Solución

Sea SS la superficie que describe la hoja. Entonces, la masa de la hoja viene dada por m=∬Sx2yzdSm = \iint_Sx^2yzdS.

Para calcular esta integral de superficie, primero necesitamos una parametrización de SS. Dado que SS está dada por la función f(x,y)=1+x+2yf (x, y) = 1 + x + 2y, una parametrización de SS es r(x,y)=⟨x,y,1+x+2y⟩,0≤x≤4,0≤y≤2\bold{r} (x, y) = \lang x, y , 1 + x + 2y\rang, 0 \le x \le 4, 0 \le y \le 2.

Los vectores tangentes son tx=⟨1,0,1⟩\bold{t}_x = \lang 1, 0, 1\rang y ty=⟨1,0,2⟩\bold{t}_y = \lang 1, 0, 2\rang. Por lo tanto, tx×ty=⟨−1,−2,1⟩\bold{t}_x \times \bold{t}_y = \lang −1, −2,1\rang y ∣∣tx×ty∣∣=6||\bold{t}_x \times \bold{t}_y ||= \sqrt{6}. Por la ecuación 6.5,

m=∬Sx2yzdS=6∫04∫02x2y(1+x+2y)dydx=6∫0422x23+2x3dx=256069=696.74\begin{aligned} m &= \iint_S x^2yzdS\\ &= \sqrt{6}\int_0^4\int_0^2 x^2y(1 + x + 2y)dydx\\ &= \sqrt{6}\int_0^4 \frac{22x^2}{3}+2x^3dx\\ &= \frac{2560\sqrt{6}}{9}\\ &= 696.74 \end{aligned}