9.1 Para alcanzar una velocidad final de vf = 14 (3.0 × 108 m/s) a una aceleración de 10 g, el tiempo requerido es
10g = vf/Δt
Δt = vf10g = vf = (1/4)(3.0 × 108 m/s)10g = 7.7 × 105 s = 8.9d
9.2 Si el teléfono rebota con aproximadamente la misma velocidad inicial que su velocidad de impacto, el cambio en la cantidad de movimiento del teléfono será Δp→ = mΔv→ - (- mΔv→) = 2mΔv→. Este es el doble del cambio de momento que cuando el teléfono no rebota, por lo que el teorema de impulso-momento nos dice que se debe aplicar más fuerza al teléfono.
9.3 Si el carro más pequeño rodaba a 1.33 m/s hacia la izquierda, entonces la conservación del impulso da
(m1 + m2) = v→f = m1v1i^ - m2v2i^
v→f = (m1v1 - m2v2m1 + m2)i^
v→f = [(0.675 kg)(0.75 m/s) − (0.500 kg)(1.33 m/s)1.175kg]i^ = −(0.135 m/s)i^
Por lo tanto, la velocidad final es de 0.135 m/s hacia la izquierda.
9.4 Si la pelota no rebota, su momento final p→2 es cero, entonces
Δp→ = p→2 − p→1
Δp→ = (0)j^ −(−1.4 kg•m/s)j^ = +(1.4 kg•m/s)j^
9.5 Considera la teoría de momento-impulso, que es J→ = Δp→. Si J→ = 0, tenemos la situación descrita en el ejemplo. Si una fuerza actúa en el sistema, entonces J→ = F→promΔt. Por lo tanto, en lugar de p→f = p→i, tenemos
F→promΔt = Δp→ = p→f − p→i
donde F→prom es la fuerza debida a la fricción.
9.6 El impulso es el cambio en el momento multiplicado por el tiempo requerido para que ocurra el cambio. Mediante la conservación del momento, los cambios en el momento de la sonda y el comentario son de la misma magnitud, pero en direcciones opuestas, y el tiempo de interacción para cada uno es también el mismo. Por lo tanto, el impulso que cada uno recibe es de la misma magnitud, pero en direcciones opuestas. Debido a que actúan en direcciones opuestas, los impulsos no son lo mismo. En cuanto al impulso, la fuerza en cada cuerpo actúa en direcciones opuestas, por lo que las fuerzas en cada uno no son iguales. Sin embargo, el cambio en la energía cinética difiere para cada uno, porque la colisión no es elástica.
9.7 Esta solución representa el caso en el que no tiene lugar ninguna interacción: el primer disco pierde el segundo disco y continúa con una velocidad de 2.5 m/s hacia la izquierda. Este caso no ofrece perspectivas físicas significativas.
9.8 Si la fricción cero actúa en el automóvil, continuará deslizándose indefinidamente (d → ∞), por lo que no podemos usar el teorema de trabajo-energía cinética como se hace en el ejemplo. Por lo tanto, no podríamos resolver el problema a partir de la información proporcionada.
9.9 Si las velocidades iniciales no estuvieran en ángulo recto, entonces una o ambas velocidades tendrían que expresarse en forma de componentes. El análisis matemático del problema sería un poco más complicado, pero el resultado físico no cambiaría.
9.10 El volumen de un tanque de buceo es de aproximadamente 11 L. Suponiendo que el aire es un gas ideal, la cantidad de moléculas de gas en el tanque es
PV = NRT
N = PVRT = (2500 psi)(0.011 m3)(8.31 J/mol•K)(300 K) = 7.59 × 101 mol
La masa molecular promedio del aire es de 29 g/mol, por lo que la masa de aire contenida en el tanque es de aproximadamente 2,2 kg. Esto es aproximadamente 10 veces menos que la masa del tanque, por lo que es seguro despreciarlo. Además, la fuerza inicial de la presión de aire es aproximadamente proporcional al área de superficie de cada pieza, que a su vez es proporcional a la masa de cada pieza (suponiendo un grosor uniforme). Por lo tanto, la aceleración inicial de cada pieza cambiaría muy poco si consideramos explícitamente el aire.
