FÍSICA
VOLUMEN I
INTERACTIVO

Juan Guillermo Rivera Berrío
Institución Universitaria Pascual Bravo

Obra derivada de

University Physics
Volumen I

Samuel J. Ling
Truman State University

Jeff Sanny
Loyola Marymount University

Bill Moebs

Fondo Editorial Pascual Bravo

Medellín

Tabla de contenido

1. Unidades y medición13

1.1 Introducción15

1.2 El alcance de la Física16

1.3 La escala de la física21

1.4 Unidades y estándares31

1.5 Conversión de unidades43

1.6 Análisis dimensional50

1.7 Estimaciones y cálculos de Fermi58

1.8 Cifras significativas64

1.9 Resolviendo Problemas en Física75

1.10 Preguntas y respuestas - Capítulo I81

2. Vectores83

2.1 Introducción85

2.2 Escalares y Vectores86

Álgebra de vectores en una dimensión93

Álgebra de vectores en dos dimensiones103

2.3 Sistemas de coordenadas y componentes de un vector115

Coordenadas Polares129

Vectores en tres dimensiones133

2.4 Algebra vectorial139

2.5 Productos de Vectores159

Producto punto159

Producto cruz167

2.6 Preguntas y respuestas - Capítulo II185

iii

5.8 Dibujando diagramas de cuerpo libre447

5.9 Preguntas y respuestas - Capítulo V456

6. Dinámica - Aplicaciones de las leyes de Newton459

6.1 Introducción461

6.2 Solución de problemas con las leyes de Newton462

6.3 Fricción496

6.4 Fuerza centrípeta523

6.5 Fuerza de arrastre y velocidad terminal543

6.6 Preguntas y respuestas - Capítulo VI563

7. Trabajo y energía cinética565

7.1 Introducción567

7.2 Trabajo568

7.3 Energía cinética589

7.4 Teorema del trabajo-energía598

7.5 Potencia607

7.6 Preguntas y respuestas - Capítulo VII615

8. Energía potencial y conservación de la energía617

8.1 Introducción619

8.2 Energía potencial de un sistema620

8.3 Fuerzas conservadoras y no conservadoras640

8.4 Conservacion de la energia649

8.5 Diagramas de energía potencial y estabilidad664

8.6 Fuentes de energía673

8.7 Preguntas y respuestas - Capítulo VIII681

9. Momento lineal y colisiones 683

9.1 Introducción685

9.2 Momento lineal686

v

Prefacio

Este libro digital interactivo se ha diseñado con fundamento en la filosofía del Proyecto Descartes: "Trabajando altruistamente por la comunidad educativa de la aldea global", que sólo busca desarrollar contenidos educativos para el provecho de la comunidad académica, esperando únicamente como retribución el uso y difusión de estos contenidos. El contenido del libro, al igual que los objetos interactivos se han diseñado de tal forma que se puedan leer en ordenadores y dispositivos móviles sin necesidad de instalar ningún programa o plugin. El libro se puede descargar para su uso en local sin dependencia con la red, a excepción de los ocho vídeos incluidos en el texto. Algunos de los objetos interactivos se han diseñado con el Editor DescartesJS.

El contenido del libro se basa en un recurso de OpenStax, organización sin fines de lucro de la Universidad de Rice, cuya misión, similar a la nuestra, es mejorar el acceso de los estudiantes a la educación. El libro ha sido desarrollado para cumplir con el alcance y la secuencia de la mayoría de los cursos de física universitarios y proporciona una base para una carrera en matemáticas, ciencias o ingeniería.

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El texto original, desarrollado por Ling S., Sanny J. y Moebs B., ha sido publicado en versiones html y pdf. Esta obra derivada, en español y como libro interactivo, creada por Rivera J.G., presenta las siguientes aportaciones: traducción al español, diseño en formato flipbook, incorporación de 56 objetos interactivos de aprendizaje, 36 de ellos diseñados con el editor DescartesJS, y ocho vídeos. Para evitar, al máximo, la dependencia con la conectividad en la red, las expresiones matemáticas se han construido recurriendo al diseño de algunas clases en la hoja de estilos (style.css) y, en algunos casos, al editor DescartesJS.

Se ha conservado la propuesta pedagógica en los ejemplos presentados en cada uno de los capítulos, los cuales incluyen: formulación del problema, estrategia de solución, solución, explicación o sentido de los resultados obtenidos y, en la mayoría de los ejemplos, un problema propuesto, denominado "Comprueba tu aprendizaje". Al final de cada capítulo se han incluido tanto los problemas propuestos como las respuestas.

Capítulo i

Unidades y medición

1. Unidades y medición

1.1 Introducción

Figura 1.1 Esta imagen puede mostrar cualquier cantidad de cosas. Puede ser un remolino en un tanque de agua o tal vez un collage de pintura y cuentas brillantes hechos para la clase de arte. Sin saber el tamaño del objeto en unidades que todos reconocemos, como metros o pulgadas, es difícil saber qué estamos viendo. De hecho, esta imagen muestra la galaxia Whirlpool (y su galaxia compañera), que tiene unos 60,000 años luz de diámetro (6 × 10¹⁷ km de diámetro aproximadamente ). (crédito: S. Beckwith (STScI) Hubble Heritage Team, (STScI / AURA), ESA, NASA)

Como se indica en la leyenda de la figura, la imagen de apertura de este capítulo es de la galaxia Whirlpool. Las galaxias son tan grandes como pequeños son los átomos, pero las mismas leyes de la física las describen a ambos, junto con el resto de la naturaleza.

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Se cree que la gravedad que causa que las estrellas de la Galaxia Whirlpool giren y giren es la misma que hace que el agua fluya sobre las represas hidroeléctricas aquí en la Tierra. Cuando miras hacia las estrellas, date cuenta de que las fuerzas que existen son las mismas que aquí en la Tierra. A través de un estudio de física, puedes obtener una mayor comprensión de la interconexión de todo lo que podemos ver y conocer en este universo. Piensa, ahora, sobre todos los dispositivos tecnológicos que usas regularmente. Podrían venir a la mente computadoras, teléfonos inteligentes, sistemas de posicionamiento global (GPS), reproductores de MP3 y radio satelital. Luego, piensa en las tecnologías modernas más interesantes de las que has oído hablar en las noticias, como los trenes que levitan por encima de las vías, las "capas de invisibilidad" que doblan la luz a su alrededor y los robots microscópicos que combaten las células cancerosas en nuestros cuerpos. Todos estos avances revolucionarios, comunes o increíbles, se basan en los principios de la física. Además de jugar un papel importante en la tecnología, profesionales como ingenieros, pilotos, médicos, fisioterapeutas, electricistas y programadores de computadoras aplican conceptos de física en su trabajo diario. Por ejemplo, un piloto debe comprender cómo las fuerzas del viento afectan una trayectoria de vuelo; un fisioterapeuta debe comprender cómo los músculos en el cuerpo experimentan fuerzas a medida que se mueven y se doblan. Como aprenderás en este texto, los principios de la física están impulsando nuevas y emocionantes tecnologías, y estos principios se aplican en una amplia gama de carreras.

El orden subyacente de la naturaleza hace que la ciencia en general, y la física en particular, sean interesantes y agradables de estudiar. Por ejemplo, ¿qué tienen en común una bolsa de papas fritas y una batería de automóvil? Ambos contienen energía que se puede convertir a otras formas. La ley de la conservación de la energía (que dice que la energía puede cambiar de forma pero nunca se pierde) vincula temas tales como calorías de alimentos, baterías, calor, luz y muelles de observación. Comprender esta ley hace que sea más fácil aprender sobre las diversas formas que toma la energía y cómo se relacionan entre sí.

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Figura 1.2 El iPhone de Apple es un teléfono inteligente común con una función de GPS. La física describe la forma en que la electricidad fluye a través de los circuitos de este dispositivo. Los ingenieros usan sus conocimientos de física para construir un iPhone con características que los consumidores disfrutarán. Una característica específica de un iPhone es la función de GPS. Un GPS usa ecuaciones de física para determinar el tiempo de conducción entre dos ubicaciones en un mapa.

El conocimiento de la física es útil en situaciones cotidianas, así como en profesiones no científicas. Puede ayudarte a comprender cómo funcionan los hornos de microondas, por qué no deben colocarse metales y por qué podrían afectar los marcapasos. La física te permite comprender los peligros de la radiación y evaluar estos peligros de forma racional y más fácil. La física también explica la razón por la cual un radiador de automóvil negro ayuda a eliminar el calor en el motor de un automóvil, y explica por qué un techo blanco ayuda a mantener fresco el interior de una casa.

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1.3 La escala de la física

Hasta ahora, debe quedar claro que para lograr sus objetivos en cualquiera de los diversos campos dentro de las ciencias naturales y la ingeniería, es necesaria una sólida base en las leyes de la física. La razón de esto es simplemente que las leyes de la física gobiernan todo en el universo observable en todas las escalas mensurables de longitud, masa y tiempo. Ahora, eso es bastante fácil de decir, pero para entender lo que realmente significa, necesitamos ser un poco cuantitativos. Entonces, antes de examinar las diversas escalas que la física nos permite explorar, veamos primero el concepto de "orden de magnitud", que usamos para llegar a un acuerdo con los vastos intervalos de longitud, masa y tiempo que consideramos en este libro (Figura 1.3).

Figura 1.3 (a) Utilizando un microscopio de efecto túnel, los científicos pueden ver los átomos individuales (diámetros alrededor de 10^-10m) que componen esta hoja de oro. (b) El fitoplancton diminuto nada entre los cristales de hielo en el Mar Antártico. Van desde unos pocos micrómetros (1 μm es 10^-6 m) hasta 2 mm (1 mm tiene 10^-3 m) de longitud. (c) Estas dos galaxias en colisión, conocidas como NGC 4676A (derecha) y NGC 4676B (izquierda), reciben el sobrenombre de "Los ratones" debido a la cola de gas que emana de cada una. Se encuentran a 300 millones de años luz de la Tierra en la constelación de Coma Berenices (crédito a: modificación del trabajo por Erwinrossen; crédito b: modificación del trabajo por el profesor Gordon T. Taylor, Stony Brook University; NOAA Corps Collections; crédito c: modificación del trabajo por la NASA, H. Ford (JHU), G. Illingworth (UCSC / LO), M. Clampin (STScI), G. Hartig (STScI), el equipo científico de ACS y ESA).

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El orden de magnitud de un número está diseñado para ser una estimación aproximada de la escala (o tamaño) de su valor. Es simplemente una manera de redondear los números consistentemente al poder más cercano de 10. Esto hace que sea más fácil hacer cálculos mentales difíciles con números muy grandes y muy pequeños. Por ejemplo, el diámetro de un átomo de hidrógeno es del orden de 10^-10 m, mientras que el diámetro del Sol es del orden de 10⁹ m, por lo que tomaría aproximadamente 10⁹ / 10^-10 = 10¹⁹ átomos de hidrógeno para estirar a través del diámetro del sol. Esto es mucho más fácil de hacer en tu cabeza que usar los valores más precisos de 1.06 × 10^-10m para un diámetro de átomo de hidrógeno y 1.39 × 10⁹m para el diámetro del Sol, para encontrar que lo haría tome 1.31 × 10¹⁹ átomos de hidrógeno para estirar a través del diámetro del Sol. Además de ser más fácil, la estimación aproximada también es casi tan informativa como el cálculo preciso.

Rangos conocidos de longitud, masa y tiempo

La vastedad del universo y la amplitud a la que se aplica la física se ilustran mediante la amplia gama de ejemplos de longitudes, masas y tiempos conocidos (dados como órdenes de magnitud) en la Figura 1.4. Examinar esta tabla te dará una idea del rango de posibles temas en física y valores numéricos. Una buena forma de apreciar la vastedad de los rangos de valores en la Figura 1.4 es tratar de responder algunas preguntas comparativas simples, como las siguientes:

• ¿Cuántos átomos de hidrógeno se necesitan para estirar a través del diámetro del Sol? (Respuesta: 10⁹m / 10^-10 m = 10¹⁹ átomos de hidrógeno)
• ¿Cuántos protones hay en una bacteria? (Respuesta: 10^-15 kg / 10^-27 kg = 10¹² protones)
• ¿Cuántas operaciones de punto flotante puede hacer una supercomputadora en 1 día? (Respuesta: 10⁵ s / 10^-17 s = 10²² operaciones de coma flotante)

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La construcción de modelos

¿Cómo llegamos a conocer las leyes que gobiernan los fenómenos naturales? A lo que nos referimos como las leyes de la naturaleza son descripciones concisas del universo que nos rodea. Son declaraciones humanas de las leyes o reglas subyacentes que siguen todos los procesos naturales. Tales leyes son intrínsecas al universo; los humanos no las crearon y no pueden cambiarlas. Solo podemos descubrirlas y entenderlas. Su descubrimiento es un esfuerzo muy humano, con todos los elementos de misterio, imaginación, lucha, triunfo y decepción inherentes a cualquier esfuerzo creativo (Figura 1.5).

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Un ejemplo es el modelo de Bohr de átomos de un solo electrón, en el que el electrón se representa como una órbita alrededor del núcleo, análoga a la forma en que los planetas orbitan el Sol (Figura 1.6). No podemos observar las órbitas de los electrones directamente, pero la imagen mental ayuda a explicar algunas de las observaciones que podemos hacer, como la emisión de luz de los gases calientes (espectros atómicos). Sin embargo, otras observaciones muestran que la imagen en el modelo de Bohr no es en realidad a qué se parecen los átomos. El modelo es "incorrecto", pero sigue siendo útil para algunos propósitos. Los físicos usan modelos para una variedad de propósitos. Por ejemplo, los modelos pueden ayudar a los físicos a analizar un escenario y realizar un cálculo o pueden usarse modelos para representar una situación en forma de simulación por computadora. En última instancia, sin embargo, los resultados de estos cálculos y simulaciones deben verificarse por otros medios, a saber, la observación y la experimentación.

Figura 1.6 ¿Qué es un modelo? El modelo de Bohr de un átomo de un solo electrón muestra el electrón que orbita al núcleo en una de varias posibles órbitas circulares. Como todos los modelos, captura algunos, pero no todos los aspectos del sistema físico.

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Una teoría, por contraste, es una declaración menos concisa del comportamiento observado. Por ejemplo, la teoría de la evolución y la teoría de la relatividad no pueden expresarse lo suficientemente concisas como para ser consideradas leyes. La mayor diferencia entre una ley y una teoría es que una teoría es mucho más compleja y dinámica. Una ley describe una sola acción, mientras que una teoría explica todo un grupo de fenómenos relacionados. En general, las declaraciones menos aplicables se denominan principios (como el principio de Pascal, que solo se aplica a los fluidos), pero a menudo la distinción entre leyes y principios no se hace con cuidado.

Los modelos, teorías y leyes que diseñamos a veces implican la existencia de objetos o fenómenos que aún no se observan. Estas predicciones son notables triunfos y tributos al poder de la ciencia. Es el orden subyacente en el universo que permite a los científicos hacer predicciones tan espectaculares. Sin embargo, si la experimentación no verifica nuestras predicciones, entonces la teoría o ley es incorrecta, sin importar cuán elegante o conveniente sea. Las leyes nunca pueden conocerse con absoluta certeza porque es imposible realizar todos los experimentos imaginables para confirmar una ley para cada escenario posible. Los físicos operan bajo el supuesto de que todas las leyes y teorías científicas son válidas hasta que se observe un contraejemplo. Si un experimento de buena calidad y verificable contradice una ley o teoría bien establecida, entonces la ley o teoría debe ser modificada o derrocada por completo.

El estudio de la ciencia en general, y la física en particular, es una aventura muy parecida a la exploración de un océano inexplorado. Los descubrimientos están hechos; modelos, teorías y leyes están formuladas; y la belleza del universo físico se hace más sublime por los conocimientos adquiridos.

En la siguiente página, podrás observar algunos modelos sobre el átomo. La escena interactiva fue diseñada por Claudio Francisco Nebbia Rubio. Esta escena hace parte del proyecto Telesecundaria, publicado por la Red Descartes.

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1.4 Unidades y estándares

Como vimos anteriormente, la gama de objetos y fenómenos estudiados en física es inmensa. Desde la increíblemente corta vida de un núcleo hasta la edad de la Tierra, desde los diminutos tamaños de partículas subnucleares hasta la vasta distancia hasta los bordes del universo conocido, desde la fuerza ejercida por una pulga saltadora hasta la fuerza entre la Tierra y el Sol, hay suficientes factores de 10 para desafiar la imaginación de incluso el científico más experimentado. Dar valores numéricos para cantidades físicas y ecuaciones para principios físicos nos permite comprender la naturaleza mucho más profundamente que las descripciones cualitativas solos. Para comprender estos vastos rangos, también debemos haber aceptado unidades en las que expresarlos. Encontraremos que incluso en la discusión potencialmente mundana de metros, kilogramos y segundos, aparece una profunda simplicidad de la naturaleza: todas las cantidades físicas se pueden expresar como combinaciones de solo siete cantidades físicas básicas.

Definimos una cantidad física ya sea especificando cómo se mide o indicando cómo se calcula a partir de otras mediciones. Por ejemplo, podríamos definir la distancia y el tiempo especificando los métodos para medirlos, como usar un metro y un cronómetro. Entonces, podríamos definir la velocidad promedio indicando que se calcula como la distancia total recorrida dividida por el tiempo de viaje.

Las mediciones de las cantidades físicas se expresan en términos de unidades, que son valores estandarizados. Por ejemplo, la longitud de una carrera, que es una cantidad física, se puede expresar en unidades de metros (para velocistas) o kilómetros (para corredores de distancia). Sin unidades estandarizadas, sería extremadamente difícil para los científicos expresar y comparar valores medidos de una manera significativa (Figura 1.7).

