La espiral equiangular, logarítmica o geométrica fue estudiada por Descartes al plantearse la búsqueda de una curva con comportamiento análogo a de la circunferencia, en el sentido de que en cada punto el ángulo que forme el radio vector con la tangente sea siempre constante. Benouilli la denominó "Spira mirabilis" o espiral maravillosa. Puede definirse de manera dinámica como el resultado de la composición de un movimiento rectilíneo no uniforme (exponencial) y de un movimiento circular uniforme. Este procedimiento constructivo es el que se refleja en esta escena interactiva.

A partir de la construcción dinámica o dependiente del tiempo, puede obtenerse la relación algebraica que verifican todos los puntos de esa curva. Ésta queda representada de una manera simple al usar coordenadas polares.

El nombre de logarítmica es porque en una expresión equivalente el ángulo queda determinado en función del logaritmo de la distancia polar, es decir del módulo del radio vector.

OBJETIVOS

• Construir la espiral logarítmica como composición de movimientos.
• Analizar algunas propiedades de esta espiral.
• Es logarímica porque el ángulo polar es un logaritmo de la distancia polar o radio, o bien el radio es una exponencial del ángulo.
• Es geométrica porque las distancias polares de todos los puntos situados en una semirrecta están en progresión geométrica.
• Es equiangular porque el ángulo que forma el radio vector de un punto con la tangente en ese punto es siempre constante.
• Introducir el crecimiento gnomónico euclídeo y el crecimiento gnomónico discreto en la aproximación de la espiral logarítmica por poligonales.
• Verificar como la naturaleza se ajusta al uso de esta espiral.
• Introducir el crecimiento gnomónico instantáneo o continuo como límite del crecimiento discreto.
• Verificar que la razón de crecimiento en la espiral logarítmica es la unidad.
  

INSTRUCCIONES

El objeto se desglosa en varias fases que se corresponden con diferentes escenas que pueden recorrerse con los botones de desplazamiento ubicados en la esquina superior derecha:

• Fase 0. Se muestra una imagen de Descartes y Bernoulli y de la espiral maravillosa junto a la ecuación algebraica que la define en coordenadas polares, donde se manifiesta que es una familia de espirales dependientes de dos parámetros reales positivos a y b. Podría considerarse a<0 y en este caso hay que considerar que r es una distancia dirigida, en este supuesto la gráfica de la espiral es simétrica respecto al polo con respecto a la espiral en la que el coeficiente es |a|.
  
• Fase 1. Se plantea la determinación de la posición de un grillo, un móvil, en un movimiento rectilíneo no uniforme consistente en un salto inicial de longitud a y sucesivos saltos en línea recta, de manera que en cada salto la distancia a la que se encuentra del punto inicial es c veces mayor que la distancia anterior. Es decir, se parte de una situación dinámica y por tanto dependiente del tiempo. Puedes interactuar para realizar las siguientes acciones:
• Abordar un zum, es decir, un cambio de escala en la representación.
  
• Establecer la posición inicial del grillo en ese salto inicial (sólo cuando t=0), para ello posiciona el ratón sobre él y desplázalo. Esa longitud quedará reflejada en la linea inferior.
  
• Indicar la constante c que marca el factor de amplificación (c>1), estabilizacion (si c=1) o contracción (si c<1). Ver las diferentes situaciones.
  
• El tiempo se refleja automáticamente, una vez inicies el movimiento. No puedes cambiarlo.
• Cuentas con tres botones: uno informativo, otro que permite regresar a la situación inicial y un tercero que permite la activación o la parada del movimiento.
  
• Fase 2. En este caso se plantea el movimiento circular uniforme. Una nueva situación dinámica dependiente del tiempo y en la que puedes interactuar de manera análoga al paso anterior. En este caso lo que podrás cambiar es la velocidad angular antes de iniciar el movimiento y la posición del grillo si lo deseas.
  
• Fase 3. Aquí se aborda una composición de movimientos, el lineal y el angular. Podrás interactuar de manera similar a las situaciones anteriores y en el botón de información se obtiene, a partir del planteamiento dinámico, una relación -- digamos estática o atemporal-- entre la distancia y el ángulo polar. Ésta es la ecuación algebráica en coordenadas polares de la espiral logarítmica y nos permite identificar el significado de los dos parámetros a y b específicos de la misma:



• Fase 4. Representamos gráficamente la curva correspondiente a la espiral logarítmica a partir de la relación algebraica obtenida en función de los parámetros que denotamos a y b.
  • Dado que r viene dado como a por una función, a es un factor de escala.  Puede variarse el parámetro a y observar ese cambio de escala, por ello equivale al zum que puede realizarse con el botón etiquetado con ese nombre.
  • Cuando a=0 o b=0 degenera a un punto, el polo.
  • Cuando b=1 es una circunferencia de radio a.
  • Si se cambia el valor de b por su inverso las espirales son simétricas respecto al eje polar, es decir, lo que cambia es el sentido de giro. Así pues, por ello, bastaría analizar las espirales en las que b>1. Se dispone también de dos botones etiquetados como b y 1/b que permiten mostrar u ocultar la espiral correspondiente a esos valores y observar la relación citada. Al pulsar el botón de información se explicita este hecho.
  • Se tienen también dos controles que permiten definir el intervalo de variación del ángulo en el que se representará la espiral.
    
