Respuestas - Capítulo III
Comprueba tu aprendizaje
3.1 (a) El desplazamiento del conductor es Δx = xf - x0 = -1km. (El desplazamiento es negativo porque tomamos el este como positivo y el oeste como negativo.) (B) La distancia recorrida es de 3 km + 2 km = 5 km. (c) La magnitud del desplazamiento es de 1 km.
3.2 (a) Tomando la derivada de x(t) da v(t) = -6t m/s. (b) No, porque el tiempo nunca puede ser negativo. (c) La velocidad es v(1.0 s) = -6 m/s y la rapidez es |v (1.0s)| = 6 m/s
3.3 Insertando los datos conocidos, tenemos
a_ = Δv/Δt = 2.0 × 107 m/s − 0/10−4 s − 0 = 2.0 × 1011 m/s2
3.4 Si tomamos el este para ser positivo, entonces el avión tiene aceleración negativa porque está acelerando hacia el oeste. También está desacelerando; su aceleración es opuesta en dirección a su velocidad.
3.5 Para responder a esto, elige una ecuación que nos permita resolver el tiempo t, dado solo a, v0 y v:
v = v0 + t
Reorganiza para resolver t:
t = v - v0/a = 400 m/s − 0 m/s/20 m/s2 = 20 s
3.6 a = 2/3 m/s2.
3.7 Se necesitan 2.47 s para golpear el agua. La cantidad de distancia recorrida aumenta más rápido.
3.8
a. La función de velocidad es la integral de la función de aceleración más una constante de integración. Por la Ecuación 3.18,
v(t) = ∫a(t)dt + C1 = ∫(5 − 10t)dt + C1 = 5t − 5t2 + C1.
Como v(0) = 0, tenemos C1 = 0; asi que,
v(t) = 5t − 5t2.
b. De la ecuación 3.19
x(t) = ∫v(t)dt + C2 = ∫(5t − 5t2)dt + C2 = 5/2t2 − 5/3t3 + C2.
Como x(0) = 0, tenemos C2 = 0, y
x(t) = 5/2t2 − 5/3t3
c. La velocidad se puede escribir como v(t) = 5t(1 - t), que es igual a cero en t = 0, y t = 1 s.
Preguntas conceptuales
1. Conduces tu automóvil a la ciudad y regresas para pasar a la casa de un amigo.
3. Si las bacterias se mueven hacia atrás y hacia adelante, entonces los desplazamientos se cancelan entre sí y el desplazamiento final es pequeño.
5. Distancia recorrida
7. La velocidad promedio es la distancia total recorrida dividida por el tiempo transcurrido. Si sale a caminar, se va y regresa a su casa, su velocidad promedio es un número positivo. Como Velocidad promedio = Desplazamiento / Tiempo transcurrido, su velocidad promedio es cero.
9. Velocidad promedio. Son lo mismo si el auto no cambia de dirección.
11. No, en una dimensión, la velocidad constante requiere cero aceleración.
13. Una pelota es arrojada al aire y su velocidad es cero en el vértice del lanzamiento, pero la aceleración no es cero.
15. Además, menos 17. Si la aceleración, el tiempo y el desplazamiento son los datos conocidos, y las velocidades inicial y final son las incógnitas, entonces se deben resolver simultáneamente dos ecuaciones cinemáticas. Además, si la velocidad, el tiempo y el desplazamiento finales son los datos conocidos, se deben resolver dos ecuaciones cinemáticas para la velocidad y la aceleración iniciales.
19. a. en la parte superior de su trayectoria; b. sí, en la parte superior de su trayectoria; c. sí
21. Tierra v = v2 − gt = −gt; Luna v′ = g/6t′, v = v′ − gt = −g/6t′, t′=6t; Tierra y = −1/2gt2, Luna y′ = −1/2g/6(6t)2 = −1/2g(6)t2 = −6(1/2gt2) = −6y<
Problemas
25. a. x→1 = (-2.0 m) i^, x→2 = (5.0 m) i^; b. 7,0 m al este
27. a. t = 2.0 s; b. x(6.0) - x(3.0) = - 8.0 - (- 2.0) = - 6.0 m
29. a. 150.0 s, v_ = 156.7 m/s; b. 45.7% de la velocidad del sonido a nivel del mar
31.
35. a. v(t) = (10 − 4t) m/s; v(2s) = 2 m/s, v(3s) = −2 m/s; b. |v(2s)| = 2 m/s, |v(3s)| = 2 m/s; (c) v_ = 0 m/s
37. a = 4.29 m/s2
39.