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Prácticamente todos los demás países del mundo (excepto los Estados Unidos) ahora usan unidades SI como estándar. El sistema métrico es también el sistema estándar acordado por científicos y matemáticos.

Unidades SI: Base y Unidades Derivadas

En cualquier sistema de unidades, las unidades para algunas cantidades físicas se deben definir a través de un proceso de medición. Éstas se llaman las cantidades base para ese sistema y sus unidades son la base del sistema. Todas las demás cantidades físicas pueden expresarse como combinaciones algebraicas de las cantidades base. Cada una de estas cantidades físicas se conoce como una cantidad derivada y cada unidad se denomina unidad derivada. La elección de cantidades base es algo arbitraria, siempre que sean independientes entre sí y todas las demás cantidades puedan derivarse de ellas. Por lo general, el objetivo es elegir cantidades físicas que se puedan medir con una precisión alta como las cantidades base. La razón de esto es simple. Como las unidades derivadas se pueden expresar como combinaciones algebraicas de las unidades base, solo pueden ser tan precisas como las unidades base de las que se derivan.

Sobre la base de tales consideraciones, la Organización Internacional de Normalización recomienda utilizar siete cantidades básicas, que forman el Sistema Internacional de Cantidades (ISQ). Estas son las cantidades base utilizadas para definir las unidades base SI. La Tabla 1.1 enumera estas siete cantidades de base ISQ y las unidades base SI correspondientes.

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Veremos muchos más ejemplos a lo largo de este libro. Por ahora, el punto es que cada cantidad física se puede derivar de las siete cantidades base en la Tabla 1.1, y las unidades de cada cantidad física se pueden derivar de las siete unidades base SI.

En su mayor parte, usamos unidades SI en este libro. Las unidades que no son SI se usan en algunas aplicaciones en las que son de uso común, como la medición de la temperatura en grados Celsius (°C), la medición del volumen de líquido en litros (L) y la medida de energías de partículas elementales en electronvolts (eV). Siempre que se debatan unidades que no pertenecen al SI, están vinculadas a unidades del SI a través de conversiones. Por ejemplo, 1 L es 10^-3m³.

Unidades de tiempo, longitud y masa: el segundo, el metro y el kilogramo

Los capítulos iniciales de este libro de texto están relacionados con mecánica, fluidos y ondas. En éstos, todas las cantidades físicas pertinentes se pueden expresar en términos de las unidades base de longitud, masa y tiempo. Por lo tanto, ahora pasamos a una discusión de estas tres unidades básicas, dejando la discusión de las otras hasta que las necesites más tarde.

El segundo

La unidad SI para el tiempo, el segundo (abreviado s), tiene una larga historia. Durante muchos años se definió como 1/86,400 de un día solar medio. Más recientemente, se adoptó un nuevo estándar para obtener una mayor precisión y para definir el segundo en términos de un fenómeno físico no constante o constante (porque el día solar se hace más largo como resultado de la desaceleración gradual de la rotación de la Tierra). Se puede hacer que los átomos de cesio vibren de manera constante, y estas vibraciones se pueden observar y contar fácilmente.

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El metro se definió por primera vez en 1791 como 1/10,000,000 de la distancia desde el ecuador hasta el Polo Norte. Esta medida se mejoró en 1889 al redefinir el metro para que fuera la distancia entre dos líneas grabadas en una barra de platino-iridio, que ahora se mantiene cerca de París. Para 1960, ya era posible definir el metro con mayor precisión en términos de la longitud de onda de la luz, por lo que nuevamente se redefinió como 1.650.763,73 longitudes de onda de luz naranja emitidas por átomos de criptón. En 1983, el metro recibió su definición actual (en parte para una mayor precisión) a medida que la luz de distancia viaja en el vacío en 1/299,792,458 de segundo (Figura 1.9). Este cambio se produjo después de saber que la velocidad de la luz era exactamente 299.792.458 m/s. La longitud del metro cambiará si la velocidad de la luz se mide algún día con mayor precisión.

Figura 1.9 El metro se define como la distancia que la luz viaja en 1/299,792,458 de segundo en el vacío. La distancia recorrida es la velocidad multiplicada por el tiempo.

El kilogramo

La unidad SI para masa es el kilogramo (abreviado kg). Se define como la masa de un cilindro de platino-iridio mantenido con el viejo estándar del metro en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas cerca de París. Las réplicas exactas del kilogramo estándar también se guardan en el Instituto Nacional de Estándares y Tecnología (NIST) de EE.UU., Ubicado en Gaithersburg, Maryland, en las afueras de Washington DC y en otros lugares del mundo.

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La Tabla 1.2 enumera los prefijos y símbolos métricos utilizados para indicar varios factores de 10 en unidades SI. Por ejemplo, un centímetro es una centésima de un metro (en símbolos, 1 cm = 10^-2 m) y un kilómetro es de mil metros (1 km = 10³ m). De manera similar, un megagramo es un millón de gramos (1 Mg = 10⁶ g), un nanosegundo es una milmillonésima de segundo (1 ns = 10^-9 s) y un terámetro es un billón de metros (1 Tm = 10¹² m).

Tabla 1.2 Prefijos métricos para potencias de 10 y sus símbolos
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La única regla al usar prefijos métricos es que no puedes "duplicarlos". Por ejemplo, si tienes medidas en petámetros (1 Pm = 10¹⁵ m), no es apropiado hablar de megagigómetros, aunque 10⁶ × 10⁹ = 10¹⁵. En la práctica, el único momento en que esto se vuelve un poco confuso es cuando se habla de masas. Como hemos visto, la unidad de masa SI básica es el kilogramo (kg), pero los prefijos métricos deben aplicarse al gramo (g), porque no se nos permite "ponerle un doble" a los prefijos.

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Estrategia

Como no tenemos permitido "duplicar" los prefijos, primero tenemos que volver a expresar la masa en gramos reemplazando el símbolo del prefijo k por un factor de 10³ (consulta la Tabla 1.2). Entonces, deberíamos ver qué dos prefijos en la Tabla 1.2 están más cerca de la potencia resultante de 10 cuando el número está escrito en notación científica. Usamos cualquiera de estos dos prefijos que nos da un número entre uno y 1000.

Solución

Reemplazando la k en kilogramos con un factor de 10³, encontramos que

1.93 × 10³¹kg = 1.93 × 10¹³ × 10³g = 1.93 × 10¹⁶g.

De la Tabla 1.2, vemos que 10¹⁶ está entre "peta" (10¹⁵) y "exa" (10¹⁸). Si usamos el prefijo "peta", entonces encontramos que 1.93 × 10¹⁶g = 1.93 × 10¹Pg, ya que 16 = 1 + 15. Alternativamente, si usamos el prefijo "exa" encontramos que 1.93 × 10¹⁶g = 1.93 × 10^-2 Eg, ya que 16 = -2 + 18. Como el problema pide el valor numérico entre uno y 1000, usamos el prefijo "peta" y la respuesta es 19.3 Pg.

Verificación

Es fácil hacer tontos errores aritméticos al cambiar de un prefijo a otro, por lo que siempre es una buena idea verificar que nuestra respuesta final coincida con el número con el que comenzamos. Una forma fácil de hacerlo es poner los dos números en notación científica y contar potencias de 10, incluidas las ocultas en los prefijos. Si no cometimos un error, las potencias de 10 deberían coincidir.

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1.5 Conversión de unidades

A menudo es necesario convertir de una unidad a otra. Por ejemplo, si está leyendo un libro de cocina europeo, algunas cantidades pueden expresarse en unidades de litros y debe convertirlas en tazas. O tal vez está leyendo las indicaciones para ir de un lugar a otro y le interesa saber cuántos kilómetros va a caminar. En este caso, puede necesitar convertir unidades de pies o millas a kilómetros.

Consideremos un ejemplo simple de cómo convertir unidades. Supongamos que queremos convertir 80 m a kilómetros. Lo primero que debe hacer es listar las unidades que tiene y las unidades a las que desea convertir. En este caso, tenemos unidades en metros y queremos convertir a kilómetros. Luego, necesitamos determinar un factor de conversión que relacione metros a kilómetros. Un factor de conversión es una proporción que expresa cuántos de una unidad son iguales a otra unidad. Por ejemplo, hay 12 pulg. en 1 pie, 1609 m en 1 milla, 100 cm en 1 m, 60 s en 1 min, y así sucesivamente. Consulta las tablas de conversión para obtener una lista más completa de los factores de conversión. En este caso, sabemos que hay 1000 m en 1 km. Ahora podemos configurar nuestra conversión de unidad. Escribimos las unidades que tenemos y luego las multiplicamos por el factor de conversión para que las unidades se cancelen, como se muestra:

Ten en cuenta que la unidad metro no deseada se cancela, dejando solo la unidad kilométrica deseada. Puedes usar este método para convertir cualquier tipo de unidad. Ahora, la conversión de 80 m a kilómetros es simplemente el uso de un prefijo métrico, como vimos en la sección anterior, por lo que podemos obtener la misma respuesta con la misma facilidad al notar que 80 m = 80 x 10^-3 km = 0.080 km.

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Velocidad promedio = Distancia/Tiempo

2. Sustituye los valores dados por distancia y tiempo:

Velocidad promedio = 10 mi/20 min = 0.50 mi/min

3. Convierte millas por minuto en metros por segundo multiplicando por el factor de conversión que cancela millas y cancela los metros, y también por el factor de conversión que cancela los minutos y deja segundos:

Verificación

Verifica la respuesta de las siguientes maneras:

1. Asegúrate que las unidades en la conversión se cancelan correctamente. Si el factor de conversión de la unidad se escribió al revés, las unidades no se cancelan correctamente en la ecuación. Vemos que las "millas" en el numerador en 0.50 mi/min cancela la "milla" en el denominador en el primer factor de conversión. Además, el "min" en el denominador en 0.50 mi/min cancela el "min" en el numerador en el segundo factor de conversión.
2. Verifica que las unidades de la respuesta final sean las unidades deseadas. El problema nos pedía que resolviéramos la velocidad promedio en unidades de metros por segundo y, después de las cancelaciones, las únicas unidades que quedan son un metro (m) en el numerador y un segundo (s) en el denominador, por lo que efectivamente las hemos obtenido unidades.

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Verificación

Recuerda, siempre es importante verificar la respuesta.

1. Asegúrate de cancelar las unidades en la conversión de la unidad correctamente. Vemos que el gramo ("g") en el numerador en 7.86 g/cm³ cancela la "g" en el denominador en el primer factor de conversión. Además, los tres factores de "cm" en el denominador en 7.86 g/cm³ se cancelan con los tres factores de "cm" en el numerador que obtenemos al dividir el segundo factor de conversión.
2. Verifica que las unidades de la respuesta final sean las unidades deseadas. El problema nos pidió que convirtiéramos a kilogramos por metro cúbico. Después de las cancelaciones que acabamos de describir, vemos que las únicas unidades que nos quedan son "kg" en el numerador y tres factores de "m" en el denominador (es decir, un factor de "m" en cubos o "m³"). Por lo tanto, las unidades en la respuesta final son correctas.

Comprueba tu aprendizaje 1.3

Las conversiones de unidades pueden no parecer muy interesantes, pero no hacerlas puede ser costoso. Un ejemplo famoso de esta situación fue visto con Mars Climate Orbiter. Esta sonda fue lanzada por la NASA el 11 de diciembre de 1998.

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En este caso, hemos seleccionado unidades de densidad, encontrando que el factor de conversión de 1 g/cm³ a kg/m³ es 1000, es decir, 7.86 g/cm³ = 7860 kg/m³

Ahora, haz tu la prueba:

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De forma similar, si usamos el símbolo A para el área de superficie de un cilindro y V para su volumen, entonces [A] = L² y [V] = L³. Si usamos el símbolo m para la masa del cilindro y ρ para la densidad del material del que está hecho el cilindro, entonces [m] = M y [ρ] = ML^-3.

Tabla 1.3 Cantidades base y sus dimensiones
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La importancia del concepto de dimensión surge del hecho de que cualquier ecuación matemática que relacione cantidades físicas debe ser dimensionalmente consistente, lo que significa que la ecuación debe obedecer a las siguientes reglas:

• Cada término en una expresión debe tener las mismas dimensiones; no tiene sentido sumar o restar cantidades de diferente dimensión (piense en el viejo dicho: "No puede sumar manzanas y naranjas"). En particular, las expresiones en cada lado de la igualdad en una ecuación deben tener las mismas dimensiones.

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Es bueno tener una forma de verificarlo solo por pensarlo. Además, podríamos estar en una situación en la que no podamos buscar las cosas (como durante una prueba). Por lo tanto, la estrategia es encontrar las dimensiones de ambas expresiones haciendo uso del hecho de que las dimensiones siguen las reglas del álgebra. Si cualquiera de las expresiones no tiene las mismas dimensiones que el área, entonces posiblemente no sea la ecuación correcta para el área de un círculo.

Solución

Sabemos que la dimensión del área es L². Ahora, la dimensión de la expresión πr² es

[πr²] = [π]·[r]² = 1·L² = L²

ya que la constante π es un número puro y el radio r es una longitud. Por lo tanto, πr² tiene la dimensión del área. Del mismo modo, la dimensión de la expresión 2πr2πr es

[2πr]=[2]·[π]·[r] = 1·1·L = L,

ya que las constantes 2 y π son adimensionales y el radio r es una longitud. Vemos que 2πr tiene la dimensión de longitud, lo que significa que no puede ser un área. Descartamos 2πr porque no es dimensionalmente consistente con ser un área. Vemos que πr² es dimensionalmente consistente con ser un área, por lo que si tenemos que elegir entre estas dos expresiones, πr² es la que hay que elegir.

Verificación

Esto puede parecer un ejemplo tonto, pero las ideas son muy generales.

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Estrategia

Por la definición de consistencia dimensional, necesitamos verificar que cada término en una ecuación dada tenga las mismas dimensiones que los otros términos en esa ecuación y que los argumentos de cualquier función matemática estándar sean adimensionales.

• (a) No hay funciones trigonométricas, logarítmicas o exponenciales de las que preocuparse en esta ecuación, por lo que solo debemos observar las dimensiones de cada término que aparece en la ecuación. Hay tres términos, uno en la expresión izquierda y dos en la expresión de la derecha, por lo que observamos cada uno a su vez:
  
  [s] = L
  [vt] = [v]·[t] = LT⁻¹· T = LT⁰ = L
  [0.5at²] = [a]·[t]² = LT⁻²·T² = LT⁰ = L.
  
  Los tres términos tienen la misma dimensión, por lo que esta ecuación es dimensionalmente consistente
• (b) De nuevo, no hay funciones trigonométricas, exponenciales o logarítmicas, por lo que solo tenemos que mirar las dimensiones de cada uno de los tres términos que aparecen en la ecuación:
  
  [s] = L
  [vt²] = [v]·[t]² = LT^-1·T² = LT
  [at] = [a]·[t] = LT^-2·T = LT^-1
  
  Ninguno de los tres términos tiene la misma dimensión que cualquier otro, por lo que está tan lejos de ser lo más coherente posible. El término técnico para una ecuación como esta no tiene sentido.

55

Además, verificar las dimensiones de una ecuación que obtenemos a través de la manipulación algebraica es una gran manera de asegurarnos de que no cometimos un error (o detectar un error, si hicimos uno).

Comprueba tu aprendizaje 1.6

Otro punto que debe mencionarse es el efecto de las operaciones de cálculo en las dimensiones. Hemos visto que las dimensiones obedecen las reglas del álgebra, al igual que las unidades, pero ¿qué sucede cuando tomamos la derivada de una cantidad física con respecto a otra o integramos una cantidad física sobre otra? La derivada de una función es solo la pendiente de la línea tangente a su gráfico y las pendientes son razones, por lo que para las cantidades físicas v y t, tenemos que la dimensión de la derivada de v con respecto a t es solo la relación de la dimensión de v sobre el de t:

Igualmente, dado que las integrales son solo sumas de productos, la dimensión de la integral de v con respecto a t es simplemente la dimensión de v por la dimensión de t:

[∫ vdt] = [v]• [t]

Las reglas análogas son válidas para las unidades de cantidades físicas derivadas de otras cantidades por integración o diferenciación.

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Para avanzar en la estimación, debes tener algunas ideas claras sobre cómo se relacionan las variables. Las siguientes estrategias pueden ayudarte a practicar el arte de la estimación:

• Al estimar longitudes, recuerde que cualquier cosa puede ser una regla. Por lo tanto, imagina dividir una cosa grande en cosas más pequeñas, estimar la longitud de una de las cosas más pequeñas y multiplicar para obtener la longitud de la cosa grande. Por ejemplo, para estimar la altura de un edificio, primero cuenta cuántos pisos tiene. Luego, calcula qué tan grande es un solo piso al imaginar cuántas personas tendrían que pararse sobre los hombros para llegar al techo. Por último, estima la altura de una persona. El producto de estas tres estimaciones es tu estimación de la altura del edificio. Es útil haber memorizado algunas escalas de longitud relevantes para los tipos de problemas que te encuentras resolviendo. Por ejemplo, conocer algunas escalas de longitud en la
  Figura 1.4 puede ser útil. A veces también ayuda a hacer esto en reversa, es decir, para estimar la longitud de una cosa pequeña, imagina que un grupo de ellos hace una cosa más grande. Por ejemplo, para estimar el grosor de una hoja de papel, estima el grosor de una pila de papel y luego divide por el número de páginas en la pila. Estas mismas estrategias de dividir cosas grandes en cosas más pequeñas o agregar cosas más pequeñas en una cosa más grande a veces se pueden usar para estimar otras cantidades físicas, como las masas y los tiempos.


