entrepaños largos y pesados se comban por su propio peso. En la construcción de edificios modernos, tales deformaciones a flexión pueden eliminarse casi por completo con el uso de vigas I (Figura 3.21).

Figura 3.20 (a) Un objeto que se dobla hacia abajo experimenta esfuerzo de tracción (estiramiento) en la sección superior y esfuerzo de compresión en la sección inferior. (b) Los levantadores de pesas de élite a menudo doblan las barras de hierro temporalmente durante el levantamiento, como en la competencia de los Juegos Olímpicos de 2012 (crédito b: modificación del trabajo por Oleksandr Kocherzhenko).

Esfuerzo, deformación y módulo volumétrico

Cuando te sumerges en el agua, sientes una fuerza que presiona todas las partes de tu cuerpo desde todas las direcciones. Lo que estás experimentando es un esfuerzo masivo o volumétrico, o en otras palabras, presión.

272

Figura 3.21 Las vigas I de acero se utilizan en la construcción para reducir las deformaciones por flexión (crédito: modificación del trabajo del "Distrito de Europa del Cuerpo de Ingenieros del Ejército de EE. UU." / Flickr).

El esfuerzo masivo siempre tiende a disminuir el volumen encerrado por la superficie de un objeto sumergido. Las fuerzas de este "apretar" son siempre perpendiculares a la superficie sumergida (Figura 3.22). El efecto de estas fuerzas es disminuir el volumen del objeto sumergido en una cantidad ΔV en comparación con el volumen V₀ del objeto. Este tipo de deformación se denomina deformación volumétrica y se describe por un cambio en el volumen relativo al volumen original:

Esfuerzo volumétrico = ΔV/V₀

(3.37)

273

Figura 3.22 Las vigas I de acero se utilizan en la construcción para reducir las deformaciones por flexión (crédito: modificación del trabajo del "Distrito de Europa del Cuerpo de Ingenieros del Ejército de EE. UU." / Flickr).

La deformación volumétrica es consecuencia del esfuerzo masivo, que es una fuerza F⊥ normal a una superficie que presiona en el área de la superficie de la unidad A de un objeto sumergido. Este tipo de cantidad física, o presión p, se define como

Presión = p = F⊥/A

(3.38)

Estudiaremos la presión en fluidos con mayor detalle en el siguiente capítulo. Una característica importante de la presión es que es una cantidad escalar y no tiene una dirección particular; es decir, la presión actúa por igual en todas las direcciones posibles.

274

Cuando sumerges tu mano en agua, sientes la misma cantidad de presión que actúa en la superficie superior de la mano que en la superficie inferior, en la superficie lateral o en la superficie de la piel entre los dedos. Lo que estás percibiendo en este caso es un aumento de la presión Δp sobre lo que estás acostumbrado a sentir cuando tu mano no está sumergida en agua. Lo que sientes cuando tu mano no está sumergida en el agua es la presión normal p₀ de una atmósfera, que sirve como punto de referencia. El esfuerzo masivo es este aumento de la presión, o Δp, sobre el nivel normal, p₀.

Cuando aumenta el esfuerzo masivo, la deformación volumétrica aumenta en respuesta, de acuerdo con la Ecuación 3.33. La constante de proporcionalidad en esta relación se llama módulo volumétrico, B, o

B = Esfuerzo volumétrico/Deformación volumétrica = -Δp/ΔV/V₀ = -ΔpV₀/ΔV

(3.39)

El signo menos que aparece en la ecuación 3.39 es la coherencia, para garantizar que B sea una cantidad positiva. Ten en cuenta que el signo menos (-) es necesario porque un aumento Δp en la presión (una cantidad positiva) siempre causa una disminución ΔV en el volumen, y la disminución en el volumen es una cantidad negativa. El recíproco del módulo volumétrico se denomina compresibilidad k, o

k = 1/B = -ΔV/V₀/Δp

(3.40)

El término "compresibilidad" se usa en relación con fluidos (gases y líquidos). La compresibilidad describe el cambio en el volumen de un fluido por unidad de aumento de presión.

275

Los fluidos caracterizados por una gran compresibilidad son relativamente fáciles de comprimir. Por ejemplo, la compresibilidad del agua es 4.64 × 10^-5 atm y la compresibilidad de la acetona es 1.45 × 10^-4 atm. Esto significa que bajo un aumento de 1.0 atm en la presión, la disminución relativa en el volumen es aproximadamente tres veces más grande para la acetona que para el agua.

Ejemplo 3.9

Prensa hidráulica

En una prensa hidráulica (Figura 3.23), un volumen de 250 litros de aceite está sujeto a un aumento de presión de 2300 psi. Si la compresibilidad del aceite es 2.0 × 10^-5/atm, encuentra la deformación volumétrica y la disminución absoluta en el volumen de aceite cuando la prensa está funcionando.

Estrategia

Debemos invertir la ecuación 3.40 para encontrar la deformación del volumen. Primero, convertimos el aumento de presión de psi a atm, Δp = 2300 psi = 2300/14.7 atm ≈ 160 atm, e identificamos V₀ = 250 L.

Solución

Sustituyendo valores en la ecuación, tenemos

deformación volumétrica = ΔV/V₀ = Δp/B = kΔp = (2.0 × 10⁻⁵ / atm)(160 atm) = 0.0032

276

La solución es:

ΔV = 0.0032V₀ = 0.0032(250 L) = 0.78 L.

Figura 3.23 En una prensa hidráulica, cuando un pistón pequeño se desplaza hacia abajo, la presión en el aceite se transmite a través del mismo hacia el pistón grande, haciendo que el pistón grande se mueva hacia arriba. Una pequeña fuerza aplicada a un pistón pequeño causa una gran fuerza de presión, que el pistón grande ejerce sobre un objeto que se levanta o se aprieta. El dispositivo actúa como una palanca mecánica.

Explicación

Ten en cuenta que dado que la compresibilidad del agua es 2,32 veces mayor que la del aceite, si la sustancia de trabajo en la prensa hidráulica de este problema se cambiara por agua, la deformación general y el cambio de volumen serían 2,32 veces más grandes.

277

Comprueba tu aprendizaje 3.11

Si la fuerza normal que actúa en cada cara de una pieza de acero cúbica de 1.0 m³ se cambia en 1.0 × 10⁷ N, encuentra el cambio resultante en el volumen de la pieza de acero.

Esfuerzo de corte, deformación y módulo de corte

Los conceptos de deformación y esfuerzo cortante se refieren únicamente a objetos o materiales sólidos. Los edificios y las placas tectónicas son ejemplos de objetos que pueden estar sujetos a esfuerzos de corte. En general, estos conceptos no se aplican a los fluidos.

La deformación por corte se produce cuando dos fuerzas antiparalelas de igual magnitud se aplican tangencialmente a superficies opuestas de un objeto sólido, sin causar deformación en la dirección transversal a la línea de fuerza, como en el ejemplo típico de esfuerzo de corte ilustrado en la Figura 3.24. La deformación por cizallamiento o corte se caracteriza por un desplazamiento gradual x de las capas en la dirección tangente a las fuerzas de acción. Esta gradación en Δx ocurre en la dirección transversal a lo largo de alguna distancia L₀. La deformación por cortante se define por la relación del mayor desplazamiento Δx a la distancia transversal L₀

Deformación por cortante = Δx/L₀

(3.41)

278

La deformación por cortante es causada por el esfuerzo de corte. El esfuerzo cortante se debe a fuerzas que actúan paralelas a la superficie. Usamos el símbolo F_∥ para tales fuerzas. La magnitud F_∥ por área de superficie A donde se aplica la fuerza de corte es la medida del esfuerzo cortante.

esfuerzo cortante = F_∥/A.

(3.42)

Figura 3.24 Un objeto bajo esfuerzo de corte: dos fuerzas antiparalelas de igual magnitud se aplican tangencialmente a superficies paralelas opuestas del objeto. El contorno de línea discontinua representa la deformación resultante. No hay cambios en la dirección transversal a las fuerzas de actuación y la longitud transversal L₀ no se ve afectada. La deformación por cizallamiento se caracteriza por un desplazamiento gradual Δx de las capas en la dirección tangente a las fuerzas.

279

El módulo de cizalladura o de corte es la constante de proporcionalidad en la ecuación 3.33 y se define por la relación de esfuerzo a deformación. El módulo de corte es comúnmente denotado por S:

S = Esfuerzo de corte/Deformación a cortante = F_∥/A/Δx/L₀ = F_∥/AL₀/Δx

(3.43)

Ejemplo 3.10

Un viejo estante

Una persona de limpieza trata de mover una estantería pesada y vieja sobre un piso alfombrado presionando tangencialmente la superficie del estante superior. Sin embargo, el único efecto notable de este esfuerzo es similar al observado en la Figura 3.24, y desaparece cuando la persona deja de presionar. La librería tiene 180.0 cm de alto y 90.0 cm de ancho con cuatro estantes de 30.0 cm de profundidad, todos parcialmente cargados de libros. El peso total de la librería y los libros es de 600.0 N. Si la persona le da a la repisa superior un empuje de 50.0 N que desplaza la repisa superior horizontalmente por 15.0 cm con respecto a la repisa inferior inmóvil, encuentra el módulo de corte de la librería.

Estrategia

Las únicas piezas de información relevante son las dimensiones físicas de la librería, el valor de la fuerza tangencial y el desplazamiento que causa esta fuerza. Identificamos F_∥ = 50.0N, Δx = 15.0 cm, L₀ = 180.0 cm, y A = (30.0 cm)(90.0 cm) = 2700.0 cm², y usamos la Ecuación 3.43 para calcular el módulo de corte.

280

Solución

Sustituyendo los datos en las ecuaciones, obtenemos para el módulo de corte:

S = F_∥/AL₀/Δx = 50.0 N/2700.0 cm²180.0 cm/15.0 cm = 2/9 N/cm² = 2/9 × 10⁴N/m² = 20/9×10³ Pa = 2.222 kPa.

También podemos encontrar el esfuerzo de de corte y la deformación:

F_∥/A = 50.0 N/2700.0 cm² = 5/27 kPa = 185.2 Pa

Δx/L₀ = 15 cm/180 cm = 1/12 = 0.083

Explicación

Si la persona en este ejemplo le dio un empujón suave a la estantería, podría suceder que la cizalla inducida la colapsara. Gran parte del mismo mecanismo de corte es responsable de las fallas de diques llenos de tierra; y, en general, por deslizamientos.

Comprueba tu aprendizaje 3.12

Explica por qué los conceptos de módulo de Young y módulo de corte no se aplican a los fluidos.

281

Los esfuerzos cortantes también se presentan por la acción de una carga axial en un plano inclinado, tal como se indica en la siguiente escena interactiva, diseñada por Juan Guillermo Rivera Berrío.

Ampliar

282

3.4 Elasticidad y plasticidad

Nos referimos a la constante de proporcionalidad entre el esfuerzo y la deformación como el módulo elástico. Pero, ¿por qué lo llamamos así? ¿Qué significa que un objeto sea elástico y cómo describimos su comportamiento?

La elasticidad es la tendencia de los objetos y materiales sólidos a volver a su forma original después de que se eliminan las fuerzas externas (carga) que causan una deformación. Un objeto es elástico cuando vuelve a su tamaño y forma originales cuando la carga ya no está presente. Las razones físicas del comportamiento elástico varían entre los materiales y dependen de la estructura microscópica del material. Por ejemplo, la elasticidad de los polímeros y cauchos es causada por el estiramiento de las cadenas de polímeros bajo una fuerza aplicada. En contraste, la elasticidad de los metales es causada por el cambio de tamaño y la remodelación de las celdas cristalinas de las redes (que son las estructuras materiales de los metales) bajo la acción de fuerzas aplicadas externamente.

Los dos parámetros que determinan la elasticidad de un material son su módulo de elasticidad y su límite elástico. Un alto módulo elástico es típico de los materiales que son difíciles de deformar; en otras palabras, materiales que requieren una carga alta para lograr una deformación significativa. Un ejemplo es una banda de acero. Un módulo de elasticidad bajo es típico de los materiales que se deforman fácilmente bajo una carga; por ejemplo, una goma elástica. Si el esfuerzo bajo una carga se vuelve demasiado alta, entonces cuando se retira la carga, el material ya no vuelve a su forma y tamaño original, sino que se relaja a una forma y tamaño diferentes: el material se deforma permanentemente. El límite elástico es el valor del esfuerzo más allá del cual el material ya no se comporta elásticamente, sino que se deforma permanentemente.

283

Nuestra percepción de un material elástico depende tanto de su límite elástico como de su módulo elástico. Por ejemplo, todos los cauchos se caracterizan por un módulo elástico bajo y un límite elástico alto; Por lo tanto, es fácil estirarlos y el estiramiento es notablemente grande. Entre los materiales con límites elásticos idénticos, el más elástico es el que tiene el módulo elástico más bajo.

Cuando la carga aumenta desde cero, el esfuerzo resultante es directamente proporcional a la deformación dada por la Ecuación 12.33, pero solo cuando el esfuerzo no excede algún valor límite. Para valores de esfuerzo dentro de este límite lineal, podemos describir el comportamiento elástico en analogía con la ley de Hooke para un resorte. Según la ley de Hooke, el valor de estiramiento de un resorte bajo una fuerza aplicada es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza. Por el contrario, la fuerza de respuesta del resorte a un estiramiento aplicado es directamente proporcional al estiramiento. De la misma manera, la deformación de un material bajo una carga es directamente proporcional a la carga y, a la inversa, el esfuerzo resultante es directamente proporcional a la deformación. El límite de linealidad (o el límite de proporcionalidad) es el mayor valor de esfuerzo más allá del cual el esfuerzo ya no es proporcional a la deformación. Más allá del límite de linealidad, la relación entre el esfuerzo y la deformación ya no es lineal. Cuando el esfuerzo se hace más grande que el límite de la linealidad pero aún dentro del límite de elasticidad, el comportamiento sigue siendo elástico, pero la relación entre el esfuerzo y la deformación se vuelve no lineal.

Para esfuerzos más allá del límite elástico, un material exhibe un comportamiento plástico. Esto significa que el material se deforma irreversiblemente y no vuelve a su forma y tamaño originales, incluso cuando se retira la carga. Cuando el esfuerzo aumenta gradualmente más allá del límite elástico, el material sufre una deformación plástica. Los materiales parecidos al caucho muestran un aumento de la deformación a medida que aumenta el esfuerzo, lo que significa que se vuelven más difíciles de estirar

284

y, eventualmente, alcanzan un punto de fractura donde se rompen. Los materiales dúctiles, como los metales, muestran una disminución gradual del esfuerzo a medida que aumenta la deformación, lo que significa que se vuelven más fáciles de deformar a medida que los valores de esfuerzo-deformación se acercan al punto de ruptura. Los mecanismos microscópicos responsables de la plasticidad de los materiales son diferentes para diferentes materiales.

Podemos graficar la relación entre el esfuerzo y la deformación en un diagrama de esfuerzo-deformación. Cada material tiene su propia curva característica de esfuerzo-deformación. En la Figura 3.25 se muestra un diagrama típico de esfuerzo-deformación para un metal dúctil bajo carga. En esta figura, la deformación es una elongación fraccionada (no dibujada a escala). Cuando la carga aumenta gradualmente, el comportamiento lineal (línea roja) que comienza en el punto sin carga (el origen) termina en el límite de linealidad en el punto H. Para mayores aumentos de carga más allá del punto H, la relación esfuerzo-deformación es no lineal. Pero sigue siendo elástico. En la figura, esta región no lineal se ve entre los puntos H y E. Las cargas cada vez más grandes llevan el esfuerzo al límite E de elasticidad, donde el comportamiento elástico termina y comienza la deformación plástica. Más allá del límite de elasticidad, cuando se elimina la carga, por ejemplo, en P, el material se relaja a una nueva forma y tamaño a lo largo de la línea verde. Esto quiere decir que el material se deforma permanentemente y no vuelve a su forma y tamaño iniciales cuando el esfuerzo se vuelve cero.

El valor del esfuerzo en el punto de fractura se denomina esfuerzo de rotura (o tensión final). Los materiales con propiedades elásticas similares, como dos metales, pueden tener esfuerzos de rotura muy diferentes. Por ejemplo, el esfuerzo máximo para el aluminio es de 2.2 × 10⁸ Pa y para el acero puede ser tan alta como 20.0 × 10⁸ Pa, dependiendo del tipo de acero. Podemos hacer una estimación rápida, basada en la ecuación 12.34, de que para las barras con un área de sección transversal de 1 en 2, la

285

carga de rotura para una barra de aluminio es de 3.2 × 10⁴ lb, y la carga de rotura para una barra de acero es aproximadamente nueve veces mayor.

Figura 3.25 Diagrama típico de esfuerzo-deformación para un metal bajo una carga: el gráfico termina en el punto de fractura o rotura. Las flechas muestran la dirección de los cambios bajo una carga cada vez mayor. Los puntos H y E son los límites de linealidad y elasticidad, respectivamente. Entre los puntos H y E, el comportamiento es no lineal. La línea verde que se origina en P ilustra la respuesta del metal cuando se elimina la carga. La deformación permanente tiene un valor de deformación en el punto donde la línea verde intercepta el eje horizontal.

286

3.5 Preguntas y respuestas - Capítulo III

Respuestas

Ampliar

287

288

Capítulo iv

Mecánica de fluidos

290

Introducción

Figura 4.1. Este mapa de presión (izquierda) y una foto satelital (derecha) se usaron para modelar la trayectoria y el impacto del huracán Arthur mientras viajaba por la costa este de los Estados Unidos en julio de 2014. Los modelos de computadora utilizan las ecuaciones de fuerza y energía para predecir los patrones climáticos en desarrollo. Los científicos integran numéricamente estas ecuaciones dependientes del tiempo, junto con los presupuestos de energía de la energía solar de onda corta y larga, para modelar los cambios en la atmósfera. El mapa de presión a la izquierda se creó utilizando el Modelo de pronóstico e investigación meteorológica diseñado en el Centro Nacional de Investigación Atmosférica. Los colores representan la altura de la superficie de presión de 850 mbar. (Crédito restante: modificación del trabajo por el Centro Nacional de Investigación Atmosférica; derecho de crédito: modificación del trabajo realizado por la División de Meteorología Marina de Monterey NRL, Administración Nacional Oceánica y Atmosférica)

Imagínate caminando por una playa en la costa este de los Estados Unidos. El aire huele a sal de mar y el sol calienta tu cuerpo. De repente, una alerta aparece en tu

291

teléfono celular. Una depresión tropical se ha convertido en un huracán. La presión atmosférica ha caído hasta casi un 15% por debajo del promedio. Como resultado, los pronosticadores esperan lluvias torrenciales, vientos de más de 100 mph y daños de millones de dólares. Mientras se prepara para evacuar, se pregunta: ¿Cómo puede una caída tan pequeña en la presión provocar un cambio tan severo en el clima?

La presión es un fenómeno físico que es responsable de mucho más que el clima. Los cambios en la presión hacen que los oídos se "salten" durante el despegue en un avión. Los cambios en la presión también pueden hacer que los buceadores sufran un trastorno a veces fatal conocido como "curvas", que se produce cuando el nitrógeno disuelto en el agua del cuerpo a profundidades extremas vuelve a un estado gaseoso en el cuerpo cuando el buceador emerge. La presión se encuentra en el corazón de los fenómenos llamados flotabilidad, que hacen que los globos de aire caliente se eleven y los barcos floten. Antes de que podamos comprender completamente el papel que juega la presión en estos fenómenos, debemos discutir los estados de la materia y el concepto de densidad.

4.1 Fluidos, densidad y presión

La materia comúnmente existe son los sólidos, líquidos o gases; Estos estados son conocidos como las tres fases comunes de la materia. Veremos cada una de estas fases en detalle en esta sección.

Cracterística de los sólidos

Los sólidos son rígidos y tienen formas específicas y volúmenes definidos. Los átomos o moléculas en un sólido están muy cerca entre sí, y hay una fuerza significativa entre estas moléculas. Los sólidos tomarán una forma determinada por la naturaleza. De estas fuerzas entre las moléculas.

292

Aunque los sólidos verdaderos no son incompresibles, requiere una gran fuerza. Para cambiar la forma de un sólido, en algunos casos, la fuerza entre las moléculas puede hacer que las moléculas se organicen en una red como se muestra en la figura 4.2. La estructura de esta red tridimensional se representa como moléculas conectadas por uniones rígidas (modeladas como resortes rígidos), que permiten una libertad limitada para el movimiento. Incluso una gran fuerza produce solo un pequeño desplazamiento en los átomos o moléculas de la red, y el sólido mantiene su forma. Los sólidos también resisten las fuerzas de cizallamiento. (Las fuerzas de cizallamiento son fuerzas aplicadas tangencialmente a una superficie, como se describe en Equilibrio estático y Elasticidad).

Característica de los fluidos

Los líquidos y los gases se consideran fluidos porque dan lugar a fuerzas de cizallamiento, mientras que los sólidos los resisten. Al igual que los sólidos, las moléculas en un líquido están unidas a moléculas vecinas, pero poseen muchos menos de estos enlaces. Las moléculas en un líquido no están bloqueadas en su lugar y pueden moverse una con respecto a la otra. La distancia entre las moléculas es similar a las distancias en un sólido, por lo que los líquidos tienen volúmenes definidos, pero la forma de un líquido cambia, dependiendo de la forma de su recipiente. Los gases no están unidos a los átomos vecinos y pueden tener grandes separaciones entre moléculas. Los gases no tienen formas específicas ni volúmenes definidos, ya que sus moléculas se mueven para llenar el recipiente en el que se encuentran (Figura 4.2). Los líquidos se deforman fácilmente cuando están esforzados y no vuelven a su forma original una vez que se elimina la fuerza. Esto ocurre porque los átomos o las moléculas en un líquido son libres de deslizarse alrededor de sus vecinos. Es decir, los líquidos fluyen (por lo que son un tipo de fluido), con las moléculas unidas por atracción mutua.

293

Figura 4.2 (a) Los átomos en un sólido están siempre en contacto cercano con los átomos vecinos, mantenidos en su lugar por las fuerzas representadas aquí por resortes. (b) Los átomos en un líquido también están en contacto cercano pero pueden deslizarse uno sobre el otro. Las fuerzas entre los átomos resisten fuertemente. Intenta comprimir los átomos. (c) Los átomos en un gas se mueven libremente y están separados por grandes distancias. Un gas debe ser mantenido en un recipiente cerrado para evitar que se expanda libremente y escape.

Cuando un líquido se coloca en un recipiente sin tapa, permanece en el contenedor. Debido a que los átomos están muy compactos, los líquidos, como los sólidos, resisten la compresión; una fuerza extremadamente grande será necesaria para cambiar el volumen de un líquido. En contraste, los átomos en los gases están separados por grandes distancias, y las fuerzas entre los átomos en un gas son por lo tanto muy débiles, Excepto cuando los átomos chocan entre sí. Esto hace que los gases sean relativamente fáciles de comprimir y les permite fluir (lo que los hace fluidos). Cuando se colocan en un recipiente abierto, los gases, a diferencia de los líquidos, escaparán. En este capítulo, generalmente nos referimos tanto a los gases como a los líquidos simplemente como fluidos, haciendo una distinción entre ellos solo cuando se comportan de manera diferente. Existe otra fase de la materia, el plasma, que existe a temperaturas muy altas.

294

A altas temperaturas, las moléculas pueden disociarse en átomos y los átomos disociarse en electrones (con cargas negativas) y protones (con cargas positivas), formando un plasma. El plasma no se analizará en profundidad en este capítulo porque el plasma tiene propiedades muy diferentes de las otras tres fases comunes de la materia, discutidas en este capítulo, debido a la fuerte fuerza eléctrica entre las cargas.

Densidad

Supongamos que un bloque de latón y un bloque de madera tienen exactamente la misma masa. Si ambos bloques se caen en un tanque de agua, ¿Por qué la madera flota y el bronce se hunde? (Figura 4.3). Esto ocurre porque el latón tiene una mayor densidad que el agua, mientras que la madera tiene una menor densidad que el agua.

Figura 4.3 . (a) Un bloque de latón y un bloque de madera tienen el mismo peso y masa, pero el bloque de madera tiene mucho mayor volumen. (b) Cuando se coloca en una pecera llena de agua, el cubo de latón se hunde y el bloque de madera flota. (El bloque de madera es el mismo en ambas imágenes; se giró de lado para que quepa en la balanza.)

295

La densidad es una característica importante de las sustancias. Es crucial, por ejemplo, para determinar si un objeto se hunde o flota en un fluido.

Densidad
La densidad media de una sustancia u objeto se define como su masa por unidad de volumen
(4.1)

ρ = m/V
donde la letra griega ρ (rho) es el símbolo de densidad, m es la masa y V es el volumen.

La unidad de densidad del SI es kg/m³. La tabla 4.1 enumera algunos valores representativos. La unidad de densidad cgs es el gramo por centímetro cúbico, g / cm³, donde

1 g/cm³ = 1000 kg/m³

El sistema métrico se diseñó originalmente para que el agua tuviera una densidad de 1 g / cm³, equivalente a 10³ kg / m³. Así, la unidad de masa básica, el kilogramo, se diseñó por primera vez para ser la masa de 1000 ml de agua, que tiene un volumen de 1000 cm³.

296

Tabla 4.1. Densidades de algunas sustancias comunes

Como puede ver al examinar la Tabla 4.1, la densidad de un objeto puede ayudar a identificar su composición. La densidad del oro, por ejemplo, es aproximadamente 2,5 veces la densidad del hierro, que es aproximadamente 2,5 veces la densidad del aluminio. La densidad también revela algo sobre la fase de la materia y su estructura. Observe que las densidades de líquidos y sólidos son más o menos comparables, en concordancia con el hecho de que sus átomos están en contacto cercano.

297

Las densidades de los gases son mucho menores que las de los líquidos y los sólidos, porque los átomos en los gases están separados por grandes cantidades de espacio vacío. Los gases se muestran para una temperatura estándar de 0.0 °C y una presión estándar de 101.3 kPa, y existe una fuerte dependencia de las densidades de temperatura y presión. Las densidades de sólidos y líquidos mostrados se dan para la temperatura estándar de 0.0 °C y las densidades de sólidos y líquidos dependen de la temperatura. La densidad de sólidos y líquidos normalmente aumenta al disminuir la temperatura.

La tabla 4.2 muestra la densidad del agua en varias fases y temperatura. La densidad del agua aumenta con la disminución temperatura, alcanzando un máximo a 4.0 °C, y luego disminuye a medida que la temperatura cae por debajo de 4.0 °C. Este comportamiento de la densidad del agua explica por qué el hielo se forma en la parte superior de un cuerpo de agua.

Tabla 4.2. Densidades del agua

298

La densidad de una sustancia no es necesariamente constante en todo el volumen de una sustancia. Si la densidad es constante en toda la sustancia, se dice que la sustancia es una sustancia homogénea. Una barra de hierro sólida es un ejemplo de una sustancia homogénea. La densidad es constante en todo momento, y la densidad de cualquier muestra de la sustancia es la misma que su densidad promedio. Si la densidad de una sustancia no fuera constante, se dice que la sustancia es una sustancia heterogénea. Un trozo de queso suizo es un ejemplo de un material heterogéneo que contiene tanto el queso sólido como los huecos llenos de gas. La densidad en una ubicación específica dentro de un material heterogéneo se llama densidad local, y se da en función de la ubicación, ρ = ρ (x, y, z) (Figura 4.4)

Figura 4.4. La densidad puede variar a lo largo de una mezcla heterogénea. La densidad local en un punto se obtiene al dividir la masa por el volumen en un volumen pequeño alrededor de un punto dado.

299

La densidad local se puede obtener mediante un proceso limitante, basado en la densidad promedio en un volumen pequeño alrededor del punto en cuestión, tomando el límite donde el tamaño del volumen se acerca a cero,

ρ = lim/ΔV → 0Δm/ΔV

(4.2)

donde ρ es la densidad, m es la masa y V es el volumen. Dado que los gases son libres de expandirse y contraerse, las densidades de los gases varían considerablemente con la temperatura, mientras que las densidades de los líquidos varían poco con la temperatura. Por lo tanto, las densidades de los líquidos a menudo se tratan como constantes, con la densidad igual a la densidad promedio. La densidad es una propiedad dimensional; por lo tanto, al comparar las densidades de dos sustancias, las unidades deben tomarse en consideración. Por esta razón, una cantidad más conveniente y sin dimensiones llamada gravedad específica se utiliza a menudo para comparar densidades. La gravedad específica se define como la relación de la densidad del material a la densidad del agua a 4.0 °C y una atmósfera de presión, que es 1000 kg /m³:

Gravedad específica = Densidad del material/Densidad del agua

La comparación usa agua porque la densidad del agua es de 1 g / cm3, que originalmente se usó para definir el kilogramo. La gravedad específica, al no tener dimensiones, proporciona una comparación fácil entre los materiales sin tener que preocuparse por la unidad de densidad.

300

Por ejemplo, la densidad del aluminio es 2.7 en g / cm³ (2700 en kg / m³), pero su peso específico es 2.7, independientemente de la unidad de densidad. La gravedad específica es una cantidad particularmente útil con respecto a la flotabilidad, que veremos más adelante en este capítulo.

Presión

Sin duda ha escuchado la palabra "presión" utilizada en relación con la sangre (presión arterial alta o baja) y en relación con el clima (sistemas meteorológicos de alta y baja presión). Estos son solo dos de los muchos ejemplos de presión en fluidos. (Recuerde que introdujimos la idea de la presión en el equilibrio estático y la elasticidad, en el contexto de la tensión y la tensión en masa).

Presión
La presión (p) se define como la fuerza normal F por unidad de área A sobre la cual se aplica la fuerza, o
(4.3)

P = F/A
Para definir la presión en un punto específico, la presión se define como la fuerza dF ejercida por un fluido sobre un elemento infinitesimal del área dA que contiene el punto, dando como resultado P = dF/dA.

Una fuerza dada puede tener un efecto significativamente diferente, dependiendo del área sobre la cual se ejerce la fuerza.

301

Por ejemplo, una fuerza aplicada a un área de 1 mm² tiene una presión que es 100 veces mayor que la fuerza aplicada a un área de 1 cm².

Es por eso que una aguja afilada puede atravesar la piel cuando se ejerce una pequeña fuerza, pero la aplicación de la misma fuerza con un dedo no pincha la piel (Figura 4.5)

Figura 4.5. (a) Una persona que se pincha con un dedo puede estar irritada, pero la fuerza tiene poco efecto duradero. (b) En contraste, la misma fuerza aplicada a un área del tamaño del extremo afilado de una aguja es suficiente para romper la piel.

Tenga en cuenta que aunque la fuerza es un vector, la presión es un escalar. La presión es una cantidad escalar porque se define como proporcional a la magnitud de la fuerza que actúa perpendicular al área de la superficie.

302

La unidad SI para la presión es el pascal (Pa), que lleva el nombre del matemático y físico francés Blaise Pascal (1623-1662), donde

1Pa = 1N/m²

Otras unidades se utilizan para la presión, que veremos más adelante en el capítulo.

Variación de la presión con la profundidad en un fluido de densidad constante.

La presión se define para todos los estados de la materia, pero es particularmente importante cuando se habla de fluidos. Una característica importante de los fluidos es que no existe una resistencia significativa al componente de una fuerza aplicada en paralelo a la superficie de un fluido. Las moléculas del fluido simplemente fluyen para acomodar la fuerza horizontal. Una fuerza aplicada perpendicular a la superficie comprime o expande el fluido. Si intenta comprimir un fluido, encontrará que se desarrolla una fuerza de reacción en cada punto dentro del fluido en dirección hacia afuera, equilibrando la fuerza aplicada sobre las moléculas en el límite.

Considere un fluido de densidad constante como se muestra en la Figura 4.6. La presión en el fondo del recipiente se debe a la presión de la atmósfera (p₀) más la presión debida al peso del fluido. La presión debida al fluido es igual al peso del fluido dividido por el área. El peso del fluido es igual a su masa multiplicada por la aceleración debida a la gravedad.

303

Figura 4.6. El fondo de este contenedor soporta todo el Peso del fluido en ella. Los lados verticales no pueden ejercer una fuerza hacia arriba sobre el fluido (ya que no puede soportar una fuerza de cizallamiento), por lo que el fondo debe soportarlo todo.

Como la densidad es constante, el peso se puede calcular utilizando la densidad:

w = mg = ρVg = ρAhg.

La presión en el fondo del contenedor es, por lo tanto, igual a la presión atmosférica agregada al peso del fluido dividido por el área.Por tanto la ecuación de la presión a una profundidad para un fluido de densidad constante es:

304

p = p₀ + ρAhg/A= p₀ + ρhg

Presión a una profundidad para un fluido de densidad constante
La presión a una profundidad en un fluido de densidad constante es igual a la presión de la atmósfera más la presión debida a el peso del fluido, o
(4.4)

p = p₀ + ρhg,
Donde p es la presión a una profundidad particular, p₀ es la presión de la atmósfera, ρ es la densidad del fluido, g es la aceleración debida a la gravedad, y h es la profundidad.

Figura 4.7. La presa de las Tres Gargantas, erigida en el Río Yangtze en China central en 2008, creó un depósito masivo que desplazó a más de un millón de personas. (crédito: "Le Grand Portage ”/ Flickr)

305

Ejemplo 4.1

¿Qué fuerza debe resistir una presa?

Considere la presión y la fuerza que actúa sobre la presa que retiene un reservorio de agua (Figura 4.7). Supongamos que la presa tiene 500 m de ancho y el agua tiene una profundidad de 80.0 m en la presa, como se ilustra a continuación. (a) ¿Cuál es la presión promedio en la presa debido al agua? (b) Calcule la fuerza ejercida contra la presa.

La presión promedio p debido al peso del agua es la presión a la profundidad promedio h de 40.0 m, ya que la presión aumenta linealmente con la profundidad.

306

La fuerza ejercida sobre la presa por el agua es la presión promedio por el área de contacto, F = pA.

Solución

a. La presión media debida al peso de un fluido es

p = hρg

(4.5)

Ingresando la densidad del agua de la Tabla 4.1 y tomando h como la profundidad promedio de 40.0 m, obtenemos

p = (40.0 m)(10³kg/m³)(9.8m/s²)

= 3.92x10⁵N/m² = 392 kPa.

b. Ya hemos encontrado el valor para p. Entonces, el área de la presa es

A = 80.0 m × 500 m = 4.00 × 10⁴m², así que

F = (3.92 × 10⁵ N/m²)(4.00 × 10⁴ m²)

= 1.57 × 10¹⁰N

307

Explicación

Aunque esta fuerza parece grande, es pequeña en comparación con el peso de 1.96 × 10¹³N del agua en el depósito. De hecho, es sólo el 0.0800% del peso.

Comprueba tu aprendizaje 4.1

Si el reservorio en el Ejemplo 4.1 cubriera dos veces el área, pero se mantuviera a la misma profundidad, ¿sería necesario rediseñar la presa?

Presión en un fluido estático en un campo gravitatorio uniforme.

Un fluido estático es un fluido que no está en movimiento. En cualquier punto dentro de un fluido estático, la presión en todos los lados debe ser igual; de lo contrario, el fluido en ese punto reaccionaría a una fuerza neta y aceleraría. La presión en cualquier punto de un fluido estático depende solo de la profundidad en ese punto. Como se discutió, la presión en un fluido cerca la Tierra varía con la profundidad debido al peso del fluido por encima de un nivel particular. En los ejemplos anteriores, asumimos que la densidad es constante y la densidad media del fluido para ser una buena representación de la densidad. Esta es una aproximación razonable para líquidos como el agua, donde se requieren grandes fuerzas para comprimir el líquido o cambiar el volumen. En una piscina, por ejemplo, la densidad es aproximadamente constante y el agua en el fondo se comprime muy poco por el peso de la agua encima, sin embargo, viajar a la atmósfera es una situación muy diferente. La densidad del aire comienza a cambiar significativamente solo una corta distancia sobre la superficie de la Tierra. Para obtener una fórmula para la variación de la presión con la profundidad en un tanque que contiene un fluido de densidad ρ en la superficie de la Tierra, debemos comenzar con el supuesto de que la densidad del fluido no es constante.

308

El fluido ubicado en niveles más profundos está sujeto a más fuerza que el fluido más cercano a la superficie debido al peso del fluido que se encuentra sobre él. Por lo tanto, la presión calculada a una profundidad dada es diferente de la presión calculada utilizando una densidad constante. Imagine un elemento delgado de fluido a una profundidad h, como se muestra en la Figura 4.8. El elemento tiene un área transversal A y una altura y. Las fuerzas que actúan sobre el elemento se deben a las presiones p(y) arriba y p_y + Δy debajo de él. El peso del elemento en sí también se muestra en el diagrama de cuerpo libre.

Figura 4.8. Fuerzas sobre un elemento de masa dentro de un fluido. El peso del elemento en sí se muestra en el diagrama de cuerpo libre.

Dado que el elemento de fluido entre y - y + Δy no está acelerando, las fuerzas están equilibradas. Usando un eje y.

309

Orientados hacia arriba, encontramos la siguiente ecuación para el componente y:

p(y + Δy )A − p(y)A − gΔm = 0 (Δy > 0)

(4.6)

Tenga en cuenta que si el elemento tuviera una componente de aceleración distinto de cero y, el lado derecho no sería cero, sino la masa multiplicada por la aceleración y la masa del elemento puede ser escrita en términos de la densidad del fluido y el volumen de los elementos:

Δm = |ρAΔy| = −ρAΔy (Δy > 0).

Poniendo esta expresión para Δm en la Ecuación 4.6 y luego dividiendo ambos lados por AΔy, encontramos

p(y + Δy) − p(y)/Δy = −ρg.

(4.7)

Tomando el límite del elemento infinitesimalmente delgado Δy → 0, obtenemos la siguiente ecuación diferencial, que da la variación de la presión en un fluido:

dp/dy = −ρg.

(4.8)

Esta ecuación nos dice que la tasa de cambio de presión en un fluido es proporcional a la densidad del fluido. La solución de esta ecuación depende de si la densidad ρ es constante o cambia con la profundidad; es decir, la función ρ(y).

310

Si el alcance de la profundidad que se está analizando no es demasiado grande, podemos asumir que la densidad es constante. Pero si el rango de profundidad es lo suficientemente grande como para que la densidad varíe de forma apreciable, como en el caso de la atmósfera, hay un cambio significativo en densidad con profundidad. En ese caso, no podemos utilizar la aproximación de una densidad constante.

Presión en un fluido con densidad constante

Usemos la Ecuación 4.9 para elaborar una fórmula para la presión a una profundidad h de la superficie en un tanque de un líquido como el agua, donde la densidad del líquido puede ser tomada como constante.

Necesitamos integrar la Ecuación 4.9 de y = 0, donde la presión es la presión atmosférica (p₀), a y = -h, que es la coordenada de la profundidad:

311

∫_p₀_pdp= -∫₀_hρgdy

(4.9)

p − p₀ = ρgh.

p = p₀ + ρgh.

Por lo tanto, la presión a una profundidad de fluido en la superficie de la Tierra es igual a la presión atmosférica más ρgh si la densidad de la el fluido es constante en la altura, como encontramos anteriormente. Tenga en cuenta que la presión en un fluido depende sólo de la profundidad de la superficie y no de la forma del recipiente. Así, en un recipiente en el que un fluido puede moverse libremente en varias partes, el líquido se mantiene al mismo nivel en todas las partes, independientemente de las forma, como se muestra en la Figura 4.9 .

Figura 4.9. Si un fluido puede fluir libremente entre las partes de un se eleva a la misma altura en cada parte. En el en la foto, la presión en la parte inferior de cada columna es el mismo; si no fuera el mismo, el fluido fluiría hasta que el las presiones se igualaran.

312

Variación de la presión atmosférica con la altura

El cambio en la presión atmosférica con la altura es de particular interés. Asumiendo que la temperatura del aire sea constante, y que la ley de gas ideal de la termodinámica describa la atmósfera a una buena aproximación, podemos encontrar la variación de presión atmosférica con la altura, cuando la temperatura es constante. (Discutiremos la ley del gas ideal en un capítulo posterior, pero asuma que usted tiene alguna familiaridad con él desde la escuela secundaria y la química.) Sea p(y) la presión atmosférica en la altura y. La densidad ρ a y, la temperatura T en la escala de Kelvin (K), y la masa m de una molécula de aire se relacionan con el absoluto presión por la ley de gas ideal, en la forma

p = ρk_B T/m(atmósfera),

(4.10)

donde k_B es la constante de Boltzmann, que tiene un valor de 1,38 × 10^-23 J/K.Es posible que haya encontrado la ley del gas ideal en la forma pV = nRT , donde n es el número de moles y R es la constante del gas. Aquí, la misma ley ha sido escrita en una forma diferente, usando la densidad ρ en lugar del volumen V. Por lo tanto, si la presión p cambia con la altura, también lo hace la densidad ρ. Usando la densidad de la ley de gas ideal, la tasa de variación de la presión con la altura se da como sigue

dp/dy= -p(mg/ k_BT),

donde se han recogido cantidades constantes dentro de los paréntesis. Reemplazando estas constantes con un solo símbolo α, la ecuación parece mucho más simple:

313

dp/dy= −αp

dp/p= −αdy

∫_p₀_p(y)dp/p=∫₀_y−αdy

[ln(p)]0p(y) = [−αy]0y

yln(p) − ln(p₀) = −αy.

ln(p/p₀)=−αy

Esto da la solución

p(y) = p₀exp(−αy).