41. a = 11.1 g
43. 150 m
45. a. 525 m; b. v = 180 m/s
47. a.
b. La aceleración tiene el mayor valor positivo en ta
c. La aceleración es cero en te yth
d. La aceleración es negativa en ti, tj, tk, tl
49. a. a = -1.3 m/s2; b. v0 = 18 m/s; c. t = 13.8 s
51. v = 502.20 m/s
53. a.
b. Datos conocidos: a = 2.40 m/s2, t = 12.0 s, v0 = 0 m/s, y x0 = 0 m;
c. x = x0 + v0t + 1/2at2 = 1/2at2 = 2.40 m/s2(12.0 s)2 = 172.80 m, la respuesta parece razonable a unos 172.8 m;
d. v = 28.8 m/s
55. a.
b. Datos conocidos: v = 30.0 cm/s, x = 1.80 cm
c. a = 250 cm/s2, t = 0.12s
d. Sí
57. a. 6.87 s2; b. x = 52.26 m
59. a. a = 8450 m/s2; b. t = 0.0077 s
61. a. a = 9.18g; b. t = 6.67×10-3 s; c. a = −40.0 m/s2, a = 4.08g
63. Datos conocidos: x = 3 m, v = 0 m/s, v0 = 54 m/s. Queremos a, entonces podemos usar esta ecuación: a = -486 m/s2
65. a. a = 32.58 m/s2; b. v = 161.85 m/s; c. v > vmax, porque la suposición de aceleración constante no es válida para un dragster. Un dragster cambia de marcha y tendría una mayor aceleración en la primera marcha, que la segunda, que la tercera, y así sucesivamente. La aceleración sería mayor al principio, por lo que no aceleraría a 32.6 m/s2 durante los últimos metros, pero sustancialmente menos, y la velocidad final sería menor a 162 m/s
67. a. y = −8.23 m, v1 = −18.9 m/s;
b. y = −18.9 m, v2 = 23.8 m/s;
c. y = −32.0 m, v3 = −28.7m/s;
d. y = −47.6 m, v4 = −33.6 m/s;
e. y = −65.6 m, v5 = −38.5 m/s
69. a. datos conocidos: a = −9.8 m/s2, v0 = −1.4 m/s, t = 1.8 s, y0 = 0 m ;
b. y = y0 + v0t − 1/2gt2, y = v0t − 1/2gt2 = −1.4 m/s(1.8 s) − 1/2(9.8)(1.8 s)2 = −18.4 m y el origen está en los rescatadores, que están a 18,4 m por encima del agua.
71. a. v2 = v02 − 2g(y − y0), y0 = 0, v = 0, y = v02/2g = (4.0 m/s)2/2(9.80) m/s)2 = 0.82 m;
b. a la parte más alta 0.41 s, dos veces es 0.82 s, del trampolín al agua y = y0 + v0t − 1/2gt2 y = −1.80 m, y0 = 0, v0 = 4.0 m/s, −1.8 = 4.0t − 4.9t2 4.9t2 −4.0t − 1.80 = 0, solución a la ecuación cuadrática da 1.13 s;
c. v2 = v02 −2g(y − y0), y0 = 0, v0 = 4.0 m/s, y = −1.80m
73. t = 1.12s por dos veces es igual a 2.24 s hasta una altura de 2.20 m. A 1.80 m de altura es un adicional de 0.40 m.
y = y0 + v0t - 1/2gt2, y = -0.40 m, y0 = 0, v0 = -11.0 m/s,
−0.40 = −11.0t − 4.9t2 o 4.9t2 + 11.0t −0.40 = 0
Toma la raíz positiva, por lo que el tiempo para ir a los 0,4 m adicionales es de 0,04 s. El tiempo total es 2.24s + 0.04s = 2.28s
75. a. v2 = v02 − 2g(y − y0), y0 = 0, v = 0, y = 2.50 m, v02 = 2gy ⇒ v0 = 7.0 m/s
b. t = 0.72s, dos veces es 1.44 s en el aire.
77. a. v = 70.0 m/s; b. Tiempo que se escucha después de que la roca comienza a caer: 0,75 s, tiempo para llegar al suelo: 6,09 s
79. a. A = m/s2, B = m/s5/2;
b. v(t) = ∫a(t)dt + C1 = ∫(A - Bt1/2)dt + C1 = At - 2/3Bt3/2 + C1
v(0) = 0 = C1, entonces, v(t0) = At0 - 2/3Bt03/2
c. x(t) = ∫v(t)dt + C2 = ∫(At - 2/3Bt3/2)dt + C2 = 1/2At2 - 4/15Bt5/2 + C2
x(0) = 0 = C2, entonces, x(t0) = 1/2At02 - 4/15Bt05/2
81. a. a(t) = 3.2 m/s2, t ≤ 5.0 s;
a(t) = 1.5 m/s2, 5.0 ≤ t ≤ 11.0 s;
a(t) = 0 m/s2, t > 0
b. x(t) = ∫v(t)dt + C2 = ∫3.2tdt + C2 = 1.6t2 + C2, t ≤ 5.0 s
x(0) = 0 ⇒ C2 = 0 por lo tanto, x(2.0 s) = 6.4 m
x(t) = ∫v(t)dt + C2 = ∫[16.0 - 1.5(t - 5.0)]dt + C2 = 16t - 1.5(t2/2 -5.0t) + C2, 5.0 ≤ t ≤ 11.0 s
x(5 s) = 1.6(5.0)2 = 40 m = 16(5.0 s) − 1.5(52/2 - 5.0(5.0)) + C2
40 = 98.75 + C2 ⇒ C2 = −58.75
x(7.0 s) = 16(7.0) - 1.5(72/2 - 5.0(7)) − 58.75 = 69 m
x(t) = ∫7.0dt + C2 = 7t + C2, t ≥ 11.0 s
x(11.0 s) = 16(11) - 1.5(12/2 - 5.0(11))− 58.75 = 109 = 7(11.0 s) + C2 ⇒ C2 = 32 m,
x(t) = 7t + 32 m
x ≥ 11.0 s ⇒ x(12.0 s) = 7(12) + 32 = 116 m
Problemas adicionales
83. Toma hacia el oeste la dirección positiva. Primer avión: ν_ = 600 km/h, Segundo avión ν_ = 667.0 km/h
85. a = v - v0/t - t2, t = 0, a = −3.4 cm/s − v0/4 s = 1.2 cm/s2 ⇒ v0 = - 8.2 cm/s, v = v0 + at = - 8.2 + 1.2 t; v = -7.0 cm/s, v = -1.0 cm/s
87. a = -3 m/s2
89. a. v = 8.7 × 105 m/s; b. t = 7.8 × 10-8 s
91. 1 km = v0(80.0 s) + 1/2a(80.0)2; 2 km = v0(200.0) + 1/2a(200.0)2, resolver simultáneamente para obtener a = -0.1/2400.0 km/s2 y v0 = 0.014167 km/s, que es 51.0 km/h. La velocidad al final del viaje es v = 21.0 km/h.
