Solución

Los vectores tangentes son tu=⟨1,−1,1⟩\bold{t}_u = \lang 1, −1, 1\rang y tv=⟨0,2v,1⟩\bold{t}_v = \lang 0, 2v, 1\rang. Por lo tanto

tu×tv=⟨−1−2v,−1,2v⟩\bold{t}_u \times \bold{t}_v = \lang −1 − 2v, −1, 2v\rang

De la ecuación 6.21

∬SF⋅NdS=∫04∫03F(r(u,v))⋅(tu×tv)dudv=∫04∫03⟨u−v2,u,0⟩⋅⟨−1−2v,−1,2v⟩dudv=∫04∫03[(u−v2)(−1−2v)−u]dudv=∫04∫03(2v3+v2−2uv−2u)dudv=∫04[2v3u+v2u−vu2−u2]03dv=∫04(6v3+3v2−9v−9)dv=[3v42+v3−9v22−9v]04=340\begin{aligned} \iint_S\bold{F}\cdot\bold{N}dS &= \int_0^4\int_0^3 \bold{F}(\bold{r}(u,v))\cdot (\bold{t}_u \times \bold{t}_v)dudv\\ &= \int_0^4\int_0^3 \lang u − v^2, u, 0 \rang\cdot\lang −1 − 2v, −1, 2v \rang dudv\\ &= \int_0^4\int_0^3 \big[\big(u − v^2\big)(−1 − 2v) − u\big]dudv\\ &= \int_0^4\int_0^3 \big(2v^3 + v^2 − 2uv − 2u\big)dudv\\ &= \int_0^4\bigg[2v^3u + v^2u − vu^2 − u^2\bigg]_0^3 dv\\ &= \int_0^4\big(6v^3 + 3v^2 − 9v − 9\big)dv\\ &= \bigg[\frac{3v^4}{2} + v^3 - \frac{9v^2}{2} - 9v\bigg]_0^4\\ &= 340 \end{aligned}

Por lo tanto, el flujo de F\bold{F} a través de SS es 340340