Solución

Observa que para calcular Srot  FdS\iint_S rot\;\bold{F}\cdot d\bold{S} sin usar el teorema de Stokes, necesitaríamos usar la Ecuación 6.19. El uso de esta ecuación requiere una parametrización de SS. La superficie SS es tan complicada que sería extremadamente difícil encontrar una parametrización. Por tanto, los métodos que hemos aprendido en secciones anteriores no son útiles para este problema. En su lugar, usamos el teorema de Stokes, señalando que el límite CC de la superficie es simplemente un círculo simple con radio 11.

La curva de F\bold{F} es 1,1,2y\lang 1, 1, 2y\rang. Por el teorema de Stokes

Srot  FdS=CFr\iint_S rot\;\bold{F}\cdot d\bold{S} = \int_C \bold{F}\cdot\bold{r}

donde CC tiene parametrización r(t)=sen  t,0,1cos  t,0t2π\bold{r} (t) = \lang −sen\;t, 0, 1 - cos\; t\rang, 0 \le t \le 2\pi. Por la ecuación 6.9,

Srot  FdS=CFr=02π1cos  t,0,sen  tcos  t,0,sen  tdt=02π(cos  t+cos2tsen2t)dt=[sen  t+12sen(2t)]02π==(sen(2π)+12sen(4π))(sen  0+12sen  0)=0\begin{aligned} \iint_S rot\;\bold{F}\cdot d\bold{S} &= \int_C \bold{F}\cdot\bold{r}\\ &= \int_0^{2\pi} \lang 1 − cos \;t , 0, − sen \;t \rang\cdot\lang − cos\; t, 0, sen\; t \rang dt\\ &= \int_0^{2\pi} \big(−cos\; t + cos^2t − sen^2t\big)dt\\ &= \bigg[-sen\;t + \frac12sen(2t)\bigg]_0^{2\pi}\\ &= = ( − sen(2\pi) + \frac12 sen(4 \pi ))−( − sen\; 0 + \frac12 sen\; 0)\\ &= 0 \end{aligned}