Así, la presión atmosférica cae exponencialmente con la altura, ya que el eje y está apuntando hacia arriba desde el suelo e y tiene valores positivos en la atmósfera sobre el nivel del mar. Las caídas de presión se multiplican por 1/e cuando la altura es 1/α, lo que nos da una interpretación física de α :

314

La constante 1/α es una escala de longitud que caracteriza la forma en que la presión varía con la altura y que a menudo se conoce como la altura de la escala de presión.Podemos obtener un valor aproximado de α utilizando la masa de una molécula de nitrógeno como aproximación de una molécula de aire. A temperatura 27°C, o 300 K, nos encontramos con

Por lo tanto, por cada 8800 metros, la presión del aire cae en un factor 1 / e, o aproximadamente un tercio de su valor. Esto nos da solo una estimación aproximada de la situación real, ya que hemos asumido una temperatura constante y una g constante a distancias tan grandes de la Tierra, ninguna de las cuales es correcta en realidad.

Dirección de la presión en un fluido

La presión del fluido no tiene dirección, siendo una cantidad escalar, mientras que las fuerzas debidas a la presión tienen direcciones bien definidas: Se ejercen siempre perpendicularmente a cualquier superficie. La razón es que los fluidos no pueden soportar o ejercer fuerzas de cizallamiento. Así, en un fluido estático encerrado en un tanque, la fuerza ejercida sobre las paredes del tanque se ejerce perpendicularmente a la superficie interior. Asimismo, la presión se ejerce perpendicularmente a las superficies de cualquier objeto dentro del fluido. La figura 4.10 ilustra la presión ejercida por el aire en las paredes de un neumático y por el agua en el cuerpo de un nadador.

315

figura 4.10. (a) La presión dentro de este neumático ejerce fuerzas perpendiculares a todas las superficies que contacta. Las flechas representan las direcciones y magnitudes de las fuerzas ejercidas en varios puntos. (b) La presión se ejerce perpendicularmente a todos los lados de este nadador, ya que el agua fluiría hacia el espacio que él ocupa si no estuviera allí. Las flechas representan las direcciones y magnitudes de las fuerzas ejercidas en varios puntos del nadador. Tenga en cuenta que las fuerzas son mayores debajo, debido a la mayor profundidad, lo que da un conjunto de fuerza ascendente o flotante. La fuerza vertical neta sobre el nadador es igual a la suma de la fuerza de flotación y el peso del nadador.

En el siguiente interactivo, diseñado por Valentina Muñoz Porras, puedes comparar el efecto de la variación de las magnitudes masa y volumen, en la densidad de cuerpos sólidos y líquidos. Con la manipulación de estas variables mediante controles en el interactivo, podrás inferir que la densidad es directamente proporcional a la masa e inversamente proporcional al volumen.

316

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4.2 Medición de la presión

En la sección anterior, derivamos una fórmula para calcular la variación en la presión de un fluido en equilibrio hidrostático.Resulta que este es un cálculo muy útil. Las mediciones de la presión son importantes en la vida diaria, así como en las

317

aplicaciones científicas y de ingeniería. En esta sección, discutimos diferentes maneras en que la presión puede ser reportada y medida.

Presión del manómetro vs. Presión Absoluta

Supongamos que el manómetro de un tanque de buceo lleno lee 3000 psi, lo que equivale aproximadamente a 207 atmósferas. Cuando la válvula el aire comienza a salir porque la presión dentro del tanque es mayor que la presión atmosférica fuera del tanque. tanque. El aire continúa escapando del tanque hasta que la presión dentro del tanque es igual a la presión de la atmósfera exterior. el tanque. En este punto, el manómetro en el tanque lee cero, aunque la presión dentro del tanque sea de 1 la misma que la presión de aire fuera del tanque. La mayoría de los manómetros, como el del tanque de buceo, están calibrados para leer cero a presión atmosférica. Lecturas de presión de estos manómetros se denomina presión manométrica, que es la presión relativa a la presión atmosférica. Cuando la presión dentro del tanque es mayor que la presión atmosférica, el medidor reporta un valor positivo. Algunos manómetros están diseñados para medir la presión negativa. Por ejemplo, muchos experimentos de física deben llevarse a cabo en un cámara de vacío, una cámara rígida desde la que se bombea parte del aire. La presión dentro de la cámara de vacío es menor que la presión atmosférica, por lo que el manómetro de la cámara lee un valor negativo. A diferencia de la presión manométrica, la presión absoluta representa la presión atmosférica, que en efecto se suma a la presión de cualquier fluido no encerrado en un recipiente rígido

318

Presión absoluta

La presión absoluta, o presión total, es la suma de la presión manométrica y la presión atmosférica:
(4.11)

p_abs = p_g + p_atm
donde p_abs es presión absoluta, p_g es presión manométrica y p_atm es presión atmosférica.

Por ejemplo, si un medidor de aire lee 34 psi, entonces la presión absoluta es 34 psi más 14.7 psi ("p_atm en psi"), o 48.7 psi (equivalente a 336 kPa). En la mayoría de los casos, la presión absoluta en los fluidos no puede ser negativa. Los fluidos empujan en lugar de tirar, por lo que la presión absoluta más pequeña en un fluido es cero (una presión absoluta negativa es un tirón). Por lo tanto, la presión manométrica más pequeña posible es p_g = -p_atm(lo que hace que p_abs sea cero). No existe un límite teórico para el tamaño de la presión manométrica.

Medición de la presión

Una gran cantidad de dispositivos se utilizan para medir la presión, desde medidores de presión de neumáticos hasta monitores de presión arterial. Muchos otros tipos de manómetros se utilizan comúnmente para probar la presión de los fluidos, como los manómetros mecánicos. Exploraremos algunos de ellos en esta sección. Cualquier propiedad que cambie con la presión de una manera conocida puede ser utilizada para construir un manómetro. Algunos de los tipos más comunes incluyen los medidores de

319

tensión, que utilizan el cambio en la forma de un material con presión; los medidores de presión de capacitancia, que utilizan el cambio en la capacitancia eléctrica debido al cambio de forma con la presión; los medidores de presión piezoeléctricos, que generan una diferencia de voltaje a través de un material piezoeléctrico bajo una diferencia de presión entre los dos lados; y los medidores de iones, que miden la presión por medio de moléculas ionizantes en cámaras altamente evacuadas. Diferentes manómetros son útiles en diferentes rangos de presión y bajo diferentes situaciones físicas. En la Figura 4.11 se muestran algunos ejemplos.

Figura 4.11. a) Los manómetros se utilizan para medir y controlar la presión en las botellas de gas. Los gases comprimidos se utilizan en muchos aplicaciones industriales y médicas. b) Los manómetros de presión de los neumáticos se presentan en muchos modelos diferentes, pero todos ellos están destinados a la misma aplicación. finalidad: medir la presión interna del neumático. Esto permite al conductor mantener los neumáticos inflados a una presión óptima para la carga. peso y condiciones de conducción. c) Un indicador de ionización es un dispositivo de alta sensibilidad que se utiliza para vigilar la presión de los gases de una instalación de ionización. sistema cerrado. Las moléculas de gas neutro son ionizadas por la liberación de electrones, y la corriente se traduce en una presión lectura. Los medidores de ionización se utilizan comúnmente en aplicaciones industriales que dependen de sistemas de vacío.

Manómetros

Una de las clases más importantes de manómetros aplica la propiedad de

320

que la presión debido al peso de un fluido de la densidad constante viene dada por p = hρg . El tubo en forma de U mostrado en la Figura 4.12 es un ejemplo de un manómetro; en parte (a), ambos lados del tubo están abiertos a la atmósfera, lo que permite que la presión atmosférica empuje hacia abajo en cada lado por igual, de manera que la presión atmosférica se mantenga constante que sus efectos cancelan. Un manómetro con un solo lado abierto a la atmósfera es un dispositivo ideal para medir presiones de manómetro. La presión manométrica es p_g = hρg y se obtiene midiendo h.

Por ejemplo, supongamos que un lado del tubo en U está conectado a alguna de las siguientes conexiones fuente de presión, como el globo en la parte (b) de la figura o el frasco de maní envasado al vacío que se muestra en la parte (c), p_abs es menor que la presión atmosférica.

Figura 4.12. Un manómetro de tubo abierto tiene un lado abierto a la atmósfera. (a) La profundidad del fluido debe ser la misma en ambos lados, o la presión que cada lado ejerce en el fondo será desigual y el líquido fluirá desde el lado más profundo. (b) Una presión manométrica positiva p_g = hρg transmitida a un lado del manómetro puede soportar una columna de fluido de altura h. c) Del mismo modo, la presión atmosférica es superior a una presión manométrica negativa p_g en una cantidad de hρg . La rigidez del frasco impide que la presión atmosférica se transmita a los maní.

321

En ambos casos, p_abs difiere de la presión atmosférica en una cantidad h_ρg, donde ρ es la densidad del fluido en el manómetro. En la parte (b), los p_abs pueden soportar una columna de fluido de altura h, por lo que deben ejercer una presión h_ρg mayor que la presión atmosférica (la presión del medidor es positiva). En la parte (c), la presión atmosférica puede soportar una columna de fluido de altura h, por lo que pabs es menor que la presión atmosférica en una cantidad h_ρg (la presión manométrica p_g es negativa.

Barómetros

Figura 4.13 . Un barómetro de mercurio mide la presión atmosférica. La presión debida al peso del mercurio, hρg , es igual a la presión atmosférica. La atmósfera es capaz de forzar mercurio en el tubo a una altura h porque la presión por encima del mercurio es cero.

Los manómetros suelen utilizar un tubo en forma de U de un fluido (a menudo

322

mercurio) para medir la presión. Un barómetro ( ver Figura 4.13 ) es un dispositivo que típicamente utiliza una sola columna de mercurio para medir la presión atmosférica. El barómetro, inventado por el matemático y físico italiano Evangelista Torricelli (1608-1647) en 1643, está construido con un tubo de vidrio cerrado en un extremo y lleno de mercurio. El tubo se invierte y se coloca en una piscina de mercurio. Este dispositivo mide presión atmosférica, en lugar de la presión manométrica, porque hay un vacío casi puro por encima del mercurio en el tubo. La altura del mercurio es tal que hρg = p_atm. Cuando la presión atmosférica varía, el mercurio sube o baja.

Los meteorólogos monitorean de cerca los cambios en la presión atmosférica (a menudo reportados como presión barométrica), ya que el aumento del mercurio típicamente indica una mejora en el clima y la caída del mercurio indica un deterioro en el clima. El barómetro también sirve como altímetro, ya que la presión atmosférica media varía con la altitud. Los barómetros y manómetros de mercurio son tan común que las unidades de mm Hg se cotizan a menudo para la presión atmosférica y la presión arterial.

Ejemplo 4.2

Alturas del fluido en un tubo en U abierto

Un tubo en U con ambos extremos abiertos se llena con un líquido de densidad ρ₁ a una altura h en ambos lados (Figura 4.14). Un líquido de densidad ρ₂ < ρ₁ se vierte en un lado y el Líquido 2 se asienta sobre el Líquido 1.

323

Figura 4.14. Dos líquidos de diferentes densidades se muestran en un tubo en U

Las alturas de los dos lados son diferentes. La altura hasta la parte superior del Líquido 2 desde la interfaz es h₂ y la altura hasta la parte superior del Líquido 1 desde el nivel de la interfaz es h₁ . Derivar una fórmula para la diferencia de altura.

Estrategia

La presión en los puntos a la misma altura en los dos lados de un tubo en U debe ser la misma mientras los dos puntos estén en el mismo líquido. Por lo tanto, consideramos dos puntos al mismo nivel en los dos brazos del tubo: Un punto es la interfaz en el lado del Líquido 2 y el otro es un punto en el brazo con Líquido 1 que está al mismo nivel que la interfaz en el otro brazo. La presión en cada punto se debe a la presión atmosférica más el peso del líquido sobre ella.

Presión lateral con Liquid 1 = p₀ + ρ₁gh₁.

324

Presión lateral con Liquid 2 = p₀ + ρ₂gh₂.

Solución

Como los dos puntos están en el Líquido 1 y están a la misma altura, la presión en los dos puntos debe ser la misma. Por lo tanto, tenemos

p₀ + ρ₁ gh₁ = p₀ + ρ₂gh₂.

Por lo tanto

ρ₁h₁ = ρ₂h₂.

Esto significa que la diferencia de alturas en los dos lados del tubo en U es

h₂− h₁ =(1 − p₁ /p₂)h₂.

El resultado tiene sentido si fijamos p₂ = p₁ , lo que da h₂ = h₁ . Si los dos lados tienen la misma densidad, tienen la misma altura.

Comprueba tu aprendizaje 4.2

El mercurio es una sustancia peligrosa. ¿Por qué se supone que el mercurio se utiliza normalmente en los barómetros en lugar de un fluido más seguro como el agua?

325

En la siguiente escena interactiva, diseñada por Fu-Kwun Hwang, Fremont Teng y Loo Kang Wee, puedes cambiar las alturas y densidades de los tres líquidos y observar el cambio en las alturas manométricas.

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De los mismos autores, en la siguiente escena puedes interactuar con dos medidores de presión:

326

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327

Unidades de presión

Como se indicó anteriormente, la unidad SI para presión es el pascal (Pa), donde

1 Pa = 1 N/m².

Además del pascal, muchas otras unidades de presión son de uso común (Tabla 4.3). En meteorología, la presión atmosférica se describe a menudo en la unidad de milibares (mb), donde

1000 mb = 1 × 10⁵Pa.

El milibar es una unidad conveniente para los meteorólogos porque la presión atmosférica promedio a nivel del mar en la Tierra es 1.013 × 10⁵ Pa = 1013 mb = 1 atm.

Tabla 4.3. Resumen de las Unidades de Presión.

Usando las ecuaciones derivadas cuando se considera la presión a una profundidad en un fluido, la presión también se puede medir como milímetros o pulgadas de mercurio.

328

La presión en la parte inferior de una columna de mercurio de 760 mm a 0°C en un contenedor donde se evacua la parte superior es igual a la presión atmosférica. Por lo tanto, 760 mm Hg también se utiliza en lugar de 1 atmósfera de presión. En los laboratorios de física de vacío, los científicos a menudo usan otra unidad llamada torr, llamada así por Torricelli, quien, como acabamos de ver, inventó el manómetro de mercurio para medir la presión. Un torr es igual a una presión de 1 mm Hg.

4.3 Principio de Pascal e hidráulica

En 1653, el filósofo y científico francés Blaise Pascal publicó su Tratado sobre el Equilibrio de los Líquidos, en el cual discutió los principios de los fluidos estáticos. Un fluido estático es un fluido que no está en movimiento. Cuando un fluido no está fluyendo, decimos que el está en equilibrio estático. Si el fluido es agua, decimos que está en equilibrio hidrostático. Para un fluido en equilibrio estático, la fuerza neta en cualquier parte del fluido debe ser cero; de lo contrario, el fluido comenzará a fluir.

Las observaciones de Pascal proporcionan los cimientos de la hidráulica, una de las más importantes, la evolución de la tecnología mecánica moderna. Pascal observó que un cambio en la presión aplicada a un fluido encerrado es transmitido sin disminuir a través del fluido y a las paredes de su contenedor. Debido a esto, a menudo sabemos más sobre presión que otras cantidades físicas en los fluidos. Además, el principio de Pascal implica que la presión total en un fluido es el suma de las presiones de diferentes fuentes. Un buen ejemplo es que el fluido en una profundidad depende de la profundidad del fluido y la presión de la atmósfera.

Principio de Pascal

El principio de Pascal (también conocido como ley de Pascal) establece que cuando se

329

aplica un cambio en la presión a un fluido cerrado, se transmite sin disminuir a todas las porciones del fluido y a las paredes de su recipiente. En un fluido cerrado, dado que los átomos del fluido pueden moverse libremente, transmiten presión a todas las partes del fluido ya las paredes del recipiente. Cualquier cambio en la presión se transmite sin disminuir. Tenga en cuenta que este principio no dice que la presión sea la misma en todos los puntos de un fluido, lo cual no es cierto, ya que la presión en un fluido cerca de la Tierra varía con la altura. Más bien, este principio se aplica al cambio de presión. Supongamos que colocas agua en un contenedor cilíndrico de altura H y área de sección transversal A que tiene un pistón móvil de masa m (Figura 4.15). Al añadir peso Mg en la parte superior del pistón aumenta la presión en la parte superior en Mg / A, ya que el peso adicional también actúa sobre el área A de la tapa:

Figura 4.15. La presión en un fluido cambia cuando se comprime el fluido. (a) La presión en la capa superior del fluido es diferente de la presión en la capa inferior. (b) El aumento de la presión al agregar peso al pistón es el mismo en todas partes, por ejemplo:
p_{parte superior nueva} - p_{parte superior} = p_{nuevo fondo} - p_fondo.

330

Según el principio de Pascal, la presión en todos los puntos del agua cambia en la misma cantidad, Mg / A. Así, la presión. En la parte inferior también aumenta por Mg / A. La presión en el fondo del contenedor es igual a la suma de la Presión atmosférica , la presión debida al fluido y la presión suministrada por la masa. El cambio de presión en la parte inferior de la contenedor debido a la masa es

Δp_fondo = Mg/A.

Dado que los cambios de presión son los mismos en todo el fluido, ya no necesitamos subíndices para designar el cambio de presión para la parte superior o inferior:

Δp = Δp_{parte superior} = Δp_fondo = Δp_{en todos lados}.

El barril de Pascal es una gran demostración del principio de Pascal. Mire una simulación (https://openstaxcollege.org/l/21pascalbarrel) del experimento de Pascal en 1646, en el que demostró los efectos del cambio de presión en un fluido.

Aplicaciones del Principio de Pascal y Sistemas Hidráulicos.

Los sistemas hidráulicos se utilizan para operar frenos automotrices, gatos hidráulicos y muchos otros sistemas mecánicos (Figura 4.16).

Podemos derivar una relación entre las fuerzas en este simple sistema hidráulico aplicando el principio de Pascal. Primero, tenga en cuenta que los dos pistones en el sistema están a la misma altura, por lo que no hay diferencia en la presión debido a una diferencia en la profundidad. La presión debida a la F₁ que actúa en el área A₁ es simplemente

331

p₁ = F₁/A₁ , como se define y p= F/A

Figura 4.16. Un sistema hidráulico típico con dos cilindros llenos de fluido, tapados con pistones y conectados por un tubo llamado línea hidráulica. Una fuerza hacia abajo F→₁ en el pistón izquierdo crea un cambio en la presión que se transmite sin disminuir a todas las partes del fluido encerrado. Esto da como resultado una fuerza hacia arriba F→₂ en el pistón derecho que es más grande que F→₁ porque el pistón derecho tiene un área de superficie más grande.

332

Según el principio de Pascal, esta presión se transmite sin disminuir a través del fluido y a todas las paredes del contenedor. Así, en el otro pistón se siente una presión p₂ igual a p₁ . Es decir, p₁ = p₂. Sin embargo, como p₂ = F₂/A₂ vemos que

F₁/A₁ = F₂/A₂

(4.12)

La ecuación anterior relaciona las fuerza sobree un área cualquiera en un sistema hidráulico, siempre que los pistones estén a la misma altura vertical y que la fricción en el sistema sea insignificante. Los sistemas hidráulicos pueden aumentar o disminuir la fuerza aplicada sobre ellos. Para aumentar la fuerza, la presión se aplica a un área más grande. Por ejemplo, si se aplica una fuerza de 100 N al cilindro izquierdo en la Figura 4.16 y el cilindro derecho tiene un área cinco veces mayor, entonces la fuerza de salida es de 500 N. Los sistemas hidráulicos son análogos a las palancas simples, pero tienen la ventaja de que la presión se puede enviar a través de líneas tortuosamente curvas a varios lugares a la vez. El gato hidráulico es un sistema hidráulico de este tipo. Un gato hidráulico se utiliza para levantar cargas pesadas, como las que utilizan los mecánicos de automóviles para levantar un automóvil. Consiste en un fluido incompresible en un tubo en U provisto de un pistón móvil en cada lado. Un lado del tubo en U es más estrecho que el otro. Una pequeña fuerza aplicada sobre un área pequeña puede equilibrar un área mucho más grande. fuerza en el otro lado sobre un área mayor (Figura 4.17)

333

Figura 4.17. (a) Un gato hidráulico funciona al aplicar fuerzas (F₁, F₂) a un fluido incompresible en un tubo en U, utilizando un pistón móvil (A₁, A₂) en cada lado del tubo. (b) Los mecánicos de automóviles utilizan comúnmente los gatos hidráulicos para levantar vehículos, de modo que se puedan realizar reparaciones y mantenimiento (crédito b: modificación del trabajo por Jane Whitney)

Desde el principio de Pascal, se puede demostrar que la fuerza necesaria para levantar el auto es menor que el peso del auto:

F₁ = A₁/A₂F₂

donde F₁ es la fuerza aplicada para levantar el carro, A₁ es el área de la sección transversal del pistón más pequeño, A₂ es el área de la sección transversal del pistón más grande y F₂ es el peso del carro.

334

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Ejemplo 4.3

Cálculo de la fuerza en los cilindros de las ruedas

Considere el sistema hidráulico del automóvil que se muestra en la Figura 1.18.

335

Supongamos que se aplica una fuerza de 100 N al pedal del freno, que actúa sobre el cilindro del pedal a través de una palanca. Una fuerza de 500 N se ejerce sobre el cilindro del pedal. La presión creada en el cilindro del pedal se transmite a los cilindros de las cuatro ruedas. El cilindro de pedal tiene un diámetro de 0,500 cm y cada cilindro de rueda tiene un diámetro de 2,50 cm. Calcule el magnitud de la fuerza F₂ creado en cada uno de los cilindros de rueda.

Figura 4.18. Los frenos hidráulicos utilizan el principio de Pascal. El conductor empuja el pedal del freno, ejerciendo una fuerza que se incrementa con la simple palanca y nuevamente con el sistema hidráulico. Cada uno de los cilindros de rueda idénticos recibe la misma presión y, por lo tanto, crea la misma salida de fuerza F₂.Las áreas de sección transversal circular de los pedales y cilindros de la rueda están representados por A₁ y A₂, respectivamente.

336

Estrategia

Si la fuerza F₁ se aplica al cilindro de pedal. Las secciones transversales A₁ y A₂ pueden calcularse a partir de sus diámetros dados. Entonces podemos usar la siguiente relación para encontrar la fuerza F₂

F₁/A₁ = F₂/A₂

Manipular esta ecuación algebraicamente para obtener F₂ en un lado y sustituir valores conocidos.

Solución

El principio de Pascal aplicado a los sistemas hidráulicos viene dado por

F₁/A₁ = F₂/A₂

F₂= A₂/A₁F₁ = πr₂ ²/πr₁² = F₁

= (1.25 cm)²/ (0.250 cm)² x 500 N = 1.25 × 10⁴N

337

Explicación

Este valor es la fuerza ejercida por cada uno de los cilindros de las cuatro ruedas. Tenga en cuenta que podemos añadir tantos cilindros de rueda como sea posible como queramos. Si cada uno de ellos tiene un diámetro de 2,50 cm, cada uno de ellos ejercerá 1,25 × 10⁴ N. Un sistema hidráulico simple, en forma de ejemplo de una máquina simple, puede aumentar la fuerza pero no puede hacer más trabajo del que se hace en ella. El trabajo son tiempos de fuerza distancia se movió, y el cilindro de la rueda se mueve a través de una distancia menor que el cilindro del pedal. Además, cuantas más ruedas se añadan, menor será la distancia que cada uno recorra. Muchos sistemas hidráulicos, como los frenos eléctricos y los de las excavadoras tienen una bomba motorizada que realmente hace la mayor parte del trabajo en el sistema.

Comprueba tu aprendizaje 4.4

¿Funcionaría bien una prensa hidráulica si se utilizara un gas en lugar de un líquido?

4.4 Principio de Arquímedes y flotabilidad

Cuando se colocan en un fluido, algunos objetos flotan debido a una fuerza flotante. ¿De dónde viene esta fuerza flotante? ¿Por qué algunas cosas flotan y otras no? ¿Los objetos que se hunden reciben algún tipo de soporte del líquido? ¿Su cuerpo es impulsado por la atmósfera, o sólo se ven afectados los globos de helio (Figura 4.19)?

Las respuestas a todas estas preguntas, y muchas otras, se basan en el hecho de que la presión aumenta con la profundidad en un fluido. Esto significa que la fuerza ascendente en la parte inferior de un objeto en un fluido es mayor que la fuerza descendente en la parte superior del objeto.

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Figura 4.19 . (a) Incluso los objetos que se hunden, como este ancla, son parcialmente sostenidos por el agua cuando están sumergidos. b) Los submarinos tienen una densidad ajustable (tanques de lastre) para que puedan flotar o hundirse según se desee. (c) Los globos llenos de helio tiran hacia arriba de sus cuerdas, demostrando el efecto flotante del aire. (crédito b: modificación del trabajo por parte de la Armada Aliada; crédito c: modificación del trabajo por parte de "Crystl"/Flickr)

Hay una fuerza ascendente, o fuerza de flotación, sobre cualquier objeto en cualquier fluido (Figura 4.20). Si la fuerza de flotación es mayor que el peso del objeto, el objeto sube a la superficie y flota. Si la fuerza de flotación es menor que el peso del objeto, el objeto se hunde. Si la fuerza de flotación es igual al peso del objeto, éste puede permanecer suspendido en su profundidad actual. La fuerza de flotación siempre está presente, ya sea que el objeto flote, se hunda o esté suspendido en un fluido.

Fuerza de flotación

La fuerza de flotación es la fuerza ascendente sobre cualquier objeto en cualquier fluido.

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Figura 4.20. La presión debida al peso de un fluido aumenta con profundidad porque p = hpg . Este cambio de presión y la fuerza ascendente asociada en la parte inferior del cilindro son mayor que la fuerza descendente en la parte superior del cilindro. El las diferencias en la fuerza dan como resultado la fuerza de empuje F_B . (Fuerzas horizontales canceladas.)

Principio de Arquímedes

¿Qué tan grande es la fuerza de flotación? Para responder a esta pregunta, piense en lo que sucede cuando se extrae un objeto sumergido de un fluido, como en la Figura 4.21. Si el objeto no estuviera en el fluido, el espacio que ocupaba el objeto se llenaría con un fluido con un peso w_fl. Este peso es soportado por el fluido circundante, por lo que la fuerza de flotación debe ser igual al peso del fluido desplazado por el objeto.

340

Principio de Arquímedes

La fuerza de flotación sobre un objeto es igual al peso del fluido que desplaza. En forma de ecuación, el principio de Arquímedes es
F_B = w_fl
donde F_B es la fuerza de flotación y w_fl es el peso del fluido desplazado por el objeto.

Este principio lleva el nombre del matemático e inventor griego Arquímedes (287-212 A.C.), quien lo declaró mucho antes de que se establecieran los conceptos de fuerza.

Figura 4.21. (a) Un objeto sumergido en un fluido experimenta una fuerza de flotación F_B. Si F_B es mayor que el peso del objeto, éste se eleva. Si F_B es menor que el peso del objeto, el objeto se hunde. b) Si se retira el objeto, se sustituye por un líquido de peso w_fl. Ya que este peso es soportado por el fluido circundante, la fuerza de flotación debe ser igual al peso del fluido desplazado.

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Este principio lleva el nombre del matemático e inventor griego Arquímedes (287-212 A.C.), quien declaró lo siguiente mucho antes de que los conceptos de fuerza estuvieran bien establecidos. El principio de Arquímedes se refiere a la fuerza de flotación que resulta cuando un cuerpo se sumerge en un fluido, ya sea parcial o totalmente. La fuerza que proporciona la presión de un líquido actúa sobre un cuerpo perpendicular a la superficie del cuerpo. En otras palabras, la fuerza debida a la presión en la parte inferior está apuntando hacia arriba, mientras que en la parte superior, la fuerza debida a la presión está apuntando hacia abajo; las fuerzas debidas a las presiones a los lados están apuntando hacia el cuerpo. Debido a que la parte inferior del cuerpo está a una profundidad mayor que la parte superior del cuerpo, la presión en la parte inferior del cuerpo es mayor. que la presión en la parte superior, como se muestra en la figura 4.20. Por lo tanto, una fuerza ascendente neta actúa sobre el cuerpo. Esta fuerza ascendente es la fuerza de flotación, o simplemente de flotación.

La exclamación "Eureka" (que significa "lo encontré") a menudo ha sido atribuida a Arquímedes al hacer el descubrimiento que llevaría al principio de Arquímedes.

En la siguiente escena interactiva, diseñada por Andrew Duffy, se ilustra el concepto de peso aparente, así como la fuerza de flotación.

Como hemos visto, la fuerza de flotación es la fuerza hacia arriba ejercida sobre un objeto por un fluido cuando el objeto está parcial o totalmente sumergido en el fluido. En este caso hay un bloque que cuelga de una balanza. El bloque se puede bajar al fluido (usa el control deslizante "Porcentaje de bloque sumergido"). Esto hace que la lectura de la escala de resorte cambie, ¿por qué? La lectura de la balanza de resorte muestra el peso aparente del bloque; esto es solo igual al peso real del bloque cuando el bloque está completamente fuera del fluido. Investiga de qué depende la fuerza de flotación (y de qué no depende). Observa que la simulación establece que g es de 10 m/s². Dados los límites de los controles deslizantes en la simulación, ¿cuál es la mayor

342

fuerza de flotación que se puede lograr aquí?

También puede mostrar una escala debajo del contenedor de líquido. Es interesante ver qué sucede con la lectura de la escala a medida que el bloque desciende (o se elimina) del fluido.

Ampliar

343

La densidad y el principio de Arquímedes

Si tiras un trozo de arcilla en agua, se hundirá. Pero si moldeas el mismo trozo de arcilla en la forma de un bote, flotará. Debido a su forma, el barco de arcilla desplaza más agua que el bulto y experimenta una mayor fuerza de flotación, a pesar de que su masa es la misma. Lo mismo ocurre con los buques de acero. La densidad media de un objeto es lo que finalmente determina si flota. Si la densidad media de un objeto es menor que del fluido circundante, flotará. La razón es que el fluido, al tener una densidad más alta, contiene más masa y por lo tanto más peso en el mismo volumen. La fuerza de flotación, que es igual al peso del fluido desplazado, es por lo tanto mayor que la fuerza de flotación que el peso del objeto. Del mismo modo, un objeto más denso que el líquido se hundirá.

El grado en que un objeto flotante se sumerge depende de cómo se compara la densidad del objeto con la densidad del fluido. En la figura 4.22 , por ejemplo, el buque descargado tiene una densidad menor y menos de él está sumergido en comparación con el mismo buque cargado. Podemos derivar una expresión cuantitativa para la fracción sumergida considerando la densidad. La fracción sumergida es la relación entre el volumen sumergido y el volumen del objeto, o bien

fracción sumergida = V_sub/V_obj = V_fl/V_obj

El volumen sumergido es igual al volumen de fluido desplazado, que llamamos V _fl . Ahora podemos obtener la relación entre las densidades, sustituyendo ρ = m/V en la expresión. Esto da

344

V_sub/V_obj = m_fl/ρ_fl/m_obj /ρ_obj

donde ρ_obj es la densidad media del objeto y ρ_fl es la densidad del fluido. Puesto que el objeto flota, su masa y la del fluido desplazado son iguales, por lo que se cancelan de la ecuación, quedando

fracción sumergida = ρ_obj/ρ_fl

Esta relación la podemos usar para medir densidades.

Figura 4.22. Un buque descargado (a) flota más alto en el agua que un buque cargado (b).

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Ejemplo 4.4

Cálculo de la densidad media

Supongamos que una mujer de 60,0 kg flota en agua dulce con el 97,0% de su volumen sumergido cuando sus pulmones están llenos de aire. ¿Cuál es su densidad media?

Estrategia

Podemos encontrar la densidad de la mujer resolviendo la ecuación

fracción sumergida = V_obj/V_fl

para la densidad del objeto. Esto da como resultado

ρ_obj = ρ_persona = (fracción sumergida)•ρ_f

Conocemos tanto la fracción sumergida como la densidad del agua, por lo que podemos calcular la densidad de la mujer.

Solución

Introduciendo los valores conocidos en la expresión de su densidad, obtenemos

ρ_persona= 0.970 (10³kg/m³)

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Explicación

La densidad de la mujer es menor que la densidad del fluido. Esperamos esto porque ella flota

Numerosos objetos o sustancias de baja densidad flotan en fluidos de alta densidad: aceite sobre agua, un globo aerostático en la atmósfera, unpedazo de corcho sobre vino, un iceberg en agua salada y cera caliente en una "lámpara de lava", por nombrar algunos. Un ejemplo menos obvio son las cadenas montañosas que flotan en la corteza de mayor densidad y el manto debajo de ellas. Incluso la Tierra aparentemente sólida tiene características fluidas.

En la página siguiente, presentamos una unidad interactiva, tomada del Proyecto @prende.mx, el cual es una iniciativa de la Secretaría de Educación Pública del gobierno mejicano a través de la cual busca la introducción de las TIC en la Educación y contribuir, mediante el uso y aprovechamiento de la computadora personal, a la mejora de las condiciones de estudio de los estudiantes. Desde este recurso podrás complementar el estudio de la flotabilidad de líquidos y su papel en el orden como éstos se acomodan en un recipiente, la flotabilidad de objetos en general en función de su densidad específica respecto al líquido que los contiene y una explicación mas detallada de la razón por la cual flotan objetos masivos tales como barcos, además de una introducción al principio de Arquímedes.

La unidad didáctica cuenta con cuatro apartados. En el primero se presenta un vídeo con diferentes líquidos y, obviamente, diferentes densidades. El segundo, permite comprender la importancia de la densidad en lo flotación de cuerpos. El tercer apartado, profundiza en el tema de la flotación, incluyendo densidades y forma del cuerpo flotante. Finalmente, podrás confrontar lo aprendido en una prueba.

347

Ampliar

Medición de la densidad

Una de las técnicas más comunes para determinar la densidad se muestra en la Figura 4.23.

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Figura 4.23. (a) Una moneda se pesa en el aire. (b) El peso aparente de la moneda se determina mientras está completamente sumergida en un fluido de densidad conocida. Estas dos medidas se utilizan para calcular la densidad de la moneda.

Un objeto, aquí una moneda, se pesa en el aire y luego se pesa de nuevo mientras está sumergido en un líquido. La densidad de la moneda, una indicación de su autenticidad, puede calcularse si se conoce la densidad del fluido. Podemos utilizar esta misma técnica para determinar la densidad del fluido si se conoce la densidad de la moneda. Todos estos cálculos se basan en el principio de Arquímedes, que establece que la fuerza de flotación sobre el objeto es igual al peso del fluido desplazado. Esto, a su vez, significa que el objeto parece pesar menos cuando está sumergido; lo llamamos medir el peso aparente del objeto. El objeto sufre una pérdida de peso aparente igual al peso del fluido desplazado.

Alternativamente, en las balanzas que miden la masa, el objeto sufre una pérdida aparente de masa igual a la masa de fluido desplazada. Es decir, la pérdida de peso aparente es igual al peso del fluido desplazado, o la pérdida de masa aparente es igual a la masa del fluido desplazado.

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4.5 Dinámica de fluidos

La primera parte de este capítulo trata de la estática de los fluidos, el estudio de los fluidos en reposo. El resto de este capítulo trata de los fluidos la dinámica, el estudio de los fluidos en movimiento. Incluso las formas más básicas de movimiento fluido pueden ser bastante complejas. Por esta razón, limitamos nuestra investigación a fluidos ideales en muchos de los ejemplos. Un fluido ideal es un fluido con una viscosidad insignificante. La viscosidad es una medida de la fricción interna en un fluido; la examinamos con más detalle en Viscosidad y Turbulencia. En algunos ejemplos, examinamos un fluido incompresible - uno para el cual se requiere una fuerza extremadamente grande para cambiar el ya que la densidad en un fluido incompresible es constante en todo momento.

Características del flujo

Los vectores de velocidad se utilizan a menudo para ilustrar el movimiento de fluidos en aplicaciones como la meteorología. Por ejemplo, el viento, el movimiento fluido del aire en la atmósfera, se puede representar mediante vectores que indican la velocidad y la dirección del viento en cualquier punto del mapa. La Figura 4.24 muestra los vectores de velocidad que describen los vientos durante el huracán Arthur en 2014. Otro método para representar el movimiento de fluidos es una línea de corriente. Una línea de corriente representa la trayectoria de un pequeño volumen de fluido como fluye. La velocidad es siempre tangencial a la línea de corriente.

La velocidad es siempre tangencial a la línea de corriente. Los diagramas de la Figura 4.25 utilizan líneas de corriente para ilustrar dos ejemplos de fluidos que se mueven a través de una tubería.

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Figura 4.24. Los vectores de velocidad muestran el flujo del viento en el huracán Arthur. Observe la circulación del viento alrededor del ojo del huracán. Las velocidades del viento son más altas cerca del ojo. Los colores representan la vorticidad relativa, una medida del giro del aire.

El primer fluido muestra un flujo laminar (a veces descrito como un flujo constante), representado por líneas de corriente paralelas y suaves. Tenga en cuenta que en el ejemplo que se muestra en la parte (a), la velocidad del fluido es mayor en el centro y disminuye cerca de las paredes de la tubería debido a la viscosidad del fluido y la

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fricción entre las paredes de la tubería y el fluido. Este es un caso especial de flujo laminar, donde la fricción entre la tubería y el fluido es alta, lo que se conoce como condiciones de frontera sin deslizamiento.

El segundo diagrama representa un flujo turbulento, en el que las líneas de corriente son irregulares y cambian con el tiempo. En el flujo turbulento, las trayectorias del flujo de fluido son irregulares a medida que diferentes partes del fluido se mezclan o forman pequeñas regiones circulares que se asemejan a remolinos. Esto puede ocurrir cuando la velocidad del fluido alcanza una cierta velocidad crítica.

Figura 4.25 . (a) El flujo laminar se puede considerar como capas de fluido que se mueven en vías paralelas y regulares. (b) En un flujo turbulento, las regiones de fluido se mueven en caminos irregulares que chocan, lo que resulta una mezcla de remolinos.

La tasa de flujo y su relación con la velocidad

El volumen de fluido que pasa por una ubicación determinada a través de un área durante un período de tiempo se denomina caudal Q, o más precisamente, caudal. En símbolos, esto se escribe como

352

Q = dV/dt

(4.12)

donde V es el volumen y t es el tiempo transcurrido. En la Figura 4.26, el volumen del cilindro es Ax, por lo que el caudal es

Figura 4.26. La tasa de flujo es el volumen de fluido que fluye más allá de un punto a través del área A por unidad de tiempo. Aquí, el cilindro sombreado de fluido fluye más allá del punto P en una tubería uniforme en el tiempo t.

La unidad del SI para el caudal es m³/s, pero otras unidades para Q son de uso común, como litros por minuto (L/min). Ten en cuenta que un litro (L) es 1/1000 de un metro cúbico o 1000 centímetros cúbicos (10^-3m³o 10³cm³).

El caudal y la velocidad están relacionados, pero son cantidades físicas muy diferentes. Para dejar clara la distinción, considera la tasa de flujo de un río. Cuanto mayor sea la velocidad del agua, mayor será el caudal del río. Pero el caudal también depende del

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tamaño y la forma del río. Un rápido arroyo de montaña transporta mucha menos agua que el río Amazonas en Brasil, por ejemplo. La figura 4.26 ilustra el caudal volumétrico. El caudal volumétrico es Q = dV/dt = Av, donde A es el área de la sección transversal de la tubería y v es la magnitud de la velocidad.