• Obten áreas y volúmenes a partir de longitudes. Al tratar con un área o un volumen de un objeto complejo, introduce un modelo simple del objeto, como una esfera o una caja. Luego, primero calcula las dimensiones lineales (como el radio de la esfera o la longitud, el ancho y la altura de la caja) y utiliza sus estimaciones para obtener el volumen o el área a partir de las fórmulas geométricas estándar. Si tienes una estimación del área o volumen de un objeto, también puedes hacer lo contrario; es decir, usa fórmulas geométricas estándar para obtener una estimación de sus dimensiones lineales.

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• No es necesario ir más allá de una cifra significativa al hacer cálculos para obtener un estimado. En la mayoría de los casos, el orden de magnitud es suficientemente bueno. El objetivo es solo obtener la figura del estadio, así que mantenga la aritmética lo más simple posible.
• Pregúntate: ¿tiene sentido esto? Por último, verifica si tu respuesta es razonable. ¿Cómo se compara con los valores de otras cantidades con las mismas dimensiones que tu ya sabes o puedes buscar fácilmente? Si obtienes alguna respuesta absurda (por ejemplo, si estima que la masa del Océano Atlántico es más grande que la masa de la Tierra, o que algún lapso de tiempo es más largo que la edad del universo), primero verifica si tus unidades son correctas. Luego, verifica los errores aritméticos. Luego, reconsidere la lógica que usaste para llegar a tu respuesta. Si todo se comprueba, es posible que hayas demostrado que una nueva idea ingeniosa es en realidad falsa.

Ejemplo 1.6

Masa de los océanos de la tierra

Estima la masa total de los océanos en la Tierra.

Estrategia

Sabemos que la densidad del agua es aproximadamente 10³ kg/m³, por lo que comenzamos con el consejo de "obtener masas a partir de densidades y volúmenes". Por lo tanto, necesitamos estimar el volumen de los océanos del planeta. Usando el consejo de "obtener áreas y volúmenes a partir de longitudes", podemos estimar el volumen de los océanos como el área de la superficie por la profundidad promedio, o V = AD.

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M = ρV = (10³ kg/m³)(9 × 10¹⁷ m³) = 9 × 10²⁰ kg.
M = ρV = (10³ kg/m³)(9 × 10¹⁷ m³) = 9 × 10²⁰ kg.

Por lo tanto, estimamos que el orden de magnitud de la masa de los océanos del planeta es 10²¹ kg.

Verificación

Para verificar nuestra respuesta lo mejor que podamos, primero debemos responder a la pregunta: ¿Tiene sentido esto? De la Figura 1.4, vemos que la masa de la atmósfera de la Tierra es del orden de 10¹⁹ kg y la masa de la Tierra es del orden de 10²⁵ kg. Es tranquilizador que nuestra estimación de 10²¹ kg para la masa de los océanos de la Tierra se encuentre entre estos dos. Entonces, sí, parece tener sentido. Ocurre que hicimos una búsqueda en la Web de "masa de océanos" y los resultados de búsqueda principales indicaron 1.4 × 10²¹ kg, que es del mismo orden de magnitud que nuestro cálculo. Ahora, en lugar de tener que confiar ciegamente en quien primero colocó ese número en un sitio web (la mayoría de los otros sitios probablemente solo lo copiaron, después de todo), podemos tener un poco más de confianza en él.

Comprueba tu aprendizaje 1.7

63

Exactitud y precisión de una medición

La ciencia se basa en la observación y el experimento, es decir, en las mediciones. La exactitud es qué tan cerca está una medición del valor de referencia aceptado para esa medición. Por ejemplo, supongamos que queremos medir la longitud del papel de la impresora estándar. El paquete en el que compramos el papel indica que mide 11.0 pulgadas de largo. Luego medimos la longitud del papel tres veces y obtenemos las siguientes medidas: 11.1 pulg., 11.2 pulg. Y 10.9 pulg. Estas mediciones son bastante precisas porque están muy cerca del valor de referencia de 11.0 pulg. Por contraste, si obtuvimos una medida de 12 pulgadas, nuestra medición no sería muy precisa. Ten en cuenta que el concepto de exactitud requiere que se proporcione un valor de referencia aceptado.

La precisión de las mediciones se refiere a cuán cerca está el acuerdo entre mediciones independientes repetidas (que se repiten en las mismas condiciones). Considere el ejemplo de las medidas de papel. La precisión de las mediciones se refiere a la propagación de los valores medidos. Una forma de analizar la precisión de las mediciones es determinar el rango o diferencia entre los valores medidos más bajos y los más altos. En este caso, el valor más bajo fue 10.9 pulgadas y el valor más alto fue 11.2 pulgadas. Por lo tanto, los valores medidos se desviaron unos de otros, a lo sumo, 0.3 pulgadas. Estas mediciones fueron relativamente precisas porque no variaron demasiado en valor . Sin embargo, si los valores medidos hubieran sido 10.9 pulg., 11.1 pulg. Y 11.9 pulg., Entonces las mediciones no serían muy precisas porque habría una variación significativa de una medición a otra. Ten en cuenta que el concepto de precisión solo depende de las medidas reales adquiridas y no depende de un valor de referencia aceptado.

Las medidas en el ejemplo de papel son precisas, pero en algunos casos, las mediciones son precisas pero no exactas, o son exactas pero no precisas.

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Exactitud, Precisión, Incertidumbre y Discrepancia

La precisión de un sistema de medición está relacionada con la incertidumbre en las mediciones, mientras que la exactitud está relacionada con la discrepancia con respecto al valor de referencia aceptado. La incertidumbre es una medida cuantitativa de cuánto se desvían los valores medidos el uno del otro. Existen muchos métodos diferentes para calcular la incertidumbre, cada uno de los cuales es apropiado para diferentes situaciones. Algunos ejemplos incluyen tomar el rango (es decir, el más grande menos el más pequeño) o encontrar la desviación estándar de las mediciones. La discrepancia (o "error de medición") es la diferencia entre el valor medido y un valor estándar o esperado dado. Si las medidas no son muy precisas, entonces la incertidumbre de los valores es alta. Si las medidas no son muy exactas, entonces la discrepancia de los valores es alta.

Recuerda nuestro ejemplo de medir la longitud del papel; obtuvimos medidas de 11.1 pulg., 11.2 pulg. y 10.9 pulg., y el valor aceptado fue 11.0 pulg. Podríamos promediar las tres mediciones para decir que nuestra mejor estimación es 11.1 pulg.; en este caso, nuestra discrepancia es 11.1 - 11.0 = 0.1 pulg., que proporciona una medida cuantitativa de exactitud. Podríamos calcular la incertidumbre en nuestra mejor estimación utilizando el rango de nuestros valores medidos: 0.3 pulg. Entonces diríamos que la longitud del papel es 11.1 pulg. más o menos 0.3 pulg. La incertidumbre en una medición A, es a menudo denotado como δA (leer "delta A"), por lo que el resultado de la medición se registraría como A ± δA. Volviendo a nuestro ejemplo en papel, la longitud medida del papel podría expresarse como 11.1 ± 0.3 pulg. Dado que la discrepancia de 0.1 pulg es menor que la incertidumbre de 0.3 pulg, podríamos decir que el valor medido concuerda con el valor de referencia aceptado dentro de la incertidumbre experimental.

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Porcentaje de incertidumbre

Otro método para expresar la incertidumbre es como un porcentaje del valor medido. Si una medida A se expresa con incertidumbre δA, la incertidumbre porcentual se define como

Porcentaje de incertidumbre = δA/A x 100%

Ejemplo 1.7

Cálculo del porcentaje de incertidumbre: una bolsa de manzanas

Una tienda de comestibles vende bolsas de manzanas de 5 lb. Digamos que compramos cuatro bolsas durante el transcurso de un mes y pesamos las bolsas cada vez. Obtenemos las siguientes medidas:

• Peso de la semana 1: 4.8 lb
• Peso de la semana 2: 5.3 lb
• Peso de la semana 3: 4.9 lb
• Peso de la semana 4: 5.4 libras

Luego determinamos que el peso promedio de la bolsa de manzanas de 5 lb es 5.1 ± 0.2 lb. ¿Cuál es el porcentaje de incertidumbre del peso de la bolsa?

Estrategia

Primero, observa que el valor promedio del peso de la bolsa, A, es 5.1 lb.

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Incertidumbres en los cálculos

La incertidumbre existe en cualquier cosa calculada a partir de cantidades medidas. Por ejemplo, el área de un piso calculada a partir de mediciones de su longitud y ancho tiene una incertidumbre porque la longitud y el ancho tienen incertidumbres. ¿Qué tan grande es la incertidumbre en algo que se calcula por multiplicación o división? Si las mediciones que entran en el cálculo tienen pequeñas incertidumbres (un pequeño porcentaje o menos), entonces el método de agregar porcentajes se puede usar para la multiplicación o división.

Este método indica que la incertidumbre porcentual en una cantidad calculada por multiplicación o división es la suma de las incertidumbres porcentuales en la información utilizada para hacer el cálculo. Por ejemplo, si un piso tiene una longitud de 4.00 m y un ancho de 3.00 m, con incertidumbres del 2% y 1%, respectivamente, entonces el área del piso es de 12.0 m2 y tiene una incertidumbre del 3%. (Expresado como un área, esto es 0.36 m² [12.0 m² × 0.03], que redondeamos a 0.4 m<² ya que el área del piso se da a una décima de metro cuadrado).

Precisión de herramientas de medición y cifras significativas

Un factor importante en la precisión de las mediciones involucra la precisión de la herramienta de medición. En general, una herramienta de medición precisa es aquella que puede medir valores en incrementos muy pequeños. Por ejemplo, una regla estándar puede medir la longitud al milímetro más cercano, mientras que una pinza puede medir la longitud al milímetro más cercano. El calibrador es una herramienta de medición más precisa porque puede medir diferencias extremadamente pequeñas en longitud. Cuanto más precisa sea la herramienta de medición, más precisas serán las mediciones.

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Para evitar esta ambigüedad, deberíamos escribir 1300 en notación científica como 1.3 × 10³,1.30 × 10³, o 1.300 × 10³, dependiendo si tiene dos, tres o cuatro cifras. Los ceros son significativos, excepto cuando solo sirven como marcadores de posición.

Cifras significativas en los cálculos

Cuando se combinan mediciones con diferentes grados de precisión, el número de dígitos significativos en la respuesta final no puede ser mayor que el número de dígitos significativos en el valor medido menos preciso. Hay dos reglas diferentes, una para la multiplicación y la división y la otra para la suma y la resta.

1. Para la multiplicación y la división, el resultado debe tener el mismo número de cifras significativas que la cantidad con el menor número de cifras significativas que entran en el cálculo. Por ejemplo, el área de un círculo se puede calcular a partir de su radio utilizando A = πr². Veamos cuántas figuras significativas tiene el área si el radio tiene solo dos, digamos, r = 1.2 m. Usando una calculadora con una salida de ocho dígitos, calcularíamos
   
   A = πr² = (3.1415927…)×(1.2 m)² = 4.5238934 m²
   
   Pero como el radio tiene solo dos cifras significativas, limita la cantidad calculada a dos cifras significativas, o a A = 4.5 m², aunque π es bueno para al menos ocho dígitos.
2. Para sumar y restar, la respuesta no puede contener más decimales que la medición menos precisa. Supongamos que compramos 7,56 kg de papas en una tienda de abarrotes según lo medido con una báscula con precisión de 0,01 kg, luego dejamos caer 6,052 kg de papas en el laboratorio, según lo determinado por una balanza con una precisión de 0,001 kg.

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Piensa cuál debe ser la cifra más significativa y la menos significativa antes de pulsar RESPUESTA para comprobarlo. Para averiguar el número de cifras significativas, sólo tendrás que contar el número de cifras que hay entre la más significativa y la menos significativa, ambas incluidas.

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1.9 Resolviendo Problemas en Física

Las habilidades para la resolución de problemas son claramente esenciales para el éxito en un curso cuantitativo de física. Lo que es más importante, la capacidad de aplicar principios físicos amplios -generalmente representados por ecuaciones- a situaciones específicas, es una forma muy poderosa de conocimiento.

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Con la práctica, los conceptos básicos para la resolución de problemas se vuelven casi automáticos. Una forma de obtener práctica es resolver los ejemplos del texto mientras lees. Otra, es resolver tantos problemas, al final de la sección, como sea posible, comenzando con los más fáciles para generar confianza y, luego, avanzando hacia los más complejos. Después de involucrarte en la Física, verás a tu alrededor y podrás comenzar a aplicarla a situaciones que encuentres fuera del aula, tal como se hace en muchas de las aplicaciones de este texto.

Aunque no existe un simple método paso a paso, que funcione para cada problema, el siguiente proceso de tres etapas facilita la resolución de problemas y lo hace más significativo. Las tres etapas son estrategia, solución y verificación. Este proceso se usa en ejemplos a lo largo del libro.

Estrategia

La estrategia es la etapa inicial para resolver un problema. La idea es descubrir exactamente cuál es el problema y luego desarrollar una estrategia para resolverlo. Algunos consejos generales para esta etapa son los siguientes:

• Examina la situación para determinar qué principios físicos están involucrados. A menudo, es útil dibujar un boceto simple al principio. Necesitas decidir qué dirección es positiva y anotar eso en tu boceto. Cuando hayas identificado los principios físicos, es mucho más fácil encontrar y aplicar las ecuaciones que representan esos principios. Aunque encontrar la ecuación correcta es esencial, ten en cuenta que las ecuaciones representan principios físicos, leyes de la naturaleza y relaciones entre cantidades físicas. Sin una comprensión conceptual de un problema, una solución numérica no tiene sentido.
• Haz una lista de lo que se da o se puede deducir del problema tal como se establece (identifica los "datos dados").

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Es decir, haz el álgebra, el cálculo, la geometría o la aritmética necesarios para encontrar los datos desconocidos a partir de los conocidos, asegurándote de llevar las unidades a través de los cálculos. Este paso es claramente importante porque produce la respuesta numérica, junto con sus unidades. Sin embargo, ten en cuenta que esta etapa es solo un tercio del proceso general de resolución de problemas.

Verificación

Después de haber hecho los cálculos en la etapa de solución de la resolución de problemas, es tentador pensar que ya terminaste. Pero recuerda siempre que la física no es matemática. Más bien, al hacer física, utilizamos las matemáticas como una herramienta para ayudarnos a comprender la naturaleza. Entonces, después de obtener una respuesta numérica, siempre debes evaluar su significado:

• Verifica tus unidades. Si las unidades de la respuesta son incorrectas, se ha producido un error y debes volver sobre tus pasos anteriores para encontrarlo. Una forma de encontrar el error es verificar todas las ecuaciones que obtuviste para la consistencia dimensional. Sin embargo, ten en cuenta que las unidades correctas no garantizan que la parte numérica de la respuesta también sea correcta.
• Verifica la respuesta para ver si es razonable. ¿Tiene sentido? Este paso es extremadamente importante: el objetivo de la física es describir la naturaleza con precisión. Para determinar si la respuesta es razonable, verifica tanto su magnitud como su signo, además de sus unidades. La magnitud debe ser consistente con una estimación aproximada de lo que debería ser. También debes comparar, razonablemente, con magnitudes de otras cantidades del mismo tipo. El letrero generalmente te informa sobre la dirección y debe ser consistente con tus expectativas previas. Tu juicio mejorará a medida que resuelvas más problemas de física, y te será posible hacer juicios más precisos con respecto a si la naturaleza describe adecuadamente la respuesta a un problema.

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1.10 Preguntas y respuestas - Capítulo I

Respuestas

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Capítulo ii

Vectores

2.1 Introducción

Figura 2.1 Una señal proporciona información sobre las distancias y las direcciones hacia las ciudades u otras ubicaciones en relación con la ubicación de la señal. La distancia es una cantidad escalar. Saber la distancia solo no es suficiente para llegar a la ciudad; también debemos saber la dirección desde la señal hacia la ciudad. La dirección, junto con la distancia, es una cantidad vectorial comúnmente llamada vector de desplazamiento. Una señalización, por lo tanto, proporciona información sobre vectores de desplazamiento desde la señalización a las ciudades. (crédito: modificación del trabajo por "studio tdes" / Flickr)

Los vectores son esenciales para la física y la ingeniería. Muchas cantidades físicas fundamentales son vectores, incluidos el desplazamiento, la velocidad, la fuerza y los campos eléctricos y magnéticos. Los productos escalares de vectores definen otras cantidades físicas escalares fundamentales, como la energía. Los productos vectoriales de vectores definen todavía otras cantidades físicas de vectores fundamentales, como el par motor y el momento angular. En otras palabras, los vectores son una parte de la física de forma muy parecida a como las oraciones son una parte de la literatura.

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Las cantidades físicas especificadas completamente dando un número de unidades (magnitud) y una dirección se llaman cantidades vectoriales. Ejemplos de cantidades de vectores incluyen desplazamiento, velocidad, posición, fuerza y ​​torque. En el lenguaje de las matemáticas, las cantidades de vectores físicos están representadas por objetos matemáticos llamados vectores (Figura 2.2). Podemos sumar o restar dos vectores, y podemos multiplicar un vector por un escalar o por otro vector, pero no podemos dividir por un vector. La operación de división por un vector no está definida.

Por ejemplo, si el desayuno de ayer tenía 200 calorías de energía y el desayuno de hoy tiene cuatro veces más energía que ayer, el desayuno de hoy tiene 4(200cal) = 800cal de energía. Dos cantidades escalares también se pueden multiplicar o dividir entre sí para formar una cantidad escalar derivada. Por ejemplo, si un tren cubre una distancia de 100 km en 1.0 h, su velocidad es de 100.0 km/1.0 h = 27.8 m/s, donde la velocidad es una cantidad escalar derivada obtenida al dividir la distancia por tiempo.