9.11 El radio promedio de la órbita de la Tierra alrededor del Sol es 1.496 × 109 m. Tomando al Sol como el origen, y observando que la masa del Sol es aproximadamente la misma que las masas del Sol, la Tierra y la Luna combinadas, el centro de masa del sistema Tierra + Luna y el Sol es
RCM = mSolRSol + mT-LRT-LmSol
RCM = (1.989 × 1030 kg)(0) +( 5.97 × 1024 kg + 7.36 × 1022 kg)(1.496 × 109 m)1.989 × 1030 kg = 4.6 km
Por lo tanto, el centro de masa del sistema Sol, Tierra y Luna está a 4.6 km del centro del Sol.
9.12 En una escala macroscópica, el tamaño de una celda unitaria es despreciable y se puede considerar que la masa de cristal se distribuye homogéneamente por todo el cristal. Así,
r→CM = 1M∑j=1Nmjrj→ = mM∑j=1Nrj→ = NmM(∑j=1Nrj→)/N
donde sumamos sobre el número N de celdas unitarias en el cristal y m es la masa de una celda unitaria. Porque Nm = M, podemos escribir
r→CM = mM∑j=1Nrj→ = NmM(∑j=1Nrj→)/N =
1N∑j=1Nrj→
Esta es la definición del centro geométrico del cristal, por lo que el centro de masa está en el mismo punto que el centro geométrico.
9.13 Las explosiones serían esencialmente esféricas simétricas, porque la gravedad no distorsionaría las trayectorias de los proyectiles en expansión.
9.14 La notación mg representa la masa del combustible y m representa la masa del cohete más la masa inicial del combustible. Ten en cuenta que mg cambia con el tiempo, por lo que lo escribimos como mg(t). Usando mR como la masa del cohete sin combustible, la masa total del cohete más combustible es m = mR + mg(t). Diferenciando con respecto al tiempo da
dmdt = dmRdt + dmg(t)dt = dmg(t)dt
donde usamos dmRdt = 0 porque la masa del cohete no cambia. Esto es, la tasa de cambio del tiempo de la masa del cohete es la misma que la del combustible.
1. Dado que K = p2/2m, entonces si el momento es fijo, el objeto con una masa más pequeña tiene más energía cinética.
3. Sí; el impulso es la fuerza aplicada multiplicada por el tiempo durante el cual se aplica (J = FΔt), por lo que si una fuerza pequeña actúa durante un tiempo prolongado, puede resultar en un impulso mayor que una fuerza grande que actúa por un tiempo pequeño.
5. Por fricción, la carretera ejerce una fuerza horizontal sobre los neumáticos del automóvil, lo que cambia el momento del automóvil.
7. El momento se conserva cuando la masa del sistema de interés permanece constante durante la interacción en cuestión y cuando ninguna fuerza externa neta actúa sobre el sistema durante la interacción.
9. Para acelerar las moléculas de aire en la dirección del movimiento del automóvil, el automóvil debe ejercer una fuerza sobre estas moléculas según la segunda ley de Newton F→ = dp→/dt. Según la tercera ley de Newton, las moléculas de aire ejercen una fuerza de igual magnitud pero en la dirección opuesta del automóvil. Esta fuerza actúa en la dirección opuesta al movimiento del automóvil y constituye la fuerza debida a la resistencia del aire.
11. No, él no es un sistema cerrado porque una fuerza externa neta no nula actúa sobre él en la forma de los bloques iniciales que empujan sus pies.
13. Sí, toda la energía cinética se puede perder si las dos masas se detienen debido a la colisión (es decir, se mantienen juntas).
15. El ángulo entre las direcciones debe ser de 90°. Cualquier sistema que tenga una fuerza externa neta cero en una dirección y una fuerza externa neta distinta de cero en una dirección perpendicular satisfará estas condiciones.
17. Sí, la velocidad del cohete puede exceder la velocidad de escape de los gases que expulsa. El empuje del cohete no depende de las velocidades relativas de los gases y cohetes, simplemente depende de la conservación del momento.
19. a. magnitud: 25kg•m/s; b. lo mismo que a.