• Fase 5. En base a lo indicado en el paso anterior, consideramos la dependencia sólo del parámetro b y cuando b>1. Puede cambiarse el valor de este parámetro y el intervalo de variación del ángulo en el que se representará la espiral. 
• Pulsando el botón de información se muestra la relación entre dos puntos cualesquiera de la espiral y, en particular, la que acontece entre los situados en la misma semirrecta. Estos puntos están posicionados según una progresión geométrica, de ahí que a la espiral logarítmica se le denomine también como "espiral geométrica". 
• Pulsando el botón inferior derecho se dibuja una semirrecta y los puntos de ésta que pertenecen a la espiral.  En esa semirrecta se dispone de un control gráfico con el que se puede variar dicha semirrecta.
  
• Fase 6. La espiral logarítmica se denomina también equiangular debido a que el ángulo que determina el radio vector de un punto de la espiral con la recta tangente en ese punto es siempre el mismo , es decir, es un invariante ligado a cada espiral.
• Pulsando el botón de información se explicitan las componentes del radio vector y del vector tangente, y se calcula el ángulo que forman ambos. Éste depende sólo del parámetro b y es independiente del ángulo polar. Por tanto, en cada espiral este ángulo es constante en todos sus puntos, de ahí que sea equiangular.
  
• Puede cambiarse el valor de b y comprobar como también cambia ese ángulo. Pero manteniendo b fijo, dicho ángulo permanece constante al variar el ángulo polar. En el caso particular en que b=1 (el control permite que pongas este valor), como ya indicamos, la espiral degenera en una circunferencia y este ángulo constante es recto --la espiral generaliza a la circunferencia según buscaba Descartes--, y a medida que b tiende a infinito el ángulo tiende a cero, el radio vector tiende a coincidir con la recta tangente, --la espiral degenera en una recta--.
• En el control de infomacion se detalla el cálculo de dicho ángulo.
• Fase 7.  En la escena se muestra el crecimiento gnomónico en el sentido especificado en "Los Elementos" de Euclides. Por ser la espiral equiangular se demuestra cómo puede inscribirse en un rectángulo cuya proporción es invariable para cada valor de b. Para ello:
  
• Puede cambiarse el valor de de b.
• Para b fijo, al cambiar el valor del ángulo se observa cómo el módulo o proporción del rectángulo circunscrito es constante. En el caso particular en el que b es 1.186 (aproximadamente) se obtiene la proporción cordobesa o humana, para 1.358 se tiene la proporción aúrea o divina y para 1.247 la proporción raíz de dos. Pruebe con esos valores. Para ampliar sobre estas propociones se puede consultar "Las Matemáticas en la belleza y la belleza de las Matemáticas".
  
• En el botón de información puede consultarse el por qué se verifica esta propiedad. En este caso se habilita un control adicional que permite avanzar en la demostración:
• En el paso 1 se consideran dos puntos M y N de la espiral que se diferencian en un ángulo recto y se observa que la razón de proporcionalidad de los radios vectores es b^(pi/2).
• A continuación se observa cómo las rectas tangentes en esos puntos se intersecan en un punto A formando un ángulo recto. Esto es consecuencia de ser equiangular, pues en el cuadrilátero OMAN los ángulos de vértice M y N son suplementarios y por tanto al ser recto el ángulo O, lo es A.
• Repitiendo el paso anterior para dospuntos R y S, se forma un rectángulo ABCD.
• El módulo de ese rectángulo es constante independientemente del punto M inicialmente considerado. Y la proporción coincide con la de los radios vectores.
  
  
  
• En el paso 5 se especifica cómo Euclides definió el gnomon de un paralelogramo y en el paso 6 se demuesta que el crecimiento indicado coincide con el concepto de crecimiento gnomónico euclídeo. Finalmente, en el paso 7, una animación recrea ese crecimiento en valores discretos que se diferencian en angulos llanos. Siempre se refleja la espiral para tenerla como referencia, pero estamos hablando del crecimiento gnomónico del rectángulo como situación previa que conducirá al concepto de crecimiento gnomónico de la espiral como tal.
  