Sin embargo, muchas cantidades físicas no se pueden describir completamente con solo un número de unidades físicas. Por ejemplo, cuando la Guardia Costera de los EE. UU. Despacha un barco o un helicóptero para una misión de rescate, el equipo de rescate debe conocer no solo la distancia a la señal de socorro, sino también la dirección desde la cual llega la señal para poder llegar a su origen lo más rápido posible. Las cantidades físicas especificadas completamente dando un número de unidades (magnitud) y una dirección se llaman cantidades vectoriales. Ejemplos de cantidades de vectores incluyen desplazamiento, velocidad, posición, fuerza y ​​torque. En el lenguaje de las matemáticas, las cantidades de vectores físicos están representadas por objetos matemáticos llamados vectores (Figura 2.2). Podemos sumar o restar dos vectores, y podemos multiplicar un vector por un escalar o por otro vector, pero no podemos dividir por un vector. La operación de división por un vector no está definida.

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Es poco probable que tu amigo pueda encontrar el hoyo fácilmente a menos que también comuniques la dirección en la que se puede encontrar con respecto a tu campamento. Puedes decir, por ejemplo, "Camina unos 6 km al noreste de mi tienda". El concepto clave aquí es que debe dar no una sino dos datos de información, a saber, la distancia o magnitud (6 km) y la dirección (Noreste).

El desplazamiento es un término general usado para describir un cambio de posición, como durante un viaje desde la tienda de campaña hasta el agujero de pesca. El desplazamiento es un ejemplo de una cantidad vectorial. Si caminas desde la tienda (ubicación A) hasta el agujero (ubicación B), como se muestra en la Figura 2.3, el vector D^→, que representa tu desplazamiento, se dibuja como la flecha que se origina en el punto A y termina en el punto B. La punta de flecha marca el final del vector. La dirección del vector de desplazamiento D^→ es la dirección de la flecha. La longitud de la flecha representa la magnitud D del vector D.^→ Aquí, D = 6 km. Como la magnitud de un vector es su longitud, que es un número positivo, la magnitud también se indica colocando la notación del valor absoluto alrededor del símbolo que denota el vector; entonces, podemos escribir equivalentemente que D = | D^→|.

Para resolver un problema vectorial gráficamente, necesitamos dibujar el vector D^→ a escala. Por ejemplo, si asumimos que 1 unidad de distancia (1 km) está representada en el dibujo por un segmento de línea de longitud u = 2 cm, entonces el desplazamiento total en este ejemplo está representado por un vector de longitud d = 6u = 6(2 cm) = 12 cm, como se muestra en la Figura 2.4.

Observa que aquí, para evitar confusiones, utilizamos D = 6km para denotar la magnitud del desplazamiento real y d = 12 cm para indicar la longitud de su representación en el dibujo.

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Supongamos que su amigo camina del campamento en A al estanque de pesca en B y luego regresa del estanque de pesca en B al campamento en A. La magnitud del vector de desplazamiento D_AB^→ de A a B es la misma que la magnitud del vector de desplazamiento D_BA^→ de B a A (equivale a 6 km en ambos casos), por lo que podemos escribir D_AB = D_BA. Sin embargo, el vector D_AB^→ no es igual al vector D_BA^→ porque estos dos vectores tienen diferentes direcciones: D_AB^→ ≠ D_BA^→. En la Figura 2.3, el vector D_BA^→ estaría representado por un vector con un origen en el punto B y un extremo en el punto A, indicando el vector D_BA^→ apunta al suroeste, que es exactamente 180° opuesto a la dirección del vector D_AB^→. Decimos que el vector D_BA^→ es antiparalelo al vector D_AB^→ y escribes D_BA^→ = -D_AB^→, donde el signo menos indica la dirección antiparalela.

Se dice que dos vectores que tienen direcciones idénticas son vectores paralelos, lo que significa que son paralelos entre sí. Dos vectores paralelos A^→ y B^→ son iguales, indicados por A^→ = B^→, si y solo si tienen las mismas magnitudes |A^→| = |B^→|. Se dice que dos vectores con direcciones perpendiculares entre sí son vectores ortogonales. Estas relaciones entre vectores se ilustran en la Figura 2.5.

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Comprueba tu aprendizaje 2.1

Álgebra de vectores en una dimensión

Los vectores pueden multiplicarse por escalares, sumarse a otros vectores o restarse de otros vectores. Podemos ilustrar estos conceptos vectoriales usando un ejemplo del viaje de pesca que se ve en la Figura 2.6.

Figura 2.6Vectores de desplazamiento para un viaje de pesca. (a) Detenerse en el punto C mientras se camina desde el campamento (punto A) hasta el estanque (punto B). (b) Volviendo a la caja de aparejos caídos (punto D). (c) Acabar en el estanque de pesca.

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La magnitud |B|^→de este nuevo vector se obtiene multiplicando la magnitud |A|^→ del vector original, según lo expresado por la ecuación escalar:

(2.2)

La siguiente escena interactiva representa la muliplicación del vector por un escalar. Cambia el valor de α.

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95

Ahora supongamos que su compañero de pesca sale del punto A (el campamento), caminando en dirección al punto B (el agujero), pero se da cuenta que perdió su caja de aparejos cuando se detuvo para descansar en el punto C (ubicado a tres cuartos de distancia entre A y B, comenzando desde A). Entonces, se da vuelta y retrocede sus pasos en dirección al campamento y encuentra la caja en el camino en algún punto D a solo 1.2 km del punto C (ver Figura 2.6 (b)). ¿Cuál es su vector de desplazamiento D_AD^→ cuando encuentra la caja en el punto D?

¿Cuál es el vector de desplazamiento D_DB^→del punto D al agujero? Ya hemos establecido que en el punto de reposo C el vector de desplazamiento es D_AC^→ = 0.75D_AB^→. Comenzando en el punto C, camina hacia el sudoeste (hacia el campamento), lo que significa que el nuevo vector de desplazamiento D_CD^→desde el punto C al punto D es antiparalelo a D_AB^→. Su magnitud D_|CD|^→ es D_CD = 1.2km = 0.2D_AB, entonces el segundo vector es D_CD^→= -0.2D_AB^→. El desplazamiento total D_AD^→relativo al campamento es la suma vectorial de los dos vectores de desplazamiento: D_AC^→(desde el camping hasta el punto de descanso) y D_CD^→(desde el punto de descanso hasta el punto donde él encuentra su caja).

(2.3)

La suma de dos (o más) vectores se llama vector resultante o, para abreviar, la resultante. Cuando se conocen los vectores en el lado derecho de la ecuación 2.3, podemos encontrar la resultante D_AD^→ de la siguiente manera:

D_AD^→= D_AC^→+ D_CD^→= 0.75D_AB^→- 0.2D_AB^→= (0.75 - 0.2)D_AB^→= 0.55D_AB^→

(2.4)

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Para ilustrar la resultante cuando A^→y B^→ son dos vectores paralelos, los dibujamos a lo largo de una línea colocando el origen de un vector en el extremo del otro vector de la cabeza a la cola (ver Figura 2.7 (b)). La magnitud de esta resultante es la suma de sus magnitudes: R = A + B. La dirección de la resultante es paralela a ambos vectores. Cuando el vector A^→ es antiparalelo al vector B^→, los dibujamos a lo largo de una línea en forma cabeza a cabeza (Figura 2.7 (c)) o de la cola a la cola. La magnitud de la diferencia vectorial, entonces, es el valor absoluto D = | A-B | D = | A-B | de la diferencia de sus magnitudes. La dirección del vector de diferencia D^→ es paralela a la dirección del vector más largo.

En general, en una dimensión, así como en dimensiones superiores, como en un plano o en el espacio, podemos agregar cualquier número de vectores y podemos hacerlo en cualquier orden porque la adición de vectores es conmutativa,

(2.7)

y asociativa,

(2.8)

Además, la multiplicación por un escalar es distributiva:

99

Luego, después de una breve parada, continúa durante 25 cm hacia el piso y luego, de nuevo, se arrastra 19 cm hacia la pared antes de descansar por completo (Figura 2.8). Encuentra el vector de su desplazamiento total y su posición de descanso final en la vara.

Estrategia

Si elegimos la dirección a lo largo del palo hacia el piso como la dirección del vector unitario û, entonces la dirección hacia el piso es +û y la dirección hacia la pared es -û. La mariquita hace un total de cinco desplazamientos:

D₁^→= (15 cm)(+û),

D₂^→= (56 cm)(-û),

D₃^→= (3 cm)(+û),

D₄^→= (25 cm)(+û),

D₅^→= (19 cm)(-û),

El desplazamiento total D^→ es la resultante de todos los vectores de desplazamiento.

101

En este cálculo, usamos la ley distributiva dada por la Ecuación 2.9. El resultado dice que el vector de desplazamiento total se aleja de la marca de 100 cm (sitio de aterrizaje inicial) hacia el extremo de la vara que toca la pared. El extremo que toca la pared está marcado en 0 cm, por lo que la posición final de la mariquita está en la marca (100 - 32) cm = 68 cm.

Comprueba tu aprendizaje 2.2

Álgebra de vectores en dos dimensiones

Cuando los vectores se encuentran en un plano, es decir, cuando están en dos dimensiones, pueden multiplicarse por escalares, sumarse a otros vectores o restarse de otros vectores de acuerdo con las leyes generales expresadas por la Ecuación 2.1, Ecuación 2.2, Ecuación 2.7 y ecuación 2.8. Sin embargo, la regla de adición para dos vectores en un plano se vuelve más complicada que la regla para la adición de vectores en una dimensión. Tenemos que usar las leyes de la geometría para construir los vectores resultantes, seguidos de la trigonometría para encontrar las magnitudes y direcciones del vector. Este enfoque geométrico se usa comúnmente en navegación (Figura 2.9). En esta sección, necesitamos tener a mano dos reglas, un triángulo, un transportador, un lápiz y un borrador para dibujar vectores a escala mediante construcciones geométricas.

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La otra diagonal de este paralelogramo es la diferencia vectorial de los dos vectores D^→= A^→- B^→, como se muestra en la Figura 2.10 (b). Observa que el final del vector diferencia se coloca al final del vector A^→.

Figura 2.10 La regla del paralelogramo para la suma de dos vectores. Haz la traslación paralela de cada vector a un punto donde coincidan sus orígenes (marcados con el punto) y construye un paralelogramo con dos lados en los vectores y los otros dos lados (indicados por líneas discontinuas) paralelos a los vectores. (a) Dibuja el vector resultante R^→a lo largo de la diagonal del paralelogramo desde el punto común a la esquina opuesta. La longitud R del vector resultante no es igual a la suma de las magnitudes de los dos vectores. (b) Dibuja el vector diferencia D^→= A^→- B^→a lo largo de la diagonal que conecta los extremos de los vectores. Coloca el origen del vector D^→al final del vector B^→y el final (punta de flecha) del vector D^→al final del vector A^→. La longitud D del vector diferencia no es igual a la diferencia de magnitudes de los dos vectores.

De la regla del paralelogramo se desprende que ni la magnitud del vector resultante ni la magnitud del vector diferencia se pueden expresar como una suma o diferencia simple de magnitudes A y B, porque la longitud de una diagonal no se puede expresar como una simple suma de longitudes laterales. Cuando se usa una construcción geométrica para encontrar magnitudes |R|^→y |D|^→, tenemos que usar leyes de trigonometría para triángulos, lo que puede llevar al álgebra complicada. Hay dos formas de eludir esta complejidad algebraica. Una forma es usar el método de los componentes, que examinamos en la siguiente sección. La otra forma es dibujar los vectores a escala, como se hace en navegación, y leer longitudes aproximadas de los vectores y ángulos (direcciones) de los gráficos.

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En la siguiente escena interactiva, diseñada por Juan Guillermo Rivera B., se explica, paso a paso, el método del paralelogramo. Puedes cambiar la dirección de los vectores, usando el botón pulsador. La escena fue diseñada para un curso de mecánica (estática), por ello, los vectores corresponden a fuerzas aplicadas en un punto.

Ampliar

Si necesitamos agregar tres o más vectores, repetimos la regla del paralelogramo para los pares de vectores hasta que encontremos la resultante de todos los resultados. Para tres vectores, por ejemplo, primero encontramos la resultante del vector 1 y el vector 2, y luego encontramos la resultante de este vector resultante 3.

107

Supongamos que planificas un viaje de vacaciones en Florida. Saliendo de Tallahassee, la capital del estado, planeas visitar a tu tío Joe en Jacksonville, ver a tu primo Vinny en Daytona Beach, detenerte a divertirte un poco en Orlando, ver un espectáculo de circo en Tampa y visitar la Universidad de Florida en Gainesville. Tu ruta puede estar representada por cinco vectores de desplazamiento A^→, B^→, C^→, D^→y E^→, que están indicados por los vectores rojos en la Figura 2.11. ¿Cuál es tu desplazamiento total cuando llegas a Gainesville? El desplazamiento total es la suma vectorial de los cinco vectores de desplazamiento, que se pueden encontrar al usar la regla del paralelogramo cuatro veces. Alternativamente, recuerda que el vector de desplazamiento tiene su comienzo en la posición inicial (Tallahassee) y su final en la posición final (Gainesville), por lo que el vector de desplazamiento total se puede dibujar directamente como una flecha que conecta Tallahassee con Gainesville (observa el vector verde en la Figura 2.11). Cuando usamos la regla del paralelogramo cuatro veces, la resultante R^→es exactamente este vector verde que conecta Tallahassee con Gainesville: R^→= A^→+ B^→+ C^→+ D^→+ E^→.

Dibujar el vector resultante de muchos vectores se puede generalizar usando la siguiente construcción geométrica de la cabeza a la cabeza. Supongamos que queremos dibujar el vector resultante R^→de cuatro vectores A^→, B^→, C^→, y D^→ (Figura 2.12 (a)). Seleccionamos cualquiera de los vectores como primer vector y hacemos una traslación paralela de un segundo vector a una posición donde el origen ("cola") del segundo vector coincide con el final ("cabeza") del primer vector. Luego, seleccionamos un tercer vector y hacemos una traslación paralela del tercer vector a una posición donde el origen del tercer vector coincide con el final del segundo vector. Repetimos este procedimiento hasta que todos los vectores estén en una disposición de cabeza a cola como la que se muestra en la Figura 2.12 y en el tercer vídeo anterior. Dibujamos el vector resultante R^→conectando el origen ("cola") del primer vector con el final ("cabeza") del último vector.

109

Elija una escala conveniente y use una regla y un transportador para encontrar las siguientes sumas de vectores: (a) R^→= A^→ + B^→, (b) D^→= A^→- B^→ y (c) S^→= A^→- 3B^→+ C^→

Figura 2.13 Vectores usados en el Ejemplo 2.2.

Estrategia

En la construcción geométrica, encontrar un vector significa encontrar su magnitud y su ángulo de dirección con la dirección horizontal. La estrategia es dibujar para escalar los vectores que aparecen en el lado derecho de la ecuación y construir el vector resultante. Luego, usas una regla y un transportador para leer la magnitud de la resultante y el ángulo de dirección. Para las partes (a) y (b) usamos la regla del paralelogramo. Para (c) usamos el método de cabeza y cola o del polígono.

111

A continuación, dibujamos el vector S^→+ B^→desde el origen del primer vector hasta el final del último y colocamos la punta de flecha al final de S^→+ B^→. Usamos una regla para medir la longitud de S^→+ B^→, y encontramos que su magnitud es

S = 36.9 cm. Usamos un transportador y descubrimos que su ángulo de dirección es θ_S = 52.9°. Esta solución se muestra en la Figura 2.15.

Figura 2.15 Uso del método de cabeza y cola para (c) (encontrar el vector B^→, verde).

113

2.3 Sistemas de coordenadas y componentes de un vector

Los vectores se describen, generalmente, en términos de sus componentes en un sistema de coordenadas. Incluso en la vida cotidiana, invocamos el concepto de proyecciones ortogonales en un sistema de coordenadas rectangulares. Por ejemplo, si le preguntas a alguien por direcciones de una ubicación particular, lo más probable es que te diga que vayas 40 km al este y 30 km al norte, y no 50 km en la dirección 37° nordeste.

En un sistema de coordenadas xy rectangular (cartesiano) en un plano, un punto en un plano se describe mediante un par de coordenadas (x, y). De manera similar, un vector A^→en un plano se describe mediante un par de coordenadas. La coordenada x del vector A^→se denomina componente x y la coordenada y del vector A^→se denomina componente y. La componente x del vector es denotada por A_x^→. La componente y del vector es denotada por A_y^→. En el sistema cartesiano, las componentes x e y del vector son las proyecciones ortogonales de este vector en los ejes x e y, respectivamente. De esta manera, siguiendo la regla de paralelogramo para la suma de vectores, cada vector en un plano cartesiano puede expresarse como la suma de vectores de sus componentes de vector:

(2.10)

Como se ilustra en la Figura 2.16, el vector A^→es la diagonal del rectángulo donde al componente A_x^→es el lado paralelo al eje x, y la componente A_y^→es el lado paralelo al eje y. La componente A_x^→es ortogonal a la componente A_y^→.

115

En la siguiente escena interactiva, diseñada por Juan Guillermo Rivera Berrío, desplaza el vector A^→para que observer las componentes rectangulares del vector en cualquier dirección.

Ampliar

117

Estrategia

El origen del sistema de coordenadas xy es la esquina inferior izquierda del monitor de la computadora. Por lo tanto, el vector unitario î en el eje x apunta horizontalmente hacia la derecha y el vector unitario ĵ en el eje y apunta verticalmente hacia arriba. El origen del vector de desplazamiento se encuentra en el punto b (6.0, 1.6) y el extremo del vector de desplazamiento está ubicado en el punto e (2.0, 4.5). Sustituye las coordenadas de estos puntos en la Ecuación 2.13 para encontrar los componentes escalares D_x y D_y del vector de desplazamiento D^→. Finalmente, sustituye las coordenadas en la ecuación 2.12 para escribir el vector de desplazamiento en la forma de las componentes rectangulares.

