Solución

Antes de calcular el área de la superficie de este cono usando la Ecuación 6.18, necesitamos una parametrización. Suponemos que este cono está en R3\Reals^3 con su vértice en el origen (ver la figura)). Para obtener una parametrización, sea α\alpha el ángulo que se barre comenzando en el eje zz positivo y terminando en el cono, y sea k=tanαk = tan \alpha. Para un valor de altura vv con 0≤v≤h0 \le v \le h, el radio del círculo formado al intersecar el cono con el plano z=vz = v es kvkv. Por tanto, una parametrización de este cono es

s(u,v)=⟨kvcos  u,kvsen  u,v⟩,0≤u<2π,0≤v≤h.\bold{s} (u, v) = \lang kv cos\; u, kv sen\; u, v\rang, 0 \le u \lt 2\pi, 0 \le v \le h.

La idea detrás de esta parametrización es que para un valor de vv fijo, el círculo barrido dejando que uu varíe es el círculo a la altura vv y el radio kvkv. A medida que vv aumenta, la parametrización barre una "pila" de círculos, lo que da como resultado el cono deseado.

Figura 6.68. El cono circular recto con radio r=khr = kh y altura hh tiene parametrización s(u,v)=⟨kvcos  u,kvsen  u,v⟩,0≤u<2π,0≤v≤h.\bold{s} (u, v) = \lang kv cos\; u, kv sen\; u, v\rang, 0 \le u \lt 2\pi, 0 \le v \le h.

Con una parametrización en la mano, podemos calcular el área de la superficie del cono usando la Ecuación 6.18. Los vectores tangentes son tu=⟨−kvsen  u,kvcos  u,0⟩\bold{t}_u = \lang −kv sen\; u, kv cos\; u, 0\rang y tv=⟨kcos  u,ksen  u,1⟩\bold{t}_v = \lang k cos\; u, k sen\; u, 1\rang. Por lo tanto,

tu×tv=∣ijk−kvsen  ukvcos  u0kcos  uksen  u1∣==⟨kvcos  u,kvsen  u,−k2vsen2u−k2vcos2u⟩=⟨kvcos  u,kvsen  u,−k2v⟩\begin{aligned} \bold{t}_u \times \bold{t}_v &= \begin{vmatrix} \bold{i} & \bold{j} & \bold{k}\\ -kv sen\;u & kv cos\; u & 0\\ kcos\;u & ksen\;u & 1\\ \end{vmatrix}\\ &= = \lang kv cos \;u, kv sen \;u, −k^2 v sen^2u − k^2v cos^2u \rang\\ &= \lang kv cos\; u, kv sen\; u, −k^2v \rang \end{aligned}

La magnitud del vector es

∣∣⟨kvcos  u,kvsen  u,−k2v⟩∣∣=k2v2cos2u+k2v2sen2u+k4v2=k2v2+k4v2=kv1+k2\begin{aligned} ||\lang kv cos \;u, kv sen \;u, −k^2v \rang || &= \sqrt{k^2v^2cos^2u + k^2v^2sen^2u + k^4v^2}\\ &= \sqrt{k^2v^2 + k^4v^2}\\ &= kv\sqrt{1+k^2} \end{aligned}

Usando la ecuación 6.18, la superfice de área del cono es:

∬D∣∣tu×tv∣∣dA=∫0h∫02πkv1+k2dudv=2πk1+k2∫0hvdv=2πk1+k2[y22]0h=πkh21+k2\begin{aligned} \iint_D ||\bold{t}_u \times \bold{t}_v||dA &= \int_0^h\int_0^{2\pi} kv\sqrt{1+k^2}dudv\\ &= 2\pi k\sqrt{1+k^2}\int_0^h vdv\\ &= 2\pi k\sqrt{1+k^2}\bigg[\frac{y^2}{2}\bigg]_0^h\\ &= \pi kh^2\sqrt{1+k^2} \end{aligned}

Dado que k=tanα=r/hk = tan \alpha = r / h,

πkh21+k2=πrhh21+r2h2=πrh1+r2h2=πrh2+h2(r2h2)=πrh2+r2\begin{aligned} \pi kh^2\sqrt{1+k^2} &= \pi \frac{r}{h}h^2\sqrt{1+ \frac{r^2}{h^2}}\\ &= \pi rh\sqrt{1+ \frac{r^2}{h^2}}\\ &= \pi r\sqrt{h^2 + h^2\bigg(\frac{r^2}{h^2}\bigg)}\\ &= \pi r\sqrt{h^2+r^2} \end{aligned}

Por lo tanto, el área de la superficie lateral del cono es πrh2+r2\pi r\sqrt{h^2+r^2}

Análisis

El área de la superficie de un cono circular recto con radio rr y altura hh generalmente se da como πr2+πrh2+r2\pi r^2 + \pi r\sqrt{h^2+r^2}. La razón de esto es que la base circular se incluye como parte del cono y, por lo tanto, el área de la base πr2\pi r^2 se suma al área de la superficie lateral πrh2+r2\pi r\sqrt{h^2+r^2} que encontramos.