Solución
Como integral de superficie, tienes g(x,y)=4−x2−y2,gx=−2y y
rotF=∣∣i∂x∂yj∂y∂2zk∂z∂x2∣∣=⟨−2,−2x,−1⟩
De la ecuación 6.19
∬SrotF⋅dS=∬DrotF(r(ϕ,θ))⋅(tϕ×tθ)dA=∬D⟨−2,−2x,−1⟩⋅⟨2x,2y,1⟩dA=∫−22∫−4−x24−x2(−4x−4xy−1)dydx=∫−22(−8x4−x2−24−x2)dx=−4π
Como integral de línea, puedes parametrizar C por r(t)=⟨2cost,2sent,0⟩,0≤t≤2π. Por la ecuación 6.19,
∫CF⋅dr=∫02π⟨2sent,0,4cos2t⟩⋅⟨−2sent,2cost,0⟩dt=∫02π−4sen2tdt=−4π
Por lo tanto, hemos verificado el teorema de Stokes para este ejemplo.