La relación precisa entre el caudal Q y la velocidad media v es

Q = Av

donde A es el área de la sección transversal y v es la velocidad promedio. La relación nos dice que la tasa de flujo es directamente proporcional tanto a la velocidad promedio del fluido como al área de sección transversal de un río, tubería u otro conducto. Cuanto más grande sea el conducto, mayor será su área de sección transversal. La figura 4.26 ilustra cómo se obtiene esta relación. El cilindro sombreado tiene un volumen V = Ad, que fluye más allá del punto P en un tiempo t. Dividiendo ambos lados de esta relación por t, obtenemos:

V/t = A/t

Notamos que Q = V/t y la velocidad promedio es v = d/t. Así, la ecuación se convierte en Q = Av.

La figura 4.27 muestra un fluido incompresible que fluye a lo largo de una tubería de radio decreciente. Debido a que el fluido es incompresible, la misma cantidad de fluido debe fluir más allá de cualquier punto del tubo en un momento dado para garantizar la continuidad del flujo. El flujo es continuo porque no hay fuentes ni sumideros que

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agreguen o eliminen masa, por lo que la masa que fluye hacia la tubería debe ser igual a la masa que fluye hacia afuera de la tubería. En este caso, debido a que el área de la sección transversal de la tubería disminuye, la velocidad necesariamente debe aumentar. Esta lógica se puede ampliar para decir que el caudal debe ser el mismo en todos los puntos a lo largo de la tubería. En particular, para los puntos 1 y 2 arbitrarios,

Q₁ = Q₂,
A₁v₁ = A₂v₂

(4.14)

Esto se denomina ecuación de continuidad y es válido para cualquier fluido incompresible (con densidad constante). Las consecuencias de la ecuación de continuidad se pueden observar cuando el agua fluye de una manguera a una boquilla rociadora estrecha: emerge a gran velocidad, que es el propósito de la boquilla. A la inversa, cuando un río desemboca en un extremo de un embalse, el agua se ralentiza considerablemente, tal vez recuperando velocidad cuando abandona el otro extremo del embalse. En otras palabras, la velocidad aumenta cuando el área de la sección transversal disminuye, y la velocidad disminuye cuando el área de la sección transversal aumenta.

Como los líquidos son esencialmente incompresibles, la ecuación de continuidad es válida para todos los líquidos. Sin embargo, los gases son compresibles, por lo que la ecuación debe aplicarse con precaución a los gases si están sujetos a compresión o expansión.

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Figura 4.27. Cuando un tubo se estrecha, el mismo volumen ocupa una mayor longitud. Para que el mismo volumen pase los puntos 1 y 2 en un tiempo determinado, la velocidad debe ser mayor en el punto 2. El proceso es exactamente reversible. Si el fluido fluye en la dirección opuesta, su velocidad disminuye cuando el tubo se ensancha (observa que los volúmenes relativos de los dos cilindros y las flechas correspondientes del vector de velocidad no están dibujados a escala).

Ejemplo 4.5

Cálculo de la velocidad del fluido a través de una boquilla

Una boquilla con un diámetro de 0.500 cm está conectada a una manguera de jardín con un radio de 0.900 cm. El caudal a través de la manguera y la boquilla es de 0.500 l/s. Calcula la velocidad del agua (a) en la manguera y (b) en la boquilla.

Estrategia

Podemos usar la relación entre el caudal y la velocidad para encontrar ambas velocidades. Usamos el subíndice 1 para la manguera y 2 para la boquilla.

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Solución

a. Resolvemos la ecuación de caudal para la velocidad y utilizamos πr₁² para el área de la sección transversal de la manguera, obteniendo

v = Q/A = Q/πr₁²

Sustituyendo los valores y utilizando la conversión apropiada de unidades, obtenemos.

v = (0.500 L/s)(10^-3 m³/L)/3.14(9.00 × 10^-3 m)² = 1.96 m/s

b. Podríamos repetir este cálculo para encontrar la velocidad en la boquilla v₂, pero usamos la ecuación de continuidad para dar una idea algo diferente. Los estados de la ecuación

A₁v₁ = A₂v₂

Hallando v₂ y sustituyendo πr² por los resultados del área de la sección transversal

v₂ = A₁/A₂v₁ = π r₁²/π r₂² = r₁²/r₂²v₁

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Sustituyendo los valores conocidos

v₂ = (0.900 cm)²/(0.250 cm)²1.96 m/s = 25.5m/s

Explicación

Una velocidad de 1.96 m/s es la adecuada para el agua que sale de una manguera sin boquilla. La boquilla produce una corriente considerablemente más rápida simplemente restringiendo el flujo a un tubo más estrecho.

La solución a la última parte del ejemplo muestra que la velocidad es inversamente proporcional al cuadrado del radio del tubo, lo que genera grandes efectos cuando el radio varía. Podemos apagar una vela a cierta distancia, por ejemplo, frunciendo los labios, mientras que soplar una vela con la boca abierta es bastante ineficaz.

Conservación de masas

La velocidad de flujo de un fluido también se puede describir mediante la velocidad de flujo másico o la velocidad de flujo másica. Esta es la velocidad a la que una masa del fluido se mueve más allá de un punto. Consulte una vez más la figura 4.26, pero esta vez considere la masa en el volumen sombreado. La masa se puede determinar a partir de la densidad y el volumen:

m = ρV = ρAx

El caudal másico es entonces:

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dm/ dt = d/dt(ρAx) = ρA dx/dt = ρAv

donde ρ es la densidad, A es el área de la sección transversal, y v es la magnitud de la velocidad. El caudal másico es una cantidad importante en la dinámica de fluidos y se puede utilizar para resolver muchos problemas. Considere la figura 4.28. El tubo en la figura comienza en la entrada con un área de sección transversal de A₁ y se contrae en una salida con un área de sección transversal más pequeña de A₂. La masa de fluido que entra en la tubería debe ser igual a la masa de fluido que sale de la tubería. Por esta razón, la velocidad en la salida (v₂) es mayor que la velocidad de la entrada (v₁). Al utilizar el hecho de que la masa de fluido que entra en la tubería debe ser igual a la masa de fluido que sale de la tubería, podemos encontrar una relación entre la velocidad y el área de la sección transversal tomando la tasa de cambio de la masa y la masa afuera:

(dm/dt)₁ =(dm/dt)₂
ρ₁A₁v₁ = ρ₂ A₂v₂

(4.15)

La ecuación 4.15 también se conoce como la ecuación de continuidad en forma general. Si la densidad del fluido permanece constante a través de la constricción, - es decir, el fluido es incompresible- entonces la densidad se cancela de la ecuación de continuidad,

A₁v₁ = A₂v₂

359

La ecuación anterior muestra que la tasa de flujo volumétrico en la tubería es igual a la tasa de flujo volumétrico fuera de la tubería.

4.28. Geometría para derivar la ecuación de continuidad. La cantidad de líquido que entra en el área de la sección transversal (sombreada) debe ser igual a la cantidad de líquido que sale del área de la sección transversal si el líquido es incompresible.

4.6. La ecuación de Bernoulli

Como mostramos en la Figura 4.27, cuando un fluido fluye hacia un canal más estrecho, su velocidad aumenta. Esto significa que su energía cinética también aumenta. El aumento de la energía cinética proviene del trabajo neto realizado en el fluido para empujarlo hacia el canal. Además, si el fluido cambia de posición vertical, el trabajo se realiza en el fluido por la fuerza gravitacional. Una diferencia de presión ocurre cuando el canal se estrecha. Esta diferencia de presión resulta en una fuerza neta sobre el fluido porque la presión multiplicada por el área es igual a la fuerza, y esta fuerza neta sí funciona. Recordar el teorema de trabajo y energía,

W_net =1/2mv² −1/2mv₀²

El trabajo neto realizado aumenta la energía cinética del fluido. Como resultado, la presión cae en un fluido que se mueve rápidamente, ya sea o no no el fluido está confinado a un tubo.

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Hay muchos ejemplos comunes de caída de presión en fluidos que se mueven rápidamente. Por ejemplo, las cortinas de ducha tienen un desagradable hábito de abultarse en la cabina de ducha cuando la ducha está abierta. La razón es que la corriente de alta velocidad de el agua y el aire crean una región de menor presión dentro de la ducha, mientras que la presión en el otro lado permanece en el presión atmosférica estándar.

Figura 4.29. Vista aérea de un coche que pasa un camión en una carretera. El aire que pasa entre los vehículos fluye en un canal más estrecho y debe aumentar su velocidad ( v₂ es mayor que v₁), haciendo que la presión entre ellos caiga ( p_i es menor que p₀. Una mayor presión en el exterior empuja el coche y el camión entre si.

Esta diferencia de presión resulta en una fuerza neta, empujando la cortina hacia adentro. De manera similar, cuando un automóvil pasa por un camión en la carretera, los dos vehículos parecen acercarse el uno al otro.

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La razón es la misma: la alta velocidad del aire entre el coche y el camión crea una región de menor presión entre los vehículos, y son empujados juntos por una mayor presión en el exterior (Figura 4.29). Este efecto se observó ya a mediados del siglo XIX, cuando se encontró que los trenes que pasaban en direcciones opuestas se inclinaban uno hacia el otro.

Conservación de la energía y ecuación de Bernoulli

La aplicación del principio de conservación de la energía al flujo laminar sin fricción conduce a una relación muy útil entre presión y velocidad de flujo en un fluido. Esta relación se denomina ecuación de Bernoulli, en honor a Daniel Bernoulli (1700-1782), quien publicó sus estudios sobre el movimiento fluido en su libro Hydrodynamica (1738). Considere un fluido incompresible que fluye a través de una tubería que tiene un diámetro y una altura variables, como se muestra en la Figura 4.30. Los subíndices 1 y 2 de la figura denotan dos ubicaciones a lo largo de la tubería e ilustran las relaciones entre las áreas de la tubería. A, la velocidad del flujo v, la altura desde el suelo y, y la presión p en cada punto. Suponemos aquí que la densidad en los dos puntos es la misma -por lo tanto, la densidad es denotada por ρ sin subíndices- y dado que el fluido en incompresible, los volúmenes sombreados deben ser iguales.

También asumimos que no hay fuerzas viscosas en el fluido, por lo que se conservará la energía de cualquier parte del fluido. Para derivar la ecuación de Bernoulli, primero calculamos el trabajo que se hizo sobre el fluido:

dW = F₁dx₁ − F₂dx₂

dW = p₁1 A₁dx₁ − p₂ A₂dx₂ = p ₁dV − p₂dV = (p₁ − p₂)dV

362

Figura 4.30. Geometría utilizada para la derivación de la ecuación de Bernoulli.

El trabajo realizado se debió a la fuerza conservadora de la gravedad y al cambio en la energía cinética del fluido. El cambio en la energía cinética del fluido es igual a

dK =1/2m₂v₂² - 1/2m₁v₁² = 1/2ρdV(v₂² − v₁²)

El cambio en la energía potencial es

dU = mgy₂ − mgy₁ = ρdVg(y₂ − y₁)

363

La ecuación de energía se convierte entonces en

dW = dK + dU

(p₁ − p₂)dV = 1/2ρdV (v₂² − v₁²)+ ρdVg(y₂ − y₁)

(p₁ − p₂)= 1/2ρd(v₂² − v₁²)+ ρdg(y₂ − y₁)

Reorganizando la ecuación anterior nos da la ecuación de Bernoulli:

p₁ +1/2ρv₁² + ρgy₁ = p₂ +1/2ρv₂² + ρgy₂

Esta relación indica que la energía mecánica de cualquier parte del fluido cambia como resultado del trabajo realizado por el fluido externo a esa parte,

debido a la variación de la presión a lo largo del camino. Dado que los dos puntos fueron elegidos arbitrariamente, podemos escribir la ecuación de Bernoulli de manera más general como un principio de conservación a lo largo de la corriente.

Una nota especial debe hacerse aquí del hecho de que en una situación dinámica, las presiones a la misma altura en diferentes partes del fluido pueden ser diferentes si tienen diferentes velocidades de flujo.

364

Ecuacion de Bernoulli

Para un fluido incompresible y sin fricción, la combinación de presión y la suma de las densidades de energía cinética y potencial es constante no solo a lo largo del tiempo, sino también a lo largo de una línea de corriente:
p +1/2ρv² + ρgy = constante

(4.16)

Analisis de la ecuación de Bernoulli

De acuerdo con la ecuación de Bernoulli, si seguimos un pequeño volumen de fluido a lo largo de su trayectoria, varias cantidades en la suma pueden cambiar, pero el total permanece constante. La ecuación de Bernoulli es, de hecho, es una expresión conveniente de conservación de energía para un fluido incompresible en ausencia de fricción. La forma general de la ecuación de Bernoulli tiene tres términos, y es de amplia aplicación. Para entenderlo mejor, déjanos considere algunas situaciones específicas que simplifican e ilustran su uso y significado.

Ecuación de Bernoulli para fluidos estáticos

Primero considere la situación muy simple donde el fluido es estático, es decir,
v₁ = v₂ = 0. La ecuación de Bernoulli en ese caso es

p₁ + ρgh₁ = p₂ + ρgh₂

Podemos simplificar aún más la ecuación estableciendo h₂ = 0.

365

(Se puede elegir cualquier altura para una altura de referencia de cero, como se hace a menudo para otras situaciones que involucran fuerza gravitacional, haciendo que todas las demás alturas sean relativas). En este caso, obtenemos

p₂ = p₁ + ρgh₁

Esta ecuación nos dice que, en los fluidos estáticos, la presión aumenta con la profundidad. A medida que avanzamos del punto 1 al punto 2 en el fluido, la profundidad aumenta en h₁ y, en consecuencia, p₂ es mayor que p₁ en una cantidad ρgh₁. En el caso más simple, p₁ es cero en la parte superior del fluido, y obtenemos la relación familiar p = ρgh. (Recuerde que p = ρgh y ΔUg = −mgh) Por lo tanto, la ecuación de Bernoulli confirma el hecho de que el cambio de presión debido al peso de un fluido es ρgh. Aunque introducimos la ecuación de Bernoulli para el movimiento de fluidos, incluye mucho de lo que estudiamos anteriormente para fluidos estáticos.

Principio de Bernoulii

Supongamos que un fluido se está movimiento pero su profundidad es constante, es decir, h₁ = h₂. Bajo esta condición, la ecuación de Bernoulli se convierte en

p₁ +1/2ρv₁² = p₂ +1/2ρv₂²

Las situaciones en las que el fluido fluye a una profundidad constante son tan comunes que esta ecuación también suele denominarse Principio de Bernoulli, que es simplemente la ecuación de Bernoulli para fluidos a una profundidad constante. (Tenga en cuenta nuevamente que esto se aplica a un pequeño volumen de fluido a medida que lo seguimos a lo largo de su trayectoria).

366

El principio de Bernoulli refuerza el hecho de que la presión disminuye a medida que aumenta la velocidad en un fluido en movimiento: si v₂ es mayor que v₁ en la ecuación, entonces p₂ debe ser menor que p₁ para mantener la igualdad.

Ejemplo 4.6

Cálculo de la Presión

En el Ejemplo 4.5, encontramos que la velocidad del agua en una manguera que aumentó de 1.96 m/s a 25.5 m/s desde la manguera hasta la boquilla. Calcule la presión en la manguera, dado que la presión absoluta en la boquilla es 1.01 × 10⁵ N/m²(atmosférica, como debe ser) y suponiendo un flujo a nivel y sin fricción.

Estrategia

El flujo de nivel significa profundidad constante, por lo que se aplica el principio de Bernoulli. Usamos el subíndice 1 para los valores en la manguera y 2 para los que están en la boquilla. Por lo tanto, se nos pide que encontremos p₁.

Solución

Resolviendo el principio de Bernoulli para los rendimientos de p₁.

p₁ = p₂ +1/2ρv₂² −1/2ρv₁² = p₂ +1/2ρ(v₂² − v₁²)

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Sustituyendo los valores conocidos de presión reducida en fluidos de alta velocidad para mover las cosas. Con una presión más alta en el exterior, el fluido de alta velocidad fuerza a otros fluidos a entrar en la corriente. Este proceso se llama arrastre. Los dispositivos de arrastre se han utilizado desde la antigüedad como bombas para elevar el agua a pequeñas alturas, como es necesario para drenar pantanos, campos u otras áreas bajas. En la Figura 4.31 se muestran algunos otros dispositivos que utilizan el concepto de arrastre.

p₁ = 1.01 × 10⁵N/m²+1/2(10³kg/m³)[(25.5 m/s)² − (1.96 m/s)²] = 4.24 × 10⁵ N/m²

Explicación

Esta presión absoluta en la manguera es mayor que en la boquilla, como se esperaba, ya que v es mayor en la boquilla. La presión p₂ en la boquilla debe ser atmosférica, ya que el agua sale a la atmósfera sin que se produzcan otros cambios en las condiciones.

Aplicaciones del principio de Bernoulli

Se producen muchos dispositivos y situaciones en los que el fluido fluye a una altura constante y, por lo tanto, puede analizarse con el principio de Bernoulli.

Arrastre

La gente lleva mucho tiempo poniendo en práctica el principio de Bernoulli utilizando una presión reducida en fluidos de alta velocidad para mover las cosas. acerca de. Con una presión más alta en el exterior, el fluido de alta velocidad fuerza a otros fluidos a entrar en la corriente. Este proceso es llamado arrastre.

368

Los dispositivos de arrastre se han utilizado desde la antigüedad como bombas para elevar el agua a pequeñas alturas, como se describe a continuación necesario para drenar pantanos, campos u otras áreas bajas. Algunos otros dispositivos que utilizan el concepto de arrastre son que se muestra en la figura 4.31

Figura 4.31. Los dispositivos de arrastre utilizan una mayor velocidad del fluido para crear bajas presiones, que luego arrastran un fluido dentro de otro. (a) Un mechero Bunsen utiliza una boquilla de gas ajustable, que arrastra aire para una combustión adecuada. (b) Un atomizador utiliza una bombilla de compresión para crear un chorro de aire que arrastra gotas de perfume. Los pulverizadores y carburadores de pintura utilizan técnicas muy similares para mover sus respectivos líquidos. (c) Un aspirador común utiliza una corriente de agua de alta velocidad para crear una región de presión más baja. Los aspiradores se pueden utilizar como bombas de succión en situaciones dentales y quirúrgicas o para drenar un sótano inundado o producir una presión reducida en un recipiente. (d) La chimenea de un calentador de agua está diseñada para introducir aire en la tubería que pasa a través del techo.

Medición de la velocidad

La figura 4.32 muestra dos dispositivos que aplican el principio de Bernoulli para medir la velocidad del fluido. El manómetro en la parte (a) está conectado a dos tubos que

369

son lo suficientemente pequeños como para no perturbar apreciablemente el flujo.

El tubo que mira hacia el fluido que viene crea un punto muerto con velocidad cero
( v₁ = 0) delante de él, mientras que el fluido que pasa por el otro tubo tiene velocidad v₂ . Esto significa que el principio de Bernoulli, tal y como se establece en

p₁ +1/2ρv₁² = p₂ +1/2ρv₂²

se convierte en

p₁ = p₂ +1/2ρv₂²

Así, la presión p₂2 sobre la segunda abertura se reduce en 1/2ρv₂² , de modo que el fluido en el manómetro sube en h en el lado conectado a la segunda abertura, donde

h ∝1/2ρv₂²

(Recordemos que el símbolo ∝ significa "proporcional a.") Resolviendo para v₂, vemos que

v₂ ∝ √h/

370

La parte (b) muestra una versión de este dispositivo que es de uso común para medir varias velocidades de fluidos; tales dispositivos se utilizan frecuentemente como indicadores de velocidad del aire en aeronaves.

Figura 4.32 Medición de la velocidad del fluido basada en el principio de Bernoulli. (a) Se conecta un manómetro a dos tubos que están juntos y son lo suficientemente pequeños como para no perturbar el flujo. El tubo 1 está abierto en el extremo orientado hacia la corriente. Allí se crea un punto muerto con velocidad cero. El tubo 2 tiene una abertura lateral, por lo que el fluido tiene una velocidad v a través de la abertura; por lo tanto, la presión allí cae. La diferencia de presión en el manómetro es 1/2ρv₂², por lo que h es proporcional a 1/2ρv₂². (b) Este tipo de dispositivo de medición de la velocidad es un tubo Prandtl, también conocido como tubo pitot.

Una manguera contra incendios

Todas las aplicaciones precedentes de la ecuación de Bernoulli implicaban la simplificación de las condiciones, como la altura o la presión constantes. El siguiente ejemplo es una aplicación más general de la ecuación de Bernoulli en la que la presión, la velocidad y la altura cambian.

371

Ejemplo 4.7

Cálculo de la presión: Una boquilla de manguera contra incendios

Las mangueras utilizadas en los grandes incendios estructurales tienen un diámetro interior de 6,40 cm (Figura 4.33). Supongamos que una manguera de este tipo transporta un caudal de 40,0 L/s, a partir de una presión manométrica de 1,62×10⁶ N/m². La manguera sube 10,0 m a lo largo de una escalera hasta una boquilla con un diámetro interior de 3,00 cm. ¿Cuál es la presión en la boquilla?

Figura 4.33. La presión en la boquilla de esta manguera contra incendios es menor que a nivel del suelo por dos razones: El agua tiene que ir cuesta arriba para llegar a la boquilla, y la velocidad aumenta en la boquilla. A pesar de su presión reducida, el agua puede ejercer una gran fuerza sobre cualquier cosa que golpee en virtud de su energía cinética. La presión en la corriente de agua se iguala a la presión atmosférica una vez que emerge al aire.

372

Estrategia

Debemos usar la ecuación de Bernoulli para resolver la presión, ya que la profundidad no es constante.

Solución

La ecuación de Bernoulli es

p1 +1/2ρv₁² + ρgh₁ = p₂ +2/2ρv₂² + ρgh₂

donde los subíndices 1 y 2 se refieren a las condiciones iniciales a nivel del suelo y a las condiciones finales dentro de la boquilla, respectivamente. Primero debemos encontrar las velocidades v₁ y v₂. Como Q = A₁v₁, obtenemos

Del mismo modo, encontramos

v₂ = 56.6 m/s

Esta velocidad bastante grande es útil para alcanzar el fuego. Ahora, tomando h₁ como cero, resolvemos la ecuación de Bernoulli para p₂

373

p₂ = p₁ +1/2ρ(v₁² − v₂²) − ρgh₂

Sustituyendo valores conocidos por rendimientos

p² = 1.62 × 106 N/m² +12(1000 kg/m³)[(12.4 m/s)² − (56.6 m/s)²]− (1000 kg/m³)(9.80 m/s²)(10.0 m) = 0

Explicación

Este valor es una presión manométrica, ya que la presión inicial se dio como presión manométrica. Así, la presión de la boquilla es igual a la presión atmosférica, ya que el agua sale a la atmósfera sin cambios en sus condiciones.

4.7 Viscosidad y turbulencia

En las aplicaciones de las Leyes de Newton, se introdujo el concepto de fricción, vimos que un objeto que se deslizaba a través de la con una velocidad inicial y sin que la fuerza aplicada se detenga debido a la fuerza de fricción. La fricción depende de los tipos de en contacto y es proporcional a la fuerza norma También discutimos la resistencia al arrastre y al aire en ese mismo capítulo. Explicamos que a bajas velocidades, la resistencia es proporcional a la velocidad, mientras que a altas velocidades, la resistencia es proporcional a las velocidad al cuadrado. En este apartado se presentan las fuerzas de fricción que actúan sobre los fluidos en movimiento. Por ejemplo, un fluido que fluye a través de un tubo está sujeto a resistencia, un tipo de fricción, entre el fluido y las paredes. La fricción también se produce entre el diferentes capas de fluido. Estas fuerzas resistivas afectan la forma en que el fluido fluye a través de la tubería.

374

Viscosidad y flujo laminar

Cuando te sirves un vaso de jugo, el líquido fluye libre y rápidamente. Pero si usted vierte jarabe de arce en sus panqueques, ese líquido fluye lentamente y se pega a la jarra. La diferencia es la fricción de los fluidos, tanto dentro del propio fluido como entre el fluido y su entorno. A esta propiedad de los fluidos la llamamos viscosidad. El jugo tiene baja viscosidad, mientras que el jarabe tiene alta viscosidad. La definición precisa de la viscosidad se basa en el flujo laminar o no turbulento. La figura 4.34 muestra esquemáticamente cómo el flujo laminar y el turbulento difieren. Cuando el flujo es laminar, las capas fluyen sin mezclarse. Cuando el flujo es turbulento, las capas se mezclan, y velocidades significativas ocurren en direcciones diferentes a la dirección general del flujo.

Figura 4.34. (a) El flujo laminar ocurre en capas sin mezclar. Observe que la viscosidad causa arrastre entre capas, así como con la superficie fija. La velocidad cerca del fondo del flujo ( v_b) es menor que la velocidad cerca de la parte superior ( v_t) porque en este caso, la superficie del recipiente que contiene está en el fondo. b) Una obstrucción en el buque provoca un flujo turbulento. El flujo turbulento mezcla el fluido. Hay más interacción, mayor calentamiento y más resistencia que en el flujo laminar.

375

Turbulencia es un flujo de fluido en el que las capas se mezclan a través de remolinos y remolinos. Tiene dos causas principales. Primero, cualquier obstrucción o esquina aguda, como en un grifo, crea turbulencia al impartir velocidades perpendiculares al flujo. Segundo, las altas velocidades causan turbulencia. El arrastre entre capas adyacentes de fluido y entre el fluido y sus alrededores puede formar remolinos y remolinos si la velocidad es lo suficientemente grande. En la Figura 4.35, la velocidad del humo que se acelera alcanza el punto en que comienza a girar debido a la resistencia entre el humo y el aire circundante.

Figura 4.35. El humo sube suavemente durante un rato y luego comienza a formar remolinos. El flujo suave se llama flujo laminar, mientras que los remolinos se llaman flujo turbulento. El humo se eleva más rápidamente cuando fluye suavemente que cuando se vuelve turbulento, lo que sugiere que la turbulencia plantea más resistencia al flujo. (crédito: "Creativity103"/Flickr)

376

La figura 4.36 muestra cómo se mide la viscosidad de un fluido. El fluido a medir se coloca entre dos placas paralelas. La placa inferior se mantiene fija, mientras que la placa superior se mueve hacia la derecha, arrastrando el fluido con ella. La capa (o lámina) de fluido en contacto con cualquiera de las dos placas no se mueve en relación con la placa, por lo que la capa superior se mueve a la velocidad v mientras que la capa inferior permanece en reposo.

Cada capa sucesiva de arriba hacia abajo ejerce una fuerza sobre la que está debajo, intentando arrastrarla, produciendo una variación continua en la velocidad de v a 0 como se muestra. Se tiene cuidado de asegurar que el flujo sea laminar, es decir, que las capas no se mezclen. El movimiento en la figura es como un movimiento de cizallamiento continuo. Los fluidos tienen cero resistencia al cizallamiento, pero la velocidad a la que se cortan está relacionada con los mismos factores geométricos A y L que la deformación por cizallamiento de los sólidos.

Figura 4.36. Medición de la viscosidad para el flujo laminar de entre dos placas del área A. La placa inferior está fijada. Cuando la placa superior se empuja hacia la derecha, arrastra el fluido con ella.

377

En el diagrama, el fluido está inicialmente en reposo. La capa de fluido en contacto con la placa móvil se acelera y comienza a moverse debido a la fricción interna entre la placa móvil y el fluido. La siguiente capa está en contacto con la capa en movimiento; como hay fricción interna entre las dos capas, también se acelera, y así sucesivamente a través de la profundidad del fluido. También hay fricción interna entre la placa estacionaria y la capa más baja de fluido, junto a la placa de la estación. La fuerza es necesaria para mantener la placa en movimiento a una velocidad constante debido a la fricción interna.

Se requiere una fuerza F para mantener la placa superior en la Figura 4.36 moviéndose a una velocidad constante v, y los experimentos han demostrado que esta fuerza depende de cuatro factores. Primero, F es directamente proporcional a v (hasta que la velocidad es tan alta que ocurre la turbulencia - entonces se necesita una fuerza mucho mayor, y tiene una dependencia más complicada de v). En segundo lugar, F es proporcional a la zona A de la placa. Esta relación parece razonable, ya que A es directamente proporcional a la cantidad de fluido que se mueve. Tercero, F es inversamente proporcional a la distancia entre las placas L. Esta relación también es razonable; L es como un brazo de palanca, y cuanto mayor es el brazo de palanca, menor es la fuerza que se necesita. En cuarto lugar, F es directamente proporcional a la coeficiente de viscosidad, η Cuanto mayor sea la viscosidad, mayor será la fuerza requerida. Estas dependencias se combinan en la ecuación

F = ηvA/L

Esta ecuación nos da una definición práctica de la viscosidad del fluido η . La solución para η ofrece

378

η = FL/vA

(4.17)

que define la viscosidad en términos de cómo se mide.

La unidad de viscosidad SI es Nm/[(m/s)m²] = [ N/m²] o Pa • s

La Tabla 4.4 enumera los coeficientes de viscosidad para varios fluidos. La viscosidad varía de un fluido a otro en varios órdenes de magnitud. Como es de esperar, las viscosidades de son mucho menores que los de los líquidos, y estas viscosidades a menudo dependen de la temperatura.

Posterior a la tabla, podrás practicar con una escena interactiva, diseñada por Andrew Duffy , en la cual puedes usar varios tipos de fluidos y observar cómo cambia la velocidad de una bola cuando cae dentro del fluido. Ten en cuenta que el número entre paréntesis al lado de cada fluido o cada material de la bola es la gravedad específica.

Las viscosidades tienen valores en la simulación en unidades pascales segundos (Pa s), así: Agua: 0.001, Aceite de oliva: 0.08, Glicerina: 1.4, y el fluido "Ninguno" tiene una viscosidad de cero y una densidad de cero. Simplemente no se lo digas a Aristóteles.

379

Tabla 4.4.(a) Coeficientes de viscosidad de varios fluidos

380

Tabla 4.4.(b) Coeficientes de viscosidad de varios fluidos

381

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382

Flujo Laminar Confinado a Tubos: Ley de Poiseuille

¿Qué causa el flujo?. La respuesta, como es lógico, es una diferencia de presión. De hecho, existe una relación muy simple entre el flujo horizontal y la presión. El caudal Q está en la dirección de alta a baja presión. Cuanto mayor sea la diferencia de presión entre dos puntos, mayor será el caudal. Esta relación puede expresarse de la siguiente manera

Q = p₂ − p₁/R

donde p₁ y p₂ son las presiones en dos puntos, como en cada extremo de un tubo, y R es la resistencia al flujo. La resistencia R incluye todo, excepto la presión, que afecta al caudal. Por ejemplo, R es mayor para un tubo largo que para uno corto. Cuanto mayor es la viscosidad de un fluido, mayor es el valor de R. La turbulencia aumenta enormemente R, mientras que el aumento del diámetro de un tubo disminuye R. Si la viscosidad es cero, el fluido no tiene fricción y la resistencia al flujo también es cero. Comparando el flujo sin fricción en un tubo con el flujo viscoso, como en la Figura 4.37, vemos que para un fluido viscoso, la velocidad es mayor en la mitad del flujo debido a la resistencia en el límites. Podemos ver el efecto de la viscosidad en una llama de quemador Bunsen [parte (c)], aunque la viscosidad del gas natural es pequeño.

Esta ecuación se llama la ley de Poiseuille para la resistencia, que debe su nombre al científico francés J. L. Poiseuille (1799-1869), que lo derivó en un intento de entender el flujo de sangre a través del cuerpo. Examinemos la expresión de Poiseuille para R para ver si tiene sentido intuitivo. Vemos que la resistencia es directamente proporcional tanto a la viscosidad del fluido η como a la longitud l de un tubo. Después de todo, ambos afectan directamente la cantidad de fricción mayor es, mayor es la resistencia

383

y menor el caudal.

El radio r de un tubo afecta al resistencia, lo cual tiene sentido, ya que cuanto mayor sea el radio, mayor será el flujo (todos los demás factores quedan igual). Pero es sorprendente que r se eleve a la cuarta potencia en la ley de Poiseuille.

Figura 4.37. (a) Si el flujo de fluido en un tubo tiene una resistencia insignificante, la velocidad es la misma en todo el tubo. (b) Cuando un fluido viscoso fluye a través de un tubo, su velocidad en las paredes es cero, aumentando constantemente hasta su máximo en el centro del tubo. (c) La forma de la llama de un quemador Bunsen se debe al perfil de velocidad a través del tubo. (crédito c: modificación de la obra por Jason Woodhead)

384

La resistencia R al flujo laminar de un fluido incompresible con viscosidad η a través de un tubo horizontal de radio uniforme r y la longitud l, está dada por

R = 8ηl/πr⁴

(4.18)

Este exponente significa que cualquier cambio en el radio de un tubo tiene un efecto muy grande en la resistencia. Por ejemplo, doblar el radio de un tubo disminuye la resistencia de la siguiente manera un factor de 2⁴ = 16.

Tomados en conjunto nos queda,

Q = p₂ − p₁/R y R = 8ηl/π r⁴

dando asi la siguiente expresión para el caudal:

Q = (p₂ − p₁)π r⁴/8ηl

(4.19)

Esta ecuación describe el flujo laminar a través de un tubo. A veces se le llama la ley de Poiseuille para el flujo laminar, o simplemente la ley de Poiseuille (Figura 4.38).

385

Figura 4.38. La ley de Poiseuille se aplica al flujo laminar de un fluido incompresible de viscosidad η a través de un tubo de longitud l y radio r. La dirección del flujo es de mayor a menor presión. El caudal Q es directamente proporcional a la diferencia de presión p₂ − p₁, e inversamente proporcional a la longitud l del tubo y a la viscosidad η del fluido. El caudal aumenta con el radio por un factor de r⁴.

Ejemplo 4.18

Uso de la tasa de flujo: Sistemas de Aire Acondicionado

Se está diseñando un sistema de aire acondicionado para suministrar aire a una presión manométrica de 0,054 Pa a una temperatura de 20°C. El aire es enviado a través de un conducto redondo y aislado con un diámetro de 18,00 cm. El conducto tiene una longitud de 20 metros y está abierto en una habitación a una presión atmosférica de 101,30 kPa. La habitación tiene una longitud de 12 metros, un ancho de 6 metros y una altura de 3 metros. (a) ¿Cuál es la tasa de flujo volumétrico a través de la tubería, suponiendo flujo laminar? (b) Calcule el tiempo necesario para reemplazar completamente el aire de la habitación. (c) Los constructores deciden ahorrar dinero utilizando un conducto con un diámetro de 9,00 cm. ¿Cuál es el nuevo caudal?

386

Estrategia

Asumiendo el flujo laminar, la ley de Poiseuille establece que

Q = (p₂ − p₁)π r⁴/8ηl = dV/dt

Necesitamos comparar el radio de la arteria antes y después de la reducción del caudal. Nótese que se nos da el diámetro del conducto, por lo que debemos dividirlo por dos para obtener el radio.

Solución

a. Suponiendo una diferencia de presión constante y utilizando la viscosidad η = 0.0181 mPa ⋅ s,

Q = (0.054 Pa)(3.14)(0.09 m)⁴ /8(0.0181× 10^-3Pa⋅s(20 m) = 3.84 ×10^-3m³/s

b. Asumiendo flujo constante

Q = dV/dt ≈ ∆V/ ∆t → ∆t = ∆V/ Q

= (12 m)(6 m)(3 m)/3.84 × 10^-3m³/s

387

∆t = 5.63 × 10⁴s = 15.63 hr

c. Usando el flujo laminar, la ley de Poiseuille produce

Q = (0.054 Pa)(3.14)(0.045 m)⁴ /8(0.0181× 10^-3Pa⋅s(20 m) = 2.40 ×10^-4m³/s

De este modo, el radio del conducto disminuye a la mitad, lo que reduce el caudal al 6,25% del valor original.

Explicación

En general, asumiendo el flujo laminar, disminuir el radio tiene un efecto más dramático que cambiar la longitud. Si la longitud aumenta y todas las demás variables permanecen constantes, el caudal disminuye:

Q_A/Q_B = l_B/l_A

Donde

l_A = (p₂ − p₁)π r⁴/8ηl_A

l_B = (p₂ − p₁)π r⁴/8ηl_B

388

Q_B = l_A/l_BQ_A→ Q_A/Q_B = (r_A/r_B)⁴ → Q_B = (r_B/r_A)⁴Q_A

Al cortar el radio a la mitad se reduce el caudal a una dieciséisava parte del caudal original.

Flujo y resistencia como causas de las caídas de presión

La presión del agua en los hogares es a veces más baja de lo normal durante las épocas de uso intenso, como los días calurosos de verano. La caída de presión ocurre en la tubería principal de agua antes de que llegue a los hogares individuales. Consideremos el flujo a través de la tubería principal de agua como se ilustra en la Figura 4.39. Podemos entender por qué la presión p₁ a la casa disminuye durante los momentos de uso intensivo, reorganizando la ecuación para la tasa de flujo:

Q = p₂ − p₁/R

p₂ − p₁ = RQ

En este caso, p₂es la presión en las obras hidráulicas y R es la resistencia de la tubería principal de agua. En tiempos de uso intensivo, el caudal Q es grande. Esto significa que p₂ − p₁ también debe ser grande. Por lo tanto, p1 debe disminuir. Es correcto pensar que el flujo y la resistencia causan una caída de presión de p₂ a p₁.
La ecuación p₂ − p₁ = RQ es válido tanto para el laminar como para el flujos turbulentos.

389

Figura 4.39. En épocas de uso intensivo, hay una caída de presión significativa en una tubería principal de agua, y la p₁ suministrada a los usuarios es significativamente menor que la p₂ creada en las obras hidráulicas. Si el caudal es muy pequeño, la caída de presión es insignificante, y p₂ ≈ p₁

También podemos utilizar p₂ − p₁ = RQ para analizar las caídas de presión que se producen en sistemas más complejos en los que el radio del tubo no es el mismo en todas partes. La resistencia es mucho mayor en lugares estrechos. Para caudal Q dado , la caída de presión es mayor donde el tubo es más estrecho. Así es como los grifos de agua controlan el flujo. Además, R se incrementa enormemente por la turbulencia, y una constricción que crea turbulencia reduce enormemente la presión río abajo. La placa en una arteria reduce la presión y, por lo tanto, el flujo, tanto por su resistencia como por la turbulencia que crea.

390

Medición de la turbulencia

Un indicador llamado el número de Reynolds N_R puede revelar si el flujo es laminar o turbulento. Para el flujo en un tubo de diámetro uniforme, el número de Reynolds se define como

N_R = 2ρvr/η (flujo en la tubería)

donde ρ es la densidad del fluido, v su velocidad, η su viscosidad, y r el radio del tubo. El número de Reynolds es un número sin dimensión . Los experimentos han revelado que la N_R está relacionada con el inicio de la turbulencia. Para N_R por debajo de aproximadamente 2000, el flujo es laminar. Para N_R por encima de 3000, el flujo es turbulento.

Para valores de N_R entre 2000 y 3000, el flujo es inestable, es decir, puede ser laminar, pero pequeñas obstrucciones y la rugosidad de la superficie puede hacerla turbulenta, y puede oscilar al azar entre laminar y turbulenta. De hecho, el de un fluido con un número de Reynolds entre 2000 y 3000 es un buen ejemplo de comportamiento caótico. Se define un sistema caótico cuando su comportamiento es tan sensible a algún factor que es extremadamente difícil de predecir. Es difícil, pero no lo es imposible, predecir si el flujo es turbulento o no cuando el número de Reynold de un fluido cae dentro de este rango debido a que extremadamente dependencia sensible de factores como la rugosidad y las obstrucciones de la naturaleza del flujo. Una pequeña variación en un factor tiene un efecto exagerado (o no lineal) sobre el flujo.

391

Ejemplo 4.9

Uso de la tasa de flujo: Flujo turbulento o flujo laminar

En el ejemplo 4.8, encontramos que el caudal volumétrico de un sistema de aire acondicionado es Q = 3,84 × 10^-3 m³/s. Este cálculo asumió el flujo laminar. (a) ¿Fue una buena suposición? (b) ¿A qué velocidad se produciría el flujo? se vuelven turbulentos?

Estrategia

Para determinar si el flujo de aire a través del sistema de aire acondicionado es laminar, primero necesitamos encontrar la velocidad, que se puede encontrar por

Q = Av = π r²v

Entonces podemos calcular el número de Reynold, usando la ecuación de abajo, y determinar si cae en el rango para flujo laminar

N_R = 2ρvr/η

Solución

a. Usando los valores dados:

392

N_R = 2ρvr/η

Dado que el número de Reynolds es 1835 2000, el flujo es laminar y no turbulento. La suposición de que el flujo era laminar es válida.

b. Para encontrar la velocidad máxima del aire y para mantener el flujo laminar, considere el número de Reynold

N_R = 2ρvr/η ≤ 2000

Explicación

Cuando se transfiere un fluido de un punto a otro, es deseable limitar la turbulencia. La turbulencia resulta un desperdicio de energía, ya que parte de la energía destinada a

393

mover el fluido se disipa cuando se forman remolinos. En este caso, el aire. El sistema de acondicionado será menos eficiente una vez que la velocidad supere los 0,16 m/s, ya que este es el punto en el que la turbulencia comenzará a ocurrir.

