Solución

La esfera tiene la siguiente parametrización

⟨rcos  θsen  ϕ,rsen  θsen  ϕ,rcos  ϕ⟩,0≤θ<2π,0≤ϕ≤π\lang r cos\; \theta sen\; \phi, r sen\; \theta sen\; \phi, r cos\; \phi \rang , 0 \le \theta \lt 2\pi, 0 \le \phi \le \pi

Los vectores tangente son:

tθ=⟨−rsen  θsen  ϕ,rcosθsen  ϕ,0⟩    y    tϕ=⟨rcos  θcos  ϕ,rsen  θcos  ϕ,−rsen  ϕ⟩\bold{t}_{\theta} = \lang −r sen\; \theta sen\; \phi, r cos \theta sen\; \phi, 0 \rang\;\;\text{y}\;\; \bold{t}_{\phi} = \lang r cos\; \theta cos\; \phi, r sen \;\theta cos\; \phi, −r sen\; \phi\rang

Por lo tanto

tθ×tϕ=⟨r2cos  θsen2ϕ,r2sen  θsen2ϕ,r2sen2θsen  ϕcos  ϕ+r2cos2θsen  ϕcos  ϕ⟩=⟨r2cosθsen2ϕ,r2sen  θsen2ϕ,r2sen  ϕcos  ϕ⟩\begin{aligned} \bold{t}_{\theta} \times \bold{t}_{\phi} &= \lang r^2cos\; \theta sen^2\phi, r^2 sen\; \theta sen^2\phi, r^2 sen^2 \theta sen\; \phi cos\; \phi + r^2cos^2 \theta sen\; \phi cos\; \phi \rang\\ &= \lang r^2cos \theta sen^2\phi, r^2sen\; \theta sen^2\phi, r^2sen\; \phi cos\; \phi \rang \end{aligned}

Ahora,

∣∣tθ×tϕ∣∣=r4sen4ϕcos2θ+r4sen4ϕsen2θ+r4sen2ϕcos2ϕ=r4sen4ϕ+r4sen2ϕcos2ϕ=r2sen2ϕ=rsenϕ\begin{aligned} ||\bold{t}_{\theta} \times \bold{t}_{\phi}|| &= \sqrt{r^4sen^4\phi cos^2\theta + r^4sen^4\phi sen^2\theta + r^4sen^2 \phi cos^2\phi }\\ &= \sqrt{r^4sen^4\phi + r^4sen^2\phi cos^2\phi}\\ &= r^2\sqrt{sen^2\phi }\\ &= rsen\phi \end{aligned}

Observa sen  ϕsen\;\phi en el dominio del parámetro porque 0≤ϕ<π0\le \phi \lt \pi, que justifica la ecuación sen2ϕ\sqrt{sen^2\phi}. El área de la superficie de la esfera es:

∫02π∫0πr2sen  ϕdϕdθ=r2∫02π2dθ=4πr2\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi} r^2sen\;\phi d\phi d\theta = r^2 \int_0^{2\pi} 2d\theta = 4\pi r^2

Hemos deducido la fórmula familiar para el área de superficie de una esfera, usando integrales de superfice.