21. 1.78 × 1029 kg•m/s
23. 1.3 × 109 kg•m/s
25. a. 1.50 × 106 N; b. 1.00 × 105 N
27. 4.69 × 105 N
29. 2.10 × 103 N
31. p→(t) = (10i^ + 20tj^) kg•m/s; F→ = (20 N)j^
33. Deja que el eje x positivo sea en la dirección de el momento original. Entonces px = 1.5 kg•m/s y py = 7.5 kg•m/s
35. (0.122 m/s)i^
37. a. 47 m/s en la bala para bloquear la dirección; b.70.6 N•s, hacia la bala; c. 70.6 N•s, hacia el bloque; d. la magnitud es 2.35 × 104 N
39. 3.1 m/s
41. 5.9 m/s
43. a. 6.80 m/s, 5.33°; b. sí (calcula la relación de las energías cinéticas inicial y final)
45. 2.5 cm
47. la velocidad del paragolpes delantero es 6.00 m/s, y la del parachoques trasero es 5.60 m/s
49. 6.6%
51. 1.9 m/s
53. 22.1 m/s a 32.2° por debajo de la horizontal
55. a. 33 m/s y 110 m/s; b. 57 m; c. 480 m
57. (732 m/s)i^ + (- 80.6 m/s)j^
59. - (0.21 m/s)i^ + (0.25 m/s)j^
61. 341 m/s a 86.8° con respecto al eje y.
63. Con el origen definido para estar en la posición de la masa de 150 g, xCM = -1.23 cm y yCM = 0.69 cm
65. yCM = {h/2 - 1/4gt2, t <T y h - 1/2gt2 - 1/4gT2 + 1/2gtT, t ≥ T
67. a. R1 = 4 m, R2 = 2 m; b. XCM = (m1x1 + m2x2)/(m1 + m2), YCM = (m1y1 + m2y2)/(m1 + m2); c. sí, con R = 1/(m1 + m2)√16m12 + 4m22
69. xcm = (3/4)L(ρ1 + ρ0 ρ1 + 2ρ0)
71. (2a/3, 2b/3)
73. (xCM, yCM, zCM) = (0, 0, h/4)
75. (xCM, yCM, zCM) = (0, 4R/(3π), 0)
77. (a) 0,413 m/s, (b) aproximadamente 0,2 J
79. 1551 kg
81. 4.9 km/s
84. el elefante tiene un momento mayor
86. Las respuestas pueden variar. La primera cláusula es verdadera, pero la segunda cláusula no es verdadera en general porque la velocidad de un objeto con una masa pequeña puede ser lo suficientemente grande como para que el momento del objeto sea mayor que el de un objeto de mayor masa con una velocidad menor.
88. 4.5 × 103 N
90. J→ = ∫0τ[mg→ - mg→(1 - e-bt/m)]dt = m2bg→(e-bτ/m - 1)
92. a. - (2.1 × 103 kg•m/s)i^, b. - (24 × 103 N)i^
94. a. (1.1 × 103 kg•m/s)i^, b. (0.010 kg•m/s)i^, c. - (0.00093 m/s)i^, d. - (0.0012 m/s)i^
96. 0.10 kg, - (130 m/s)i^
98. v1,f = v1,im1 - m2m1 + m2, v2,f = v1,i2m1m1 + m2
100. 2.8 m/s
102 0.094 m/s
104. La velocidad final de la bola blanca es - (0.76 m/s)i^, las velocidades finales de las otras dos bolas son 2.6 m/s a ± 30° con respecto a la velocidad inicial de la bola blanca
106. bola 1: - (1.4 m/s)i^ - (0.4 m/s)j^, bola 2: (2.2 m/s)i^ + (2.4 m/s)j^
108. bola 1: (1.4 m/s)i^ - (1.7 m/s)j^, bola 2: - (2.8 m/s)i^ + (0.012 m/s)j^
110. (r, θ) = (2R/3, π/8)
112. Las respuestas pueden variar . El cohete es propulsado hacia adelante no por los gases que empujan contra la superficie de la Tierra, sino por la conservación del momento. El ímpetu del gas expulsado por la parte posterior del cohete debe ser compensado por un aumento en el impulso hacia delante del cohete.
114. a. 617 N•s, 108°; b. Fx = 2.91 × 104 N, Fy = 2.6 × 105N; c. Fx = 5265 N, Fy = 5850 N
116. La conservación del momento exige m1v1,i + m2v2,i = m1v1,f + m2v2,f. Se nos da que m1 = m2, v1,i = v2,f, y v2,i = v1,f = 0. La combinación de estas ecuaciones con la ecuación dada por la conservación del momento da v1,i = v1,i, que es verdadera, por lo que se cumple la conservación del momento. La conservación de energía demanda (1/2)m1v1,i2 + (1/2)m2v2,i2 = (1/2)m1v1,f2 + (1/2)m12,f2. Nuevamente, al combinar esta ecuación con las condiciones dadas anteriormente, se obtiene v1,i = v1,i, de modo que se cumple la conservación de la energía.
118. Supón el origen en la línea central y en el piso, luego (xCM, yCM) = (0,86 cm)