Otra aplicación del principio de Bernoulli se muestra en la siguiente escena interactiva, tomada de las simulaciones de Boston University:

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394

4.8 Preguntas y respuestas - Capítulo IV

Respuestas

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396

Capítulo v

Oscilaciones

INTRODUCCIÓN

Figura 5.1 (a) El edificio Comcast en Filadelfia, Pensilvania, que se alza sobre el horizonte, tiene aproximadamente 305 metros (1000 pies) de altura. A esta altura, los pisos superiores pueden oscilar hacia adelante y hacia atrás debido a la actividad sísmica y los vientos fluctuantes. (b) Arriba se muestra un dibujo esquemático de un amortiguador de masa de columna de líquido sintonizado, instalado en la parte superior del Comcast, que consiste en un depósito de agua de 300,000 galones para reducir las oscilaciones.

Comenzamos el estudio de las oscilaciones con sistemas simples de péndulos y resortes. Aunque estos sistemas pueden parecer bastante básicos, los conceptos involucrados tienen muchas aplicaciones de la vida real. Por ejemplo, el edificio Comcast en Filadelfia, Pensilvania, tiene una altura de aproximadamente 305 metros (1000 pies).

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A medida que los edificios se construyen más altos, pueden actuar como péndulos físicos invertidos, con los pisos superiores oscilantes debido a la actividad sísmica y los vientos fluctuantes. En el edificio Comcast, se utiliza un amortiguador de masa sintonizada para reducir las oscilaciones. Instalado en la parte superior del edificio hay un amortiguador de masa de columna de líquido sintonizado, que consiste en un depósito de agua de 300,000 galones. Este tanque en forma de U permite que el agua oscile libremente a una frecuencia que coincida con la frecuencia natural del edificio. La amortiguación se proporciona ajustando los niveles de turbulencia en el agua en movimiento usando baffles o deflectores.

5.1 Movimiento armónico simple

Cuando se toca una cuerda de guitarra, el sonido resultante tiene un tono estable y dura mucho tiempo ( Figura 5.2). La cuerda vibra alrededor de una posición de equilibrio, y una oscilación se completa cuando la cuerda comienza desde la posición inicial, viaja a una de las posiciones extremas, luego a la otra posición extrema, y regresa a su posición inicial. Definimos el movimiento periódico como cualquier movimiento que se repita a intervalos regulares de tiempo, como lo muestra la cuerda de la guitarra o cuando un niño se balancea en un columpio. En esta sección, estudiamos las características básicas de las oscilaciones y su descripción matemática.

Periodo y frecuencia en las oscilaciones

En ausencia de fricción, el tiempo para completar una oscilación permanece constante y se denomina período (T). Sus unidades suelen ser segundos, pero pueden ser cualquier unidad de tiempo conveniente. La palabra "período" se refiere al tiempo para algún evento, ya sea repetitivo o no, pero en este capítulo trataremos principalmente en movimientos periódicos, lo que es por definición repetitivo.

400

Figura 5.2 Cuando se toca una cuerda de guitarra, la cuerda oscila hacia arriba y hacia abajo en movimiento periódico. La cuerda vibrante hace que las moléculas de aire circundantes oscilen, produciendo ondas de sonido (Crédito: Yutaka Tsutano).

Un concepto estrechamente relacionado con el período es la frecuencia de un evento. La frecuencia (f) se define como el número de eventos por unidad de tiempo. Para movimientos periódicos, la frecuencia es el número de oscilaciones por unidad de tiempo. La relación entre frecuencia y período es

f = 1/T

(5.1)

La unidad del SI para la frecuencia es el hercio (Hz) y se define como un ciclo por segundo:

401

1 Hz = ciclo/seg o 1 Hz = 1/seg = 1 s⁻¹

Un ciclo es una oscilación completa.

Ejemplo 5.1

Determinación de la frecuencia de un ultrasonido

Los profesionales de la medicina utilizan las máquinas de ultrasonido para hacer imágenes y examinar los órganos internos del cuerpo. Una máquina de ultrasonido emite ondas sonoras de alta frecuencia, que se reflejan en los órganos, y una computadora recibe las ondas, usándolas para crear una imagen. Podemos usar las fórmulas presentadas en este módulo para determinar la frecuencia, según lo que sabemos acerca de las oscilaciones. Considera un dispositivo de imágenes médicas que produce ultrasonido al oscilar con un período de 0.400 μs. ¿Cuál es la frecuencia de esta oscilación?

Estrategia

Se da el período (T) y se nos pide que encontremos la frecuencia (f).

Solución

Sustituye 0.400 μs por T en f = 1/T → f = 1/0.400 × 10^-6 s

encontramos que

402

f = 2,50 × 10^-6 Hz.

Explicación

Esta frecuencia de sonido es mucho más alta que la frecuencia más alta que los humanos pueden escuchar (el rango de audición humana es de 20 Hz a 20,000 Hz); Por eso, se llama ultrasonido. Las oscilaciones apropiadas a esta frecuencia generan un ultrasonido utilizado para diagnósticos médicos no invasivos, como las observaciones de un feto en el útero.

Características del movimiento armónico simple

Un tipo muy común de movimiento periódico se llama movimiento armónico simple (MAS). Un sistema que oscila con MAS se llama un oscilador armónico simple.

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

En el movimiento armónico simple, la aceleración del sistema, y por lo tanto la fuerza neta, es proporcional al desplazamiento y actúa en la dirección opuesta al desplazamiento.

Un buen ejemplo de MAS es un objeto con masa m unida a un resorte en una superficie sin fricción, como se muestra en la Figura 5.3. El objeto oscila alrededor de la posición de equilibrio, y la fuerza neta sobre el objeto es igual a la fuerza proporcionada por el resorte. Esta fuerza obedece a la ley de Hooke F_s = −kx, como se discutió anteriormente.

403

Figura 5.3 Un objeto unido a un resorte que se desliza sobre una superficie sin fricción es un oscilador armónico simple sin complicaciones. En el conjunto de figuras anterior, se une una masa a un resorte y se coloca sobre una mesa sin fricción. El otro extremo del resorte está unido a la pared. La posición de la masa, cuando el resorte no está estirado ni comprimido, se marca como x = 0 y es la posición de equilibrio. (a) La masa se desplaza a una posición x = A y se libera del reposo. (b) La masa acelera a medida que se mueve en la dirección x negativa, alcanzando una velocidad negativa máxima en x = 0. (c) La masa continúa moviéndose en la dirección x negativa, disminuyendo hasta que se detiene en x = −A. (d) La masa ahora comienza a acelerar en la dirección x positiva, alcanzando una velocidad máxima positiva en x = 0. (e) La masa continúa moviéndose en la dirección positiva hasta que se detiene en x = A. La masa continúa en MAS que tiene una amplitud A y un período T. La velocidad máxima del objeto se produce cuando pasa por el equilibrio. Cuanto más rígido es el resorte, menor es el período T. Cuanto mayor es la masa del objeto, mayor es el período T.

404

Si la ley de Hooke puede describir la fuerza neta y no hay amortiguación (desaceleración debido a la fricción u otras fuerzas no conservadoras), entonces un oscilador armónico simple oscila con igual desplazamiento en ambos lados de la posición de equilibrio, como se muestra para un objeto en un resorte en la Figura 5.3. El desplazamiento máximo desde el equilibrio se llama amplitud (A). Las unidades de amplitud y desplazamiento son las mismas pero dependen del tipo de oscilación. Para el objeto en el resorte, las unidades de amplitud y desplazamiento son metros.

En la siguiente escena interactiva, diseñada por Wolfgang Christian y Francisco Esquembre, muestra la dinámica de una bola unida a un resorte ideal.

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405

El resorte se estira inicialmente y la bola tiene una velocidad inicial cero. La posición inicial de la bola se puede cambiar haciendo clic y arrastrando la bola cuando la simulación está en pausa.

¿Qué tiene de importante el MAS? Por un lado, el período T y la frecuencia f de un oscilador armónico simple son independientes de la amplitud. La cuerda de una guitarra, por ejemplo, oscila con la misma frecuencia si se toca con suavidad o con fuerza.

Dos factores importantes afectan el período de un oscilador armónico simple. El período está relacionado con la rigidez del sistema. Un objeto muy rígido tiene una gran fuerza constante (k), lo que hace que el sistema tenga un período más pequeño. Por ejemplo, puedes ajustar la rigidez de un trampolín: cuanto más rígido es, más vibra y más corto es su período. El período también depende de la masa del sistema oscilante. Cuanto más masivo es el sistema, más largo es el período. Por ejemplo, una persona pesada en un trampolín salta y baja más lentamente que una ligera. De hecho, la masa m y la constante de fuerza k son los únicos factores que afectan el período y la frecuencia de un MAS. Para derivar una ecuación para el período y la frecuencia, primero debemos definir y analizar las ecuaciones de movimiento. Ten en cuenta que la constante de fuerza a veces se denomina constante del resorte.

Ecuaciones del MAS

Considera un bloque unido a un resorte en una mesa sin fricción ( Figura 5.4). La posición de equilibrio (la posición donde el resorte no está estirado ni comprimido) se marca como x = 0. En la posición de equilibrio, la fuerza neta es cero.

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Figura 5.4. Un bloque se une a un resorte y se coloca en una mesa sin fricción. La posición de equilibrio, donde el resorte no está extendido ni comprimido, se marca como x = 0.

El trabajo se realiza en el bloque para sacarlo a una posición de x = + A, y luego se libera del reposo. La posición x máxima (A) se denomina amplitud del movimiento. El bloque comienza a oscilar en un MAS entre x = + A y x = −A, donde A es la amplitud del movimiento y T es el período de la oscilación. El período es el tiempo para una oscilación. La figura 5.5 muestra el movimiento del bloque a medida que completa una oscilación y media después del lanzamiento. La Figura 5.4 muestra una gráfica de la posición del bloque en función del tiempo. Cuando se grafica la posición en función del tiempo, está claro que los datos se pueden modelar mediante una función coseno con una amplitud A y un período T. La función coseno cosθ se repite cada múltiplo de 2π, mientras que el movimiento del bloque se repite cada período T. Sin embargo, la función cos (2πTt) repite todos los múltiplos enteros del período. El máximo de la función coseno es uno, por lo que es necesario multiplicar la función coseno por la amplitud A.

x(t) = Acos(2π/Tt) = Acos(ωt)

(5.2)

Recuerda que la frecuencia angular es igual a ω = dθ/dt. En este caso, el período es

407

constante, por lo que la frecuencia angular se define como 2π dividida por el período, ω = 2π/T.

Figura 5.5. Un bloque se une a un extremo de un resorte y se coloca en una mesa sin fricción. El otro extremo del resorte está anclado a la pared. La posición de equilibrio, donde la fuerza neta es igual a cero, se marca como x = 0 m. El trabajo se realiza en el bloque, sacándolo a x = + A, y el bloque se libera del reposo. El bloque oscila entre x = + A y x = −A. La fuerza también se muestra como un vector.

408

Figura 5.6. Un gráfico de la posición del bloque que se muestra en la figura 5.5 en función del tiempo. La posición se puede modelar como una función periódica, como una función coseno o senoidal.

La ecuación para la posición en función del tiempo x(t) = Acos(ωt) es buena para modelar datos, donde la posición del bloque en el tiempo inicial t = 0.00 s está en la amplitud A y la velocidad inicial es cero. A menudo, cuando se toman datos experimentales, la posición de la masa en el tiempo inicial t = 0.00 s no es igual a la amplitud y la velocidad inicial no es cero. Considera 10 segundos de datos recolectados por un estudiante en el laboratorio, como se muestra en la Figura 5.7

Los datos de la Figura 5.7 aún pueden modelarse con una función periódica, como una función de coseno, pero la función se desplaza hacia la derecha. Este cambio se conoce como cambio de fase y generalmente se representa con la letra griega phi (φ). La ecuación de la posición en función del tiempo para un bloque en un resorte se convierte en

x(t) = Acos (ωt + φ).

409

Figura 5.7. Los datos recopilados por un estudiante en el laboratorio indican la posición de un bloque unido a un resorte, medido con un buscador de rango sónico. Los datos se recopilan comenzando en el tiempo t = 0.00s, pero la posición inicial está cerca de la posición x ≈ − 0.80 cm ≠ 3.00 cm, por lo que la posición inicial no es igual a la amplitud x₀ = +A. La velocidad es la derivada del tiempo de la posición, que es la pendiente en un punto en el gráfico de la posición en función del tiempo. La velocidad no es v = 0,00 m/s en el tiempo t = 0,00 s, como lo demuestra la pendiente de la gráfica de posición en función del tiempo, que no es cero en el momento inicial.

Esta es la ecuación generalizada para el MAS donde t es el tiempo medido en segundos, ω es la frecuencia angular con unidades de segundos inversos, A es la amplitud medida en metros o centímetros y φ es el cambio de fase medido en radianes (Figura 5.8). Se debe tener en cuenta que debido a que las funciones seno y coseno solo se diferencian por un cambio de fase, este movimiento podría modelarse utilizando la función coseno o seno.

La velocidad de la masa en un resorte, que oscila en un MAS, se puede encontrar tomando la derivada de la ecuación de posición:

v(t) = dx/dt = d/dt(Acos(ωt + φ)) = −Aωsen(ωt + φ) = −v_maxsen(ωt + φ).

410

Figura 5.8. (a) Una función coseno. (b) Una función de coseno desplazada hacia la derecha en un ángulo. El ángulo φ se conoce como el cambio de fase de la función.

Debido a que la función sinusoidal oscila entre –1 y +1, la velocidad máxima es la amplitud por la frecuencia angular, v_max = Aω. La velocidad máxima se produce en la posición de equilibrio (x = 0) cuando la masa se está moviendo hacia x = +A. La velocidad máxima en la dirección negativa se alcanza en la posición de equilibrio (x = 0) cuando la masa se está moviendo hacia x = −A y es igual a −v_max.

La aceleración de la masa en el resorte se puede encontrar tomando la derivada con respecto al tiempo de la velocidad:

a(t) = dv/dt = d/dt(-Aωsen(ωt + φ)) = −Aω²cos(ωt + φ) = −a_maxcos(ωt + φ).

La aceleración máxima es a_max = Aω². La aceleración máxima ocurre en la posición (x = −A), y la aceleración en la posición (x = −A) es igual a −a_max.

411

Resumen de ecuaciones de movimiento para el MAS

En resumen, el movimiento oscilatorio de un bloque en un resorte se puede modelar con las siguientes ecuaciones de movimiento:

x(t) = Acos(ωt + φ)

v(t) = −v_maxsen(ωt + φ)

a(t) = −a_maxcos(ωt + φ)

x_max = A

v_max = Aω

a_max = Aω².

Aquí, A es la amplitud del movimiento, T es el período, φ es el desplazamiento de fase y ω = 2πT = 2πf es la frecuencia angular del movimiento del bloque.

(5.3)

(5.4)

(5.5)

(5.6)

(5.7)

(5.8)

Ejemplo 5.2

Determinación de las ecuaciones de movimiento para un bloque y un resorte

Se coloca un bloque de 2.00 kg en una superficie sin fricción. Un resorte con una constante de fuerza k = 32.00 N/m está unido al bloque, y el extremo opuesto del

412

resorte está unido a la pared. El resorte puede ser comprimido o extendido. La posición de equilibrio está marcada como x = 0.00 m. El trabajo se realiza en el bloque, sacándolo a x = + 0.02 m. El bloque se libera del reposo y oscila entre x = +0.02 m y x = −0.02 m. El periodo del movimiento es de 1.57 s. Determinar las ecuaciones de movimiento.

Estrategia

Primero encontramos la frecuencia angular. El cambio de fase es cero, φ = 0.00 rad, porque el bloque se libera del reposo en x = A = +0.02 m. Una vez que se encuentra la frecuencia angular, podemos determinar la velocidad máxima y la aceleración máxima.

Solución

La frecuencia angular se puede encontrar y utilizar para encontrar la velocidad máxima y la aceleración máxima:

ω = 2π/1.57 = 4.00 s^{− 1};
v_max = Aω = 0.02 m(4.00 s^{− 1}) = 0.0 8m/s;
a_max = Aω² = 0.0 2m (4.00 s^{− 1})² = 0.32 m/s².

Todo lo que queda es completar las ecuaciones de movimiento:

x(t) = Acos (ωt + φ) = (0.02 m)cos (4.00 s^{− 1}t);
v(t) = -v_maxsen(ωt + φ) = (-0.08 m/s)sen (4.00 s⁻¹t);
a(t) = -a_maxcos(ωt + φ) = (-0.32 m/s²)cos(4.00 s⁻¹t).

413

Explicación

La posición, la velocidad y la aceleración se pueden encontrar en cualquier momento. Es importante recordar que al usar estas ecuaciones, tu calculadora debe estar en modo radianes.

El período y la frecuencia de una masa en un resorte

Una característica interesante del MAS de un objeto unido a un resorte es que la frecuencia angular, y por lo tanto el período y la frecuencia del movimiento, dependen solo de la masa y la constante de fuerza, y no de otros factores como la amplitud del movimiento. Podemos usar las ecuaciones de movimiento y la segunda ley de Newton (F→_net = ma→) para encontrar las ecuaciones para la frecuencia angular, la frecuencia y el período.

Considera el bloque en un resorte en una superficie sin fricción. Hay tres fuerzas en la masa: el peso, la fuerza normal y la fuerza debida al resorte. Las dos únicas fuerzas que actúan perpendiculares a la superficie son el peso y la fuerza normal, que tienen magnitudes iguales y direcciones opuestas, y por lo tanto suman cero. La única fuerza que actúa paralela a la superficie es la fuerza debida al resorte, por lo que la fuerza neta debe ser igual a la fuerza del resorte:

F_x = -kx

ma = -kx

md²x/dt² = -kx

414

d²x/dt² = -k/mx

Sustituyendo las ecuaciones de movimiento por x y a, nos da

−Aω²cos(ωt + φ) = -k/mAcos(ωt + φ).

Cancelando términos semejantes y resolviendo para la frecuencia angular

(5.9)

La frecuencia angular depende solo de la constante de fuerza y la masa, y no de la amplitud. La frecuencia angular se define como ω = 2π/T, que produce una ecuación para el período del movimiento:

(5.10)

El período también depende solo de la masa y la constante de fuerza. Cuanto mayor es la masa, más largo es el período. Cuanto más rígido es el resorte, más corto es el período. La frecuencia es

415

(5.11)

Movimiento vertical y un resorte horizontal

Cuando un resorte se cuelga verticalmente y un bloque se une y se pone en movimiento, el bloque oscila en MAS. En este caso, no hay una fuerza normal, y el efecto neto de la fuerza de la gravedad es cambiar la posición de equilibrio. Considera la Figura 5.9. Dos fuerzas actúan sobre el bloque: el peso y la fuerza del resorte. El peso es constante y la fuerza del resorte cambia a medida que cambia la longitud del resorte.

Cuando el bloque alcanza la posición de equilibrio, como se ve en la Figura 5.9, la fuerza del resorte es igual al peso del bloque, F_net = F_s − mg = 0, donde

−k(−Δy) = mg.

De la figura, el cambio en la posición es Δy = y₀ − y₁ y como −k(−Δy) = mg, tenemos

k(y₀ − y₁) − mg = 0.

Si el bloque se desplaza y se libera, oscilará alrededor de la nueva posición de equilibrio. Como se muestra en la Figura 5.10a y Figura 5.10b, si la posición del bloque se registra como una función del tiempo, el movimiento es una función periódica.

416

Si el bloque se desplaza a una posición y, la fuerza neta se convierte en F_net = k(y − y₀) − mg = 0. Pero encontramos que en la posición de equilibrio, mg = kΔy = ky₀ − ky₁. Sustituyendo el peso en los campos de la ecuación.

F_net = ky − ky₀ −(ky₀ − ky₁) = −k(y − y₁)

Figura 5.9. Un resorte se cuelga del techo. Cuando se une un bloque, el bloque está en la posición de equilibrio donde el peso del bloque es igual a la fuerza del resorte. (a) El resorte se cuelga del techo y la posición de equilibrio se marca como y₀. (b) Se une una masa al resorte y se alcanza una nueva posición de equilibrio (y₁ = y₀ − Δy) cuando la fuerza proporcionada por el resorte es igual al peso de la masa. (c) El diagrama de cuerpo libre de la masa muestra las dos fuerzas que actúan sobre la masa: el peso y la fuerza del resorte.

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Figura 5.10a. Gráficos de y(t), v(t) y a(t) contra t para el movimiento de un objeto en un resorte vertical. La fuerza neta sobre el objeto puede ser descrita por la ley de Hooke, por lo que el objeto sufre un MAS. Ten en cuenta que la posición inicial tiene el desplazamiento vertical en su valor máximo A; v es inicialmente cero y luego negativo cuando el objeto se mueve hacia abajo; la aceleración inicial es negativa, regresa a la posición de equilibrio y se convierte en cero en ese punto.

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Recuerda que y₁ es solo la posición de equilibrio y que cualquier posición se puede configurar para que sea el punto y = 0.00 m. Así que vamos a configurar y₁ a y = 0.00 m. La fuerza neta se convierte entonces en

F_net = -ky

md²y/dt² = -ky

Esto es justo lo que encontramos anteriormente para una masa deslizante horizontal en un resorte. La fuerza de gravedad constante solo sirvió para cambiar la ubicación de equilibrio de la masa. Por lo tanto, la solución debe ser de la misma forma que para un bloque en un resorte horizontal, y(t) = Acos(ωt + φ). Las ecuaciones para la velocidad y la aceleración también tienen la misma forma que para el caso horizontal. Ten en cuenta que la inclusión del cambio de fase significa que el movimiento puede modelarse usando una función de coseno o seno, ya que estas dos funciones solo difieren en un cambio de fase.

Para terminar este apartado, presentamos un discurso interactivo de DescartesJS³, en el cual puedes practicar con la determinación de la frecuencia en funciones seno y coseno, a través de un resorte animado.

419

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420

5.2 Energía en un movimiento armónico simple

La energía y el oscilador armónico simple

Para estudiar la energía de un oscilador armónico simple, debemos considerar todas las formas de energía. Considera el ejemplo de un bloque unido a un resorte, colocado sobre una superficie sin fricción, que oscila en el MAS. La energía potencial almacenada en la deformación del resorte es

U = 1/2kx²

En un oscilador armónico simple, la energía oscila entre la energía cinética de la masa K = 1/2mv² y la energía potencial U = 1/2kx² almacenada en el resorte. En el MAS del sistema de masa y resorte, no hay fuerzas disipativas, por lo que la energía total es la suma de la energía potencial y la energía cinética. En esta sección, consideramos la conservación de la energía del sistema. Los conceptos examinados son válidos para todos los osciladores armónicos simples, incluidos aquellos en los que la fuerza gravitatoria desempeña un papel.

Considera la Figura 5.11, que muestra un bloque oscilante unido a un resorte. En el caso del MAS no amortiguado, la energía oscila de un lado a otro entre la cinética y el potencial, yendo completamente de una forma de energía a otra a medida que el sistema oscila. Entonces, para el ejemplo simple de un objeto en una superficie sin fricción unida a un resorte, el movimiento comienza con toda la energía almacenada en el resorte como energía potencial elástica. Cuando el objeto comienza a moverse, la

421

energía potencial elástica se convierte en energía cinética, convirtiéndose en energía completamente cinética en la posición de equilibrio. La energía se convierte de nuevo en energía potencial elástica por el resorte cuando se estira o se comprime. La velocidad se vuelve cero cuando la energía cinética se convierte completamente, y este ciclo se repite. Comprender la conservación de la energía en estos ciclos proporcionará una visión adicional aquí y en aplicaciones posteriores de MAS, como los circuitos alternos.

Considera la Figura 5.11, que muestra la energía en puntos específicos del movimiento periódico. Mientras se mantiene constante, la energía oscila entre la energía cinética del bloque y la energía potencial almacenada en el resorte:

E_Total = U + K = 1/2kx² + 1/2mv².

El movimiento del bloque en un resorte en el MAS se define por la posición x(t) = Acos (ωt + φ) con una velocidad de v(t) = -Aωsen(ωt + φ). Usando estas ecuaciones, la identidad trigonométrica cos²θ + sen²θ = 1 y ω = √k/m/, podemos encontrar la energía total del sistema:

422

Figura 5.11. La transformación de energía en el MAS para un objeto unido a un resorte en una superficie sin fricción. (a) Cuando la masa está en la posición x = +A, toda la energía se almacena como energía potencial en el resorte U = (1/2)kA². La energía cinética es igual a cero porque la velocidad de la masa es cero. (b) A medida que la masa se mueve hacia x = −A, la masa cruza la posición x = 0. En este punto, el resorte no está extendido ni comprimido, por lo que la energía potencial almacenada en el resorte es cero. En x = 0, la energía total es toda la energía cinética donde K = (1/2)m(−v_max)². (c) La masa continúa moviéndose hasta que alcanza x = −A donde la masa se detiene y comienza a moverse hacia x = +A. En la posición x = −A, la energía total se almacena como energía potencial en la U = (1/2)k(−A)² comprimida y la energía cinética es cero. (d) Cuando la masa pasa por la posición x = 0, la energía cinética es K = (1/2)mv_max² y la energía potencial almacenada en el resorte es cero. (e) La masa vuelve a la posición x = +A, donde K = 0 y U =(1/2)kA².

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La energía total del sistema de un bloque y un resorte es igual a la suma de la energía potencial almacenada en el resorte más la energía cinética del bloque y es proporcional al cuadrado de la amplitud E_Total = (1/2)kA². La energía total del sistema es constante.

Una mirada más cercana a la energía del sistema muestra que la energía cinética oscila como una función seno-cuadrada, mientras que la energía potencial oscila como una función coseno-cuadrado. Sin embargo, la energía total para el sistema es constante y es proporcional a la amplitud al cuadrado.

Figura 5.12. Gráfico de la energía cinética, energía potencial y energía total de un bloque que oscila en un resorte en MAS. También se muestran las gráficas de posición frente al tiempo y velocidad frente al tiempo. La energía total permanece constante, pero la energía oscila entre la energía cinética y la energía potencial. Cuando la energía cinética es máxima, la energía potencial es cero. Esto ocurre cuando la velocidad es máxima y la masa está en la posición de equilibrio. La energía potencial es máxima cuando la velocidad es cero. La energía total es la suma de la energía cinética más la energía potencial y es constante.

424

La Figura 5.12 muestra una gráfica de las energías potencial, cinética y total del sistema de bloque y resorte en función del tiempo. También se grafican la posición y la velocidad en función del tiempo. Antes del tiempo t = 0.0 s, el bloque se une al resorte y se coloca en la posición de equilibrio. El trabajo se realiza en el bloque aplicando una fuerza externa, sacándolo a una posición de x = +A. El sistema ahora tiene energía potencial almacenada en el resorte. En el momento t = 0.00 s, la posición del bloque es igual a la amplitud, la energía potencial almacenada en el resorte es igual a U = 1/2kA², y la fuerza en el bloque es máxima y apunta en la dirección x negativa (F_S = −kA). La velocidad y la energía cinética del bloque son cero en el tiempo t = 0.00 s. En el momento t = 0.00 s, el bloque se libera del reposo.

En la siguiente escena interactiva, diseñada por Francisco Esquembre y Loo Kang, muestra el movimiento armónico simple configurado como un sistema de masa de resorte horizontal donde el movimiento oscilatorio se encuentra bajo una fuerza de retardo proporcional a la cantidad de desplazamiento desde una posición de equilibrio. El inyteractivo permite observar el modelo, la gráfica de energías u otras variables o ambas.

Para simplificar, se asume que la reacción de los resortes a un desplazamiento dx desde el punto de equilibrio sigue la Ley de Hooke, F(dx) = -kdx, donde k es una constante que depende de las características físicas del resorte.

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426

Oscilaciones sobre una posición de equilibrio

Acabamos de considerar la energía del MAS como una función del tiempo. Otra vista interesante del oscilador armónico simple es considerar la energía como una función de

la posición. La figura 5.13 muestra un gráfico de la energía en función de la posición de un sistema que experimenta MAS.

Figura 5.13. Un gráfico de energía cinética (rojo), energía potencial (azul) y energía total (verde) de un oscilador armónico simple. La fuerza es igual a F = −dU/dx. La posición de equilibrio se muestra como un punto negro y es el punto donde la fuerza es igual a cero. La fuerza es positiva cuando x<0, negativa cuando x>0, e igual a cero cuando x = 0.

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La curva de energía potencial en la figura 5.13 se asemeja a un cuenco. Cuando una canica se coloca en un tazón, se asienta en la posición de equilibrio en el punto más bajo del tazón (x = 0). Esto sucede porque una fuerza de restauración apunta hacia el punto de equilibrio. Este punto de equilibrio se refiere a veces como un punto fijo. Cuando la canica se desplaza a una posición diferente (x = +A), la canica oscila alrededor de la posición de equilibrio. Mirando hacia atrás en el gráfico de energía potencial, la fuerza se puede encontrar al observar la pendiente del gráfico de energía potencial (F = −dU/dx). Dado que la fuerza a cada lado del punto fijo apunta hacia el punto de equilibrio, el punto de equilibrio se llama un punto de equilibrio estable. Los puntos x = A y x = −A se denominan puntos de giro.

La estabilidad es un concepto importante. Si un punto de equilibrio es estable, una ligera perturbación de un objeto que se encuentra inicialmente en el punto de equilibrio estable hará que el objeto oscile alrededor de ese punto. El punto de equilibrio estable se produce porque la fuerza de cada lado se dirige hacia él. Para un punto de equilibrio inestable, si el objeto se altera ligeramente, no regresa al punto de equilibrio.

Considere la canica en el ejemplo de la taza. Si el tazón está boca arriba, la canica, si se altera ligeramente, oscilará alrededor del punto de equilibrio estable. Si el tazón se da vuelta, la canica se puede equilibrar en la parte superior, en el punto de equilibrio donde la fuerza neta es cero. Sin embargo, si la canica se altera ligeramente, no regresará al punto de equilibrio, sino que rodará fuera del recipiente. La razón es que la fuerza a ambos lados del punto de equilibrio se dirige lejos de ese punto. Este punto es un punto de equilibrio inestable.

La figura 5.14 muestra tres condiciones. El primero es un punto de equilibrio estable (a), el segundo es un punto de equilibrio inestable (b) y el último es también un punto

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de equilibrio inestable (c), porque la fuerza en un solo lado apunta hacia el punto de equilibrio.

Figura 5.14. Ejemplos de puntos de equilibrio. (a) Punto de equilibrio estable; (b) punto de equilibrio inestable; (c) punto de equilibrio inestable (a veces denominado punto de equilibrio semiestable).

El proceso de determinar si un punto de equilibrio es estable o inestable puede formalizarse. Considera las curvas de energía potencial que se muestran en la figura 5.15. La fuerza se puede encontrar analizando la pendiente de la gráfica. La fuerza es F = −dU/dx. En (a), el punto fijo es x = 0.00 m. Cuando x<0.00 m, la fuerza es positiva. Cuando x>0.00 m, la fuerza es negativa. Este es un punto estable. En (b), el punto fijo es x = 0.00 m. Cuando x<0.00 m, la fuerza es negativa. Cuando x>0.00 m, la fuerza también es negativa. Este es un punto inestable.

Una aplicación práctica del concepto de puntos de equilibrio estables es la fuerza entre dos átomos neutros en una molécula. Si dos moléculas están muy cerca, separadas por

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unos pocos diámetros atómicos, pueden experimentar una fuerza atractiva. Si las moléculas se mueven lo suficientemente cerca como para que las capas de electrones de los otros electrones se superpongan, la fuerza entre las moléculas se vuelve repulsiva. La fuerza atractiva entre los dos átomos puede hacer que los átomos formen una molécula. La fuerza entre las dos moléculas no es una fuerza lineal y no se puede modelar simplemente como dos masas separadas por un resorte, pero los átomos de la molécula pueden oscilar alrededor de un punto de equilibrio cuando se desplazan una pequeña cantidad de la posición de equilibrio. Los átomos oscilan debido a la fuerza atractiva y la fuerza repulsiva entre los dos átomos.

Figura 5.15. Dos ejemplos de una función de energía potencial. La fuerza en una posición es igual al negativo de la pendiente del gráfico en esa posición. (a) Una función de energía potencial con un punto de equilibrio estable. (b) Una función de energía potencial con un punto de equilibrio inestable. Este punto a veces se llama medio estable porque la fuerza en un lado apunta hacia el punto fijo.

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Considera un ejemplo de la interacción entre dos átomos conocida como la interacción de van Der Waals. Está más allá del alcance de este capítulo discutir en profundidad las interacciones de los dos átomos, pero las oscilaciones de los átomos pueden examinarse considerando un ejemplo de un modelo de la energía potencial del sistema. Una sugerencia para modelar la energía potencial de esta molécula es con el potencial de Lennard-Jones 6-12:

U(x) = 4ε[(σ/x)¹² - (σ/x)⁶]

Una gráfica de esta función se muestra en la figura 5.16. Los dos parámetros ε y σ se encuentran experimentalmente.

Figura 5.16. La función de energía potencial de Lennard-Jones para un sistema de dos átomos neutros. Si la energía está por debajo de cierta energía máxima, el sistema oscila cerca de la posición de equilibrio entre los dos puntos de giro.

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En el gráfico, puedes ver que hay un pozo de energía potencial, que tiene algunas similitudes con el pozo de energía potencial de la función de energía potencial del oscilador armónico simple descrito en la figura 5.13. El potencial de Lennard-Jones tiene un punto de equilibrio estable donde la energía potencial es mínima y la fuerza a cada lado de los puntos de equilibrio apunta hacia el punto de equilibrio. Ten en cuenta que, a diferencia del oscilador armónico simple, el potencial de Lennard-Jones no es simétrico. Esto se debe al hecho de que la fuerza entre los átomos no es una fuerza de la ley de Hooke y no es lineal. Los átomos aún pueden oscilar alrededor de la posición de equilibrio x_min porque cuando x<x_min, la fuerza es positiva; cuando x>x_min, la fuerza es negativa. Observa que cuando x se acerca a cero, la pendiente es bastante pronunciada y negativa, lo que significa que la fuerza es grande y positiva. Esto sugiere que se necesita una gran fuerza para tratar de juntar los átomos. A medida que x se hace cada vez más grande, la pendiente se vuelve menos pronunciada y la fuerza es menor y negativa. Esto sugiere que si se les da una energía lo suficientemente grande, los átomos se pueden separar.

Si estás interesado en esta interacción, encuentra la fuerza entre las moléculas tomando la derivada de la función de energía potencial. Verás inmediatamente que la fuerza no se parece a la fuerza de la ley de Hooke (F = −kx), pero si está familiarizado con el teorema del binomio:

(1 + x)ⁿ = 1 + nx + n(n - 1)/2!x² + n(n - 1)(n -2)/3!x³ + •••

La fuerza puede ser aproximada por una fuerza de ley de Hooke.

432

Velocidad y conservación de energía

Volviendo al sistema de un bloque y un resorte en la Figura 5.11, una vez que el bloque se libera del reposo, comienza a moverse en la dirección negativa hacia la posición de equilibrio. La energía potencial disminuye y la magnitud de la velocidad y la energía cinética aumentan. En el momento t = T/4, el bloque alcanza la posición de equilibrio x = 0.00 m, donde la fuerza en el bloque y la energía potencial son cero. En la posición de equilibrio, el bloque alcanza una velocidad negativa con una magnitud igual a la velocidad máxima v = −Aω. La energía cinética es máxima e igual a K = 1/2mv² = 1/2mA²ω² = 1/2kA². En este punto, la fuerza en el bloque es cero, pero el impulso lleva el bloque y continúa en la dirección negativa hacia x = −A. A medida que el bloque continúa moviéndose, la fuerza sobre él actúa en la dirección positiva y la magnitud de la velocidad y la energía cinética disminuyen. La energía potencial aumenta a medida que el resorte se comprime. En el tiempo t = T/2, el bloque alcanza x = −A. Aquí la velocidad y la energía cinética son iguales a cero. La fuerza en el bloque es F = +kA y la energía potencial almacenada en el resorte es U = 1/2kA². Durante las oscilaciones, la energía total es constante e igual a la suma de la energía potencial y la energía cinética del sistema,

E_Total = 1/2kx² + 1/2mv² = 1/2kA²

(5.12)

La ecuación de la energía asociada con el MAS se puede resolver para encontrar la

433

magnitud de la velocidad en cualquier posición:

|v| = √(k/m)(A² - x²)/

(5.13)

La energía en un oscilador armónico simple es proporcional al cuadrado de la amplitud. Al considerar muchas formas de oscilaciones, encontrarás la energía proporcional a la amplitud al cuadrado.

Comprueba tu aprendizaje 5.1

¿Por qué te dolería más si rompieras tu mano con una regla que con un resorte suelto, incluso si el desplazamiento de cada sistema es igual?

Comprueba tu aprendizaje 5.2

Identifica una forma en la que podrías disminuir la velocidad máxima de un oscilador armónico simple.

5.3 Comparando el movimiento armónico simple y el movimiento circular

Una forma fácil de modelar el MAS es considerando un movimiento circular uniforme. La Figura 5.17 muestra una forma de usar este método. Una clavija (un cilindro de

434

madera) está unida a un disco vertical, girando con una frecuencia angular constante. La Figura 5.18a y Figura 5.18b muestran una vista lateral del disco y la clavija. Si se coloca una lámpara sobre el disco y la clavija, la clavija produce una sombra. Deja que el disco tenga un radio de r = A y define la posición de la sombra que coincide con la línea central del disco para que sea x = 0.00 m. A medida que el disco gira a una velocidad constante, la sombra oscila entre x = +A y x = −A. Ahora imagina un bloque en un resorte debajo del piso como se muestra en la Figura 5.18a y Figura 5.18b.

Figura 5.17. El MAS puede modelarse como un movimiento de rotación al observar la sombra de una clavija en una rueda que gira a una frecuencia angular constante.

435

Figura 5.18a. La luz brilla sobre el disco, de modo que la clavija hace una sombra. Si el disco gira con la frecuencia angular correcta, la sombra sigue el movimiento del bloque en un resorte. Si no hay energía disipada debido a fuerzas no conservativas, el bloque y la sombra oscilarán de un lado a otro al unísono. En esta figura, se toman dos instantáneas en dos momentos diferentes. (a) La rueda comienza en θ = 0° y la sombra de la clavija está en x = +A, representando la masa en la posición x = +A. (b) A medida que el disco gira en un ángulo θ = ωt, la sombra de la clavija está entre x = +A y x = 0.

436

Figura 5.18b. En esta figura, se toman otras dos instantáneas en otros dos momentos diferentes. (c) El disco continúa girando hasta θ = 90%deg;, en el que la sombra sigue la masa hasta x = 0. (d) El disco continúa girando, la sombra sigue la posición de la masa.

Si el disco gira a la frecuencia angular adecuada, la sombra sigue el bloque. La posición de la sombra se puede modelar con la ecuación:

x(t) = Acos(ωt)

(5.14)

437

Recuerda que el bloque unido al resorte no se mueve a una velocidad constante. ¿Con qué frecuencia debe girar la rueda para tener la sombra de la clavija siempre en el bloque? El disco debe girar a una frecuencia angular constante igual a 2π veces la frecuencia de oscilación (ω = 2πf).

La Figura 5.19 muestra la relación básica entre el movimiento circular uniforme y el MAS. La clavija se encuentra en la punta del radio, una distancia A desde el centro del disco. El eje x está definido por una línea trazada paralela al suelo, que corta el disco por la mitad. El eje y (no mostrado) se define por una línea perpendicular al suelo, cortando el disco en una mitad izquierda y una mitad derecha. El centro del disco es el punto (x = 0, y = 0). La proyección de la posición de la clavija sobre el eje x fijo da la posición de la sombra, que sufre el MAS análogo al sistema del bloque y el resorte. En el momento que se muestra en la figura, la proyección tiene la posición x y se mueve hacia la izquierda con la velocidad v. La velocidad tangencial de la clavija alrededor del círculo es igual a v_max del bloque en el resorte. El componente x de la velocidad es igual a la velocidad del bloque en el resorte.

Podemos usar la Figura 5.19 para analizar la velocidad de la sombra a medida que gira el disco. La clavija se mueve en un círculo con una velocidad de v_max = Aω. La sombra se mueve con una velocidad igual a la componente de la velocidad de la clavija que es paralela a la superficie donde se produce la sombra:

v = -v_maxsen(ωt)

(5.15)

De ello se deduce que la aceleración es

a = -a_maxcos(ωt)

(5.16)

438

Figura 5.19. Una clavija que se mueve en una trayectoria circular con una velocidad angular constante ω está experimentando un movimiento circular uniforme. Su proyección sobre el eje x sufre el MAS. También se muestra la velocidad de la clavija alrededor del círculo, v_max y su proyección, que es v. Ten en cuenta que estas velocidades forman un triángulo similar al triángulo de desplazamiento.

