Las funciones cuadráticas son un tipo de funciones polinómicas de grado dos, que tienen una amplia gama de aplicaciones en matemáticas, física, economía y otras ciencias. La forma general de una función cuadrática es: $$f(x) = ax^2 + bx + c$$ donde $a$, $b$ y $c$ son constantes reales y $a \neq 0$. Aquí, $a$ es el coeficiente del término cuadrático, $b$ es el coeficiente del término lineal, y $c$ es el término constante. Propiedades de las Funciones Cuadráticas 1. Gráfica: La gráfica de una función cuadrática es una parábola. Si $a > 0$, la parábola abre hacia arriba, y si $a \lt 0$, la parábola abre hacia abajo. 2. Vértice: El vértice de la parábola es el punto donde la función alcanza su valor mínimo (si $a > 0$) o su valor máximo (si $a \lt 0$). La coordenada $x$ del vértice se encuentra utilizando la fórmula: $$x_v = -\frac{b}{2a}$$ La coordenada $y$ del vértice se calcula sustituyendo $x_v$ en la función $f(x)$: $$y_v = f\left(-\frac{b}{2a}\right)$$ 3. Eje de simetría: La parábola es simétrica respecto a una línea vertical llamada eje de simetría, cuya ecuación es: $$x = -\frac{b}{2a}$$ 4. Raíces: Las raíces o ceros de la función cuadrática (donde $f(x) = 0$) se encuentran resolviendo la ecuación cuadrática: $$ax^2 + bx + c = 0$$ Las soluciones de esta ecuación se pueden encontrar usando la fórmula cuadrática: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ Dependiendo del valor del discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$: - Si $\Delta > 0$, la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas. - Si $\Delta = 0$, la ecuación tiene una solución real doble. - Si $\Delta \lt 0$, la ecuación no tiene soluciones reales (tiene dos soluciones complejas). Ejemplo Consideremos la función cuadrática: $$f(x) = 2x^2 - 4x + 1$$ Para encontrar el vértice: $$x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$$ $$y_v = f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1$$ Entonces, el vértice es $(1, -1)$ y la ecuación del eje de simetría es $x = 1$. Para encontrar las raíces, resolvemos: $$2x^2 - 4x + 1 = 0$$ Usamos la fórmula cuadrática: $$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{4}\\ = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$ Por lo tanto, las raíces son $x = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ y $x = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$. Estas propiedades y ejemplos básicos son fundamentales para entender y trabajar con funciones cuadráticas en diversas áreas de estudio.

Claro, haré una introducción a las funciones cuadráticas utilizando LaTeX donde sea necesario. Aquí tienes: Las funciones cuadráticas son un tipo fundamental de función en matemáticas. Se caracterizan por tener una variable elevada al cuadrado como su término de mayor grado. La forma general de una función cuadrática es: $f(x) = ax^2 + bx + c$ Donde: - $a$, $b$, y $c$ son constantes - $a \neq 0$ (si $a$ fuera 0, la función no sería cuadrática) Características principales: 1. Gráfica: La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola. Dependiendo del signo de $a$: - Si $a > 0$, la parábola abre hacia arriba - Si $a \lt 0$, la parábola abre hacia abajo 2. Vértice: El punto más alto (si $a \lt 0$) o más bajo (si $a > 0$) de la parábola. Sus coordenadas son: $x = -\frac{b}{2a}$, $y = f(-\frac{b}{2a})$ 3. Eje de simetría: La línea vertical que pasa por el vértice, con ecuación: $x = -\frac{b}{2a}$ 4. Raíces o ceros: Los puntos donde la función cruza el eje x. Se pueden encontrar resolviendo la ecuación $ax^2 + bx + c = 0$. La fórmula para encontrar las raíces es: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ 5. Discriminante: El término bajo la raíz cuadrada en la fórmula de las raíces: $b^2 - 4ac$. Determina el número de raíces reales: - Si es positivo, hay dos raíces reales distintas - Si es cero, hay una raíz real (raíz doble) - Si es negativo, no hay raíces reales Esta introducción cubre los aspectos básicos de las funciones cuadráticas. ¿Te gustaría que profundizara en algún aspecto en particular?