Solución

Sea EE el cono sólido encerrado por S.S. Para verificar el teorema de este ejercicio, mostramos que ∬Ediv  FdV=∬SF⋅dS\iint_E div\;\bold{F}dV = \iint_S \bold{F}\cdot d\bold{S} calculando cada integral por separado.

Para calcular la integral triple, observa que div  F=Px+Qy+Rz=2div\; \bold{F} = P_x + Q_y + R_z = 2, y por lo tanto la integral triple es

∬Ediv  FdV=2∭EdV=2(volumen de E)\begin{aligned} \iint_E div\;\bold{F}dV &= 2\iiint_E dV\\ &= 2(\text{volumen de }E) \end{aligned}

El volumen de un cono circular recto está dado por πr2h3πr^2\frac{h}{3}. En este caso, h=r=1h = r = 1. Por lo tanto,

∬Ediv  FdV=2(volumen de E)=2π3\iint_E div\;\bold{F}dV = 2(\text{volumen de }E) = \frac{2\pi}{3}

Para calcular la integral de flujo, primero observa que SS es uniforme por partes; SS se puede escribir como una unión de superficies lisas. Por lo tanto, dividimos la integral de flujo en dos partes: una integral de flujo a través de la parte superior circular del cono y una integral de flujo a través de la porción restante del cono. Llama a la parte superior circular S1S_1 y la parte debajo de la parte superior S2S_2. Comenzamos calculando el flujo a través de la parte superior circular del cono. Observa que S1S_1 tiene parametrización

r(u,v)=⟨ucos  v,usen  v,1⟩,0≤u≤1,0≤v≤2π\bold{r}(u, v) = \lang u cos\; v, u sen \;v, 1 \rang , 0 \le u \le 1, 0 \le v \le 2\pi

Entonces, los vectores tangentes son tu=⟨cos  v,sen  v,0⟩\bold{t}_u = \lang cos\; v, sen\; v, 0\rang y tv=⟨−ucos  v,usen  v,0⟩\bold{t}_v = \lang −u cos\; v, u sen\; v, 0\rang. Por lo tanto, el flujo a través de S1S_1 es

∬S1F⋅dS=∫01∫02πF(r(u,v))⋅(tu×tv)dA=∫01∫02π⟨ucos  v−usen  v,ucos  v+1,1−usen  v⟩⋅⟨0,0,u⟩dvdu=∫01∫02π(u−u2sen  v)dvdu=π\begin{aligned} \iint_{S_1} \bold{F}\cdot d\bold{S} &= \int_0^1\int_0^{2\pi} \bold{F}(\bold{r}(u,v)) \cdot (\bold{t}_u \times \bold{t}_v)dA\\ &= \int_0^1\int_0^{2\pi} \lang u cos\; v − u sen\; v, u cos\; v + 1, 1 − u sen\; v \rang\cdot\lang 0, 0, u \rang dvdu\\ &= \int_0^1\int_0^{2\pi} (u - u^2sen\;v)dvdu = \pi\end{aligned}

Ahora calculamos el flujo sobre S2S_2. Una parametrización de esta superficie es

r(u,v)=⟨ucos  v,usen  v,u⟩,0≤u≤1,0≤v≤2π\bold{r}(u, v) = \lang u cos\; v, u sen\; v, u \rang , 0 \le u \le 1, 0 \le v \le 2\pi

Los vectores tangentes son tu=⟨cos  v,sen  v,1⟩\bold{t}_u = \lang cos \;v, sen\; v, 1\rang y tv=⟨−usen  v,ucos  v,0⟩\bold{t}_v = \lang −u sen\; v, u cos\; v, 0\rang, entonces el producto cruz es

tu×tv=⟨−ucos  v,−usen  v,u⟩\bold{t}_u \times \bold{t}_v = \lang −u cos\; v, −u sen \;v, u \rang

Observa que los signos negativos en los componentes xx e yy inducen la orientación negativa (o hacia adentro) del cono. Dado que la superficie está orientada positivamente, usamos el vector tv×tu=⟨ucos  v,usen  v,−u⟩\bold{t}_v \times \bold{t}_u = \lang u cos\; v, u sen \;v, -u \rang en la integral de flujo. El flujo a través de S2S_2 es entonces

∬S2F⋅dS=∫01∫02πF(r(u,v))⋅(tv×tu)dA=∫01∫02π⟨ucos  v−usen  v,ucos  v+u,u−sen  v⟩⋅⟨ucos  v,usen  v,−u⟩=∫01∫02π(u2cos2v+2u2sen  v−u2)dvdu=−π3\begin{aligned} \iint_{S_2} \bold{F}\cdot d\bold{S} &= \int_0^1\int_0^{2\pi} \bold{F}(\bold{r}(u,v)) \cdot (\bold{t}_v \times \bold{t}_u)dA\\ &= \int_0^1\int_0^{2\pi} \lang u cos\; v − u sen\; v, u cos\; v + u, u − sen\; v \rang\cdot\lang u cos\; v, u sen\; v, −u \rang\\ &= \int_0^1\int_0^{2\pi} (u^2cos^2v + 2u^2sen\; v − u^2)dvdu = − \frac{\pi}{3} \end{aligned}

El flujo total a través de SS es

∬SF⋅dS=∫S1F⋅dS+∫S2F⋅dS=2π3=∭Ediv  FdV\iint_S \bold{F}\cdot d\bold{S} = \int_{S_1} \bold{F}\cdot d\bold{S} + \int_{S_2} \bold{F}\cdot d\bold{S} = \frac{2\pi}{3} = \iiint_E div\;\bold{F}dV

y hemos verificado el teorema de la divergencia para este ejemplo.