439

Comprueba tu aprendizaje 5.3

Identifica un objeto que experimenta un movimiento circular uniforme. Describe cómo podrías rastrear el MAS de este objeto.

En la siguiente escena interactiva, diseñada por Fu-Kwun Hwang, muestra cómo el movimiento armónico simple puede considerarse en algunos casos como la proyección unidimensional del movimiento circular uniforme. Si un objeto se mueve con velocidad angular ω alrededor de un círculo de radio A centrado en el origen del plano x − y, entonces su movimiento a lo largo de cada coordenada es un movimiento armónico simple con amplitud A y frecuencia angular ω.

Algunas preguntas y respuestas planteadas por Fu-Kwun Hwang:

P1: dado que, un movimiento circular puede ser descrito por x = Acos(ωt) e y = Asen(ωt) ¿cuál es la ecuación-modelo del componente y que puede describir el movimiento de un movimiento circular uniforme?

R1: y = Asen(ωt)

P2: Cuando el componente x del movimiento circular se modela con x = Acos(ωt) e y = Asen(ωt) sugiere una ecuación modelo para y.

R2: y = Acos(ωt) para la posición superior o y = -Acos(ωt) para la posición inferior.

P3: explica por qué los modelos para proyecciones x e y de un movimiento circular uniforme es ¿un movimiento armónico simple?

440

R3: tanto x = Acos(ωt) como y = Asen(ωt) siguen la relación de definición de un MAS como ecuaciones diferenciales ordinarias de d²x/dt² = -ω²x y d²y/dt² = -ω²y respectivamente.

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441

5.4 Péndulos

El péndulo simple

Un péndulo simple se define por tener una masa puntual, también conocido como el péndulo bob, que se suspende de una cadena de longitud L con masa insignificante (Figura 5.20). Aquí, las únicas fuerzas que actúan sobre el bob son la fuerza de la gravedad (es decir, el peso del bob) y la tensión de la cuerda. Se supone que la masa de la cuerda es despreciable en comparación con la masa del bob.

Figura 5.20. Un péndulo simple tiene un bob de diámetro pequeño y una cuerda que tiene una masa muy pequeña pero que es lo suficientemente fuerte como para no estirarse apreciablemente. El desplazamiento lineal desde el equilibrio es s, la longitud del arco. También se muestran las fuerzas en el bob, que resultan en una fuerza neta de −mgsenθ hacia la posición de equilibrio, es decir, una fuerza restauradora.

442

Observa el péndulo simple en la siguiente escena interactiva, diseñada por Christian Wolfgang

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443

Considera el torque en el péndulo. La fuerza que proporciona el torque de restauración es el componente del peso del péndulo que actúa a lo largo de la longitud del arco. El torque es la longitud de la cuerda L por el componente de la fuerza neta que es perpendicular al radio del arco. El signo menos indica que el torque actúa en la dirección opuesta al desplazamiento angular:

τ = −L(mgsenθ);
Iα = −L(mgsenθ);
Id²θ/dt² = −L(mgsenθ);
mL²d²θ/dt² = −L(mgsenθ);
d²θ/dt² = -g/Lsenθ

La solución a esta ecuación diferencial implica el cálculo avanzado, y está más allá del alcance de este texto. Pero ten en cuenta que para ángulos pequeños (menos de 15 grados), senθ y θ difieren en menos de 1%, por lo que podemos usar la aproximación de ángulo pequeño senθ ≈ θ. El ángulo θ describe la posición del péndulo. Usando la aproximación de ángulo pequeño da una solución aproximada para ángulos pequeños,

d²θ/dt² = -g/Lθ

(5.17)

Debido a que esta ecuación tiene la misma forma que la ecuación para el MAS, la solución es fácil de encontrar. La frecuencia angular es

444

(5.18)

Y el período es

(5.19)

El período de un péndulo simple depende de su longitud y la aceleración debida a la gravedad. El período es completamente independiente de otros factores, como la masa y el desplazamiento máximo. Al igual que con los osciladores armónicos simples, el período T para un péndulo es casi independiente de la amplitud, especialmente si θ es menor que aproximadamente 15°. Incluso los relojes de péndulo simples pueden ajustarse con precisión y seguir siendo precisos.

Nota la dependencia de T en g. Si se conoce con precisión la longitud de un péndulo, en realidad se puede utilizar para medir la aceleración debida a la gravedad, como en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 5.3

Medición de la aceleración debida a la gravedad en el período de un péndulo

¿Cuál es la aceleración debida a la gravedad en una región donde un péndulo simple

445

que tiene una longitud de 75.000 cm tiene un período de 1.7357 s?

Estrategia

Se nos pide que encontremos g dado el período T y la longitud L de un péndulo. Podemos resolver T = 2π√L/g/, suponiendo solo que el ángulo de desviación es menor que 15°.

Solución

Elevando al cuadrado la expresión T = 2π√L/g/ y resolviendo para g:

g = 4π²L/T²
Sustituyendo los valores conocidos en la nueva ecuación:

g = π²0.75000 m/(1.7357 s)²
Calculando para encontrar g:

g = 9.8281 m/s²

Explicación

Este método para determinar g puede ser muy preciso, por lo que la longitud y el período se dan a cinco dígitos en este ejemplo. Para que la precisión de la aproximación senθ ≈ θ sea mejor que la precisión de la longitud y el período del péndulo, el ángulo

446

de desplazamiento máximo debe mantenerse por debajo de aproximadamente 0,5°.

Comprueba tu aprendizaje 5.4

Un ingeniero construye dos péndulos simples. Ambos están suspendidos de pequeños cables sujetos al techo de una habitación. Cada péndulo se sitúa 2 cm por encima del suelo. El péndulo 1 tiene un bob con una masa de 10 kg. El péndulo 2 tiene un bob con una masa de 100 kg. Describa cómo diferirá el movimiento de los péndulos si ambas sacudidas se desplazan 12°.

Péndulo físico

Cualquier objeto puede oscilar como un péndulo. Considera una taza de café colgada de un gancho en la despensa. Si la taza es golpeada, oscila de un lado a otro como un péndulo hasta que las oscilaciones se extinguen. Hemos descrito un péndulo simple como una masa puntual y una cuerda. Un péndulo físico es cualquier objeto cuyas oscilaciones son similares a las del péndulo simple, pero no puede modelarse como una masa puntual en una cuerda, y la distribución de masa debe incluirse en la ecuación de movimiento.

En cuanto al péndulo simple, la fuerza restauradora del péndulo físico es la fuerza de la gravedad. Con el péndulo simple, la fuerza de gravedad actúa sobre el centro del péndulo. En el caso del péndulo físico, la fuerza de gravedad actúa sobre el centro de masa (CM) de un objeto. El objeto oscila alrededor de un punto O. Considera un objeto de una forma genérica como se muestra en la Figura 5.21.

447

Figura 5.21. Un péndulo físico es cualquier objeto que oscila como un péndulo, pero no puede modelarse como una masa puntual en una cuerda. La fuerza de la gravedad actúa sobre el centro de masa (CM) y proporciona la fuerza de restauración que hace que el objeto oscile. El signo menos en el componente del peso que proporciona la fuerza de restauración está presente porque la fuerza actúa en la dirección opuesta al ángulo creciente θ.

Cuando un péndulo físico cuelga de un punto pero puede girar libremente, gira debido al torque aplicado en el CM, producido por el componente del peso del objeto que actúa tangente al movimiento del CM. Tomando la dirección contraria a las manecillas del reloj como positiva, la componente de la fuerza gravitacional que actúa tangente al movimiento es −mgsenθ. El signo menos es el resultado de la fuerza restauradora que actúa en la dirección opuesta al ángulo creciente. Recuerda que el torque es igual a τ→ = r→ × F→. La magnitud del torque es igual a la longitud del brazo del radio por la componente tangencial de la fuerza aplicada, |τ| = rFsenθ. Aquí, la longitud L del brazo del radio es la distancia entre el punto de rotación y el CM. Para analizar el

448

movimiento, comienza con el torque neto. Al igual que el péndulo simple, considera solo ángulos pequeños para que senθ ≈ θ. Recuerda que el torque neto es igual al momento de inercia I = ∫r²dm veces la aceleración angular α, donde α = d²θ/dt²:

Iα = τ_net = L(−mg)senθ

Usando la aproximación de ángulo pequeño y reorganizando:

Iα = -L(mg)θ
Id²θ/dt² = -L(mg)θ
d²θ/dt² = -(mgL/I)θ

Una vez más, la ecuación dice que la segunda derivada de la posición (en este caso, el ángulo) es igual a menos una constante (−mgL/I) multiplicada por la posición. La solucion es

θ(t) = Θcos(ωt + φ),

donde Θ es el desplazamiento angular máximo. La frecuencia angular es

(5.20)

449

El período es por lo tanto

(5.21)

Ten en cuenta que para un péndulo simple, el momento de inercia es I = ∫r²dm = mL² y el período se reduce a T = 2π√L/g/

Ejemplo 5.4

Reduciendo el balanceo de un rascacielos

En condiciones extremas, los rascacielos pueden oscilar hasta dos metros con una frecuencia de hasta 20.00 Hz debido a los vientos fuertes o la actividad sísmica. Varias compañías han desarrollado péndulos físicos que se colocan en la parte superior de los rascacielos. Cuando el rascacielos se balancea hacia la derecha, el péndulo gira hacia la izquierda, reduciendo el balanceo. Suponiendo que las oscilaciones tienen una frecuencia de 0,50 Hz, diseña un péndulo que consiste en una viga larga, de densidad constante, con una masa de 100 toneladas métricas y un punto de pivote en un extremo de la viga. ¿Cuál debería ser la longitud de la viga?

Estrategia

Se nos pide que encontremos la longitud del péndulo físico con una masa conocida. Primero tenemos que encontrar el momento de inercia de la viga. Luego podemos usar la ecuación para el período de un péndulo físico para encontrar la longitud.

450

Solución

1. Encuentra el momento de inercia para el CM.

2. Usa el teorema de los ejes paralelos para encontrar el momento de inercia sobre el punto de rotación:

I = I_CM + L²/4M = 1/12ML² + 1/4ML² = 1/3ML²

El período de un péndulo físico tiene un período de T = 2π√I/mgL/. Usa el momento de inercia para hallar la longitud L:

T = 2π√I/mgL/ = 2π√(1/3)ML²/MgL/ = 2π√L/3g/

L = 3g(T/2π)² = 3(9.8m/s²)(2s/2π)² = 2.98 m.

Explicación

Hay muchas formas de reducir las oscilaciones, incluida la modificación de la forma de los rascacielos, el uso de múltiples péndulos físicos y el uso de amortiguadores de masa afinada.

451

Péndulo torsional

Un péndulo torsional consiste en un cuerpo rígido suspendido por un alambre o resorte ligero (Figura 5.22). Cuando el cuerpo está torcido en un ángulo pequeño máximo (Θ) y se libera del reposo, el cuerpo oscila entre (θ = +Θ) y (θ = −Θ). El torque de restauración es suministrado por el corte de la cuerda o cable.

Figura 5.22. Un péndulo torsional consiste en un cuerpo rígido suspendido por una cuerda o alambre. El cuerpo rígido oscila entre θ = +Θ y θ = -Θ.

El torque de restauración se puede modelar como proporcional al ángulo:

τ = −κθ.

La variable kappa (κ) se conoce como la constante de torsión del cable o cuerda. El signo menos muestra que el torque de restauración actúa en dirección opuesta al aumento del desplazamiento angular. El torque neto es igual al momento de inercia multiplicado por la aceleración angular:

452

Id²θ/dt² = -κθ
d²θ/dt² = -κ/Iθ

Esta ecuación dice que la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo (en este caso, el ángulo) es igual a una constante negativa por la posición. Esto se ve muy similar a la ecuación de movimiento para el MAS d²x/dt² = −k/mx, donde se encontró que el período es T = 2π√I/κ/. Por lo tanto, el período del péndulo torsional se puede encontrar usando

(5.22)

Las unidades para la constante de torsión son [&kappa>] = N-m = (kgm/s²)m = kgm²/s² y las unidades para el momento de inercia son [I] = kg-m², que muestran que la unidad para el período es la segunda.

Ejemplo 5.5

Medición de la constante de torsión de una cuerda

Una varilla tiene una longitud l = 0,30 m y una masa de 4,00 kg. Una cuerda está

453

unida al CM de la varilla y el sistema se cuelga del techo (Figura 5.23). La varilla se desplaza 10 grados desde la posición de equilibrio y se libera del reposo. La varilla oscila con un periodo de 0,5 s. ¿Cuál es la constante de torsión κ?

Figura 5.23. (a) Una varilla suspendida por una cuerda desde el techo. (b) Encontrar el momento de inercia de la varilla.

Estrategia

Se nos pide que encontremos la constante de torsión de la cuerda. Primero tenemos que encontrar el momento de inercia.

Solución

1. Encuentra el momento de inercia para el CM:

454

Calcula la constante de torsión usando la ecuación para el período:

T = 2π√I/κ/

κ = I(2π/T)² = (1/12)ML²(2π/T)²

1/2(4.00 kg)(0.30 m)²(2π/0.50 s)² = 4.73 N•m

Explicación

Al igual que la constante de fuerza del sistema de un bloque y un resorte, cuanto mayor es la constante de torsión, más corto es el período.

Para terminar este apartado, presentamos dos escenas interactivas. La primera, diseñada por Walter Fendt, muestra dos péndulos acoplados por un resorte que tiene una pequeña constante de resorte (acoplamiento débil). Para tales sistemas, es característico que la energía de la oscilación se mueva permanentemente de un sistema parcial a otro.

El botón "Restablecer" lleva el sistema a su posición inicial. Puedes iniciar o detener y continuar la simulación con el otro botón. Si eliges la opción "Cámara lenta", el movimiento será diez veces más lento. Es posible cambiar las posiciones iniciales de los dos péndulos utilizando los campos de texto correspondientes. Un ángulo positivo (negativo) significa un alargamiento hacia el lado derecho (izquierdo).

455

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La segunda escena interactiva es tomada de las simulaciones Phet, la cual permite interactuar con uno o dos péndulos y analizar el período, la masa del péndulo, la fuerza de gravedad y la amplitud de la oscilación. Observa la energía en el sistema en tiempo real y cambia la cantidad de fricción. Mide el período usando el temporizador o cronómetro. Utiliza el péndulo para encontrar el valor de g en el Planeta X. Observa el comportamiento anarmónico a gran amplitud.

456

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457

5.5 Oscilaciones amortiguadas

En el mundo real, las oscilaciones rara vez siguen el verdadero MAS. La fricción de algún tipo generalmente actúa para amortiguar el movimiento, por lo que se desvanece o necesita más fuerza para continuar. En esta sección, examinamos algunos ejemplos de movimiento armónico amortiguado y veremos cómo modificar las ecuaciones de movimiento para describir este caso más general.

Una cuerda de guitarra deja de oscilar unos segundos después de ser pulsada. Para mantener el swing en un columpio en el patio de recreo, debes seguir empujando (Figura 5.24). Aunque a menudo podemos hacer que la fricción y otras fuerzas no conservativas sean pequeñas o insignificantes, es raro el movimiento completamente sin amortiguación. De hecho, es posible que incluso deseemos amortiguar las oscilaciones, como con los amortiguadores de automóviles.

Figura 5.24. Para contrarrestar las fuerzas de amortiguación, debes seguir balanceando un columpio. (Crédito: Bob Mical)

458

La figura 5.25 muestra una masa m unida a un resorte con una constante de fuerza k. La masa se eleva a una posición A₀, la amplitud inicial, y luego se libera. La masa oscila alrededor de la posición de equilibrio en un fluido con viscosidad, pero la amplitud disminuye para cada oscilación. Para un sistema que tiene una pequeña cantidad de amortiguación, el período y la frecuencia son constantes y son casi los mismos que para el MAS, pero la amplitud disminuye gradualmente como se muestra. Esto ocurre porque la fuerza de amortiguación no conservadora elimina la energía del sistema, generalmente en forma de energía térmica.

Figura 5.25. Para una masa en un resorte que oscila en un fluido viscoso, el período permanece constante, pero las amplitudes de las oscilaciones disminuyen debido a la amortiguación causada por el fluido.

459

Considera las fuerzas que actúan sobre la masa. Ten en cuenta que la única contribución del peso es cambiar la posición de equilibrio, como se explicó anteriormente en este capítulo. Por lo tanto, la fuerza neta es igual a la fuerza del resorte y la fuerza de amortiguación (F_A). Si la magnitud de la velocidad es pequeña, lo que significa que la masa oscila lentamente, la fuerza de amortiguación es proporcional a la velocidad y actúa en contra de la dirección del movimiento (F_A = −bv). La fuerza neta sobre la masa es por lo tanto

ma = −bv − kx

Escribiendo esto como una ecuación diferencial en x, obtenemos

md²x/dt² + bdx/dt + kx = 0

(5.23)

Para determinar la solución a esta ecuación, considera la gráfica de posición frente al tiempo que se muestra en la Figura 5.26. La curva se asemeja a una curva de coseno que oscila en la envolvente de una función exponencial A₀e^−αt donde α = b/2m.
La solucion es

x(t) = A₀e^-(b/2m)tcos(ωt + φ).

(5.24)

Se deja como un ejercicio para probar que esta es, de hecho, la solución. Para probar que es la solución correcta, toma la primera y segunda derivadas con respecto al

460

tiempo y sustitúyelas en la Ecuación 5.23. Se encuentra que la ecuación 5.24 es la solución.

Figura 5.26. Posición en función del tiempo para la masa que oscila en un resorte en un fluido viscoso. Observa que la curva parece ser una función de coseno dentro de una envolvente exponencial.

Recuerda que la frecuencia angular de una masa que experimenta MAS es igual a la raíz cuadrada de la constante de fuerza dividida por la masa. Esto se conoce a menudo

461

como la frecuencia angular natural, que se representa como

(5.25)

La frecuencia angular para el movimiento armónico amortiguado se convierte en

(5.26)

Recuerda que cuando comenzamos esta descripción del movimiento armónico amortiguado, afirmamos que la amortiguación debe ser pequeña. Dos preguntas vienen a la mente. ¿Por qué debe ser pequeña la amortiguación? ¿Y qué pequeño es pequeño? Si aumentas gradualmente la cantidad de amortiguación en un sistema, el período y la frecuencia comienzan a verse afectados, porque la amortiguación se opone y, por lo tanto, frena el movimiento hacia adelante y hacia atrás (la fuerza neta es menor en ambas direcciones). Si hay una amortiguación muy grande, el sistema ni siquiera oscila, se mueve lentamente hacia el equilibrio. La frecuencia angular es

A medida que b aumenta, k/m - (b/2m)² se vuelve más pequeño y finalmente llega a

462

cero cuando b = √4mk/. Si b se hace más grande k/m - (b/2m)² se convierte en un número negativo y la frecuencia angular sería un número complejo.

La figura 5.27 muestra el desplazamiento de un oscilador armónico para diferentes cantidades de amortiguación.

Figura 5.27. Posición frente al tiempo para tres sistemas que consisten en una masa y un resorte en un fluido viscoso. (a) Si la amortiguación es pequeña (b < √4mk/), la masa oscila, perdiendo lentamente la amplitud a medida que la energía es disipada por la (s) fuerza (s) no conservativa (s). El caso límite es (b) donde la amortiguación es (b = √4mk). (c) Si la amortiguación es muy grande (b > √4mk), la masa no oscila cuando se desplaza, sino que intenta volver a la posición de equilibrio.

Cuando la constante de amortiguación es pequeña, b < √4mk/, el sistema oscila mientras que la amplitud del movimiento decae exponencialmente. Se dice que este sistema es subamortiguado, como en la curva (a). Muchos sistemas no están en buen

463

estado y oscilan mientras que la amplitud disminuye exponencialmente, como la masa que oscila en un resorte. La amortiguación puede ser bastante pequeña, pero finalmente la masa se detiene. Si la constante de amortiguación es b = √4mk/, se dice que el sistema está amortiguado críticamente, como en la curva (b). Un ejemplo de un sistema críticamente amortiguado son los amortiguadores en un automóvil. Es ventajoso que las oscilaciones disminuyan lo más rápido posible. Aquí, el sistema no oscila, pero se aproxima asintóticamente a la condición de equilibrio lo más rápido posible. La curva (c) en la figura 5.27 representa un sistema sobreamortiguado donde b > √4mk/. Un sistema sobreamortiguado se aproximará al equilibrio durante un período de tiempo más largo.

A menudo se desea una amortiguación crítica, porque un sistema de este tipo vuelve al equilibrio rápidamente y también permanece en equilibrio. Además, una fuerza constante aplicada a un sistema críticamente amortiguado mueve el sistema a una nueva posición de equilibrio en el menor tiempo posible sin sobrepasar u oscilar sobre la nueva posición.

Comprueba tu aprendizaje 5.5

¿Por qué los osciladores armónicos completamente no amortiguados son tan raros?

El resorte de la suspensión de un automóvil se amortigua críticamente de modo que cuando un automóvil pasa por encima de un bache, el pasajero en el automóvil recupera el equilibrio de manera rápida y sin problemas. En la siguiente escena interactiva, diseñada por Loo Kang, puedes verificar los factores que afectan el coeficiente de amortiguamiento b.

464

Ampliar

465

5.6 Oscilaciones Forzadas

Siéntate frente a un piano en algún momento y cántale una breve nota en voz alta con los amortiguadores fuera de sus cuerdas (Figura 5.28). Te volverá a cantar la misma nota: las cuerdas, que tienen las mismas frecuencias que tu voz, están resonando en respuesta a las fuerzas de las ondas de sonido que les enviaste. Este es un buen ejemplo del hecho de que los objetos, en este caso, las cuerdas de piano, pueden forzarse a oscilar y oscilar más fácilmente a su frecuencia natural. En esta sección, exploraremos brevemente la aplicación de una fuerza motriz periódica que actúa sobre un oscilador armónico simple. La fuerza motriz pone energía en el sistema a una cierta frecuencia, no necesariamente la misma que la frecuencia natural del sistema. Recuerda que la frecuencia natural es la frecuencia a la que un sistema oscilaría si no hubiera fuerza motriz ni de amortiguación.

Figura 5.28. Puedes hacer que las cuerdas de un piano vibren simplemente produciendo ondas de sonido de tu voz (crédito: Matt Billings).

466

La mayoría de nosotros hemos jugado con juguetes que involucran un objeto apoyado en una banda elástica, algo como la bola de remo suspendida de un dedo en la Figura 5.29. Imagina que el dedo en la figura es tu dedo. Al principio, mantienes el dedo firme y la pelota rebota hacia arriba y hacia abajo con una pequeña cantidad de amortiguación. Si mueves el dedo hacia arriba y hacia abajo lentamente, la bola sigue sin rebotar mucho por sí misma.

Figura 5.29. La bola de la paleta en su banda de goma se mueve en respuesta al dedo que la sostiene. Si el dedo se mueve con la frecuencia natural f₀ de la bola en la banda de goma, se logra una resonancia, y la amplitud de las oscilaciones de la bola aumenta dramáticamente. A frecuencias de conducción más altas y más bajas, la energía se transfiere a la pelota de manera menos eficiente y responde con oscilaciones de menor amplitud.

A medida que aumenta la frecuencia con la que mueves el dedo hacia arriba y hacia abajo, la bola responde oscilando a medida que aumenta la amplitud. Cuando manejas la pelota a su frecuencia natural, las oscilaciones de la pelota aumentan en amplitud con cada oscilación durante el tiempo que la impulsas. El fenómeno de conducir un

467

sistema con una frecuencia igual a su frecuencia natural se llama resonancia. Se dice que un sistema que está siendo accionado a su frecuencia natural resuena. A medida que la frecuencia de conducción se vuelve progresivamente más alta que la frecuencia resonante o natural, la amplitud de las oscilaciones se hace más pequeña hasta que las oscilaciones casi desaparecen, y tu dedo simplemente se mueve hacia arriba y hacia abajo con poco efecto en la bola.

Considera un experimento simple. Conecta una masa m a un resorte en un fluido viscoso, similar al aparato descrito en el oscilador armónico amortiguado. Esta vez, en lugar de fijar el extremo libre del resorte, conecta el extremo libre a un disco impulsado por un motor de velocidad variable. El motor gira con una frecuencia de conducción angular de ω. El disco giratorio proporciona energía al sistema por el trabajo realizado por la fuerza impulsora (F_d = F₀sen(ωt). El aparato experimental se muestra en la figura 5.30.

Figura 5.30. La bola de la paleta en su banda de goma se mueve en respuesta al dedo que la sostiene. Si el dedo se mueve con la frecuencia natural f₀ de la bola en la banda de goma, se logra una resonancia, y la amplitud de las oscilaciones de la bola aumenta dramáticamente. A frecuencias de conducción más altas y más bajas, la energía se transfiere a la pelota de manera menos eficiente y responde con oscilaciones de menor amplitud.

468

Usando la segunda ley de Newton (F→_net = ma→), podemos analizar el movimiento de la masa. La ecuación resultante es similar a la ecuación de fuerza para el oscilador armónico amortiguado, con la adición de la fuerza motriz:

-kx - bdx/dt + F₀sen(ωt) = md²x/dt²

(5.27)

Cuando un oscilador es forzado con una fuerza motriz periódica, el movimiento puede parecer caótico. Los movimientos del oscilador se conocen como transitorios. Después de que los transitorios se extinguen, el oscilador alcanza un estado estable, donde el movimiento es periódico. Después de algún tiempo, la solución de estado estable a esta ecuación diferencial es

x(t) = Acos(ωt + φ)

(5.28)

Una vez más, queda como un ejercicio para demostrar que esta ecuación es una solución. Tomar la primera y la segunda derivada de x(t) y sustituirlas en la ecuación de fuerza muestra que x(t) = Asen(ωt + φ) es una solución siempre que la amplitud sea igual a

(5.29)

Donde ω₀ = √k/m/ es la frecuencia angular natural del sistema de la masa y el resorte.

469

Recuerda que la frecuencia angular, y por lo tanto la frecuencia, se puede ajustar. Mirando el denominador de la ecuación para la amplitud, cuando la frecuencia de conducción es mucho más pequeña, o mucho más grande que la frecuencia natural, el cuadrado de la diferencia de las dos frecuencias angulares (A_max = F₀/bω). La figura 5.31 muestra un gráfico de la amplitud de un oscilador armónico amortiguado en función de la frecuencia de la fuerza periódica que lo impulsa.

Figura 5.31. Amplitud de un oscilador armónico en función de la frecuencia de la fuerza motriz. Las curvas representan el mismo oscilador con la misma frecuencia natural pero con diferentes cantidades de amortiguación. La resonancia se produce cuando la frecuencia de conducción es igual a la frecuencia natural, y la mayor respuesta es para la menor cantidad de amortiguación. La respuesta más estrecha es también para la menor amortiguación.

470

Cada una de las tres curvas en el gráfico representa una cantidad diferente de amortiguación. Las tres curvas alcanzan su punto máximo en el punto donde la frecuencia de la fuerza motriz es igual a la frecuencia natural del oscilador armónico. El pico más alto, o la mayor respuesta, es para la menor cantidad de amortiguación, ya que la fuerza de amortiguación elimina menos energía. Ten en cuenta que, dado que la amplitud aumenta a medida que disminuye la amortiguación, lleve esto al límite donde no hay amortiguación (b=0), la amplitud se vuelve infinita.

Ten en cuenta que una fuerza motriz de pequeña amplitud puede producir una respuesta de gran amplitud. Este fenómeno se conoce como resonancia. Un ejemplo común de resonancia es un padre que empuja a un niño pequeño en un columpio. Cuando el niño quiere ir más alto, el padre no se mueve hacia atrás y luego, al comenzar a correr, golpea al niño, aplicando una gran fuerza en un corto intervalo. En cambio, el padre aplica pequeños empujes al niño con la frecuencia justa, y la amplitud de los cambios del niño aumenta.

Es interesante observar que los anchos de las curvas de resonancia que se muestran en la figura 5.31 dependen de la amortiguación: cuanto menor es la amortiguación, más estrecha es la resonancia. La consecuencia es que si deseas que un oscilador accionado resuene a una frecuencia muy específica, necesitas la menor amortiguación posible. Por ejemplo, una radio tiene un circuito que se utiliza para elegir una estación de radio en particular. En este caso, el oscilador forzado amortiguado consiste en una resistencia, un condensador y un inductor. El circuito está "sintonizado" para elegir una estación de radio en particular. Aquí es deseable que la curva de resonancia sea muy estrecha, para seleccionar la frecuencia exacta de la estación de radio elegida. La estrechez del gráfico y la capacidad de seleccionar una cierta frecuencia se conoce como la calidad del sistema. La calidad se define como la extensión de la frecuencia angular, o, de manera equivalente, la extensión en la frecuencia, a la mitad de la amplitud máxima, dividida por la frecuencia natural (Q = Δω/ω₀) como se muestra en

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la figura 5.32. Para una pequeña amortiguación, la calidad es aproximadamente igual a Q ≈ 2b/m.

Figura 5.32. La calidad de un sistema se define como la dispersión en las frecuencias a la mitad de la amplitud dividida por la frecuencia natural.

Estas características de los osciladores armónicos accionados se aplican a una gran variedad de sistemas. Por ejemplo, la resonancia magnética (RM) es una herramienta de diagnóstico médico ampliamente utilizada en la cual los núcleos atómicos (en su mayoría núcleos de hidrógeno o protones) se hacen resonar por las ondas de radio entrantes (del orden de 100 MHz). En todos estos casos, la eficiencia de la transferencia de energía de la fuerza motriz al oscilador es mejor en resonancia. La figura 5.33 muestra una fotografía de un famoso ejemplo (el puente Tacoma Narrows) de los efectos destructivos de una oscilación armónica impulsada. El puente Millennium en Londres se cerró durante un corto período de tiempo por el mismo motivo mientras se

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realizaban las inspecciones. Las observaciones conducen a modificaciones en el puente antes de la reapertura.

Figura 5.33. En 1940, el puente de Tacoma Narrows en el estado de Washington se derrumbó. Los vientos cruzados variables (mucho más lentos que los vientos con fuerza de huracán) condujeron el puente a oscilaciones en su frecuencia de resonancia. La amortiguación disminuyó cuando los cables de soporte se soltaron y comenzaron a deslizarse sobre las torres, permitiendo amplitudes cada vez mayores hasta que la estructura falló (Crédito: "PRI's Studio 360" / Flickr).

Comprueba tu aprendizaje 5.6

Un famoso truco de magia involucra a un artista que canta una nota hacia un cristal hasta que el cristal se rompe. Explica por qué el truco funciona en términos de resonancia y frecuencia natural.

473

La siguiente escena interactiva, diseñada por Loo Kang, permite diseñar varios modelos de oscilaciones forzadas. En la siguiente página hemos dejado algunos ejemplos explicados por Loo Kang.

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Terminamos este capítulo con una escena interactiva tomada de las simulaciones Phet de la Universidad de Colorado.

Se trata de la simulación Masas y resortes, en la que puedes colgar las masas de los resortes y ajustar la constante del resorte y la amortiguación. Transportar el laboratorio a diferentes planetas, o ralentizar el tiempo.

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5.7 Preguntas y respuestas - Capítulo V

Respuestas

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Capítulo vi

Ondas

Introducción

Figura 6.1 Del mundo de las fuentes de energía renovables proviene la boya generadora de energía eléctrica. Aunque hay muchas versiones, esta convierte el movimiento hacia arriba y hacia abajo, así como el movimiento de lado a lado, de la boya en movimiento de rotación para convertir un generador eléctrico, que almacena la energía en baterías.

En este capítulo, estudiaremos la física del movimiento de las ondas. Nos concentramos en las ondas mecánicas, que son perturbaciones que se mueven a través de un medio como el aire o el agua. Al igual que el movimiento armónico simple estudiado en el capítulo anterior, la energía transferida a través del medio es proporcional a la amplitud al cuadrado. Las ondas de agua superficial en el océano son ondas transversales en las que la energía de la onda se desplaza horizontalmente mientras el agua oscila hacia arriba y hacia abajo debido a cierta fuerza restauradora. En la imagen de arriba, una boya se usa para convertir el asombroso poder de las olas del océano en electricidad. El movimiento hacia arriba y hacia abajo de la boya generada

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cuando las ondas pasan se convierte en un movimiento de rotación que convierte un rotor en un generador eléctrico. El generador carga baterías, que a su vez se utilizan para proporcionar una fuente de energía constante para el usuario final. Este modelo fue probado con éxito por la Marina de los EE. UU. En un proyecto para proporcionar energía a las redes de seguridad costeras y fue capaz de proporcionar una potencia promedio de 350 W. La boya sobrevivió el difícil entorno marino, incluida la operación frente a la costa de Nueva Jersey a través del huracán Irene en 2011.

Los conceptos presentados en este capítulo serán la base de muchos temas interesantes, desde la transmisión de información hasta los conceptos de mecánica cuántica.

6.1 Ondas viajeras

Vimos en Oscilaciones que el movimiento oscilatorio es un tipo importante de comportamiento que puede usarse para modelar una amplia gama de fenómenos físicos. El movimiento oscilatorio también es importante porque las oscilaciones pueden generar ondas, que son de fundamental importancia en la física. Muchos de los términos y ecuaciones que estudiamos en el capítulo sobre oscilaciones se aplican igualmente al movimiento ondulatorio (Figura 6.2).

Tipos de ondas

Una onda es una perturbación que se propaga, o se mueve desde el lugar donde fue creada. Hay tres tipos básicos de ondas: ondas mecánicas, ondas electromagnéticas y ondas de materia.

Las ondas mecánicas básicas se rigen por las leyes de Newton y requieren un medio.

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Figura 6.2. Una ola oceánica es probablemente la primera imagen que se te ocurre cuando escuchas la palabra "onda". Aunque esta ola rompiente y las olas oceánicas en general, tienen aparentes similitudes con las características básicas de las ondas que analizaremos, los mecanismos que impulsan las olas oceánicas son muy complejos y más allá del alcance de este capítulo. Puede parecer natural, e incluso ventajoso, aplicar los conceptos de este capítulo a las olas oceánicas, pero las olas oceánicas no son lineales, y los modelos simples presentados en este capítulo no las explican completamente. (Crédito: Steve Jurvetson)

Un medio es la sustancia a través de la cual se propagan las ondas mecánicas, y el medio produce una fuerza de restauración elástica cuando se deforma. Las ondas mecánicas transfieren energía y momento, sin transferir masa. Algunos ejemplos de ondas mecánicas son ondas de agua, ondas de sonido y ondas sísmicas. El medio para

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las ondas de agua es el agua; Para las ondas de sonido, el medio suele ser el aire (las ondas de sonido también pueden viajar en otros medios; lo veremos con más detalleen el capítulo de Sonido). En el caso de las ondas de agua superficial, la perturbación se produce en la superficie del agua, tal vez creada por una roca lanzada a un estanque o por una nadador salpicando la superficie repetidamente. Para las ondas de sonido, la perturbación es un cambio en la presión del aire, tal vez creado por el cono oscilante dentro de un altavoz o un diapasón vibrador. En ambos casos, la perturbación es la oscilación de las moléculas del fluido. En ondas mecánicas, la energía y el momento se transfieren con el movimiento de la onda, mientras que la masa oscila alrededor de un punto de equilibrio. Los terremotos generan ondas sísmicas a partir de varios tipos de perturbaciones, incluida la perturbación de la superficie de la Tierra y las perturbaciones de presión debajo de la superficie. Las ondas sísmicas viajan a través de los sólidos y líquidos que forman la Tierra. En este capítulo, nos centraremos en las ondas mecánicas.

Las ondas electromagnéticas están asociadas con oscilaciones en campos eléctricos y magnéticos y no requieren un medio. Los ejemplos incluyen rayos gamma, rayos X, ondas ultravioletas, luz visible, ondas infrarrojas, microondas y ondas de radio. Las ondas electromagnéticas pueden viajar a través del vacío a la velocidad de la luz, v = c = 2.99792458×10⁸ m/s. Por ejemplo, la luz de estrellas distantes viaja a través del vacío del espacio y llega a la Tierra. Las ondas electromagnéticas tienen algunas características que son similares a las ondas mecánicas.

Las ondas de materia son una parte central de la rama de la física conocida como mecánica cuántica. Estas ondas están asociadas con protones, electrones, neutrones y otras partículas fundamentales que se encuentran en la naturaleza. La teoría de que todos los tipos de materia tienen propiedades de onda fue propuesta por primera vez por Louis de Broglie en 1924.

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Ondas mecanicas

Las ondas mecánicas muestran características comunes a todas las ondas, como la amplitud, la longitud de onda, el período, la frecuencia y la energía. Todas las características de onda se pueden describir mediante un pequeño conjunto de principios subyacentes.

Las ondas mecánicas más simples se repiten durante varios ciclos y se asocian con un movimiento armónico simple. Estas simples ondas armónicas se pueden modelar usando una combinación de funciones seno y coseno. Por ejemplo, considera la onda de agua superficial simplificada que se mueve a través de la superficie del agua como se ilustra en la figura 6.3. A diferencia de las olas oceánicas complejas, en el agua de superficie, el medio, en este caso el agua, se mueve verticalmente, oscilando hacia arriba y hacia abajo, mientras que la perturbación de la onda se mueve horizontalmente a través del medio. En la figura 6.3, las olas hacen que una gaviota se mueva hacia arriba y hacia abajo en un simple movimiento armónico a medida que las crestas de las olas y los valles (picos y valles) pasan por debajo del ave. La cresta es el punto más alto de la onda, y el canal es la parte más baja de la onda. El tiempo para una oscilación completa del movimiento hacia arriba y hacia abajo es el período T de la onda. La frecuencia de la onda es el número de ondas que pasan a través de un punto por unidad de tiempo y es igual a f = 1/T. El período se puede expresar utilizando cualquier unidad de tiempo conveniente, pero generalmente se mide en segundos; La frecuencia generalmente se mide en hercios (Hz), donde 1Hz = 1 s⁻¹.

La longitud de la onda se denomina longitud de onda y está representada por la letra griega lambda (λ), que se mide en cualquier unidad de longitud conveniente, como un centímetro o metro. La longitud de onda se puede medir entre dos puntos similares a lo largo del medio que tienen la misma altura y la misma pendiente. En la figura 6.3, la longitud de onda se muestra medida entre dos crestas. Como se indicó anteriormente,

485

el período de la onda es igual al tiempo para una oscilación, pero también es igual al tiempo para que una longitud de onda pase por un punto a lo largo de la trayectoria de la onda.

Figura 6.3. Una onda de agua superficial idealizada pasa bajo una gaviota que se mueve hacia arriba y hacia abajo en un simple movimiento armónico. La onda tiene una longitud de onda λ, que es la distancia entre partes idénticas adyacentes de la onda. La amplitud A de la onda es el desplazamiento máximo de la onda desde la posición de equilibrio, que se indica mediante la línea de puntos. En este ejemplo, el medio se mueve hacia arriba y hacia abajo, mientras que la perturbación de la superficie se propaga paralela a la superficie a una velocidad v.

La amplitud de la onda (A) es una medida del desplazamiento máximo del medio desde su posición de equilibrio. En la figura, la posición de equilibrio está indicada por la línea de puntos, que es la altura del agua si no hubiera olas que se movieran a través de ella. En este caso, la onda es simétrica, la cresta de la onda es una distancia +A por encima de la posición de equilibrio, y el canal es una distancia -A por debajo

486

de la posición de equilibrio. Las unidades para la amplitud pueden ser centímetros o metros, o cualquier unidad conveniente de distancia.

La onda de agua en la figura se mueve a través del medio con una velocidad de propagación v→. La magnitud de la velocidad de la onda es la distancia que la onda recorre en un tiempo determinado, que es una longitud de onda en el tiempo de un período, y la velocidad de la onda es la magnitud de la velocidad de la onda. En forma de ecuación, esto es

v = λ/T = λf

(6.1)

Esta relación fundamental es válida para todo tipo de ondas. Para las ondas de agua, v es la velocidad de una onda de superficie; para el sonido, v es la velocidad del sonido; y para la luz visible, v es la velocidad de la luz.

