Solución

Podríamos calcular esta integral sin el teorema de la divergencia, pero el cálculo no es sencillo porque tendríamos que dividir la integral de flujo en tres integrales separadas: una para la parte superior del cilindro, una para la parte inferior y otra para el lado. Además, cada integral requeriría parametrizar la superficie correspondiente, calcular los vectores tangentes y su producto cruz, y usar la Ecuación 6.19.

Por el contrario, el teorema de la divergencia nos permite calcular la integral triple única ∭Ediv  FdV\iiint_E div\; \bold{F}dV, donde EE es el sólido encerrado por el cilindro. Usando el teorema de la divergencia y convirtiendo a coordenadas cilíndricas, tenemos

∬SF⋅dS=∭Ediv  FdV=∭E(x2+y2+1)dV=∫02π∫01∫02(r2+1)rdzdrdθ=32∫02πdθ=3π\begin{aligned} \iint_S \bold{F}\cdot d\bold{S} &= \iiint_E div\; \bold{F}dV\\ &= \iiint_E \big(x^2 + y^2 +1\big)dV\\ &= \int_0^{2\pi}\int_0^1\int_0^2 \big(r^2+1\big)rdzdrd\theta\\ &= \frac32\int_0^{2\pi} d\theta = 3\pi \end{aligned}