Solución

Para calcular la integral de línea directamente, necesitamos parametrizar cada lado del paralelogramo por separado, calcular cuatro integrales de línea separadas y sumar el resultado. Esto no es demasiado complicado, pero lleva mucho tiempo.

Por el contrario, calculemos la integral de línea usando el teorema de Stokes. Sea SS la superficie del paralelogramo. Ten en cuenta que SS es la parte de la gráfica de z=1−x−yz = 1 - x - y para (x,y)(x, y) que varía sobre la región rectangular con vértices (0,0),(0,1),(2,0)(0, 0), (0, 1), (2, 0) y (2,1)( 2, 1) en el plano xyxy. Por lo tanto, una parametrización de SS es ⟨x,y,1−x−y⟩,0≤x≤2,0≤y≤1\lang x, y, 1 - x - y\rang, 0 \le x \le 2, 0 \le y \le 1. La curva de F\bold{F} es −⟨z,0,x⟩- \lang z, 0, x\rang, y por el teorema de Stokes y la ecuación 6.19 obtenemos

∫CF⋅dr=∬Srot  F⋅dS=∫02∫01rot  F(x,y)⋅(tx⋅ty)dydx=∫02∫01⟨−(1−x−y),0,x⟩⋅(⟨1,0,−1⟩×⟨0,1,−1⟩)dydx=∫02∫01⟨x+y−1,0,x⟩⋅⟨1,1,1⟩dydx=∫02∫01(2x+y−1)dydx=3\begin{aligned} \int_C \bold{F}\cdot d\bold{r} &= \iint_S rot\;\bold{F}\cdot d\bold{S}\\ &= \int_0^2\int_0^1 rot\;\bold{F}(x,y)\cdot \big(\bold{t}_x\cdot \bold{t}_y\big)dydx\\ &= \int_0^2\int_0^1 \lang −(1 − x − y),0,x\rang\cdot (\lang 1, 0, −1 \rang\times\lang 0, 1, −1 \rang )dydx\\ &= \int_0^2\int_0^1 \lang x + y − 1, 0, x \rang\cdot\lang 1, 1, 1 \rang dydx\\ &= \int_0^2\int_0^1 (2x + y − 1)dydx\\ &= 3 \end{aligned}