Ondas transversales y longitudinales

Hemos visto que una onda mecánica simple consiste en una perturbación periódica que se propaga de un lugar a otro a través de un medio. En la figura 6.4(a), la onda se propaga en la dirección horizontal, mientras que el medio se altera en la dirección vertical. Tal onda se llama onda transversal. En una onda transversal, la onda puede propagarse en cualquier dirección, pero la perturbación del medio es perpendicular a la dirección de propagación. Por contraste, en una onda longitudinal u onda compresiva, la perturbación es paralela a la dirección de propagación. La figura 6.4(b) muestra un ejemplo de una onda longitudinal. El tamaño de la perturbación es su amplitud A y es completamente independiente de la velocidad de propagación v.

487

Figura 6.4. (a) En una onda transversal, el medio oscila perpendicularmente a la velocidad de la onda. Aquí, el resorte se mueve verticalmente hacia arriba y hacia abajo, mientras que la onda se propaga horizontalmente hacia la derecha. (b) En una onda longitudinal, el medio oscila paralelo a la propagación de la onda. En este caso, el resorte oscila hacia adelante y hacia atrás, mientras que la onda se propaga hacia la derecha.

En la figura 6.5 se muestra una representación gráfica simple de una sección del resorte que se muestra en la figura 6.4 (b). La figura 6.5 (a) muestra la posición de equilibrio del resorte antes de que cualquier onda se mueva hacia abajo. Un punto en el resorte está marcado con un punto azul. La figura 6.5 (b) a (g) muestra instantáneas del resorte tomadas con un cuarto de período de tiempo, en algún momento después del final del resorte se oscila hacia atrás y hacia adelante en la dirección x a una frecuencia constante. La perturbación de la onda se ve como las compresiones y las expansiones del resorte. Ten en cuenta que el punto azul oscila alrededor de su posición de equilibrio a una distancia A, a medida que la onda longitudinal se mueve en la dirección x positiva con una velocidad constante. La distancia A es la amplitud de la onda. La posición y del punto no cambia cuando la onda se mueve a través del resorte. La longitud de onda se mide en la parte (d). La longitud de onda depende de la velocidad de la onda y la frecuencia de la fuerza impulsora.

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Figura 6.5. (a) Esta es una representación gráfica simple de una sección del resorte estirado que se muestra en la figura 6.4 (b), que representa la posición de equilibrio del resorte antes de que se induzca cualquier onda en el resorte. Un punto en el resorte está marcado por un punto azul (b – g). Las ondas longitudinales se crean al oscilar el extremo del resorte (no se muestra) hacia adelante y hacia atrás a lo largo del eje x. La onda longitudinal, con una longitud de onda λ, se mueve a lo largo del resorte en la dirección +x con una velocidad de onda v. Por comodidad, la longitud de onda se mide en (d). Ten en cuenta que el punto en el resorte que estaba marcado con el punto azul se mueve hacia adelante y hacia atrás una distancia A desde la posición de equilibrio, oscilando alrededor de la posición de equilibrio del punto.

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En la siguiente escena interactiva tomada de las simulaciones Phet de la Universidad de Colorado (Onda en una cuerda), explora el mundo de las ondas. Incluso observa la cuerda vibrar en cámara lenta. Mueve el extremo de la cuerda y crea ondas, o ajusta la frecuencia y amplitud de un oscilador. Haz la onda manual o usa la opción de oscilación.

Ampliar

490

Las ondas pueden ser transversales, longitudinales o una combinación de las dos. Ejemplos de ondas transversales son las ondas en instrumentos de cuerda u ondas superficiales en el agua, como las ondas que se mueven en un estanque. Las ondas sonoras en el aire y el agua son longitudinales. Con las ondas de sonido, las perturbaciones son variaciones periódicas de la presión que se transmiten en los fluidos. Los fluidos no tienen una fuerza de corte apreciable, y por esta razón, las ondas de sonido en ellos son ondas longitudinales. El sonido en sólidos puede tener componentes longitudinales y transversales, como los de una onda sísmica. Los terremotos generan ondas sísmicas bajo la superficie de la Tierra con componentes tanto longitudinales como transversales (llamadas ondas compresionales o P y ondas de corte o S, respectivamente). Los componentes de las ondas sísmicas tienen características individuales importantes: se propagan a diferentes velocidades, por ejemplo. Los terremotos también tienen ondas superficiales que son similares a las ondas superficiales en el agua. Las olas del océano también tienen componentes transversales y longitudinales.

Ejemplo 6.1

Onda en un resorte

Un estudiante toma una cuerda de 30.00 m de largo y une un extremo a la pared en el laboratorio de física. El estudiante luego sostiene el extremo libre de la cuerda, manteniendo la tensión constante en la cuerda. Luego, el estudiante comienza a enviar ondas por la cadena moviendo el extremo de la cadena hacia arriba y hacia abajo con una frecuencia de 2.00 Hz. El desplazamiento máximo del final de la cuerda es de 20.00 cm. La primera onda golpea la pared del laboratorio 6,00 s después de su creación. (a) ¿Cuál es la velocidad de la onda? (b) ¿Cuál es el período de la onda? (c) ¿Cuál es la longitud de onda?

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Estrategia

a. La velocidad de la onda se puede obtener dividiendo la distancia recorrida por el tiempo.
b. El período de la onda es el inverso de la frecuencia de la fuerza impulsora.
c. La longitud de onda se puede encontrar a partir de la velocidad y el período v = λ/T.

Solución

a. La primera onda recorrió 30.00 m en 6.00 s:

v = 30.00 m/6.00 s = 5.00 m/s

b. El período es igual al inverso de la frecuencia:

T = 1/f = 1/2 s^-1 = 0.50s

c. La longitud de onda es igual a la velocidad por el período:

λ = vT = 5.00 m/s(0.50s) = 2.50 m

Explicación

La frecuencia de la onda producida por una fuerza impulsora oscilante es igual a la frecuencia de la fuerza impulsora.

492

Comprueba tu aprendizaje 6.1

Cuando se toca una cuerda de guitarra, la cuerda de guitarra oscila como resultado de ondas que se mueven a través de la cuerda. Las vibraciones de la cuerda hacen que las moléculas de aire oscilen, formando ondas de sonido. La frecuencia de las ondas de sonido es igual a la frecuencia de la cuerda vibrante. ¿Es la longitud de onda de la onda de sonido siempre igual a la longitud de onda de las ondas en la cuerda?

Ejemplo 6.2

Características de una onda

Una onda mecánica transversal se propaga en la dirección x positiva a través de un resorte (como se muestra en la figura 6.4 (a)) con una velocidad de onda constante, y el medio oscila entre +A y −A alrededor de una posición de equilibrio. El gráfico en la figura 6.6 muestra la altura del resorte (y) frente a la posición (x), donde el eje x apunta en la dirección de propagación. La figura muestra la altura del resorte frente a la posición x en t = 0.00 s como una línea de puntos y la onda en t = 3.00 s como una línea continua. (a) Determina la longitud de onda y la amplitud de la onda. (b) Encuentra la velocidad de propagación de la onda. (c) Calcula el período y la frecuencia de la onda.

Estrategia

a. La amplitud y la longitud de onda se pueden determinar a partir de la gráfica.

493

b. Dado que la velocidad es constante, la velocidad de la onda se puede encontrar al dividir la distancia recorrida por la onda por el tiempo que tomó la onda para recorrer la distancia.
c. El período se puede encontrar desde v = λ/T y la frecuencia desde f = 1/T.

Figura 6.6. Una onda transversal mostrada en dos instantes de tiempo..

Solución

a. Lee la longitud de onda de la gráfica, mirando la flecha púrpura en la figura 6.7. Lee la amplitud mirando la flecha verde. La longitud de onda es λ = 8.00 cm y la amplitud es A = 6.00 cm.

b. La distancia que la onda recorrió desde el tiempo t = 0.00 s hasta el tiempo t = 3.00 s se puede ver en la gráfica. Considera la flecha roja, que muestra la distancia que se

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ha movido la cresta en 3 s. La distancia es de 8.00 cm − 2.00 cm = 6.00cm. La velocidad es

v = Δx/Δt = 8.00 cm - 2.00 cm/3.00 s - 0.00 s = 2.00 cm/s

Figura 6.7. Características de la onda marcada en una gráfica de su desplazamiento.

c. El período es T = λ/v = 8.00 cm/2.00 cm/s = 4.00s y la frecuencia es f = 1/T = 14.00 s = 0.25 Hz.

Explicación

Ten en cuenta que la longitud de onda se puede encontrar utilizando cualquiera de los dos puntos idénticos sucesivos que se repiten, con la misma altura y pendiente. Debes

495

elegir dos puntos que sean los más convenientes. El desplazamiento también se puede encontrar utilizando cualquier punto conveniente.

Comprueba tu aprendizaje 6.2

La velocidad de propagación de una onda mecánica transversal o longitudinal puede ser constante a medida que la perturbación de la onda se mueve a través del medio. Considera una onda mecánica transversal: ¿la velocidad del medio también es constante?

6.2 Matematicas de las ondas

En la sección anterior, describimos las ondas periódicas por sus características de longitud de onda, período, amplitud y velocidad de onda. Las ondas también pueden describirse por el movimiento de las partículas del medio a través del cual se mueven las ondas. La posición de las partículas del medio se puede modelar matemáticamente como funciones de onda, que se pueden usar para encontrar la posición, la velocidad y la aceleración de las partículas del medio en cualquier momento.

Pulsos

Un pulso se puede describir como una onda que consiste en una sola perturbación que se mueve a través del medio con una amplitud constante. El pulso se mueve como un patrón que mantiene su forma a medida que se propaga con una velocidad de onda constante. Debido a que la velocidad de onda es constante, la distancia a la que se mueve el pulso en un tiempo Δt es igual a ΔX = vΔt (figura 6.8).

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Figura 6.8. El pulso en el tiempo t = 0 se centra en X = 0 con amplitud A. El pulso se mueve como un patrón con una forma constante, con un valor máximo constante A. La velocidad es constante y el pulso se mueve una distancia ΔX = vΔt en un tiempo Δt. La distancia recorrida se mide con cualquier punto conveniente en el pulso. En esta figura, se utiliza la cresta.

Modelando una onda sinusoidal unidimensional usando una función de onda

Considera una cuerda mantenida en tensión constante F_T donde un extremo es fijo y el extremo libre oscila entre y = +A y y = -A, por un dispositivo mecánico a una frecuencia constante. La figura 6.9 muestra las instantáneas de la onda en un intervalo de un octavo de un período, comenzando después de un período (t = T).

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Figura 6.9. Instantáneas de una onda transversal que se mueve a través de una cuerda bajo tensión, comenzando en el momento t = T y tomado a intervalos de 1/8T. Los puntos de colores se utilizan para resaltar puntos en la cuerda. Los puntos que están separados por una longitud de onda en la dirección x se resaltan con los mismos puntos de color.

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Observa que cada punto de selección en la cuerda (marcado por puntos de colores) oscila hacia arriba y hacia abajo en un movimiento armónico simple, entre y = +A y y = −A, con un período T. La onda en la cuerda es sinusoidal y se traslada en la dirección x positiva a medida que avanza el tiempo.

En este punto, es útil recordar de tu estudio del álgebra que si f(x) es alguna función, entonces f(x − d) es la misma función trasladada en la dirección x positiva en una distancia d. La función f(x + d) es la misma función trasladada en la dirección x negativa en una distancia d. Queremos definir una función de onda que proporcione la posición y de cada segmento de la cuerda para cada posición x a lo largo de la cuerda para cada tiempo t.

Mirando la primera instantánea en la figura 6.9, la posición y de la cuerda entre x = 0 y x = λ puede modelarse como una función senoidal. Esta onda se propaga por la cuerda una longitud de onda en un período, como se ve en la última instantánea. Por lo tanto, la onda se mueve con una velocidad de onda constante de v = λ/T.

Recuerda que una función sinusoidal es una función del ángulo θ, que oscila entre +1 y −1, y que se repite cada 2π radianes (Figura 6.10). Sin embargo, la posición y del medio, o la función de onda, oscila entre +A y −A, y repite cada longitud de onda λ.

Figura 6.10. Una función seno oscila entre +1 y −1 cada 2π radianes.

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Para construir nuestro modelo de onda usando una función periódica, considere la relación del ángulo y la posición,

θ/x = 2π/λ

θ = 2π/λx

Usando θ = 2π/λx y multiplicando la función seno por la amplitud A, ahora podemos modelar la posición y de la cuerda como una función de la posición x:

y(x) = Asen(2π/λx)

La onda en la cuerda se desplaza en la dirección x positiva con una velocidad constante v, y se mueve una distancia vt en un tiempo t. La función de onda ahora se puede definir por

y(x, t) = Asen(2π/λ(x - vt)).

A menudo es conveniente reescribir esta función de onda en una forma más compacta. Multiplicando a través de la relación 2π/λ conduce a la ecuación

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y(x, t) = Asen(2π/λx - 2π/λvt)

El valor 2π/λ se define como el número de onda. El símbolo para el número de onda es k y tiene unidades de metros inversos, m⁻¹:

k ≡ 2π/λ

(6.2)

Recuerde que la frecuencia angular se define como 2π/λ. El segundo término de la función de onda se convierte en

2π/λvt = 2π/λ(λ/T)t = ωt

La función de onda para una onda armónica simple en una cuerda se reduce a

y(x,t) = Asen(kx ∓ ωt),

donde A es la amplitud, k =2π/λ es el número de onda, ω = 2π/T es la frecuencia angular, el signo menos es para las ondas que se mueven en la dirección x positiva, y el signo más es para las ondas que se mueven en la dirección x negativa.

501

La velocidad de la onda es igual a

v = λ/T = λ/T(2π/2π) = ω/k

(6.3)

Piensa de nuevo en nuestra discusión sobre una masa en un resorte, cuando la posición de la masa se modeló como x(t) = Acos(ωt + φ). El ángulo φ es un cambio de fase, agregado para permitir el hecho de que la masa puede tener condiciones iniciales distintas de x = +A y v = 0. Por razones similares, la fase inicial se agrega a la función de onda. La función de onda que modela una onda sinusoidal, permitiendo un cambio de fase inicial φ, es

y(x,t) = Asen(kx ∓ ωt + φ)

(6.4)

El valor

(kx ∓ ωt + φ)

(6.5)

se conoce como la fase de la onda, donde φ es la fase inicial de la función de onda. Si el término temporal ωt es negativo o positivo depende de la dirección de la onda. Primero considera el signo menos para una onda con una fase inicial igual a cero (φ = 0). La fase de la onda sería (kx − ωt). Considera seguir un punto en una onda, como una cresta. Se producirá una cresta cuando sen(kx − ωt) = 1.00, es decir, cuando kx − ωt = nπ + π/2, para cualquier valor integral de n. Por ejemplo, una cresta en particular

502

ocurre en kx − ωt = π/2. A medida que la onda se mueve, el tiempo aumenta y x también debe aumentar para mantener la fase igual a π/2. Por lo tanto, el signo menos es para una onda que se mueve en la dirección x positiva. Usando el signo más, kx + ωt = π/2. A medida que aumenta el tiempo, x debe disminuir para mantener la fase igual a π/2. El signo más se utiliza para las ondas que se mueven en la dirección x negativa. En resumen, y(x, t) = Asen(kx − ωt + φ) modela una onda que se mueve en la dirección x positiva y y(x, t) = Asen(kx + ωt + φ) modela una onda que se mueve en la Dirección x negativa.

La ecuación 6.4 se conoce como una función de onda armónica simple. Una función de onda es cualquier función tal que f(x, t) = f(x − vt). Más adelante en este capítulo, veremos que es una solución a la ecuación de onda lineal. Ten en cuenta que y(x, t) = Acos(kx + ωt + φ') funciona igual de bien porque corresponde a un cambio de fase diferente φ' = φ − π/2.

Estrategia de resolución de problemas: encontrar las características de una onda sinusoidal

1. Para hallar la amplitud, longitud de onda, período y frecuencia de una onda sinusoidal, escribe la función de onda en la forma y(x, t) = Asen(kx − ωt + φ).
2. La amplitud se puede leer directamente de la ecuación y es igual a A.

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3. El período de la onda se puede derivar de la frecuencia angular (T = 2π/ω).
4. La frecuencia se puede encontrar usando f = 1/T.
5. La longitud de onda se puede encontrar usando el número de onda (λ = 2π/k).

Ejemplo 6.3

Características de una onda viajera en una cuerda

Una onda transversal en una cuerda tensa se modela con la función de onda

y(x, t) = Asen(kx − ωt) = 0.2 m sen(6.28 m⁻¹x − 1.57 s⁻¹t).

Encuentra la amplitud, longitud de onda, período y velocidad de la onda.

Estrategia

Todas estas características de la onda se pueden encontrar a partir de las constantes incluidas en la ecuación o de combinaciones simples de estas constantes.

Solución

1. La amplitud, el número de onda y la frecuencia angular se pueden leer directamente de la ecuación de onda:

y(x, t) = Asen(kx − ωt) = 0.2 m sen(6.28 m⁻¹x − 1.57 s⁻¹t).

(A = 0.2 m; k = 6.28 m⁻¹; ω = 1.57 s⁻¹)

504

2. El número de onda se puede usar para encontrar la longitud de onda:

k = 2π/λ
λ = 2π/k = 2π/6.28 m⁻¹ = 1.0 m

3. El período de la onda se puede encontrar usando la frecuencia angular:

ω = 2π/T
T = 2π/ω = 2π/1.57 s⁻¹ = 4 s

La velocidad de la onda se puede encontrar utilizando el número de onda y la frecuencia angular. La dirección de la onda se puede determinar considerando el signo de kx ∓ ωt: un signo negativo sugiere que la onda se está moviendo en la dirección x positiva:

|v| = ω/k = 1.57 s⁻¹/6.28 m⁻¹ = 0.25 m/s

Explicación

Todas las características de la onda están contenidas en la función de onda. Ten en cuenta que la velocidad de la onda es la velocidad en la dirección paralela al movimiento de la onda. El trazado de la altura del medio y versus la

505

posición x para dos veces t = 0.00 s y t = 0.80 s puede proporcionar una visualización gráfica de la onda (Figura 6.11).

Figura 6.11. Un gráfico de la altura de la onda versus la posición x para las instantáneas de la onda dos veces. La línea de puntos representa la onda en el tiempo t = 0.00 s y la línea continua representa la onda en t = 0.80 s. Como la velocidad de la onda es constante, la distancia que recorre la onda es la velocidad de la onda por el intervalo de tiempo. Los puntos negros indican los puntos utilizados para medir el desplazamiento de la onda. El medio se mueve hacia arriba y hacia abajo, mientras que la onda se mueve hacia la derecha.

Hay una segunda velocidad en el movimiento. En este ejemplo, la onda es transversal, moviéndose horizontalmente a medida que el medio oscila hacia arriba y hacia abajo perpendicular a la dirección del movimiento. El gráfico en la figura 6.12 muestra el movimiento del medio en el punto x = 0.60 m en función del tiempo. Observa que el medio de la onda oscila hacia arriba y hacia abajo entre y = + 0.20 m y y = −0.20 m cada período de 4.0 segundos.

506

Figura 6.12. Una gráfica de la altura de la onda versus el tiempo t para la posición x = 0.6 m. El medio oscila entre y = + 0.20 m y y = −0.20 m en cada período. El período representado elige dos puntos convenientes en las oscilaciones para medir el período. El período se puede medir entre dos puntos adyacentes con la misma amplitud y la misma velocidad, (∂y/∂t). La velocidad se puede encontrar al observar la pendiente tangente al punto en una gráfica de y-versus-t. Ten en cuenta que, en ocasiones, t = 3.00 s y t = 7.00 s, las alturas y las velocidades son las mismas y el período de oscilación es de 4.00 s.

Comprueba tu aprendizaje 6.3

La función de onda anterior se deriva utilizando una función sinusoidal. ¿Se puede usar una función de coseno en su lugar?

507

Velocidad y aceleración del medio

Como se ve en el Ejemplo 6.4, la velocidad de la onda es constante y representa la velocidad de la onda a medida que se propaga a través del medio, no la velocidad de las partículas que forman el medio. Las partículas del medio oscilan alrededor de una posición de equilibrio a medida que la onda se propaga a través del medio. En el caso de la onda transversal que se propaga en la dirección x, las partículas oscilan hacia arriba y hacia abajo en la dirección y, perpendicular al movimiento de la onda. La velocidad de las partículas del medio no es constante, lo que significa que hay una aceleración. La velocidad del medio, que es perpendicular a la velocidad de la onda en una onda transversal, se puede encontrar tomando la derivada parcial de la ecuación de posición con respecto al tiempo. La derivada parcial se encuentra al tomar la derivada de la función, tratando todas las variables como constantes, excepto la variable en cuestión. En el caso de la derivada parcial con respecto al tiempo t, la posición x se trata como una constante. Aunque esto puede sonar extraño si no lo has visto antes, el objetivo de este ejercicio es encontrar la velocidad transversal en un punto, por lo que en este sentido, la posición x no está cambiando. Tenemos

y(x, t) = Asen(kx − ωt + φ)
v_y(x, t) = ∂y(x, t)/∂t = ∂/∂t(Asen(kx − ωt + φ))
v_y(x, t) = −Aωcos(kx − ωt + φ)
v_y(x, t) = −v_ymaxcos(kx − ωt + φ).

La magnitud de la aceleración máxima es |a_ymax| = Aω². Las partículas del medio, o los elementos de masa, oscilan en un movimiento armónico simple para una onda mecánica.

508

La ecuación de onda lineal

Acabamos de determinar la velocidad del medio en una posición x tomando la derivada parcial, con respecto al tiempo, de la posición y. Para una onda transversal, esta velocidad es perpendicular a la dirección de propagación de la onda. Encontramos la aceleración al tomar la derivada parcial, con respecto al tiempo, de la velocidad, que es la segunda derivada del tiempo de la posición:

a_y(x, t) = ∂²y(x, t)/∂t² = ∂²/∂t²(Asen(kx − ωt + φ)) = =−Aω²sen(kx − ωt + φ).

Ahora considera las derivadas parciales con respecto a la otra variable, la posición x, manteniendo como constante el tiempo. La primera derivada es la pendiente de la onda en un punto x en un tiempo t,

pendiente = ∂y(x, t)/∂t = ∂/∂t(Asen(kx − ωt + φ)) = Akcos(kx − ωt + φ).

La segunda derivada parcial expresa cómo cambia la pendiente de la onda con respecto a la posición; en otras palabras, la curvatura de la onda, donde

curvatura = ∂²y(x, t)/∂x² = ∂²/∂x²(Asen(kx − ωt + φ)) = −Ak²sen(kx − ωt + φ).

La relación de la aceleración y la curvatura conduce a una relación muy importante en la física conocida como la ecuación de onda lineal. Tomando la relación y usando la ecuación v = ω/k se obtiene la ecuación de onda lineal (también conocida simplemente

509

como la ecuación de onda o la ecuación de una cuerda vibrante),

∂²y(x, t)/∂t²/∂²y(x, t)/∂x² = −Aω²sen(kx − ωt + φ)/−Ak²sen(kx − ωt + φ)

= ω²/k² = v²

∂²y(x, t)/∂x² = 1/v²∂²y(x, t)/∂t²

(6.6)

La ecuación 6.6 es la ecuación de onda lineal, que es una de las ecuaciones más importantes en física e ingeniería. La derivamos aquí para una onda transversal, pero es igualmente importante cuando se investigan ondas longitudinales. Esta relación también se derivó utilizando una onda sinusoidal, pero describe con éxito cualquier onda o pulso que tenga la forma y(x, t) = f(x ∓ vt). Estas ondas se producen debido a una fuerza de restauración lineal del medio, por lo tanto, el nombre de ecuación de onda lineal. Cualquier función de onda que satisfaga esta ecuación es una función de onda lineal.

Un aspecto interesante de la ecuación de onda lineal es que si dos funciones de onda son soluciones individuales a la ecuación de onda lineal, entonces la suma de las dos funciones de onda lineal es también una solución a la ecuación de onda. Considera dos

510

ondas transversales que se propagan a lo largo del eje x, ocupando el mismo medio. Supongamos que las ondas individuales se pueden modelar con las funciones de onda y₁(x, t) = f(x ∓ vt) e y₂(x, t) = g(x ∓ vt), que son soluciones a las ecuaciones de onda lineales y son por lo tanto funciones de onda lineales. La suma de las funciones de onda es la función de onda.

y₁(x, t) + y₂(x, t) = f(x ∓ vt) + g(x ∓ vt).

Considera la ecuación de onda lineal:

∂²(f + g)/∂x² = 1/v²∂²(f + g)/∂t²

∂²f/∂x² + ∂²g/∂x² = 1/v²(∂²f/∂t² + ∂²g/∂t²)

Esto ha demostrado que si se agregan algebraicamente dos funciones de onda lineales, la función de onda resultante también es lineal. Esta función de onda modela el desplazamiento del medio de la onda resultante en cada posición a lo largo del eje x. Si dos ondas lineales ocupan el mismo medio, se dice que interfieren. Si estas ondas se pueden modelar con una función de onda lineal, estas funciones de onda se suman para formar la ecuación de onda de la onda que resulta de la interferencia de las ondas individuales. El desplazamiento del medio en cada punto de la onda resultante es la suma algebraica de los desplazamientos debidos a las ondas individuales.

Llevando este análisis un paso más allá, si las funciones de onda y₁(x, t) = f(x ∓ vt) e y₂(x, t) = g(x ∓ vt) son soluciones a la ecuación de onda lineal, entonces

511

Ay₁(x, t) + By₂(x, y), donde A y B son constantes, también es una solución a la ecuación de onda lineal. Esta propiedad es conocida como el principio de superposición.

Ejemplo6.4

Interferencia de ondas en una cuerda

Considera una cuerda muy larga sostenida por dos estudiantes, uno en cada extremo. El estudiante A oscila el final de la cadena produciendo una onda modelada con la función de onda y₁(x, t) = Asin (kx − ωt) y el estudiante B oscila la cadena produciendo el doble de frecuencia, moviéndose en la dirección opuesta. Ambas ondas se mueven a la misma velocidad v = ω/k. Las dos ondas interfieren para formar una onda resultante cuya función de onda es y_R1(x, t) = y₁(x, t) + y₂(x, t). Encuentra la velocidad de la onda resultante usando la ecuación de onda lineal
∂²y(x, t)/∂x² = 1/v²∂²y(x, t)/∂t²

Estrategia

Primero, escribe la función de onda para la onda creada por el segundo estudiante. Ten en cuenta que la frecuencia angular de la segunda onda es el doble de la frecuencia de la primera onda (2ω), y como la velocidad de las dos ondas es la misma, el número de onda de la segunda onda es el doble que la de la primera onda (2k). Luego, escribe la ecuación de onda para la función de onda resultante, que es la suma de las dos funciones de onda individuales. Luego encuentra la segunda derivada parcial con respecto a la posición y la segunda derivada parcial con respecto al tiempo. Usa la ecuación de onda lineal para encontrar la velocidad de la onda resultante.

512

Solución

1. Escribe la función de onda de la segunda onda: y₁(x, t) = Asen (2kx + 2ωt).

2. Escribe la función de onda resultante:

y_R(x, t) = y₁(x, t) + y(x, t) = Asen(kx − ωt) + Asen(2kx + 2ωt).

3. Halla las derivadas parciales:

∂y_R(x, t)/∂x = −Akcos(kx − ωt) + 2Akcos(2kx + 2ωt),
∂²y_R(x, t)/∂x² = −Ak²sen(kx − ωt) - 4Ak²sen(2kx + 2ωt),
∂y_R(x, t)/∂t = −Aωcos(kx − ωt) + 2Aωcos(2kx + 2ωt),
∂²y_R(x, t)/∂t² = −Aω²sen(kx − ωt) - 4Aω²sen(2kx + 2ωt)

4. Usa la ecuación de onda para encontrar la velocidad de la onda resultante:

∂²y(x, t)/∂x² = 1/v²∂²y(x, t)/∂t²

513

−Ak²sen(kx−ωt) − 4Ak²sen(2kx+2ωt) = 1/v²(−Aω²sen(kx−ωt) − 4Aω²sen(2kx+2ωt)),
k²(−Asen(kx−ωt) − 4Asen(2kx+2ωt)) = ω²/v²(−Asen(kx−ωt) − 4Asen(2kx+2ωt)),
k² = ω²/v²,
|v| = ω/k

Explicación

La velocidad de la onda resultante es igual a la velocidad de las ondas originales (v = ω/k). Mostraremos en la siguiente sección que la velocidad de una onda armónica simple en una cuerda depende de la tensión en la cuerda y de la masa por longitud de la cuerda. Por esta razón, no es sorprendente que las ondas componentes, así como la onda resultante, viajen a la misma velocidad.

Comprueba tu aprendizaje 6.4

La ecuacion de onda ∂²y(x, t)/∂x² = 1/v²∂²y(x, t)/∂t² funciona para cualquier onda de la forma y(x, t) = f(x ∓ vt). En la sección anterior, indicamos que una función de coseno también podría usarse para modelar una onda mecánica armónica simple. Verifica si la onda y(x, t) = 0.50 m cos(0.20π m⁻¹x − 4.00π s⁻¹t + π/10) es una solución a la ecuación de onda.

514

Cualquier perturbación que cumpla con la ecuación de onda puede propagarse como una onda que se mueve a lo largo del eje x con una velocidad de onda v. Funciona igualmente bien para ondas en una cuerda, ondas de sonido y ondas electromagnéticas. Esta ecuación es extremadamente útil. Por ejemplo, se puede usar para mostrar que las ondas electromagnéticas se mueven a la velocidad de la luz.

En la siguiente escena, diseñada por Andreu Glasmann, Wolfgang Christian y Mario Belloni, practica con el principio de superposición.

Ampliar

515

6.3 Velocidad de onda en una cuerda estirada

La velocidad de una onda depende de las características del medio. Por ejemplo, en el caso de una guitarra, las cuerdas vibran para producir el sonido. La velocidad de las ondas en las cuerdas y la longitud de onda determinan la frecuencia del sonido producido. Las cuerdas de una guitarra tienen diferentes grosores, pero pueden estar hechas de material similar. Tienen diferentes densidades lineales, donde la densidad lineal se define como la masa por longitud,

μ = masa de la cuerda/longitud de la cuerda = m/l

(6.7)

En este capítulo, consideramos solo una cuerda con una densidad lineal constante. Si la densidad lineal es constante, entonces la masa (Δm) de una pequeña cuerda (Δx) es Δm = μΔx. Por ejemplo, si la cuerda tiene una longitud de 2.00 m y una masa de 0.06 kg, entonces la densidad lineal es μ = 0.06 kg/2.00 m = 0.03 kg/m. Si se corta una sección de 1.00 mm de la cuerda, la masa de la longitud de 1.00 mm es Δm = μΔx = (0.03 kg/m) 0.001 m = 3.00 × 10⁻⁵ kg. La guitarra también tiene un método para cambiar la tensión de las cuerdas. La tensión de las cuerdas se ajusta girando los husillos, llamados clavijas de afinación, alrededor de las cuales se envuelven las cuerdas. Para la guitarra, la densidad lineal de la cuerda y la tensión en la cuerda determinan la velocidad de las ondas en la cuerda y la frecuencia del sonido producido es proporcional a la velocidad de la onda.

516

Velocidad de onda en una cuerda bajo tensión

Para ver cómo la velocidad de una onda en una cuerda depende de la tensión y la densidad lineal, considera un pulso enviado por una cuerda tensa (Figura 6.13). Cuando la cuerda tensa está en reposo en la posición de equilibrio, la tensión en la cuerda F_T es constante. Considera un pequeño elemento de la cuerda con una masa igual a Δm = μΔx. El elemento de masa está en reposo y en equilibrio, y la fuerza de tensión de cada lado del elemento de masa es igual y opuesta.

Figura 6.13. Elemento de masa de una cuerda mantenida tensa con una tensión F_T. El elemento de masa está en equilibrio estático, y la fuerza de tensión que actúa sobre cada lado del elemento de masa es igual en magnitud y opuesta en dirección.

Si pulsa una cuerda bajo tensión, una onda transversal se mueve en la dirección x positiva, como se muestra en la figura 6.14. El elemento de masa es pequeño pero se amplía en la figura para hacerlo visible. El pequeño elemento de masa oscila perpendicularmente al movimiento de la onda como resultado de la fuerza restauradora proporcionada por la cuerda y no se mueve en la dirección x. La tensión F_T en la cuerda, que actúa en la dirección x positiva y negativa, es aproximadamente constante y es independiente de la posición y el tiempo.

Supongamos que la inclinación de la cuerda desplazada con respecto al eje horizontal es pequeña. La fuerza neta sobre el elemento de la cuerda, que actúa paralela a la cuerda, es la suma de la tensión en la cuerda y la fuerza de restauración.

517

Figura 6.14. Una cuerda bajo tensión es pulsada, causando que un pulso se mueva a lo largo de la cuerda en la dirección x positiva.

La componente x de la fuerza de tensión se cancelan, por lo que la fuerza neta es igual a la suma de las componentes y de la fuerza. La magnitud de la componente x de la fuerza es igual a la fuerza horizontal de tensión de la cuerda F_T como se muestra en la figura 6.14. Para obtener la componente y de la fuerza, ten en cuenta que tanθ₁ = −F₁/F_T y tanθ₂ = F₂/F_T. El valor de tanθ es igual a la pendiente de una función en un punto, que es igual a la derivada parcial de y con respecto a x en ese punto. Por lo tanto, F₁/F_T es igual a la pendiente negativa de la cuerda en x1 y F₂/F_T es igual a la pendiente de la cuerda en x2:

518

La fuerza neta en el pequeño elemento, puede escribirse como:

Usando la segunda ley de Newton, la fuerza neta es igual a la masa multiplicada por la aceleración. La densidad lineal de la cuerda μ es la masa por longitud de la cuerda, y la masa de la porción de la cuerda es μΔx,

Dividiendo por F_TΔx y tomando el límite cuando Δx se acerca a cero,

519

∂²y/∂x² = μ/F_T∂²y/∂t²

Recordemos que la ecuación de onda lineal es

∂²y(x, t)/∂x² = 1/v²∂²y(x, t)/∂t²

Por lo tanto,

1/v² = μ/F_T

Resolviendo para v, vemos que la velocidad de la onda en una cuerda depende de la tensión y la densidad lineal.

VELOCIDAD DE UNA ONDA EN UNA CUERDA BAJO TENSIÓN

La velocidad de un pulso u onda en una cuerda bajo tensión se puede encontrar con la ecuación

donde F_T es la tensión en la cuerda y μ es la masa por longitud de la cuerda.

(6.8)

520

Ejemplo 6.5

La velocidad de onda de un muelle de guitarra

En una guitarra de seis cuerdas, la cuerda alta E tiene una densidad lineal de μ_{alta E} = 3.09 × 10⁻⁴ kg / my la cuerda baja E tiene una densidad lineal de μ_{baja E} = 5.78 × 10⁻³ kg / m. (a) Si se tira de la cuerda alta E, produciendo una onda en la cuerda, ¿cuál es la velocidad de la onda si la tensión de la cuerda es 56.40 N? (b) La densidad lineal de la cadena E baja es aproximadamente 20 veces mayor que la de la cadena E alta. Para que las ondas viajen a través de la cadena E baja a la misma velocidad de onda que la E alta, ¿la tensión debería ser mayor o menor que la cadena E alta? ¿Cuál sería la tensión aproximada? (c) Calcula la tensión de la cuerda E baja necesaria para la misma velocidad de onda.

Estrategia

a. La velocidad de la onda se puede encontrar a partir de la densidad lineal y la tensión √F_T/μ/

b. De la ecuación √F_T/μ/, si la densidad lineal aumenta en un factor de casi 20, la tensión debería aumentarse en un factor de 20.

c. Conociendo la velocidad y la densidad lineal, la ecuación de velocidad se puede resolver para la fuerza de tensión F_T = μv².

521

Solución

a. Usa la ecuación de velocidad para encontrar la velocidad:

b. La tensión tendría que aumentarse en un factor de aproximadamente 20. La tensión sería ligeramente menor que 1128 N.

c. Usa la ecuación de velocidad para encontrar la tensión real:

F_T = μv² = 5.78×10^-3 kg/m(427.23 m/s)² = 1055.00 N.

Esta solución está dentro del 7% de la aproximación.

Explicación

Las notas estándar de las seis cuerdas (E alta, B, G, D, A, E baja) están sintonizadas para vibrar en las frecuencias fundamentales (329.63 Hz, 246.94Hz, 196.00Hz, 146.83Hz, 110.00Hz y 82.41Hz) cuando se pulsan. Las frecuencias dependen de la velocidad de las ondas en la cuerda y la longitud de onda. Las seis cuerdas tienen diferentes densidades lineales y se "sintonizan" al cambiar las tensiones en las cuerdas. Veremos, más adelante, que la longitud de onda depende de la longitud de las cuerdas y las condiciones de los límites. Para tocar otras notas que no sean las fundamentales, las longitudes de las cuerdas se cambian presionando las cuerdas.

522

Comprueba tu aprendizaje 6.5

La velocidad de onda de una onda en una cuerda depende de la tensión y la densidad de masa lineal. Si la tensión se duplica, ¿qué sucede con la velocidad de las ondas en la cuerda?

La velocidad de compresión de las ondas en un fluido

La velocidad de una onda en una cuerda depende de la raíz cuadrada de la tensión dividida por la masa por longitud, la densidad lineal. En general, la velocidad de una onda a través de un medio depende de la propiedad elástica del medio y de la propiedad inercial del medio.

La propiedad elástica describe la tendencia de las partículas del medio a volver a su posición inicial cuando están perturbadas. La propiedad inercial describe la tendencia de la partícula a resistir los cambios en la velocidad. La velocidad de una onda longitudinal a través de un líquido o gas depende de la densidad del fluido y del módulo de volumen del fluido,

(6.9)

523

Aquí el módulo de volumen se define como B = −ΔP/Δv/v₀, donde ΔP es el cambio en la presión y el denominador es la relación entre el cambio en el volumen y el volumen inicial, y ρ ≡ mV es la masa por unidad de volumen. Por ejemplo, el sonido es una onda mecánica que viaja a través de un fluido o un sólido. La velocidad del sonido en el aire con una presión atmosférica de 1.013 × 10⁵ Pa y una temperatura de 20 °C es de ≈ 343.00 m/s. Debido a que la densidad depende de la temperatura, la velocidad del sonido en el aire depende de la temperatura del aire.

6.4 Energía y potencia de una onda

Todas las ondas transportan energía, y algunas veces esto se puede observar directamente. Los terremotos pueden tirar ciudades enteras al suelo, realizando el trabajo de miles de bolas de demolición (Figura 6.15). Los sonidos fuertes pueden pulverizar las células nerviosas en el oído interno, causando pérdida de audición permanente. El ultrasonido se utiliza para el tratamiento de las distensiones musculares con calor. Un rayo láser puede quemar una malignidad. Las olas del agua estropean las playas.

En esta sección, examinamos la expresión cuantitativa de la energía en ondas. Esto será de fundamental importancia en las discusiones posteriores sobre las ondas, desde el sonido a la luz hasta la mecánica cuántica.

Energía en ondas

La cantidad de energía en una onda está relacionada con su amplitud y su frecuencia. Los terremotos de gran amplitud producen grandes desplazamientos del terreno. Los sonidos fuertes tienen amplitudes de alta presión y provienen de vibraciones de una

524

Figura 6.15. El efecto destructivo de un terremoto es una evidencia observable de la energía transportada en estas ondas. La clasificación de terremotos en escala de Richter es una escala logarítmica relacionada tanto con su amplitud como con la energía que transportan.

fuente de mayor amplitud que los sonidos suaves. Los grandes rompeolas rompen la orilla más que los pequeños. Considera el ejemplo de la gaviota y la ola de agua al principio del capítulo (Figura 6.3). El trabajo se realiza en la gaviota por la ola a medida que la gaviota se mueve hacia arriba, cambiando su energía potencial. Cuanto mayor sea la amplitud, mayor será la elevación de la gaviota por la ola y mayor será el cambio en la energía potencial.

525

La energía de la onda depende tanto de la amplitud como de la frecuencia. Si se considera que la energía de cada longitud de onda es un paquete discreto de energía, una onda de alta frecuencia entregará más de estos paquetes por unidad de tiempo que una onda de baja frecuencia. Veremos que la tasa promedio de transferencia de energía en ondas mecánicas es proporcional tanto al cuadrado de la amplitud como al cuadrado de la frecuencia. Si dos ondas mecánicas tienen amplitudes iguales, pero una onda tiene una frecuencia igual a dos veces la frecuencia de la otra, la onda de mayor frecuencia tendrá una tasa de transferencia de energía un factor cuatro veces mayor que la tasa de transferencia de energía del onda de baja frecuencia. Cabe señalar que aunque la tasa de transporte de energía es proporcional tanto al cuadrado de la amplitud como al cuadrado de la frecuencia en ondas mecánicas, la tasa de transferencia de energía en las ondas electromagnéticas es proporcional al cuadrado de la amplitud, pero independiente de la frecuencia.

