Solución

Esta superficie tiene parametrización

r(u,v)=⟨rcos  u,rsen  u,v⟩,0≤u<2π,0≤v≤h.\bold{r}(u, v) = \lang r cos\; u, r sen\; u, v\rang , 0 \le u \lt 2\pi, 0 \le v \le h.

Los vectores tangentes son tu=⟨−rsen  u,rcos  u,0⟩\bold{t}_u = \lang−r sen\; u, rcos\; u, 0\rang y tv=⟨0,0,1⟩\bold{t}_v = \lang 0, 0, 1\rang. Para obtener una orientación de la superficie, calculamos el vector normal unitario

N=tu×tv∣∣tu×tv∣∣\bold{N} = \frac{\bold{t}_u \times \bold{t}_v}{||\bold{t}_u \times \bold{t}_v||}

En este caso, tu×tv=⟨rcos  u,rsen  u,0⟩\bold{t}_u \times \bold{t}_v = \lang r cos\; u, r sen\; u, 0\rang y por lo tanto

∣∣tu×tv∣∣=r2cos2u+r2sen2u=r||\bold{t}_u \times \bold{t}_v|| = \sqrt{r^2cos^2u + r^2sen^2u} = r

Una orientación del cilindro es

N(u,v)=⟨rcos  u,rsen  u,0⟩r=⟨cos  u,sen  u,o⟩\bold{N} (u,v) = \frac{\lang r cos \;u, r sen \;u, 0 \rang}{r} = \lang cos\;u, sen\;u,o\rang

Observa que todos los vectores son paralelos al plano xyxy, que debería ser el caso de los vectores normales al cilindro. Además, todos los vectores apuntan hacia afuera y, por lo tanto, esta es una orientación hacia afuera del cilindro (observa la siguiente figura).

Figura 6.75. Si todos los vectores normales a un cilindro apuntan hacia afuera, entonces esta es una orientación hacia afuera del cilindro.