Solución

Identificamos x_b = 6.0x, x_e = 2.0x, y_b = 1.6, y_e = 4.5, donde la unidad física es 1 cm. Los componentes escalares x e y del vector de desplazamiento son:

D_x = x_e − x_b = (2.0 − 6.0)cm = −4.0cm,
D_y = y_e − y_b = (4.5 − 1.6)cm = +2.9cm

La forma vectorial del vector de desplazamiento es

D^→= D_xî + D_yĵ = (−4.0cm)î + (2.9cm)ĵ = (−4.0î + 2.9ĵ)cm.

(2.14)

Esta solución se muestra en la Figura 2.17.

119

Nótese también que la dirección de la componente en x es -î, que es antiparalela a la dirección del eje +x; por lo tanto, la componente D_x^→apunta hacia la izquierda, como se muestra en la figura 2.17. La componente escalar en x del vector D^→es D_x = -4.0.

De forma similar, la componente D_y^→= +2.9ĵ del vector de desplazamiento tiene una magnitud |D_y|^→= |2.9||ĵ| = 2.9 porque la magnitud del vector unitario es |ĵ| = 1. La dirección del componente y es + ĵ, que es paralela a la dirección del eje +y. Por lo tanto, la componente en y D_y^→apunta hacia arriba, como se ve en la Figura 2.17. La componente y el escalar del vector D^→es Dy = + 2.9.

Las componentes rectangulares del vector de desplazamiento nos dicen que el puntero del mouse ha sido movido en el monitor 4.0 cm hacia la izquierda y 2.9 cm hacia arriba desde su posición inicial.

Comprueba tu aprendizaje 2.4

Cuando conocemos los componentes escalares A_x y A_y de un vector A^→, podemos encontrar su magnitud A y su ángulo de dirección θ_A.

121

Cuando el vector se encuentra en el segundo o tercer cuadrante, donde el componente A_x es negativo, el ángulo de dirección es θ_A = θ + 180° (Figura 2.19).

Figura 2.18 Para el vector A^→, su magnitud A y su ángulo de dirección θ_A se relacionan con las magnitudes de sus componentes escalares porque A, A_x y A_y forman un triángulo rectángulo

123

Estrategia

En el ejemplo 2.3, encontramos el vector de desplazamiento D^→del puntero del ratón (ver ecuación 2.14). Identificamos sus componentes escalares D_x = -4.0cm y D_y = + 2.9cm y sustituimos en la Ecuación 2.15 y la Ecuación 2.16 para encontrar la magnitud D y la dirección θ_D, respectivamente.

Solución

La magnitud del vector D^→es

D = √D_x² + D_y^{2━━━━━} = √(-4.0 cm)² + (2.9 cm)^{2━━━━━━━━━━━━} = √(4.0)² + (2.9)²cm^{━━━━━━━}   = 4.9 cm

La dirección del ángulo es:

tan θ = D_y/D_x = + 2.9 cm/-4.0 cm = -0.725 ⇒ θ = tan^-1(-0.725) = −35.9°.

El vector D^→se encuentra en el segundo cuadrante, por lo que su ángulo de dirección es

θ_D = θ + 180° = -35.9° + 180° = 144.1°.

Comprueba tu aprendizaje 2.5

125

Ejemplo 2.5

Componentes de vectores de desplazamiento

Un grupo de rescate, para un niño desaparecido, sigue a un perro de búsqueda llamado Trooper. Trooper deambula mucho y hace muchos olfateos de prueba a lo largo de muchos caminos diferentes. Trooper eventualmente encuentra al niño y la historia tiene un final feliz, pero sus desplazamientos parecen ser realmente intrincados. En uno de ellos camina 200.0 m al sureste, luego corre hacia el norte unos 300.0 m. En el tercer tramo, examina los olores cuidadosamente durante 50.0 m en la dirección 30° al noroeste. En el cuarto tramo, Trooper va directamente al sur por 80.0 m, toma aire fresco y gira 23° al suroeste por 150.0 m. Encuentra las componentes escalares de los vectores de desplazamiento de Trooper y sus vectores de desplazamiento en forma vectorial para cada tramo.

Estrategia

Adoptemos un sistema de coordenadas rectangular con el eje x positivo en la dirección del este geográfico, con la dirección y positiva apuntada al norte geográfico. Explícitamente, el vector unitario î apunta al este y el vector unitario ĵ apunta al norte. Trooper hace cinco tramos, por lo que hay cinco vectores de desplazamiento. Comenzamos identificando sus magnitudes y ángulos de dirección, luego usamos la Ecuación 2.17 para encontrar los componentes escalares de los desplazamientos y la Ecuación 2.12 para los vectores de desplazamiento.

Solución

En el primer tramo, la magnitud de desplazamiento es L₁ = 200.0 m y la dirección es sureste.

127

En el cuarto tramo de la excursión, la magnitud de desplazamiento es L₄ = 80.0 m y la dirección es sur. El ángulo de dirección se puede tomar como θ₄ = -90° o θ₄ = + 270°. Obtenemos

L_4x = L₄cosθ₄ = (80.0 m)cos(−90°) = 0,
L_4y = L₄sinθ₄ = (80.0 m)sin(−90°) = −80.0 m,
L₄^→ = L_4xî + L_4yĵ = (−80.0 m)ĵ.

En el último tramo, la magnitud es L₅ = 150.0 m y el ángulo es θ₅ = -23° + 270° = + 247° (23° suroeste), que da

L_5x = L₅cosθ₅ = (150.0 m)cos247° = −58.6 m,
L_5y = L₅sinθ₅ = (150.0 m)sin247° = −138.1 m,
L₅^→ = L_5xî + L_5yĵ = (−58.6î − 138.1ĵ) m.

Comprueba tu aprendizaje 2.6

Coordenadas polares

Para describir posiciones de puntos o vectores en un plano, necesitamos dos direcciones ortogonales. En el sistema de coordenadas cartesianas, estas direcciones están dadas por los vectores unitarios î y ĵ a lo largo del eje x y el eje y, respectivamente. El sistema de coordenadas cartesianas es muy conveniente para describir los desplazamientos y las velocidades de los objetos y las fuerzas que actúan sobre ellos.

129

Figura 2.20 Utilizando coordenadas polares, el vector unitario r^ define la dirección positiva a lo largo del radio r (dirección radial) y, ortogonal a él, el vector unitario t^ define la dirección positiva de rotación por el ángulo φ.

Ejemplo 2.6

Coordenadas polares

Un cazador de tesoros encuentra una moneda de plata en un lugar a 20.0 m de distancia de un pozo seco en la dirección 20° al noreste y encuentra una moneda de oro en un lugar a 10.0 m del pozo en la dirección 20° noroeste. ¿Cuáles son las coordenadas polares y rectangulares de estos hallazgos con respecto al pozo?

131

Vectores en tres dimensiones

Para especificar la posición de un punto en el espacio, necesitamos tres coordenadas (x, y, z), donde las coordenadas x e y especifican ubicaciones en un plano, y la coordenada z da una posición vertical por encima o debajo del plano. El espacio tridimensional tiene tres direcciones ortogonales, por lo que no necesitamos dos sino tres vectores unitarios para definir un sistema de coordenadas tridimensional. En el sistema de coordenadas cartesianas, los primeros dos vectores unitarios son el vector unitario del eje x î y el vdel eje y j^. El vector de la tercera unidad k^ es la dirección del eje z (Figura 2.21). El orden en que los ejes están etiquetados, que es el orden en que aparecen los tres vectores unitarios, es importante pues define la orientación del sistema de coordenadas. El orden x-y-z, que es equivalente al orden î - j^ - k^, define el sistema de coordenadas según la regla de la mano derecha (orientación positiva).

Figura 2.21 Tres vectores unitarios definen un sistema cartesiano en el espacio tridimensional.

133

En la siguiente escena interactiva, diseñada por Ángela Nuñez Castaín, puedes cambiar los valores A_x, A_y y A_z, denotados en la escena como a, b y c respectivamente. Observa la posición del vector V^→luego de realizar los cambios. Puedes rotar la escena con clic izquierdo sostenido.

Ampliar

135

Figura 2.23 El drone IAI Heron en vuelo. (crédito: SSgt Reynaldo Ramon, USAF).

Estrategia

Tomamos el origen del sistema de coordenadas cartesianas como la torre de control. La dirección del eje + x viene dada por el vector unitario i^ al este, la dirección del eje + y está dada por el vector unitario j^ al norte, y la dirección del eje + z viene dada por vector unitario k^, que apunta hacia arriba desde el suelo. La primera posición del dron es el origen (o, de manera equivalente, el comienzo) del vector de desplazamiento y su segunda posición es el final del vector de desplazamiento.

Solución

Identificamos b (300.0 m, 200.0 m, 100.0 m) y e (480.0 m, 370.0 m, 250.0 m), usamos la Ecuación 2.13 y la Ecuación 2.20 para encontrar los componentes escalares del vector de desplazamiento del dron:

137

2.4 Algebra vectorial

Los vectores se pueden sumar y multiplicar por escalares. La suma de vectores es asociativa (ecuación 2.8) y conmutativa (ecuación 2.7), y la multiplicación vectorial por una suma de escalares es distributiva (ecuación 2.9). Además, la multiplicación escalar por una suma de vectores es distributiva:

α(A^→+ B^→) = αA^→+ αB^→

(2.22)

En esta ecuación, α es cualquier número (un escalar). Por ejemplo, un vector antiparalelo al vector A^→= A_xi^ + A_yj^ + A_zk^ puede expresarse simplemente multiplicando A^→ por el escalar α = -1:

-A^→= -A_xi^ - A_yj^ - A_zk^

(2.23)

Ejemplo 2.8

Dirección del movimiento

En un sistema de coordenadas cartesianas donde i^ denota el este geográfico, j^ denota el norte geográfico, y k^ denota la altitud sobre el nivel del mar, un convoy militar avanza su posición a través de territorio desconocido con velocidad v^→ = (4.0i^ + 3.0j^ + 0.1k^) km/h. Si el convoy tuviera que retirarse, ¿en qué dirección geográfica lo haría?

139

(2.24)

Dos vectores son iguales cuando sus correspondientes componentes escalares son iguales. Resolver vectores en sus componentes escalares (es decir, encontrar sus componentes escalares) y expresarlos analíticamente en la forma vectorial (dada por la Ecuación 2.19) nos permite usar el álgebra vectorial para encontrar sumas o diferencias de muchos vectores analíticamente (es decir, sin usar métodos gráficos). Por ejemplo, para encontrar la resultante de dos vectores A^→y B^→, simplemente los sumamos componente por componente, de la siguiente manera:

R^→= A^→ + B^→= (A_xi^ + A_yj^ + A_zk^) + (B_xi^ + B_yj^ + B_zk^) = (A_x + B_x)i^ + (A_y + B_y)j^ + (A_z + B_z)k^.

De esta manera, usando la Ecuación 2.24, los componentes escalares del vector resultante R^→= R_xi^ + R_yj^ + R_zk^son las sumas de los componentes escalares correspondientes de los vectores A^→y B^→:

141

Los métodos analíticos para encontrar el resultado y, en general, para resolver ecuaciones de vectores son muy importantes en física porque muchas cantidades físicas son vectores. Por ejemplo, usamos este método en cinemática para encontrar la resultante de vectores de desplazamiento resultante y vectores de velocidad, en mecánica para encontrar la resultante de vectores fuerza, en electricidad y magnetismo para encontrar campos eléctricos o magnéticos.

Ejemplo 2.9

Cálculo analítico de una resultante

Tres vectores de desplazamiento A^→, B^→y C^→en un plano (Figura 2.13) se especifican por sus magnitudes A = 10.0, B = 7.0 y C = 8.0, respectivamente, y por sus respectivos ángulos de dirección con la horizontal dirección α = 35°, β = -110° y γ = 30°. Las unidades físicas de las magnitudes son centímetros. Descomponer los vectores en sus componentes escalares y encontrar las siguientes sumas: (a) R^→= A^→+ B^→+ C^→(b) D^→= A^→- B^→y (c) S^→= A^→- 3B^→+ C^→

Estrategia

Primero, usamos la Ecuación 2.17 para encontrar los componentes escalares de cada vector y luego expresamos cada vector en su forma de componentes vectoriales dada por la Ecuación 2.12. Luego, usamos métodos analíticos de álgebra vectorial para encontrar las resultantes.

Solución

Descomponemos los vectores dados en sus componentes escalares:

143

Por lo tanto, el vector de diferencia es A^→= D_xî + D_yĵ = (10.6î + 12.3ĵ) cm

Para (c), podemos escribir el vector S^→en la siguiente forma explícita:

S^→= A^→- 3B^→+ C^→ = (A_xî + A_yĵ) − 3(B_yî + B_yĵ) + (C_xî + C_yĵ)

                  = (A_x − 3B_x + C_x)î + (A_y − 3B_y + C_y)ĵ.

Entonces, los componentes escalares de S^→son

S_x = A_x − 3B_x + C_x = 8.19 cm − 3(−2.39 cm) + 6.93 cm = 22.29 cm
S_y = A_y − 3B_y + C_y = = 5.73 cm − 3(−6.58 cm) + 4.00 cm = 29.47 cm.

El vector S^→ = S_xî + S_yĵ = (22.3î + 29.5ĵ) cm

Explicación

Una vez encontrados los componentes del vector, podemos ilustrar los vectores mediante gráficos o podemos calcular magnitudes y ángulos de dirección, como se muestra en la Figura 2.24. Los resultados para las magnitudes en (b) y (c) se pueden comparar con resultados para los mismos problemas obtenidos con el método gráfico, que se muestran en la Figura 2.14 y la Figura 2.15. Ten en cuenta que el método analítico produce resultados exactos y su precisión no está limitada por la resolución de una regla o un transportador, como lo fue con el método gráfico utilizado en el Ejemplo 2.2 para encontrar esta misma resultante.

145

Ang tira fuertemente con 160.0 unidades de fuerza (N), que abreviamos como A = 160.0 N. Bing tira incluso más fuerte que Ang con una fuerza de magnitud B = 200.0 N, y Chang tira con una fuerza de magnitud C = 140.0 N. Cuando Dong tira del juguete de tal manera que su fuerza equilibra la resultante de las otras tres fuerzas, el juguete no se mueve en ninguna dirección. ¿Con qué fuerza y en qué dirección debe Dong tirar del juguete para que esto suceda?

Figura 2.25 Cuatro perros juegan un juego de tira y afloja con un juguete.

Estrategia

Suponemos que el este es la dirección del eje x positivo y el norte es la dirección del eje y positivo. Como en el ejemplo 2.9, tenemos que descomponer las tres fuerzas dadas:

147

El vector antiparalelo a la resultante R^→es:

D^→= -R^→= -R_xî - R_yĵ = (-150.3î - 49.2ĵ) N.

La magnitud de la fuerza de tracción de Dong es

D = √D_x² + D_y^{2━━━━━}
    = √(-150.3)² + (-49.2)² N = 158.1 N.^{━━━━━━━━━━━━}

La dirección de la fuerza de tracción de Dong es

θ = tan^-1 θ = tan^-1( D_y/D_x) = tan^-1( - 49.2 N/- 150.3 N) = 18.1°.

Dong tira en la dirección 18.1° suroeste porque ambos componentes son negativos, lo que significa que el vector de tracción se encuentra en el tercer cuadrante (Figura 2.19).

Comprueba tu aprendizaje 2.9

Supongamos que Bing, en el ejemplo 2.10, deja el juego para atender asuntos más importantes, pero Ang, Chang y Dong continúan jugando. El tirón de Ang y Chang sobre el juguete no cambia, pero Dong corre y muerde el juguete en otro lugar. ¿Con qué fuerza y en qué dirección debe Dong tirar del juguete para equilibrar los tirones combinados de Chang y Ang? Ilustra esta situación dibujando un diagrama vectorial que indique todas las fuerzas involucradas.

149

  C = √C_x² + C_y² + C_z^{2 ━━━━━━━━}

  C = √(-2/3)² + (-4/3)² + (7/3)^{2━━━━━━━━━━━━}

  C = √23/3^━━━

Ejemplo 2.12

Desplazamiento de un esquiador

Comenzando en una estación de esquí, un esquiador de fondo recorre 5.0 km al norte, luego 3.0 km al oeste, y finalmente 4.0 km al suroeste antes de tomar un descanso. Encuentre su vector de desplazamiento total relativo al refugio cuando se encuentre en el punto de descanso. ¿Cuán lejos y en qué dirección debe esquiar desde el punto de descanso para regresar directamente al albergue?

Estrategia

Suponemos un sistema de coordenadas rectangulares con el origen en la estación de esquí y con el vector unitario î apuntando al este y el vector unitario ĵ apuntando al norte. Hay tres desplazamientos: D₁^→, D₂ ^→y D₃^→. Identificamos sus magnitudes como D₁ = 5.0 km, D₂ = 3.0 km, y D₃ = 4.0 km. Identificamos sus direcciones como los ángulos θ₁ = 90°, θ₂ = 180°, y θ₃ = 180° + 45° = 225°. Descomponemos cada vector de desplazamiento en sus componentes escalares y sustituimos las componentes en la ecuación 2.24 para obtener las componentes escalares del desplazamiento resultante D^→desde el alojamiento hasta el punto de descanso.

151

B = √B_x² + B_y^{2━━━━━}
    = √(5.8)² + (-2.8)² km = 6.2 km^{━━━━━━━━━}

Su ángulo de dirección es θ = tan^-1(-2.2/5.8) = - 20.8°. Por lo tanto, para regresar a la cabaña, debe recorrer 6.2 km en una dirección de aproximadamente 21° al sureste.

Explicación

Ten en cuenta que no se necesita ninguna figura para resolver este problema mediante el método analítico. Se requieren figuras cuando se usa un método gráfico; sin embargo, podemos verificar si nuestra solución tiene sentido al esbozarla, lo cual es un paso final útil para resolver cualquier problema de vectores.