Propagación de ondas sísmicas (crédito: https://gfycat.com/opulentoddballgavial).

526

Potencia en las ondas

Considera una onda sinusoidal en una cuerda producida por un vibrador de cuerdas, como se muestra en la figura 6.16. El vibrador de cuerda es un dispositivo que hace vibrar una barra hacia arriba y hacia abajo. Una cuerda de densidad de masa lineal uniforme está unida a la barra, y la barra oscila la cadena, produciendo una onda sinusoidal. La barra funciona en la cuerda, produciendo energía que se propaga a lo largo de la cuerda. Considera un elemento de masa de la cuerda con una masa Δm, como se ve en la figura 6.16. A medida que la energía se propaga a lo largo de la cuerda, cada elemento de masa de la cuerda se mueve hacia arriba y hacia abajo a la misma frecuencia que la onda. Cada elemento de masa de la cuerda puede modelarse como un simple oscilador armónico. Como la cadena tiene una densidad lineal constante μ = Δm/Δx, cada elemento de masa de la cadena tiene la masa Δm = μΔx.

Figura 6.16. Un vibrador de cuerda es un dispositivo que hace vibrar una barra. Una cuerda está unida a la barra, y la barra actúa en la cuerda, empujando la cuerda hacia arriba y hacia abajo. Esto produce una onda sinusoidal en la cuerda, que se mueve con una velocidad de onda v. La velocidad de la onda depende de la tensión en la cuerda y la densidad de masa lineal de la cuerda. Una sección de la cuerda con masa Δm oscila a la misma frecuencia que la onda.

La energía mecánica total de la onda es la suma de su energía cinética y energía potencial. La energía cinética K = 1/2mv² de cada elemento de masa de la cadena de

527

longitud Δx es ΔK = 1/2(Δm)v_y², ya que el elemento de masa oscila perpendicularmente a la dirección del movimiento de la onda. Usando la densidad de masa lineal constante, la energía cinética de cada elemento de masa de la cuerda con longitud Δx es

ΔK = 1/2(μΔx)v_y²

Se puede formar una ecuación diferencial al permitir que la longitud del elemento de masa de la cuerda se aproxime a cero,

dK = limΔx→01/2(μΔx)v_y² = 1/2(μdx)v_y²

Dado que la onda es una onda sinusoidal con una frecuencia angular ω, la posición de cada elemento de masa se puede modelar como y(x, t) = Asen kx − ωt). Cada elemento de masa de la cuerda oscila con una velocidad v_y = ∂y(x, t)/∂t = −Aωcos(kx − ωt). La energía cinética de cada elemento de masa de la cuerda se convierte en

dK = 1/2(μdx)(−Aωcos(kx − ωt))²

dK = 1/2(μdx)A²ω²cos²(kx − ωt)

528

La onda puede ser muy larga, consistente en muchas longitudes de onda. Para estandarizar la energía, considera la energía cinética asociada con una longitud de onda de la onda. Esta energía cinética se puede integrar en la longitud de onda para encontrar la energía asociada con cada longitud de onda:

También hay energía potencial asociada a la onda. Al igual que la masa que oscila en un resorte, hay una fuerza restauradora conservadora que, cuando el elemento de masa se desplaza de la posición de equilibrio, hace que el elemento de masa regrese a la posición de equilibrio. La energía potencial del elemento de masa se puede encontrar considerando la fuerza de restauración lineal de la cuerda, En el capítulo anterior, vimos que la energía potencial almacenada en un resorte con una fuerza de restauración lineal es igual a U = (1/2)k_sx², donde la posición de equilibrio es definido como x = 0.00 m. Cuando una masa unida al resorte oscila en un movimiento armónico simple, la frecuencia angular es igual a ω = √k_s/m/. Como cada elemento de masa oscila en un movimiento armónico simple, la constante del resorte es igual a k_s = Δmω². La energía potencial del elemento masa es igual a

ΔU = 1/2k_sx² = 1/2Δmω²x².

529

Ten en cuenta que k_s es la constante de resorte y no el número de onda k = 2π/&lamda;. Esta ecuación se puede usar para encontrar la energía en una longitud de onda. Al integrar en la longitud de onda, podemos calcular la energía potencial en una longitud de onda:

La energía potencial asociada con una longitud de onda es igual a la energía cinética asociada con una longitud de onda.

La energía total asociada con una longitud de onda es la suma de la energía potencial y la energía cinética:

E_λ = U_λ + K_λ,
E_λ = 1/4μA²ω²λ + 1/2μA⁴ω²λ = 1/2μA²ω²λ

La potencia promediada en el tiempo de una onda mecánica sinusoidal, que es la tasa promedio de transferencia de energía asociada con una onda a medida que pasa un punto, se puede encontrar al tomar la energía total asociada a la onda dividida por el tiempo que se tarda en transferir la energía. Si la velocidad de la onda sinusoidal es constante, el tiempo para que una longitud de onda pase por un punto es igual al período de la onda, que también es constante. Para una onda mecánica sinusoidal,

530

la potencia promediada en el tiempo es, por lo tanto, la energía asociada con una longitud de onda dividida por el período de la onda. La longitud de onda de la onda dividida por el período es igual a la velocidad de la onda,

P_prom = E_λ/T = 1/2μA²ω²λ/T = 1/2μA²ω²v

(6.10)

Observa que esta ecuación para la potencia promediada en el tiempo de una onda mecánica sinusoidal muestra que la potencia es proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda y al cuadrado de la frecuencia angular de la onda. Recuerda que la frecuencia angular es igual a ω = 2πf, por lo que la potencia de una onda mecánica es igual al cuadrado de la amplitud y al cuadrado de la frecuencia de la onda.

Ejemplo 6.6

Potencia suministrada por un vibrador de cuerdas

Considera una cuerda de dos metros de largo con una masa de 70.00 g unida a un vibrador de cuerda como se ilustra en la figura 6.16. La tensión en la cuerda es de 90.0 N. Cuando el vibrador de cuerda se enciende, oscila con una frecuencia de 60 Hz y produce una onda sinusoidal en la cuerda con una amplitud de 4.00 cm y una velocidad de onda constante ¿Cuál es la potencia promediada en el tiempo suministrada a la onda por el vibrador de cuerda?

Estrategia

La potencia suministrada a la onda debe ser igual a la potencia promediada en el

531

tiempo de la onda en la cuerda. Sabemos la masa de la cuerda (m_s), la longitud de la cuerda (L_s) y la tensión (F_T) en la cuerda. La velocidad de la onda en la cuerda se puede derivar de la densidad de masa lineal y la tensión. La cuerda oscila con la misma frecuencia que el vibrador de cuerdas, desde donde podemos encontrar la frecuencia angular.

Solución

1. Comienza con la ecuación de la potencia promediada en el tiempo de una onda sinusoidal en una cuerda:

P = 1/2μA²ω²v

La amplitud está dada, por lo que necesitamos calcular la densidad de masa lineal de la cuerda, la frecuencia angular de la onda en la cuerda y la velocidad de la onda en la cuerda.

2. Necesitamos calcular la densidad lineal para encontrar la velocidad de onda:

μ = m_s/L_s = 0.070 kg/2.00 m = 0.035 kg/m.

3. La velocidad de onda se puede encontrar utilizando la densidad de masa lineal y la tensión de la cuerda:

532

4. La frecuencia angular se puede encontrar a partir de la frecuencia:

ω = 2πf = 2π(60 s⁻¹) = 376.80 s⁻¹.

5. Calcula la potencia promediada en el tiempo:

P = 1/2μA²ω²v = 12(0.035 kg/m)(0.040 m)²(376.80 s⁻¹)²(50.71 m/s) =201.59 W.

Explicación

La potencia promediada en el tiempo de una onda sinusoidal es proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda y al cuadrado de la frecuencia angular de la onda. Esto es cierto para la mayoría de las ondas mecánicas. Si la frecuencia angular o la amplitud de la onda se duplicaran, la potencia aumentaría en un factor de cuatro. La potencia promediada en el tiempo de la onda en una cuerda también es proporcional a la velocidad de la onda sinusoidal en la cuerda. Si la velocidad se duplicara, al aumentar la tensión en un factor de cuatro, la potencia también se duplicaría.

Comprueba tu aprendizaje 6.6

¿La potencia promediada en el tiempo de una onda sinusoidal en una cuerda es proporcional a la densidad lineal de la cuerda?

533

Las ecuaciones para la energía de la onda y la potencia promediada en el tiempo se derivaron para una onda sinusoidal en una cuerda. En general, la energía de una onda mecánica y la potencia son proporcionales a la amplitud al cuadrado y a la frecuencia angular al cuadrado (y, por lo tanto, a la frecuencia al cuadrado).

Otra característica importante de las ondas es la intensidad de las ondas. Las ondas también se pueden concentrar o extender. Las ondas de un terremoto, por ejemplo, se extienden sobre un área más grande a medida que se alejan de una fuente, por lo que causan menos daño cuanto más se alejan de la fuente. Cambiar el área que cubren las ondas tiene efectos importantes. Todos estos factores pertinentes se incluyen en la definición de intensidad (I) como potencia por unidad de área:

I = P/A

(6.11)

donde P es la potencia transportada por la onda a través del área A. La definición de intensidad es válida para cualquier energía en tránsito, incluida la transportada por ondas. La unidad del SI para intensidad es vatios por metro cuadrado (W/m²). Muchas ondas son ondas esféricas que salen de una fuente como una esfera.

Por ejemplo, un altavoz de sonido montado en un poste sobre el suelo puede producir ondas de sonido que se alejan de la fuente como una onda esférica. Las ondas de sonido se discuten con más detalle en el siguiente capítulo, pero en general, cuanto más lejos estés del hablante, menos intenso será el sonido que escuche. A medida que una onda esférica sale de una fuente, el área de superficie de la onda aumenta a medida que aumenta el radio (A = 4πr²). La intensidad para una onda esférica es por lo tanto

534

I = P/4πr²

(6.12)

Si no hay fuerzas disipativas, la energía permanecerá constante a medida que la onda esférica se aleja de la fuente, pero la intensidad disminuirá a medida que aumenta el área de la superficie.

En el caso de la onda circular bidimensional, la onda se mueve hacia afuera, aumentando la circunferencia de la onda a medida que aumenta el radio del círculo. Si arrojas una piedra en un estanque, la ondulación de la superficie se mueve como una onda circular. A medida que la onda se aleja de la fuente, la amplitud disminuye. La energía de la onda se extiende alrededor de una circunferencia más grande y la amplitud disminuye proporcionalmente a 1/r, que también es igual en el caso de una onda esférica, ya que la intensidad es proporcional a la amplitud al cuadrado.

En la siguiente escena interactiva, diseñada para las simulaciones Phet, podrás hacer ondas circulares con un grifo que gotea, con paralantes o con un láser. Puedes ver las ondas de agua, sonido y luz moverse y ver cómo se relacionan. Todas pueden ser representadas por una onda circular o sinusoidal. También puedes generar interferencias, como preludio al siguiente apartado.

Retomaremos esta escena en otros apartados, dada la variedad de prácticas que incorpora, útiles para contrastar la teoría ondulatoria.

535

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6.5 Interferencia de ondas

Hasta ahora, hemos estado estudiando ondas mecánicas que se propagan continuamente a través de un medio, pero no hemos discutido qué sucede cuando las

536

ondas encuentran el límite del medio o qué sucede cuando una onda encuentra otra onda que se propaga a través del mismo medio. Las ondas interactúan con los límites del medio, y toda o parte de la onda puede reflejarse. Por ejemplo, cuando te paras a cierta distancia de un acantilado rígido y gritas, puedes escuchar las ondas de sonido reflejadas en la superficie rígida como un eco. Las ondas también pueden interactuar con otras ondas que se propagan en el mismo medio. Si arrojas dos rocas en un estanque a cierta distancia entre sí, las ondulaciones circulares que resultan de las dos piedras parecen pasar una a la otra a medida que se propagan desde donde las piedras entraron en el agua o, usando la escena interactiva anterior, seleccionar dos fuentes y observar el fenómeno que se genera. Este fenómeno se conoce como interferencia. En esta sección, examinamos qué sucede con las ondas que se encuentran con el límite de un medio u otra onda que se propaga en el mismo medio. Veremos que su comportamiento es bastante diferente del comportamiento de las partículas y los cuerpos rígidos. Más adelante, cuando estudiemos la física moderna, veremos que solo en la escala de los átomos vemos similitudes en las propiedades de las ondas y las partículas.

Reflexión y transmisión

Cuando una onda se propaga a través de un medio, se refleja cuando se encuentra con el límite del medio. La ola antes de golpear el límite se conoce como la onda incidente. La onda después de encontrar el límite se conoce como la onda reflejada. La forma en que se refleja la onda en el límite del medio depende de las condiciones del límite; las ondas reaccionarán de manera diferente si el límite del medio se fija en su lugar o se puede mover libremente (Figura 6.17). Existe una condición de límite fijo cuando el medio en un límite se fija en su lugar por lo que no se puede mover. Existe una condición de límite libre cuando el medio en el límite se puede mover libremente.

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Figura 6.17. a) Se fija un extremo de una cuerda para que no se pueda mover. Una onda que se propaga en la cuerda, al encontrarse con esta condición de límite fijo, se refleja 180° (π rad) fuera de fase con respecto a la onda incidente. (b) Un extremo de una cuerda está atado a un anillo sólido de masa despreciable en un polo de laboratorio sin fricción, donde el anillo puede moverse libremente. Una onda que se propaga en la cuerda, que se encuentra con esta condición de límite libre, se refleja en la fase 0° (0 rad) con respecto a la onda.

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La parte (a) de la figura 6.17 muestra una condición de límite fijo. Aquí, un extremo de la cuerda se fija a una pared, de modo que el final de la cuerda se fija en su lugar y el medio (la cuerda) en el límite no se puede mover. Cuando la onda se refleja, la amplitud de la forma reflejada es exactamente la misma que la amplitud de la onda incidente, pero la onda reflejada se refleja 180° (π rad) fuera de fase con respecto a la onda incidente. El cambio de fase se puede explicar usando la tercera ley de Newton: recuerda que esta ley establece que cuando el objeto A ejerce una fuerza sobre el objeto B, entonces el objeto B ejerce una fuerza opuesta e igual sobre el objeto A. Cuando la onda incidente se encuentra con la pared, la cuerda ejerce una fuerza hacia arriba en la pared y la pared reacciona ejerciendo una fuerza igual y opuesta en la cuerda. La reflexión en un límite fijo se invierte. Ten en cuenta que la figura muestra una cresta de la onda incidente reflejada como un canal. Si la onda incidente fuera un canal, la onda reflejada sería una cresta.

La parte (b) de la figura muestra una condición de contorno libre. Aquí, un extremo de la cuerda está atado a un anillo sólido de masa despreciable en un polo sin fricción, por lo que el extremo de la cuerda queda libre para moverse hacia arriba y hacia abajo. A medida que la onda incidente se encuentra con el límite del medio, también se refleja. En el caso de una condición de contorno libre, la onda reflejada está en fase con respecto a la onda incidente. En este caso, la onda encuentra el límite libre aplicando una fuerza hacia arriba en el anillo, acelerando el anillo hacia arriba. El anillo viaja hasta la altura máxima igual a la amplitud de la onda y luego acelera hacia la posición de equilibrio debido a la tensión en la cuerda. La figura muestra la cresta de una onda incidente que se refleja en la fase con respecto a la onda incidente como una cresta. Si la onda incidente fuera un canal, la onda reflejada también sería un canal. La amplitud de la onda reflejada sería igual a la amplitud de la onda incidente.

En algunas situaciones, el límite del medio no es fijo ni libre. Considera la figura 6.18 (a), donde una cuerda de baja densidad de masa lineal está unida a una cuerda de mayor densidad de masa lineal. En este caso, la onda reflejada está fuera de fase con

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respecto a la onda incidente. También hay una onda transmitida que está en fase con respecto a la onda incidente.

Figura 6.18. Ondas que viajan a lo largo de dos tipos de cuerdas: una cuerda gruesa con una alta densidad lineal y una cuerda delgada con una baja densidad lineal. Ambas están bajo la misma tensión, por lo que una onda se mueve más rápido en la cuerda de baja densidad que en la de alta densidad. (a) Una onda que se mueve desde un medio de baja velocidad a uno de alta velocidad produce una onda reflejada que está desfasada 180° (π rad) con respecto al pulso (u onda) incidente y una onda transmitida que está en fase con la onda incidente. (b) Cuando una onda se mueve de un medio de baja velocidad a uno de alta velocidad, tanto la onda reflejada como la transmitida están en fase con respecto a la onda incidente.

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Tanto la onda incidente como la reflejada tienen amplitudes menores que la amplitud de la onda incidente. Si la tensión es la misma en ambas cuerdas, la velocidad de la onda es mayor en la cuerda con la densidad de masa lineal más baja.

La parte (b) de la figura muestra que una cuerda de alta densidad de masa lineal está unida a una cuerda de una densidad lineal más baja. En este caso, la onda reflejada está en fase con respecto a la onda incidente. También hay una onda transmitida que está en fase con respecto a la onda incidente. Tanto la onda incidente como la reflejada tienen amplitudes menores que la amplitud de la onda incidente. Aquí puedes observar que si la tensión es la misma en ambas cuerdas, la velocidad de la onda es mayor en la cuerda con la densidad de masa lineal más baja.

Superposición e Interferencia

La mayoría de las ondas no parecen muy simples. Las ondas complejas son más interesantes, incluso hermosas, pero parecen formidables. Las ondas mecánicas más interesantes consisten en una combinación de dos o más ondas viajeras que se propagan en el mismo medio. El principio de superposición se puede utilizar para analizar la combinación de ondas.

Considera dos pulsos simples de la misma amplitud que se mueven uno hacia el otro en el mismo medio, como se muestra en la figura 6.19. Eventualmente, las ondas se superponen, produciendo una onda que tiene el doble de amplitud, y luego continúan sin verse afectadas por el encuentro. Se dice que los pulsos interfieren, y este fenómeno se conoce como interferencia.

Para analizar la interferencia de dos o más ondas, utilizamos el principio de superposición. Para las ondas mecánicas, el principio de superposición establece que si dos o más ondas viajeras se combinan en el mismo punto, la posición resultante del elemento

541

Figura 6.19. Dos pulsos que se mueven uno hacia el otro experimentan interferencia. El término interferencia se refiere a lo que sucede cuando dos ondas se superponen.

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de masa del medio, en ese punto, es la suma algebraica de la posición debida a las ondas individuales. Esta propiedad es exhibida por muchas ondas observadas, tales como ondas en una cuerda, ondas de sonido y ondas de agua de una superficie. Las ondas electromagnéticas también obedecen al principio de superposición, pero los campos eléctrico y magnético de la onda combinada se agregan en lugar del desplazamiento del medio. Las ondas que obedecen al principio de superposición son ondas lineales; Las ondas que no obedecen al principio de superposición se denominan ondas no lineales.

El principio de superposición se puede entender considerando la ecuación de onda lineal. En Matemáticas de una onda, definimos una onda lineal como una onda cuya representación matemática obedece a la ecuación de onda lineal. Para una onda transversal en una cuerda con una fuerza de restauración elástica, la ecuación de onda lineal es

∂²y(x, t)/∂x² = 1/v²∂²y(x, t)/part;t²

Cualquier función de onda y(x, t) = y(x ∓ vt), donde el argumento de la función es lineal (x ∓ vt) es una solución a la ecuación de onda lineal y es una función de onda lineal. Si las funciones de onda y₁(x, t) y y₂(x, t) son soluciones a la ecuación de onda lineal, la suma de las dos funciones y₁(x, t) + y₂(x, t) también es una solución a la ecuación lineal de onda. Las ondas mecánicas que obedecen a la superposición están normalmente restringidas a ondas con amplitudes que son pequeñas con respecto a sus longitudes de onda. Si la amplitud es demasiado grande, el medio se distorsiona más allá de la región donde la fuerza restauradora del medio es lineal.

Las ondas pueden interferir constructiva o destructivamente. La figura 6.20 muestra

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dos ondas sinusoidales idénticas que llegan al mismo punto exactamente en fase. La figura 6.20 (a) y (b) muestra las dos ondas individuales, la parte (c) muestra la onda resultante que resulta de la suma algebraica de las dos ondas lineales. Las crestas de las dos ondas están alineadas con precisión, al igual que los canales. Esta superposición produce interferencia constructiva. Debido a que las perturbaciones se suman, la interferencia constructiva produce una onda que tiene el doble de amplitud que las ondas individuales, pero tiene la misma longitud de onda.

La figura 6.21 muestra dos ondas idénticas que llegan exactamente 180° fuera de fase, lo que produce interferencia destructiva. La figura 6.21 (a) y (b) muestra las ondas individuales, y la parte (c) muestra la superposición de las dos ondas. Debido a que los canales de una onda agregan la cresta de la otra onda, la amplitud resultante es cero para la interferencia destructiva: las ondas se cancelan por completo.

Posterior a las dos gráficas (6.20 y 6.21), presentamos una escena interactiva diseñada por Loo Kang y Wolfgang Christian, en la cual puedes practicar con un modelo de superposición de dos ondas. El modelo muestra cómo el principio de superposición da lugar a fenómenos de onda, como las ondas estacionarias y los latidos. Puedes ingresar funciones de onda de valor real y observar tanto las funciones dependientes del tiempo como su superposición. Con la configuración inicial, con sólo hacer clic en el botón de reproducción, podrás recrear las gráficas 6.20 y 6.21.

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Figura 6.20. La interferencia constructiva de dos ondas idénticas produce una onda con el doble de amplitud, pero la misma longitud de onda.

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Figura 6.21. La interferencia destructiva de dos ondas idénticas, una con un cambio de fase de 180° (π rad), produce una amplitud cero o una cancelación completa.

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Cuando las ondas lineales interfieren, la onda resultante es solo la suma algebraica de las ondas individuales como se establece en el principio de superposición. La figura 6.22 muestra dos ondas (roja y azul) y la onda resultante (negra). La onda resultante es la suma algebraica de las dos ondas individuales.

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Figura 6.22. Cuando dos ondas lineales en el mismo medio interfieren, la altura de la onda resultante es la suma de las alturas de las ondas individuales, tomadas punto por punto. Esta gráfica muestra dos ondas (roja y azul) sumadas, junto con la onda resultante (negra). Estos gráficos representan la altura de la onda en cada punto. Las ondas pueden ser cualquier onda lineal, incluidas las ondulaciones en un estanque, las perturbaciones en una cuerda, el sonido o las ondas electromagnéticas.

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La superposición de la mayoría de las ondas produce una combinación de interferencia constructiva y destructiva, y puede variar de un lugar a otro y de un momento a otro. El sonido de un estéreo, por ejemplo, puede ser alto en un lugar y tranquilo en otro. La intensidad de sonido variable significa que las ondas de sonido se agregan parcialmente de manera constructiva y parcialmente destructiva en diferentes ubicaciones. Un estéreo tiene al menos dos altavoces que crean ondas de sonido, y las ondas pueden reflejarse desde las paredes. Todas estas ondas interfieren, y la onda resultante es la superposición de las ondas.

Hemos mostrado varios ejemplos de la superposición de ondas que son similares. La figura 6.23 ilustra un ejemplo de la superposición de dos ondas diferentes. Aquí nuevamente, las perturbaciones se suman, produciendo una onda resultante.

Figura 6.23. La superposición de ondas no idénticas exhibe interferencias tanto constructivas como destructivas.

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A veces, cuando dos o más ondas mecánicas interfieren, el patrón producido por la onda resultante puede ser rico en complejidad, algunos sin ningún patrón fácilmente discernible. Por ejemplo, trazar la onda de sonido de tu música favorita puede parecer bastante complejo y es la superposición de las ondas de sonido individuales de muchos instrumentos; es la complejidad lo que hace que la música sea interesante y valga la pena escucharla. En otras ocasiones, las ondas pueden interferir y producir fenómenos interesantes, que son complejos en su apariencia y, sin embargo, hermosos en la simplicidad del principio físico de superposición, que formó la onda resultante. Un ejemplo es el fenómeno conocido como ondas estacionarias, producido por dos ondas idénticas que se mueven en diferentes direcciones. Veremos más de cerca este fenómeno en la siguiente sección.

Superposición de ondas sinusoidales que difieren en un cambio de fase

Muchos ejemplos en física consisten en dos ondas sinusoidales que son idénticas en amplitud, número de onda y frecuencia angular, pero difieren en un cambio de fase:

y₁(x, t) = Asen(kx − ωt + φ), y₂(x, t) = Asin (kx − ωt).

Cuando estas dos ondas existen en el mismo medio, la onda resultante de la superposición de las dos ondas individuales es la suma de las dos ondas individuales:

y_R(x, t) = y₁(x, t) + y₂(x, t) = Asen(kx − ωt + φ) + Asen(kx − ωt).

La onda resultante se puede entender mejor usando la identidad trigonométrica:

senu + senv = 2sen(u + v/2)cos(u - v/2)

550

donde u = kx − ωt + φ y v = kx − ωt. La onda resultante se convierte en

y_R(x, t) = y₁(x, t) + y₂(x, t) = Asen(kx − ωt + φ) + Asen(kx − ωt)

= 2Asen((kx − ωt + φ)+(kx − ωt)/2)cos((kx − ωt + φ)−(kx − ωt)/2)

= 2Asen(kx − ωt + φ/2)cos(φ/2)

Esta ecuación generalmente se escribe como

y_R(x, t) = [2Acos(φ/2)]sen(kx − ωt + φ/2).

(6.13)

La onda resultante tiene el mismo número de onda y frecuencia angular, una amplitud de A_R = [2Acos(2)], y un desplazamiento de fase igual a la mitad del cambio de fase original. En la figura 6.24 se muestran ejemplos de ondas que difieren solo en un cambio de fase. Las ondas roja y azul tienen cada una la misma amplitud, número de onda y frecuencia angular, y difieren solo en un cambio de fase. Por lo tanto, tienen el mismo período, longitud de onda y frecuencia. La onda verde es el resultado de la superposición de las dos ondas. Cuando las dos ondas tienen una diferencia de fase de cero, las ondas están en fase, y la onda resultante tiene el mismo número de onda y frecuencia angular, y una amplitud igual al doble de las amplitudes individuales (parte (a)). Esto es una interferencia constructiva. Si la diferencia de fase es de 180°, las ondas interfieren en la interferencia destructiva (parte (c)). La onda resultante tiene una amplitud de cero. Cualquier otra diferencia de fase da como resultado

551

una onda con el mismo número de onda y frecuencia angular que las dos ondas incidentes, pero con un desplazamiento de fase de φ/2 y una amplitud igual a 2Acos(φ/2). Los ejemplos se muestran en las partes (b) y (d).

Figura 6.24 (parte 1). Superposición de dos ondas con amplitudes, longitudes de onda y frecuencia idénticas, pero que difieren en un cambio de fase. La onda roja está definida por la función de onda y₁(x, t) = Asen(kx − ωt) y la onda azul está definida por la función de onda y₂(x, t) = Asen (kx − ωt + φ). La línea negra muestra el resultado de sumar las dos ondas. La diferencia de fase entre las dos ondas es (a) 0.00 rad, (b) &pi/2 rad.

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Figura 6.24 (parte 2). Superposición de dos ondas con amplitudes, longitudes de onda y frecuencia idénticas, pero que difieren en un cambio de fase. La onda roja está definida por la función de onda y₁(x, t) = Asen(kx − ωt) y la onda azul está definida por la función de onda y₂(x, t) = Asen (kx − ωt + φ). La línea negra muestra el resultado de sumar las dos ondas. La diferencia de fase entre las dos ondas es (c) π rad, y (d) 3π/2 rad.

6.6 Ondas estacionarias y resonancia

A lo largo de este capítulo, hemos estado estudiando ondas viajeras, o ondas que transportan energía de un lugar a otro. Bajo ciertas condiciones, las olas pueden rebotar hacia adelante y hacia atrás a través de una región en particular, quedando efectivamente estacionarias. Estas se llaman ondas estacionarias.

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Otro efecto relacionado se conoce como resonancia. En el capítulo de Oscilaciones, definimos la resonancia como un fenómeno en el que una fuerza motriz de pequeña amplitud podría producir un movimiento de gran amplitud. Piensa en un niño en un columpio, que puede modelarse como un péndulo físico. Los impulsos de amplitud relativamente pequeña por parte de un padre pueden producir oscilaciones de gran amplitud. A veces, esta resonancia es buena, por ejemplo, al producir música con un instrumento de cuerda. En otros momentos, los efectos pueden ser devastadores, como el colapso de un edificio durante un terremoto. Por otra parte, las ondas estacionarias de amplitud relativamente grande se producen por la superposición de ondas de amplitud más pequeña.

Ondas estacionarias

A veces las ondas no parecen moverse; más bien, simplemente vibran en su lugar. Por ejemplo, puedes ver ondas inmóviles en la superficie de un vaso de leche en un refrigerador. Las vibraciones del motor del refrigerador crean ondas en la leche que oscilan hacia arriba y hacia abajo pero que no parecen moverse a través de la superficie. La figura 6.25 muestra un experimento que puedes probar en casa. Toma un tazón de leche y colóquelo en un ventilador de caja común. Las vibraciones del ventilador producirán ondas estacionarias circulares en la leche. Las ondas son visibles en la foto debido al reflejo de una lámpara. Estas ondas están formadas por la superposición de dos o más ondas viajeras, como se ilustra en la figura 6.26 para dos ondas idénticas que se mueven en direcciones opuestas. Las ondas se mueven una a la otra con sus disturbios añadiéndose a medida que pasan. Si las dos ondas tienen la misma amplitud y longitud de onda, entonces alternan entre interferencia constructiva y destructiva. El resultado se parece a una onda que permanece en su lugar y, por lo tanto, se llama onda estacionaria.

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Figura 6.25. Las ondas estacionarias se forman en la superficie de un cuenco de leche puesto en un ventilador de caja. Las vibraciones del ventilador hacen que la superficie de la leche oscile. Las ondas son visibles debido al reflejo de la luz de una lámpara (crédito: David Chelton).

Onda estacionaria (crédito: https://commons.wikimedia.org).

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Figura 6.26 (parte 1). Instantáneas del tiempo de dos ondas sinusoidales. La onda roja se está moviendo en la dirección −x y la onda azul se está moviendo en la dirección +x. La onda resultante se muestra en negro. Considera la onda resultante en los puntos x = 0m, 3m, 6m, 9m, 12m, 15m y observa que la onda resultante siempre es cero en estos puntos, sin importar el momento. Estos puntos son conocidos como puntos fijos (nodos). Entre cada dos nodos hay un antinodo, un lugar donde el medio oscila con una amplitud igual a la suma de las amplitudes de las ondas individuales.

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Figura 6.26 (parte 2). Instantáneas del tiempo de dos ondas sinusoidales. La onda roja se está moviendo en la dirección −x y la onda azul se está moviendo en la dirección +x. La onda resultante se muestra en negro. Considera la onda resultante en los puntos x = 0m, 3m, 6m, 9m, 12m, 15m y observa que la onda resultante siempre es cero en estos puntos, sin importar el momento. Estos puntos son conocidos como puntos fijos (nodos). Entre cada dos nodos hay un antinodo, un lugar donde el medio oscila con una amplitud igual a la suma de las amplitudes de las ondas individuales.

557

Considera dos ondas idénticas que se mueven en direcciones opuestas. La primera onda tiene una función de onda de y₁(x, t) = Asen(kx − ωt) y la segunda onda tiene una función de onda y₂(x, t) = Asen(kx + ωt). Las ondas interfieren y forman una onda resultante.

y(x, t) = y₁(x, t) + y₂(x, t), y (x, t) = Asen(kx − ωt) + Asen(kx + ωt).

Esto se puede simplificar utilizando la identidad trigonométrica.

sen(α ± β) = senαcosβ ± cosαsenβ,

donde α = kx y β = ωt, dándonos

y(x, t) = A[sen(kx)cos(ωt) − cos(kx)sen(ωt) + sen(kx)cos(ωt) − cos(kx)sen (ωt)],

lo que simplifica a

y(x,t) = [2Asen(kx)]cos(ωt)

(6.14)

Observa que la onda resultante es una onda sinusoidal que es una función solo de la posición, multiplicada por una función de coseno que es una función solo del tiempo. Los gráficos de y(x, t) en función de x para varios tiempos se muestran en la figura 6.26. La onda roja se mueve en la dirección x negativa, la onda azul se mueve en la dirección x positiva y la onda negra es la suma de las dos ondas. A medida que las ondas rojas y azules se mueven entre sí, se mueven dentro y fuera de la interferencia constructiva y la interferencia destructiva.

Inicialmente, en el tiempo t = 0, las dos ondas están en fase, y el resultado es una onda

558

que es el doble de la amplitud de las ondas individuales. Las ondas también están en fase en el momento t = T/2. De hecho, las ondas están en fase en cualquier múltiplo entero de la mitad de un período:

t = nT/2, donde n = 0,1,2,3....(en fase).

En otros momentos, las dos ondas están 180° (radios π) fuera de fase, y la onda resultante es igual a cero. Esto sucede en

t = 1/4T, 3/4T, 5/4T,...,n/4T, donde n = 1,3,5 .... (en fase).

Observa que algunas posiciones x de la onda resultante siempre son cero, sin importar cuál sea la relación de fase. Estas posiciones se llaman nodos. ¿Dónde ocurren los nodos? Considera la solución a la suma de las dos ondas.

y(x, t) = [2Asen(kx)]cos(ωt)

Encontrar las posiciones donde la función seno es igual a cero proporciona las posiciones de los nodos.

sen(kx) = 0
kx = 0, π, 2π, 3π, ...
2π/λx = 0, π, 2π, 3π, ...

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x = 0, λ/2, λ, 3λ/2, ••• = nλ/2, con n = 0,1,2,3,...

También hay posiciones donde y oscila entre y = ± A. Estos son los antinodos. Podemos encontrarlos considerando qué valores de x resultan en sin (kx) = ± 1.

sen(kx) = ± 1
kx = π/2, 3π/2, 5π/2, ...
2π/λx = π/2, 3π/2, 5π/2, ...
x = λ/4, 5λ/4, 5λ/4,... = nλ/4, con n = 1,3,5, ...

Lo que resulta es una onda estacionaria como se muestra en la figura 6.27, que muestra instantáneas de la onda resultante de dos ondas idénticas que se mueven en direcciones opuestas. La onda resultante parece ser una onda sinusoidal con nodos en múltiplos enteros de medias longitudes de onda. Los antinodos oscilan entre y = ± 2A debido al término coseno, cos(ωt), que oscila entre ± 1.

La onda resultante parece estar parada, sin movimiento aparente en la dirección x, aunque está compuesta por una función de onda que se mueve en la positiva, mientras que la segunda onda se mueve en la dirección x negativa. La figura 6.27 muestra varias instantáneas de la onda resultante. Los nodos están marcados con puntos rojos, mientras que los antinodos están marcados con puntos azules.

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Figura 6.27. Cuando dos ondas idénticas se mueven en direcciones opuestas, la onda resultante es una onda estacionaria. Los nodos aparecen en múltiplos enteros de medias longitudes de onda. Los antinodos aparecen en múltiplos impares de longitudes de onda trimestrales, donde oscilan entre y = ± A. Los nodos están marcados con puntos rojos y los antinodos están marcados con puntos azules.

En la siguiente escena interactiva, diseñada por Andrew Duffy, puedes interactuar con diferentes valores de n, los cuales determinan el número de nodos en la onda estacionaria. Un ejercicio interesante es usar los botones paso adelante y atrás, para obtener una onda estacionaria de amplitud cero.

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Un ejemplo común de ondas estacionarias son las ondas producidas por instrumentos musicales de cuerda. Cuando se tira de la cuerda, los pulsos viajan a lo largo de la cuerda en direcciones opuestas. Los extremos de las cuerdas están fijos en su lugar, por lo que aparecen nodos en los extremos de las cuerdas: las condiciones de contorno del sistema, que regulan las frecuencias resonantes en las cuerdas. La resonancia producida en un instrumento de cuerda se puede modelar en un laboratorio de física utilizando el aparato que se muestra en la figura 6.28

Figura 6.28. Una configuración de laboratorio para crear ondas estacionarias en una cuerda. La cuerda tiene un nodo en cada extremo y una densidad lineal constante. La longitud entre las condiciones de límite fijas es L. La masa colgante proporciona la tensión en la cuerda, y la velocidad de las ondas en la cuerda es proporcional a la raíz cuadrada de la tensión dividida por la densidad de masa lineal.

La configuración del laboratorio muestra una cuerda unida a un vibrador de cadena, que oscila la cuerda con una frecuencia ajustable f. El otro extremo de la cuerda pasa sobre una polea sin fricción y está atado a una masa colgante. La magnitud de

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la tensión en la cuerda es igual al peso de la masa colgante. La cadena tiene una densidad lineal constante (masa por longitud) μ y la velocidad a la que una onda se desplaza por la cadena es igual a (ecuación 6.7). Las condiciones

de contorno simétricas (un nodo en cada extremo) dictan las posibles frecuencias que pueden excitar las ondas estacionarias. Comenzando desde una frecuencia de cero y aumentando lentamente la frecuencia, el primer modo n = 1 aparece como se muestra en la figura 6.29. El primer modo, también denominado modo fundamental o primer armónico, muestra que se ha formado la mitad de la longitud de onda, por lo que la longitud de onda es igual al doble de la longitud entre los nodos λ₁ = 2L. La frecuencia fundamental, o la primera frecuencia armónica, que controla este modo es

f₁ = v/λ₁ = v/2L

donde la velocidad de la onda es . Mantener la tensión constante y

aumentar la frecuencia conduce al segundo armónico o al modo n = 2. Este modo es una longitud de onda completa λ₂ = L y la frecuencia es el doble de la frecuencia fundamental:

f₂ = v/λ₂ = v/L = 2f₁

564

Figura 6.29. Ondas estacionarias creadas en una cuerda de longitud L. Se produce un nodo en cada extremo de la cadena. Los nodos son condiciones de contorno que limitan las posibles frecuencias que excitan las ondas estacionarias (observaa que las amplitudes de las oscilaciones se han mantenido constantes para la visualización. Los patrones de onda estacionarios posibles en la cuerda se conocen como modos normales. La realización de este experimento en el laboratorio provocaría una disminución de la amplitud a medida que aumenta la frecuencia).

Practica, nuevamente, con la última escena interactiva, en la que puedes observar hasta seis modos de vibración o armónicos.

565

Los siguientes dos modos, o los armónicos tercero y cuarto, tienen longitudes de onda de λ₃ = 3/3L y λ₄ = 3/4L, controladas por frecuencias de f₃ = 3v/2L = 3f₁ y f₄ = 4v/2L = 4f₁. Todas las frecuencias por encima de la frecuencia f₁ se conocen como sobretonos. Las ecuaciones para la longitud de onda y la frecuencia se pueden resumir como:

λ_n = 2/nL, con n=1,2,3,4,5...

(6.15)

f_n = nv/2L = nf₁, con n=1,2,3,4,5...

(6.16)

Los patrones de onda estacionaria que son posibles para una cuerda, los primeros cuatro de los cuales se muestran en la figura 6.29, se conocen como los modos normales, con frecuencias conocidas como las frecuencias normales. En resumen, la primera frecuencia para producir un modo normal se denomina frecuencia fundamental (o primer armónico). Cualquier frecuencia por encima de la frecuencia fundamental son armónicos. La segunda frecuencia del modo normal n = 2 de la cadena es el primer sobretono (o segundo armónico). La frecuencia del modo normal n = 3 es el segundo sobretono (o tercer armónico) y así sucesivamente.

Las soluciones que se muestran como la Ecuación 6.15 y la Ecuación 6.16 son para una cuerda con la condición de contorno de un nodo en cada extremo. Cuando la condición de frontera en cualquiera de los lados es la misma, se dice que el sistema tiene condiciones de frontera simétricas. La ecuación 6.15 y la ecuación 6.16 son buenas para cualquier condición de frontera simétrica, es decir, nodos en ambos extremos o

566

antinodos en ambos extremos.

Ejemplo 6.7

Ondas estacionarias en una cuerda

Considera una cuerda de L = 2.00m. conectada a un vibrador de cuerda de frecuencia ajustable como se muestra en la figura 6.30. Las ondas producidas por el vibrador viajan por la cuerda y son reflejadas por la condición de límite fijo en la polea. La cuerda, que tiene una densidad de masa lineal de μ = 0,006 kg/m, se pasa sobre una polea sin fricción de una masa despreciable, y la tensión es proporcionada por una masa colgante de 2,00 kg. (a) ¿Cuál es la velocidad de las ondas en la cuerda? (b) Dibuja un boceto de los tres primeros modos normales de las ondas estacionarias que se pueden producir en la cuerda y etiquételas con la longitud de onda. (c) Enumera las frecuencias a las que se debe sintonizar el vibrador de cuerda para producir los primeros tres modos normales de las ondas estacionarias.

