Solución

Observa que este dominio de parámetros DD es un triángulo y, por lo tanto, el dominio de parámetros no es rectangular. Sin embargo, esto no es un problema, porque la Ecuación 6.19 no impone restricciones a la forma del dominio de parámetros.

Para usar la Ecuación 6.19 para calcular la integral de superficie, primero encontramos el vector tu\bold{t}_u y tv\bold{t}_v. Ten en cuenta que tu=⟨1,2u,0⟩\bold{t}_u = \lang 1, 2u, 0\rang y tv=⟨0,0,1⟩\bold{t}_v = \lang 0, 0, 1\rang. Por lo tanto,

tu×tv=∣ijk12u0001∣=⟨2u,−1,0⟩\bold{t}_u \times \bold{t}_v = \begin{vmatrix} \bold{i} & \bold{j} & \bold{k}\\ 1 & 2u & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{vmatrix} = \lang 2u, -1, 0 \rang

y

∣∣tu×tv∣∣=1+4u2||\bold{t}_u \times \bold{t}_v|| = \sqrt{1+4u^2}

Por la ecuación 6.19,

∬S5dS=5∬Du1+4u2dA=5∫02∫0u1+4u2dvdu=5∫02u1+4u2du=5[(1+4u2)3/23]02=5(173/2−1)3≈115.15\begin{aligned} \iint_S 5dS &= 5\iint_D u\sqrt{1+4u^2}dA\\ &= 5\int_0^2\int_0^u\sqrt{1+4u^2} dvdu = 5 \int_0^2 u\sqrt{1+4u^2}du\\ &= 5\bigg[\frac{\big(1+4u^2\big)^{3/2}}{3}\bigg]_0^2 = \frac{5\big(17^{3/2}-1\big)}{3} \approx 115.15 \end{aligned}