Ejemplo 2.13

Desplazamiento de un Trotador

Un trotador corre por un tramo de 200 pasos idénticos hasta la cima de una colina y luego trota a lo largo de la cima de la colina 50.0 m antes de detenerse en un bebedero (Figura 2.26). Su vector de desplazamiento desde el punto A en la parte inferior de los escalones hasta el punto B en la fuente es D_AB^→= (- 90.0î + 30.0ĵ) m. ¿Cuál es la altura y el ancho de cada paso en la trayecoria? ¿Cuál es la distancia real que cubre el trotador? Si hace un bucle y vuelve al punto A, ¿cuál es su vector de desplazamiento resultante?

153

La distancia real que recorre el corredor es la suma de la distancia que corre por las escaleras y la distancia de 50.0 m que corre a lo largo de la cima de la colina.

Solución

En el sistema de coordenadas indicado en la figura 2.26, el vector de desplazamiento del trotador en la cima de la colina es D_TB^→= (- 50.0 m)î. Su vector de desplazamiento resultante es:

D_AB^→= D_AT^→+ D_TB^→

Por lo tanto, el vector de desplazamiento D_TB^→a lo largo de las escaleras es

D_AT^→= D_AB^→- D_TB^→= (−90.0î + 30.0ĵ) m − (−50.0 m)î = [(−90.0 + 50.0)î + 30.0ĵ)] m

       = (−40.0î + 30.0ĵ) m.

Sus componentes escalares son D_ATx = -40.0m y D_ATy = 30.0 m. Por lo tanto, debemos tener

200w = |−40.0| m y 200h = 30.0 m

Por lo tanto, el ancho del paso es w = 40.0 m/200 = 0.2 m = 20 cm, y la altura del paso es w = 30.0 m/200 = 0.15 m = 15 cm. La distancia que recorre el corredor a lo largo de las escaleras es

D_AT = √D_ATx² + D_ATy^{2━━━━━━━}= √(-40.0)² + (30.0)² m = 50.0 m^{━━━━━━━━━━}

155

Ejemplo 2.14

Dirección del vector unitario

Si el vector de velocidad del convoy militar del ejemplo 2.8 es v^→= (4.000î + 3.000ĵ + 0.100k^) km/h, ¿cuál es el vector unitario en la dirección del movimiento?

Estrategia

El vector unitario en la dirección de movimiento del convoy es el vector v^ que es paralelo al vector de velocidad. El vector unitario se obtiene al dividir un vector por su magnitud, de acuerdo con la Ecuación 2.26.

Solución

La magnitud del vector B^→es

  v = √v_x² + v_y² + v_z^{2 ━━━━━━━━}

  v = √4.000² + 3.000² + 0.100² km/h^{━━━━━━━━━━━━}

  v = 5.001 km/h

Para obtener el vector unitario v^, dividimos v^por su magnitud:

v^ =   v^→/v = (4.000î + 3.000ĵ + 0.001k^) km/h/5.001 km/h

157

2.5 Productos de Vectores

Un vector se puede multiplicar por otro vector pero no se puede dividir por otro vector. Hay dos tipos de productos de vectores usados ​​ampliamente en física e ingeniería. Un tipo de multiplicación es una multiplicación escalar de dos vectores. Tomar un producto escalar de dos vectores da como resultado un número (un escalar), como su nombre lo indica. Los productos escalares se utilizan para definir las relaciones de trabajo y energía. Por ejemplo, el trabajo que una fuerza (un vector) realiza en un objeto mientras causa su desplazamiento (un vector) se define como un producto escalar del vector fuerza con el vector desplazamiento. Un tipo de multiplicación bastante diferente es una multiplicación vectorial de vectores. Tomar un producto vectorial de dos vectores devuelve como resultado un vector, como su nombre lo sugiere. Los productos de vectores se utilizan para definir otras cantidades de vectores derivados. Por ejemplo, al describir las rotaciones, una cantidad vectorial llamada par se define como un producto vectorial de una fuerza aplicada (un vector) y su distancia desde el pivote a la fuerza (un vector). Es importante distinguir entre estos dos tipos de multiplicaciones de vectores porque el producto escalar es una cantidad escalar y un producto vectorial es una cantidad vectorial.

El producto escalar de dos vectores (Producto Punto)

El producto escalar A^→· B^→de dos vectores es un número definido por la ecuación

A^→· B^→= ABcosφ,

donde φ es el ángulo entre los vectores (que se muestra en la Figura 2.27). El producto escalar también se denomina producto punto debido a la notación dada.

(2.27)

159

Estrategia

De la figura 2.13, las magnitudes de los vectores A^→y F^→ son A = 10.0 y F = 20.0. El ángulo θ, entre ellos, es la diferencia: θ = φ - α = 110° - 35° = 75°. La sustitución de estos valores en la Ecuación 2.27 da el producto escalar.

Solución

Un cálculo directo nos da

A^→· F^→= AFcosθ = (10.0)(20.0)cos75° = 51.76.

Comprueba tu aprendizaje 2.11

En el sistema de coordenadas cartesianas, los productos escalares del vector unitario de un eje con otros vectores unitarios de otros ejes siempre desaparecen porque son ortogonales:

i^·  j^ = |  i^|·|  j^|cos90° = (1)(1)(0) = 0,

i^·  k^ = |  i^|·|  k^|cos90° = (1)(1)(0) = 0,

k^·  j^ = |  k^|·|  j^|cos90° = (1)(1)(0) = 0.

(2.29)

161

y obedece a la ley distributiva: A^→· (B^→ + C^→) = A^→· B^→ + A^→· C^→

(2.32)

Podemos usar las leyes conmutativa y distributiva para derivar varias relaciones para vectores, como expresar el producto punto de dos vectores en términos de sus componentes escalares.

Comprueba tu aprendizaje 2.11

Cuando los vectores en la Ecuación 2.27 se presentan en sus componentes rectangulares,

A^→= A_xi^ + A_yj^ + A_zk^, B^→= B_xi^ + B_yj^ + B_zk^

podemos calcular su producto escalar de la siguiente manera:

A^→· B^→= (A_xi^ + A_yj^ + A_zk^) · (B_xi^ + B_yj^ + B_zk^)

                = A_xB_xi^·i^ + A_xB_yi^·j^ + A_xB_zi^·k^

                + A_yB_xj^·i^ + A_yB_yj^·j^ + A_yB_zj^·k^

                + A_zB_xk^·i^ + A_zB_yk^·j^ + A_zB_zk^·k^

163

El primer perro tira con fuerza F₁^→ = (10.0i^ - 20.4j^ + 2.0k^N, el segundo perro tira con fuerza F₂^→= (- 15.0i^ - 6.2k^)N, y el tercer perro tira con fuerza F₃^→= (5.0i^ + 12.5j^)N. ¿Cuál es el ángulo entre las fuerzas F₁^→y F₂^→?

Figura 2.28 Tres perros juegan con un palo.

Estrategia

Las componentes del vector de fuerza F₁^→son F_1x = 10.0 N, F_1y = -20.4N, y F_1z = 2.0N, mientras que las del vector de fuerza F₂^→ son F_2x = - 15.0 N, F_2y = 0.0 N, y F_2z = -6.2N. El cálculo del producto escalar de estos vectores y sus magnitudes, y su sustitución en la ecuación 2.34 da el ángulo de interés.

165

Explicación

Observa que cuando los vectores se dan en términos de los vectores unitarios, podemos encontrar el ángulo entre ellos sin conocer los detalles sobre las direcciones geográficas que representan los vectores unitarios. Aquí, por ejemplo, la dirección + x podría estar hacia el este y la dirección + y podría estar hacia el norte. Pero, el ángulo entre las fuerzas en el problema es el mismo si la dirección + x está hacia el oeste y la dirección + y está hacia el sur.

Comprueba tu aprendizaje 2.13

Ejemplo 2.17

El trabajo de una fuerza

Cuando una fuerza F^→tira de un objeto y causa su desplazamiento D^→, decimos que la fuerza realiza un trabajo. La cantidad de trabajo que hace la fuerza es el producto escalar F^→·D^→. Si el palo del ejemplo 2.16 se mueve momentáneamente y se desplaza por el vector D^→= (- 7.9j^ - 4.2k^)cm, ¿cuánto trabajo realiza el tercer perro en el ejemplo 2.16 ?

Estrategia

Calculamos el producto escalar del vector de desplazamiento D^→con el vector de fuerza F₃^→= (5.0i^ + 12.5j^) N, que es la tracción del tercer perro.

167

En otras palabras, el vector A^→×   B^→es perpendicular al plano que contiene los vectores A^→y   B^→, como se muestra en la Figura 2.29. La magnitud del producto vectorial se define como

(2.35)

donde el ángulo φ, entre los dos vectores, se mide del vector A^→(primer vector en el producto) al vector   B^→(segundo vector en el producto), como se indica en la Figura 2.29, y está entre 0° y 180°. De acuerdo con la Ecuación 2.35, el producto vectorial desaparece para pares de vectores que son paralelos (φ = 0°) o antiparalelos (φ = 180°) porque sin0° = sin180° = 0. (Observa, también, el interactivo para φ = 180°).

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169

Esto significa que los vectores A^→×   B^→y B^→×   A^→son antiparalelos entre sí y que la multiplicación vectorial no es conmutativa, sino anticommutativa. La propiedad anticomutativa significa que el producto vectorial invierte el signo cuando el orden de multiplicación se invierte:

(2.36)

La regla de sacacorchos de la mano derecha es un mnemotécnico utilizado para determinar la dirección del producto vectorial. Como se muestra en la Figura 2.30, se coloca un sacacorchos en una dirección perpendicular al plano que contiene los vectores A^→y   B^→, y su mango gira en la dirección del primer vector al segundo vector. La dirección del producto cruz viene dada por la progresión del sacacorchos.

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171

Ejemplo 2.18

El torque de una fuerza

La ventaja mecánica que proporciona una herramienta familiar llamada llave (figura 2.31), depende de la magnitud F de la fuerza aplicada, de su dirección con respecto al mango de la llave, y de cuán lejos de la tuerca se aplica esta fuerza. La distancia R desde la tuerca hasta el punto donde se une el vector de fuerza F^→ está representado por el vector radial R^→. La cantidad de vector físico que hace que la tuerca gire se llama torque o par (denotado por τ^→), y es el producto vectorial de la distancia del pivote a la fuerza: τ^→= R^→×   F^→.

Para aflojar una tuerca oxidada, se aplica una fuerza de 20.00 N al mango de la llave a un ángulo φ = 40° y a una distancia de 0.25 m de la tuerca, como se muestra en la Figura 2.31 (a). Encuentra la magnitud y dirección del torque aplicado a la tuerca. ¿Cuál sería la magnitud y la dirección del torque si la fuerza se aplicara en el ángulo φ = 45°, como se muestra en la Figura 2.31 (b)? ¿Para qué valor de ángulo φ tiene el par la mayor magnitud?

Estrategia

Adoptamos el marco de referencia que se muestra en la figura 2.31, donde los vectores R^→y F^→se encuentran en el plano xy y el origen está en la posición de la tuerca. La dirección radial a lo largo del vector R^→(apuntando desde el origen) es la dirección de referencia para medir el ángulo φ porque R^→es el primer vector en el producto vectorial τ^→= R^→×   F^→. El vector τ^→debe estar a lo largo del eje z porque este es el eje que es perpendicular al plano xy, donde están ambos R^→y F^→.

173

τ = |R^→×   F|^→ = RFsenφ = (0.25 m)(20.00 N)sen40° = 3.21 N•m.

Para la situación en (b), la regla del sacacorchos da la dirección de R^→×   F^→en la dirección negativa del eje z. Físicamente, significa que el torque τ^→apunta a la página, perpendicular al mango de la llave. La magnitud de este par es

τ = |R^→×   F|^→ = RFsinφ = (0.25 m)(20.00 N)sen45°= 3.53 N•m.

El torque tiene el mayor valor cuando senφ = 1, que ocurre cuando φ = 90°. Físicamente, significa que la llave inglesa es más efectiva, dándonos la mejor ventaja mecánica, cuando aplicamos la fuerza perpendicular al mango de la llave. Para la situación en este ejemplo, este valor de mejor torque es τ_óptimo = RF = (0.25 m)(20.00N) = 5.00N•m.

Explicación

Al resolver problemas mecánicos, a menudo no necesitamos usar la regla del sacacorchos o de la mano derecha en absoluto, como veremos ahora en la siguiente solución equivalente. Ten en cuenta que una vez que hemos identificado que el vector R^→×   F^→se encuentra a lo largo del eje z, podemos escribir este vector en términos del vector unitario k^ del eje z:

R^→×   F^→= RF senφk^

En esta ecuación, el número que multiplica k^ es el componente rectangular z del vector R^→×   F^→. En el cálculo de este componente, se debe tener cuidado en que el ángulo φ se mida en sentido antihorario desde R^→(primer vector) hasta R^→(segundo vector).

175

Todos los demás productos cruz de estos tres vectores unitarios deben ser vectores de magnitudes unitarias, porque i^, j^ y k^ son ortogonales. Por ejemplo, para el par i^ y j^, la magnitud es |i^ ×  j^| = ijsen90° = (1)(1)(1) = 1. La dirección del producto vectorial i^ ×  j^ debe ser ortogonal al plano xy, lo que significa que debe estar a lo largo del eje z. Los únicos vectores unitarios a lo largo del eje z son -k^ o + k^. Por la regla de la mano derecha, la dirección del vector i^ ×  j^ debe ser paralela al eje z positivo. Por lo tanto, el resultado de la multiplicación i^ ×  j^ es idéntico a k^. Podemos repetir un razonamiento similar para los pares restantes de vectores unitarios. Los resultados de estas multiplicaciones son

i^ ×  j^ = k^

j^ ×  k^ = i^

k^ ×  i^ = j^

(2.39)

Observe que en la ecuación 2.39, los tres vectores unitarios i^, j^ y k^ aparecen en el orden cíclico que se muestra en un diagrama en la figura 2.32(a). El orden cíclico significa que en la fórmula del producto, i^ sigue a k^ y está antes de j^, o k^ sigue a j^ y viene antes de i^, o j^ sigue a i^ y viene antes de k^. El producto cruz de dos vectores unitarios diferentes es siempre un tercer vector unitario. Cuando dos vectores unitarios en el producto cruz aparecen en el orden cíclico, el resultado de dicha multiplicación es el vector unitario restante, como se ilustra en la figura 2.32(b). Cuando los vectores unitarios en el producto cruz aparecen en un orden diferente, el resultado es un vector unitario que es antiparalelo al vector unitario restante, es decir, el resultado es con el signo menos, como se muestra en los ejemplos de la figura 2.32(c) y figura 2.32(d). En la práctica, cuando la tarea es encontrar productos cruz de vectores que se dan en sus componentes vectoriales o rectangulares, esta regla para el producto cruz de vectores unitarios es muy útil.

177

Supongamos que queremos encontrar el producto cruzado A^→×   B^→para los vectores A^→= A_xi^ + A_yj^ + A_zk^ y B^→= B_xi^ + B_yj^ + B_zk^. Podemos usar la propiedad distributiva (Ecuación 2.37), la propiedad anticomutativa (Ecuación 2.36) y los resultados en la Ecuación 2.38 y la Ecuación 2.39 para que realizar las siguientes operaciones algebraicas:

A^→×   B^→ = (A_xi^ + A_yj^ + A_zk^)×(B_xi^ + B_yj^ + B_zk^)

        = A_xi^×(B_xi^ + B_yj^ + B_zk^) + A_yi^×(B_xi^ + B_yj^ + B_zk^) + A_zi^×(B_xi^ + B_yj^ + B_zk^)

        = A_xB_xi^×i^ + A_xB_yi^×j^ + A_xB_zi^×k^

            + A_yB_xj^×i^ + A_yB_yj^×j^ + A_yB_zj^×k^

            + A_zB_xk^×i^ + A_zB_yk^×j^ + A_zB_zk^×k^

        = A_xB_x(0)×i^ + A_xB_y(+k^) + A_xB_z(-j^)

            + A_yB_x(-k^) + A_yB_y(0) + A_yB_z(+i^)

            + A_zB_x(+j^) + A_zB_y(-i^) + A_zB_z(0)

Al realizar las operaciones algebraicas que involucren el producto cruz, ten mucho cuidado de mantener el orden correcto de multiplicación porque el producto cruz es anticommutativo. Los dos últimos pasos que todavía tenemos que hacer para completar nuestra tarea son, primero, agrupar los términos que contienen un vector unitario común y, segundo, factorizar.

179

El vector de fuerza magnética es proporcional al producto vectorial del vector de velocidad con el vector de campo magnético, que expresamos como F^→= ζu^→×   B^→. En esta ecuación, una constante ζ se encarga de la consistencia en las unidades físicas, por lo que podemos omitir las unidades físicas en los vectores u^→y B^→. En este ejemplo, supongamos que la constante ζ es positiva.

Una partícula que se mueve en el espacio con el vector de velocidad u^→ = -5.0i^ - 2.0j^ + 3.5k^ entra en una región con un campo magnético y experimenta una fuerza magnética. Encuentra la fuerza magnética F^→en esta partícula en el punto de entrada a la región donde está el vector del campo magnético (a) B^→= 7.2i^ - j^ - k^ y (b ) B^→= 4.5k^. En cada caso, encuentra la magnitud F de la fuerza magnética y el ángulo θ del vector de fuerza F^→con el vector de campo magnético B^→.