Figura 6.30. Una cuerda unida a un vibrador de cuerda de frecuencia ajustable.

567

Estrategia

a. La velocidad de la onda se puede encontrar usando . La tensión es

proporcionada por el peso de la masa colgante.

b. Las ondas estacionarias dependerán de las condiciones de contorno. Debe haber un nodo en cada extremo. El primer modo será la mitad de una onda. El segundo se puede encontrar agregando una media longitud de onda. Esa es la longitud más corta que resultará en un nodo en los límites. Por ejemplo, agregar un cuarto de una longitud de onda resultará en un antinodo en el límite y no es un modo que satisfaga las condiciones del límite. Esto se muestra en la figura 6.31.

c. Dado que la velocidad de la onda es la longitud de onda multiplicada por la frecuencia, la frecuencia es la velocidad de la onda dividida por la longitud de onda.

Figura 6.31. (a) La figura representa el segundo modo de la cuerda que satisface las condiciones de contorno de un nodo en cada extremo de la cuerda. (b) Esta figura no podría ser un modo normal en la cuerda porque no satisface las condiciones de contorno. Hay un nodo en un extremo, pero un antinodo en el otro.

568

Solución

a. Comienza con la velocidad de una onda en una cuerda. La tensión es igual al peso de la masa colgante. La densidad de masa lineal y la masa de la masa colgante se dan:

b. El primer modo normal que tiene un nodo en cada extremo es una longitud de onda media. Los siguientes dos modos se encuentran agregando la mitad de una longitud de onda.

c. Las frecuencias de los tres primeros modos se encuentran usando f = v_w/λ.

569

f₁ = v_w/λ₁ = 57.15 m/s/4.00 m = 14.29 Hz

f₂ = v_w/λ₂ = 57.15 m/s/2.00 m = 28.58 Hz

f₃ = v_w/λ₃ = 57.15 m/s/1.333 m = 42.87 Hz

Explicación

Los tres modos en este ejemplo fueron producidos manteniendo la tensión en la cuerda y ajustando la frecuencia de conducción. Mantener la tensión constante en la cuerda da como resultado una velocidad constante. Los mismos modos podrían haberse producido manteniendo la frecuencia constante y ajustando la velocidad de la onda en la cuerda (cambiando la masa colgante).

En el siguiente Comprueba tu aprendizaje, las condiciones de contorno libre pueden parecer difíciles de visualizar. ¿Cómo puede haber un sistema que oscile libremente en cada extremo? En la figura 6.32 se muestran dos configuraciones posibles de barras metálicas (que se muestran en rojo) unidas a dos soportes (que se muestran en azul). En la parte (a), la varilla se apoya en los extremos y hay condiciones de frontera fijas en ambos extremos. Dada la frecuencia adecuada, la varilla puede activarse en resonancia con una longitud de onda igual a la longitud de la varilla, con nodos en cada extremo.

570

Comprueba tu aprendizaje 6.7

Las ecuaciones para las longitudes de onda y las frecuencias de los modos de una onda producida en una cuerda:

λ_n = 2/nL, con n = 1,2,3,4,5,...
f_n = nv/2L, con n = 1,2,3,4,5,...

se derivaron considerando una onda en una cuerda donde había condiciones de límites simétricas de un nodo en cada extremo. Estos modos resultaron de dos ondas sinusoidales con características idénticas, excepto que se movían en direcciones opuestas, confinadas a una región L con nodos requeridos en ambos extremos. ¿Funcionarán las mismas ecuaciones si hubiera condiciones de contorno simétricas con antinodos en cada extremo? ¿Cómo serían los modos normales para un medio que podía oscilar libremente en cada extremo? No te preocupes, por ahora, si no puedes imaginar un medio así, solo considera dos funciones de onda sinusoidal en una región de longitud L, con antinodos en cada extremo.

En la parte (b) de la figura 6.32, la varilla se apoya en las posiciones de un cuarto de la longitud de cada extremo de la varilla, y hay condiciones de frontera libre en ambos extremos. Dada la frecuencia adecuada, esta varilla también puede activarse en resonancia con una longitud de onda igual a la longitud de la varilla, pero hay antinodos en cada

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extremo. Si tienes problemas para visualizar la longitud de onda en esta figura, recuerda que la longitud de onda puede medirse entre los dos puntos idénticos más cercanos y, además, puedes considerar figura 6.33.

Figura 6.32. (a) Una varilla metálica de longitud L (roja) soportada por dos soportes (azul) en cada extremo. Cuando se maneja a la frecuencia adecuada, la barra puede resonar con una longitud de onda igual a la longitud de la barra con un nodo en cada extremo. (b) La misma varilla metálica de longitud L (roja) apoyada por dos soportes (azul) en una posición un cuarto de la longitud de la varilla de cada extremo. Cuando se acciona a la frecuencia adecuada, la varilla puede resonar con una longitud de onda igual a la longitud de la varilla con un antinodo en cada extremo.

Tenga en cuenta que el estudio de las ondas estacionarias puede llegar a ser bastante complejo. En la figura 6.32 (a), se muestra el modo n = 2 de la onda estacionaria, y da como resultado una longitud de onda igual a L. En esta configuración, el modo n = 1

572

también habría sido posible con una onda estacionaria igual a 2L ¿Es posible obtener el modo n = 1 para la configuración que se muestra en la parte (b)? La respuesta es no. En esta configuración, hay condiciones adicionales establecidas más allá de las condiciones de contorno. Dado que la varilla se monta en un punto de un cuarto de la longitud de cada lado, debe existir un nodo allí, y esto limita los posibles modos de ondas estacionarias que se pueden crear. Lo dejamos como un ejercicio para que el lector considere si otros modos de ondas estacionarias son posibles.

Figura 6.33. Una longitud de onda se puede medir entre los dos puntos de repetición más cercanos. En la onda en una cuerda, esto significa la misma altura y pendiente. (a) La longitud de onda se mide entre los dos puntos más cercanos donde la altura es cero y la pendiente es máxima y positiva. (b) La longitud de onda se mide entre dos puntos idénticos donde la altura es máxima y la pendiente es cero.

573

Debe observarse que cuando un sistema se acciona a una frecuencia que no hace que el sistema resuene, pueden producirse vibraciones, pero la amplitud de las vibraciones será mucho menor que la amplitud en la resonancia.

Un campo de la ingeniería mecánica utiliza el sonido producido por las partes vibrantes de sistemas mecánicos complejos para solucionar problemas con los sistemas. Supongamos que una parte en un automóvil está resonando en la frecuencia del motor del automóvil, causando vibraciones no deseadas en el automóvil. Esto puede hacer que el motor falle prematuramente. Los ingenieros usan micrófonos para grabar el sonido producido por el motor, luego usan una técnica llamada análisis de Fourier para encontrar frecuencias de sonido producidas con grandes amplitudes y luego miran la lista de piezas del automóvil para encontrar una parte que resuene en esa frecuencia. La solución puede ser tan simple como cambiar la composición del material utilizado o cambiar la longitud de la parte en cuestión.

Hay otros numerosos ejemplos de resonancia en ondas estacionarias en el mundo físico. El aire en un tubo, como el que se encuentra en un instrumento musical como una flauta, puede forzarse en resonancia y producir un sonido agradable, como discutiremos en el capítulo de Sonido.

En otras ocasiones, la resonancia puede causar problemas graves. Una mirada más cercana a los terremotos proporciona evidencia de las condiciones apropiadas para la resonancia, las ondas estacionarias y las interferencias constructivas y destructivas. Un edificio puede vibrar durante varios segundos con una frecuencia de conducción igual a la frecuencia natural de vibración del edificio, produciendo una resonancia que hace que un edificio se derrumbe, mientras que los edificios vecinos no lo hacen. A menudo, los edificios de cierta altura son devastados, mientras que otros edificios más altos permanecen intactos. La altura del edificio coincide con la condición para configurar una onda estacionaria para esa altura en particular. La extensión

574

del techo también es importante. A menudo se ve que los gimnasios, los supermercados y las iglesias sufren daños cuando las casas individuales sufren mucho menos daños. Los techos con grandes áreas de superficie soportadas solo en los bordes resuenan en las frecuencias de los terremotos, lo que hace que se colapsen. A medida que las ondas sísmicas viajan a lo largo de la superficie de la Tierra y se reflejan en rocas más densas, se producen interferencias constructivas en ciertos puntos. A menudo, las áreas más cercanas al epicentro no se dañan, mientras que las áreas más alejadas se dañan.

Un ejemplo de resonancia mecánica, muy utilizado en ingeniería, fue el colapso del puente colgante de Tacoma Narrows, en el estado de Washington: "El fenómeno de resonancia longitudinal, hacia que el puente se deformara en esa dirección. Literalmente los coches galopaban sobre el asfalto como barquitos sobre las olas del mar, se movían de arriba abajo" (http://eldilemadehamlet.blogspot.com/).

Figura 6.34. Vibraciones en el puente Tacoma Narrows (crédito: https://www.reddit.com/r/gifs/).

Terminamos este capítulo con otra escena interactiva, diseñada por Andrew Duffy, sobre ondas estacionarias en una tubería.

575

Ampliar

576

6.7 Preguntas y respuestas - Capítulo VI

Respuestas

Ampliar

577

578

Capítulo vii

Sonido

Introducción

Figura 7.1. La audición es un importante sentido humano que puede detectar frecuencias de sonido, que oscilan entre 20 Hz y 20 kHz. Sin embargo, otras especies tienen rangos de audición muy diferentes. Los murciélagos, por ejemplo, emiten clics en ultrasonido, utilizando frecuencias superiores a 20 kHz. Pueden detectar insectos cercanos al escuchar el eco de estos clics ultrasónicos. El ultrasonido es importante en varias aplicaciones humanas, incluido el sondeo de las estructuras internas de los cuerpos humanos, la Tierra y el Sol. El ultrasonido también es útil en la industria para pruebas no destructivas (Crédito: modificación del trabajo de Angell Williams)<./p>

El sonido es un ejemplo de una onda mecánica, específicamente, una onda de presión: las ondas de sonido viajan por el aire y otros medios como oscilaciones de las moléculas. La audición humana normal abarca una impresionante gama de frecuencias de 20 Hz a 20 kHz. Los sonidos por debajo de 20 Hz se llaman infrasonidos, mientras que los que están por encima de 20 kHz se llaman ultrasonidos. Algunos animales, como el murciélago que se muestra en la figura 7.1, pueden escuchar sonidos en el rango ultrasónico.

581

Muchos de los conceptos tratados en el capítulo de Ondas también tienen aplicaciones en el estudio del sonido. Por ejemplo, cuando una onda de sonido encuentra una interfaz entre dos medios con diferentes velocidades de onda, se produce la reflexión y la transmisión de la onda.

La ecografía tiene muchos usos en ciencia, ingeniería y medicina. El ultrasonido se usa para pruebas no destructivas en ingeniería, como las pruebas del espesor del recubrimiento en metal. En medicina, las ondas sonoras son mucho menos destructivas que los rayos X y pueden usarse para obtener imágenes del feto en el útero de una madre sin peligro para el feto o la madre. Más adelante en este capítulo, analizaremos el efecto Doppler, que se puede usar para determinar la velocidad de la sangre en las arterias o la velocidad del viento en los sistemas meteorológicos.

7.1 Ondas de sonido

El fenómeno físico del sonido es una perturbación de la materia que se transmite desde su origen hacia el exterior. Oír es la percepción del sonido, así como ver es la percepción de la luz visible. En la escala atómica, el sonido es una perturbación de los átomos que está mucho más ordenada que sus movimientos térmicos. En muchos casos, el sonido es una onda periódica, y los átomos experimentan un movimiento armónico simple. Por lo tanto, las ondas de sonido pueden inducir oscilaciones y efectos de resonancia (Figura 7.2).

Un altavoz produce una onda de sonido al oscilar un cono, causando vibraciones de las moléculas de aire. En la figura 7.3, un altavoz vibra a una frecuencia y amplitud constantes, produciendo vibraciones en las moléculas de aire circundantes. A medida que el altavoz oscila hacia adelante y hacia atrás, transfiere energía al aire, principalmente como energía térmica. Sin embargo, una pequeña parte de la energía

582

Figura 7.2 Este vidrio se ha roto por una onda de sonido de alta intensidad de la misma frecuencia que la frecuencia de resonancia del vidrio (Crédito: “|| read ||” / Flickr).

del altavoz se concentra en comprimir y expandir el aire circundante, creando presiones locales ligeramente más altas y más bajas. Estas compresiones (regiones de alta presión) y rarefacciones (regiones de baja presión) se mueven hacia afuera como ondas de presión longitudinales que tienen la misma frecuencia que el altavoz: son la perturbación que es una onda de sonido (las ondas de sonido en el aire y en la

583

mayoría de los fluidos son longitudinales, porque los fluidos casi no tienen resistencia al corte. En los sólidos, las ondas de sonido pueden ser tanto transversales como longitudinales).

Figura 7.3 (a) Un cono vibrante de un altavoz, que se mueve en la dirección x positiva, comprime el aire que está delante y expande el aire que está detrás. A medida que el altavoz oscila, crea otra compresión y rarefacción a medida que los que están a la derecha se alejan del altavoz. Después de muchas vibraciones, una serie de compresiones y rarefacciones salen del altavoz como una onda de sonido. El gráfico rojo muestra la presión manométrica del aire frente a la distancia desde el altavoz. Las presiones varían solo ligeramente de la presión atmosférica para los sonidos ordinarios. Ten en cuenta que la presión manométrica se modela con una función senoidal, donde las crestas de la función se alinean con las compresiones y los canales se alinean con las rarefacciones. (b) Las ondas de sonido también pueden modelarse usando el desplazamiento de las moléculas de aire. El gráfico azul muestra el desplazamiento de las moléculas de aire respecto a la posición del altavoz y está modelado con una función de coseno. Observa que el desplazamiento es cero para las moléculas en su posición de equilibrio y se centran en las compresiones y rarefacciones. Las compresiones se forman cuando las moléculas a ambos lados de las moléculas de equilibrio se desplazan hacia la posición de equilibrio. Las rarefacciones se forman cuando las moléculas se desplazan lejos de la posición de equilibrio.

584

La Figura 7.3 (a) muestra las compresiones y rarefacciones, y también muestra un gráfico de la presión manométrica en función de la distancia desde un altavoz. A medida que el hablante se mueve en la dirección x positiva, empuja las moléculas de aire, desplazándolas de sus posiciones de equilibrio. A medida que el hablante se mueve en la dirección x negativa, las moléculas de aire retroceden hacia sus posiciones de equilibrio debido a una fuerza restauradora. Las moléculas de aire oscilan en un movimiento armónico simple sobre sus posiciones de equilibrio, como se muestra en la parte (b). Observa que las ondas de sonido en el aire son longitudinales, y en la figura, la onda se propaga en la dirección x positiva y las moléculas oscilan paralelas a la dirección en que se propaga la onda.

MODELOS QUE DESCRIBEN EL SONIDO

El sonido puede modelarse como una onda de presión considerando el cambio en la presión de la presión promedio,

ΔP = ΔP_maxsen(kx ∓ ωt + φ).

Esta ecuación es similar a las ecuaciones de onda periódicas observadas en el capítulo de Ondas, donde ΔP es el cambio en la presión, ΔP_max es el cambio máximo en la presión, k = 2π/λ es el número de onda, ω = 2π/T = 2π/f es la frecuencia angular, y φ es la fase inicial. La velocidad de onda se puede determinar a partir de v = ω/k = λ/T. Las ondas de sonido también se pueden modelar en términos del desplazamiento de las moléculas de aire.

(7.1)

585

El desplazamiento de las moléculas de aire se puede modelar usando una función coseno:

s(x, t) = s_maxcos(kx ∓ ωt + φ)

En esta ecuación, s es el desplazamiento y s_max es el desplazamiento máximo.

(7.2)

No se muestra en la figura la amplitud de una onda de sonido a medida que disminuye con la distancia desde su fuente, porque la energía de la onda se extiende sobre un área cada vez más grande. La intensidad disminuye a medida que se aleja del hablante, como se explicó en el capítulo de Ondas. La energía también es absorbida por los objetos y convertida en energía térmica por la viscosidad del aire. Además, durante cada compresión, un poco de calor se transfiere al aire; durante cada rarefacción, incluso menos transferencias de calor del aire, y estas transferencias de calor reducen la perturbación organizada en movimientos térmicos aleatorios. Si la transferencia de calor de la compresión a la rarefacción es significativa, depende de cuán alejados estén, es decir, depende de la longitud de onda. La longitud de onda, la frecuencia, la amplitud y la velocidad de propagación son características importantes para el sonido, como lo son para todas las ondas.

7.2 Velocidad del sonido

El sonido, como todas las ondas, viaja a una cierta velocidad y tiene las propiedades de frecuencia y longitud de onda. Puede observar evidencia directa de la velocidad del sonido mientras ves una exhibición de fuegos artificiales (Figura 7.4). Observas el destello de una explosión mucho antes de escuchar su sonido y posiblemente sientas la onda de presión, lo que implica que el sonido viaja a una velocidad finita y que es mucho más lento que la luz.

586

Figura 7.4 Cuando explota un proyectil de fuegos artificiales, percibimos la energía de la luz antes que la energía del sonido porque el sonido viaja más lento que la luz.

La diferencia entre la velocidad de la luz y la velocidad del sonido también se puede experimentar durante una tormenta eléctrica. El destello de la iluminación se ve a menudo antes del trueno. Es posible que hayas escuchado que si cuentas la cantidad de segundos entre el flash y el sonido, puedes estimar la distancia a la fuente.

587

Cada cinco segundos se convierte en aproximadamente una milla. La velocidad de cualquier onda está relacionada con su frecuencia y longitud de onda por

v = fλ

(7.3)

donde v es la velocidad de la onda, f es su frecuencia y λ es su longitud de onda. Recuerda que la longitud de onda es la longitud de la onda medida entre puntos idénticos secuenciales. Por ejemplo, para una onda de agua superficial o una onda sinusoidal en una cuerda, la longitud de onda se puede medir entre dos puntos secuenciales convenientes con la misma altura y pendiente, como entre dos crestas secuenciales o dos depresiones secuenciales.

Figura 7.5 Una onda de sonido emana de una fuente, como un diapasón, que vibra a una frecuencia f. Se propaga a una velocidad v y tiene una longitud de onda λ.

588

De manera similar, la longitud de onda de una onda de sonido es la distancia entre partes idénticas secuenciales de una onda, por ejemplo, entre compresiones secuenciales (Figura 7.5). La frecuencia es la misma que la de la fuente y es el número de ondas que pasan un punto por unidad de tiempo.

En la siguiente escena, diseñada por Andreu Glasmann, Wolfgang Christian, Mario Belloni y lookang, se muestra al vista molecular de una onda de sonido:

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589

Velocidad del sonido en varios medios

La tabla 7.1 muestra que la velocidad del sonido varía mucho en diferentes medios. La velocidad del sonido en un medio depende de la rapidez con la que se pueda transferir la energía vibratoria a través del medio. Por esta razón, la derivación de la velocidad del sonido en un medio depende del medio y del estado del medio. En general, la ecuación de la velocidad de una onda mecánica en un medio depende de la raíz cuadrada de la fuerza restauradora, o la propiedad elástica, dividida por la propiedad inercial,

Además, las ondas de sonido satisfacen la ecuación de onda,

∂²(x, t)/∂x² = 1/v²span class="fraction">∂²(x, t)/∂t²

Recuerde de Ondas que la velocidad de una onda en una cuerda es igual a , donde la fuerza restauradora es la tensión en F_T la cuerda y la densidad lineal μ es la propiedad inercial.

En un fluido, la velocidad del sonido depende del módulo volumétrico y la densidad,

590

(7.4)

La velocidad del sonido en un sólido depende del módulo de Young del medio y la densidad,

(7.5)

En un gas ideal (ver la teoría cinética de los gases), la ecuación de la velocidad del sonido es

(7.6)

donde γ es el índice adiabático, R = 8.31 J/mol•K es la constante de gas, T_K es la temperatura absoluta en kelvins y M es la masa molecular. En general, cuanto más rígido (o menos compresible) sea el medio, más rápida será la velocidad del sonido. Esta observación es análoga al hecho de que la frecuencia del movimiento armónico simple es directamente proporcional a la rigidez del objeto oscilante, medida por k, la constante del resorte. Cuanto mayor sea la densidad de un medio, más lenta será la velocidad del sonido. Esta observación es análoga al hecho de que la frecuencia de un

591

movimiento armónico simple es inversamente proporcional a m, la masa del objeto oscilante. La velocidad del sonido en el aire es baja, porque el aire es fácilmente compresible. Debido a que los líquidos y los sólidos son relativamente rígidos y muy difíciles de comprimir, la velocidad del sonido en tales medios es generalmente mayor que en los gases.

Tabla 7.1 Velocidad del sonido en varios medios

592

Debido a que la velocidad del sonido depende de la densidad del material y la densidad depende de la temperatura, existe una relación entre la temperatura en un medio dado y la velocidad del sonido en el medio. Para el aire a nivel del mar, la velocidad del sonido viene dada por

(7.7)

donde la temperatura en la primera ecuación (indicada como T_C) es en grados Celsius y la temperatura en la segunda ecuación (indicada como T_K) está en grados kelvins. La velocidad del sonido en los gases está relacionada con la velocidad promedio de las partículas en el gas, v_rms = √3k_BT/m/, donde k_B es la constante de Boltzmann (1.38 × 10⁻²³ J/K) y m es la masa de cada partícula en el gas. Ten en cuenta que v se refiere a la velocidad de la propagación coherente de una perturbación (la onda), mientras que v_rms describe las velocidades de las partículas en direcciones aleatorias. Por lo tanto, es razonable que la velocidad del sonido en el aire y otros gases dependa de la raíz cuadrada de la temperatura. Si bien no es despreciable, esta no es una dependencia fuerte. A 0 °C, la velocidad del sonido es de 331 m/s, mientras que a 20.0 °C, es de 343 m/s, un aumento de menos del 4%. La Figura 7.6 muestra cómo un murciélago usa la velocidad del sonido para detectar distancias.

593

Figura 7.6 Un murciélago usa ecos de sonido para encontrar su camino y atrapar a su presa. El tiempo para que el eco regrese es directamente proporcional a la distancia.

Derivación de la velocidad del sonido en el aire

Como se dijo anteriormente, la velocidad del sonido en un medio depende del medio y del estado del medio. La derivación de la ecuación para la velocidad del sonido en el aire comienza con la tasa de flujo másico y la ecuación de continuidad discutida en

594

Mecánica de fluidos.

Considera el flujo de fluido a través de una tubería con un área de sección transversal A (Figura 7.7). La masa en un pequeño volumen de longitud x de la tubería es igual a la densidad por el volumen, o m = ρV = ρAx. El caudal másico es

dm/dt = d/dt(ρV) = d/dt(ρAx) = ρAdx/dt = ρv

La ecuación de continuidad de la Mecánica de fluidos indica que el caudal másico en un volumen debe ser igual al caudal másico fuera del volumen, ρ_inA_inv_in = ρ_extA_extv_ext.

Figura 7.7 La masa de un fluido en un volumen es igual a la densidad por el volumen, m = ρV = ρAx. El caudal másico es la derivada de la masa con respecto al tiempo.

Ahora considera una onda de sonido que se mueve a través de una parcela de aire. Una parcela de aire es un pequeño volumen de aire con límites imaginarios (Figura 7.8). La densidad, la temperatura y la velocidad en un lado del volumen del fluido se dan como ρ, T, v, y en el otro lado son ρ + dρ, T + dT, v + dv.

595

Figura 7.8 Una onda de sonido se mueve a través de un volumen de fluido. La densidad, la temperatura y la velocidad del fluido cambian de un lado a otro.

La ecuación de continuidad indica que el caudal másico que ingresa al volumen es igual al caudal másico que sale del volumen, por lo que

ρAv = (ρ + dρ)A(v + dv).

Esta ecuación se puede simplificar, observando que el área se cancela y considerando que la multiplicación de dos infinitesimales es aproximadamente igual a cero: dρ(dv) ≈ 0,

ρv = (ρ + dρ)(v + dv)
ρv = ρv + ρ(dv) + (dρ)v + (dρ)(dv)
0 = ρ(dv) + (dρ)v
ρdv = -vdρ

La fuerza neta en el volumen de fluido (Figura 7.9) es igual a la suma de las fuerzas en la cara izquierda y la cara derecha:

596

F_net = pdydz − (p + dp)dydz
F_net = pdydz − pdydz − dpdydz
F_net = −dpdydz
ma = −dpdydz.

Figura 7.9 Una onda de sonido se mueve a través de un volumen de fluido. La fuerza en cada cara se puede encontrar por la presión multiplicada por el área.

La aceleración es la fuerza dividida por la masa y la masa es igual a la densidad por el volumen, m = ρV = ρdxdydz. Tenemos

ma = −dpdydz
a = -dpdydz/m = - dpdydz/ρdxdydz = - dp/ρdx
dv/dt = -dp/ρdx

597

dv = -dp/ρdxdt = dp/ρ1/v
ρvdv = -dp

De la ecuación de continuidad ρdv = −vdρ, obtenemos

ρvdv = -dp
(-vdρ)v = -dp
v = √dp/dρ/

Considera una onda de sonido moviéndose a través del aire. Durante el proceso de compresión y expansión del gas, no se agrega o elimina calor del sistema. Un proceso donde el calor no se agrega o elimina del sistema se conoce como sistema adiabático. Los procesos adiabáticos se tratan en detalle en La primera ley de la termodinámica, pero por ahora es suficiente decir que para un proceso adiabático, pV^γ = constante, donde p es la presión, V es el volumen y gamma (γ) es una constante. Eso depende del gas. Para el aire, gamma; = 1.40. La densidad es igual al número de moles multiplicado por la masa molar dividida por el volumen, por lo que el volumen es igual a V = nM/ρ. El número de moles y la masa molar son constantes y se pueden absorber en la constante p(1/ρ)^γ = constante. Tomando el logaritmo natural de ambos lados se obtiene lnp − γlnρ = constante. Al diferenciarse con respecto a la densidad, la ecuación se convierte en

lnp − γlnρ = constante

598

d/dρ(lnp − γlnρ) = 1/dρ(constante)
1/pdp/dρ - γ/ρ = 0
dp/dρ = γp/ρ

Si el aire puede considerarse un gas ideal, podemos usar la ley del gas ideal:

ρV = nRT = m/MRT
p = m/vRT/M = ρRT/M

Aquí M es la masa molar del aire:

dp/dρ = γp/ρ = γρRT/M/ρ = γRT/M

Dado que la velocidad del sonido es igual a v = √dp/ρ/d, la velocidad es igual a

Observa que la velocidad es más rápida a temperaturas más altas y más lenta para

599

gases más pesados. Para el aire, &gamma: = 1.4, M = 0.02897 kg/mol y R = 8.31 J/mol&null;K. Si la temperatura es T_C = 20 °C(T = 293 K), la velocidad del sonido es v = 343 m/s.

La ecuación para la velocidad del sonido en el aire se puede simplificar

para dar la ecuación para la velocidad del sonido en el aire en función de la temperatura absoluta:

Una de las propiedades más importantes del sonido es que su velocidad es casi independiente de la frecuencia. Esta independencia es cierta al aire libre para sonidos en el rango audible. Si esta independencia no fuera cierta, sin duda lo notarías en la música que toca una banda de música en un estadio de fútbol, por ejemplo. Supongamos que los sonidos de alta frecuencia viajaban más rápido; entonces, cuanto más lejos estuvieras de la banda, más se retrasaría el sonido de los instrumentos de tono bajo que los de tono agudo. Pero la música de todos los instrumentos llega en cadencia independiente de la distancia, por lo que todas las frecuencias deben viajar

600

casi a la misma velocidad. Recordar que

v = fλ

En un medio dado bajo condiciones fijas, v es constante, por lo que hay una relación entre f y λ; cuanto mayor sea la frecuencia, menor será la longitud de onda (Figura 7.10).

Figura 7.10 Debido a que viajan a la misma velocidad en un medio dado, los sonidos de baja frecuencia deben tener una mayor longitud de onda que los sonidos de alta frecuencia. Aquí, los sonidos de baja frecuencia son emitidos por el altavoz grande, llamado woofer, mientras que los sonidos de alta frecuencia son emitidos por el altavoz pequeño, llamado tweeter (crédito: modificación de obra por Jane Whitney).

601

Ejemplo 7.1

Cálculo de longitudes de onda

Calcula las longitudes de onda de los sonidos en los extremos del rango audible, 20 y 20,000 Hz, en el aire a 30.0 °C (supón que los valores de frecuencia son precisos para dos cifras significativas).

Estrategia

Para encontrar la longitud de onda desde la frecuencia, podemos usar v = fλ.

Solución

1. Identificar los datos conocidos. El valor para v está dado por

2. Convierte la temperatura en kelvins y luego ingresa la temperatura en la ecuación

Resuelve la relación entre velocidad y longitud de onda para λ:

602

λ = v/f

4. Introduce la velocidad y la frecuencia mínima para obtener la longitud de onda máxima:

λ_max = 348.7 m/s/20 Hz = 17 m

Introduce la velocidad y la frecuencia máxima para hallar la longitud de onda mínima:

λ_min = 348.7 m/s/20,000 Hz = 0.017 m = 1.7 cm

Explicación

Debido a que el producto de f multiplicado por λ es igual a una constante, mientras más pequeña sea f, mayor será λ, y viceversa.

La velocidad del sonido puede cambiar cuando el sonido viaja de un medio a otro, pero la frecuencia generalmente permanece igual. Esto es similar a la frecuencia de una onda en una cuerda que es igual a la frecuencia de la fuerza que oscila la cuerda. Si v cambia y f permanece igual, entonces la longitud de onda λ debe cambiar. Es decir, porque v = fλ, cuanto mayor es la velocidad de un sonido, mayor es su longitud de onda para una frecuencia dada.

603

Comprueba tu aprendizaje 7.1

Imagina que observas que explotan dos proyectiles de fuegos artificiales. Escuchas la explosión de uno tan pronto como lo ves. Sin embargo, ves la otra capa durante varios milisegundos antes de escuchar la explosión. Explica por qué esto es así.

Aunque las ondas de sonido en un fluido son longitudinales, las ondas de sonido en un sólido viajan tanto como ondas longitudinales como ondas transversales. Las ondas sísmicas, que son esencialmente ondas sonoras en la corteza terrestre producida por los terremotos, son un ejemplo interesante de cómo la velocidad del sonido depende de la rigidez del medio. Los terremotos producen ondas longitudinales y transversales, y estos viajan a diferentes velocidades. El módulo de volumen de granito es mayor que su módulo de corte. Por esa razón, la velocidad de las ondas longitudinales o de presión (ondas P) en los terremotos en granito es significativamente mayor que la velocidad de las ondas transversales o de corte (ondas S). Ambos tipos de ondas sísmicas viajan más lentamente en material menos rígido, como los sedimentos. Las ondas P tienen velocidades de 4 a 7 km/s, y las ondas S tienen una velocidad de 2 a 5 km/s, ambas más rápidas en material más rígido. La onda P avanza progresivamente más lejos de la onda S a medida que viajan a través de la corteza terrestre. El tiempo entre las ondas P y S se usa de manera rutinaria para determinar la distancia a su fuente, el epicentro del terremoto. Debido a que las ondas S no pasan a través del núcleo líquido, se producen dos regiones de sombra (Figura 7.11).

A medida que las ondas de sonido se alejan de un altavoz o se alejan del epicentro de un terremoto, su potencia por unidad de área disminuye. Esta es la razón por la que el sonido es muy alto cerca de un altavoz y se vuelve menos fuerte a medida que se aleja

604

del altavoz. Esto también explica por qué puede haber un daño extremo en el epicentro de un terremoto, pero solo se sienten temblores en áreas alejadas del epicentro. La potencia por unidad de área se conoce como intensidad, y en la siguiente sección, discutiremos cómo la intensidad depende de la distancia desde la fuente.

Figura 7.11 Los terremotos producen tanto ondas longitudinales (ondas P) como ondas transversales (ondas S), que viajan a diferentes velocidades. Ambas ondas viajan a diferentes velocidades en las diferentes regiones de la Tierra, pero en general, las ondas P viajan más rápido que las ondas S. Las ondas S no pueden ser soportadas por el núcleo líquido, produciendo regiones de sombra.

En el siguiente interactivo, diseñado por José Luis Abreu León, puedes variar la amplitud, la velocidad de propagación y la frecuencia para generar ondas transversales y longitudinales.

605

Ampliar

7.3 Intensidad del sonido

En un bosque tranquilo, a veces puedes escuchar una sola hoja caer al suelo. Pero cuando un conductor que pasa tiene su estéreo encendido, ni siquiera puede escuchar

606

lo que la persona que está a su lado en su automóvil está diciendo (Figura 7.12). Todos estamos muy familiarizados con la intensidad de los sonidos y somos conscientes de que la intensidad está relacionada con la energía que vibra la fuente. La alta exposición al ruido es peligrosa para la audición, por lo que es importante que las personas que trabajan en entornos industriales usen protección auditiva. La cantidad física relevante es la intensidad del sonido, un concepto que es válido para todos los sonidos, estén o no en el rango audible.

Figura 7.12 El ruido en las carreteras concurridas, como esta en Delhi, hace que sea difícil escuchar a los demás a menos que griten (crédito: “Lingaraj G J” / Flickr).

En el capítulo de Ondas, definimos la intensidad como la potencia por unidad de área transportada por una onda. La potencia es la velocidad a la que la onda transfiere la

607

energía. En forma de ecuación, la intensidad I es

I = P/A

(7.8)

donde P es la potencia a través de un área A. La unidad del SI para I es W/m². Si asumimos que la onda de sonido es esférica y que no se pierde energía en los procesos térmicos, la energía de la onda de sonido se extiende sobre un área más grande a medida que aumenta la distancia, por lo que la intensidad disminuye. El área de una esfera es A = 4πr². A medida que la onda se extiende desde r₁ a r₂, la energía también se extiende sobre un área más grande:

P₁ = P₂

I₁4πr₁² = I₂4πr₂²

I₂ = I₁(r₁/r₂)²

(7.9)

La intensidad disminuye a medida que la onda sale de la fuente. En una relación cuadrada inversa, como la intensidad, al duplicar la distancia, la intensidad disminuye a un cuarto,

I₂ = I₁(r₁/r₂)² = I₁(r₁/2r₁)² = 1/4I₁

608

Generalmente, al considerar la intensidad de una onda de sonido, consideramos que la intensidad es el valor de la potencia promediado en el tiempo, denotado por ≺P≻, dividido por el área,

I = ≺P≻/A

(7.10)

La intensidad de una onda de sonido es proporcional al cambio en la presión al cuadrado e inversamente proporcional a la densidad y la velocidad. Considera una parcela de un medio inicialmente no perturbado y luego influenciado por una onda de sonido en el tiempo t, como se muestra en la figura 7.13.

Figura 7.13 Una parcela intacta de un medio con un volumen V = AΔx que se muestra en azul. Una onda de sonido se mueve a través del medio en el tiempo t, y la parcela se desplaza y se expande, como se muestra mediante líneas de puntos. El cambio en el volumen es ΔV = AΔs = A(s₂ − s₁), donde s₁ es el desplazamiento del borde anterior de la parcela y s₂ es el desplazamiento del borde posterior de la parcela. En la figura, s₂ > s₁ y la parcela se expanden, pero la parcela se puede expandir o comprimir (s₂ < s₁), dependiendo de qué parte de la onda de sonido (compresión o rarefacción) se está moviendo a través de la parcela.

609

A medida que la onda de sonido se mueve a través de la parcela, la parcela se desplaza y puede expandirse o contraerse. Si s₂ > s₁, el volumen ha aumentado y la presión disminuye. Si s₂ < s₁, el volumen ha disminuido y la presión aumenta. El cambio en el volumen es

ΔV = AΔs = A(s₂ − s₁) = A(s(x + Δx, t) − s(x, t))

El cambio fraccionario en el volumen es el cambio en el volumen dividido por el volumen original:

dV/V = limΔx→0A[s(x + Δx,t) − s(x,t)]/AΔx = ∂s(x, t)/∂x

El cambio fraccional en el volumen está relacionado con la fluctuación de la presión por el módulo de volumen β = −Δp(x, t)/ dV/V. Recuerda que el signo menos es necesario porque el volumen está inversamente relacionado con la presión (utilizamos p minúscula para la presión para distinguirla de la potencia, denotada por P). Por lo tanto, el cambio en la presión es Δp(x, t) = -βdV/V = −β∂s(x, t)/∂x. Si la onda de sonido es sinusoidal, entonces el desplazamiento como se muestra en la Ecuación 7.2 es s(x, t) = s_maxcos(kx ∓ ωt + φ) y se encuentra que la presión es

Δp(x, t) = -βdV/V = -β∂s(x, t)/∂x = βks_maxsen(kx − ωt + φ) = Δp_maxsen(kx − ωt + φ)

La intensidad de la onda de sonido es la potencia por unidad de área, y la potencia es

610

la fuerza multiplicada por la velocidad, I = P/A = Fv/A = pv. Aquí, la velocidad es la velocidad de las oscilaciones del medio, y no la velocidad de la onda de sonido. La velocidad del medio es el tiempo de cambio en el desplazamiento:

v(x, t) = ∂/∂ys(x, t) = ∂/∂y(s_maxcos(kx − ωt + φ)) = s_maxωsen(kx − ωt + φ)

Así, la intensidad sería:

I = Δp(x, t)v(x, t)

= βks_maxsen(kx − ωt + φ)[s_maxωsen(kx − ωt + φ)]

= βkωs²_maxsen²(kx − ωt + φ).

Para encontrar la intensidad promediada en el tiempo en un período T = 2π/ω para una posición x, integramos en el período, I = βkωs²_max/2. Usando Δp_max = βks_max, v = √β/ρ/, y v = ωk, obtenemos

I = βkωs²_max/2 = β²k²ωs²_max/2βk = ω(Δp_max)²/2(ρv²)k = v(Δp_max)²/2(ρv²) = (Δp_max)²/2ρv

611

Es decir, la intensidad de una onda de sonido está relacionada con su amplitud al cuadrado por

I = (δp_max)²/2ρv

(7.11)

Aquí, δp_max es la variación de la presión o la amplitud de la presión en unidades de pascales (Pa) o N/m². La energía (como energía cinética 1/2)²mv de un elemento oscilante de aire debido a una onda de sonido que viaja es proporcional a su amplitud al cuadrado. En esta ecuación, ρ es la densidad del material en el que se desplaza la onda de sonido, en unidades de kg/m³, y v es la velocidad del sonido en el medio, en unidades de m/s. La variación de presión es proporcional a la amplitud de la oscilación, por lo que varía como (Δp)². Esta relación es consistente con el hecho de que la onda de sonido es producida por alguna vibración; cuanto mayor sea la amplitud de su presión, más comprimirá el aire en el sonido que crea.

Audición humana y niveles de intensidad de sonido

Como se indicó anteriormente en este capítulo, la audición es la percepción del sonido. El mecanismo de la audición implica algunas características físicas interesantes. La onda de sonido que incide sobre nuestro oído es una onda de presión. El oído es un transductor que convierte las ondas de sonido en impulsos nerviosos eléctricos de una manera mucho más sofisticada que un micrófono, pero de manera análoga. La figura 7.14 muestra la anatomía del oído.

FÍSICA VOLUMEN II

INTERACTIVO

Tabla de contenido

iii

iv

v

vi

Prefacio

9

10

Capítulo i

Rotación de eje fijo

INTRODUCCIÓN

15

1.1 Variables de rotación

Velocidad angular

16

17

18

19

20

21

22

23

24

Ejemplo 1.1

25

Estrategia

26

27

28

29

Estrategia de resolución de problemas: cinemática rotacional

30

Ejemplo 1.2

31

32

Comprueba tu aprendizaje 1.1

33

Ejemplo 1.3

34

Estrategia

35

36

37

1.2. Rotación con aceleración angular constante

38

Cinemática del movimiento de rotación

39

40

41

42

Aplicando las ecuaciones para movimiento rotacional

43

Ejemplo 1.4

44

Estrategia

45

Ejemplo 1.5

46

Estrategia

Explicación

47

Comprueba tu aprendizaje 1.2

48

Ejemplo 1.6

49

Estrategia

50

51

52

53

1.3 Relacionar Cantidades Angulares y Translacionales

Variables angulares vs. lineales

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56

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58

Relaciones entre movimiento rotacional y traslacional

FÍSICA

VOLUMEN II