7. Teorema de Bayes
¡Ha ocurrido el suceso B!, nos preguntamos cuál sería la probabilidad de que ocurra A
i
sabiendo de antemano que ha ocurrido B. Si nos fijamos lo directo es
conocer lo contrario, es decir, las probabilidades de B condicionadas a
los diferentes A
i. Por ejemplo:
- Se conoce, después de muchos estudios y durante
muchos años, que la probabilidad de retraso de un avión en un día
lluvioso es del 5%. Si se ha producido un retraso. ¿Cuál sería la
probabilidad de que el día sea lluvioso?.
- Se conoce que la probabilidad de tener cierta
enfermedad si has dado positivo en un determinado test es del 99%. Si
una persona ha dado positivo al test. ¿Cuál sería la probabilidad de no
tener la enfermedad? (lo que se denomina un falso positivo)
Situaciones como las anteriores son las que se van a resolver con este
segundo gran resultado relativo a la probabilidad condicionada.
Formalmente; supongamos que A1, A2, A3, .....An,
constituyen un sistema completo de sucesos para el espacio muestral E
asociado al experimento aleatorio considerado. Supongamos también que B
es un suceso cualquiera del espacio E, para el cuál se conocen
las probabilidades p(B/Ai) .
En estas condiciones podemos deducir que:
También puede expresarse:
En el siguiente vídeo puedes recabar algunas ideas sobre el Teorema de Bayes.
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Una situación clásica de aplicación del teorema de
Bayes es la siguiente:
En un taller se produce la pieza X de recambio para cierto
producto. En dicho taller hay tres máquinas, A, B y C que
producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas
producidas en el taller. Los porcentajes de producción defectuosa de
estas máquinas son del 3%, 4% y 5%.
Seleccionamos una pieza al azar; calcula:
a) Probabilidad de que sea defectuosa.
b)Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la máquina B.
c) ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa?
En la siguiente escena interactiva puedes prácticar con el Teorema de Bayes.