Estrategia

Primero, queremos encontrar el producto vectorial u^→×   B^→, porque entonces podemos determinar la fuerza magnética usando F^→= ζu^→×   B^→. La magnitud F se puede encontrar usando componentes,

  F = √F_x² + F_y² + F_z^{2 ━━━━━━━━}

o calculando la magnitud |u^→×   B^→| directamente, usando la Ecuación 2.35. En este último enfoque, deberíamos encontrar el ángulo entre los vectores u^→y B^→. Cuando tenemos F^→, el método general para encontrar el ángulo de dirección θ implica el cálculo del producto escalar   u^→•  B^→y la sustitución en la Ecuación 2.34. Para calcular el producto vectorial, podemos usar la ecuación 2.40 o calcular el producto directamente, de la forma que sea más simple.

181

y el producto escalar F^→•  B^→:

F^→•  B^→= F_xB_x + F_yB_y + F_zB_z = (8.3ζ)(7.2) + (13.2ζ)(−1.0) + (19.4ζ)(−2.4) = 0

Ahora, sustituyéndo en la ecuación 2.34 da el ángulo θ:

cos θ = F^→·   B^→/FB = 0/(18.2ζ)(7.6) = 0 ⇒ θ = 90°.

Por lo tanto, el vector de fuerza magnética es perpendicular al vector del campo magnético. (Podríamos haber ahorrado un tiempo si hubiéramos calculado el producto escalar anteriormente).

(b) Como el vector B^→= 4.5k^ tiene solo un componente, podemos realizar el cálculo algebraico rápidamente y encontrar el producto vectorial directamente:

F^→= ζu^→×   B^→ = ζ(−5.0i^ − 2.0j^ + 3.5k^)×(4.5k^)

     = ζ[(−5.0)(4.5)i^×k^ + (−2.0)(4.5)j^×k^ + (3.5)(4.5)k^×k^]

     = ζ[−22.5(−j^) − 9.0(+i^) + 0] = ζ(−9.0i^ + 22.5j^).

La magnitud de la fuerza magnética es F = √F_x² + F_y² + F_z^{2 ━━━━━━━━}

F = ζ√(-9.0)² + (22.5)² + (0.0)² = 24.2ζ ^{━━━━━━━━━━━━}

183

2.6 Preguntas y respuestas - Capítulo II

Respuestas

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185

Capítulo iii

Cinemática: Movimiento en una línea recta

3. Cinemática - Movimiento en una línea recta

3.1 Introducción

Figura 3.1 Un tren de levas de Maglev (levitación magnética) de la serie JR Central L0 que se somete a una prueba en la pista Yamanashi. El movimiento del tren de levitación magnética se puede describir utilizando la cinemática, el tema de este capítulo. (crédito: modificación del trabajo por "Maryland GovPics" / Flickr)

Nuestro universo está lleno de objetos en movimiento. Desde las estrellas, planetas y galaxias; al movimiento de personas y animales; hasta la escala microscópica de átomos y moléculas: todo en nuestro universo está en movimiento. Podemos describir el movimiento usando las dos disciplinas de cinemática y dinámica. Estudiamos la dinámica, que se ocupa de las causas del movimiento, en las Leyes del movimiento de Newton.

189

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Posición

Para describir el movimiento de un objeto, primero debes describir su posición (x): ¿dónde está en un momento determinado? Más precisamente, necesitamos especificar su posición relativa a un marco de referencia conveniente. Un marco de referencia es un conjunto arbitrario de ejes desde el cual se describen la posición y el movimiento de un objeto.

191

Este cambio de posición se llama desplazamiento. La palabra desplazamiento implica que un objeto se ha movido o se ha desplazado. Aunque la posición es el valor numérico de x a lo largo de una línea recta donde se puede ubicar un objeto, el desplazamiento proporciona el cambio de posición a lo largo de esta línea. Como el desplazamiento indica dirección, un vector y puede ser positivo o negativo, dependiendo de la elección de la dirección positiva. Además, un análisis de movimiento puede tener muchos desplazamientos incrustados en él. Si la derecha es positiva y un objeto se mueve 2 m hacia la derecha, luego 4 m hacia la izquierda, los desplazamientos individuales son 2 m y -4 m, respectivamente.

Figura 3.3 Una profesora camina de izquierda a derecha mientras da una conferencia. Su posición relativa a la Tierra viene dada por x. El desplazamiento de +2.0 m del profesor en relación con la Tierra está representado por una flecha que apunta hacia la derecha.

193

Similarmente,

Δx₂ = x₂ - x₁ = -2 - 2 = -4m

en consecuencia,

Δx_Total = Δx₁ + Δx₂ = 2 - 4 = -2m

El desplazamiento total es 2 - 4 = -2 m hacia la izquierda, o en la dirección negativa. También es útil para calcular la magnitud del desplazamiento o su tamaño. La magnitud del desplazamiento siempre es positiva. Este es el valor absoluto del desplazamiento, porque el desplazamiento es un vector y no puede tener un valor negativo de magnitud. En nuestro ejemplo, la magnitud del desplazamiento total es de 2 m, mientras que las magnitudes de los desplazamientos individuales son de 2 my 4m.

La magnitud del desplazamiento total no debe confundirse con la distancia recorrida. La distancia recorrida x_Total, es la longitud total de la ruta recorrida entre dos posiciones. En el problema anterior, la distancia recorrida es la suma de las magnitudes de los desplazamientos individuales:

x_Total = |Δx₁| + |Δx₂| = 2+4 = 6m.

Velocidad media o promedio

Para calcular las otras cantidades físicas en cinemática, debemos introducir la variable tiempo. La variable tiempo nos permite, no solo indicar dónde está el objeto (su posición) durante su movimiento, sino también qué tan rápido se mueve.

195

A 0.5 km y 9 minutos más tarde se queda sin volantes y tiene que volver sobre sus pasos de regreso a su casa para obtener más. Esto demora otros 9 minutos. Después de recoger más volantes, se pone de nuevo en el mismo camino, continúa donde lo dejó y termina a 1,0 km de su casa. Esta tercera etapa de su viaje lleva 15 minutos. En este punto, vuelve a su casa, dirigiéndose al oeste. Después de 1.75 km y 25 minutos, ella se detiene para descansar.

a. ¿Cuál es el desplazamiento total de Juanita hasta el punto donde ella se detiene para descansar?
b. ¿Cuál es la magnitud del desplazamiento final?
c. ¿Cuál es la velocidad promedio durante todo su viaje?
d. ¿Cuál es la distancia total recorrida?
e. Haz un gráfico de posición versus tiempo.

Un esquema de los movimientos de Juanita se muestra en la Figura 3.4.

Figura 3.4 Cronología de los movimientos de Juanita.

197

c. Velocidad promedio = v = -0.75 km/58 min = -0.013 km/min.

e. Podemos graficar la posición de Juanita contra el tiempo como una ayuda útil para ver el movimiento; el gráfico se muestra en la Figura 3.5.

Figura 3.5 Este gráfico representa la posición de Juanita frente al tiempo. La velocidad promedio es la pendiente de una línea que conecta los puntos inicial y final.

Explicación

El desplazamiento total de Juanita es de -0.75 km, lo que significa que al final de su viaje termina a 0.75 km. al oeste de su casa.

199

Comprueba tu aprendizaje 3.1

3.3 Velocidad instantánea y Rapidez

Ahora hemos visto cómo calcular la velocidad promedio entre dos posiciones. Sin embargo, dado que los objetos en el mundo real se mueven continuamente a través del espacio y el tiempo, nos gustaría encontrar la velocidad de un objeto en cualquier punto. Podemos encontrar la velocidad del objeto en cualquier punto de su camino mediante el uso de algunos principios fundamentales del cálculo. Esta sección nos brinda una mejor comprensión de la física del movimiento y será útil en capítulos posteriores.

Velocidad instantánea

La cantidad física que nos dice qué tan rápido se mueve un objeto a lo largo de su camino es la velocidad instantánea, generalmente llamada simplemente velocidad.

201

La Figura 3.6 muestra cómo la velocidad promedio v_ = Δx/Δt entre dos tiempos que se aproximan a la velocidad instantánea en t₀. La velocidad instantánea se muestra en el tiempo t₀, que está en el máximo de la función de posición. La pendiente del gráfico de posición es cero en este punto, y por lo tanto la velocidad instantánea es cero. En otros momentos, t₁, t₂, y así sucesivamente, la velocidad instantánea no es cero porque la pendiente del gráfico de posición sería positiva o negativa. Si la función de posición tuviera un mínimo, la pendiente del gráfico de posición también sería cero, dando una velocidad instantánea de cero allí también. Por lo tanto, los ceros de la función de velocidad dan el mínimo y el máximo de la función de posición.

Figura 3.6 En un gráfico de posición versus tiempo, la velocidad instantánea es la pendiente de la línea tangente en un punto dado. Las velocidades promedio v_ = Δx/Δt = x_f - x_i/t_f - t_i entre los tiempos Δt = t₆ - t₁, Δt = t₅ - t₂, y Δt = t₄ - t₃ se muestran. Cuando Δt → 0, la velocidad promedio se aproxima a la velocidad instantánea en t = t₀.

203

Solución

Intervalo de tiempo de 0 a 0.5 s: v_ = Δx/Δt = 0.5 m - 0.0 m/0.5 s - 0.0 s = 1.0 m/s
Intervalo de tiempo de 0.5 a 1.0 s: v_ = Δx/Δt = 0.0 m - 0.0 m/1.0 s - 0.5 s = 0.0 m/s
Intervalo de tiempo de 1.0 a 2.0 s: v_ = Δx/Δt = 0.0 m - 0.5 m/2.0 s - 1.0 s = -0.5 m/s

El gráfico de estos valores de velocidad versus tiempo se muestra en la Figura 3.8.

Figura 3.8 La velocidad es positiva para la primera parte del viaje, cero cuando el objeto está detenido y negativo cuando el objeto invierte la dirección.

205

Por ejemplo, si un viaje comienza y termina en la misma ubicación, el desplazamiento total es cero y, por lo tanto, la velocidad promedio es cero. La rapidez promedio, sin embargo, no es cero, porque la distancia total recorrida es mayor que cero. Si tomamos un viaje por carretera de 300 km y necesitamos estar en nuestro destino en un momento determinado, entonces estaríamos interesados en nuestra rapidez promedio.

Sin embargo, podemos calcular la rapidez instantánea a partir de la magnitud de la velocidad instantánea:

(3.6)

Si una partícula se mueve a lo largo del eje x a +7.0 m/s y otra partícula se mueve a lo largo del mismo eje a -7.0 m/s, tienen diferentes velocidades, pero ambas tienen la misma rapidez de 7.0 m/s. Algunas velocidades típicas se muestran en la Tabla 3.1.

Cálculando de velocidad instantánea

Al calcular la velocidad instantánea, necesitamos especificar la forma explícita de la función de posición x(t). Por el momento, usemos polinomios x(t) = Atⁿ, porque se diferencian fácilmente usando la regla de potencia del cálculo:

(3.7)

207

a. Usando la ecuaciones 3.4 y 3.7, encuentra la velocidad instantánea en t = 2.0 s.
b. Calcula la velocidad promedio entre 1.0 s y 3.0 s.

Estrategia

La ecuación 3.4 da la velocidad instantánea de la partícula como la derivada de la función de posición. Al observar la forma de la función de posición dada, vemos que es un polinomio en t. Por lo tanto, podemos usar la Ecuación 3.7, la regla de las potencias del cálculo, para encontrar la solución. Usamos la Ecuación 3.6 para calcular la velocidad promedio de la partícula.

Solución

a. v(t) = dx(t)/dt = 3.0 + 1.5t² m/s
b. Sustituyendo t = 2.0 s en esta ecuación, obtenemosa v(2.0s) = [3.0 + 1.5(2.0)²] m/s = 9.0 m/s. Para determinar la velocidad promedio de la partícula entre 1.0 s y 3.0 s, calculamos los valores de x(1.0 s) y x(3.0 s):

x(1.0s) = [(3.0)(1.0) + 0.5(1.0)³]m = 3.5m
x(3.0s) = [(3.0)(3.0) + 0.5(3.0)³]m = 22.5m
v_ = x(3.0s) - x(1.0s)/t(3.0s) - t(1.0s) = 22.5 - 3.5 m/3.0 - 1.0 s = 9.8 m/s

Explicación

En el límite en que el intervalo de tiempo utilizado para calcular v_ se pone en cero, el valor obtenido para v_ converge al valor de v.

209

En la Figura 3.9, en (a), el gráfico muestra que la partícula se mueve en la dirección positiva hasta t = 0.5 s, cuando invierte la dirección. La inversión de dirección también puede verse en (b) a 0.5 s donde la velocidad es cero y luego se vuelve negativa. A los 1.0 s vuelve al origen donde comenzó. La velocidad de la partícula en 1.0 s en (b) es negativa, porque viaja en la dirección negativa. Pero en (c), sin embargo, su rapidez es positiva y permanece positiva durante todo el tiempo de viaje. También podemos interpretar la velocidad como la pendiente del gráfico de posición versus tiempo. La pendiente de x(t) está disminuyendo hacia cero, volviéndose cero a 0.5 s y cada vez más negativa a partir de ese momento. Este análisis de comparar los gráficos de posición, velocidad y rapidez, ayuda a detectar errores en los cálculos. Los gráficos deben ser consistentes entre sí y ayudar a interpretar los cálculos.

Figura 3.9 (a) Posición: x(t) versus tiempo. (b) Velocidad: v(t) versus tiempo. La pendiente del gráfico de posición es la velocidad. Una comparación aproximada de las pendientes de las líneas tangentes en (a) en 0.25 s, 0.5 s, y 1.0 s con los valores de velocidad en los tiempos correspondientes indicados que son los mismos valores. (c) Rapidez: |v(t)| versus tiempo. La rapidez es siempre un número positivo.

211

(3.8)

Como la aceleración es velocidad en metros dividida por el tiempo en segundos, las unidades en el SI para la aceleración a menudo se abrevian m/s², es decir, metros por segundo al cuadrado o metros por segundo por segundo. Esto literalmente significa cuántos metros por segundo la velocidad cambia cada segundo. Recuerda que la velocidad es un vector, tiene tanto magnitud como dirección, lo que significa que un cambio en la velocidad puede ser un cambio en la magnitud (o rapidez), pero también puede ser un cambio en la dirección. Por ejemplo, si un corredor que viaja a 10 km/h hacia el este se ralentiza hasta detenerse, luego invierte la dirección, continúa su carrera a 10 km/h hacia el oeste, su velocidad ha cambiado como resultado del cambio de dirección, aunque la magnitud de la velocidad es la misma en ambas direcciones. Por lo tanto, la aceleración se produce cuando la velocidad cambia en magnitud (un aumento o disminución de la velocidad) o en la dirección, o en ambas.

En la escena interactiva de la página siguiente, diseñada por Carlos Alberto Jaimes Vergara, inicia con una velocidad del auto men 2.5 m/s y aceleración cero, luego de unos segundos detén el coche y aumenta la aceleración a 2.5 m/², unos segundos más paras el auto y reduce la aceleración a 2.5 m/². Observa los resultados en la gráfica. Puedes practicar con otras situaciones.

213

Ten en cuenta que, aunque la aceleración está en la dirección del cambio de velocidad, no siempre se produce en la dirección del movimiento. Cuando un objeto se ralentiza, su aceleración es opuesta a la dirección de su movimiento. Aunque esto se conoce comúnmente como desaceleración, en la figura 3.10, decimos que el tren está acelerando en una dirección opuesta a su dirección de movimiento.

Figura 3.10 Un tren subterráneo en Sao Paulo, Brasil, desacelera a medida que entra en una estación. Está acelerando en una dirección opuesta a su dirección de movimiento. (crédito: Yusuke Kawasaki).

El término desaceleración puede causar confusión en nuestro análisis porque no es un vector y no apunta a una dirección específica con respecto a un sistema de coordenadas, por lo que no lo usamos. La aceleración es un vector, por lo que debemos elegir el signo apropiado para ello en nuestro sistema de coordenadas elegido. En el caso del tren de la figura 3.10, la aceleración es en la dirección negativa en el sistema de coordenadas elegido, por lo que decimos que el tren está experimentando una aceleración negativa.

215

Figura 3.12 Caballos de carreras acelerando fuera de la puerta. (crédito: Jon Sullivan).

Figura 3.13 Identifica el sistema de coordenadas, la información dada y lo que quieres determinar.

Podemos resolver este problema identificando Δv y Δt a partir de la información dada, y luego calculando la aceleración promedio directamente desde la ecuación
a_ = Δv/Δt = v_f - v₀/t_f - t₀

217

Aceleración instantánea

La aceleración instantánea a, o la aceleración en un instante específico en el tiempo, se obtiene usando el mismo proceso discutido para la velocidad instantánea. Es decir, calculamos la velocidad promedio entre dos puntos en el tiempo separados por Δt, dejando que Δt se acerque a cero. El resultado es la derivada de la función de velocidad v(t), que es la aceleración instantánea y se expresa matemáticamente como

(3.9)

Por lo tanto, similar a la velocidad que es la derivada de la función de posición, la aceleración instantánea es la derivada de la función de velocidad. Podemos mostrar esto gráficamente de la misma manera que la velocidad instantánea. En la figura 3.14, la aceleración instantánea en el tiempo t₀ es la pendiente de la línea tangente al gráfico de velocidad versus tiempo en el tiempo t₀. Vemos que la aceleración promedio a_ = Δv/Δt se acerca a la aceleración instantánea cuando Δt se aproxima a cero. También en la parte (a) de la figura, vemos que la velocidad tiene un máximo cuando su pendiente es cero. Este tiempo corresponde al cero de la función de aceleración. En la parte (b), se muestra la aceleración instantánea a la velocidad mínima, que también es cero, ya que la pendiente, en ese punto de la curva, también es cero. Por lo tanto, para una función de velocidad dada, los ceros de la función de aceleración dan la velocidad mínima o la máxima.

219

En este ejemplo, la función de velocidad es una línea recta con pendiente constante, por lo que la aceleración es una constante. En el siguiente ejemplo, la función de velocidad tiene una dependencia funcional más complicada del tiempo.

