Solución

Para calcular la integral de superficie, primero necesitamos una parametrización del cilindro. Una parametrización es

r(u,v)=⟨cos  u,sen  u,v⟩,0≤u≤2π,0≤v≤3\bold{r}(u, v) = \lang cos\; u, sen\; u, v \rang , 0 \le u \le 2\pi, 0 \le v \le 3

Los vectores tangentes son tu=⟨sen  u,cos  u,0⟩\bold{t}_u = \lang sen\; u, cos\; u, 0\rang y tv=⟨0,0,1⟩\bold{t}_v = \lang 0, 0, 1\rang. Luego

tu×tv=∣ijk−sen  ucos  u0001∣=⟨cos  u,sen  u,0⟩\bold{t}_u \times \bold{t}_v = \begin{vmatrix} \bold{i} & \bold{j} & \bold{k}\\ -sen\;u & cos\;u & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{vmatrix} = \lang cos\; u, sen\; u, 0 \rang

y

∣∣tu×tv∣∣=cos2u+sen2u=1||\bold{t}_u \times \bold{t}_v|| = \sqrt{cos^2 u + sen^2 u} = 1

Por la ecuación 6.19,

∬Sf(x,y,z)dS=∬Df(r(u,v))∣∣tu×tv∣∣dA=∫03∫02π(cos  u+sen2u)dudv=∫03[sen  u+u2−sen(2u)4]02πdv=∫03πdv=3π\begin{aligned} \iint_S f(x,y,z)dS &= \iint_D f(\bold{r}(u, v)) ||\bold{t}_u \times \bold{t}_v|| dA\\ &= \int_0^3\int_0^{2\pi} (cos\;u + sen^2u) dudv\\ &= \int_0^3\bigg[sen\;u + \frac{u}{2} - \frac{sen(2u)}{4}\bigg]_0^{2\pi} d v = \int_0^3 \pi dv = 3\pi \end{aligned}