Solución

Observa que el dominio de F\bold{F} es todo R3\Reals^3, que está simplemente conectado (ver la siguiente figura). Por lo tanto, podemos probar si F\bold{F} es conservativo calculando su rotacional.

Figura 6.56. El rotacional del campo vectorial F(x,y,z)=⟨yz,xz,xy⟩\bold{F} (x, y, z) = \lang yz, xz, xy\rang es cero.

El rotacional de F\bold{F} es

(∂∂yxy−∂∂zxz)i+(∂∂yyz−∂∂zxy)j+(∂∂yxz−∂∂zyz)k==(x−x)i+(y−y)j+(z−z)k=0\big(\frac{\partial}{\partial y}xy - \frac{\partial}{\partial z}xz\big)\bold{i} + \big(\frac{\partial}{\partial y}yz - \frac{\partial}{\partial z}xy\big)\bold{j} + \big(\frac{\partial}{\partial y}xz - \frac{\partial}{\partial z}yz\big)\bold{k} = = (x − x)\bold{i} + (y − y)\bold{j} + (z − z)\bold{k} = 0

Por tanto, F\bold{F} es conservativo.