93. a = -0.9 m/s2
95. La ecuación para el automóvil que circula a alta velocidad: este automóvil tiene una velocidad constante, que es la velocidad promedio, y no se está acelerando, por lo tanto, usa la ecuación para el desplazamiento con x0 = 0: x = x0 + v_t = v_t; Ecuación para el coche de la policía: este automóvil se está acelerando, así que usa la ecuación para desplazamiento con x0 = 0 y v0 = 0, ya que el vehículo de policía comienza desde el descanso: x = x0 + v0t + 1/2at2 = 1/2at2; Ahora tenemos una ecuación de movimiento para cada automóvil con un parámetro común, que puede eliminarse para encontrar la solución. En este caso,
resolvemos por t.
Paso 1, eliminando x: x = v_t = 1/2at2
Paso 2, resolviendo para t: t = 2v_/a. El auto que circula a alta velocidad tiene una velocidad constante de 40 m/s, que es su velocidad promedio. La aceleración del automóvil policial es de 4 m/s2. Evaluando t, el tiempo para que el coche de la policía alcance el automóvil de exceso de velocidad, tenemos t =
2v_/a = 2(40)/4 = 20 s.
97. A esta aceleración él se detiene por completo en t = -v0/a = 8/0.5 = = 16 s, pero la distancia cubierta es x = 8 m/s(16 s) - 1/2(0.5)(16 s)2 = 64 m, que es menor que la distancia que está lejos de la línea de meta, por lo que nunca termina la carrera.
99. x1 = 3/2v0t; x2 = 5/3x1
101. v0 = 7.9 m/s de velocidad en la parte inferior de la ventana.
v = 7.9 m/s, v0 = 14.1 m/s
103. a. v = 5,42 m/s; b. v = 4.64 m/s; c. a = 2874,28 m/s2; d. (x - x0) = 5.11 × 10-3 m
105. Considera que los jugadores caen del reposo a la altura de 1.0 m y 0.3 m.
0.9 s, 0.5 s
107. a. t = 6.37 s tomando la raíz positiva; b. v = 59.5 m/s
109. a. y = 4.9 m; b. v = 38,3 m/s; c. -33.3 m
111. h = 1/2gt2, h = altura total y tiempo para caer al suelo 2/3h = 1/2g(t - 1)2 en t - 1 segundo cae 2/3h
2/3(1/2gt2) = 1/2g(t - 1)2 o t2/3 = 1/2(t - 1)2
0 = t2 - 6t + 3, entonces, t = 3 ± √24/2
t = 5.45 s y h = 145.5 m. Otra raíz es menos de 1 s. Comprueba t = 4.45 s h =
1/2gt2 = 97.0 m = 2/3(145.5)
Problemas de Desafío
113. a. v(t) = 10t - 12t2 m/s, a(t) = 10 - 24 t m/s2; b. v(2 s) = -28 m/s, a(2 s) = -38 m/s2; c. La pendiente de la función de posición es cero o la velocidad es cero. Hay dos posibles soluciones: t = 0, que da x = 0, o t = 10.0/12.0 = 0.83 s, lo que da x = 1.16 m. La segunda respuesta es la elección correcta; d. 0,83 s; e. 1,16 m
115. 96 km/h = 26.67 m/s, a = 26,67 m/s/4.0 s = 6.67 m/s2, 295.38 km/h = 82.05 m/s, t = 12.3 s tiempo para acelerar a velocidad máxima
x = 504.55 m de distancia cubierta durante la aceleración
7495,44 m a una velocidad constante
7495,44 m/82.05 m/s = 91.35 s, por lo que el tiempo total es 91.35 s + 12.3 s = 103.65 s.