• Fase 8. Se aborda un crecimiento gnomónico no en sentido euclídeo sino en base a la adición o concatenación de  figuras semejantes. Considerando el rectángulo usado como núcleo del crecimiento gnomónico euclídeo, se plantea ahora el crecimiento mediante la adición de rectángulos recíprocos (rectángulos semejantes en los que el lado mayor de uno es el menor del otro).  Se cuenta con un pulsador que permite observar ese crecimiento y otro para superponer o no la espiral. El botón de información da acceso a una explicación en tres pasos:
• En el primero se justifica que los rectángulos considerados son semejantes con igual proporción que los radios vectores y cómo la concatenación sucesiva de esos rectángulos hace crecer la figura (de nuevo dejamos como referencia la gráfica de la espiral, pero el crecimiento al que nos referimos es el de la figura poligonal).
• Pero esos rectángulos se superponen por lo que realmente el gnomon es un hexágono con forma de L de lados perpendiculares. Es fácil, en base a la propiedad anterior, demostrar que al añadir el gnomon se obtiene una figura semejante a la anterior y que los gnómones son semejantes entre sí.
• En el paso tercero se muestra una animación de ese crecimiento gnomónico discreto ligado a radios vectores que difieren en un ángulo recto y a una semejanza de razón b^(pi/2).
  
• Fase 9. El crecimiento gnomónico discreto anterior también puede plantearse en base a los cuadriláteros determinados por los radios vectores y las rectas tangentes. El botón de información da acceso a la explicación.
  
• Esos cuadriláteros son semejantes y su concatenación hace crecer la figura.
• Los gnómones en este caso son hexágonos en forma de L con dos lados oblicuos y, de nuevo, es fácil demostrar que al añadir un gnomon se obtiene una figura semejante a la anterior y que los gnómones son semejantes entre sí. con igual razón de semejanza b^(pi/2).
• Finalmente una nueva animación muestra ese crecimiento gnomónico discreto de paso pi/2.
  
• Fase 10. Se aborda el crecimiento gnomónico discreto de paso 2pi/n. Con el pulsador etiquetado como n puede cambiarse el valor de este parámetro, con n>=3, y con el pulsador crecimiento puede observarse la evolución de éste. El botón con la imagen de la espiral  activa o desactiva su superposición a la poligonal obtenida. Al incrementar el valor de n, obviamente disminuye el paso y consecuentemente la poligonal aproxima cada vez mejor a la espiral. El botón de información da acceso a:
• La justificación de la proporcionalidad de los cuadriláteros obtenidos con los radios vectores y las tangentes al considerar cualquier paso discreto 2pi/n. Se muestra para n=5, pero puede realizarse de manera general.
• La superposición de esos cuadriláteros conduce a que el gnomon realmente sea un hexágono, de manera que al añadir éste a la figura anterior se obtiene una figura semejante y los gnómones son semejantes entre sí con igual razón de semejanza b^(pi/n).
• Como ejemplo de crecimiento gnomónico discreto se muestra el de las cavidades del Nautilus que siguen un paso pi/8 en base a una espiral logarítmica cordobesa (b=1.186).
• El ajuste puede realizarse mejor considerando dos espirales cordobesas (se detalla en la siguiente fase).
• Fase 11. Se muestra el crecimiento gnomónico discreto del Nautilus considerando la aproximación de dos espirales cordobesas y un paso discreto pi/8. Esas espirales pueden superponerse con los botones inferiores que muestran su imagen. También puede quitarse la imagen del Nautilus si se desea. Con el botón de crecimiento se muestra la figura obtenida en cada instante y el último gnomón considerado. El botón de información permite acceder al detalle de esta construcción.
• El gnomon considerado es un octógono resultante de la unión de dos hexágonos. De manera que al añadir ese gnomon se obtiene una figura semejante y los gnómones son semejantes entre sí con razón de semejanza global b^(pi/n).
  
• El gnomon puede aproximarse más al gnomon natural sin más que considerar la aproximación a una familia de espirales cordobesas.
• Se presenta una simulación animada del crecimiento gnomónico del Nautilus.
  
• Fase 12. Llegados a este punto se muestra y verifica lo indicado por Benoulli: Eadem mutata resurgo ("Mutante y permanente, vuelvo a resurgir siendo la misma"), es decir, se verifica un crecimiento gnomónico instantáneo o continuo de razón la unidad. Para observarlo se dispone de un control etiquetado como n que al aumentar su valor (está limitado al valor máximo de 1999) disminuye el paso en el crecimiento gnomónico discreto y consecuentemente la razón de semejanza va tendiendo a uno. Puede superponerse la espiral logarítmica y también se tiene un control adicional etiquetado como "gnomon" que permite cambiar éste desde el instante inicial al final. Lógicamente, al aumentar n el gnomon es menor y la figura obtenida se asemeja más a la espiral logarítmica. El botón de información muestra, para la espiral logarítmica cordobesa, una imagen con cuatro situaciones que reflejan un crecimiento gnomónico discreto en las que el paso cada vez es menor y la razón de semejaza se aproxima a la unidad. Esto puede simularse en la escena sin más que cambiar el valor del control n.