Figura 3.15(a, b) El gráfico de velocidad versus tiempo es lineal y tiene una pendiente constante negativa (a) que es igual a la aceleración, que se muestra en (b).

Si conocemos la forma funcional de la velocidad, v(t), podemos calcular la aceleración instantánea a(t) en cualquier punto del tiempo en el movimiento usando la Ecuación 3.9.

Ejemplo 3.6

Calculando aceleración instantánea

Una partícula está en movimiento y se está acelerando. La función de la velocidad es v(t) = 20t - 5t² m/s.

221

En t = 3 s, la velocidad es v(3s) = 15 m/s y la aceleración es negativa. La partícula ha reducido su velocidad y el vector de aceleración es negativo. La partícula se está desacelerando.

En t = 5 s, la velocidad es v(5s) = - 25 m/s y la aceleración es cada vez más negativa. Entre los tiempos t = 3 s y t = 5 s, la partícula ha reducido su velocidad a cero y luego se vuelve negativa, invirtiendo así su dirección. La partícula ahora está acelerando nuevamente, pero en la dirección opuesta.

Podemos ver estos resultados gráficamente en la figura 3.16.

Figura 3.16 (a) Velocidad versus tiempo. Las líneas tangentes están indicadas en t igual a 1, 2 y 3 s. Las pendientes de las líneas tangentes son las aceleraciones. En t = 3 s, la velocidad es positiva. En t = 5 s, la velocidad es negativa, lo que indica que la partícula ha invertido la dirección. (b) Aceleración versus tiempo. Comparando los valores de las aceleraciones dadas por los puntos negros con las pendientes correspondientes de las líneas tangentes en (a), vemos que son idénticas.

223

Tabla 3.2 Valores típicos de aceleración (crédito: Wikipedia: órdenes de magnitud (aceleración).

En esta tabla, vemos que las aceleraciones típicas varían ampliamente con diferentes objetos y no tienen nada que ver con el tamaño del objeto ni con su tamaño. La aceleración también puede variar ampliamente con el tiempo durante el movimiento de un objeto. Un drag racer tiene una gran aceleración justo después de su inicio, pero luego disminuye a medida que el vehículo alcanza una velocidad constante. Su aceleración promedio puede ser bastante diferente de su aceleración instantánea en un momento particular durante su movimiento. La figura 3.17 compara la aceleración gráfica promedio con la aceleración instantánea para dos movimientos muy diferentes.

225

En esta sección, observamos algunas ecuaciones convenientes para relaciones cinemáticas, comenzando a partir de las definiciones de desplazamiento, velocidad y aceleración. Primero investigamos un solo objeto en movimiento, llamado movimiento de un cuerpo. Luego investigamos el movimiento de dos objetos, llamados problemas de persecución o de encuentro de dos cuerpos.

Notación

Primero, hagamos algunas simplificaciones en notación. Hacemos el tiempo inicial cero, como si el tiempo se midiera con un cronómetro, es una gran simplificación. Como el tiempo transcurrido es Δt = t_f - t₀, tomar t₀ = 0 significa que Δt = t_f, el tiempo final en el cronómetro. Cuando el tiempo inicial se toma como cero, usamos el subíndice 0 para denotar los valores iniciales de posición y velocidad. Es decir, x₀ es la posición inicial y v₀ es la velocidad inicial. No usamos subíndices en los valores finales. Es decir, t es el tiempo final, x es la posición final y v es la velocidad final. Esto da una expresión más simple para el tiempo transcurrido, Δt = t. También simplifica la expresión para el desplazamiento x, que ahora es Δx = x - x₀. Además, simplifica la expresión de cambio en la velocidad, que ahora es Δv = v - v₀. Para resumir, usando la notación simplificada, con el tiempo inicial tomado como cero,

Δt = t
Δx = x − x₀
Δv = v − v₀,

donde el subíndice 0 denota un valor inicial y la ausencia de un subíndice denota un valor final en cualquier movimiento que se esté considerando.

227

sustituyendo la notación simplificada por Δx y Δt, obtenemos

v_ = x - x₀/t

Resolviendo para x nos da

(3.10)

donde la velocidad promedio es

(3.11)

La ecuación v_ = v₀ + v/2 refleja el hecho que cuando la aceleración es constante, v es simplemente el promedio de las velocidades inicial y final. La Figura 3.18 ilustra este concepto gráficamente. En la parte (a) de la figura, la aceleración es constante, y la velocidad aumenta a una velocidad constante. La velocidad promedio durante el intervalo de 1 h desde 40 km/h hasta 80 km/h es de 60 km/h:

v_ = v₀ + v/2 = 40 km/h/80 km/h = 60 km/h

229

Al sustituir la notación simplificada para Δv y Δt nos da

(3.12)

Ejemplo 3.7

Cálculo de velocidad final

Un avión aterriza con una velocidad inicial de 70.0 m/s y luego desacelera a 1.50 m/s² durante 40.0 s. ¿Cuál es su velocidad final?

Estrategia

Primero, identificamos los datos conocidos: v₀ = 70 m/s, a = -1,50 m/s², t = 40 s.

Segundo, identificamos el dato desconocido; en este caso, es la velocidad final v_f.

Por último, determinamos qué ecuación usar. Para hacer esto, averiguamos qué ecuación cinemática da lo desconocido en términos de los datos conocidos. Calculamos la velocidad final usando la Ecuación 3.12, v = v₀ + at.

Solución

Sustituye los valores conocidos y resuelve:

v = v₀ + at = 70.0m/s + (−1.50m/s²)(40.0 s) = 10.0 m/s

231

Ten en cuenta que siempre es útil examinar las ecuaciones básicas a la luz de nuestra intuición y experiencia para comprobar que de hecho describen la naturaleza con precisión.

Hallando la posición final con aceleración constante

Podemos combinar las ecuaciones anteriores para encontrar una tercera ecuación que nos permita calcular la posición final de un objeto que experimenta una aceleración constante. Comenzamos con v = v₀ + at

Al sumar v₀ a cada lado de esta ecuación y dividir por 2 nos da

v₀ + v/2 = v₀ + 1/2t

Dado que v₀ + v/2 = v_ para la aceleración constante, tenemos

v_ = v₀ + 1/2at

Sustituimos esta expresión en la ecuación x = x₀ + v_t, obteniendo

(3.13)

233

Se nos pide que descubramos el desplazamiento, que es x si tomamos x₀ igual a cero. (Piensa en x₀ como la línea de inicio de una carrera. Puede estar en cualquier parte, pero la llamamos cero y mide todas las otras posiciones relativas a ella.) Podemos usar la ecuación
x = x₀ + v₀t + 1/2at² cuando identifiquemos v₀, a, y t en la descripción del problema.

Figura 3.21 El piloto del US Army Top Fuel, Tony "El Sargento" Schumacher comienza una carrera con un desgaste controlado. (crédito: el teniente coronel William Thurmond. Foto cortesía del ejército de EE. UU.)

Solución

Primero, necesitamos identificar los datos conocidos. Comenzar desde el reposo significa que v₀ = 0, la aceleración a se da como 26.0 m/s² y t es 5.56 s. En segundo lugar, sustituimos los valores conocidos en la ecuación para hallar el dato desconocido:

x = x₀ + v₀t + 1/2at²

235

• Si la aceleración es cero, entonces la velocidad inicial es igual a la velocidad promedio (v₀ = v_), y x = x₀ + v₀t + 1/2at² se convierte en x = x₀ + v₀ t.

Hallando la velocidad final a partir de la distancia y la aceleración

Una cuarta ecuación útil puede obtenerse de otra manipulación algebraica de ecuaciones previas. Si resolvemos v = v₀ + at para t, obtenemos

t = v - v₀/a

Sustituyendo esta ecuación y v_ = v + v₀/2 en x = x₀ + v_t, obtenemos

(3.14)

Ejemplo 3.9

Cálculo de la velocidad final

Calcula la velocidad final del dragster en el ejemplo 3.8 sin usar información sobre el tiempo.

237

Un examen de la ecuación v² = v₀² + 2a(x - x₀) puede producir información adicional sobre las relaciones generales entre las cantidades físicas:

• La velocidad final depende de cuán grande es la aceleración y la distancia sobre la que actúa.
• Para una aceleración fija, un automóvil que va dos veces más rápido no se detiene en el doble de distancia. Se necesita mucho más para detenerse. (Es por eso que hemos reducido las zonas de velocidad cerca de las escuelas).

Poniendo la ecuaciones juntas

En los siguientes ejemplos, continuamos explorando el movimiento unidimensional, pero en situaciones que requieren un poco más de manipulación algebraica. Los ejemplos también dan una idea de las técnicas de resolución de problemas. La nota que sigue se proporciona para una fácil referencia a las ecuaciones necesarias. Ten en cuenta que estas ecuaciones no son independientes. En muchas situaciones, tenemos dos incógnitas y necesitamos dos ecuaciones de este conjunto para resolver las incógnitas. Necesitamos tantas ecuaciones como incógnitas para resolver una situación dada.

239

Ampliar

Ejemplo 3.10

¿Hasta dónde va un automóvil?

241

Solución

a. Primero, necesitamos identificar los datos conocidos y lo que queremos resolver. Sabemos que v₀ = 30.0 m/s y a = -7.00 m/s² (a es negativo porque está en una dirección opuesta a la velocidad). Tomamos x² igual a cero. Estamos buscando el desplazamiento Δx, o (x - x²).

En segundo lugar, identificamos la ecuación que nos ayudará a resolver el problema. La mejor ecuación para usar es

v² = v₀² + 2a(x - x₀)

Esta ecuación es mejor porque incluye solo una variable desconocida, x. Conocemos los valores de todas las otras variables en esta ecuación. (Otras ecuaciones nos permitirían resolver para x, pero requieren que sepamos el tiempo de parada, t, que no conocemos. Podríamos usarlas, pero conllevaría cálculos adicionales).

En tercer lugar, reorganizamos la ecuación para resolver x

x - x₀ = v² - v₀²/2a

sustituyendo los valores conocidos:

x - 0 = 0² - (30.0 m/s)²/2(-7.00 m/s²)

243

Encontrando que (a) es 64.3 m + 15.0 m = 79.3 m cuando está seco y (b) que es 90.0 m + 15.0 m = 105 m cuando está húmedo.

Figura 3.23 La distancia necesaria para detener un automóvil varía mucho, dependiendo de las condiciones de la carretera y el tiempo de reacción del conductor. Aquí se muestran las distancias de frenado para el pavimento seco y húmedo, como se calcula en este ejemplo, para un automóvil que viaja inicialmente a 30.0 m/s. También se muestran las distancias totales recorridas desde el punto en que el conductor ve por primera vez que una luz se vuelve roja, suponiendo un tiempo de reacción de 0,500 s.

Explicación

Los desplazamientos encontrados en este ejemplo parecen razonables para detener un automóvil que se mueve rápidamente. Debería llevar más tiempo detener un automóvil en el pavimento mojado que en el seco. Es interesante que el tiempo de reacción se agrega significativamente a los desplazamientos, pero más importante es el enfoque general para resolver problemas. Identificamos los datos dados y las cantidades que se determinarán, luego buscamos una ecuación apropiada. Si hay más de un dato desconocido, necesitamos tantas ecuaciones independientes como incógnitas para resolver.

245

Solución

De nuevo, identificamos los datos conocidos y lo que queremos resolver. Sabemos que x₀ = 0, v₀ = 10 m/s, a = 2.00 m/s² y x = 200 m.

Necesitamos hallar t. La ecuación x = x₀ + v₀t + 1/2at² funciona mejor porque el único dato desconocido en la ecuación es la variable t. Desde esta perspectiva, vemos que cuando ingresamos los datos conocidos en la ecuación, terminamos con una ecuación cuadrática. Necesitamos reorganizar la ecuación para hallar t, luego sustituir los datos en la ecuación:

200 m = 0 m + (10.0 m/s)t + 1/2(2.00 m/s²)t².

Entonces, simplificamos la ecuación. Las unidades de metros se cancelan porque están en cada término. Podemos obtener las unidades de segundos para cancelar tomando t = t s, donde t es la magnitud del tiempo y s es la unidad. Haciendo esto obtenemos

200 = 10t + t².

Luego usamos la fórmula cuadrática para resolver t,

t² + 10t -200 = 0

t = −b ± √b² - 4ac^{━━━━━}/2a

247

Estrategia

Se nos pide que encontremos las velocidades inicial y final de la nave espacial. Al observar las ecuaciones cinemáticas, vemos que una ecuación no dará la respuesta. Debemos usar una ecuación cinemática para resolver una de las velocidades y sustituirla por otra ecuación cinemática para obtener la segunda velocidad. Por lo tanto, resolvemos dos de las ecuaciones simultáneamente.

Solución

Primero resolvemos v₀ usando x = x₀ + v₀t + 1/2at²

x - x₀ = v₀t + 1/2at²

1.0x10⁶ m = v₀(120.0 s) + 1/2(20.0 m/s²)(120.0 s)²

v₀ = 7133.3 m/s

Luego sustituimos v₀ en la ecuación v = v₀ + at para hallar la velocidad final:

v = v₀ + at = 7133.3 m/s + (20.0 m/s²)(120.0 s) = 9533.3 m/s.

249

Figura 3.25 Un escenario de persecución de dos cuerpos en el que el automóvil 2 tiene una velocidad constante y el automóvil 1 está detrás con una aceleración constante. El automóvil 1 se pone al día con el automóvil 2 más adelante.

El tiempo y la distancia requeridos para que el auto 1 alcance el auto 2 depende de la distancia inicial entre el auto 1 y el auto 2, las velocidades de ambos autos y la aceleración del auto 1. Las ecuaciones cinemáticas que describen el movimiento de ambos autos deben ser resueltas para encontrar estas incógnitas.

Considera el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3.13

Un guepardo cazando una gacela

Un guepardo espera escondido detrás de un arbusto. El guepardo ve una gacela corriendo a 10 m/s. En el instante en que la gacela pasa al guepardo, el guepardo acelera desde el reposo a 4 m/s² para atrapar a la gacela. (a) ¿Cuánto tiempo le toma al guepardo atrapar a la gacela? (b) ¿Cuál es el desplazamiento de la gacela y el guepardo?

251

x = v_t = 1/2at²

t = 2v_/a

La gacela tiene una velocidad constante de 10 m/s, que es su velocidad promedio. La aceleración del guepardo es de 4 m/s². Evaluando t, el tiempo para que el guepardo alcance a la gacela, tenemos

t = 2v_/a = 2(10)/4 = 5 s

b. Para obtener el desplazamiento, utilizamos la ecuación de movimiento para el guepardo o la gacela, ya que ambos deberían dar la misma respuesta.

Desplazamiento del guepardo:

x = 1/2at² = 1/2(4)(5)² = 50 m.

Desplazamiento de la gacela:

x = v_t = 10(5) = 50 m.

Vemos que ambos desplazamientos son iguales, como se esperaba.

253

Gravedad

El hecho más notable e inesperado sobre la caída de objetos es que si la resistencia del aire y la fricción son insignificantes, entonces, en un lugar determinado, todos los objetos caen hacia el centro de la Tierra con la misma aceleración constante, independientemente de su masa. Este hecho determinado experimentalmente es inesperado porque estamos tan acostumbrados a los efectos de la resistencia al aire y la fricción que esperamos que los objetos ligeros caigan más lentamente que los pesados. Hasta que Galileo Galilei (1564-1642) demostró lo contrario, la gente creía que un objeto más pesado tiene una mayor aceleración en una caída libre. Ahora sabemos que este no es el caso. En ausencia de resistencia del aire, los objetos pesados llegan al suelo al mismo tiempo que los objetos más ligeros cuando se los deja caer desde la misma altura (Figura 3.26).

Figura 3.26 Un martillo y una pluma caen con la misma aceleración constante si la resistencia del aire es insignificante. Esta es una característica general de la gravedad no exclusiva de la Tierra, como lo demostró el astronauta David R. Scott en 1971 en la Luna, donde la aceleración de la gravedad es de solo 1,67 m/s² y no hay atmósfera.

255

Ten en cuenta que si la aceleración a en las ecuaciones cinemáticas tiene el valor +g o -g depende de cómo definamos nuestro sistema de coordenadas. Si definimos la dirección ascendente como positiva, entonces a = -g = -9.8 m/s², y si definimos la dirección descendente como positiva, entonces a = g = 9.8 m/s².

Movimiento unidimensional que involucra la gravedad

La mejor manera de ver las características básicas del movimiento que involucra la gravedad es comenzar con las situaciones más simples y luego avanzar hacia las más complejas. Entonces, comenzamos considerando movimientos ascendentes y descendentes sin resistencia ni fricción. Estas suposiciones significan que la velocidad (si hay alguna) es vertical. Si se cae un objeto, sabemos que la velocidad inicial es cero cuando está en caída libre. Cuando el objeto ha dejado contacto con lo que haya sostenido o lo ha arrojado, el objeto está en caída libre. Cuando se arroja el objeto, tiene la misma velocidad inicial en caída libre que antes de su lanzamiento. Cuando el objeto entra en contacto con el suelo o cualquier otro objeto, ya no está en caída libre y su aceleración g ya no es válida. En estas circunstancias, el movimiento es unidimensional y tiene una aceleración constante de magnitud g. Representamos el desplazamiento vertical con el símbolo y.

(3.15)

(3.16)

(3.17)

257

Figura 3.27 Las posiciones y velocidades a intervalos de 1 s de una pelota lanzada hacia abajo desde un edificio alto a 4.9 m/s.

Solución

a. Sustituye los valores dados en la ecuación:

y = y₀ + v₀t − 1/2gt²
-98.0 m = 0 - (4.9 m/2)t − 1/2(9.8 m/s²)t²

Simplificando

t² + t - 20 = 0.

259

Ejemplo 3.15

Movimiento vertical de una pelota de béisbol